APRENDIENDO CÁLCULO DIFERENCIAL
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CLCULO DIFERENCIAL - UNIDAD IV - DERIVADAS
ELABORADO POR: Jess Zacaras Zapata. CARRERA: ELECTROMECNICA Mediador: IRINEO MARTINEZ MOSQUEDA. FECHA DE ELAB: 22/10/2014.
FRMULAS DE DERIVACIN
1. Derivadas inmediatas
2. Derivadas de sumas, productos y cocientes.
3. Derivadas exponenciales.
4. Derivacin logartmica.
5. Derivadas trigonomtricas.
6. Derivadas trigonomtricas inversas.
7. Derivada de la funcin compuesta.
8. Derivada de la funcin inversa.
9. Derivada de la funcin potencial-exponencial.
10. Derivadas sucesivas.
11. Derivacin implcita.
12. Diferencial de una funcin.
13. Resumen.
14. Ejercicios de derivacin
Ejercicios I.
Ejercicios II.
Ejercicios III.
Ejercicios diferenciales.
15. Soluciones a los ejercicios de derivacin.
16. Ejercicios extras.
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CLCULO DIFERENCIAL - UNIDAD IV - DERIVADAS
ELABORADO POR: Jess Zacaras Zapata. CARRERA: ELECTROMECNICA Mediador: IRINEO MARTINEZ MOSQUEDA. FECHA DE ELAB: 22/10/2014.
DERIVADAS INMEDIATAS
Sean a, b, e y k constantes (nmeros reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.
En adelante, escribiremos u y v. Entendamos que esto no es ms que un abuso de notacin con el fin de simplificar la misma.
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la funcin lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raz cuadrada
Derivada de una raz
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CLCULO DIFERENCIAL - UNIDAD IV - DERIVADAS
ELABORADO POR: Jess Zacaras Zapata. CARRERA: ELECTROMECNICA Mediador: IRINEO MARTINEZ MOSQUEDA. FECHA DE ELAB: 22/10/2014.
Ejemplos de derivadas
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DERIVADA DE SUMA, PRODUCTO Y COCIENTE
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una funcin
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una funcin
Derivada de un cociente
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Ejemplos
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9.
DERIVADA DE LA FUNCIN EXPONENCIAL
Derivada de la funcin exponencial
Derivada de la funcin exponencial de base e
Ejemplos
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DERIVADA DE LA FUNCIN LOGARTMICA
Como , tambin se puede expresar as:
Derivada con logaritmo neperiano
Ejemplos
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3.
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
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Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
5.
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6.
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
Derivada de la funcin seno
Derivada de la funcin coseno
Derivada de la funcin tangente
Derivada de la funcin cotangente
Derivada de la funcin secante
Derivada de la funcin cosecante
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Ejemplos
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11.
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS
Derivada de la funcin arcoseno
Derivada de la funcin arcocoseno
Derivada de la funcin arcotangente
Derivada de la funcin arcocotangente
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Derivada de la funcin arcosecante
Derivada de la funcin arcocosecante
Ejemplos
1.
3.
3.
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DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIAL-EXPONENCIAL
Estas funciones son del tipo:
Para derivarla se puede utilizar esta frmula:
O bien tomamos logaritmos y derivamos:
.
.
.
.
.
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Ejemplo
Derivar tomando logaritmos:
REGLA DE LA CADENA
1.
2.
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DERIVAS INVERSAS
Si f y g son funciones inversas, es decir . Entonces
En la prctica, para derivar una funcin y=f(x) a partir de su funcin inversa, podemos seguir los siguientes pasos:
1. Buscamos la funcin inversa de y = f(x), que escribiremos de la forma x = g(y).
2. Hacemos x' = g'(y).
3. Usando lo anterior, y'=1/x'.
4. Sustituimos x' por g'(y) y operamos.
5. Por ltimo sustituimos x por g(y) y habremos acabado.
Ejemplos
1. Derivar, usando la derivada de la funcin inversa: y = arc sen x
La funcin inversa de la dada es: .
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Sabiendo que x = sen y, se tiene:
2. Derivar, usando la derivada de la funcin inversa: y = arc tg x
DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLCITAS
Funciones implcitas
Una correspondencia o una funcin est definida en forma implcita cuando no aparece despejada la y sino que la relacin entre x e y viene dada por una ecuacin de dos incgnitas cuyo segundo miembro es cero.
Derivadas de funciones implcitas
Para hallar la derivada en forma implcita no es necesario
despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las
reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y' .
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Ejemplos
Derivar las funciones:
1.
2.
Cuando las funciones son ms complejas vamos a utilizar una
regla para facilitar el clculo:
Ejemplo
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DERIVADAS SUCESIVAS
Si derivamos la derivada de una funcin, derivada primera, obtenemos
una nueva funcin que se llama derivada segunda, f''(x).
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).
Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y as
sucesivamente.
Ejemplo
Calcula las derivadas 1, 2, 3 y 4 de:
Derivada ensima
En algunos casos, podemos encontrar una frmula general para
cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta frmula
recibe el nombre de derivada ensima, f'n(x).
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Ejemplo
Calcula la derivada ensima de:
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DIFERENCIAL DE UNA FUNCIN
Sea f(x) una funcin derivable. Diferencial de una funcin
correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el
producto f'(x) h. Se representa por dy.
La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la
tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.
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Ejemplos
1.
2.
3. Calcular el incremento del rea del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1 mm su lado.
S = x 2 dS = 2x dx
d(S)= 22 0.001 = 0.004 m2
RESUMEN
Sean a, b, e y k constantes (nmeros reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.
En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar.
Derivada de una constante
Derivada de x
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Derivada de la funcin lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raz cuadrada
Derivada de una raz
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una funcin
Derivada de un producto
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Derivada de una constante partida por una funcin
Derivada de un cociente
Derivada de la funcin exponencial
Derivada de la funcin exponencial de base e
Derivada de un logaritmo
Como , tambin se puede expresar as:
Derivada del logaritmo neperiano
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Derivada del seno
Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
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Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
Derivada del arcosecante
Derivada del arcocosecante
Derivada de la funcin potencial-exponencial
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Regla de la cadena
Derivadas implcitas
EJERCICIOS DE DERIVACIN
EJERCICIOS I
1 Calcula las derivadas de las funciones:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2 Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia:
1
2
3
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4
5
6
7
3 Calcula mediante la frmula de la derivada de una raz:
1
2
3
4 Deriva las funciones exponenciales
1
2
3
4
5
5 Calcula la derivada de las funciones logartmicas:
1
2
3
4
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5
EJERCICIOS II
1 Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2 Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas inversas:
1
2
3
4
5
3 Derivar por la regla de la cadena las funciones:
1
2
3
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4
5
6
7
4 Deriva las funciones potenciales-exponenciales:
1
2
3
5 Hallar las derivadas sucesivas de:
1
2
3
4
6 Derivar implicitamente:
1
2
7 Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
1
2
3
4
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EJERCICIOS III
1 Calcula la derivada de la funcin logartmica:
2 Derivar la funcin:
3 Derivar:
4 Calcular la derivada de la funcin:
5 Derivar:
6 Un cuadrado tiene 2 m de lado. determnese en cunto
aumenta el rea del cuadrado cuando su lado lo hace en un milmetro. Calclese el error que se comete al usar difernciales en lugar de incrementos.
7 Hallar la variacin de volumen que experimenta un
cubo, de arista 20 cm, cuando sta aumenta 0.2 cm su longitud.
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8 Calcula el error absoluto y relativo cometido en el
clculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de dimetro, medido con un instrumento que aprecia milsimas de centmetro.
9 Si el lugar de se halla . Cules son
las aproximaciones del error absoluto y relativo?
EJERCICIOS DIFERENCIALES
1 Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
1
2
3
4
5
6
2 Calcular el incremento del rea del cuadrado de 2 m de
lado, cuando aumentamos 1mm su lado.
3 Un cuadrado tiene 2 m de lado. determnese en cunto
aumenta el rea del cuadrado cuando su lado lo hace en un milmetro. Calclese el error que se comete al usar difernciales en lugar de incrementos.
4 Hallar la variacin de volumen que experimenta un cubo,
de arista 20 cm, cuando sta aumenta 0.2 cm su longitud.
5 Calcula el error absoluto y relativo cometido en el
clculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de dimetro, medido con un instrumento que aprecia milsimas de centmetro.
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6 Si el lugar de se halla . Cules son las
aproximaciones del error absoluto y relativo?
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE DIFERENCIACIN
Calcula las derivadas de las funciones:
1. f(x) = k
2.
3.
4.
5.
6.
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7.
8.
9.
EJERCICIOS II
Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas:
1
2
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3
4
5
6
7
8
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EJERCICIOS III
Calcula la derivada de la funcin logartmica:
Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:
EJERCICIOS DE DIFERENCIALES
Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
1
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2
3
4
5
6
Aplicamos la definicin de logaritmo:
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EJERCICIOS EXTRAS
Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia:
1.
2.
3.
4.
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5.
6.
7.
Calcula mediante la frmula de la derivada de una raz:
1.
2.
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3.
Deriva las funciones exponenciales:
1.
2.
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3.
4.
5.
Calcula la derivada de las funciones logartmicas:
1.
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2.
Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:
3.
Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:
4.
Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:
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5.
Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:
Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas inversas:
1
2
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3
4
5
Derivar por la regla de la cadena las funciones:
1
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2
3
4
5
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6
7
Deriva las funciones potenciales-exponenciales:
1
2
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3
Hallar las derivadas sucesivas de:
1
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2
3
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3
Derivar implicitamente:
1
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2
Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
1
2
3
4
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Aplicamos la definicin de logaritmo:
Derivar la funcin:
-
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Derivar:
Calcular la derivada de la funcin:
Derivar:
Aplicamos la definicin de logaritmo:
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Un cuadrado tiene 2 m de lado. determnese en cunto aumenta
el rea del cuadrado cuando su lado lo hace en un milmetro.
Calclese el error que se comete al usar difernciales en lugar
de incrementos.
Hallar la variacin de volumen que experimenta un cubo, de
arista 20 cm, cuando sta aumenta 0.2 cm su longitud.
Calcula el error absoluto y relativo cometido en el clculo del
volumen de una esfera de 12.51 mm de dimetro, medido con un
instrumento que aprecia milsimas de centmetro.
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Si el lugar de se halla . Cules son las
aproximaciones del error absoluto y relativo?
Calcular el incremento del rea del cuadrado de 2 m de lado,
cuando aumentamos 1mm su lado.
S = x 2 dS = 2x dx
d(S)= 2 2 0.001 = 0.004 m2
Un cuadrado tiene 2 m de lado. determnese en cunto aumenta
el rea del cuadrado cuando su lado lo hace en un milmetro.
Calclese el error que se comete al usar difernciales en lugar
de incrementos.
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CLCULO DIFERENCIAL - UNIDAD IV - DERIVADAS
ELABORADO POR: Jess Zacaras Zapata. CARRERA: ELECTROMECNICA Mediador: IRINEO MARTINEZ MOSQUEDA. FECHA DE ELAB: 22/10/2014.
Hallar la variacin de volumen que experimenta un cubo, de
arista 20 cm, cuando sta aumenta 0.2 cm su longitud.
Calcula el error absoluto y relativo cometido en el clculo del
volumen de una esfera de 12.51 mm de dimetro, medido con un
instrumento que aprecia milsimas de centmetro.
Si el lugar de se halla . Cules son las
aproximaciones del error absoluto y relativo?