COL

APRENDIENDO ALGEBRA Algebra para la vida…

OLGA PÉREZ 6to. Perito en Gerencia Administrativa

Descripción breve Temas como la multiplicación y división de polinomios, productos notables, ecuaciones enteras

de primer grado con una incógnita, ecuaciones enteras de primer grado con dos y tres incógnitas y por ultimo las ecuaciones cuadráticas son algunos de los temas que contiene este documento.

Índice

Tabla de contenido Índice ................................................................................................................................................... 0

Introducción ........................................................................................................................................ 1

Justificación ......................................................................................................................................... 2

Multiplicación de polinomios .............................................................................................................. 3

Multiplicación de un número por un polinomio ............................................................................. 3

Multiplicación de un monomio por un polinomio .......................................................................... 3

Multiplicación de polinomios .......................................................................................................... 3

División de polinomios ........................................................................................................................ 3

Productos Notables ............................................................................................................................. 5

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades ................................................................................. 6

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios

conjugados) ..................................................................................................................................... 6

Otros casos de productos notable (o especiales): .......................................................................... 7

Cubo de una suma ........................................................................................................................... 9

Cubo de una diferencia ................................................................................................................... 9

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA .................................................. 10

SOLUCIÓN DE DOS PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA

INCÓGNITA. ................................................................................................................................... 13

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS ................................................................ 14

Sistemas De Ecuaciones ................................................................................................................ 14

Método de reducción .................................................................................................................... 16

Método de igualación ................................................................................................................... 17

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas ................................................................................ 20

Resolución por el método de Gauss .............................................................................................. 20

ECUACIONES CUADRÁTICAS – FACTORIZACIÓN ............................................................................... 22

1

Introducción

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una

cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador,

de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo

que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el

multiplicador reciben el nombre de factores del producto. Esta multiplicación de polinomios

cumple con la propiedad distributiva que esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los

factores se pueden agrupar de cualquier manera, también está la propiedad conmutativa

que esta nos dice que el orden de los factores no altera el producto.

2

Justificación

La finalidad de este proyecto es el de ayudar al lector a que pueda entender y comprender

bien estos temas algebraicos que no son difíciles, hay personas que tan solo con escuchar

la palabra matemática se alarman porque creen que es difícil y aún más se alarman si

escuchan algebra pero en realidad no es así, así que este trabajo está elaborado de una

forma muy simple pero concisa porque está bien detallada y explicada para que el álgebra

no sea más un obstáculo para ti. Siempre y cuando también se le dé el interés necesario

para poder entender bien cada tema y lo podamos manejar también a la perfección o lo

mejor posible. En resumen la realización de este trabajo es para comprobar y motivar que

las matemáticas es fundamental para el desarrollo de la inteligencia intelectual en el que se

demuestra que se obtiene beneficios de ello.

3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de

los coeficientes del polinomio por el número.

3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x2 · (2x 3 − 3x 2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x 4 + 12x 3 − 6x2

Multiplicación de polinomios P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se

multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x): Q(x)

4

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares

que correspondan.

A la derecha

situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del

polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el

resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4: x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3: x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

5

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar

dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

Productos Notables

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los

valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente

y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por

paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy

utilizados en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se

muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el

doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

6

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a

+ b)2

Nota:

Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos

el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda

cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a

– b)2

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos

binomios conjugados)

(a + b) (a – b) = a2 – b2

7

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera

cantidad, menos el cuadrado de la segunda

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factorizarla como a2 – b2

Otros casos de productos notable (o especiales): Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostración:

Veamos un ejemplo explicativo:

Tenemos la expresión algebraica

x2 + 9 x + 14

obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )

¿Cómo llegamos a la expresión?

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2

b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:

x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )

8

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factorizarla como (x + a) (x + b)

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factorizarla como (x + a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factorizarla como (x – a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y

nx).

Demostración:

9

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma mnx2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).

Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factorizarla como (a + b)3.

Cubo de una diferencia

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la

forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factorizarla como (a – b)3.

A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión

algebraica que lo representa:

Producto notable Expresión algebraica Nombre

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo

a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados

a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos

a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado

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ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER

GRADO CON UNA INCÓGNITA

Descripción

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se pueden

escribir de la siguiente forma:

ax + b = 0

Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero. Estas ecuaciones

se identifican verificando que la variable no tenga exponente.

Solución

La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es simpre un solo valor de

la variable. En algunos casos se puede conocer la solución por simple inspección, por

ejemplo, para la ecuación 7 - x = 4 es facil deducir que la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4.

Sin embargo, en la mayoría de los casos es necesario seguir un procedimiento algebraico

para encontrar la solución, sobre todo si la ecuación contiene fracciones y/o radicales.

La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x = n donde n es la

solución. Cuando la ecuación tiene esa forma se dice que la variable está despejada.

Procedimiento para encontrar la solución

Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos miembros de la

ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y las propiedades de las operaciones

inversas.

Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un número, se multiplican por

un número, se dividen entre un número, se elevan a la misma potencia o se obtiene su

raíz enésima la igualdad se mantiene.

Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se multiplica y se

divide por el mismo número o se eleva a una potencia n y se obtiene su raiz enésima al

mismo tiempo ese miembro permanece inalterado y la igualdad se mantiene.

Se busca que los términos que contienen a la variable pasen al primer miembro y que los

términos que no contienen a la variable se pasen al segundo miembro.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2x + 3 = 21 - x.

11

El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =) porque contiene a la

variable.

El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la variable. Esto se hace

restando 3 a los dos miembros

El término 21 se mantiene en el segundo miembro (a la derecha del =) porque no contiene

a la variable.

El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable. Esto se hace

sumando x a los dos miembros

Se reducen términos semejantes

2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x

3x = 18

El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la variable. Para ello se

dividen ambos miembros de la ecuación por 3.

(3x)/3 = (18)/3

x = 6

Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para comprobar que x =

6 es la solución de la ecuación se evalúa numéricamente cada miembro y se verifica la

igualdad.

2(6) + 3 = 21 - (6)

12 + 3 = 15

15 = 15

Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada correctamente.

Un poco más sobre el procedimiento

En la resolución de ecuaciones es común escuchar comentarios como "lo que está

restando pasa sumando" o "lo que está multiplicando pasa dividiendo". Es válido

considerar que se puede despejar algún elemento de un miembro y pasarlo al otro

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miembro con la operación inversa, pero es necesario comprender por qué se hace, para

evitar errores. En el siguiente ejemplo se ilustra lo comentado aquí.

Ejemplo. Resolver la ecuación 3x - 4 = x + 2.

El término 3x contiene a la variable y debe quedarse en el primer miembro. El término -

4 no contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del primer miembro, esto se hace

sumando 4 a ambos miembros.

3x - 4 + 4 = x + 2 + 4

Los términos - 4 y + 4 se eliminan porque - 4 + 4 = 0. La ecuación queda:

3x = x + 2 + 4

Si comparamos esta ecuación con la original, observaremos que el término - 4 del primer

miembro se ha convertido en el término + 4 del segundo miembro. En ese caso podemos

decir que "el término que estaba restando ha pasado sumando al otro miembro". Después

de reducir términos semejantes la ecuación queda:

3x = x + 6

El término x contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del segundo miembro. Esto

se hace restando x a los dos miembros.

3x - x = x + 6 - x

Los términos x y - x se eliminan porque x - x = 0. La ecuación queda:

3x - x = 6

Al comparar esta ecuación con la original, observamos que el término x del segundo

miembro se ha convertido en el término- x del primer miembro. En ese caso podemos

decir que "el término que estaba sumando ha pasado restando al otro miembro". Después

de reducir términos semejantes la ecuación queda:

2x = 6

Para despejar la x del término 2x se debe quitar el 2 de ese término. Esto se hace

dividiendo entre 2 a los dos miembros.

(2x)/2 = (6)/2

En el primer miembro, el 2 que multiplica a x y el 2 que divide se eliminan porque 2 / 2 =

0. La ecuación queda:

x = 6/2

Al comparar esta ecuación con la anterior, observamos que el 2 de 2x ahora está

dividiendo a 6. En ese caso podemos decir que "el término que estaba multiplicando ha

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pasado dividiendo al otro miembro". Después de realizar la división, la ecuación ha sido

solucionada:

x = 3

SOLUCIÓN DE DOS PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON

UNA INCÓGNITA.

Segundo video de la serie de ejemplos resueltos sobre cómo solucionar problemas reales

mediante el uso de una ecuación de primer grado con una solo incógnita.

1. Hace 10 años la edad del padre era el triple de la edad de su hijo y hoy es el doble. ¿Cuáles

son las edades actuales del padre y del hijo?

2. Hace 10 años la edad de Ana era el doble que la edad de Camila y dentro de 10 años la

edad de Ana será 50 años menos que el triple de la edad de Camila para ese entonces.

¿Cuáles son las edades actuales de Ana y Camila?

En ambos casos se plantea una sola ecuación con una sola incógnita que representa al

problema para luego proceder a solucionar la ecuación.

Veremos problemas de aplicación de ecuaciones lineales con una incógnita, el problema

planteado es el siguiente: Hace 10 años la edad del padre era el triple de la edad de su hijo

y hoy es el doble. ¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo? Para resolver el

problema lo primero que hacemos es escoger una incógnita, en este caso la incógnita será

la edad actual del hijo y la representaremos como X, con esta incógnita vamos a escribir una

ecuación completa que nos permita resumir el enunciado del problema de forma

matemática. Nos dicen que la edad actual del padre es el doble que la edad del hijo, es decir

la edad del padre es 2X.

Vemos que nos dicen que la edad del hijo hace diez años se puede representar como la edad

actual menos 10 años, es decir como X-10 y en consecuencia la edad del padre hace diez

años seria 2X-10, además el problema nos dice que hace diez años la edad del padre era e

triple que la edad del hijo lo que matemáticamente se representa como: 2X-10=3(X-10),

despejando a X de la ecuación anterior por transposición de términos o por igualdad vemos

que X toma un valor de 20 años, entonces decimos que la edad actual del hijo (X) es 20 años

y la edad actual del padre (2X) es en consecuencia 40 años. En este video también se describe

la solución de un problema similar al anterior.

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO

CON DOS INCÓGNITAS

Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase

algebraicamente de la siguiente forma:

Denominamos x a la edad del padre

Denominamos y a la edad de la madre

Entonces, x + y = 120

Esta expresión se llama una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Y tendríamos muchos

valores de x e y que cumplen dicha relación, por ejemplo:

edad del padre 65 años y edad de la madre 55 años

o bien edad del padre 60 años y edad de la madre 60 años, etc.

Para obtener soluciones sólo hay que dar un valor a x o y, calculando el otro mediante una

ecuación de primer grado.

Por ejemplo, si x = 52 tendremos 52+Y=120> Y=120-52> Y =68

A cada par de valores x = 65, y = 55 ; x =60, y = 60; x = 52, y = 68, etc., se llama solución de la

ecuación.

Por tanto, ya podemos dar una definición:

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una relación entre dos números

desconocidos (llamados incógnitas) de la forma, los números a y b se llaman coeficientes y

cumplen : y y c se llama término independiente.

Solución de la ecuación es cualquier par de números que sustituidos en lugar de x e y verifican la

igualdad.

Sistemas De Ecuaciones Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo,

las ecuaciones:

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forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El conjunto de ecuaciones:

forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre

elevada alguna incógnita del sistema.

Por ejemplo,

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor

exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se

llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas.

El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque

todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).

Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con

las incógnitas multiplicadas entre sí(tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones

lineales.

Resolviendo sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:

Método de sustitución

Lo que debemos hacer:

1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

3.- Resolver la ecuación resultante.

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4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.

Ejemplo:

Resolver

Se despeja x en la segunda ecuación:

x = 8 – 2y

Se sustituyen en la primera ecuación:

3(8 – 2y) – 4y = – 6

Operando:

24 − 6y − 4y = − 6

24 – 10y = – 6

− 10y = − 6 − 24

− 10y = − 30

Se resuelve:

y = 3

Se sustituye este valor en la segunda:

x + 2(3) = 8

x + 6 = 8

x = 8 – 6 = 2

Solución del sistema:

x = 2, y = 3

Método de reducción Lo que debemos hacer:

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1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo

común de ambos.

2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.

3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.

4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del

sistema.

Ejemplo:

Resolver

Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para hacerlo, amplificamos la

primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al

multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí;

o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra (la y). Luego hacemos

lo mismo con la y.

Se elimina la x:

Se elimina la y:

Método de igualación Lo que debemos hacer:

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1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación resultante.

4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía

despejada la otra incógnita.

5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo:

Resolver

Despejamos x en la primera ecuación:

Despejamos x en la segunda ecuación:

x = –1 – 2y

Igualamos ambas expresiones:

:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:

x = 3 + 2(−1)

x = 3 − 2

x = 1

Solución del sistema:

x = 1, y = –1

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Otro ejemplo:

Resolver, por el método de igualación, el sistema

Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

Igualamos ambas expresiones:

Luego, resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la

x:

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Sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada

ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Resolución por el método de Gauss 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso

de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª

ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

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3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el

término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

−y + 4 · 1 = −2 y = 6

x + 6 − 1 = 1 x = −4

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ECUACIONES CUADRÁTICAS –

FACTORIZACIÓN

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10 Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

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( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

4 · -2 = -8

x + 4 = 0 x – 2 = 0

x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2 x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

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x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

x2 + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3 x = 2 x = -4 Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

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Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6 2

X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2

x = 4 x = -8 2 2

x = 2 x = - 4

26

Actividades de Autoaprendizaje

1.

27

2.

28

29

Conclusiones:

1. Los polinomios consisten en una combinación de números (llamados

coeficientes) y letras (representan las variables o indeterminadas), unidas por

medio de operaciones matemáticas, como suma, resta, multiplicación, y

división.

2. La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores

de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado

divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

3. Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un

planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera

potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación

que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

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Recomendaciones

1. Si quieres ser alguien en la vida, si quieres ser exitoso, famoso pues lo mejor es que

empieces a aplicar la matemática en tu vida ya que es clave para alcanzar el éxito y

empieza a enfrentarlas y acoplarlas a tu vida ya que esto te abrirá muchas y más de las

que te imaginas.

2. Si sientes que la matemática no es lo tuyo es mejor que empieces a cambiar de

opinión porque si sigues con ese pensamiento nunca lo vas a lograr así que es mejor

que empieces a estudiar detenidamente cada tema para que lo logres entender

porque Nada es Imposible.

3. Se debe dominar las operaciones básicas de las matemáticas antes de iniciar con el

álgebra, debes de asegurarte que sabes realizar a la perfección los problemas básicos

de suma, resta, multiplicación y división. Para asegurarte de que no te va costar

aprender algebra.

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E grafías

http://www.vitutor.net/1/0_13.html

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraProductosnotables.htm

http://schollaris.com.mx/010401ec1grado.php

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_sistemas.html

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/gauss.html