Apostila Jeovanine 050310 Cebrasa
6
1 EE 625 - Integrais e derivadas J.C. de Souza Jr. e V.C.Parro A. Formas Básicas 1. u dv = uv − v du 2. u n du = 1 n +1 u n+1 + C, n = −1 3. du u = ln |u| + C 4. e u du = e u + C 5. a u du = 1 ln a a u + C 6. sin u du = − cos u + C 7. cos u du = sin u + C 8. sec 2 u du = tan u + C 9. csc 2 u du = − cot u + C 10. tan u du = ln |sec u| + C 11. cot u du = ln |sin u| + C 12. sec u du = ln |sec u + tan u| + C 13. csc u du = ln |csc u − cot u| + C 14. du √ a 2 − u 2 = sin −1 u a + C 15. du a 2 + u 2 = 1 a tan −1 u a + C 16. du u √ u 2 − a 2 = 1 a sec −1 u a + C 17. du a 2 − u 2 = 1 2a ln u + a u − a + C 18. du u 2 − a 2 = 1 2a ln u − a u + a + C B. Trigonométricas 1. sin 2 u du = 1 2 u − 1 4 sin 2u + C 2. cos 2 u du = 1 2 u + 1 4 sin 2u + C 3. tan 2 u du = tan u − u + C 4. cot 2 u du = − cot u − u + C 5. sin n u du = − 1 n sin n−1 u cos u+ n − 1 n sin n−2 u du 6. cos n u du = 1 n cos n−1 u sin u + n − 1 n cos n−2 u du 7. cos au cos bu du = sin(a − b)u 2(a − b) + sin(a + b)u 2(a + b) + C 8. u n sin u du = −u n cos u + n u n−1 cos u du 9. u n cos u du = u n sin u − n u n−1 sin u du C. Exponencial 1. ue au du = 1 a 2 (au − 1)e au + C 2. u n e au du = 1 a u n e au − n a u n−1 e au du 3. e au sin bu du = e au a 2 + b 2 (a sin bu − b cos bu)+ C 4. e au cos bu du = e au a 2 + b 2 (a cos bu + b sin bu)+ C 5. ln u du = u ln u − u + C 6. u n ln u du = u n+1 (n + 1) 2 [(n + 1) ln u − 1] + C 7. 1 u ln u du = ln |ln u| + C D. Funções Algébricas 1. d dx (au ± bv)= a du dx ± b dv dx 2. d dx (u n )= nu n−1 du dx E. Trigonométricas 1. d dx (sin u) = cos u du dx 2. d dx (cos u)= − sin u du dx 3. d dx (tan u) = sec 2 u du dx 4. d dx (cot u)= − csc 2 u du dx 5. d dx (sec u) = sec u tan u du dx 6. d dx (csc u)= − csc u cot u du dx F. Exponencial 1. d dx (e u )= e u du dx 2. d dx (a u )= a u log e a du dx 3. d dx (ln u)= 1 u du dx 4. d dx (log a u)= log a e u du dx 5. d dx (u v )= vu v−1 du dx + u v ln u dv dx
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derivadas
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1EE 625 - Integrais e derivadasJ.C. de Souza Jr. e V.C.Parro
A. Formas Bsicas
1.
u dv = uv
v du
2.
undu =
1
n+ 1un+1 + C, n = 1
3.
du
u= ln |u|+ C
4.
eudu = eu + C
5.
audu =
1
ln aau + C
6.
sinu du = cosu+ C
7.
cosudu = sinu+ C
8.
sec2 udu = tanu+ C
9.
csc2 udu = cotu+ C
10.
tanu du = ln |secu|+ C
11.
cotudu = ln |sinu|+ C
12.
secu du = ln |secu+ tanu|+ C
13.
cscu du = ln |cscu cotu|+ C
14.
dua2 u2 = sin
1 u
a+ C
15.
du
a2 + u2=1
atan1
u
a+ C
16.
du
uu2 a2 =
1
asec1
u
a+ C
17.
du
a2 u2 =1
2aln
u+ au a+ C
18.
du
u2 a2 =1
2aln
u au+ a+ C
B. Trigonomtricas
1.
sin2 udu = 1
2u 1
4sin 2u+ C
2.
cos2 u du = 1
2u+ 1
4sin 2u+ C
3.
tan2 udu = tanu u+ C
4.
cot2 u du = cotu u+ C
5.
sinn u du = 1
nsinn1 u cosu+
n 1n
sinn2 udu
6.
cosn u du =
1
ncosn1 u sinu+
n 1n
cosn2 u du
7.
cos au cos bu du =
sin(a b)u2(a b) +
sin(a+ b)u
2(a+ b)+ C
8.
un sinu du = un cosu+ n
un1 cosu du
9.
un cosu du = un sinu n
un1 sinu du
C. Exponencial
1.
ueaudu =
1
a2(au 1)eau + C
2.
uneaudu =
1
auneau n
a
un1
eaudu
3.
eau sin bu du =
eau
a2 + b2(a sin bu b cos bu) + C
4.
eau cos bu du =
eau
a2 + b2(a cos bu+ b sin bu) + C
5.
lnu du = u lnu u+ C
6.
un lnu du =
un+1
(n+ 1)2[(n+ 1) lnu 1] + C
7.
1
u lnudu = ln |lnu|+ C
D. Funes Algbricas
1.d
dx(au bv) = adu
dx bdv
dx
2.d
dx(un) = nun1
du
dx
E. Trigonomtricas
1.d
dx(sinu) = cosu
du
dx
2.d
dx(cosu) = sinudu
dx
3.d
dx(tanu) = sec2 u
du
dx
4.d
dx(cotu) = csc2 udu
dx
5.d
dx(secu) = secu tanu
du
dx
6.d
dx(cscu) = cscu cotudu
dx
F. Exponencial
1.d
dx(eu) = eu
du
dx
2.d
dx(au) = au log
eadu
dx
3.d
dx(lnu) =
1
u
du
dx
4.d
dx(log
au) = loga e
u
du
dx
5.d
dx(uv) = vuv1
du
dx+ uv lnu
dv
dx
-
Tabe
la de
In
tegr
ais
1
=du
vuv
dvu
21(
)Cu
au
ln2a
ua
2udu
ua
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22
22
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++
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nn
++
=+
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uln
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42
32
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22
2
+
+
+
++
=+
3
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Cu
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23C
u
ua
aln
au
adu
u
ua
22
22
22
++
+
+=
+
4
+=
Ce
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uu
24(
)Cu
au
lnu
ua
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ua
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22
2
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++
++
+
=+
5
+=
Ca )
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au
u
25(
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au
lnu
a
du2
22
2+
++
=
+
6
+
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)u
cos(
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sen
26C
)u
au
ln(
2au
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ua
duu
22
22
22
22
++
+
+=
+
7
+=
C)
u(se
ndu)
uco
s(
27C
u
au
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a1u
au
du2
2
22
++
+
=
+
8
+=
C)
u(tg
du)u(
sec
2
28C
ua
ua
ua
u
du2
22
22
2+
+
=
+
9
+
=C
)u(g
cot
du)u(
sec
cos
2
29C
ua
a
u
)u
a(du
22
22/3
22
++
=
+
10
+
=C
)u
sec(
du)u(
tg)
use
c(
30C
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sen
arc
2au
a2u
duu
a2
22
22
++
=
11
+
=
C)
u(se
n1du
)u(
sen
)u(g
cot
31(
)C
)au (
sen
arc
8au
aa
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duu
au
42
22
22
22
++
=
12
+
=C
)u
sec(
lndu)
u(tg
32C
u
ua
aln
au
adu
u
ua
22
22
22
+
+
=
13
+
=C
)u(
sen
lndu)
u(gco
t
33C
)au (
sen
arc
ua
u1du
u
ua
22
2
22
+
=
14
+
+=
C)
u(tg
)u
sec(
lndu)
use
c(34
C)
au (se
nar
c2a
ua
2uu
a
duu
22
22
22
++
=
15
+
=
C)
u(se
n
)u
cos(
)u(
sen1
ln)
u(se
ndu
35C
u
au
aln
a1u
au
du2
2
22
++
=
16
+
=
C)
au (se
nar
cu
a
du2
2
36C
ua
ua
ua
u
du2
22
22
2+
=
17
+
=
+C
)au (
tgar
ca1
ua
du2
2
37C
)au (
sen
arc
8a38
ua
)u
a5u2(
du)
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42
22
32/3
22
++
=
+
18
+
=
C)
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c(ar
ca1
au
u
du2
2
38C
ua
a
u
)u
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22
22/3
22
+
=
19
+
+=
Ca
u
au
lna21
ua
du2
2
39C
au
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2aa
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dua
u2
22
22
22
+
+
=
20
+
+=
Ca
u
au
lna21
au
du2
2
40C
au
uln
8a8
au
)u
au2(
dua
uu
22
42
22
32
22
+
+
=
41
C)
uaco
s(ar
ca
au
duu
au
22
22
+
=
61
++
+=
+
bua
duu
)1n2(bna
2)1
n2(bbu
au2
dua
duu
1n
nn
42
Ca
uu
lnu
au
duu
au
22
22
2
22
+
++
=
62
+
+
=
+
+
bua
duu
)1n(
a2)3
n2(bu)1
n(a
bua
bua
duu
1n
1n
n
43
Ca
uu
lna
u
du2
22
2+
+
=
63
C)
u2(se
n41
u 21du)
u(se
n2
+
=
44
Ca
uu
ln2a
au
2ua
u
duu
22
22
22
22
+
++
=
64
+
+=
C)
u2(se
n41
u21
du)u(
cos2
45
Cu
a
au
au
u
du2
22
22
2+
=
65
+
=
Cu
)u(
tgdu)
u(tg
2
46
()
Ca
ua
u
au
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22
2/32
2+
=
66
+
=C
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tdu)
u(g
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2
47
()
+
+
+=
+C
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lna
bua
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2
67
[]
+
+
=C
3)
uco
s()
u(se
n2
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sen
23
48
()
()
[]
+
++
+
+=
+C
b2bu
aln
a2bu
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bua
bua
duu
3
22
2
68
[]
+
+=
C3
)u(
sen
)u(
cos
2udu
cos
23
49
()
Cbu
a
uln
a1bu
au
du
++
=
+
69
+
+=
C)
uco
s(ln
2)
u(tg
du)u(
tg2
3
50
()
+
++
=
+C
ubu
aln
abau1
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u
du2
2
70
+
=C
)u(
sen
ln2
)u(
gco
tdu)
u(g
cot
23
51
()
()
+
++
+=
+C
bua
lnb1
bua
ba
bua
udu
22
2
71
+
+
=
C2
)u(
tg)
u(se
nln
2)
u(tg)
use
c(du)
u(se
c3
52
()
()
Cub
ua
lna1
bua
a
1bu
au
du2
2+
+
+=
+
72
+
+
=C
2)
u(gco
t)
use
c(co
sln
)u(
sen
2)
u(gco
t)
u(se
ndu 3
53
()
+
+
+
+=
+C
bua
lna2
bua
abu
ab1
bua
duu
2
32
2
73
+
=du)
u(se
nn
1n
n
)u
cos(
)u(
sen
du)u(
sen
2n
1n
n
54
()(
)
++
=
+C
bua
a2bu3
b15
2du
bua
u2
32
74
+=
du)u(
cos
n
1n
n
)u(
sen
)u(
cos
du)u(
cos
2n
1n
n
55
+
+
=
+C
bua
)a2
bu(b32
buau
du2
75
=du)
u(tg
1n
)u(
tgdu)
u(tg
2n
1n
n
56
+
+
+=
+C
bua
)ab
u4
ub3
a8(b
152
bua
duu
22
23
2
76
=
du)u(
gco
t1
n
)u(
gco
tdu)
u(g
cot
2n
1n
n
57
0a
se,c
abu
a
abu
aln
a1du
bua
u
du>
++
+
+
=
+
77
+
=du)
u(se
c1
n
2n
1n
)u(
sec
)u(
tgdu)
u(se
c2
n2
nn
58
++
+=
+
bua
u
dua
bua
2du
u
bua
78
+
=
)u(
sen
du1
n
2n
)u(
sen
)1n(
)u(g
cot
)u(
sendu
2n
2n
n
59
++
+
=+
bua
u
du2b
u
bua
duu
bua
2
79
+
++
=C
)ba(2
u)ba(
sen
)ba(2
u)ba(
sen
du)bu(
sen
)au(
sen
60
[]
)3n2(b
dubu
au
na
)bu
a(u
2du
bua
u
1n
2/3n
n
+
+
+=
+
80
+
+++
=C
)ba(2
u)ba(
sen
)ba(2
u)ba(
sen
du)bu
cos(
)au
cos(
-
TABELA: Derivadas, Integrais
e Identidades Trigonometricas
Derivadas
Sejam u e v funcoes derivaveis de x e n con-stante.1. y = un y = nun1u.2. y = uv y = uv + vu.3. y = uv y = u
vvuv2
.4. y = au y = au(ln a) u, (a > 0, a 6= 1).5. y = eu y = euu.6. y = loga u y = u
u loga e.
7. y = lnu y = 1uu.8. y = uv y = v uv1 u + uv(lnu) v.9. y = sen u y = u cos u.10. y = cos u y = usen u.11. y = tg u y = u sec2 u.12. y = cotg u y = ucosec2u.13. y = sec u y = u sec u tg u.14. y = cosec u y = ucosec u cotg u.15. y = arc sen u y = u
1u2 .
16. y = arc cos u y = u1u2 .
17. y = arc tg u y = u1+u2
.18. y = arc cot g u u
1+u2.
19. y = arc sec u, |u| > 1 y = u|u|u21 , |u| > 1.
20. y = arc cosec u, |u| > 1 y = u|u|u21 , |u| > 1.
Identidades Trigonometricas
1. sen2x+ cos2 x = 1.2. 1 + tg2x = sec2 x.3. 1 + cotg2x = cosec2x.4. sen2x = 1cos 2x2 .5. cos2 x = 1+cos 2x2 .6. sen 2x = 2 sen x cos x.7. 2 sen x cos y = sen (x y) + sen (x+ y).8. 2 sen x sen y = cos (x y) cos (x+ y).9. 2 cos x cos y = cos (x y) + cos (x+ y).10. 1 sen x = 1 cos (pi2 x).
Integrais
1.du = u+ c.
2.undu = u
n+1
n+1 + c, n 6= 1.3.
duu = ln |u|+ c.
4.audu = a
u
ln a + c, a > 0, a 6= 1.5.eudu = eu + c.
6.sen u du = cos u+ c.
7.cos u du = sen u+ c.
8.tg u du = ln |sec u|+ c.
9.cotg u du = ln |sen u|+ c.
10.sec u du = ln |sec u+ tg u|+ c.
11.cosec u du = ln |cosec u cotg u|+ c.
12.sec u tg u du = sec u+ c.
13.cosec u cotg u du = cosec u+ c.
14.sec2 u du = tg u+ c.
15.cosec2u du = cotg u+ c.
16.
duu2+a2
= 1aarc tgua + c.
17.
duu2a2 =
12a ln
uau+a + c, u2 > a2.18.
duu2+a2
= lnu+u2 + a2+ c.
19.
duu2a2 = ln
u+u2 a2+ c.20.
dua2u2 = arc sen
ua + c, u
2 < a2.
21.
duuu2a2 =
1aarc sec
ua
+ c.
Formulas de Recorrencia
1.sennau du = senn1au cos auan
+(n1n
) senn2au du.
2.cosn au du = sen au cos
n1 auan+(n1n
) cosn2 au du.
3.tgnau du = tg
n1aua(n1)
tgn2au du.
4.cotgnau du = cotgn1aua(n1)
cotgn2au du.
5.secn au du = sec
n2 au tg aua(n1)+(n2n1
) secn2 au du.
6.cosecnau du = cosecn2au cotg aua(n1)
+(n2n1
) cosecn2au du.
-
Tpicos em clculo
Teorema fundamental
Limites de funes
Continuidade
Clculo vetorial
Clculo matricial
Teorema do valor mdio
Diferenciao
Regra do produto
Regra do quociente
Regra da cadeia
Mudana de variveis
Diferenciao implcita
Teorema de Taylor
Taxas relacionadas
Tabela de derivadas
Integrao
Tbua de integraisIntegral imprpria
Integrao por:
partes, substituio,
substituio
trigonomtrica,
fraes parciais
Tbua de integraisOrigem: Wikipdia, a enciclopdia livre.
Integrao uma das duas operaes bsicas em clculo. Como, ao contrrio da
diferenciao, uma operao no-trivial, existem tabelas de integrais conhecidas que
frequentemente se mostram teis. Esta pgina relaciona algumas das antiderivadas mais
comuns.
Usa-se C como constante arbitrria de integrao que s pode ser determinada se tivermos
conhecimento do valor da integral em algum ponto especfico. Cada funo possui infinitas
antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor especfico de C.
O uso da plica ' denota a derivada da funo em ordem a x.
Estas frmulas so apenas outra forma de apresentao das asseres da tabela de
derivadas e somente podem ser utilizadas para as integrais indefinidas.
ndice
1 Propriedades da Integral Indefinida
2 Integrais Indefinidas de Funes Simples
2.1 Funes Racionais
2.2 Logaritmos
2.3 Funes Exponenciais
2.4 Funes Irracionais
2.5 Funes Trigonomtricas
2.6 Funes Hiperblicas
3 Integrais Imprprias
3.1 Funes Especiais
Propriedades da Integral Indefinida
ou, de outra forma,
Integrais Indefinidas de Funes Simples
Funes Racionais
-
Logaritmos
Caso particular:
Funes Exponenciais
Caso particular:
Funes Irracionais
Caso particular:
Caso particular:
Funes Trigonomtricas
-
Funes Hiperblicas
Integrais Imprprias
Existem funes cujas antiderivadas no podem ser expressas de forma fechada. No entanto, os valores das integrais
definidas dessas funes em intervalos comuns podem ser calculados. Algumas integrais definidas de uso frequente esto
relacionadas abaixo.
Funes Especiais
Algumas funes so determinadas atravs de integrais definidas:
A funo gama
Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/T%C3%A1bua_de_integrais"
Categorias: Listas de matemtica | Clculo integral
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