aporte_ejercicios_3-4-5 (1)
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EJERCICIO 3. Calculo de matriz inversa con método Gauss – Jordan C = 1. Se agrega una matriz identidad junto a la matriz dada: -1 5 10 1 0 0 7 -3 -1 0 1 0 0 4 -3 0 0 1 2. Se procede a realizar operaciones en cada fila, con el fin de que la matriz identidad quede en la posición y de izquierda, la posición de la derecha será la inversa de la matriz C. -1f1 f1 1 -5 -10 -1 0 0 7 -3 -1 0 1 0 0 4 -3 0 0 1 -7f1 + f2 f2 1 -5 -10 -1 0 0 0 32 69 7 1 0 0 4 -3 0 0 1 1/32f2 f21 -5 -10 -1 0 0 0 1 69/32 7/32 1/32 0 0 4 -3 0 0 1 5f2+f1 f11 0 25/32 3/32 5/32 0
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EJERCICIO 3. Calculo de matriz inversa con método Gauss – Jordan
C =
1. Se agrega una matriz identidad junto a la matriz dada:
-1 5 10 1 0 0
7 -3 -1 0 1 0
0 4 -3 0 0 1
2. Se procede a realizar operaciones en cada fila, con el fin de que la matriz identidad quede en la posición y de izquierda, la posición de la derecha será la inversa de la matriz C.
-1f1 f1 1 -5 -10 -1 0 0
7 -3 -1 0 1 0
0 4 -3 0 0 1
-7f1 + f2 f2 1 -5 -10 -1 0 0
0 32 69 7 1 0
0 4 -3 0 0 1
1/32f2 f2 1 -5 -10 -1 0 0
0 1 69/32 7/32 1/32 0
0 4 -3 0 0 1
5f2+f1 f1 1 0 25/32 3/32 5/32 0
0 1 69/32 7/32 1/32 0
0 4 -3 0 0 1
-4f2+f3 f3 1 0 25/32 3/32 5/32 0
0 1 69/32 7/32 1/32 0
0 0 -93/8 -7/8 -1/8 1
-8/93f3 f3 1 0 25/32 3/32 5/32 0
0 1 69/32 7/32 1/32 0
0 0 1 7/93 1/93 -8/93
-69/32f3+f2 f2 1 0 25/32 3/32 5/32 0
0 1 0 7/124 1/124 23/124
0 0 1 7/93 1/93 -8/93
-25/32f3+f1 f1 1 0 0 13/372 55/372 25/372
0 1 0 7/124 1/124 23/124
0 0 1 7/93 1/93 -8/93
13/372 55/372 25/372
C-1 = 7/124 1/124 23/124
7/93 1/93 -8/93
EJERCICIO 4. DETERMINANTE DE MATRIZ 5X5
1. tomar la fila con mayor número de valores nulos (0)
A =
0 0 0 0 -1 0 0 -1 -2 1 0 2 1 5 7 4 1 -2 6 -2 1 0 2 3 4
=
2. sacar los determinantes de cada matriz 4x4 usando la ecuacióndet(A)=a11(Mij)-a12(Mij)….
¿0 ∙|0 −1 −2 1210
1 5 7−2 6 −22 3 4
|−0 ∙|0 −1 −2 1041
1 5 7−2 6 −22 3 4
|+0 ∙|0 0 −2 1041
2 5 71 6 −20 3 4
|−0 ∙|0 0 −1 1041
2 1 71 −2 −20 2 4
|+(−1 )|0 0 −1 −2041
2 1 51 −2 60 2 3
|=¿
3. dado que las primeras los determinantes de las primeras 4 matrices da cero, procedemos a realizar solo la última matriz. Para esto realizamos el mismo proceso anterior para sacar el determinante de una matriz 3x3, usando la misma ecuación anterior.
+(−1 )|0 0 −1 −2041
2 1 51 −2 60 2 3
|=¿
¿0 ∙|2 1 510
−2 62 3|−0 ∙|0 1 5
41
−2 62 3|+ (−1 ) ∙|0 2 5
41
1 60 3|− (−2 ) ∙|0 2 1
41
1 −20 2 |=¿
4. dado que las dos primeras da como resultado cero se procede a hallar la determinante de las 2 últimas.
Determinante de
+(−1 ) ∙|0 2 541
1 60 3|
¿0 ∙|1 60 3|−2∙|4 6
1 3|+5 ∙|4 11 0|=−17
Determinante de
−(−2 )|0 2 141
1 −20 2 |=¿
0 ∙|1 −20 2 |−2 ∙|4 −2
0 2 |+1∙|4 11 0|=¿
5. teniendo las determinantes se procede a realizar la suma de las determinantes de cada matriz.
0 – 0 + (-1. -17) – (-2. -21) = 0 – 0 + 17 – 42 = - 25
6. como ya se tiene el valor del determinante de la matriz de 4x4 se procede a calcular el determinante en la primera descomposición de matriz que se realizo en el punto 2.
¿0 ∙|0 −1 −2 1210
1 5 7−2 6 −22 3 4
|−0 ∙|0 −1 −2 1041
1 5 7−2 6 −22 3 4
|+0 ∙|0 0 −2 1041
2 5 71 6 −20 3 4
|−0 ∙|0 0 −1 1041
2 1 71 −2 −20 2 4
|+(−1 )|0 0 −1 −2041
2 1 51 −2 60 2 3
|=¿
Calcula los determinantes de cada matriz y los suma:
= 0 – 0 + 0 – 0 + (-1. -25) = 25
det(A) = 25
EJERCICIO 5.
C= -5 -2 -1 3 0 5 -8 1 -5
Calcula el determinante de la matriz C
detC = 72
como el determinante de la matriz C es distinto de cero, si se puede calcular C-1.
Calcular el cofactor con la siguiente ecuación:
Coij = (-1)i+j |Aij|
Entonces:
A1,1 = 0 5 1 -5
= -5
Co1,1 = (-1)1+1M1,1 = -5
A1,2 = 3 5 -8 -5
= 25
Co1,2 = (-1)1+2M1,2 = -25
A1,3 = 3 0 -8 1
= 3
Co1,3 = (-1)1+3M1,3 = 3
A2,1 = -2 -1 1 -5
= 11
Co2,1 = (-1)2+1M2,1 = -11
A2,2 = -5 -1 -8 -5
= 17
Co2,2 = (-1)2+2M2,2 = 17
A2,3 = -5 -2 -8 1
= -21
Co2,3 = (-1)2+3M2,3 = 21
A3,1 = -2 -1 0 5
= -10
Co3,1 = (-1)3+1M3,1 = -10
A3,2 = -5 -1 3 5
= -22
Co3,2 = (-1)3+2M3,2 = 22
A3,3 = -5 -2 3 0
= 6
Co3,3 = (-1)3+3M3,3 = 6
Con los resultados de los cofactores se construye la matriz de cofactores
Co = -5 -25 3 -11 17 21 -10 22 6
Después de obtener la matriz de cofactores se procede a obtener su transpuesta, esta matriz transpuesta es también conocida como adj(A). Donde en el ejercicio A=C
CoT =
-5 -11 -10 -25 17 22 3 21 6
Por ultimo se procede a aplicar los valores en la ecuación:
A-1 = 1/|A| .adj(A)
C-1 = 1/|72| .
C-1 =
-5 -11 -10 -25 17 22 3 21 6
-5/72 -11/72 -5/36 -25/72 17/72 11/36 1/24 7/24 1/12
