TRABAJO COLABORATIVO ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y DISTANCIA

CEAD DUITAMA

2015

Ejercicios

1

1. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

A .Y ´ ´+2Y '−8=0

m2−2m−8=0

(m−4 ) (m+2 )=0

m1=4m2=−2

y=c1 e4 x+c2 e

−2x

Es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

e . y ´ ´−4 y ´+4 y=0

m2−4m+4=0

(m−2)2=0

m1=m2=2

y=C1 e2 X+C2 xe

2X

y ´=2C1e2x+C2[(1 ) +e2x ]

y ´=2C1e2x+C2e

2x+2C2 xe2x

1=C1 e2+C2e

2

1

e2=C1+C2

1

e2−C2=C1

y ´=2C1e2x+C2e

2x+2C2 xe2 x

1=2C1e2+C2 e

2+2C2e2

2

1=2( 1e2−C2)e2+3C2e2

1−2=C2 e2

−1e2

¿C2

1

e2+ 1e2

=C1

2

e2=C1

y=2( 2e2 )e2x− 1

e2xe

2x

y= 4e2x

e2− x e2 x

e2

Es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de coeficientes indeterminados:

4. y ' '+3 y '+2 y=3 x+1

¿m2+3m+2=0

3

¿ (m+2 ) (m+1 )=0

¿m1=−2m2=−1

yh=c1 e−2 x+c2 e

−x

m2 (m+1 ) (m+2 )=0

¿m1=0 ,m2=0 ,m3=0 ,m4=−1

y=c1 e0x+c2 e

0 x+c3 e−2x+c3 e

−x

y=c1+c2+c3e−2x+c1 e

−x

yp=c1+c2

Y P=A

Y ´P=0

Y ´P=0

0+3 (0 )+2 ( A )=3 X+1

2 A=1

A=12

Y=12+Be−2 x+ce− x

FASE COLABORATIVA

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplica una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de movimiento de la

4

masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio?

x=( f )=AcosWot+Bsenwd

mg=4=14→k=16 lb / pie

m= 432

=18slug

Wo=√ km

=√ 1618=8√2x=(t )=A cos (8√2 t )+Bsen (8√2t)

x=(o )=3 pus=14pe x ´=( t )=√2 pe /seg

A=x (o )=14y √2=x ´ (o )=8√2B→B=1

8

x (t )= 14cos (√2t )+¿ 1

8sen (8√2t )¿

c=√ 142

+√ 182

=√ 1664=√ 178

tmgθ=

1418

=2 θ=tan−1

x (t )=√178cos (8√2t )−(tan ¿¿−1)=√ 178 (sen (8√2 t )+ tan−12 )¿

θ=tan−1=1,107

T= 2π8√2

=π √28

F=1t= 8

π √2

5

Situación y solución planteada:

Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguación está regido por la ecuación diferencial:

d2 xdt2

+b dxdt

+25x=0

En donde x (0 )=1 x ' (0 )=0 . Encuentre la ecuación del movimiento para los siguientes casos: Caso 1: Movimiento sub amortiguado: b=6Caso 2: Movimiento críticamente amortiguado: b=10

Caso 3: Movimiento sobre amortiguado: b=14

6

7

Solución:

Caso 1: b=6 La ecuación característica es:

λ2+bλ+25=0 , cuyas raíces son

−6±√62−1002

=−3±4 i

La ecuación de movimiento tiene la forma:

x ( t )=C1e−4 t sen3 t+C2e

−4 t cos3 t

x ´ (t )=−4e−3 t (C1cos 3 t+C2 sen3 t )−4 e−3 t(C1 sen3 t+C2 cos3 t)

Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0 , se tiene el sistema: 1=C1 0=−3C1+4C2

Por tanto: C1=1 y C2=

34

Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:

x ( t )=e−4 t ( sen3 t+ 34cos3 t )

Caso 2: b=10La ecuación característica es:

λ2+bλ+25=0 , cuyas raíces son −10±√102−100

2=5

La ecuación de movimiento tiene la forma:

x ´ (t )=C1 e5 t+C2 e

5 t=(C1+C2t)e5 t

x ´ (t )=5¿

Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0 , se tiene el sistema: 1=C1 0=C2−5C1

Por tanto: C1=1 y C2=5

Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma: x ( t )=e5 t(1+5 t )

8

Caso 3: b=14 La ecuación característica es:

a. λ2+bλ+25=0 , cuyas raíces son −14±√142−100

2=−7±√24

La ecuación de movimiento tiene la forma:x ( t )=C1e

(−7+√24 ) t+C2e(−7−√24 )t

x ' ( t )=C1(−7+√24 )e(−7+√24 )t+C2(−7−√24 )e(−7−√24 ) t

Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0 , se tiene el sistema: 1=C1+C2 0=C1 (−7+√24 )+C2 (−7−√24 )

Por tanto: C1=

24+7√2448 y

C2=24−7 √2448

Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:

x ( t )=(24+7 √2448 )e(−7−√24 ) t+(24−7√2448 )e(−7+√24 ) t