“APORTACIONES DEL ANTIGUO EGIPTO A LA MATEMÁTICA” · El nacimiento de las civilizaciones que...

Nº 15 – FEBRERO DE 2009

C/ Recogidas Nº 45 - 6ºA 18005 Granada [email protected]

ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007

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“APORTACIONES DEL ANTIGUO EGIPTO A LA MATEMÁTICA”

AUTORÍA ANTONIO GARCÍA JIMÉNEZ

TEMÁTICA MATEMÁTICAS, TEMAS TRANSVERSALES, RESPETO A OTRAS CULTURAS, FOMENTO DE

LA LECTURA, ETAPA

ESO, BACHILLERATO

Resumen Cuando hablamos de matemática egipcia, y más extensamente de ciencia egipcia, es ante todo

una matemática empírica, o al menos esa es la conclusión a la que podemos llegar después de analizar las fuentes disponibles. Si hay algo que caracteriza la ciencia del Antiguo Egipto es que se enseñaba a los escribas de la misma forma que durante siglos se había aprendido. No existen demostraciones de los métodos que se emplean, ni siquiera conocemos el origen de las fórmulas. Lo más que podemos ver son comprobaciones, pero nunca una demostración.

El presente artículo, al igual que la “ciencia egipcia” tiene abundantes aplicaciones didácticas para que el alumno compruebe por sí mismo aspectos de nuestra vida cotidiana (y a veces que parecen tan extraños) como son los de usar figuras de barro o utilizar un artilugio tan sencillo como un ábaco. Aprendiendo a “fabricar” nuestro propio ábaco los alumnos aprenderán una manera de calcular (sumar, restar, multiplicar y dividir) sencilla cuando no disponemos de calculadora con lo que se podrá entender mejor la ciencia egipcia.

Palabras clave Jeroglíficos Aritmética Geometría Papiro de Rhind Ábaco Fracciones unitarias Papiro de Moscú Teodolito



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1. INTRODUCCIÓN. ACTIVIDADES INICIALES PARA APROXIMARNOS AL ANTIGUO EGIPTO.

Es costumbre dividir el pasado de la humanidad en eras y periodos en relación con los distintos niveles culturales y sus características; estas divisiones resultan útiles, aunque debemos tener siempre presente que se trata sólo de unos marcos superpuestos arbitrariamente para nuestro interés. Así la Edad de Piedra, ese periodo que precedió al uso de los metales, tuvo una duración más larga en Europa que en algunas regiones de Asia y África.

Aplicación: Como aproximación a los antiguos egipcios, se va a pedir al grupo de alumnos que busquen en que época se sitúa dicha civilización. Pretendemos que los alumnos se interesen por otras culturas distintas a las nuestra y sepan valorar sus logros.

El nacimiento de las civilizaciones que usaron los primeros metales tuvo lugar en los grandes valles fluviales, como son los de Egipto, Mesopotamia, India y China. Los registros cronológicos correspondientes a las civilizaciones de los valles de los ríos Indo y Yangtze son muy inseguros, pero se dispones de información muy fiable de los pueblos que vivieron en el Nilo y en los ríos Eufrates y Tigres. Antes de que finalizara el cuarto milenio a.C. ya se utilizaba una forma primitiva de escritura tanto en Mesopotamia como en el valle del Nilo, y es allí donde los primitivos textos pictográficos evolucionaron para dar lugar a una ordenación de símbolos más sencillos.

Aplicación: Para ver el tipo de escritura que usaban los antiguos egipcios se entregará a los alumnos un texto donde aparezcan los símbolos del antiguo Egipto para que se familiaricen con dicho tipo de escritura. Y sepan la dificultad que se ha tenido siempre en la traducción de textos, pero que con esfuerzo y empeño se puede conseguir todo lo que se propongan.

En Mesopotamia, donde la arcilla es cuantiosa, se escribía con una varilla en forma de prisma triangular sobre las tablillas de arcilla blanda, imprimiendo en ellas marcas en forma de cuña; estas tablillas se cocían en hornos o se secaban al sol. Este tipo de escritura se conoce como escritura cuneiforme, debido a la forma de cada una de las señales individuales. El significado que se quería transmitir por medio de la escritura cuneiforme venía determinado por el diseño que formaba la disposición de las marcas en forma de cuña. Los documentos en cuneiforme presentaban un alto grado de permanencia y a ellos se debe el que se hayan conservado muchos miles de estas tablillas, y muchas de ellas datan de hace unos 4.000 años. Naturalmente solo una pequeña parte de ellas se refiere a cuestiones que tenían que ver con la matemática.

Aplicación: Se va a pedir al alumno que identifiquen en su comarca lugares donde hay utensilios de arcilla y que pregunten también a los mayores del lugar el modo de fabricación de dichos utensilios, con ello conseguiremos que el alumno se familiarice con las técnicas de fabricación que se utilizaban en otros tiempos no tan lejanos y que todo lo aprendido por el hombre se debe a la necesidad ir mejorando las cosas. Si es posible los alumnos traerán algún utensilio de arcilla (botijo, ceniceros, etc.) para que el resto de compañeros los identifique.



ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 2. LOS JEROGLÍFICOS: “LOS NÚMEROS EGIPCIOS TIENEN CORRESPONDENCIA CON LOS NUESTROS”

Los documentos escritos egipcios tuvieron más suerte que los babilonios, así por ejemplo la Piedra de Rosetta (trilingüe y que jugó un papel análogo al que desempeñaría mas tarde el Behistum Cliff) había sido descubierta en 1799, esta lápida relativamente grande, fue encontrada en Rosetta, antiguo puerto próximo a Alejandría, y contiene un mismo texto en tres escrituras diferentes: griego, demótico y jeroglífico. Científicos franceses e ingleses hicieron rápidos progresos en el desciframiento de la escritura jeroglífica egipcia.

Por fin se pudo averiguar que significaban las inscripciones que aparecen talladas en todas las tumbas y monumentos egipcios, aunque tales documentos ceremoniales no sean la mejor fuente de información en lo que se refiere a los conocimientos matemáticos.

El sistema de numeración jeroglífico egipcio data de hace unos 5000 años y está estructurado en una escala numérica de base 10. Utilizando un sencillo esquema iterativo y con ayuda de un conjunto de símbolos distintos para cada una de las primeras media docena de potencias de diez, pueden tallarse en piedra, madera y otros materiales los nombres correspondientes a números mayores que un millón. Por ejemplo un palote vertical aislado representa una unidad, un arco se usa para el 10, etc.

Aplicación: A partir del siguiente cuadro donde aparecen los símbolos más utilizados,

Escribir las siguientes cantidades en el sistema de numeración egipcio (jeroglífico): 14, 19, 25, 37, 1428 y 2845.

Se va a intentar que los alumnos también identifiquen otras civilizaciones antiguas en los que representaban los números de una manera distinta a la actual (por ejemplo los romanos o mayas) y que relacionen los sistemas de numeración egipcio, romano y el actual. ¿Actualmente se utilizan alguno de estos símbolos? Los alumnos verán como a veces en su vida cotidiana se ven los símbolos de la antigüedad y tienen utilidad por ejemplo al numerar sus películas de ciencia ficción favoritas.

A veces los dígitos aparecen ordenados de menor a mayor de izquierda a derecha, y otras veces en columnas verticales; por otra parte los símbolos mismos aparecen ocasionalmente con su orientación invertida, de manera que el lazo que representa al 100 puede presentar su convexidad hacia la izquierda o hacia la derecha.

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ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Las inscripciones egipcias nos revelan una sorprendente familiaridad con números grandes

desde una fecha muy antigua. Estos números pueden muy bien estar exagerados por razones de prestigio político, pero por otras consideraciones resulta que los egipcios solían ser exactos al contar y medir. Las pirámides muestran un grado tal alto de precisión, tanto en su construcción misma como en su orientación, que entorno a ellas se han desarrollado leyendas infundadas. Una de estas leyendas es que la razón del perímetro de la base de la Gran Pirámide (Cepos) a la altura se hizo conscientemente igual a 2π resulta claramente inconsistente con lo que conocemos de la geometría de los egipcios. Sin embargo tanto las pirámides como los pasillos en su interior están orientados con tal precisión que incluso se han hecho intentos de calcular su fecha de construcción a partir de la velocidad conocida con que cambia la posición de la estrella polar.

Aplicación: El grupo de alumnos debe traer de casa una foto que aparezca en algún medio de comunicación (prensa, Internet, etc.) a una imagen de alguna pirámide egipcia o su interior con su correspondiente escritura jeroglífica. Se tiene que identificar un número matemático en dicha forma de escritura y decir como se representaría en nuestro sistema de numeración. De esta manera pretendemos fomentar el uso de los medios de comunicación como la forma más eficaz de obtener información y verán que hay muchos sitios (sobre todo web) que se interesan por las culturas antiguas.

3 .EL PAPIRO DE RHIND. LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS DEL ANTIGUO EGIPTO

La matemática consiste en muchas otras cosas que el contar y medir, que son justamente los aspectos que se destacan en las inscripciones jeroglíficas. Afortunadamente disponemos de otras fuentes de información; hay un cierto número de papiros egipcios que han conseguido sobrevivir al tiempo durante más de tres milenios y medio. El más extenso de los que contienen información matemática es un rollo de papiro de unos 30 cm. de alto y casi 6 m de largo, que esta depositado actualmente en el British Museum. Este papiro fue comprado en 1858 en una ciudad comercial del Nilo por un anticuario escocés, Henry Rhind, de donde deriva el nombre de Papiro de Rhind con que se le conoce habitualmente o, no tan a menudo, Papiro de Ahmes, en honor del escriba que lo copió hacia el 1650 a. C.

El papiro Rhind no es un tratado sino una colección de ejercicios matemáticos y ejemplos prácticos. Está escrito en hiératico (forma cursiva del jeroglífico) y contiene unos 85 problemas. Muestra el uso de fracciones, la resolución de ecuaciones simples y de progresiones, la medición de áreas de triángulos, trapezoides y rectángulos, el cálculo de volúmenes de cilindros y prismas, y por supuesto la superficie del círculo.

Aplicación: Llegado a este punto se va a proponer un problema de contenido intercultural, en el que los alumnos deben identificar cuales son los datos de los problemas del papiro de Rhind propuesto y resolverlos del modo actual.

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ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Hay 7 casas, en cada casa 7 gatos, cada gato come 7 ratones, cada ratón se habría comido 7

espigas, cada espiga habría producido 7 medidas de grano. ¿Cuántas medidas de grano se han salvado?

Ahmés no contesta a esta pregunta sino que calcula la suma de todos los elementos de la progresión: casas, gatos, ratones, espigas y medidas de grano. ¿Cuál es la manera de resolverlo actualmente?

Tanto los numerales cono el resto de material que aparece en el Papiro de Rhind no están escrito en forma jeroglífica, sino en una escritura más cursiva, que se adapta mejor al uso del pincel y de la tinta sobre las hojas de papiro previamente tratadas, escritura que se conoce como hierática o sagrada. El sistema de numeración es decimal pero el tedioso principio repetitivo de la numeración jeroglífica se reemplaza por la introducción de cifras o signos especiales para representar los dígitos y los múltiplos de las potencias de diez. El cuatro, por ejemplo, no se suele ver ya representado por cuatro barras o palotes verticales, sino por una barra horizontal, el siete no se escribe como siete palotes, sino como una cifra cuyo símbolo recuerda a la forma de una hoz.

Este principio de notación cifrada, introducido por los egipcios hace unos 4000 años y utilizado en el Papiro de Rhind, representó una contribución importante a los sistemas de numeración, y es uno de los factores que hace que el sistema que utilizamos hoy en día sea un instrumento tan eficaz como es.

Aplicación: Se va a pedir al grupo que investigue de donde viene nuestro sistema de numeración actual. ¿En que países tienen un sistema de posición parecido al nuestro? Contestadas estas cuestiones se va a relacionar nuestra cultura con la cultura árabe (precisamente a ellos le debemos nuestro sistema de numeración) y vean la influencia tan importante que fue esta cultura hacia nuestro pueblo. Con esto intentamos despertar el interés por otras culturas diferentes a las nuestras y un respeto hacia otras culturas.

4 .LA ARITMÉTICA EGIPCIA: “VAMOS A CONSTRUIR NUESTRO PROPIO ÁBACO”

Las matemáticas egipcias se basaban en un sistema decimal, pero no posicional. Las operaciones básicas de suma y resta se limitaban a una combinación o cancelación de símbolos. La adición era la base del conocimiento matemático, puesto que las operaciones de multiplicación y división se basaban en adiciones.

Para sumar simplemente se añadían los símbolos correspondientes. Como los símbolos se podían repetir desde 1 a 9 veces, si se excedía de 9 se eliminaban todos y se añadía el siguiente. El funcionamiento es similar al ábaco. Lo mismo era para la resta.

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ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Las operaciones de multiplicación y división se basaban en el mismo proceso aditivo. Para

multiplicar se empleaba un sistema de duplicación-adición, que requiere un poco de práctica. Se basa en la propiedad de que cualquier número natural puede expresarse como una suma de potencias de 2, que quizás los egipcios ya hubiesen descubierto por métodos empíricos.

x = El método empleado para la división es realmente curioso. Se basa en la multiplicación y siempre

se obtenían cantidades enteras o fracciones exactas. No podemos asegurar que desconociesen totalmente el resto, pero no tenemos pruebas de divisiones en las que aparezca.

Si se quiere dividir n/m entonces la idea consiste en obtener el número de m y de partes de m que suman n. Como ya hemos comentado el sistema se basa en la multiplicación, pero ahora es el divisor el número que se duplica. Se genera una tabla de 2 columnas que tiene en la primera fila el número 1 y el denominador (m). La idea se basa en obtener en la columna de la derecha el número n con la construcción de sucesivas filas obtenidas por duplicación o división. El dividendo se obtiene, entonces, como la suma de los elementos duplicados de la columna del divisor, y el cociente es la suma de los números elegidos en la columna base de la duplicación.

Aplicación: Ya que el ábaco sirve para realizar operaciones aritméticas (sumar, restar, multiplicar y dividir) muy parecidas a como se utilizaban en el antiguo Egipto, se pide que investiguen su funcionamiento. A continuación con alambres (que corresponde a las cifras) y bolas de plastilina (o cualquier otro tipo) vamos a construir nuestro propio ábaco y aplicar las operaciones aritméticas. Los alumnos verán que el ábaco es la forma más cómoda de trabajar con las operaciones matemáticas si no tuviésemos la calculadora.

4.1. Las fracciones unitarias: ¿Conocían los egipcios las progresiones?

Los hombres de la Edad de Piedra no tenían necesidad de unas fracciones, pero al alcanzarse un nivel cultural más avanzado durante la Edad del Bronce, parece haber aparecido por primera vez la necesidad de un concepto más o menos impreciso de fracción y de un sistema de notación capaz de representar fracciones. En las inscripciones jeroglíficas egipcias nos encontramos con una notación especial para las fracciones unitarias, es decir, para las fracciones que tiene como numerador la unidad. Lo que nosotros llamamos el inverso de un número natural se representaba colocando simplemente sobre la expresión que designaba a este número un signo oval alargado.

El sistema de notación hierático que aparece en los papiros, el óvalo alargado se reemplaza por un punto que viene colocado encima de la cifra que representa al número en cuestión (o sobre la cifra más a la derecha en el caso del inverso de un número con varios dígitos).

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ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Estas fracciones unitarias se utilizaban con gran virtuosismo en la época de Ahmes, pero en

cambio las fracciones en general parecían haber sido un verdadero enigma para los egipcios; con la fracción 2/3 parecían sentirse cómodos, ya que tenían un símbolo hierático especial para representarla y de una manera un poco mas general, usaban a veces signos especiales para las fracciones del tipo n/(n+1), complementarias a la unidad de las fracciones unitarias.

A la fracción 2/3 le asignaban los egipcios un papel tan especial en sus cálculos aritméticos que para calcular un tercio de un numero hallaban primero los dos tercios y luego calculaban la mitad del resultado. Sin embargo parece como si aparte de la fracción 2/3, los egipcios consideraran las fracciones generales propias de la forma m/n, con m menor que n, no como una “cosa” elemental y simple, sino como parte de un proceso incompleto.

Aplicación: Los alumnos han visto que los egipcios expresaban un número como suma de

fracciones (Por ejemplo el 2847

+=112 ) esto se asemeja a lo que hoy día conocemos como las

progresiones. Vamos a estudiar con los alumnos una seria de progresiones expresadas en forma de fracción. De los ejemplos propuestos tienen que ver que hay dos tipos de sucesiones: las aritméticas y las geométricas. Se les va a pedir que sepan construir ellos mismos sucesiones aritméticas y geométricas y que hallen su término general, también aprender algunas aplicaciones importantes de ellas como en ingeniería o en genética para saber la evolución de la reproducción en una pareja de conejos.

5. LOS PROBLEMAS ALGEBRAICOS Y GEOMETRICOS. “UTILICEMOS UN TEODOLITO”

Hay otro tipo de problemas en el antiguo Egipto que podemos clasificar como de algebraicos. Estos no se refieren a objetos concretos y específicos como pan o cerveza, ni tampoco piden el resultado de operaciones con numero conocidos, sino que piden lo equivalente a resolver ecuaciones lineales de la forma x+ax=b ó x+ax+bx=c, donde a, b y c son numero conocidos y “x” es desconocido, a este número desconocido o incógnita se la llama “aha” o montón.

Aplicación Didáctica: El problema 24 del Papiro de Ahmes, pide calcular el valor del montón si el montón y un séptimo del montón es igual a 19; la solución que se da no es la que se podría ver en los libros modernos, sino que es característica de un procedimiento que conocemos hoy como el método de la da la posición o “regula fasi”. Aunque Ahmes usaba generalmente el método de la falsa posición en los problemas análogos al que acabamos de ver, hay un problema, el numero 30, en el que la ecuación se resuelve factorizado el primer miembro y dividiendo después por el segundo miembro. Se va a pedir a los alumnos que piensen como si estuvieran en el antiguo Egipto y a través de las indicaciones precisas por parte del profesor se trabajará el método de “regula fasi”. Además ellos por sí solos deben calcular el valor del montón de la manera actual, es decir, usando de incógnita la “x”.

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Muchos de los cálculos de “aha” en el Papiro de Rhind eran evidentemente ejercicios para que practicasen los jóvenes estudiantes, y aunque la mayoría eran de carácter practico, en algunos casos parece que el escriba tenía en mente pasatiempos matemáticos al escribirlos.

En cuanto a los problemas geométricos el historiador griego Herodoto nos dice que el hecho de que todos los años con ocasión del desbordamiento del Nilo, se borraran las lindes de los campos fue el que acentuó la necesidad de los agrimensores. Las habilidades de los “tensadores de la cuerda” egipcios fueron admiradas entre otros por Demócrito.

Se ha dicho frecuentemente que los antiguos egipcios estaban familiarizados con el teorema de Pitágoras, pero lo cierto es que en los papiros que han llegado hasta nosotros no hay ningún indicio de ello. Sí hay varios problemas geométricos importantes en el Papiro de Ahmes; el problemas 51 muestra que para calcular el área de un triángulo isósceles hay que tomar la mitad de lo que nosotros llamaríamos la base y multiplicarlo por la altura. Ahmes justificaba este método para calcular el área sugiriendo que el triangulo isósceles se podría considerar formado por dos triángulos rectángulos, uno de los cuales puede desplazarse cambiando de posición de manera que entre los dos triángulos se forme un rectángulo.

En el problema 52 se trata análogamente el caso del trapecio isósceles, considerando el caso particular en que la base mayor es 6, la menor 4 y la distancia entre ellas es 20; Ahmes toma la semisuma de las dos bases, “de manera que se convertía en un rectángulo”, y la multiplica por 20 para hallar el área. En este tipo de transformaciones, en las que se convierten triángulos isósceles y trapecios en rectángulos, podemos ver ya los comienzos de una especie de teoría de congruencia y la idea de demostración en geometría, pero los egipcios no desarrollaron más estos principios.

Aplicación: Como hemos visto los egipcios utilizaban una trigonometría básica para medir sus tierras. Hoy día se utiliza el teodolito como instrumento de medida de ángulos. Se propone a los alumnos que con un teodolito midan la altura de diversos edificios de nuestro alrededor. ¿Con que objetivo? Para que los alumnos conozcan la manera de calcular la altura de edificios o montañas, algo que es tan sencillo si conocemos las razones trigonométricas.

6 .EL PAPIRO DE MOSCÚ. “CONSTRUIMOS UNA PIRÁMIDE”

La mayor parte de nuestra información acerca de la matemática egipcia proviene del Papiro de Ahmes o de Rhind, el documento matemático más extenso que nos ha llegado del antiguo Egipto, pero disponemos además de otras fuentes. Aparte hay otros papiros como el de Kahun, o el de Berlín y también dos tablillas de madera de Akhmim (El Cairo) de hacia el 2000 a.C. también un rollo de piel que contiene listas de fracciones unitarias y que data del final del periodo de los Hyksos, y otro importante papiro conocido por el nombre de Papiro Golenischev o de Moscú, que fue comprado en Egipto el año 1893.



ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 El Papiro de Moscú es casi tan largo como el Papiro de Rhind, cerca de seis metros, pero su

anchura es solo la cuarta parte, unos siete centímetros y medio; está escrito por un escriba desconocido de la dinastía XII de una manera más descuidada que la obra de Ahmes, y contiene veinticinco problemas resueltos, la mayor parte de ellos de la vida corriente y que no se diferencian mucho de los de Ahmes excepto en dos casos que tienen un importancia especial. Acompañado al problema 14 del Papiro de Moscú aparece una figura que parece representar un trapecio isósceles, pero los cálculos asociados con esta figura indican que en realidad se trata de un tronco de pirámide cuadrangular. Encima y debajo de la figura aparecen los signos que representan 2 y 4 respectivamente, y dentro de la figura los símbolos hieráticos para el 6 y 56. El desarrollo de los cálculos revela que lo que se pide en el problema es calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular de altura 6 unidades, siendo las aristas que constituyen los lados de las bases suprior e inferior de 2 y 4 unidades respectivamente. Las instrucciones que va dando el escriba conducen a elevar al cuadrado los números 2 y 4 y añadirle a la suma de estos dos cuadrados el producto de 2 y, cuyo resultado es 28; por último se multiplica este resultado por un tercio de 6, y el escriba concluye con las palabras: “Ves, es 56; los has calculado correctamente”. Es decir, que lo que se ha ido haciendo ha sido calcular el volumen del tronco de pirámide de acuerdo con la formula moderna V= h (a2+ab+b2)/3, donde h es la altura y a y b los lados de las bases cuadradas. Esta fórmula no aparece escrita en ninguna parte, pero es evidente que la manera de proceder indica que era conocida por los egipcios.

Aplicación: Con el uso de útiles de dibujo (regla, compás, lapiz, etc.) vamos a construir figuras geométricas, y le daremos la fórmula usada para calcular el volumen de dichas figuras, fundamentalmente los alumnos deben construir una pirámide como se observa en la figura y saber calcular su volumen con distintos datos que le demos. Los alumnos deben interpretar el significado del volumen y su relación con la capacidad del habitáculo.

Volumen =1/3 * A * H

No se sabe como llegaron los egipcios a estos resultados, pero parece muy posible que la regla para el volumen de la pirámide tuviera un origen experimental, y quizá también para el volumen del tronco, aunque no es tan fácil. Para este último parece más probable una explicación de base teórica, y se ha sugerido que los egipcios pudieron proceder aquí de una manera análoga a como hicieron en los

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casos del triángulo isósceles y del trapecio isósceles, es decir, pudieron haber descompuesto al menos mentalmente el tronco de pirámide en paralelepípedos, prismas y pirámides. Reemplazando las pirámides y prismas por bloques rectangulares iguales, se pueden agrupar estos bloques de manera que hacen admirable la fórmula egipcia.

7. CONSIDERACIONES FINALES ACERCA DE LOS EGIPCIOS

Durante muchos años se dio por descontado que los griegos habían aprendido los principios de su geometría de los egipcios, y concretamente Aristóteles pensaba que la geometría había surgido en el valle del Nilo debido a que allí los sacerdotes disponían del ocio necesario para desarrollar cualquier conocimiento teórico.

Es muy probable que los griegos tomaran prestadas algunas partes de la matemática elemental de Egipto, ya que, por ejemplo, el uso de las fracciones unitarias fue persistente en Grecia y Roma, para llegar hasta el periodo medieval, pero evidentemente los griegos exageraron su deuda para con los egipcios, en parte por su respeto casi reverencial a la antigüedad de la cultura egipcia.

El tipo de conocimientos que nos revelan los papiros egipcios que han llegado hasta nosotros es en su mayor parte de carácter práctico, y el elemento principal en todas las cuestiones es el cálculo numérico. Donde parecen entran retraídamente algunos elementos teóricos, la finalidad perseguida parece haber sido la de facilitar o justificar las técnicas mas que el conseguir un entendimiento teórico del por qué.

Incluso la tan ensalzada en otros tiempos geometría egipcia resulta haber sido casi exclusivamente una rama de la aritmética aplicada, y donde aparecen relaciones elementales de congruencia, su finalidad parece ser la de proporcionar nuevos recursos de medición mas que la de un conocimiento mas profundo; las reglas de cálculo raramente se justifican, y siempre se refieren solo a casos concretos.

Los Papiros de Ahmes y de Moscú, nuestras dos principales fuentes de información pudieron haber sido en su día únicamente manuales destinados a la formación de los estudiantes, pero de paso indican inevitablemente la dirección y las tendencias de la educación matemática egipcia; la evidencia adicional obtenida de las inscripciones en los monumentos, de fragmentos de otros papiros matemáticos y de documentos que se refieren a otros campos científicos cercanos nos sirve solo para confirmar la impresión general sacada de las fuentes principales.

Es verdad que los dos papiros matemáticos más importantes que conocemos son de un periodo relativamente antiguo, anterior al menos en mil años a los comienzos de la matemática griega, pero lo cierto es que la matemática egipcia parece haber permanecido en un estado notablemente uniforme a lo largo de su extendida historia. En todas sus etapas estuvo construida en torno a la operación de



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sumar, desventaja que dio a todas las técnicas de computación egipcias un aire primitivo peculiar, combinado a veces con una sorprendente complejidad.

Se ha dicho a veces que el fértil valle del Nilo es realmente el oasis mas grande del mundo alojado en el desierto mas grande del mundo; regado por uno de los ríos mas galantes que se conocen y protegido geográficamente en su mayor parte de las invasiones extranjeras, constituyó un magnifico refugio para un pueblo pacifico que lo que mas deseaba era seguir un sistema de vida tranquilo y sin problemas.

El amor de los dioses benévolos, el respeto a la tradición y la preocupación por la muerte y por las necesidades de los muertos, todo ello propicio un alto grado de estancamiento en la civilización y en la cultura.

La geometría pudo haber sido un regalo del Nilo, como creía Herodoto, pero los egipcios sacaron poco partido del regalo; en realidad, la matemática de Ahmes era la misma que la de sus antepasados y la de sus descendientes. Para ponernos en contacto con una matemática cuyos logros acusan más las señales del progreso, tenemos que dirigir nuestra mirada a otra parte conocida como Mesopotamia.



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8. BIBLIOGRAFÍA

López, F. Las Matemáticas en el antiguo Egipto. Extraído el 9 de enero de 2009 desde http://www.egiptologia.org

Boyer, C. (1994). Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Editorial.

Rodríguez, D. y otros. (2000) Historia del Arte. Madrid: Akal.

Collette. J. P. (1991). Historia de las Matemáticas. Madrid: Siglo veintiuno.

Ifrah. G. (1987). Las cifras. Historia de una gran invención. Madrid: Alianza Editorial.

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