Aplicaciones del teorema de TalesLas aplicaciones del teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la cuarta y tercera proporcional de dos segmentos dados, la media proporcional, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Todas estas construcciones son de gran interés para la resolución de problemas y para el estudio de las transformaciones.

División de un segmento en partes proporcionalesPara dividir un segmento AD en partes proporcionales a las partes A’B’, B’C’ y C’D’ dadas, trazamos una recta que pase por A definiendo así un haz de dos rectas. Sobre ella llevamos las magnitudes dadas. Por el extremo D’ trazamos la rectaDD’ . Trazamos paralelas a DD’ por los puntos B’ y C’ .Estas paralelas cortan al segmento dado en los puntos B y C.

Por el teorema de Tales, se cumplirá que  .

[editar] División de un segmento en partes iguales.Para dividir un segmento AB dado en n partes iguales, trazamos una recta que pase por A. Situamos sobre ella con el compas, n partes iguales, numeramos. En este caso n=9. Dibujamos la recta 9B y trazamos paralelas a ella por los puntos restantes, ordenadamente.

Por ser equidistantes las paralelas los segmentos definidos sobre AB son igual

[editar] Demostración del teorema de la bisectrizLa bisectriz del ángulo BAC de un triángulo ABC divide a su lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados del triángulo.Consideramos el triángulo ABC y su bisectriz AD.

Según el teorema:

Vamos a comprobarlo:

Trazamos por C una paralela a AD, que corta a la prolongación de AB en E.

Por el teorema de Tales, se cumple que:

Los ángulos BAD=AEC por tener un lado común y los otros paralelos entre sí y DAC=ACE por ser alternos internos.Como BAD = DAC tenemos que AEC = ACE, lo que indica que el triángulo ACE es isósceles con base EC, luego AC = AE.

Lo aplicamos a la igualdad anterior y resulta que

El mismo razonamiento vale si consideramos la bisectriz del ángulo exterior MAC.

[editar] Cuarta proporcional de tres segmentosDados tres segmentos a, b y c, se llama magnitud cuarta proporcional de ellos a un segmento d que verifica: a/b=c/d.Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y c y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de c. Esta paralela define el segmento d solución del problema, pues: a/b=c/d

[editar] Tercera proporcional de dos segmentosDados dos segmentos a y b, se llama magnitud tercera proporcional de ellos a un segmento c que verifica: a/b=b/c.

Vemos que es un caso particular de cuarta proporcional, con los términos intermedios iguales.

Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y b y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de b. Esta paralela define el segmento c solución del problema, pues: a/b=b/c

[editar] La proporción áurea

Cuando en una tercera proporcional el término mayor es igual a la suma de los otros dos se verifica que:

 es el número de oro.Cuando un rectángulo tiene los lados con esta proporción recibe el nombre de rectángulo de oro. En el capítulo dedicado a las relaciones del arte con la geometría veremos la importancia de   en el estudio de las proporciones armónicas. Más adelante estudiaremos las espirales relacionadas con el rectángulo de oro.

También es fundamental para la construcción del pentágono regular, pues la proporción áurea se cumple entre su diagonal y su lado:

Vamos a comprobar que

Operamos:

Resulta una ecuación de segundo grado donde la incógnita es a. Vamos a despejarla. Nos interesa sólo la raíz positiva:

Vamos a construir segmentaciones áureas a partir de diferentes datos:

[editar] Cuando el dato es aDibujamos un cuadrado de lado a y la mediatriz de dicho lado. Con centro en N, punto medio de a, y radio NM, diagonal de medio cuadrado, trazamos un arco que corta en P a la prolongación de a,

definiendo el segmento b. Se cumple que 

Vamos a comprobarlo:

Como  , pues son radios de la misma circunferencia, resulta que:

Consideramos el triángulo MNQ, por Pitágoras:

En nuestro dibujo:

Lo aplicamos en la igualdad anterior:

luego:

[editar] Cuando el dato es a+bÉsta es otra construcción de la segmentación áurea. Sea MN= a+b. Trazamos un segmento perpendicular de magnitudMN/2 y dibujamos el triángulo rectángulo MNP. Con centro en P y radio PN trazamos un arco que corta a la hipotenusa en el punto Q. Con centro en A trazamos un arco de radio AQ que corta a MN en el punto R, definiendo los segmentos ay b.

Se verifica que: 

Vamos a comprobarlo:

, ya que

 y 

Considerando el triángulo MNP, por Pitágoras:

, luego:

DETERMINACION DE LA ALTURA POR TEOREMA DE THALES

Cuando miramos a nuestro alrededor o salimos a dar un paseo en especial por nuestra ciudad que es la

capital Arqueológica, apreciamos en cada paso que damos la cantidad de cosas que representan figuras o

formas geométricas sean regulares o irregulares. El conocimiento geométrico básico es indispensable para

desenvolverse en nuestra vida cotidiana para orientarse reflexivamente en el espacio, como para hacer

estimaciones de alturas, distancias a veces inaccesibles. Tal es el caso que podemos calcular la altura de

monumentos, edificios, de las piedras enormes en Sacsayhuaman, del Cristo blanco, puentes, etc.

Un método muy antiguo de calcular la altura de un objeto es con la proyección de su sombra y la ayuda de

una estaca, mediante relación de triángulos semejantes conocida como el Teorema de Thales: "La relación

que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya.". De ahí dedujo: "En el

mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura."