Aplicaciones Del Teorema Chino de Los Restos

UNIVERSIDAD DE PANAM

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y

TECNOLOGA

ESCUELA DE MATEMTICA

Monografa del Seminario de Tesis

Tpico de Teora de Nmeros

Facilitador: Dr. Jaime Gutirrez

Panam, 22 Julio de 2011

AGRADECIMIENTO

Agradecimiento a Dios Todo poderoso por haberme permitido cumplir con

esta meta.

Muy especialmente al Dr. Jaime Gutirrez, por su tiempo, su orientacin y su

excelente disposicin.

INDICE GENERAL

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Aplicaciones del teorema Chino de los restos. 1

Introduccin ... 2

CAPTULO I

1. ASPECTOS GENERALES DEL TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS Y

CONGRUENCIAS.

1.1 Contenido . 3

1.2 Antecedentes Histricos. 4

1.3 Nociones bsicas de la teora de congruencia 6

1.3.1 Propiedades de las congruencias. . 7

1.4 Sistemas completos de restos. 15

1.5 Congruencia lineal.... 17

CAPTULO II

2. APLICACIONES DEL TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS

2.1 Teorema Chino de los Restos 23

2.2 Ejemplos de aplicaciones del Teorema Chino de los Restos 25

2.2.1 Solucin del Problema 1872 propuesto por Gregor Olsavsky. 31

2.3 Congruencias cuadrticas 33

2.4 Criptografa. 37

2.4.1 Cifrado monogrfico . 37

Conclusin 41

Referencias Bibliogrficas.... 42

INDICE TABLAS

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1. Tabla N1 Equivalente numrico ... 45

2. Tabla N2 Cifrado C P + 3(md 27) 45

3. Tabla.3 Inversos md 27 de los nmeros positivos < 27 primos relativos... 47

4. Tabla 4. Muestra en porcentaje la frecuencia de ocurrencias ms usadas en

espaol, en orden decreciente ............................. 48

INDICE ILUSTRACIONES

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1. Fotografa de Sun Tzu. 9

2. Ilustracin de las tropas combatientes Sun Tzu.. 9

3. Fotografa Qin Jiushao 10

APLICACIONES DEL TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS

MANUEL NAVARRO, ROMERO

INTRODUCCIN

La presente monografa que presentamos a consideracin del lector es un resultando

importante de la teora de nmeros, el Teorema chino de los restos.

Nuestro propsito es dar a conocer, que a travs de las propiedades de congruencias y

linealidad, resolveremos sistemas de congruencias lineales mediante el Teorema Chino de

los restos con diversas aplicaciones.

Se inicia con el origen histrico, contribuciones relevantes de Sun Tzu , Qin Jiushao,

nociones bsicas de la teora de congruencias, definiciones, proposiciones, ejemplos,

congruencias lineales, cuadrticas y finaliza con aplicaciones a la criptografa de Cifrados

monogrficos.

En el primer captulo desarrollaremos las principales propiedades de congruencias con

ejemplos, que nos ayudar a simplificar, determinar si una congruencia posee o no solucin

y calcular problemas referentes a la teora de nmeros.

Veremos, como resolver congruencias lineales mediante propiedades de congruencias y

aplicando el algoritmo extendido de Euclides.

En el segundo captulo utilizaremos el mtodo del teorema chino de los restos para resolver

sistemas de congruencias lineales, algunas aplicaciones a la solucin de ecuaciones

cuadrticas y aplicacin a la criptografa en el cifrado monogrfico.

Esta monografa brinda la oportunidad de ampliar los conocimientos referentes al Teorema

Chino de los restos. Esperamos que este trabajo sea de ayuda y motivacin para aquellas

personas que desean conocer ms de la matemtica, especialmente del teorema Chino de

los restos para ampliar nuestro conocimiento y adems llenar el propsito con que se ha

escrito.

CAPTULO I

ASPECTOS GENERALES DEL TEOREMA CHINO DE

LOS RESTOS

1.1 Contenido

El Teorema Chino de los restos es un resultado de la teora elemental de nmeros

relacionados con propiedades de linealidad. Consiste en que un sistema de dos o ms

congruencias lineales resueltas por separado con solucin nica, se puede resolver

simultneamente si los mdulos son relativamente primos dos a dos.

Este teorema bsicamente dice que es posible reconstruir un entero en cierto rango a partir

de los residuos de una pareja de factores del entero relativamente primos.

De esta forma se obtiene una representacin distinta del nmero en forma ms reducida del

nmero.

Aporta una forma sencilla de manipular nmeros mdulo n muy grande en forma de

nmeros menores.

El teorema tiene dos aplicaciones importantes:

Es estructural, en el sentido que describe a la estructura de idntica a la del

producto cartesiano realizando la suma y multiplicacin de la

i-sima componente mdulo ni.

Da lugar a algoritmos muy eficientes puesto que es mejor calcular en cada

subsistema que hacerlo mdulo n.

La formulacin precisa del teorema chino de los restos la trataremos ms adelante,

ahora nos ocuparemos de los antecedentes histricos.

1.2 Antecedentes Histricos

Sun Tzu, Nacimiento: 544 a.C Defuncin: 496 a.C. Fue Escritor,

pensador, poltico y militar chino, autor del ms antiguo y

brillante tratado militar. Sun Tzu, proceda del estado de Chi

y gracias a su libro "el arte de la guerra" adquiri fama entre

los seores feudales, en especial para el rey de Wu. Sun Tzu

pudo ser un general chino del siglo V a.C., la poca de los

Reinos Combatientes, que escribi El arte de la guerra, uno

de los libros ms antiguos que se conocen y un clsico de la

literatura china. El arte de la guerra es un compendio de

doctrinas bsicas sobre tctica y estrategia militar, basndose en dos principios

fundamentales: el engao y el sometimiento del enemigo sin recurrir a la lucha. El libro ha

sido de gran influencia en estadistas posteriores como Maquiavelo, Napolen o Mao

Zedong, y en los ltimos aos ha tenido gran influencia en la formacin de directivos para

numerosas multinacionales al transpolar sus enseanzas al terreno de los negocios.

La obra de Sun Tzu lleg por primera vez a Europa en el periodo anterior a la Revolucin

Francesa, en forma de una breve traduccin realizada por el sacerdote jesuita J. J. M.

Amiot. En las diversas traducciones que se han hecho desde entonces, se nombra

ocasionalmente al autor

como Sun Wu o Sun Tzi.

Sun Tzu utilizo El teorema

Chino de los restos para

ordenar sus tropas.

Qin Jiushao Nacimiento: 1202 Defuncin: 1261. Fue

el primer matemtico chino del siglo XII, escribi

el tratado Shushu Jiuzhang, este contiene un gran

trabajo del teorema chino de los restos y solucin

de ecuaciones de hasta grado diez. Qin Jiushao o

Ts'in Kieu-shao; Sichuan, hacia 1202 - Meixian,

hacia 1261 Matemtico chino. Debe su fama a un

importante libro: el Tratado de matemticas en

nueve captulos (1247). Cada captulo de este

libro consta de dos secciones, y cada seccin

contiene nueve problemas. El tratado cubre una amplia gama de temas; aunque la mayor

parte est dedicada a temas puramente matemticos, como el anlisis indeterminado, y a la

solucin de ecuaciones lineales, se ocupa tambin de muchas aplicaciones de las

matemticas, como la astronoma, el calendario, la geodesia, la arquitectura y el comercio.

En l resolvi ms de veinte ecuaciones utilizando un mtodo anlogo al descubierto por

Ruffini en el siglo XIX, y es la obra ms antigua en que aparece el cero.

Qin explica por primera vez como expertos chinos calculaban datos astronmicos segn el

ritmo del solsticio de invierno. Entre de sus logros est la introduccin de una tcnica para

solucionar ecuaciones, hallar sumas de series aritmticas y solucionar sistemas lineales.

Puesto que tambin hace comentarios prcticos sobre las matemticas, el libro de Qin

proporciona una valiosa informacin sobre las condiciones sociales y econmicas en China

durante el siglo XIII. Qin desarroll su talento en muchas otras reas adems de las

matemticas, como en la msica, tiro con arco, esgrima, poesa y arquitectura.

1.3 Nociones bsicas de la Teora de Congruencias.

En su obra Disquisitiones Arithmeticae, publicada en el ao 1801, Gauss (uno de los

matemticos ms grande de todos los tiempos) introdujo en las matemticas el concepto de

congruencia. En vez de decir que 3 es el residuo cundo se divide por 7, escribimos

103(md 7)

Vamos a estudiar los nmeros enteros en relacin con los restos de la divisin de los

mismos por un entero positivo m dado, al cual lo llamaremos mdulo.

Definicin y propiedades bsicas de las congruencias, semejantes a las propiedades de

las igualdades.

Comenzamos definiendo el concepto central del tema, y analizando sus propiedades con

ejemplos que aclararan los conceptos que se definen permitiendo una aplicacin directa de

las propiedades.

1.1 Definicin:

Sea m un entero positivo a, b dos nmeros enteros. Diremos que a y b son congruentes

mdulo m si m divide a a-b. Utilizaremos la notacin a b(md m), es decir,

a b(md m) m | a b

Ejemplo 1.2

Encontrar tres nmeros enteros distintos, cada uno de los cuales sea congruente con

11(md12).

a 11 (md 12) a =11+12q, con q

Si ahora tomamos, por ejemplo, q = -1, 0, 1 tendremos los tres nmeros buscados:

a=11+12(-1)=-1

a=11+12(0)=11

a=11+12(1)=23

1.3.1 Propiedades de las Congruencias

A continuacin damos una serie de propiedades de las congruencias, con frecuencias

son muy tiles.

Ejemplo 1.1

12 -3(md 5), ya que 5|15

-5 -25(md 10), ya que 10|20

17 10(md 4), ya que 47

Para todo par de enteros a y b, tenemos a b(md 1)

8020 (md 15), ya que 15|60

2413 (md 11), ya que 11|11

Proposicin. 1. 1

La congruencia mdulo m es una relacin de equivalencia sobre .

Sean a, b, c y m son tres enteros con m>0. Se verifica:

a. Reflexiva. a a(md m)

b. Simtrica. Si a b(md m), entonces b a(md m)

c. Transitiva, Si a b(md m) y b c(md m), entonces a c(md m)

Demostracin

Utilizaremos las propiedades de divisibilidad.

a) a a(md m)

Teniendo en cuenta que m0,

m|0 m|a-a a a (md m)

b) Si a b (md m), entonces b a(md m). En efecto,

a b (md m) m|a-b m| (-1) (a-b) m|b-a b a(md m)

c) Si a b(md m) y b c(md m), entonces a c(md m). En efecto,

a b md m) m|a b

b c md m) m|b c

| ) ) | a c md m)

Las principales consecuencias de esta proposicin son:

1- Podemos sustituir cualquier entero de la congruencia por un entero congruente.

Por ejemplo para mostrar que 992 1 md100) lo ms fcil es sustituir 99 por -1 y

calcular (-1)2 = 1.

2- Podemos sumar o restar el mismo entero a ambos miembros de una congruencia.

3- Podemos multiplicar ambos miembros de una congruencia por el mismo entero.

4- Podemos simplificar o dividir ambos miembros de la congruencia por el mismo entero

cuando (a, m) = 1.

Por ejemplo, 30 6 md8) dividido por 3 tenemos 10 2 md 8) es correcto

porque m.c.d (3,8)=1

A continuacin damos una serie de propiedades de las congruencias, relacionadas con la

suma y el producto de nmeros enteros.

Proposicin 1.2

Si a b(md m) y c d(md m), entonces

i) Para todo par de enteros y , a + x b + y (md m)

ii) a + b c +d (md m)

iii) ac bd (md m)

iv) Para todo entero positivo n, an bn (md m)

v) f(a) f(b) (md m) para todo polinomio f con coeficientes enteros.

Si an-1

bn-1 (md m) (Hiptesis de induccin)

an-1 .a bn-1 .b (md m) por (iii)

an bn (md m)

v) Sea f(x) = c0 + c1x + c2x2 + +cnx

n un polinomio con coeficientes enteros.

As, f(a) = c0 + c1a + c2a2 + +cna

n y f(b) = c0 + c1b + c2b

2 + +cnb

n .

Por (iv) ai bi (md m) para cualquier entero i > 0 entonces ci a

i ci b

i (md m)

luego,

c0 + c a

c b

(md m) y por lo tanto f(a) f(b) (md).

Ejemplo.1.3

Demostrar que el cuadrado de cualquier nmero entero es divisible por 3 o es congruente

con 1 mdulo 3.

a 0(md 3) a2 0(md 3) (i)

3|a2

a2 es divisible por 3

a 1(md 3) a2 1(md 3) (i)

a 2(md 3) a2 4(md 3) (i)

3|a2-4

a2 4 = 3q

a2 = 3q+4

a2 = 3(q+1) + 1

3|a2 1

a2 1(md 3)

Luego a2 es divisible por 3 o es congruente con 1 mdulo 3.

Ejemplo.1.4

9 5(md 4)

6 2(md 4)

54 10(md 4)

Ejemplo.1.5

9 5(md 2) 95 55(md 2)

La recproca no es verdadera

72 52(md 4) pero 7 5(md 4) es falso ya

que 2 no es divisible entre 4.

Proposicin 1. 3

Sean a, b, c, d, p y m, enteros con p0 y m>0. Se verifica:

i) Si a b(md m), entonces pa pb(md m)

ii) Si ac bc(md m) y d(m,c) entonces a b

iii) Si a b(md m) y d|a, d|m, entonces d|b.

iv) Si p|a, p|b, m.c.d. (p, m) = 1 y a b (md m), entonces

).

Demostracin:

i) Si a b(md m), entonces pa pb(md m). En efecto,

a b(md m) m|a-b m|p(a-b) m|pa-pb pa pb(md m)

Observacin: Los factores comunes de los miembros de una congruencia pueden

cancelarse si el mdulo es divisible por estos factores comunes.

ii) Ley de la simplificacin

Si ac bc(md m) y d(m,c) entonces a b

Un factor comn c se puede simplificar si el mdulo se divide por d(m,c)

En efecto,

Dado ac bc(md m) tenemos m|c(a-b) o sea | ). Pero (

, c(d)) =1

y por tanto | )

Observacin: La ley de cancelacin puede ser utilizada cundo el mdulo no es

divisible por un factor comn de los miembros de una congruencia.

iii) Si a b(md m) y d|a, d|m, entonces d|b.

En efecto,

a b(md m) m|a-b.

y como d|m, por la transitividad de la relacin de divisibilidad, d|a-b. A s pues,

| |

| ) |

iv) Si p|a, p|b, m.c.d. (p, m) = 1 y a b (md m), entonces

). En

efecto,

| |

|

a b md m) m|a b q a b mq

p|mq1

Pues bien, si p|mq1, como m.c.d.(p,m) = 1, tendremos que p|q1, es decir, q1 = pq

con q entero, Entonces

|

En consecuencia,

)

Ejemplo.1.6

Como 12 3(md 9), 12a 3a(md 9) .

En particular, a=6, 12x63x6(md 9), es decir,

72 18(md 9)

Ejemplo.1.7

La congruencia 112 72(md 10) segn ( ii)

m=10, c=4, y d=2 as, 28(4)18(4)(md 10)

luego,

28 18 (md 10)

Ejemplo.1.8

Demostrar que para cualquier entero positivo n, el nmero 10n (9n-1) + 1 es divisible por 9.

En efecto, 10 1(md 9) 10n 1(md 9)

y

9n 0(md 9) 9n 1 1(md 9) 9n 1 -1(md 9)

luego,

10n(9n-1) -1(md 9)

Por lo tanto,

10n(9n-1) + 1 0(md 9)

Y, consecuentemente, el resto de dividir el nmero dado entre 9 es cero.

Proposicin 1.4

Si a b(md m) entonces (a, m) = (b, m) es decir los nmeros que son congruentes mdulo

m tienen igual m.c.d con m.

Demostracin

Se tiene que b a = mc para algn entero c; puesto que (a, m) | a y (b, m) | b se tiene

(a,m)|b y de aqu que (a, m) | (b, m).

De la misma forma se demuestra que (b,m) | (a,m)

En consecuencia (a, m) = (b, m). Esto es verdadero ya que solamente estamos considerando

mximo comn divisor positivo.

Proposicin 1.5

Si a b(md m) y, 0 a b< m entonces , a = b

Demostracin:

Como a b(md m) entonces, m| a b luego, m|a b y m > a b, con lo que,

a b=0, as a = b.

Proposicin 1.6

a b(md m) sii, a y b al dividirlo por m dan el mismo resto.

Demostracin

Sean a = mq1 + r1 y, b = mq2 + r2 donde, 0 r1 < m y 0 r2 < m. entonces,

a b r1 r2 (md m) con 0 r1 r2< m. Luego, por la Proposicin 1.5, se tiene que

r1= r2.

Por otro lado, si a = mq1 + r y, b = mq2 + r

entonces, a b = m(q1 q2 ) por lo que, a b(md m) .

1.4 Sistema Completo de Restos.

Definicin

Una clase residual a, (md m) que denotaremos , consta de los enteros que son

congruentes entre s mdulo m. As, x , sii xa(md m).

consiste de todos los enteros de la forma a + mq.

Ejemplo: 1.9

Bajo la relacin de congruencia mdulo 5, las cinco clases residuales constan de los enteros

0+5k; 1+5k; 2+5k; 3+5k y 4+5k, respectivamente, donde k es un entero, esto es, las cinco

clases residuales son:

{,-10, -5, 0, 5, 10,}

{,-9, -4, 1, 6, 11,}

{,-8, -3, 2, 7, 12,}

{,-7, -2, 3, 8, 13,}

{,-6, -1, 4, 9, 14,}

Cada clase residual mdulo m puede ser representada por uno cualquiera de sus miembros;

por lo general se representa cada clase por el menor entero no negativo que pertenezca a esa

clase.

Definicin

Para m > 0, todo conjunto de m, donde cada elemento pertenece a una slo una de las

clases residuales 0 1 1 , se denominar Sistema Completo de Restos, mdulo m.

Existe un nmero infinito de sistemas completos de restos mdulo m, siendo otro ejemplo

el conjunto 1,2,,m.

Proposicin 1.7

Si { a1, a2, , am } es un conjunto completo de restos m y, (k,m) = 1, el sistema

{ ka1,, kam } es tambin un sistema completo de restos mdulo m.

Demostracin

Si suponemos que kai = kaj (md m) como, (k,m) = 1 entonces, por el teorema (1.3 ii),

ai aj (md m). Luego, dado dos elementos del conjunto { ka1,, kam } estos son

incongruentes mdulo m y dado que hay m elementos en este conjunto, este forma un

sistema completo de restos.

1.5 Congruencia Lineal

Conceptos fundamentales

Nuestro prximo objetivo es el estudio de las congruencias de la forma general:

f(x) 0(md m). (1)

f(x) un polinomio con coeficientes enteros y m un entero positivo.

Definicin 1.2

Un entero x que satisfaga la congruencia polinomial (1) es la solucin de la congruencia.

Si f(x) = ax + c, la congruencia f(x) 0(md m) toma la forma ax b(md m); donde b= -c

se llama congruencia lineal.

La ecuacin ax b(md m), tambin se puede escribir

a x - my = b

Las siguientes proposiciones describen una completa teora de las congruencias lineales.

Proposicin 1.8

Si (a,m) = 1 entonces, la congruencia lineal

ax b(md m) (2)

tiene una solucin.

Demostracin

Basta probar el conjunto 1,2,, m pues ellos constituyen un sistema completo de restos

mdulo m. Consideremos los productos a, 2a, , ma. Como (a,m) = 1 estos nmeros

tambin constituyen un sistema completo de restos.

Proposicin 1.9

La congruencia ax b(md m) (3)

tiene solucin sii d = (a,m) es un divisor de b.

En este caso la congruencia tiene exactamente d soluciones incongruentes.

Demostracin

Si existe una solucin para ax b(md m) entonces, b = ax + mt. Como d|m y d|a entonces

d|b. Recprocamente, si d|b por la proposicin 1.1 la congruencia:

tiene solucin puesto que los enteros a | d y m | d son primos relativos, y

esta solucin es tambin solucin de (3).

Proposicin 1.10

La ecuacin

ax + by = c (4)

tiene solucin si y slo si d | c donde d= (a,b)

Demostracin

Notemos en primer lugar, d | a y d | b. Por lo tanto, si la ecuacin (4) tiene solucin (x, y)

se tiene que d | ax + by , y luego d | c.

Recprocamente, supongamos que d | c. Dividiendo entre d la ecuacin original, nos da

ax + by = c (4.1)

donde a = a | d, b = b | d y c = c | d. Es claro que si (4.1) tiene solucin, entonces (4)

tambin tiene solucin y viceversa, luego ambas ecuaciones son equivalentes.

Se observa que (a,b) = 1, y por lo tanto existen enteros x0 e y0 tales que

a'0x0 + b0 = 1

es fcil verificar que x0 = cx0 e y0 = cy0 son soluciones de 4.1 y por ende soluciones de

(4)

Proposicin 1.11

Supongamos que d = (a,m). Si d b la congruencia

ax b (md m)

no tiene soluciones, mientras que si d | b la congruencia tiene exactamente d soluciones

mdulo m que vienen dadas por

x1, x1+m1,,x1 + (d 1) m1,

donde x1 es la solucin de la congruencia a1x b1 (md m1) y a1 =

, b1 =

,

Demostracin:

Si la congruencia tiene alguna solucin entonces, como d | a y d | b, necesariamente

tendra que dividir a b.

Cualquier solucin x de ax b (md m) debe serlo tambin de a1x b1(md m1). Pero

como (a1, m1) = 1 la solucin x1 es nica mdulo m1. Sin embargo la clase residual

mdulo m1 a la que pertenece x1 consta de d clases residuales distintas mdulo m, es decir

las clases que pertenecen los nmeros x1, x1 + m1,.x1 + (d 1)m1. Por lo tanto la

congruencia ax b (md m) tiene exactamente d soluciones distintas.

Ejemplo.1.10

Dada la congruencia

10x 3 (md12)

a = 10, b = 3 y n = 12, por lo que d = (10,12) = 2; como no divide a 3, no existen

soluciones.

Ejemplo 1.11

Dada la congruencia

10x 6 (md12)

a = 10, b = 6 y n = 12, por lo que d = (10,12) = 2; como divide a 6 si existen dos soluciones.

Podemos tomar x0 = 3 como solucin particular para expresar la solucin general de la

forma x = x0 +

= 3 +

= 3 + 6t con t .

Podemos decir que las congruencias lineales ax b (md m), se reducen a resolver

congruencias donde el mdulo y el coeficiente de la x son primos entre s.

Una manera de resolver esta ecuacin consiste en resolver primero la ecuacin

ax 1 (md m) utilizando el algoritmo de Euclides y multiplicar dicha solucin por b.

Veamos un ejemplo que nos ilustre, esta forma de dar solucin a ax b (md m).

Ejemplo. 1.12

Resolver la ecuacin 51x 27 (md 123)

El mximo comn divisor de (51,123) = 3 y 3 divide a 27.

Dividiendo por 3 toda la congruencia nos resulta

17x 9 (md 41) (1)

Debido a que el mximo comn divisor es tres entonces tendr 3 soluciones que sern

x1, x1+41, x1+82 donde x1 es la solucin de la congruencia:

Para resolver esta congruencia (1) resolvemos primeros la congruencia

17x 1 (md 41)

con el algoritmo de Euclides tendramos:

41 = 217 + 7

17 = 27 + 3

7 = 23 + 1

Regresando

1 = 7 - 23 = 7 2(17 - 27) = 57 - 217 = 5(41 - 217) - 217 = 541 - 1217

Es decir 1 = 541 - 1217 se puede escribir 17(-12) 1 (md 41 ),

Multiplicando por 9 17(-129) 9 (md 41 ) se observa x = -12

Remplazando x = -12 en a x - my = b, entonces b = 15

Luego x1 = -108 15 (md 41), y las tres soluciones de la congruencia original son

15, 15 + 41, 15 + 82 = 15, 56 y 97.

Ejemplo 1.13

Resolver 30x 15 (md 21)

Solucin:

Obsrvese que (30,21) = 3, y 3 divide a 15. Luego la ecuacin tiene solucin. El nmero de

soluciones mdulo 21 ser igual a (21, 30) = 3.

Con el objetivo de encontrar una solucin particular, procederemos a dividir entre 3 la

ecuacin. Luego

10x 5 (md 21)

esto es

3x 5 (md 7)

Por simple inspeccin, calculamos una solucin x 4 (md 7). Luego las tres soluciones

distintas son mdulo 21 son: 4, 11 y 18.

Ejemplo. 1.14

Daremos ahora el problema de resolver una ecuacin de congruencia con ms de una

variable.

Resolver 3x + 4y 11 md 14 (1)

En primer lugar, observamos que 14 = 7 2. Luego es posible trabajar con mdulo 7 2,

para encontrar las soluciones de (1). Escogemos el 2 por ser menor. Luego tomando la

misma ecuacin mdulo 2 se obtiene

3x + 4y 11 md 2

O sea 3x 1 md 2

De esta ecuacin provienen 7 soluciones distintas mdulo 14 para x, las cules son:

1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13. Al sustituir cada una de stas en la ecuacin original, se obtendrn

las correspondientes soluciones para y.

Por ejemplo, si se considera x 1 md 14, se tendr

3x + 4y 11 md 14

o bien

4y 8 md 14

Notemos que (14, 2) = 2, luego podemos simplificar:

2y 4 md 7

Luego las soluciones de y mdulo 14 son 2 y 9.

Usando pares ordenados para indicar las soluciones de la ecuacin (2, 7), donde la primera

y segunda componente respectivamente es el valor de x e y. De esta forma se obtienen las

soluciones (1,2) y (1,9). Las restantes soluciones son:

(3,4), (3, 11), (5, 6), (5, 13), (7, 1), (7, 8), (9, 3), (9, 10), (11, 5), (11, 12), (13, 7), (13, 14).

CAPTULO II

APLICACIONES DEL TEOREMA CHINO DE LOS

RESTOS

2.1 Teorema Chino de los restos

Tanto en teora y prctica se presentan problemas de encontrar un nmero que tiene restos

prescrito cuando es dividido por dos o ms mdulos. Tales problemas aparecen en

adivinanzas chinas antiguas y su solucin es conocida como teorema chino de los restos.

El teorema chino de los restos -conocido por Sun Tse (alrededor del ao 250 despus de

J.C)- dice lo siguiente:

Un sistema de dos o ms congruencias que pueden resolverse separadamente con solucin

nica, pueden resolverse tambin simultneamente si lo mdulos son relativamente primos

dos a dos.

Teorema chino de los restos

Dados dos nmeros enteros positivos n1,n2,,nr ( r > 2) que cumplen ( ni, nj) = 1 para i j,

los enteros a1,a2,, ar ,existe x tal que

(1)

a md n )

a md n )

a md n )

Tiene una solucin nica mdulo n= n1 n2 nm

x = a1N1y1 + a2N2y2 + +anNnyn

donde Nk =

y adems Nkyk 1 (md nk)

Adems, si y es otro entero que satisface todas las congruencias en (1), entonces

y x( md n1 n2 n3).

Demostracin

En efecto, hagamos, para k = 1,,r,

Ak = n1 n2 k nr

En donde el sombrero encima de nk indica que el producto Ak no aparece este factor.

Entonces las congruencias Ak xk 1 (md nk) poseen, cada una, nica solucin xk ,

mdulo nk(k=1,,r), en virtud de los resultados de la proposicin 1.1

Si tomamos por x la expresin

x A1x1a1 + A2x2a2 + + Arxrar ,

es sencillo verificar ahora que x satisface todas y cada una de las congruencias de la

proposicin 1.1 esto demuestra la primera afirmacin del teorema.

Para la segunda afirmacin, supongamos y ak( md nk) para k = 1, ...., r ; es claro

entonces que x y( md nk) para k = 1, ...., r ; es decir , nk | x y para cada k. Pero como

(n1, n2) = 1 es claro que n1n2 | x y ; tambin, en vista de que (n1 n2, n3) = 1, resulta que

n1n2 n3 | x y ; y recurrentemente, n1n2 n3 nr | x y , o sea x y( md n1n2 n3 nr ), tal

como se afirmaba.

2.1 Ejemplos de Aplicaciones del Teorema Chino de los Restos.

Ejemplo 2.1

Ahora planteamos un problema de la antigua china, que data del ao 1275 d.c.

Hallar el nmero que al ser dividido por siete da uno como residuo, al ser dividido por

ocho da dos como residuo y al ser dividido por nueve da tres como residuo.

Solucin:

Podemos plantear el problema en trminos de congruencia de la siguiente manera; sea x el

nmero buscado, entonces

(1) 1 md 7)

2 md 8)

3 md 9)

De la primera ecuacin obtenemos

x = 1 + 7k

Sustituyendo en la segunda ecuacin

1 + 7k 2 md 8

de donde

7k 1 md 8

Luego

k 7 md 8,

y por lo tanto k = 7 + 8l. Sustituyendo en la expresin de x nos da: x = 50 + 56l. Este ltimo

valor de x lo sustituimos en la tercera ecuacin para obtener

50 + 56l 3 md 9

y despus de reducir el mdulo 9 nos queda: l = 8 + 9j

Finalmente remplazando el valor

x = 50 + 56(8 + 9j) = 498 + 504j

de donde se concluye

x 498 md 504

Ejemplo 2.2

El teorema Chino de los restos puede ser utilizado para resolver una congruencia particular.

2x 4(md 23) ; (2, 3) = 1

De esta manera tenemos que x1 y x2 son enteros tales que

2x1 4(md 2) (1)

y

2x2 4(md 3) (2)

De (1) y (2) tenemos

x1 2(md 2) (3)

x2 2(md 3) (4)

Luego de (3) y (4) par del Teorema Chino de los restos

x 2(md 6)

Observamos que 2 es solucin de 2x 4(md 23)

Ejemplo 2.3

Determinar las soluciones del sistema

x 2 (mod 3)

x 3 (mod 5)

x 2 (mod 7)

Solucin:

m=3 * 5 * 7 = 105

M1=

= 35, M2 =

=21, M3=

=15

2 es inverso de M1 (md 3)



Soluciones son aquellos x tales que

x = a1 M1 y1 + a1 M2 y2 + a3 M3 y3

x = 2 35 2 + 3 211 + 2 15 1

x = 233

233 =23 (md 105)

23 es el entero positivo ms pequeo cuyo residuo es 2 cuando se divide por 3, tiene resto 3

cuando se divide por 5 y tiene resto 2 cuando se divide por 7.

Ejemplo 2.4

Problema del cocinero chino

Una Banda de 17 piratas se rob un botn de piezas de oro de

igual valor. Los piratas deciden repartirse el botn en partes

iguales y dar el resto al cocinero chino. Este recibir en tal caso 3

piezas de oro. Pero los piratas se pelean entre ellos y seis de ellos

son asesinados el cocinero entonces recibir 4 piezas. En un

naufragio posterior slo se salvan el botn, seis piratas y el cocinero y en tal caso la

reparticin del botn le dejara al cocinero 5 piezas de oro.

Cul es entonces la fortuna mnima que puede esperar tener el cocinero cuando este

decide envenenar a los seis piratas que quedan?

Solucin:

Nosotros podemos inmediatamente reducir esto al problema de resolver el sistema de

congruencias, considerando x como la cantidad de piezas de oro.

(1) 3 md 17)

4 md 11)

5 md 6)

De (1) obtenemos

x = 17t + 3 (*)

17t + 3 4(md 11)

17t 4 3(md 11)

17t 1(md 11)

t = 17-1

(md 11)

t = 6-1

(md 11)

t = 2(md 11)

t = 11s + 2

Remplazando t en (*), obtenemos:

x = 17(11s + 2) + 3

x = 17(11s) + 34 + 3

x = 187s + 37 (**)

Luego remplazando esta x en la congruencia (3), tenemos:

187s + 37 5(md 6)

186s + s + 37 62 5 - 62

s + 1 - 31(md 6)

s 4(md 6)

s = 6u + 4

Remplazando esta, s en (**), tenemos:

x = 187(6u + 4) + 37

x = 1122u + 748 + 37

x = 1122u + 785

As el mnimo valor para x, sera cuando u = 0; es decir

x = 1122(0) + 785

x = 785

Respuesta: La fortuna mnima que puede tener el cocinero sera785 piezas de oro.

Ejemplo 2.5

Resolvamos las siguientes congruencias lineales.

(1)

2 md 3)

6 md 5) 7 md 7) 10 md 8)

Cmo x 2(md 3), entonces x = 2 + 3a donde a es un entero. Sustituyendo en la segunda

congruencia tenemos,

2 + 3a 6 (md 5)

3a 4(md 5)

21 a 28 (md 5)

a 3 (md 5)

Si a 3(md 5), entonces a = 3 + 5b y x = 2 + 3a = 2 + 3( 3 + 5b) = 11 + 15b donde b es un

entero. Sustituyendo en la tercera congruencia del sistema tenemos

11 + 15b 7 (md 7)

15b -4 (md 7)

b 3(md 7)

Si b 3 (md 7), entonces b= 3 + 7c y x = 11 + 15(3 + 7c) = 56 + 105c, donde c es un

entero. Sustituyendo en la cuarta congruencia del sistema tenemos

56 + 105c 10(md 8)

105c -46 (md 8)

c 2 (md 8)

Si c 2(md 8), entonces c = 2 + 8d y x = 56 + 105(2 + 8d) = 266 + 840d, donde d es un

entero.

Por lo tanto la solucin del sistema es x 266(md 840)

2.2.1 Presentaremos la solucin del problema N 1872 propuesto por Gregor

Olsavsky, Penn State University/the Behrend College, Erie, PA. El mismo es

una aplicacin del teorema Chino de los restos.

Ejemplo.2.6

Si m es un entero mayor que 1, seala que cada entero n puede ser escrito como

n a + b (md m). Donde a es un entero que es primo relativo para m, y b es un entero

como b2 b (md m)

Demostracin

Denotaremos por (x, y) el mximo comn divisor x, y . Primero, probaremos el

resultado para , donde p es entero primo y k es un entero positivo.

Si (m, n) =1, tomamos a = h y b = 0. Si ) ) 1, p divide a m, as que p no

divide a n 1, de aqu que 1 ) 1 ) = 1

En este caso tomamos a = h 1 y b = 1

Supongamos ahora que

, donde los enteros son primos y de

enteros son positivos.

Para i = 1,2,, s; con enteros si

1 y

. As tenemos que n es una solucin de un sistema de congruencias

simultneas.

i = 1, 2 s

Por El teorema Chino de los restos

) )

Donde

y 1

Es claro que n a + b ( md m). Probaremos ahora que (a, m) = 1 y b2 b (md m). Si

suponemos que (a, m) > 1, as para algn j, 1 tenemos que p; divide a. Para

i j, pj divide a y tambin pi

. ero esto no es posible porque

ni son m ltiplos de . Entonces (a, m) = 1.

Finalmente observe que para j = 1,2,s

Entonces

As que b y b2 son soluciones del sistema de congruencias simultneas.

Por el Teorema Chino de los restos )

2.3 Congruencias Cuadrticas

ECUACIONES CUADRTICAS

Ecuacin de la forma: ax2

+ bx + c 0(md.p), con p Primo.

Una congruencia cuadrtica es una ecuacin de la forma ax2

+ bx + c 0(md.p), donde

a 0(md p) y p un entero impar primo.

Si p = 2, se tiene que la congruencia ax2

+ bx + c 0(md.p), con mcd(a,2) es equivalente

a una de las formas:

x2 0 (md 2), x2 + 1 0(md 2)

x2 + x 0(md 2), x2 + x + 1 0(md 2)

cuya solucin es fcil, ya que el anillo cociente Z/2Z={0,1} tiene slo dos elementos.

Sea p un entero impar donde mcd(a,p) = 1. Entonces, mcd(4a2, p) = 1 y la congruencia

cuadrtica, con mdulo impar resulta:

ax2

+ bx + c 0(md.p) (1)

que es equivalente a 4a2x

2 + 4abx + 4ac 0(md p) y que podemos escribir como

(2ax + b)2

b2 4ac(md.p)

Si tenemos en cuenta que b2

4ac = d es el discriminante de la cuadrtica y (2ax + b) = z

podemos escribir la ecuacin en la forma:

z2 d(md p) (2)

Si (1) no tiene solucin, entonces (2) tampoco.

Si (2) tiene una solucin z1, entonces se tiene que

2ax + b z1 (md p) (3)

y como mcd(2a ,p) = 1, esta ecuacin tiene solucin. Luego, (1) tambin tiene solucin por

tanto, (1) tendr solucin si, y slo si (2 ) tambin la tiene.

Si la ecuacin (2) tiene una solucin z1 entonces una segunda solucin z1 ser p z1 , ya

que (p z1 )2 z2 (md.p)

Residuos cuadrticos

Definicin:

Si la congruencia

x2 a(md m)

Siendo m primo impar y (a,m) = 1, posee solucin diremos que a un es residuo cuadrtico.

Si no admite solucin a no un es residuo cuadrtico.

Ejemplo 2.8

La congruencia x2 53 (md 7) tiene solucin.

x2 53 (md 7) x2 4 (md 7), que tiene una solucin evidente: x = 2

Ejemplo 2.9

Resolver la ecuacin x2 7x + 12 0(md 13).

La ecuacin propuesta tiene solucin como:

=

=

=

3 4

Esta ecuacin tiene dos, y slo dos races primitivas enteras: (3,4 )

Aunque no es imprescindible es conveniente transformar la ecuacin, adaptndola al

mdulo propuesto, eliminando el coeficiente de a y convirtiendo los monomios negativos

en positivos.

En nuestro caso, x2 7x + 12 0(md 13) es equivalente a:

X2 + 6x + 12 0(mod.13)

Para z2 62 4 1 12 (md13), z2 12(md 13) es equivalente a:

Z2 1 (md.13)

Si tenemos en cuenta que en la ecuacin x2 a(md p), cuando a = 1 a= a2, genera

soluciones en la forma

(p a)2 a(mod.p)

entonces

(13 1)2 1(mod.13)

donde

z2= 12 + 13t y z1 z2(md .13) 1(md.13)

donde

z1 = 1 + 13t.

Conocidos los valores de z, las races primitivas de x vendrn determinadas por:

2x + 6 1(md.13), equivalente a 2x 8(md.13), o sea, x 4(md. 13).

2x + 6 12(md.13), equivalente a 2x 6(md.13), o sea, x 3(md.13).

La solucin a la ecuacin planteada es:

X1= 3 + 13t

X2 = 4 + 13

Esta ecuacin tendr tantas soluciones como valores se le asignen a t, siendo t un entero

arbitrario.

Ecuacin de la forma: ax2 bx c 0(md.m), con m compuesto.

Ejemplo 2.10

Resolver la ecuacin 4x2 + 3x 10 0(md.35).

La ecuacin 4x2 +3x100(md.35) que es equivalente a

x2 +27x+15 0(md.35)

tendr solucin si, y slo si a su vez la tienen:

x2 +27x+150(md.5) y x2 +27x+15 0(md.7)

La primera ecuacin, equivalente a x2 +2x = 0(md.5), tiene como soluciones x1 = 0+5t y

x2 =3+5t. En cuanto a la segunda, equivalente a x2 +6x+10(md.7), x1=3+7t y

x2 =5+7t son sus dos races.

Para calcular las races de la ecuacin planteada, que en este caso sern cuatro, utilizaremos

el Teorema Chino de Restos.

0 + 5t 3(md.7) es equivalente a 5t 3(md.7), o sea, t 2(md.7)

0 + 5t 3(md.7) es equivalente a 5t 5(md.7), o sea, t 1(md.7)

3 + 5t 3(md.7) es equivalente a 5t 0(md.7), o sea, t 0(md o.7)

3 + 5t 5(md.7) es equivalente a 5t 2(md.7), o sea, t 6(md o.7)

Ahora, despejamos los valores de las distintas x como sigue:

x=0+5(2+7t)=10+35t, x=0+5(1+7t)=5+35t

x=3+5(0+7t)=3+35t, x=3+5(6+7t)=33+35t

por tanto las soluciones a la ecuacin sern:

x =3,5,10,33(md.35)

2.4 Criptografa

Es la parte de la criptologa, que trata del diseo e implementacin de los sistemas secretos.

La otra parte de la criptografa es el criptoanlisis que trata del estudio de descifrar estos

sistemas.

Texto plano se define como el mensaje que el emisor enva a un receptor, y los mensajes

secretos que son enviados se denomina texto cifrado. Ambos se escriben con letras, signos

de puntuacin, nmeros o cualquier otro smbolo.

Los textos planos y cifrados se dividen en unidades de mensajes por un elemento del

alfabeto o por bloques de dos o ms smbolos.

A la informacin que permite determinar las funciones de cifrado y descifrado se denomina

clave.

Un sistema criptogrfico est compuesto por un alfabeto, conjunto claves, conjunto de

transformaciones de cifrados y desciframientos. Si los algoritmos de cifrados y descifrados

son sencillos de aplicar conocida la clave, pero difcil de descriptar es un buen sistema

criptogrfico.

2.4.1 Cifrado Monogrfico.

Se basan en la sustitucin de cada smbolo del alfabeto por otro smbolo. Los

criptosistemas ms elementales estn basados en la aritmtica mdulo n.

El sistema de Julio Cesar : consista en remplazar cada letra del alfabeto por la letra que se

encontraba tres posiciones adelante.

Usando el alfabeto usual de 27 letras de la A a la Z, donde hemos excluido las letras CH,

LL vamos a describir cmo funciona este sistema.

Se empieza asignando a cada letra un nmero que denominaremos el equivalente numrico

cmo se observa en la tabla siguiente.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

T U V W X Y Z

20 21 22 23 24 25 26 Tabla N1 Equivalente numrico

Representando P el equivalente numrico de una letra en el texto plano y por C el

equivalente numrico de la correspondiente letra en el texto cifrado, para el sistema de

Cesar, tenemos la transformacin

C P + 3(md 27)

Para mayor facilidad reuniremos los textos plano y los textos cifrados en la tabla siguiente:

Texto

plano A B C D E F G H I J K L M N O P Q

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Texto

cifrado 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D E F G H I J K L M N O P Q R S T

Texto

plano R S T U V W X Y Z

18 19 20 21 22 23 24 25 26 Texto

cifrado 21 22 23 24 25 26 0 1 2

U V W X Y Z A B C Tabla N2. Cifrado C P + 3(md 27)

Para cifrar un mensaje usando esta transformacin, cambiamos la letra por su equivalente

numrico, seguido cambiamos cada uno de estos nmeros sumndole 3 y con mdulo 27, y

transformamos nuevamente los nmeros obtenidos a las letras para obtener un mensaje que

ser enviado.

Ejemplo 2.11

Cifrando la palabra YACIMIENTO usando la transformacin de cesar.

Primero su equivalente numrico.

25 0 2 8 12 8 4 13 20 15

Sumando tres a cada nmero y tomando el resultado mdulo 27. Buscando en la tabla (2)

resulta:

1 3 5 11 15 11 7 16 23 18

El texto cifrado ser. BDFLOLHPWR

Ejemplo 2.12

Descifrar un mensaje recibido si sabemos que el cifrado utilizado es el de Julio Cesar.

El mensaje recibido es:

KRBH VHG LDHV FRJL GRAA

Convirtiendo las letras en nmeros usando el equivalente numrico. (tabla 2)

10 18 1 7 22 7 14 6 11 3 7 22 5 18 9 11 6 18 0 0

Aplicando a cada uno la transformacin Cifrado C P 3( md 27 ) que es la inversa de

la transformacin de Cesar, tenemos

7 15 25 4 19 4 11 3 8 0 4 19

2 15 6 8 3 15 24 24

Luego escribimos las letras correspondientes encontrando

HOYE SELD IAES COGI DOXX ledo correctamente

dice HOY ES EL DIA ESCOGIDO.

La trasformacin C P + K (md 27) es un caso particular del cifrado de Julio Cesar

con 0 k 26, que no son ms que traslaciones. La transformacin para descifrar los

mensajes cifrados ser: P C - k (md 27). Existen 27 probables translaciones.

Las translaciones es un caso especial de las translaciones afines de la forma:

C aP + b (md 27), donde 0 a, b 26 y (a, 27) = 1

La transformacin de desciframiento para una transformacin afn es:

P a-1 ( C b )(md 27 ).

Donde 0 P 26 aa-1 1 ( md 27 )

La siguiente tabla muestra los inverso mdulo 27 menores que 27 positivos y primos

relativos con 27.

A 1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 19

a-1

1 14 7 11 4 17 19 5 25 2 22 8 10

a 20 22 23 25 26

a-1

23 16 20 13 26 Tabla.3 Inversos md 27 de los nmeros positivos < 27 primos relativos.

Ejemplo 2.13

Se quiere descifrar el siguiente texto, usando una transformacin a fin.

RPGNR HPGTG NHZGH EJHOD XQRHT IHPJG PDE

E A O L S N D R U I T C

16,78 11,96 8,69 8,37 7,88 7,01 6,87 4,94 4,80 4,15 3,31 2,92

P M Y Q B H G F

2,78 2,12 1,54 1,53 0,92 0,89 0,73 0,52

Tabla 4. Muestra en porcentaje la frecuencia de ocurrencias ms usadas en espaol, en orden decreciente

Las letras de mayor frecuencia son la H que aparece 6 veces y la G que aparece 5 veces.

Por lo tanto pensar en la E se transforma en H y la A se transforma en G. Cmo el

equivalente numrico es 7, tenemos la relacin.

7 4a +b(md 27) (1)

Al mismo tiempo, tenemos la relacin 6 0a +b(md 27) (2)

Resolviendo las congruencias (1) y (2)

b 6(md 27) (3) y 4a 1(md 27) (4)

Multiplicando la congruencia (4) por siete, que es el inverso de 4 mdulo27, obtenemos

finalmente

a 7(md 27) y b 6(md 27)

Luego la transformacin usada fue C 7P + 6 (md 27)

Luego se precede a buscar el mensaje cifrado como en los ejemplos anteriores.

Encontramos el mensaje igual que en los ejemplos anteriores, encontrando que el mensaje

cifrado es:

UNA BUENA CABEZA ES MEJOR QUE CIEN MANOS

Todo el mensaje se puede leer directamente de la tabla de textos plano y

cifrado.

Conclusiones

Luego de realizada la investigacin sobre el teorema chino de los restos y algunas

aplicaciones, podemos concluir:

El teorema chino de los restos, es conocido y utilizado por los chinos desde la

antigedad.

Es un importante resultado de la teora nmero, relacionados con propiedades de

congruencia y linealidad.

Las propiedades de congruencia son de gran utilidad en el desarrollo de sistemas de

congruencias lineales utilizando el teorema chino de los restos.

El teorema chino de los restos tiene importantes aplicaciones en criptografa.

Referencias Bibliogrficas

Las siguientes fuentes originales son dignas de un estudio ms minucioso del Teorema

Chino de los Restos de parte de los lectores interesados.

1. Libros

Ivan Matveenvich Vinagradov

Fundamentos de la teora de los

nmeros. Editorial Mir Moscu 1 977

Burton W. Jones Teora de los Nmeros.

Editorial Trillas Mxico 1969

Luis R Jimnez, Jorge Gordillo,

Gustavo Rubiano

Teora de nmero [para principiantes]

Universidad Nacional de Colombia,

Sede Bogot 2 004 . Segunda Edicin

Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman Introduccin a la teora de nmeros.

Mxico 1 969.

T.M.Apostol Introduccin a la teora analtica de

nmeros. Espaa 2 002.

Hugo Barrantes, Manuel Murillo. Introduccin a la Teora de Nmeros, San

Jos Costa Rica. 2007

2. Consultas de Internet

Htpp:www.enwipedia.org/Niki/linear_congruencia_theorem

Aplicaciones Del Teorema Chino de Los Restos

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