APLICACIONES DE GEOGEBRA AL ANÁLISIS. II JORNADAS DE ...

APLICACIONES DE GEOGEBRA AL ANÁLISIS.II JORNADAS DE GEOGEBRA DE ANDALUCÍA.

HUELVA 2011.

Raúl Manuel Falcón Ganfornina.

Ricardo Ríos Collantes de Terán.

Eva Barrena Algara.

Rosana Ramírez Campos.

Resumen.

En el presente taller se elaboran actividades con GeoGebra para utilizarlas en el aula de Matemáticasen el Bloque de Funciones y Grá�cas de la ESO y en el bloque de Análisis en Bachillerato. Para ello sehace uso de las diferentes zonas de la ventana de trabajo del programa explorando, entre otras cosas, lasposibilidades de la hoja de cálculo para crear una base de datos de funciones, estudiar su composicióno crear una tabla de valores de las mismas, así como para resolver problemas de optimización y evitarcálculos reiterativos en los problemas tipo �prueba de diagnóstico�. Para concluir se investigan los distintosbancos de recursos que se encuentran en la red, diferenciados por temática y nivel educativo.

Contenidos:1. Contenidos básicos 6. Derivadas y optimización2. Base de datos de funciones 7. Programación lineal3. Tabla de valores 8. Operaciones entre funciones: Diseño grá�co4. Coordenadas cartesianas 9. Problemas tipo �Prueba de diagnóstico�5. Proporcionalidad directa/inversa 10. Enlaces

1 CONTENIDOS BÁSICOS. Página 1

1. Contenidos básicos.

En la ventana de trabajo de GeoGebra aparecen varias zonas diferenciadas a las que haremos referenciaa lo largo del taller:

ZONAS DE LA PANTALLA DE GEOGEBRA: http://geogebra.es/cvg/01/zonas.html

Aplicaciones de GeoGebra al Análisis.

II Jornadas de GeoGebra de Andalucía. Huelva, 2011.

Raúl Manuel Falcón Ganfornina, Ricardo Ríos Collantes de Terán, Eva Barrena Algara, Rosana Ramírez Campos.

http://geogebra.es/cvg/01/zonas.html

1 CONTENIDOS BÁSICOS.

En GeoGebra se pueden observar las grá�cas de funciones siempre que éstas sean funciones de unavariable real x. Para ello basta con introducir la función en la barra de entrada de la hoja de trabajo.Algunas de las funciones prede�nidas son las siguientes:

1. Raíz cuadrada: sqrt(x).

2. Raíz cúbica: cbrt(x).

3. Exponencial: exp(x), ex.

4. Logaritmos: ld(x), lg(x), ln(x).

5. Valor absoluto: abs(x).

6. Trigonométricas: sin(x), cos(x), tan(x), acos(x), asin(x), atan(x).

7. Hiperbólicas: sinh(x), cosh(x), tanh(x), acosh(x), asinh(x), atanh(x).

8. Parte entera: floor(x).

En caso de querer introducir una función no prede�nida, esto puede hacerse directamente en labarra de entrada (ej.: f(x) = x2), dibujándose automáticamente la grá�ca de dicha función en todosu dominio. Si se quiere obtener dicha grá�ca en un intervalo concreto, se usaría el comando:

Función[<Función>, <Valor inicial>, <Valor �nal>].

Dado un punto P = (a, b), se pueden obtener sus coordenadas a y b escribiendo en la barra deentrada respectivamente x(P ) e y(P ).

Dada una función f(x):

1. Función derivada: f ′(x), Derivada[f ].

2. Integral inde�nida: Integral[f ].

3. Integral de�nida entre a y b (dibuja región): Integral[f, a, b].




2 BASE DE DATOS DE FUNCIONES. Página 3

2. Base de datos de funciones.

A la hora de generar una actividad en GeoGebra es usual crear una plantilla genérica que posibiliterealizar cambios posteriores para crear actividades similares. La posibilidad de generar números aleatoriosen GeoGebra facilita este hecho si previamente de�nimos una base de datos con los posibles objetos aestudiar.

Actividad 1. Crea una base de datos de funciones que pueda ser utilizada en actividadesposteriores.

1. En una nueva ventana de trabajo, habilita la hoja de cálculo y desplaza las casillas hasta la columnaZ.

2. En la celda Y 1 escribe �Recta� y en la celda Z1 escribe:

AleatorioEntre[−10, 10]x+AleatorioEntre[−10, 10]

Pulsando F9 podemos generar de forma aleatoria una nueva recta cada vez. Oculta la funciónZ1(x).

3. En la celda Y 2 escribe �Parábola� y en la celda Z2 escribe:

AleatorioEntre[−10, 10]x2 +AleatorioEntre[−10, 10]x+AleatorioEntre[−10, 10]

Oculta la función Z2(x).

4. En la celda Y 3 escribe �Racional1� y en la celda Z3 escribe:

AleatorioEntre[−10, 10]/(x−AleatorioEntre[−10, 10])


5. En la celda Y 4 escribe �Racional2� y en la celda Z4 escribe:

AleatorioEntre[−10, 10]/((x−AleatorioEntre[−10, 10]) ∗ (x−AleatorioEntre[−10, 10]))





2 BASE DE DATOS DE FUNCIONES.

6. Selecciona las celdas Z1 a Z4 y, con el botón derecho del ratón, crea una lista asociada.

7. En la ventana de propiedades, marca como auxiliares las funciones Z1(x) a Z4(x) y la lista L1.

8. Crea la función aleatoria:

f(x) = Elemento[L1, AleatorioEntre[1, Longitud[L1]]]

�Recuerda que pulsando F9 podemos generar de forma aleatoria nuevas funciones.

Disponer de una base de datos permite elaborar actividades aleatorias sobre funciones en una mismahoja de trabajo. Poniendo un ejemplo, en el archivo de GeoGebra que aquí enlazamos, los alumnos tienenque hacer el estudio analítico completo de una función, que sale de forma aleatoria entre varias. Así losalumnos trabajan con el mismo archivo pero distintas funciones.

http://www.geogebra.org/en/upload/index.php?action=downloadfile&filename=Analisis.

ggb&directory=spanish/omthales/JornadasGeoGebra2011&




http://www.geogebra.org/en/upload/index.php?action=downloadfile&filename=Analisis.ggb&directory=spanish/omthales/JornadasGeoGebra2011&

http://www.geogebra.org/en/upload/index.php?action=downloadfile&filename=Analisis.ggb&directory=spanish/omthales/JornadasGeoGebra2011&

3 TABLA DE VALORES. Página 5

3. Tabla de valores.

GeoGebra posibilita crear ejercicios relacionados con tablas de valores haciendo uso de su hoja de cálculo.

Figura 1: Rellenar una tabla de valores con corrección automática.

Actividad 2. Pedir al alumnado que complete una tabla de valores asociado a una funcióndada y = f(x). El programa de forma automática indicará si la respuesta es correcta oincorrecta.

1. En una ventana nueva de trabajo, habilita la Vista Hoja de Cálculo.

2. Introduce en la barra de entrada la función a estudiar, por ejemplo: f(x) = x2. Dependiendo dela di�cultad que se quiera dar al ejercicio, se puede mostrar u ocultar la grá�ca de la función, aligual que la cuadrícula de fondo (Figura 1).

3. En las celdas A1, B1 y C1 introduce respectivamente: �x�, �f(x)� y f(x).

4. Introduce en las columnas A y B los datos que se facilitarán al alumnado, por ejemplo: A2 = 1,A5 = 12, B3 = 4, B4 = 25.

5. En la celda C2 introduce el siguiente comando:

Si[f(A2)==B2, "Correcto", "Incorrecto"]

6. Marca la casilla C2 con el ratón y arrastra el control de relleno hasta la última �la de datos (ennuestro ejemplo, hasta la casilla C5).

7. Elimina los ceros que GeoGebra genera de forma automática en los huecos de la tabla de valores.

�

Nota: Elaborado un ejercicio modelo, puede generarse otros similares sin más que modi�car la funciónf(x) en la Vista Algebraica.




3 TABLA DE VALORES.

Unos de los problemas que nos encontramos con GeoGebra en el inicio del estudio de la representaciónde las funciones es que los alumnos no pueden dibujar una función que pasa por los puntos dados enuna tabla, salvo que sea una función lineal. Con la siguiente actividad se pretende crear una nuevaherramienta que permita dibujar la grá�ca de una función a partir de su tabla, igual que lo haría unalumno en su cuaderno. Está actividad no es para que los alumnos la desarrollen en la clase, sino paraque si la consideráis de interés la podáis incorporar en los archivos de GeoGebra que trabajéis en el aula.¾Os atrevéis a diseñar la herramienta antes de ver cómo se nos ha ocurrido a nosotros?

Actividad 3. Crear una nueva herramienta para representar funciones �suaves�, es decirderivables, que pasen por un determinado número de puntos: A1, A2, A3, ..., An.

Para hacer esta actividad al principio optamos por resolver el problema de interpolación. Pero elresultado no nos convenció ya que si varias un solo punto te puede variar la grá�ca entera. Lo cual notiene sentido para muchos de los problemas que le vamos a presentar a los alumnos.

La idea que se nos ocurrió es hacerla trozos entre cada Ai y Ai+1. Para que fuera �suave� teníamos quehacer que esos puntos las derivadas laterales de cada trozo coincidieran. Así, tendríamos que �jar cuatrocondiciones a cada trozo: que pasará por los puntos Ai y Ai+1, y con un valor de las derivadas concretoen cada uno de ellos. Estaba claro que tenía que ser un polinomio de grado tres f(x) = ax3+ bx2+ cx+dpara establecer los coe�cientes a partir de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

El problema que surge es determinar cuáles deben ser las derivadas. Se nos ocurrió tener en cuentael punto anterior y el posterior, Ai−1, ..., Ai+1, de la siguiente manera:

Para reducir notación engorrosa vamos a suponer que tenemos los puntos A,B,C y D. Y vamos acrear una herramienta que nos construya el polinomio de grado tres que pase por B y C y cuyas tan-gentes en estos puntos sean paralelas a AC y BD, respectivamente. Pues vamos a hacerlo en GeoGebra,utilizando las matrices:

1. Primero de�nimos las dos pendientes de las rectas AC y BD:

m1 = (y(C)− y(A))/(x(C)− x(A))

m2 = (y(D)− y(B))/(x(D)− x(B))

2. El sistema que tenemos que resolver es:ax(B)3 + bx(B)2 + cx(B) + d = y(B)

ax(C)3 + bx(C)2 + cx(C) + d = y(C)

3ax(B)2 + 2bx(B) + c = m1

3ax(C)2 + 2bx(C) + c = m2

3. Escribimos la matriz de coe�cientes:

Coeficientes = {{x(B), x(B), x(B), 1}, {x(C), x(C), x(C), 1}, {3x(B), 2x(B), 1, 0}, {3x(C), 2x(C), 1, 0}}




3 TABLA DE VALORES. Página 7

4. Y resolvemos el sistema multiplicando la inversa de la matriz de los coe�cientes por el vector delos términos independientes:

S = MatrizInversa[Coeficientes]{{y(B)}, {y(C)}, {m1}, {m2}}

5. A continuación escribimos la función, haciéndola cero fuera del intervalo (x(B), x(C)):

p(x) = Si[x < x(C), Si[x > x(B), Elemento[Elemento[S, 1], 1]x3+

Elemento[Elemento[S, 2], 1]x2 + Elemento[Elemento[S, 3], 1]x+

Elemento[Elemento[S, 4], 1], 0], 0]

6. Ahora creamos una nueva herramienta desde el menúHerramientas/Creación de HerramientaNueva. En Objetos de Salida seleccionamos la función p(x), en Objetos de Entrada loscuatros puntos ordenados y le ponemos el nombre que queramos y pinchamos en concluido.

7. Ya estamos en disposición de crear una función que pasa por un determinado número de puntos,por ejemplo por 6 puntos: A1, A2, A3, A4, A5 y A6. Basta con crear los �trozos� uno a uno y despuéssumarlos. Surge un pequeño problema con los extremos, ya que nos faltaría un punto para poderutilizar la nueva herramienta. Para solventar este problema una primera opción sería crear dospuntos nuevos, por ejemplo, los simétricos con respecto al extremo del punto anterior o posterior,según corresponda:

A0 = 2A1 −A2 A7 = 2A6 −A5.

Otra posibilidad sería crear para los extremos un polinomio de grado dos que pasa por los dos puntosy que en uno de ellos la derivada esté �jada.

Volviendo a la primera opción, utilizamos la herramienta creada para generar cinco funciones, quellamaremos pi, a partir de los puntos Ai−1, Ai, Ai+1 y Ai+2 para i = 1, 2, 3, 4 y 5. La función quebuscamos es:

f(x) = Función[p1(x) + p2(x) + p3(x) + p4(x) + p5(x), x(A1), x(A6)]

8. Finalmente creamos la nueva herramienta desde el menú Herramientas/Creación de Herra-mienta Nueva. En Objetos de Salida seleccionamos la función f(x) y en Objetos de Entrada,los seis puntos ordenados. Le ponemos el nombre que queramos y pinchamos en concluido.

Ya podemos dibujar la grá�ca de una función a partir de una tabla con seis datos.

�




4 COORDENADAS CARTESIANAS.

4. Coordenadas cartesianas.

El clásico juego �Batalla Naval� puede resultar de gran utilidad al comenzar a tratar el concepto decoordenada cartesiana.

Actividad 4. Diseño en GeoGebra de una actividad basada en el juego �Batalla Naval�.

1. En una ventana nueva de trabajo, utiliza la herramientaVista Grá�ca para visualizar una Cuadrícu-la de Distancia 1− 1.

2. Crea como objeto auxiliar una lista Flota con 17 puntos correspondientes a los cinco barcos de la�ota: Portaaviones (5 puntos), acorazado, (4 puntos), crucero (3 puntos), submarino (3 puntos),destructor (2 puntos). Por ejemplo:

Flota = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (4, 6), (4, 7), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (7, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(6, 6), (7, 6), (8, 6)}

3. Crea el punto A = (0, 0) asociado al disparo y ocúltalo.

4. Para conocer si el disparo da en el blanco o no, escribe en la barra de entrada:

Acierto = Suma[Secuencia[Si[Elemento[Flota, i] == A, 1, 0], i, 1, 17]]

5. A continuación crea un cuadrado que marcará sobre la cuadrícula el efecto producido al efectuar eldisparo:

Polígono[A+(0.43,0.43), A+(-0.43,0.43),A+(-0.43,-0.43),A+(0.43,-0.43)]

6. Oculta los rótulos de los segmentos, activa sus rastros y maximiza sus grosores.

7. En la ventana de propiedades, marca los objetos Cuadrilátero y Segmento. En la solapa Avanzado,escribe en Colores dinámicos:

Rojo: Acierto==1

Azul: Acierto==0

8. Coloca como auxiliar todos los elementos salvo el punto A. Basta cambiar las coordenadas de dichopunto para empezar a jugar. �




5 PROPORCIONALIDAD DIRECTA/INVERSA. Página 9

5. Proporcionalidad directa/inversa.

Como ya sabemos, GeoGebra nos puede facilitar la explicación de los conceptos a los alumnos asícomo el aprendizaje por parte de los alumnos. Aquí se muestra cómo construir una archivo de apoyo alestudio de las funciones de proporcionalidad.

Actividad 5. Análisis de la proporcionalidad en la ecuación e = v · t, a partir del estudio deldesplazamiento de dos ruedas de sendos vehículos que se desplazan a distintas velocidades.

1. Crea un deslizador t asociado al tiempo, de�nido en el intervalo [0, 20].

2. Crea un deslizador v asociado a la velocidad, de�nido en el intervalo [0, 2]. Supondremos que elprimer vehículo circula siempre a velocidad unidad, mientras que la velocidad del segundo vehículoestará asociada al deslizador v.

3. Dibuja las grá�cas de las funciones distancias asociadas:

f(x) = x, g(x) = v x

4. De�ne un punto sobre cada una de las grá�cas, dependiendo del deslizador tiempo:

P = (t, f(t)), Q = (t, g(t))

5. Crea las vías por las que circularán los vehículos a estudiar:

y = −6, y = −10

6. De�ne, en función del tiempo, la posición de las ruedas de dichos vehículos:

A = (t,−10), B = (t,−9), c = Circunferencia[B,A]

C = (v t,−6), D = (v t,−5), d = Circunferencia[D,C]

Ocultar todos los puntos de la circunferencia.

7. Para dar sensación de movimiento cíclico, haz uso de la función cicloide (oculta las curvas trasde�nirlas):

a = Curva[t+ sin(t), cos(t)− 9, t, 0, 40]

b = Curva[t+ sin(t), cos(t)− 5, t, 0, 80]

8. De�ne un punto en cada una de las cicloides: E = a(t), F = b(v t)

9. Selecciona Animación Automática en el deslizador tiempo y mueve el deslizador velocidad paraanalizar la proporcionalidad entre espacio, velocidad y tiempo. �




6 DERIVADAS Y OPTIMIZACIÓN.

6. Derivadas y optimización.

GeoGebra también nos permite resolver problemas de optimización con diferentes estrategias.

Actividad 6. Maximizar el área de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia dada deradio 1.

Resolución grá�ca:

1. Creamos un deslizador t en el intervalo [−1, 1].

2. Dibujamos una circunferencia centrada en el punto O = (0, 0) y de radio 1. Ocultamos el centro.

3. En la barra de entrada escribimos:

A = (t, sqrt(1− t2)), B = (−t, sqrt(1− t2)), C = (−t,−sqrt(1− t2)), D = (t,−sqrt(1− t2))

4. Creamos el polígono ABCD y hallamos su área con el comando área.

5. Hallamos el lado del cuadrilátero mediante el comando distancia.

6. Observamos cómo, al mover el deslizador, varía el cuadrilátero inscrito en la circunferencia yconsecuentemente, su área.




6 DERIVADAS Y OPTIMIZACIÓN. Página 11

Resolución analítica:

En la hoja de trabajo de la resolución anterior, representamos grá�camente la función área, su deriva-da y su tangente en cada punto siguiendo los pasos:

1. Tecleamos en el campo de entrada la función:

area(x) = abs(2 ∗ x ∗ 2 ∗ sqrt(1− x2))

2. Creamos un punto P sobre la grá�ca de la función introduciendo en la barra de entrada:

P = (t, area(t))

3. Activamos el modo Tangentes y pinchamos sobre el punto P y sobre la grá�ca de la función area,con lo que obtenemos una línea e tangente a la función area en el punto P .

4. Tecleamos el comando m = Pendiente[e] para obtener un triángulo ilustrativo de la pendiente dela tangente.

5. Tecleamos Z = (x(P ),m) y activamos la traza de este punto.

6. Tecleamos el comando Derivada[area] para obtener la función derivada.

7. Observamos, al mover el deslizador, que el máximo y mínimo área se obtienen en los puntos dondela pendiente se anula.




7 PROGRAMACIÓN LINEAL.

7. Programación lineal.

La programación lineal es una de las aplicaciones más inmediatas y también más visuales del estudiode las inecuaciones y de los sistemas de inecuaciones. Las técnicas y los procedimientos matemáticos queinvolucra son sencillos a pesar de la importancia de los resultados que proporcionan.

Actividad 7. En un comedor escolar se desea diseñar un menú para los alumnos que debecumplir las siguientes especi�caciones:

1. El número de calorías no ha de ser inferior a 2000.

2. Debe contener un total de, al menos, 60g de proteínas.

3. Debe contar un total de, al menos, 80g de grasas.

Para ello se dispone de dos platos con las siguientes características:

Calorías Proteínas Grasas1o plato (100 g) 250 10 152o plato (100 g) 800 15 20

El precio de 100g del segundo plato es doble del de 100g del primero. Halla cuántosgramos se deben servir de cada plato para que el coste sea mínimo.

1. Inserta en la barra de entrada las tres ecuaciones que corresponden con las inecuaciones nece-sarias para resolver el problema.

2. Calcula todos los puntos de corte necesarios. No te olvides de las dos restricciones implícitas en elproblema.

3. Obtén la Región Factible. Para ello ponemos un punto libre A y en la barra de entrada escribimosla condición que debe cumplir el punto A:

d : 5x(A) + 16y(A) > 40 ∧ 2x(A) + 3y(A) > 12 ∧ 3x(A) + 4y(A) > 16 ∧ x(A) > 0 ∧ y(A) > 0

4. En Propiedades avanzadas del punto A dentro de Colores Dinámicos escribimos:

Rojo: Si[d, 1, 0]. Verde: 0. Azul: 250.

5. Hay que activar el Rastro del punto A. De esta manera cuando arrastremos el punto A, será Rojodentro de la región factible y Negro fuera de ella.

6. Cambia los estilos de las rectas y los puntos obtenidos, de manera que los valores sean visibles(tanto para las rectas como para los puntos).

7. Activa la Vista Hoja de Cálculo, en Vista/Hoja de Calculo e introduce por �las los vértices de laRegión Factible.

8. En la Columna C introduce la fórmula de la Función Objetivo (utilizando las casillas de la Hoja deCalculo).

9. Arrastra, de igual modo que el Excel y en Calc, para obtener el precio en cada combinación posibleque hemos obtenido. Elige la combinación en la que el coste (función objetivo) sea mínimo. �




7 PROGRAMACIÓN LINEAL. Página 13

La búsqueda de la región factible también se puede hacer utilizando una especie de escáner como seexplica en la siguiente sección, quedando como se ve en la imagen.




8 OPERACIONES ENTRE FUNCIONES: DISEÑO GRÁFICO.

8. Operaciones entre funciones: Diseño grá�co.

En la página Web http://geogebra.es/color_dinamico/color_dinamico.html se explica cómoutilizar los colores dinámicos de GeoGebra para obtener distintos tipos de diseños grá�cos. Usando estaidea, veamos cómo in�uye la composición de funciones en la creación de diseños grá�cos:

Actividad 8. Analizar las operaciones básicas entre funciones mediante el color dinámicode GeoGebra.

1. Trabajaremos en la región [−10, 10]× [−10, 10]. Para ello, de�ne en la barra de entrada:

mx = −10 Mx = 10 my = −10 My = 10

2. Crea un deslizador t de�nido en [0, 1] y con incremento 0,001.

3. De�ne en la barra de entrada:n = 300

L = Secuencia[(mx+ (Mx−mx)t,my + i (My −my)/n), i, 0, n]

f(x) = sin(x)

g(x) = cos(x)

4. Oculta las dos funciones creadas.

5. Habilita la Vista de Hoja de Cálculo y rellena las siguientes casillas:

A1 = 1 A2 = A1 + 1 A3 = A2 + 1

6. Usa el control de relleno para completar la columna A hasta la celda 300.

7. Rellena la casilla siguiente:B1 = Elemento[L,A1]

8. Activa el rastro de B1 y, en sus propiedades avanzadas, de�ne los siguientes colores dinámicos:

Rojo: f(x(B1)) + g(y(B1))

Verde: f(x(B1))/g(y(B1))

Azul: f(x(B1)) ∗ g(y(B1))

9. Usa el control de relleno para completar la columna B hasta la celda 300.

10. Activa la animación automática de t.

�




http://geogebra.es/color_dinamico/color_dinamico.html

9 PROBLEMAS TIPO �PRUEBA DE DIAGNÓSTICO�. Página 15

9. Problemas tipo �Prueba de diagnóstico�.

A continuación os proponemos resolver unos problemas tipo �Prueba de diagnóstico� con GeoGebrapara que re�exionemos sobres las posibilidades que nos ofrece este programa para reducir el tiempo encálculos reiterativos y poder así dedicarle más tiempo a la re�exión sobre el procedimiento empleado enla resolución, así como a la búsqueda de soluciones alternativas.

Actividad 9. Los técnicos forestales de una región muy boscosa estiman que sus árbolesrepresentan un volumen de madera de 30 m3 por hectárea, y que el crecimiento de estacifra es de un 4% anual.

a) Teniendo en cuenta estos datos, ¾qué volumen de madera, por hectárea, tendrá elbosque dentro de un año? ¾Y dentro de dos años? (Redondea los resultados a unidadesde metros cúbicos).

b) ¾Cuál es la expresión analítica que relaciona el volumen de madera del bosque, V ,en metros cúbicos, con el transcurso del tiempo, t, en años? Haz su representacióngrá�ca.

c) Si un incendio destruyera el bosque y se replantase con lo equivalente a 1 m3 de maderapor hectárea, ¾cuántos años deberían transcurrir para recuperar la actual cantidad demadera, suponiendo un mismo ritmo de crecimiento? Haz estimaciones para 40, 50, 60,... años.

La actividad se les presenta a los alumnos para que hagan una resolución dinámica que permitacontestar a estas preguntas y a muchas más de manera casi instantánea. Para realizar la actividad seles da las siguientes instrucciones, en donde se guía al alumno para que además de resolver el problemapueda realizar un pictograma que nos indique proporcionalmente la cantidad de madera que hay. Siguelos siguientes pasos para resolver la actividad con GeoGebra:

1. Para empezar, activa la cuadrícula y los ejes en el menú Vista.

2. Activa también la Hoja de Calculo desde el menú Vista. Haz en la hoja de calculo una tabla paracontestar a las preguntas del apartado a) como la de la imagen. Para redondear, puedes utilizar elmenú Opciones/Redondeo.

3. Encuentra la expresión analítica V (x) donde x es el tiempo. Para representarla en GeoGebra,escríbela en la Barra de Entrada y pulsa Enter. Con el menú contextual sobre cualquier puntolibre de la Zona Grá�ca elige 1:2 de la escala EjeX : EjeY.




9 PROBLEMAS TIPO �PRUEBA DE DIAGNÓSTICO�.

4. Dibuja un punto de la grá�ca de la función. Sobre los datos de este punto A haremos el pictogramaque acompañe a la función.

5. Pero antes completa la tabla. Escribe más valores para la variable tiempo en la columna A. Despuésen la celda B2 escribe V(A2); en la B3: V(A3); y en la celda B4: V(A4). Selecciona estas tresúltimas celdas y arrastra hacía abajo desde la esquina inferior derecha de la selección, hasta la �laque corresponda. Finalmente en la siguiente línea escribe x(A) e y(A), que son los valores quecorresponden al punto A.

6. El pictograma que vamos a dibujar para hacer la presentación del problema más atractiva, vaa consistir en una secuencia de rectángulos que colorearemos de marrón para simular tablas demadera. Como aparece en la imagen.

Cada tablón representará 15 m3 de madera y será un rectángulo de 15 × 9 unidades. Todos ellosestarán apilados uno encima de otro con una unidad de espacio. Así el primero de ellos tendrásus vértices en: (−21, 0), (−6, 0), (−6, 9) y (−21, 9). Para el siguiente tendremos que sumarle 10 atodas las ordenadas. Para el tercero, 20, y así sucesivamente, obteniendo una sucesión aritmética:(21, 10i), (−6, 10i), (−6, 9+10i) y (−21, 9+10i). Para saber cuántas tablas completas hay que dibu-jar, determinamos el cociente (y el resto para después) de la división entre y(A) y 15, escribiendoen la Barra de Entrada:

d = Cociente[y(A), 15]

r = Resto[y(A), 15]

Escribimos, también en la Barra de Entrada, la sucesión de las �d� maderas completas:

Secuencia[Polígono[(−21, 10i), (−6, 10i), (−6, 10i+ 9), (−21, 10i+ 9)], i, 0, d− 1]

Y para el último trozo de madera, teniendo en cuenta que su longitud tiene que ser proporcional alresto, escribimos:

Polígono[(−21, 10d), (−21 + r, 10d), (−21 + r, 10d+ 9), (−21, 10d+ 9)]





7. Con las propiedades del menú contextual de la sucesión y del último polígono, hay que modi�carsus colores y sus estilos.

8. Por último insertamos el siguiente texto debajo de las maderas:

y(A) + ”m3 de madera en ” + x(A) + ”años.”

9. Para responder al apartado c) del problema tendríamos que representar la misma función peroreemplazado 30 por 1 m3. Realiza los siguientes cambios en el archivo anterior:

a) Activa de nuevo en Opciones/Redondeo, 2 Lugares decimales.

b) Escribe en la Barra de Entrada el valor inicial: v0 = 1

c) Picha dos veces sobre la expresión analítica de V (x) en la Zona Algebraica, y cambia el 30por v0, tantas veces como aparezca.

d) Posiblemente tengas que hacer un Zoom para ver mejor la grá�ca y poder contestar a lapreguntas del apartado c).

10. Para hacer las estimaciones solamente tienes que cambiar los valores de la columna A de la Hojade Cálculo.

11. Plantea otras preguntas variando la cantidad inicial de madera, y respóndelas.

12. Para contestar al apartado c), arrastra el punto A hasta (0, 1), y desplaza el punto B hasta que suordenada sea 30.

�




9 PROBLEMAS TIPO �PRUEBA DE DIAGNÓSTICO�.

Veamos un segundo problema:

Actividad 10. El volumen de agua almacenado en un depósito, V , depende del tiempo, t,en el que esté abierto un desagüe, según la expresión analítica:

V (t) = 5 ·(1 +

1

t+ 1

),

donde t viene dado en horas y V (t) en metros cúbicos.

a) ¾Cuál es la capacidad del depósito? Ten en cuenta que el volumen será máximo antesde abrirse el desagüe.

b) Se estima que una familia de cuatro miembros necesita unos 200 litros de agua diarios.¾Para cuántos días tendrían con el depósito lleno y el desagüe cerrado?

c) Suponiendo que el desagüe está abierto, completa una tabla de valores en la que serelacione V con t (toma t = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12). Construye una grá�ca con los datosque obtengas.

d) Si el desagüe se quedara abierto inde�nidamente, ¾se vaciaría del todo el depósito?Para averiguarlo, toma t = 100, t = 1000, t = 10000. ¾Qué observas?

La resolución con GeoGebra se reduce a escribir en la barra de Entrada:

1. La función que de�ne el volumen:

V (x) = 5(1 + 1/(x+ 1))

2. El volumen antes de abrirse el desagüe, es decir, el volumen en tiempo cero:

V 0 = V (0)





3. El número de días como el volumen total V0 entre los metros cúbicos que necesitan por día:

dias = V (0)/0.2

4. El volumen en los días que solicitan:V 2 = V (2)

V 4 = V (4)

V 6 = V (6)

V 8 = V (8)

V 10 = V (10)

V 12 = V (12)

5. El volumen en caso de abrir el grifo de forma inde�nida:

V 100 = V (100)

V 1000 = V (1000)

�




10 ENLACES.

10. Enlaces.

Se presentan a continuación una colección de trabajos en GeoGebra disponibles en la Web, clasi�cadosatendiendo a las Enseñanzas Mínimas de Secundaria y Bachillerato establecidas por los Reales Decretos1631/2006 y 1467/2007:

PRIMERO DE E.S.O.

Tabla de valores.

http://www.geometriadinamica.org/geogebra/ventanatrabajo2.htm

Coordenadas cartesianas.

http://web.educastur.princast.es/ies/vluz/geogebra/puntos cuadricula.html




http://www.geometriadinamica.org/geogebra/ventanatrabajo2.htm

http://web.educastur.princast.es/ies/vluz/geogebra/puntos_cuadricula.html

10 ENLACES. Página 21

Proporcionalidad directa.

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Arithme/Proportio.html

SEGUNDO DE E.S.O.

Crecimiento/decrecimiento.

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/ver3112/Fonctiontableau.html





http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/ver3112/Fonctiontableau.html

10 ENLACES.

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/Decroissance.html

Constante de proporcionalidad.





http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/Decroissance.html



http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctioa�ne/tabfonca�ne3.html

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Arithme/Ver3.120/InVproportion.html




http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctioaffine/tabfoncaffine3.html

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Arithme/Ver3.120/InVproportion.html

10 ENLACES.

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Arithme/Ver3.120/Proporinverse1.html

Aplicaciones reales.

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/ver3112/Pont2.html




http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Arithme/Ver3.120/Proporinverse1.html

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/ver3112/Pont2.html


TERCERO DE E.S.O.

Propiedades.

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/transfonction.html

http://www.geogebra.org/en/upload/�les/ruben/3ESOactFuncionesElementales.pdf




http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/transfonction.html

http://www.geogebra.org/en/upload/files/ruben/3ESOactFuncionesElementales.pdf

10 ENLACES.

Modelos lineales.

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/MDfonpaire.html

http://centros.edu.xunta.es/iesramoncabanillas/buapp/FUNCLINEAL.html




http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/MDfonpaire.html

http://centros.edu.xunta.es/iesramoncabanillas/buapp/FUNCLINEAL.html


Ecuaciones de una recta.

http://www.sopadenumeros.com/geogebra/recta.html

CUARTO DE E.S.O.

De�nidas a trozos.

http://web.educastur.princast.es/ies/vluz/geogebra/funcion trozos.html




http://www.sopadenumeros.com/geogebra/recta.html

http://web.educastur.princast.es/ies/vluz/geogebra/funcion_trozos.html

10 ENLACES.

http://www.vadenumeros.es/geogebra/analisis/trozos3.html

Exponenciales y cuadráticas.

http://www.sopadenumeros.com/geogebra/expo log.html




http://www.vadenumeros.es/geogebra/analisis/trozos3.html

http://www.sopadenumeros.com/geogebra/expo_log.html


http://www.vadenumeros.es/geogebra/analisis/exponencial.html

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/geogebra/web/funcioncuadratica1.htm




http://www.vadenumeros.es/geogebra/analisis/exponencial.html

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/geogebra/web/funcioncuadratica1.htm

10 ENLACES.

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/geogebra/web/funcionexponencial1.htm

BACHILLERATO I.

Polinómicas, racionales, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y lo-garítmicas.

http://www.iessanfulgencio.org/departamentos/matematicas/juanluis/funcionestrigonometricas.html




http://roble.pntic.mec.es/jarran2/geogebra/web/funcionexponencial1.htm

http://www.iessanfulgencio.org/departamentos/matematicas/juanluis/funcionestrigonometricas.html


http://platea.pntic.mec.es/jcarias/cns1/10funciones/funciones/funciones.html

Dominio, recorrido y extremos.

http://geometriadinamica.org/geogebra/ventanatrabajo3.htm




http://platea.pntic.mec.es/jcarias/cns1/10funciones/funciones/funciones.html

http://geometriadinamica.org/geogebra/ventanatrabajo3.htm

10 ENLACES.

Composición de funciones.

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/COMPOfonct2.html

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/COMPOfonct.html




http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/COMPOfonct2.html

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/COMPOfonct.html


http://www.sopadenumeros.com/geogebra/funcion seno circunferencia.html

Límites.

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/assymptotes.html




http://www.sopadenumeros.com/geogebra/funcion_seno_circunferencia.html

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/assymptotes.html

10 ENLACES.

Derivadas.

http://www.sopadenumeros.com/geogebra/derivada geometrica.html

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Derivee/tabvarderive.htm




http://www.sopadenumeros.com/geogebra/derivada_geometrica.html

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Derivee/tabvarderive.htm


http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/tabfonct.html




http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/tabfonct.html

10 ENLACES.

http://www.iesdelgadohernandez.es/pealfa/mates/matbach2cs/html/web04-derivadas1/02-derivargeogebra.html

Extremos relativos en un intervalo.

http://www.vadenumeros.es/geogebra/analisis/derivadas.html






http://www.vadenumeros.es/geogebra/analisis/derivadas.html


BACHILLERATO II.

Interpretación geométrica y física de derivadas.

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Derivee/Le skieur en derive.htm

Optimización.

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/ver3112/Cirque.html




http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Derivee/Le skieur en derive.htm

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/ver3112/Cirque.html

10 ENLACES.

Integral: áreas.

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/derivadas.htm

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/optimacion.htm




http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/derivadas.htm

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/optimacion.htm


http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/�guras/d11riemann.html

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/verrerouge.html




http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/d11riemann.html

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Fonctions/verrerouge.html

10 ENLACES.

http://www.eduvlog.org/2007/03/geogebra-integracin.html




http://www.eduvlog.org/2007/03/geogebra-integracin.html

APLICACIONES DE GEOGEBRA AL ANÁLISIS. II JORNADAS DE ...

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