Introducción

La Transformada de Fourier es una herramienta matemática que tiene un

uso muy amplio en lo referente al tratamiento digital de señales, se encuentra

implementada bajo la forma de dispositivos electrónicos de reconocimiento

de voz e imagen; puede ser aplicada a varios campos como análisis

espectral, ecuaciones diferenciales, resolución de problemas elásticos

estacionarios y dinámicos, etc.

El presente trabajo, enlaza los aspectos teóricos con la aplicación práctica de

la Transformada de Fourier en el procesamiento digital de imágenes

mediante el desarrollo de aplicaciones que implementan los algoritmos de la

Transformada Rápida de Fourier, los mismos que son explicados y

analizados de una manera clara y didáctica, en un texto de nivel superior

orientado a los estudiantes de Informática, Sistemas y Ciencias de la

Computación el cual se encuentra en construcción

La Transformada de Fourier

Una de las herramientas matemáticas más útiles en ciencia es la

transformada de Fourier (TF). Sus aplicaciones van desde la teoría de la

señal hasta la Climatología, pasando por la Geografía e incluso la Biología.

En relación a la Astronomía, hay muchos campos en los que es útil aplicarla.

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HISTORIA DE LA RESONANCIA MAGNÉTICA DE FOURIER

La resonancia magnética médica ha producido una revolución en la medicina

y en particular en la imaginología. En su historia se mezclan matemáticos,

físicos, químicos, ingenieros y médicos que desarrollaron conceptos sin una

relación aparente ni una utilidad inmediata y que lograron articular una

técnica de resultado impresionante, aunando elementos tan diversos como:

transformadas de Fourier y Radon, el concepto de spin, el spin nuclear, la

medición de los momentos magnéticos en el neutrón, en el protón, en la

materia condensada, en los tejidos, la solución de ecuaciones integrales, la

retroproyección, la difusión, los gradientes, la codificación de la señal en

frecuencia espacial, el espacio-K, las transformadas dobles de Fourier y la

imagen. Resulta extraordinariamente interesante notar en la historia de la

resonancia magnética la intrincada red de personajes que participaron y que,

descubrimientos sin aparente relación en diferentes campos, y sobre todo sin

una utilidad inmediata para la época, se articulan hoy produciendo una

revolución en el estudio y diagnóstico de los pacientes en la medicina. La

historia de la resonancia magnética es un magnífico ejemplo de que en

ciencias nadie sabe para quién trabaja.

la transformada de Fourier en la resonancia magnética:

Si G y g son funciones continuamente diferenciables y rápidamente

convergentes a cero, entonces se llama transformada de Fourier esta

expresión que nos muestra cómo una función continua se puede expresar

como la suma infinita (integral) de funciones trigonométricas basadas en la

ecuación de Euler: eie = cos θ + isen θ, es una expresión fundamental en el

corazón de buena parte de la tecnología de hoy (1,2). Se encuentra originada

en el extenso y original trabajo del matemático francés Jean Baptiste Joseph

Fourier (1768-1830). Fourier era hijo de un sastre y, educado por los

benedictinos, fue ingeniero y matemático. Ejerció una cátedra militar de

matemáticas. Acompañó a Napoleón en su expedición oriental de 1798 y fue

nombrado gobernador del Bajo Egipto. De regreso en Francia en 1801, inició

sus estudios sobre la propagación del calor que condujeron a la publicación

de su obra cumbre en 1822: "Théorie analytique de la chaleur". En esta obra,

Fourier estudió la ecuación diferencial del flujo de calor y, como parte de ello,

intentó demostrar que cualquier función diferenciable puede ser expandida

en una serie trigonométrica. Trabajos posteriores de los matemáticos

Dirichet, Riemann, Lebesgue, Ardí, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg,

Weil, Weyl y Radon con su transformada (de Radon o de rayos X) han

desarrollado y completado la teoría (1,3). Este paso, aparentemente

irrelevante para la medicina en su época, es esencial tanto en la tomografía

computada como en la resonancia magnética médica de hoy,

la transformada de Fourier en La físico-química

El siguiente avance se le debe a E. L. Hahn en 1949(20) quien surgió la idea

de Bloch, de producir una corta excitación mediante un pulso de

radiofrecuencia, induciendo una señal hoy conocida como FID (Free

Induction Decay), base de las secuencias usadas actualmente. El trabajo de

E. Hahn se publicó como una carta al editor en Physical Review en 1950. En

enero de 1950 se dio a conocer también por dos grupos independientes en el

mismo número de la revista Physical Review: "The dependence of a nuclear

magnetic resonance frequency upon chemical compound", de W.G. Proctor y

FC. Yu(21), estudiantes de Bloch en Stanford y "Dependence of the 19F

nuclear resonante position on chemical compound" de W. C. Dickinson del

MIT(22). En el primero se da cuenta del desplazamiento químico del 15N y

en el segundo del mismo fenómeno en el 19F También en ese año, HS

Gutowsky y CJ Ho-ffman(23) descubrieron la naturaleza química asociada al

desplazamiento químico, describiendo el fenómeno conocido como

acoplamiento escalar spin-spin, que ocurre cuando dos grupos de protones

no equivalentes producen desdoblamiento mutuo de sus señales, de gran

utilidad analítica en RM química.

En 1965, se publicó un trabajo que recién hoy comienza a tener

repercusiones en medicina. Se trata de "Spin difussion meassurements: spin

echoes in the presence of a time-dependent field gradient" de E. O. Stejskal y

J. E. Tanner(24) donde se establece la secuencia básica de las señales de

difusión del protón, hoy de gran interés en RM médica. Sin embargo, en 1966

se publica un extraordinario avance que cambiaría la dirección del desarrollo

de la RM: "Application of Fourier transform spectroscopy to magnetic

resonance" en Review of Scientific Instruments de Richard R Ernst y Wess W

Anderson (2526). Curiosamente, este trabajo fundamental fue rechazado dos

veces en el Journal of Chemical Physics por ser muy técnico y no lo

suficientemente original (25).

En este trabajo, los investigadores aplican una nueva técnica de

transformada de Fourier a la espectroscopia por RM. Utilizando la FID de

Hahn y analizando la transformada de la respuesta del sistema, aumentando

la razón señal/ruido además de abrir las puertas al análisis computacional de

las señales, reduciendo significativamente el tiempo de registro. Sin

embargo, en palabras de Ernst: "cuando uno considera el complicado

tratamiento de los datos adquiridos en un computador CAT 400, en papel,

luego siendo transferidos a tarjetas perforadas a un IBM San José, luego

traspasados a cinta magnética en el Service Bureau Corporation, Palo Alto,

para realizar la transformada de Fourier en un IBM 7090 y dibujados en un

Calcom Plotter, nadie podría haber estado convencido de un ahorro en

tiempo"(25). El físico-químico suizo Richard R. Ernst fue distinguido con el

premio Nobel de Química de 1991 (Figura 8) por su gran contribución al

avance de la espectroscopia por RM. El trabajo de Ernst, pone de relevancia

la importancia del trabajo de Fourier y sin duda repercute en todo el

desarrollo posterior de la técnica, no sólo en la química, donde permaneció

muchos años y sigue desarrollándose, sino también en la medicina.

Richar R. Ernst, físico-químico suizo, quien aplicó una nueva técnica de

transformada de Fourier a la espectroscopia por RNM, sentando las bases de

toda la tecnología moderna. Además participó en la creación del algoritmo

actual de transformación de la señala las imágenes mediantes transformadas

dobles de Fourier.

la transformada de Fourier en la Electricidad

La tensión que se suministra a los usuarios y la corriente resultante de sus

equipos deberían se ondas senoidales perfectas de 60 Hz, sin embargo, las

no linealidades presentes en el sistema y en las cargas de los usuarios,

causan distorsión en las formas de onda de tensión y corriente. Las cargas

no lineales producen corrientes no senoidales (alto contenido de armónicas)

a pesar de que se alimenten de una tensión senoidal pura. La distorsión de la

corriente provoca la distorsión de la tensión cuando fluye por las impedancias

de la red eléctrica.

• Las principales causas de la producción de armónicas son las siguientes:

Distorsión debida a la saturación magnética de materiales.

Configuración geométrica de máquinas eléctricas.

Comportamiento no-lineal de las cargas, es decir, comportamiento de

interrupción periódica repetitiva en circuitos eléctricos.

• Efectos de las armónicas en la red eléctrica desde el punto de vista técnico

Desde el punto de vista técnico, las armónicas producen una serie de efectos

negativos, que se resumen en lo siguiente:

Incremento de pérdidas en la red eléctrica y equipos.

Disminución de la vida útil de los equipos.

Pérdida de la calidad y de la confiabilidad del sistema eléctrico.

Aunque las corrientes armónicas de las cargas son las responsables de la

distorsión de la tensión, una carga individual no puede controlar dicha

distorsión, porque también depende de las corrientes solicitadas por el resto

de las cargas y de la impedancia del sistema eléctrico.

Por tanto, una misma carga provocará diferentes niveles de distorsión en la

tensión en función de donde se encuentre dentro del sistema eléctrico. El

reconocimiento de esta circunstancia da lugar a la división de las

responsabilidades en el control de la distorsión armónica.

La norma IEEE 519-1992, establece una serie de recomendaciones y

requisitos para el control de las armónicas en los sistemas eléctricos y

especifica lo siguiente:

El control de la cantidad de armónicas de corriente inyectadas al sistema

eléctrico la deberá tener el consumidor.

Si se asume que la inyección de armónicas de corriente se encuentra

dentro de límites razonables, el control de la distorsión de tensión lo deberá

ejercer la entidad que tiene el control de la impedancia del sistema eléctrico,

que generalmente será la compañía suministradora.

En el sistema eléctrico, las armónicas pueden provocar resonancias serie y

paralelo entre las impedancias propias del sistema y los elementos

capacitivos conectados al mismo (generalmente bancos de compensación de

reactivos y filtros pasivos), lo que puede dar lugar a la aparición de tensiones

excesivas y a la circulación de corrientes elevadas por los bancos de

capacitores.

• Técnicas para mitigar las armónicas en redes eléctricas

Reducir la aportación de corrientes armónicas

Utilizar filtros sintonizados

Modificar la respuesta a la frecuencia del sistema eléctrico

Filtros activos

Filtros pasivos

la transformada de Fourier en teledetección

Podríamos decir que se puede estudiar el uso de la Transformada de Fourier

como representación alternativa de una imagen o señal, y también para la

resolución de sistemas de ecuaciones. En concreto se emplea en la

resolución de ecuaciones lineales que llevan asociadas matrices circulantes.

Aparte del filtrado convencional, la transformada de Fourier constituye una

herramienta con aplicaciones en campos muy diversos, entre los que

podemos citar con respecto a l tema que nos ocupa los siguientes.

la transformada de Fourier en el tratamiento de imágenes

Un factor intrigante de las formas de ondas complejas, es el hecho de que se

componen de ondas simples. De acuerdo con el Teorema de Fourier cada

onda compleja periódica es una serie (familia) de ondas sinusoidales simples

e incluye muchos armónicos. Es término armónico describe las relaciones

entre las ondas, donde cada una tiene frecuencias que son múltiplos de la

onda dominante (la amplitud más fuerte). Es segundo armónico tiene dos

veces la frecuencia de la onda fundamental y el tercer armónico tiene tres

veces la frecuencia fundamental.

El teorema de Fourier predice que una onda compleja puede reducirse a una

serie de ondas simples. Lo contrario también es cierto: una serie de ondas

simples pueden combinarse para dar una onda compleja.

Esta es la utilidad práctica del Teorema de Fourier. Hay efectos especiales

que solo se consiguen manipulando el sonido que cae dentro de un estrecho

rango de frecuencias. Por ejemplo un micrófono barato puede distorsionarse

excesivamente la señal a 10 kHz, pero en cambio funcionar razonablemente

bien con un ancho de banda más bajo.

Mediante la técnica denominada ecualización que manipula la forma de la

respuesta en frecuencia de una señal, es posible reducir la intensidad de las

frecuencias en torno a 10 kHz para crear una señal que suena como si se

hubiera grabado con un micro mucho mejor y con un ancho de banda más

bajo. Esta manipulación se puede llevar a cabo en un PC mediante un

algoritmo conocido como FFT (Transformada Rápida de Fourier).

Este ejemplo específico de ecualización también se puede realizar mediante

un sistema analógico de circuitería de audio con tan solo un bajo coste. Sin

embargo, ecualizaciones más complejas, así como efectos especiales (tales

como cambiar la velocidad de reproducción de una voz sin cambiar el tono

de la persona), no son fáciles de llevar a cabo con circuitos analógicos.

La técnica FFT también es la base de la mayoría de los programas de

reconocimiento de la voz y un lugar común en la aplicaciones tanto

comerciales como

la transformada de Fourier en Biomedicina

En el analsis de señales biomédicas, es la aplicación mas popular y también

procesamiento de imágenes como las del fMRI, se utiliza transformada de

fourier.

En análisis de señales de EEG (electro encefalografía), ECG, MEG, EMG,

todas las señales del cuerpo que se puedan adquirir y pasar a una

computadora. Lo que se quiere al final es ver el contenido de frecuencias de

la señal biomédica.

Ahora, hoy en día nadie usa la FFT a secas por si sola, es demasiado

"ruidosa" se utiliza acompañada de otros algoritmos para reducir la varianza

del estimador FFT, como el Periodograma de Welch.

Otras Aplicaciones

Recientemente, la demanda para la identificación ha aumentado. Por la

rápida innovación tecnológica en la industria eléctrica y semiconductor,

varios FTIR han sido usados para la identificación de micro-contaminación en

las puntas IC. Además de ello, en las compañías farmacéuticas han sido

usados para la identificación de materias primas y otros. Y también, en varios

campos más, tales como: forense, industrias, químicas, MP3, Reducción de

ruido en señales, como el ruido blanco, Análisis en frecuencia de cualquier

señal discreta, Tratamiento de imagen (JPEG)) y audio, Análisis de

materiales y estadística, Síntesis, mediante la transformada inversa IFFT

En ciencias, nadie sabe para quien trabaja

Conclusión

La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas

áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la

combinatoria, el procesamiento de señales, la teoría de la probabilidad, la

estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En

procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse

como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias

diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.

La transformada de Fourier es una operación que se realiza sobre

funciones. Lo que Fourier demostró en realidad es que cualquier función que

cumpla una serie de condiciones razonables (las condiciones de Dirichlet) es

equivalente a su transformada. Estas condiciones razonables se cumplen

para la mayoría de las funciones con las que vamos a topar, por lo que se

puede decir que la TF se puede aplicar casi siempre en el análisis de series

temporales en Astronomía.