Aplicaciones de filtro de KaLman en economía *

por JAIME TERCEIRO LOMBA

Departamento de Econometría. Universidad Autónoma. Madrid.

1. INTR^DUCCION

El ^ltro de Kalman ( FK} es una de las contribuciones más significativas hechas a la

teoria de control estocástico durante los últim^s años. Sus aplicaciones en ingeniería,

especialmente en el campo aeroespacial, han sido numerosas.

El FK calcula Ia estimación óptima de las variables de estado de un sistema lineal

estocástico, cuando no todas las variables del mismo son directamente observables, y

además, estas observaciones están contaminadas por ruido. En el Apéndice I damos,

brevemente, su formulación discreta.

Las posibles aplicaciones del FK en economia son numerosas. De hecho, ya ha sido

utilizado numerosas veces, tanto en macro como en microeconomia. En el reciente librode Chow ' se enumeran una serie de ejemplos y referencias al respecto.

Importantes son las aplicacianes referentes a predicciones de series económicas tem-

porales, tal como las expuestas por Vishwakarma 2, Caines y Wall ^ y Bensoussan 4,

* Este trabajo se ha presentado a!a IX Reunión Nacional de Investigación Operativa, 1^376.

ESTAQISTIC,A ESPAÑOLA

siendo de interés el comparar este tipc^ de solución con la metodología de Box y Jen-

kins `. E n E.conometría son prometedoras sus posibilidades en la estimación de paráme-

trc^^, dependienteti del iiempu lver f^, páginas StJI-533). Fn un próximo trabajo veremos

cómc^ tc^dos lc^s prc^cedimiento:^ de etitimac ión de parámetros dependientes del tiem-

pu son formulaciones particulare^ ► del FK.

Nosotros estudiaremos a continuación dos aplicaciones concretas del FK. Una de

e llas será la estimación de los parámetros de la forma estructural de modelos economé-

tricus, y la otra, la estimación de 1a matriz inversa de Leontief, correspondiente a un

modelo input-output estocá ►̂tico.

Perv previarnente es interesante hacer notar que el FK proporciona las estimacic^nes

óptimas, de acuerdc^ c^^n l^^s algoritmos expuestc^s en el Apéndice I, sólo cuandc^ el

mudelc^ es una exacta representación del tiistema. Ahc^ra bien, cuando los parámetros

del modelo no coinciden ccan los reales, las estimaciones así obtenidas ya no son

óptimas, y es de gran interés, por las razones que más adelante veremos, calcular el

error verdaclero de estas estimaciones subóptimas. Erc el Apéndice II se trata este

prublema solamente en el casc^ particular que más tarde aplicaremc^s.

II. ESTIMACIC^N DE LC^S PARAMFTRC)S DF MODELC^S FC'C^NOMFTRICC^S

EN SU F^^RMA ESTRUCTU RAL

Aunyue, cumc^ se indíca en el Apéndíce I, el FK es un algoritmo que estima

óptimamente el estado de un sistema lineal en presencia de perturbaciones, en el caso

en el que no es posible ubservar todos los estados del mismo, veremos cómo una

reformulación del problema permite uiilizarlo en la estimación de los parámetros de

modelos econométricos en su forma estructural,

La ídea de esta aplicación del FK aparece en la literatura en ingeniería (véase

Graupe ' tpp. 2Q^-212)), pero no ha sido muy utilizada debido a que una vez reformu-

ladc^ el problema, es necesario el poder observar exactamente todas las variabies de

estadu del sistema original, y esto raramente, en contra de lo que sucede en econome-

tría, se da por supuesto en ingeniería.

Athans ^ fue el primero yue recientemente estudió una aplicación del FK para

modelus econométricos. Sin embargo, ha estimado los parámetros constantes de la

forma reducida, pero normalmente se está interesando en la forma estructural, que es layue directamente refleja las hípótesis económícas hechas en la construcción del modelo.

Por lo tanto, nos ocuparemos aquí de la estimación de los parámetros, en general no

constantes, de la forma estructural de modelos econométricos.

APL.ICAC[ONES DE F[LTRO DE KALI^+lAN EN ECC7t^iOMU 27

Utilizaremos la forrna:^•(^ ) _ )'R^^(^ ) + 1' ,^•(^ - 1 ) + . .. + i^ m^•(^ - ^tt )

+ ... + C^,ti(^ ) + C' ^r^(^ - 1) + .. . + Cnr^(^, - i1) + ^•(^ ) ( 1)

y pretendemos calcular una estimación de los parárnetros de las matrices l^ ^ de dimen-

sión p X p y C ► de dimensión p X q, suponiendo que las variables son todas directamente

observables.

Si representamos par (;•^ )T y(c•;)T tos vectores de las j-ésimas filas de las matrices

^'; y C^, respectivamente, defniremos ei siguiente vector de estado de dimensión (m + 1),^ 2+

+ ( rr + t ^i y

r^^^) _ [^^! i^)T{ ! ia)T ... { ! u)T ... ('!)T

{C^i)T (C^)T . .. (c'^)T ... (t'ñ)T^

y la matriz de observación de dimensión ^ x[(rr^ + 1^n2 +(n + 1)^y]

^'r(^ )

^

H -

n

^'TC^ )

^' Tr^ ) n [I T (^- ^^ ^J

Con arreglo a esta notación padremos escribir ( 1) en la forma de un sisterna de

observación

^'(k) = H(k) ^lk) + ^'^k) {2 )

La variac ión respecto al tiempo de los parámetros de las matrices de h; y C; la

expresaremos por

.^(k) _ .z-(ti =1) + ►^•(^ -1} (3)

en dcande ►^•(^ -1) es una serie de perturbaciones incorreladas gaussianas de media nulay covarianza (,^(^ - 1).

Hemos reducido, por tanto, el problema inicial a un sencillo problema de filtraje,

como el formulado en el Apéndice I, para el que la dinámica de sistema viene dada por

{3) y las ecuaciones de observación son las (2}, pudiendo de forma inmediata aplicar el

algoritmo del FK para obtener las estimaciones óptimas de x(^k ) o lo que es lo mismo,

de todos los parámetros de las matrices I^; y C'; .

... t1 T(^i; - ^t ) ^ tĴ

. .. ^ !1T(!^ - i? ) . .. ^}

zs ESTADiSTICA ESPAÑt3LA

Aunque el probler^na está ya teóricamente resuelto, es evidente que la solución a la

que hemos Ilegado es de un orden excesivamente alto. Parece lógico el tratar de des-

cc^mponerla en una serie de subproblernas elementale:^ correspondientes a cada una de

las ecuaciones estructurales de t 1).

Para que esta descomposición sea posible, tal como supone Athans ^`, será necesario

que los parámetrvs de cada una de las ecuaciones sean independientes de los paráme-

iros de las otras. Esto será así si la matriz de covarianza de ►^{k ) es diaganal, lo queindicaria que las perturbaciones de las distintas ecuaciones estarian inc+arreladas y,

además, si la matriz de covarianza inicial de las estimacianes es también diagonal.

En este caso podriamos escribir (1) en la forma

m

^};(k } = ( ^';n

^^'(^ - ..i) + (c•;)Tr^(k - 1) + ►^rt`l^ ), i

Si ahora definimos

y

; ^o^.

.X ^(^ ) = ^( ,^ u^T . .. ( ;^nf )T (C^^)T ... (Cn)T ^

- z , 2,. .. , p (^4}

Ir r(k j ^ (r^'r(k ) yT(^ -- 1) .. . ^^ ^(k -- m ) r^ r(k ) rrT (^ - 1) . . . rr T(k - n )1

Podremos escribir (4) en la farma:

ti';(k) - hT(k^^{^) + t';^k); i= 1, 2, .. ., P

y la variaci6n de los parámetros vendrá dada por:

x;(k) - x;{k - l) +^^^(k -^ 1); i= 1, 2, ..., p (ó)

De este modo hemos reducido el problema original a p problemas de filtraje de

orden (m + ^ l^p + (n + ^ l^.

En el caso en el que los parámetros de las matrices r; y C; sean constantes, la

ecuaci©n (6) se reduciría a:

x;t^ ) _ -x^ lk -- ^ I ) : i = 1, 2 ,

Los algoritmos correspondientes al FK, dados en el Apéndice I, nos darán la

estimación óptima de los parámetros, que en nuestra caso vendrá dada por:

z;(k) = z;(k - 1) + K;(k) Ly^(^) - hT(^)X (^ - i)] (^)

APLICACIONES DE FiLTR4 DE KALMAN EN ECUNOhQA

1K,(^) = P;(^)h(^)

r,^^ )(R)

P;(^ - 1)h(^ )^r r(I^ )P;(^, - 1)P;(^ ) = P,(^ -- 1) + Q; (k - t ) - (^)

^tT(^► )P;(^ -- I }h(^ ) + r^(^)

Hasta ahora no hemos hecho referencia alguna al importante problema de iniciación

del algoritmo. Está claro que para poder apticar (7) -(9) debemos conocer las varian-

zas r;{`k) y una estimación inicial Pr^O} de la covarianza de los errores en los parámetros.

Esta información puede obienerse utilizando previamente un procedimiento simple para

la estimación del modelo; por ejemplo, mínimos cuadrados ordinarios o bietápicos. Ve-

mos, pues, que el FK se utilizará, propia^nente, como instrumento de perfeccionamien-

to de la estimación hecha previamente por procedimientos más sencilios.

Como ya hemos mencionado, los modelos econométricos se e stiman suponiendo que

todas ias variables son observables sin error alguno (existen en la literatura eco^nétrica

algunos intentos de relajar esta hipótesis tan restricti va). Veamos a continuación cómo

los algoritmos dados en el Apéndice II nos permiten evaluar la sensibilidad de las esti-

maciones óptimas de los parámetros frente a errores en las variables predeterminadas.

En efecto, en ei problema de filtraje anterior esto equivale a considerar que el valor

de hT(k} que aparece en (5) no coincide con el verdadero valor que representaremos por

hú(^). Tendremos, por tanto, que en nuesiro caso, y poniendo ^ha(k} = hQ{k) - h^(^}, el

verdadero error en la estimación de los parámetros del modelo econométrico vendrá

dado por:

P;U(^ ) _ [I -' Kl(^ )hT(^ )] [P;a(^ - ^ 1) + Q(^ - ^ ^ )1 [I - Ki(^ )hT(^ )1T

- [I - K^(^ )jt r(^ )J [p^^(^ - ^ 1) + C^(k - 1))T bh(^ )KT(^ )]^.

- K,^(^) OhT(^)[P^^(^ -~ ^) + Qt^ - l)lT[I - K;(^)hT(^)^T

+ K;(ti } ah7(^) [P;xQ(^ - i ) + Q(^ - 1) e^^(^ )KTtk )

+ K;(h)RKT(k)

P;c^}(n ) _ [ P;^^ (K - 1 ) + Q(^ - ^ ) ^[ I -- K; (k )h T(k ) ] T

- P,XQ (k ) dh (k } K T (l^ ) ( l^ 1)

P^zu (k ) = P^xu (^ - 1) + Q(k - 1 ) (1^ 2)

Las expresiones (1^0) -(1^2) permiten, entonces, calcular el verdadero error en la

estimación de los parámetros de la forma estructural, teniendo en cuenta posibleserrores en las variables del modelo econométrico.

3(J ESTADISTICA ESPAÑfJLA

III. FSTIMAC'1nN Dl~^ LA MATRI? INVE:RSA DF MODFLC)S INPUT-C^UTPUT

F STOC'ASTICOS

Veamos como segundo ejemplo la aplicación del FK en ia estimacián de los

coeficientes técnicos de mc^delos input-output estocásticos. La primera aplicación de

este tipo fue he^cha por Vishwakarma, de Boer y Palm 'O y ha sido recogida reciente-

mente por Chow '(pp. 191-193). Nuestra exposición y solución diferirá de las del

trabajo anterior, ya que simplificaremos el problema allí resuelto, descamponiéndolo en

problemas elementales para evitar las dificuitades, ya de por sí críticas, del manejo de

un alto número de variables.

FI modelo input-output estático en su forma clásica es:

en donde:

^^ (^k ) = A ^k k^ (`^^ ) + c^^k ) (13 )

c,r(k) es el vecior, de dimensión ri, de los niveles de producción en el período k.

A(^k ) es la matriz, de dimensión n x n, de coeficientes técnicos en el periodo k.

c1(^ ) es el vector, de dimensión ^, de demanda final.

La ecuación (l^3} puede resolverse inmediatamente de tal forma que:

y(k) = [I - A(k)]-'^(k) = B(kkf(k) ( I^)

Nuestro problerna consiste en estimar los coeficientes de la matriz B(k) suponiendo la

existencia de una perturbación aleatoria aditiva en (14), lo que da lugar a la versión

estocástica del modelo input-output dada por:

^(k) = B(kk.^(k ) + ^'(ti) (1^5)

Supondremos que íos niveles de producción y demanda final son directamente ob-

servables.

Si definimos el vector de dimensión n 2 dado por:

.XT(k) ^ [fiT(%}, Ĉ7T(k), ..., ĥ ,^Ck)i

en donde h^ es el vectar de la fila i -ésima de la matriz B(k ), y la matriz de dimensión r^ x n 2

H(k) _

d r(k) 0 0

0 dT(k) ... 0

0 0 ... d^It^ )

APLICACIONES DE FILTRO DE KALMAN EN EC^oNO MU

La ec uac ió n{ 15 á escribirse, entonces, en la forma:

^lC^) = H(^^Y{^) + ► 't^) ( ^^)

Como quiera que los coeficientes técnicos son constantes, tendremos que:

x{k ) _ .x{^ - t ) ( 1 ^)

Hemos convertido, una vez más, el problema de estimación de los parámetros de un

sistema, en este caso estático, en un sencillo problema de filtrado en el que la ecuación

del mcxielo viene dada por ( 17) y la del sistema de observación por ( t6). Podremos, por

tanto, aplicar directamente los al,goritmos dados en el Apéndice I 4, para la obtención

de la estirnación óptima del vector.r(k), para lo cual necesitaremos una estimación de la

matriz de covarianza, R{^ ), de la perturbación en { 15 ) y la matriz de covarianza inicial

dada por:

P( 0 ) = F [-^ (^^ ^^ ^{^^ ) J

que podrá calcularse a partir de los valores de los coe^ficientes técnicos del ^modelo

input-output estático deterministico.

Hemos visto de qué forma puede utilizarse el FK en la estimación de los coeficien-

tes técnicos de un modelo input-output estocástico. No obstante, el orden del filtro que

resuelve el problema es excesivamente alto, por lo yue seria deseable su descomposi-

ción en filtros elementales.

Si suponemos que las perturbaciones de las distintas ecuaciones de (1 ^) son inde-

pendientes, podremos escñbirla en la for•ma:

R

^f;(^) _ ^^h^if^k^.i(k) + ^^;(k); i - ^, 2,Ĵ ^

y poniendo

xT{k) - [h;^(k), h;^{^k), ...,. h,n^^)l

h 7^(^ } _ [ d ^ (^ } , d ,(^ti ) , . . . , c.^n (^ ) ^

escribiremos ( 1-8} en la forma:

c^^(k) = h;(k}x;Ck} +^^;fk); i-- I, 2,

y la variación de los parámetros vendrá dada por:

( ^^8)

( I9)

x^C^) _-^i(k - 1); r= l, 2, . .., n {20)

3Z ESTAD[STICA ESPAÑOU

Podremc^s, entonces, resolver cada uno de los rr problemas de filtraje dados por (20}

y( 19) por separado, reduciendo de esta manera los requerimientos numéricos del

prablema al que llega Chow ' i pp. 191-193 ), que can el nivel de desagregación normal

de las tablas input-output supone un fenomenal obstáculo numérico.

Los algoritmos del FK nos darán la estimación óptima de los elementos de la matriz

invers,a mediante:

x,(k ) = z;{k - 1) + K,{k) w;{k } -- hT(k }z;(k)] (21)

1K.rtk ) = P^C^ )^C^ )

►', C^ )

Plk) = P^(k - l ) +P;(k - 1)hCk)hrC^ )P;(k - ^^ 1)

(22)

(23)1t r(k ) P; (^ - 1 ^ ( ^ ) + r; C^ )

De fonma análoga a como hemos visto en II, podremos estudiar con los algoritmos

del Apéndice II la sensibilidad de las estimaciones de los coeficientes técnicos a erroresen los valores numéricos de los niveles de demanda final. El error verdadero en laestimación de estos parámetros vendrá, en este caso, dado por (1^0), (1 1) y(1^2),hacienda de ellas (^►(k - 1) = 0.

Si la ecuación (20) la escribimos en la forma:

x^Ck) _ _rr(l^ -- 1) + ►► '^k - 1); i = 1, 2, . .. , n

podremos tener en cuenta la variación de los coeficientes técnicas, relajando entoncesla hipótesis de estabilidad de los coeficientes técnicos.

1V. CONCLUSIONES

En este trabajo hemos estudiado dos aplicaciones del filtro de Kalman en la estima-

ción de parámetros de modelos económicos, para lo cual ha sido necesario reformular

los problemas originales como problemas estándar de filtraje estadistico.

Hemos visto cómo este procedimiento permite, en la primera de las aplicaciones, el

estimar los parámetros dependientes del tiempo de un modelo econométricv en su

forma estructural; pudiendo fácilmente estudiarse el efecto que sobre estas estimaciones

tienen posibles errores en las variables del modelo.

La segunda aplicación ha consistido en la estimación de la matriz inversa de

Leontief de un modelo input-output estático estocástico, teniendo en cuenta el efecto de

posibles errores en los valores de los niveles de demanda final en el proceso de

estimación, asi como la posibiiidad de variación de 1os coeficientes técnicos del modelo.

Mad rid , Marzo de 19^6

APENDICI: 1

FORMULACION DISCRETA DEL FILTRO DE K.ALMAN

Plantearemos el problema en los siguientes términos. Dado el sistema dinámico

en donde

_x^(^- + l ) _ ^(^ + 1, ^k^x^#^) + G(k + 1, k) ►► ^(^) (AI :1)

.x (k + 1} es el vector de estado de dimensión ii .

^(^ + l,^) es la matriz de tran sición de dimen sitín ^^ x n.

Ci(^ + 1, ^) es la matriz de distribución del ruido de dimensión rt x p.

► t^(k + i) es e[ vector de ruido del modelo de dimensión p.

Supondremos que las abservaciones del sistema (AI.I) son una funcicin linea! delestado del mismo, que vienen dadas por:

.;.(^ + 1) = H(^ + 1)x(^ + ^ l ) + ^^ (k + 1) ^ ( AI. 2)

siendo:

<(^ + 1) el vector de las observaciones del sistema de dimensión m.H(ti + l) la matriz de observación de dimensi©n m x n.► ^{^ + I} el vector de ruido en las observaciones de dimensión m.

Además, las perturbaciones aleatorias ^^(^ ) y^^{k ) son incorreladas y gaussianas, conmedias y covarianza dadas por:

F r ► t^(k)] = 0; E[ ►► ^(1^)t ► ^^1)^ = QC^)bki

E i ►^^ ) Ĵ = ^; F[ ► '(^)^'tĴ )l = R(^?^^i

ESTAD[ST1GA ESPAI^ULA

En lo sucesivo, y para simplificar !a notación, las matrices tanto dei modelo como

def sistema rea! se escribirán sin sus argumentos temporales [c^{k + 1, k) se escr^^iirá ^.

etc. i, aunque toda ta forrrtulación que sigue es válida para sistemas dependientes del

tíernpo.

El filtro de Kalman calcula, para el probfema así planteado, la estimación óptima del

estado del sistetna x(k} con respecto a un criterio definido en sentido estadistico. De

hecho, la naturaleza lineal ;gawssiana del model© permite la elección de una serie de

criteiios de optim^zación tales ccxno mírtimos cuadrados, mínima varianza y máxima

verosimiiitud, que conducen todos al mismo resultado.

En el proceso de estimacíón distinguiremos dos cicfos, el ciclo de pr©pagación entre

observaciones y el ciclo de actualización en e1 momento de hacer una observación. Pero

antes haremos alguna precisión acerca de la notación a utilizar.

Al c©njunto de todas las observaciones disponibles en el instante k lo representare-

mos porZk, es decir

{^(f), ^{2) , ..., z{k)}

}^ en base a esto definimos las siguientes variables:

x(k + 1 M k) es la estimación actualizada de x(k +^ 1) definida como

X(1 + 1^k) = E[z(k +^ 1)^ Zk)

z(k + l^k +^ l) es Ia estimación actualizada de x(k +^ 1) definida como

z(k + 11k + I) = E[x(k +^ 1)^Zk+^]

P(k + 1(k ) es ia matriz de covarianza propagada de x(k +^ 1) def nida como

P(k + 1 ^k) = E [z(k + 1 jk}^cT(k + 1 jk)^ Zk]

en donde

.ác(k + 1 ^k) - x(k + i} -- z(k + 1(k)

es el error pr^apagado en la estimación

P^(k + f^k +^ 1) es la matri^ de covarianza actualizada de z(k +^ f) definida como

P(k + 1 ^k +^ 1) -= E [.z(k + 1 ^ k +^ 1 }zT(k + 1 ^ k -^- ^ 1) ^ Zk + i]

wPErrvieE ^

en donde

35

.z(^ + I ^^ + I ) = .^(^i + 1) - _x(^^ + 1 k + 1)

es el error actualizado en la estimación.

Con la notación anterior, las ecuaciones detalladas del filtro de Kalman1O son las

siguientes:

Ciclo de propagación:

X(k + 1(^ ) = cAX(k ^k ) ( A I : 3 )

P(^ + l ^k ) _ ^P(^ ^k^^T + GQGT ( AI .4)

^iclo de actualización:

z(k + 1 ^k + ^ l) = _z(^ + 1 ^^) + K(^ + ^ 1)[^(ti + 1) -- H.^r(^ + I f^► )) (AI:S)

P(k + 1 ^k + l) _[I -- K(k + l)H] P(k + l j^) (AI:6)

en donde la ganancia del filtro K viene determinada por la expresión

K(k + 1) = P(k + 1 fk )HT [H P(k + 1 ^k )HT + R) - ^ AI :7)

Las ecuaciones (AI:3)-(AI:7) constituyen el filtro de Kalman y proporcionan la

estimación no sesgada de mínima varianza.

APENDICE II

CASU PARTICULAR DE ANALISIS DE ERRORES

Como ya hemos indicado, si los parámetros del modelo no coinciden con los delsistema real, tas ecuaciones {AI:3}(AI:7) no darán la estimació ►n óptima dei estado del

mismo. Como quiera que este es un caso frecuente en la práctica, debido a los errores

i nh ere nte s a todo proceso de modeli za^c ión , e s i nteresan te c alcu lar en este caso elverdadero error en la estimación.

Supondr^emos el caso particular de errores solamente en la matriz de observación,

es decir, el sistema de observación real vendrá dado por

z,^k +^ 1) = Hp(k + l^{k + 1) + v{k +^ 1)

en lugar de (AI:2), y de tal forma que L!H = Ha - H ^ U.

Si definimos las siguientes matrices:

matriz de momentos de segundo orden del error verdadero en la estimación:

P,^ (i ^,j ) - E [z^, (1 ^^ ^á Ĵ ^

matriz cruzada del estado y dei error verdadero en la estimacián:

^xA ^l ^ } - E [X(t ^ú it )^

y matriz de momentos de segundo orden del estado del sisiema:

Pxa`(l ^ j ) = E [-^(^ )x^ í}^

APENDICE II

podemos después de laboriosas operaciones algebraicas (ver, por ejemplo, Jazwinski

(pp• 246-2b0} calcular el verdadero error en la estimación, mediante

3?

Pu(k + 1 fk ) _ ^ñPu(k ^k^r + GQGr (AII. l )

P^.(k + 1 (k) _ ^P^.(k^k^r + G(1GT (AII.2)

Pxu(k + 1) _ ^Pz^,Ck )^r + GQGr (AII :3)

Pp(k + l ^k + 1) = K(k + 1)aHPxa (k + l)t^HTKr(k + 1)

+ [I -- K(k + 1) H]P^; (k + 1 ^k ) [I - K(k + ^ l )H ]r

- K(k + ^ 1)QHP^(,^ + i jk ) [I - K(k + 1)H ]T

[I - K(,k + 1) Hj P^ (k + 1/k) t^ jr (k + 1)

+ K(k + -1)RKr(k + 1)

P^.(k + i ^k + 1) = P{.(k + 1 f k)[I - K(k + 1)H]r

x Px^(k + 1)1^HTKr(k + 1)

(AII.4)

(AII.S)

Las ecuaciones (AII: i)-(AII.S) son fácilmente programables, en el orden ^ndicado, en

un ordenador digital.

AMS 19?4 Subject classification. Primary 64 g 35. Secondary b2 P 20 Key words.

Kalman filter, econometric model, input-output, error anafysis

RESUMEN

En este trabajo se estudian dos aplicaciones del filtro de Kalman en la estimación de

parámetros de modelos económicos. La primera de ellas consiste en la estimación de

los parámetros, en general, dependientes del tiempo, de un modelo econométrico en su

forma estructural; y!a segunda, en la estimación de la matriz inversa de un modelo

input-output estocásticc^. Este procedimiento de estimación permite evaluar la sensibili-

dad de las estimaciones óptimas frente a errores en las variables en el primer caso, y a

posibles errores en los valores de los niveles de demanda final en el segundo.

Pulf^hrcrs ^^ln ► ^^^: Filtro de Kalman. Modelo econométrico. Input-output. Análisis de

errores.

ESTADISTiCA ESPATVC^LA

SUMMARY

In this paper twu applicdtions c^f the Kalman ^Iter ^^re studiec^ dealing with the esti-

mation of parameters of econc^mic mudels. The hrst c^f these applications consists in the

estirnation of the parameters, in general time-varying, ©f an econometric model in itsstructural form; and the second, in the estimation of the inverse matrix of an stochastic

input-output modei.This estimation procedure allows one to evaluate the sensitivity of

the optimal estimations against errors in the variables in the first case, and possib^e

errors in th^ values of the levels of final demand in the second.

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