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APLICACIN E INTERPRETACIN DE LOS VALORES PROPIOS EN MATEMTICA E INGENIERA ENRIQUE VLCHEZ QUESADA JORGE MONGE FALLAS 2001 Descripcin del Tema Investigado En esta investigacin nuestra tarea se centr, en la aplicacin de modelos matemticos en dos reas especficas: la matemtica y el anlisis de sistemas dinmicos lineales e invariantes en el tiempo. En el rea matemtica, pudimos establecer mediante el uso de los valores propios, un algoritmo que permite obtener el criterio de asociacin explcito, para cierto tipo de sucesiones definidas por una relacin de recurrencia homognea lineal con coeficientes constantes. En el rea del anlisis de sistemas, explicamos bajo un enfoque personalizado, el papel crucial de los valores propios para caracterizar un sistema dinmico en aspectos tales como; su controlabilidad, su reconstructibilidad y su estabilidad. Esperamos que este trabajo brinde un aporte a la formacin de los futuros profesionales en el rea de la enseanza de la matemtica y en trminos generales contribuya en la bibliografa costarricense, recalcando la necesidad de implementar en nuestro pas, una formacin ms integral con profesionales capaces de conciliar sus conocimientos con el desarrollo cientfico y tecnolgico. Justificacin Durante el transcurso de nuestra carrera profesional, aprendimos a admirar la matemtica gracias a su belleza intrnseca; sin embargo, muy poco reflexionamos sobre la importancia de su aplicacin en las distintas disciplinas cientficas. Esto fue en primera instancia, lo que nos motiv a elegir un tema de investigacin en un rea particular del lgebra lineal, como complemento para nuestra formacin acadmica. Este complemento en nuestra opinin, es indispensable, ya que el aprendizaje de los conocimientos en los distintos campos matemticos que obtuvimos durante nuestros aos como estudiantes, se caracteriz por la naturaleza abstracta y rigurosa de los modelos axiomticos propios de esta ciencia. Esta abstraccin y rigurosidad; tan bella y dosificada, ocup en s misma todos los rincones de nuestra atencin e intereses, lo cual en gran medida, contribuy a generar una imagen nica de ella. Como egresados de la carrera Licenciatura en la Enseanza de la Matemtica, sentimos la necesidad de ampliar nuestra visin profesional, adquiriendo un panorama diversificado acerca de la importancia de los conocimientos matemticos aplicados a otras disciplinas. Quisimos apreciar de forma tangible, en el campo particular de la teora de los valores y vectores propios, su importancia para el estudio de dos disciplinas especficas; la matemtica y la teora de sistemas dinmicos lineales e invariantes en el tiempo. Un segundo punto, por el cual consideramos relevante esta investigacin, se adjudica al tipo de bibliografa disponible en el pas, con respecto a los textos que abordan aplicaciones de la matemtica en otras reas del saber. Como resultado de una investigacin bibliogrfica preliminar, pudimos comprobar la existencia de dos tipos de

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grupos en los cuales clasificamos cada uno de los documentos encontrados. Por un lado los libros de matemtica propiamente, que presentan aplicaciones muy sencillas cuyos mtodos de resolucin dependen casi en su totalidad de la teora matemtica all expuesta; trayendo como consecuencia no ampliar la visin del estudiante frente a la importancia de la teora matemtica en la actualidad. Por otro, los libros especializadas dirigidos principalmente a ingenieros que requieren de criterios especficos y resultados matemticos, que se aplican en muchos casos, sin brindar una explicacin convincente acerca (l los modelos utilizados, bajo esta perspectiva, en este tipo de textos, la formalidad se divorcia de las aplicaciones y cobran fuerza los procedimientos algortmicos con poca profundizacin en el rea matemtica y una preocupacin excesiva por la parte interpretativa de los resultados. Lo anterior genera a nuestro parecer, dos enfoques que pretendemos conciliar con nuestra investigacin, buscando aplicaciones en las cuales se considere tanto la formalidad matemtica que posibilita la estructuracin del modelo, como la utilidad del modelo mismo. Este rasgo dota al estudio de una orientacin innovadora, que anula el divorcio entre la formalidad y la aplicacin. Adems, cabe destacar que nuestra intencin como investigadores, no solo radic en formalizar matemticamente la utilizacin de modelos que dependen de la teora de valores y vectores propios, sino tambin brindar una explicacin clara con respecto a la interpretacin que un valor propio puede tener en un determinado contexto. Propiamente nuestro inters, se fundament en concretar modelos de valores y vectores propios aplicados en sistemas dinmicos. Dentro de estos contextos, describimos la utilidad y la informacin que los valores propios y vectores propios, pueden brindar frente a aspectos tales como la controlabilidad, la reconstructibilidad y la estabilidad del sistema dinmico. Por ejemplo, el multiplicador de Lagrange es un ente matemtico que cumple un papel similar al del valor propio. Si tuviramos un problema de inversin en publicidad por radio en el cual se utiliza x cantidad de colones, los administradores pueden preguntarse; cul sera el efecto sobre las ventas, si se presupuestara una cantidad mayor o menor para este fin?, en este sentido, el multiplicador de Lagrange proporciona una estimacin sobre tal efecto, estableciendo el valor marginal que tiene un cambio en el nivel de los recursos. Propiamente, en el caso de los valores propios, Hill1 establece: Los valores propios pueden tener efectos benficos y no benficos, como por ejemplo en un columpio; donde su oscilacin posee un lugar neutral, el cual afectado por una fuerza adicional, har que el columpio suba ms, ese lugar corresponde a un valor propio del sistema dinmico y en dicho caso ste cumple un efecto benfico. Los efectos no benficos, tambin pueden hacerse presentes, por ejemplo, en 1940 el puente de Tacoma Narrows oscil terriblemente y despus colaps, esto como resultado de un fuerte viento el cual indujo fuerzas insospechadas que coincidieron con un valor propio resultante del anlisis matemtico elaborado para el diseo del puente. Una ltima razn por la cual justificamos la importancia de nuestro trabajo, consiste en su aporte creativo dotado por la bsqueda de un algoritmo que permite encontrar un

1 , Hill, R. (1997). lgebra Lineal Elemental con Aplicaciones. Mxico: Prentice-Hall.

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criterio de asociacin explicito, para describir el comportamiento de una sucesin definida por una relacin de recurrencia homognea lineal de orden k. El algoritmo que desarrollamos, surge de un ejemplo muy particular que encontramos en uno de los documentos consultados en la bsqueda bibliogrfica preliminar. En l se encuentra para una sucesin definida por una relacin de recurrencia homognea lineal de orden dos, un criterio de asociacin explicito que describe los elementos de la sucesin. Con este fin, se construye un sistema de ecuaciones, el cual escrito en forma matricial, genera una matriz de coeficientes que posteriormente se diagonaliza utilizando sus valores propios, bajo este principio, se obtiene finalmente el trmino n-simo de la sucesin de forma explcita. Este ejemplo, nos motiv a generar m algoritmo aplicado a sucesiones definidas por relaciones de recurrencia homogneas lineales le orden k, con k> 2. Consideramos, por las razones anteriormente expuestas, que el trabajo contribuye a brindar a los estudiantes de Escuela de Matemtica de la Universidad Nacional y a la comunidad en general, un aporte: importante frente a la necesidad de conocer aplicaciones de la matemtica en otras reas d saber, necesidad que se vuelve imperante ante el desarrollo actual de muchas otras disciplinas cientficas gracias a los modelos matemticos que lo posibilitan. Hacemos adems con esta investigacin, un llamado a la estructura administrativa de la Escuela, con la finalidad de instarlos a incluir dentro del eje curricular de la carrera, por los menos un curso donde el estudiante pueda ampliar su visin acadmica mediante el conocimiento de algunas aplicaciones de la matemtica en reas especficas. La contribucin nuestra, tambin tiene relevancia en la bibliografa costarricense, al constituir el trabajo de graduacin un estudio innovador por los dos enfoques que deseamos conciliar al abordar las aplicaciones en sistemas dinmicos y al mismo tiempo, creativo al construir un algoritmo propio justificado adecuadamente mediante la teora matemtica. Objetivos de la Investigacin Objetivo General Identificar algunas aplicaciones de los valores propios en la resolucin de algunos problemas, en las reas especficas de la matemtica y de la teora de sistemas dinmicos lineales e invariantes en el tiempo. Objetivos Especficos

1. Establecer, mediante el uso de los valores y vectores propios, mi algoritmo que permita encontrar el criterio de asociacin explcito de una sucesin de nmeros reales que ha sido definida por una relacin de recurrencia homognea lineal con coeficientes constantes de orden k.

2. Explicar y justificar la estructuracin del modelo matemtico basado en la teora

de los valores y vectores propios, aplicado en sistemas dinmicos lineales e invariantes en el tiempo.

Conclusiones 1. Las aplicaciones de la matemtica en la actualidad, rompen su esquema como

ciencia de las ideas para trascender al plano fctico, en el cual se encuentra enmarcado el desarrollo cientfico y tecnolgico del mundo moderno. Mediante este trabajo, es posible observar cmo un valor propio desempea un papel

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fundamental para poder garantizar que un sistema dinmico es estable, lo cul refleja la importancia de la teora de los valores y vectores propios, no solamente desde un punto de vista instrumental, sino tambin como un recurso que nos permite establecer interpretaciones concretas dentro de procesos dinmicos ligados a mltiples disciplinas cientficas.

2. La resolucin de problemas est ntimamente relacionada con la capacidad del

individuo para crear algoritmos. La lgica algortmica es en esencia una lgica matemtica. Desde este punto de vista, como docentes, nuestra responsabilidad en la enseanza de la matemtica debe estar orientada por este sentido pedaggico. El algoritmo desarrollado en este trabajo, es una aplicacin que representa nuestra responsabilidad de ensear a los estudiantes, a utilizar el conocimiento matemtico de una manera sistemtica. De tal modo, que stos tengan la capacidad de conciliar la academia con sus necesidades reflejadas en problemas que de una u otra forma, impliquen su inventiva estructurada.

3. La comunidad de educadores matemticos, debe incorporar en su prctica docente

la enseanza de las aplicaciones de la matemtica, adecundolas a los contenidos y nivel de sus educandos. Este trabajo muestra la importancia de abordar estas aplicaciones, ya que le permiten al estudiante comprender y conceptualizar de una forma ms general, la utilidad de los conocimientos propios de esta ciencia.

Recomendaciones

1. Se debe incorporar en el currculo de la formacin de docentes en la Enseanza de la Matemtica, cursos en los cuales el alumno y la alumna adquieran una visin ms global de la matemtica como ciencia no solamente formal, sino tambin como una disciplina ntimamente relacionada con el desarrollo cientfico y tecnolgico.

2. La experiencia acadmica que alcanzamos al realizar este trabajo, la

consideramos un punto medular en nuestra formacin profesional; un complemento indispensable que nos muestra la responsabilidad que tenemos como profesores, no solamente en el trabajo docente, sino tambin con relacin al aporte que podamos brindar a la comunidad de acadmicos corno investigadores. Es por esta razn, que recomendamos fortalecer a nivel nacional, la formacin en el rea de investigacin, de los docentes, una labor que debe encontrar su gnesis en las correspondientes instituciones de educacin superior, que tienen a su cargo la formacin de los futuros profesionales.

3. Recomendamos a los estudiantes que estn en el proceso de desarrollar su

trabajo final de graduacin, los siguientes aspectos:

a. Delimitar debidamente su problema a investigar, esto les permitir tener clara las directrices de su labor como investiga1nns.

b. Definir una metodologa que puntualice las actividades que les permitir

obtener sus resultados.

c. Elaborar a conciencia un cronograma donde se especifiquen tentativamente las fechas en que se irn realizando las diferentes actividades.