SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN E

INVESTIGACIÓN TECNOLÓGICAS

SEPSECRETARÍA DE

EDUCACIÓN

PÚBLICA

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingenieŕıa Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

“Aplicación del Control Predictivo Multivariablea una Columna de Destilación Binaria”

presentada por

Guillermo Valencia PalomoIng. Electrónico por el I. T. de Mérida

como requisito para la obtención de grado de:

Maestŕıa en Ciencias en Ingenieŕıa Electrónica

Director de tesis:

Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza

Co-Director de tesis:

Dr. Manuel Adam Medina

Jurado:Dr. Victor Vı́ctor Manuel Alvarado Mart́ınez - Presidente

Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez - SecretarioDr. Alejandro Rodriguez Palacios - Vocal

Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza - Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 18 de Diciembre de 2006

Dedicatoria

A mis , por luchar siempre por mi y por ser el mejor ejemplo en mi vida. Los amo.

A mis , con quienes he pasado los mejores momentos de mi vida.

A mis , con toda mi admiración y respeto, gracias por estar siempre tan cerca de mi.

A , que siempre ha estado de mi lado.

Con todo mi amor y cariño, para ustedes:

“ El amor nunca dejará de ser. Un día cesarán las profecías, y no se hablará más en lenguas ni será

necesaria la ciencia. Porque la ciencia y la profecía son imperfectas.“

1 Corintios 13; 8:9.

Agradecimientos

Durante este tiempo en que realicé mi maestŕıa pude constatar el apoyo

de profesores, familiares y amigos, a los cuales quiero expresar mi más sin-

cero agradecimiento.

A mis asesores el Dr. Carlos M. Astorga Zaragoza y el Dr. Manuel

Adam Medina, gracias por guiarme en este trabajo de investigación mediante

sus invaluables consejos y observaciones, por su confianza y sobre todo por

su amistad.

A los miembros de mi comité revisor; el Dr. Victor Manuel Alvarado, el

Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez y el Dr. Alejandro Rodŕıguez Pala-

cios, gracias por sus acertados comentarios y correcciones que contribuyeron

a enriquecer este trabajo.

Agradezco también a todos mis profesores de CENIDET, por su labor

dentro y fuera de las aulas. A mis compañeros de potencia: Enrique Contre-

ras, Jorge A. Pérez, Rosendo Flores, Alfonso Pérez, Roberto Ovando, Palo-

ma E. Torres, Arnoldo Pacheco, Juan Carlos Tujillo y Francisco Pereyra;

y de control: Fernando A. Alegŕıa, Leonel Alonso, Marcos A. Méndez, Juan

Carlos Gracia, J. Hector Ramirez, Eber J. Mart́ınez, José E. Mart́ınez y

César A. Villanueva, con quienes compart́ı momentos agradables de trabajo

y la ilusión de algún d́ıa ver nuestros estudios concluidos, por esos ratos de

diversión y por su amistad.

Les agradesco al Dr. David Juárez Romero, a Fernando Rivas y a Fran-

cisco Ronay, con quienes pasé horas en la columna, gracias por sus aporta-

ciones dentro del Grupo de Destilación, por su amistad y por los ratos que

compartimos.

Agradezco profundamente a mis padres Guillermo y Maŕıa Lućıa, para

quienes sus hijos son la esencia de su vida, su dicha y la ilusión de su exis-

tencia ha sido verlos convertidos en personas de provecho. A mis hermanos

Jorge y Lizardo; ustedes son parte de mi inspiración. Gracias por quererme

como sólo ustedes podŕıan hacerlo.

A mis abuelos, Papá Guillermo y Mamá Mechita que han velado por

mi en todo momento.

Sin duda he dejado de mencionar a muchas otras personas que hicieron

más placentera mi estancia en Cuernavaca, tanto los que aqúı conoćı como

a los que desde Mérida y otros lugares siempre estuvieron pendientes de

mi. No obstante, a todos ustedes los tengo presentes y les reitero mi más

profundo agradecimiento.

Agradezco al CONACYT y DGEST por el apoyo económico brinda-

do, sin el cuál no hubiera sido posible dedicarme de tiempo completo al

desarrollo de este trabajo de tesis.

Finalmente, agradezco al Centro Nacional de Investigación de Desarro-

llo Tecnológico por proporcionarme los medios necesarios para mi formación

académica y por las facilidades otorgadas durante mi estancia.

Resumen

En un proceso, las variables pueden clasificarse en variables controladas

y variables manipuladas. La mayor parte de estas variables se encuentran

acopladas, como en el caso de una columna de destilación. Para hacer

frente a esto, en la mayoŕıa de los casos, se busca desacoplar las variables

del proceso y diseñar múltiples controladores monovariables. En aquellos

casos en los que el controlador PI se usa para regular estos lazos de

control, la sintońıa normalmente se realiza en un punto de operación.

Esta sintońıa no puede ser efectiva si los puntos de operación cambian

considerablemente, pudiendo originar una degradación del desempeño

del controlador. Esto podŕıa incluso causar, en el caso más extremo, la

inestabilidad del proceso.

Cuando éstas interacciones entre variables no se pueden evitar, la plan-

ta, debe considerarse como un proceso multivariable en vez de un con-

junto de procesos monovariables.

En este trabajo se exponen las bases conceptuales para el diseño de un

controlador predictivo multivariable basado en modelo. El controlador

es formulado en espacio de estados y se programa en Matlabr para suevaluación. Este controlador combina la simplicidad de los modelos linea-

les con las no linealidades esenciales del proceso utilizando una técnica

conocida como “linealización en ĺınea”. El controlador se desarrolla para

una planta piloto de destilación binaria, presentando como principales

ventajas la facilidad de sintońıa y su adaptación a los distintos puntos

de operación de la planta sin necesidad de reajustar los parámetros de

los controladores. Se presentan los resultados obtenidos en simulación

para diversos casos estudiados. Entre éstos se incluye la compensación

de perturbaciones medibles que permite eliminar los errores de estado

estacionario.

Como caso particular del caso multivariable, se presenta la imple-

mentación experimental de un controlador monovariable para regular el

flujo de agua al condensador de la planta piloto de destilación.

Abstract

In a process, the variables can be classified in manipulated variables

and controlled variables. Most of these variables are coupled, as in the

case of a distillation column. In order to face this, the most popular

way of control the multivariable processes, is by designing decoupling

compensators to suppress the interactions and then designing multiple

monovariable controllers. In those cases in which PI controllers are used

to regulate these control loops, the tuning normally is made in a operating

point. As the set points are modified, the poor tuning originates a loss of

yield in the controller, causing a high variability in the controlled outputs

that even can arrived in instability.

When these interactions are not negligible, the process must be con-

sidered to be a multivariable process instead of a set of monovariable

process.

In this work the conceptual bases for the design of a multivariable

model-based predictive controller are exposed. The controller uses a space

state formulation and is programed in Matlabr for his evaluation. Thiscontroller combines the simplicity of the linear models with the essen-

tial nonlinearities of the process using a technique known as “on-line

linearization”. The controller has been developed for a bench-scale disti-

llation column, presenting as main advantages the facility of tuning and

its adaptation to the different set points of the plant with no need of

readjusting the controller parameters. The results obtained in simulation

for diverse studied cases are exposed. Between these, the compensation of

measurable disturbances is included, this allows to eliminate the steady

state errors.

As particular case of the multivariable controller, appears the experi-

mental implementation of a monovariable controller to regulate the flow

of cooling water to the condenser of the bench-scale distillation column.

Índice general

Lista de figuras V

Lista de tablas IX

Notación XI

1. Introducción 1

1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Ventajas del control predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.1. Temas abiertos a la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7. Organización del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Conceptos básicos del control predictivo 13

2.1. Estrategia de los controladores predictivos . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Elementos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Modelo de predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2. Función objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3. Obtención de la ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Revisión de los principales algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1. Control por matriz dinámica (DMC) . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2. Control algoŕıtmico de modelo (MAC) . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.3. Control predictivo funcional (PFC) . . . . . . . . . . . . . . . . 25

i

ii Índice general

2.3.4. Control autosintonizado de predicción extendida

(EPSAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.5. Control adaptable de horizonte extendido (EHAC) . . . . . . . 26

2.3.6. Control predictivo generalizado (GPC) . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.7. Control predictivo no lineal (NLMPC) . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. El control predictivo multivariable 31

3.1. El control multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Formulación del MPC en espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3. Estimación de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4. Alternativas del vector de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5.1. Restricciones en el control predictivo . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5.2. Solución del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.3. Gestión de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6. Pruebas realizadas al controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6.1. Caso 1: Control monovariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6.2. Caso 2: Modelo de predicción diferente a la planta . . . . . . . . 50

3.6.3. Caso 3: Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6.4. Caso 4: Control multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4. Modelado matemático de una columna de destilación binaria 57

4.1. Perspectiva histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2. Hipótesis sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3. Relación de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1. Mezcla ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.2. Mezcla no ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.3. Eficiencias de Murphree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.4. Diagrama de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4. Flujos y masas molares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5. Parámetros de alimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Índice general iii

4.6. Balance de materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.7. Balance de enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.8. Pruebas en la columna de destilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.8.1. Descripción del la planta piloto de destilación . . . . . . . . . . 65

4.8.2. Validación del modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.9. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5. Diseño e implementación de controladores 79

5.1. Configuraciones de control en la CDD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.1. Configuración de balance de enerǵıa (L− V ) . . . . . . . . . . . 805.1.2. Configuración de balance de materia (D − V ) y (L−B) . . . . 815.1.3. Otras configuraciones de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2. Metodoloǵıa para la implementación de controladores predictivos en la

columna de destilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3. Controlador MPC para el flujo de agua al condensador . . . . . . . . . 83

5.3.1. Selección de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3.2. Obtención de la respuesta temporal del proceso . . . . . . . . . 85

5.3.3. Obtención del modelo de predicción . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3.4. Pruebas en simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.5. Desarrollo de una interfaz operador-proceso . . . . . . . . . . . 89

5.3.6. Pruebas experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.7. Validación y análisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4. Controlador MPC para la columna de destilación . . . . . . . . . . . . 94

5.4.1. Selección de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4.2. Obtención de la respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.3. Obtención del modelo de predicción . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.4. Pruebas en simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4.5. Análisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6. Conclusiones generales y perspectivas 111

6.1. Conclusiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2. Trabajos futuros propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

iv Índice general

Bibliograf́ıa 115

A. Tablas de parámetros 119

B. Descripción de los programas 121

B.1. El modelo de la columna de destilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

B.2. El controlador MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Lista de figuras

1.1. Diagrama esquemático de una columna de destilación. . . . . . . . . . . 2

1.2. Columna de destilación fraccionaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Principio de operación de la columna de destilación. . . . . . . . . . . . 3

1.4. Esquema del objetivo de la tesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1. Estrategia de control predictivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Estructura básica del control predictivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Respuestas del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

a. Respuesta al impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

b. Respuesta al escalón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Estructura ARIMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5. Respuestas libre y forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6. Puntos de coincidencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1. Estructura del control MPC en espacio de estados. . . . . . . . . . . . . 38

3.2. Estructura del control MPC en espacio de estados con observador. . . . 38

3.3. Punto de control óptimo en un proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4. Diagrama de flujo del controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5. Calentador de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6. Respuesta al escalón del calentador de agua. . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.7. Caso 1. Respuesta a diferentes valores de λ y α. . . . . . . . . . . . . . 50

3.8. Caso 2. Modelo diferente de la planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.9. Caso 3. Restricciones en el controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.10. Sistema de cuatro tanques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.11. Caso 4. Respuesta del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

v

vi Lista de figuras

4.1. Diagrama de equilibrio ĺıquido-vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. Esquema de un plato genérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3. Planta piloto de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4. Diagrama de instrumentación de la columna. . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5. Cuerpo de la columna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

a. Sección del cuerpo de la columna. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

b. Plato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.6. Alimentación de la mezcla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

a. Bomba de alimentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

b. Termorresistencia de precalentamiento. . . . . . . . . . . . . . . 68

4.7. Tablero de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.8. Interpolación de los puntos de operación de la bomba de alimentación. 69

4.9. Adición de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

a. Termorresistencia de calentamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . 70

b. Hervidor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.10. Parte superior de la columna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

a. Condensador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

b. Válvula de control para el flujo del agua. . . . . . . . . . . . . . 71

c. Electroválvula de reflujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.11. Bomba de anillo ĺıquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.12. Regulador Digitric 500. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.13. Diagrama de equilibrio Metanol-Etanol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.14. Comparación entre los datos del modelo y la planta piloto de destilación. 76

5.1. Configuración de control en la columna de destilación. . . . . . . . . . . 82

a. Columna en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

b. Configuración (L− V ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82c. Configuración (D − V ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82d. Configuración (L−B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2. Diagrama de instrumentación de la sección del condensador. . . . . . . 84

5.3. Variables manipulada y controlada para el control de flujo de agua de

alimentación al condensador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Lista de figuras vii

a. Válvula neumática FV1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

b. Sensor de flujo FI1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4. Respuesta al escalón del flujo de agua de alimentación. . . . . . . . . . 85

5.5. Esquema de simulación para el control MPC de flujo de agua al conden-

sador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6. Simulación del control de flujo de agua al condensador. . . . . . . . . . 88

5.7. Pantalla principal del programa para el control en tiempo real. . . . . . 89

5.8. Jerarqúıa de la interfaz operador-proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.9. Programa del control interactuando con la planta piloto. . . . . . . . . 90

5.10. Control del lazo de flujo de agua al condensador (tiempo real). . . . . . 92

5.11. Parámetros estimados (tiempo real). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.12. Control del lazo de flujo de agua al condensador (tiempo real). . . . . . 93

5.13. Respuesta al escalón de la CDD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.14. Esquemas de simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

a. Esquema MPC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

b. Esquema PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.15. Caso 1. Modelo de predicción lineal, Regulación. . . . . . . . . . . . . . 103

5.16. Caso 1. Modelo de predicción lineal, Seguimiento. . . . . . . . . . . . . 104

5.17. Caso 2a. R (apertura proporcional). MPC y PI, Regulación. . . . . . . 105

5.18. Caso 2a. R (apertura proporcional). MPC y PI, Seguimiento. . . . . . . 106

5.19. Caso 2b. R (On/Off). MPC y PI, Regulación. . . . . . . . . . . . . . . 107

5.20. Caso 2b. R (On/Off). MPC y PI, Seguimiento. . . . . . . . . . . . . . . 108

B.1. Simulador de la columna de destilación en lazo abierto. . . . . . . . . . 122

B.2. Comparación de la columna de destilación en lazo abierto y la columna

de destilación linealizada en ĺınea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

B.3. Bloque del controlador MPC en Simulinkr. . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.4. Cuadro de diálogo del controlador MPC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.5. Simulador del control de flujo de agua al condensador. . . . . . . . . . 125

B.6. Cuadro de diálogo del bloque de estimación de parámetros. . . . . . . . 125

B.7. Programa en LabViewr para el control MPC en tiempo real. . . . . . . 126

a. Pantalla inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

viii Lista de figuras

b. Salida del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

c. Entrada al sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

B.8. Programa en LabViewr para el control MPC en tiempo real, parámetros

estimados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

a. Estimados a1 y a2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

b. Estimados b0 y b1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

B.9. Simulador del control de flujo de agua al condensador. . . . . . . . . . 128

Lista de tablas

3.1. Dimensiones de las matrices y vectores involucrados en el cálculo de u(k) 38

3.2. Valores de los parámetros del sistema de cuatro tanques. . . . . . . . . 54

4.1. Calidad de la alimentación q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2. Nomenclatura del diagrama de instrumentación. . . . . . . . . . . . . . 66

4.3. Elementos monitoreados y controlados por los reguladores. . . . . . . . 73

4.4. Señales de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5. Error del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1. Configuraciones de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2. Parámetros de los controladores del flujo de agua al condensador. . . . 87

5.3. Error medio cuadrático del control del flujo de agua de alimentación. . 93

5.4. Parámetros de sintońıa los controladores de la planta piloto de destilación.101

5.5. Error medio cuadrático de las simulaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.1. Tabla comparativa entre el controlador programado y el toolbox de MPC

de Matlabr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.1. Caracteŕısticas f́ısicas de la planta piloto de destilación. . . . . . . . . . 119

A.2. Propiedades termodinámicas de la mezcla Metanol-Etanol. . . . . . . . 120

A.3. Parámetros iniciales de las simulaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

ix

x Lista de tablas

Notación

Letras mayúsculas

Ac Constante de Antoine.

B Flujo molar del producto de fondo (mol/min).

Bc Constante de Antoine.

Cc Constante de Antoine.

Cpc Calor espećıfico (kJ/moloC).

D Flujo molar del producto destilado (mol/min).

E Eficiencia de Murphree en la sección de empobrecimiento.

F Flujo molar en la alimentación (mol/min).

FC Flujo de agua al condensador (L/hr).

FPB Porcentaje de variación en la frecuencia de la bomba.

FV Flujo volumétrico en la alimentación (mL/min).

Hci Entalṕıa de vapor (J/mol).

HC Horizonte de control.

HP Horizonte de predicción.

Kci Coeficiente de equilibrio.

L Flujo molar ĺıquido (mol/min).

LR Flujo molar ĺıquido en la sección de enriquecimiento (mol/min).

LS Flujo molar ĺıquido en la sección de empobrecimiento (mol/min).

Mci Masa molar retenida en cada estado (mol).

MWc Peso molecular (gr/mol).

PT Presión total (kPa).

Pci Presión del componente c puro (kPa).

PAB Porcentaje de apertura de la válvula de fondo.

QB Potencia calefactora añadida al hervidor (Watt).

R Reflujo {0,1}.T Peŕıodo de la señal aplicada a la válvula.

Ti Temperatura en cada estado (oC).

TF Temperatura de la alimentación (oC).

Tbc Temperatura de ebullición (oC).

xi

xii Notación.

V Flujo molar de vapor (mol/min).

Vci Volumen de cada estado (mL).

VF Volumen de un componente en la alimentación (mL).

VR Flujo molar de vapor en la sección de enriquecimiento (mol/min).

VS Flujo molar de vapor en la sección de empobrecimiento (mol/min).

Wtc Porcentaje de peso de un componente en la alimentación.

Letras minúsculas

e Eficiencia de Murphree en la sección de enriquecimiento.

f Plato de alimentación.

f 0ci Fugacidad del ĺıquido en un estado de referencia.

hci Entalṕıa ĺıquida (J/mol).

n Número total de estados.

q−1 Operador de desplazamiento hacia atrás.q Calidad de la alimentación.

s Señal de salida deseada.

td Tiempo de duración de la señal aplicada a la válvula de reflujo (s).

ton Tiempo de apertura de la válvula (s).

w Trayectoria interna o de referencia.

xFc Concentración ĺıquida en la alimentación.

xci Concentraciones molares ĺıquidas.

yci Concentraciones molares de vapor.

Letras griegas

∆Hvapc Entalṕıa de vaporización (kJ/mol).

∆u Incremento en u.

λ Peso de la señal de control.

λf Factor de olvido.

γci Coeficiente de actividad.

Φci Coeficiente de fugacidad.

ρc Densidad (g/cm3).

Caracteres especiales

R Campo de los números reales.

Notación. xiii

Sub́ındices

c Componente.

i i-ésima etapa de la columna.

F Etapa de alimentación.

R Sección de enriquecimiento.

S Sección de empobrecimiento.

Supeŕındices

equ En equilibrio.

min Valor mı́nimo.

max Valor máximo.

real Valor real.

set Valor deseado.

mod Valor calculado por el modelo.

vap En la fase de vapor.

Marcas diacŕıticas

ˆ Predicho.

˜ Estimado.

Abreviaturas

CENIDET Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico.

CDD Columna de destilación.

EMC Error medio cuadrático.

EOH Etanol.

MeOH Metanol.

MIMO Múltiples entradas, múltiples salidas.

MPC Control predictivo basado en modelo.

PI Control proporcional-integral.

PID Control proporcional-integral-derivativo.

PWM Modulación por ancho de pulso.

SISO Una entrada, una salida.

xiv Notación.

Caṕıtulo 1

Introducción

La destilación se define como la separación f́ısica de una mezcla ĺıquida en dos

o más fracciones que tienen diferentes puntos de ebullición. Esta operación es la más

empleada e importante en las refineŕıas e industrias qúımicas, aunque también encuentra

aplicaciones en otras áreas como lo son la industria farmacéutica, alimenticia, perfumera

y licorera. El equipo utilizado para llevar a cabo este proceso es la columna de destilación

y representa una fuerte inversión para las industrias en el mundo. Además, una gran

parte de la enerǵıa usada en estas empresas se consume en los procesos de destilación.

Es por ello que la destilación es una de las áreas de control de procesos más investigada

en el mundo y se dice que es el proceso más beneficiado por estas técnicas (de control)

en las plantas industriales [Schmitz, 2001].

Los procesos de separación alcanzan sus objetivos mediante la creación de dos

o más zonas (etapas) que coexisten y que tienen diferencia de temperatura, presión,

composición y fase. Cada componente molecular de la mezcla que se vaya a separar

reaccionará de modo único ante los diversos ambientes presentes en esas etapas. En

consecuencia, conforme el sistema se desplaza hacia el equilibrio, cada componente

establecerá una concentración diferente en cada etapa y esto da como resultado una

separación entre los componentes.

El proceso de destilación utiliza fases de vapor y ĺıquido, esencialmente a la misma

temperatura y a la misma presión, para las etapas coexistentes. Se utilizan varios tipos

de dispositivos, como, por ejemplo el hervidor, el condensador y las bandejas o platos

para que las dos fases entren en contacto ı́ntimo. Los platos se colocan uno sobre otro

y se encierran con una cubierta ciĺındrica para formar una columna. Una columna de

destilación cuenta con n − 2 platos, se etiqueta al condensador como número 1 y alhervidor como número n y los platos intermedios son numerados ascendentemente del

condensador al hervidor. En la Figura 1.1 aparece la representación esquemática de

una columna caracteŕıstica de destilación del tipo de platos, junto con sus principales

accesorios externos.

1

2 Caṕıtulo 1. Introducción.

n

n-1

f

f+1

f-1

2

1

F

B

D

R

Condensador

Hervidor

Sección de

enriquecimiento

Sección de

empobrecimiento

Figura 1.1: Diagrama esquemático de una columna de destilación.

C1 a C4 Gases

20º

Naftalina

70º

Petróleo

(Gasolina)

120º

Keroseno

170º

Diesel

270º

Lubricantes

Aceite

combustible

600º

Residuos

Petróleo

crudo

Combustible

para

vehículos

Combustible

para

aviones,

parafina,

etc..

Químicos

Diesel

Lubricantes,

aceites,

ceras, etc..

Betún para

caminos y

techos.

Petróleo liquado

Combustible

para barcos,

industrias

etc..

Figura 1.2: Columna de destilación fraccionaria.

3

Flujo de vapor

Flujo líquido

Lixci

Viyci

Vi-1yci-1

Li+1Xci+1

Figura 1.3: Principio de operación de la columna de destilación.

En cada etapa de la columna se tienen diferentes concentraciones o grado de pureza

de los elementos (ver ejemplo en la Figura 1.2), para ello se emplea una variable

f́ısica denominada fracción molar e indica la relación que hay entre los moles de un

componente y los moles totales de la solución. xci es la fracción molar ĺıquida del

componente c en el plato i y yci es la fracción molar de vapor del componente c en el

plato i.

La alimentación se introduce en un punto situado a lo largo de la coraza de la

columna, conocido como plato de alimentación y etiquetado con el número f. La columna

se divide en una sección superior, que se denomina con frecuencia sección de rectificación

o enriquecimiento, y otra inferior, que suele recibir el nombre de sección de agotamiento

o empobrecimiento. Estos términos se vuelven bastante indefinidos en columnas en las

cuales se retira una corriente lateral de producto en algún punto a lo largo de la columna,

además de las dos corrientes de productos de los extremos.

El material de alimentación que se debe separar en fracciones, se introduce en uno

o más puntos a lo largo de la coraza de la columna. Debido a la diferencia de gravedad

entre la fase de vapor y la ĺıquida, el ĺıquido corre hacia abajo de la columna, cayendo

en cascada de plato a plato, mientras que el vapor asciende por la columna, para entrar

en contacto con el ĺıquido en cada uno de los platos, como se muestra en la Figura 1.3.

El ĺıquido que llega al fondo de la columna se vaporiza parcialmente en un hervidor

para proporcionar vapor que asciende por la columna. El resto del ĺıquido se retira como

producto del fondo (B). El vapor que llega a la parte superior de la columna se enfŕıa

y condensa como ĺıquido en el condensador superior. Parte de este ĺıquido regresa a la

columna como reflujo (R), para proporcionar un derrame ĺıquido en los platos. El resto

4 Caṕıtulo 1. Introducción.

de la corriente superior se retira como producto destilado o superior (D).

Este patrón de flujo en la columna de destilación proporciona un contacto, a contra

corriente de la corriente de vapor y ĺıquido, en todos los platos de la columna. Las fases

de vapor y ĺıquido en un plato dado se acercan a los equilibrios de temperatura, presión

y composición, hasta un punto que depende la eficiencia del plato de contacto.

Los componentes de punto de ebullición más bajo, llamados componentes ligeros,

tienden a concentrarse en la fase de vapor, mientras que los de punto de ebullición

más altos, llamados componentes pesados, tienden a la fase ĺıquida. El resultado es una

fase de vapor que se hace más rica en componentes ligeros al ir ascendiendo por la

columna, y una fase ĺıquida que se va haciendo cada vez más rica en los componentes

pesados conforme desciende en cascada. La separación general que se logra entre el

producto superior y del fondo depende primordialmente de las volatilidades relativas

de los componentes, el número de platos de contacto y la relación de reflujo.

1.1. Planteamiento del problema

Aunque en el pasado pod́ıa considerarse que el único objetivo del control consist́ıa

en mantener una operación estable del proceso, actualmente la industrias se enfrentan

a un mercado cambiante y dif́ıcil de predecir, lo que les obliga a operar sus proce-

sos productivos en consonancia con la evolución del mercado para poder mantenerse

competitivas y rentables.

La competencia en muchos sectores industriales aśı como el creciente interés social

por los problemas medioambientales relacionados con los procesos de producción provo-

ca la necesidad de disponer de técnicas fiables que permitan la operación del proceso

con gran eficiencia y alto grado de flexibilidad.

Actualmente los sistemas de control en la industria de procesos deben satisfacer

criterios económicos, asociados con el mantenimiento de las variables de proceso en

sus puntos de ajuste (set points) minimizando dinámicamente una función de costo

de operación, criterios de seguridad, medioambientales, y de calidad en la producción,

la cual debe satisfacer ciertas especificaciones sujetas a una demanda normalmente

variable.

Por ello, se puede considerar que en la actualidad el objetivo de todo sistema de

control consiste en actuar sobre las variables manipuladas de forma que puedan satis-

facerse múltiples y cambiantes criterios de funcionamiento (económicos, de seguridad,

medioambientales o de calidad) en presencia de cambios en las caracteŕısticas del pro-

ceso.

La gran variedad de metodoloǵıas actuales de control de procesos se enfrenta al

cumplimiento de este objetivo. La diferencia entre las diversas técnicas radica básica-

1.2. Ventajas del control predictivo. 5

mente en los compromisos hechos en la formulación matemática de los criterios de

funcionamiento y en la elección de la manera de representar el proceso.

Todas las operaciones de separación requieren un suministro de enerǵıa en forma

de calor o trabajo. En la operación convencional de destilación, la enerǵıa requerida

para la separación de los componentes se agrega en forma de calor al hervidor, en el

fondo de la columna, donde la temperatura es máxima. Además, se elimina calor del

condensador en la parte superior de la columna, donde la temperatura es mı́nima. Con

frecuencia, esto da por resultado un requerimiento elevado de enerǵıa y una baja eficien-

cia termodinámica en general, que teńıa poca importancia (excepto para los procesos

criogénicos y de alta temperatura) cuando los costos de la enerǵıa eran bajos. Con el

reciente incremento en los costos de enerǵıa, las operaciones complejas de destilación

requieren una eficiencia termodinámica más elevada. La mejor manera de reducir gastos

de explotación de unidades existentes, es mejorar la eficacia y operación por medio de

la optimización y control del proceso para que los productos se obtengan con la pureza

deseada en el menor tiempo posible, y con la menor inversión en enerǵıa aplicada al

sistema.

Adicionalmente, en la industria de procesos, los reguladores PID solucionan bien

la mayoŕıa de los problemas de control monovariable, como lo son flujo, presión, tempe-

ratura etc., sin embargo, en sistemas más complejos con interacción entre sus variables,

perturbaciones etc., como lo es una columna de destilación, las llamadas estructuras de

control convencionales no siempre dan buenos resultados y son dif́ıciles de mantener.

En consecuencia, a menudo la unidad se regula manualmente por un operador.

Para cada uno de todos los problemas mencionados, podemos encontrar en la li-

teratura trabajos que proponen alguna solución, sin embargo en la mayoŕıa de estos

trabajos, las soluciones que se proponen no han sido probadas experimentalmente ni

mucho menos explotadas a nivel industrial. En el Centro Nacional de Investigación y

Desarrollo Tecnológico se cuenta con una planta piloto de destilación, que posee la

instrumentación necesaria para poner en práctica conceptos teóricos de control, con la

finalidad de obtener resultados en un caso real de manera experimental.

1.2. Ventajas del control predictivo

La técnica de control predictivo parece constituir una poderosa herramienta para

afrontar los retos anteriormente planteados. El control predictivo es una de las áreas

de control que más éxito ha tenido en la industria. Este éxito se debe principalmente a

que [Maciejowsky, 2002]:

1. La idea general de funcionamiento no es dif́ıcil de entender.

6 Caṕıtulo 1. Introducción.

2. Las restricciones en las señales de control, debido a los actuadores aśı como las

restricciones en los estados del proceso son fáciles de incorporar al algoritmo de

control.

3. Es una técnica de control más poderosa que los PID, aún para los lazos de control

sencillos y sin restricciones.

4. Posee intŕınsecamente compensación del retardo.

5. La sintonización de éstos controladores no es complicada, aún en los lazos de

control que presentan cierto grado de dificultad de sintonización (utilizando otras

técnicas de control) debido a retardos de tiempo.

El control predictivo basado en modelo — Model (Based) Predictive Control (MBPC

o MPC) — constituye un campo muy amplio de métodos de control desarrollados en

torno a ciertas ideas comunes e integra diversas disciplinas como control óptimo, control

estocástico, control de procesos con tiempos muertos, control multivariable o control

con restricciones.

Las ideas que aparecen en mayor o menor medida en toda la familia de contro-

ladores predictivos son básicamente:

• Uso expĺıcito de un modelo para predecir la salida del proceso en instantes detiempo futuros (horizonte).

• Cálculo de las señales de control minimizando una cierta función objetivo.• Estrategia deslizante, de forma que en cada instante el horizonte se va despla-

zando hacia el futuro, lo que implica aplicar la primera señal de control en cada

instante y desechar el resto, repitiendo el cálculo en cada instante de muestreo.

Los distintos algoritmos de MPC difieren entre śı casi exclusivamente en (i) la

función de costo a minimizar y (ii) en el modelo usado para representar el proceso y los

ruidos. Aunque las diferencias puedan parecer pequeñas a priori, pueden provocar dis-

tintos comportamientos en lazo cerrado, siendo cŕıticas para el éxito de un determinado

algoritmo en una determinada aplicación.

1.3. Hipótesis

Dado el problema planteado para este trabajo y las ventajas expuestas anteriormen-

te de los controladores predictivos, se plantea la siguiente hipótesis para este trabajo:

Con el control predictivo multivariable se obtendrá una mejora en

el desempeño del proceso de una columna de destilación binaria

comparado con un controlador convencional (PI).

1.4. Objetivo. 7

1.4. Objetivo

El objetivo de este trabajo es desarrollar un controlador predictivo multivariable

para una columna de destilación binaria, con el fin de controlar las composiciones

ĺıquidas de los productos en el fondo y la salida del condensador.

F

B

D

R

FCFT

TT

TT

FT

LCLT

MPC

Multivariable

LT

LC

Figura 1.4: Esquema del objetivo de la tesis.

El esquema del objetivo de la tesis se puede ver en la Figura 1.4. La validación

del controlador multivariable se hará en simulación. Sin embargo, se desarrollará un

controlador monovariable (como caso particular del controlador multivariable) para el

control del flujo de agua al condensador de la columna de destilación. Este controlador

monovariable se validará en tiempo real ya que se cuenta con los sensores y actuadores

necesarios para llevar a cabo la validación experimental.

1.5. Justificación

Dada la expansión y desarrollo que tendrá el sector qúımico en los próximos años, es

necesario prepararse para hacer frente a la demanda masiva de un producto calificado.

Debido a la complejidad que presentan las unidades de destilación que se encuentran en

las plantas industriales (tales como en la petroqúımica), la demanda de un producto con

8 Caṕıtulo 1. Introducción.

calidad y de bajo costo no podrá satisfacerse si no se usan herramientas matemáticas y

nuevas técnicas para el control del procesos. Lo que conlleva un cierto tipo de ventajas

que han motivado fuertemente su estudio hoy en d́ıa en algunos páıses de Europa y de

Norteamérica. Estas ventajas pueden ser:

• Aumentar la eficiencia y confiabilidad de una unidad de destilación.• Optimizar el proceso a su máxima capacidad.• Mejorar los procedimientos de operación.• Adiestramiento de operadores para la reducción de riesgos e incremento de la

seguridad.

• Promover la investigación de este campo en el páıs para lograr tener una tecnoloǵıade vanguardia.

1.6. Estado del arte

El control predictivo fue introducido por [Richalet et al., 1978] presentando el con-

trol predictivo heuŕıstico basado en modelo (“Model Predictive Heuristic Control”,

MPHC), más tarde conocido como control algoŕıtmico basado en modelo (“Model Al-

gorithmic Control”, MAC); y por otro lado, de forma independiente: Cutler y Ramaker,

ingenieros de la compañ́ıa Shell, presentaron en [Cutler y Ramaker, 1980] sobre control

con matriz dinámica (“Dynamic Matrix Control”, DMC). Ambos algoritmos utilizan

expĺıcitamente un modelo dinámico del proceso (obtenido de la respuesta impulso en el

primer caso y de la respuesta escalón en el segundo) para predecir el efecto de las futuras

señales de control en las variables a controlar. Estas formulaciones eran heuŕısticas.

Estos controladores estaban ı́ntimamente ligados al problema de control óptimo

en tiempo mı́nimo y a la programación lineal [Zadeh y Whalen, 1962]. El concepto de

horizonte deslizante, una de las ideas centrales del control predictivo, fue propuesto

por [Propoi, 1963], en el marco de realimentación óptima en lazo abierto (open-loop

optimal feedback) que fue utilizada extensamente en los años 70.

El control predictivo llegó a ser popular particularmente en la industria de procesos

qúımicos debido a la simplicidad del algoritmo y a la utilización del modelo de respuesta

ante impulso que, aunque requiriendo muchos más parámetros que las formulaciones en

el espacio de estado o en el dominio de entrada y salida, resulta más intuitivo y requiere

mucha menos información a priori para la identificación.

La mayoŕıa de estas aplicaciones se llevaron a cabo en sistemas multivariables que

inclúıan restricciones. A pesar de este éxito, estas formulaciones carećıan de una teoŕıa

formal para proveer resultados sobre la estabilidad y robustez. De hecho, el caso de

horizonte finito parećıa demasiado dif́ıcil de analizar excepto en casos muy espećıficos.

1.6. Estado del arte. 9

Otra ĺınea de trabajo se desarrolló independientemente en torno a las ideas de con-

trol adaptable, desarrollándose estrategias de control predictivo para sistemas mono-

variables y formulada sobre modelos de entrada y salida. El control autosintoniza-

do basado en predictores (“Predictor-Based Self-Tuning Control”) en el trabajo de

[Peterka, 1984], el control adaptable de horizonte extendido (“Extended Horizon Adap-

tive Control”, EHAC) por [Ydstie, 1984], el controlador autosintonizado (“Extended

Prediction Self Adaptive Control”, EPSAC) [Keyser y Cuawenberghe, 1985], y el con-

trol predictivo generalizado (“Generalized Predictive Control”, GPC) desarrollado por

[Clarke et al., 1987] se pueden mencionar en este contexto. El GPC utiliza ideas de

los controladores de varianza mı́nima generalizada (“Generalized Minimum Variance”,

GMV) [Clarke y Gawthrop, 1979] y es en la actualidad uno de los métodos mas utiliza-

dos a nivel académico.

Existen numerosas formulaciones de control predictivo basadas en las mismas ideas

comunes, entre las que se puede incluir control adaptable multivariable multipaso (“Mul-

tistep Multivariable Adaptive Control”, MUSMAR) [Greco et al., 1984], control pre-

dictivo funcional (“Predictive Functional Control”, PFC) [Richalet, 1992]. El MPC,

también ha sido formulado en el espacio de estados [Morari, 1994], lo que permite una

utilización de resultados bien conocidos sobre estabilidad y también la generalización

a casos más complejos como procesos multivariables, procesos no lineales y sistemas

con perturbaciones estocásticas. Aunque los primeros trabajos sobre GPC contienen

algunos resultados de estabilidad para el caso nominal, la falta de resultados generales

sobre la estabilidad de los controladores de horizontes finito y deslizante constituyó un

inconveniente para su utilización al principio. Para hacer frente a esto, apareció en

los noventa una nueva ĺınea de trabajo sobre controladores predictivos con estabilidad

garantizada, imponiendo que la señal de salida alcanzara a la referencia al final del

horizonte.

Existen muchas aplicaciones del control predictivo en la industria. La mayor parte

de las aplicaciones están en el sector petroqúımico en el área de refineŕıa

[Qin y Badgwell, 2003], pero también existen numerosas aplicaciones en los sectores

de pulpa y papel, procesado de alimentos, gas, mineral, hornos, metalurgia, industria

aeroespacial e industria automotriz. Una excelente revisión sobre MPC dirigida princi-

palmente a personal de la industria con experiencia en control se puede encontrar en

[Rawlings, 2000].

Recientemente han aparecido en la literatura aplicaciones de los controladores pre-

dictivos a sistemas h́ıbridos1 [Camacho, 2004]. Donde los sistemas h́ıbridos se han mo-

delado de distintas formas, bien, como un grafo de transición de estados (con dinámica

continua dentro de cada estado) o bien como un conjunto de ecuaciones diferenciales

con variables discretas.

1 Un sistema h́ıbrido es un sistema continuo con eventos discretos.

10 Caṕıtulo 1. Introducción.

Para el caso de las columnas de destilación, cuyo control es predictivo, existen

diferentes trabajos, en los que actualmente se trata el caso del control MPC aplica-

do a procesos mal condicionados [Pannocchia, 2003], [Waller et al., 2005]; y el caso del

MPC no lineal [Jana et al., 2005], [Volk et al., 2005], en los que la principal alternativa

está basada en una linealización iterativa (linealización en cada instante de muestreo)

de la respuesta del modelo, para asegurar una solución factible al problema de la mini-

mización. De igual forma se encuentran reportados en la literatura trabajos que presen-

tan resultados experimentales, como en [Alpbaz et al., 2002], donde se aplica el control

a una planta piloto de destilación, pero usando el control predictivo multivariable en

su forma lineal, sin restricciones y trabajando dentro de una región de operación.

1.6.1. Temas abiertos a la investigación

No se puede considerar al control predictivo como una disciplina ya cerrada a la

investigación, sino que, al contrario, es una rama del control de gran efervescencia. Esto

se puede constatar por el hecho de que en todos los congresos de control de estos últimos

años siempre hay sesiones espećıficas de control predictivo y raro es el número de las

revistas de control donde no aparezca algún art́ıculo sobre este tema.

Los temas todav́ıa no del todo resueltos y que son objeto de investigación se pueden

clasificar en problemas de implementación y problemas de análisis y diseño.

Temas abiertos a

Análisis de estabilidad y robustez de estos controladores

Aplicados a sistemas:

Híbridos

No lineales

Muy rápidosla investigación

Implementación y análisis de diseño

El control predictivo es muy dif́ıcil de implementar en tiempo real para procesos

no lineales, procesos h́ıbridos o procesos muy rápidos. En el caso de sistemas no lineales

e h́ıbridos han aparecido soluciones para casos particulares y normalmente de pequeña

dimensión, pero no existen soluciones generales. Se ha demostrado recientemente que

la estructura de control predictivo para procesos lineales es af́ın a trozos (“picewise

affine systems”) y por lo tanto el controlador puede calcularse previamente. Esto ha

permitido que el control predictivo pueda ser aplicado a procesos más rápidos, pero,

desafortunadamente, la técnica sólo es aplicable a problemas espećıficos (incluyendo

horizontes de control pequeños).

El otro gran problema todav́ıa no resuelto es el problema del análisis de estabilidad

1.7. Organización del documento. 11

y robustez de estos controladores. Es decir, aún en el caso de que los controladores sean

implementables, analizar cómo se puede asegurar su estabilidad en el caso nominal o

en el caso de que el modelo no sea exacto. Para el caso de restricciones, el análisis

de estabilidad parećıa ser un problema demasiado complicado de resolver. Aún en el

caso de que el optimizador fuera capaz de encontrar una solución, no está garantizada

la estabilidad del sistema en lazo cerrado. La utilización de penalizaciones terminales

y/o restricciones, funciones de Lyapunov, o conjuntos invariantes han dado lugar a una

familia de técnicas que garantizan la estabilidad del sistema. Este problema ha sido

atacado desde distintos puntos de vista y han aparecido numerosas contribuciones en

años recientes, siempre analizando el problema del regulador (llevar el estado al reposo)

y normalmente en espacio de estados. Se han obtenido resultados que utilizan técnicas

de control robusto en el contexto de controladores predictivos. La idea básica es tener

en cuenta las incertidumbres sobre el proceso de una manera expĺıcita y diseñar el

controlador predictivo para optimizar la función objetivo ante la peor situación posible

de las incertidumbres. En cualquier caso, estos resultados exigen el cómputo de regiones

invariantes que, salvo en el caso de sistemas lineales, son dif́ıcilmente calculables.

Estos avances prometedores permiten pensar que el control predictivo experimen-

tará una mayor diseminación tanto en el mundo académico como en la comunidad

industrial en los próximos años.

1.7. Organización del documento

El presente documento consta de 6 caṕıtulos y 2 apéndices.

En el Caṕıtulo 2 se presentan los conceptos básicos del control predictivo basado

en modelo, se incluyen sus puntos clave y hace una revisión de los principales algoritmos

presentando sus caracteŕısticas más importantes.

En el Caṕıtulo 3 se desarrolla la formulación en espacio de estados del control pre-

dictivo, siendo esta formulación fácilmente extendible al caso multivariable. Finalmente,

se integra este controlador a un programa y se realizan unas pruebas en simulación de

su funcionamiento.

En el Caṕıtulo 4 se presenta el modelo dinámico de la planta piloto de destilación,

se estudian los fenómenos involucrados en su dinámica, posteriormente se hace una

descripción de la planta piloto utilizada para las pruebas y se valida modelo comparando

valores experimentales con los teóricos.

En el Caṕıtulo 5 se muestran los resultados obtenidos al aplicarle el control

predictivo al lazo de flujo de agua al condensador (caso SISO) en simulación y de

forma experimental, aśı como las simulaciones del control al modelo de la columna

(caso MIMO).

12 Caṕıtulo 1. Introducción.

En el Caṕıtulo 6 se dan las conclusiones generales de la tesis, y los trabajos futuros

propuestos.

En el Apéndice A se muestran los valores numéricos de los parámetros utilizados

en esta tesis para las simulaciones y los experimentos realizados.

En el Apéndice B se da una descripción de los programas utilizados y una pequeña

gúıa de su uso.

Caṕıtulo 2

Conceptos básicos del control

predictivo

En este caṕıtulo se presentan los conceptos básicos del control predictivo basado

en modelo y se describen los elementos que son comunes a todos estos controladores,

mostrando algunas alternativas que son utilizadas en diferentes implementaciones.

En la Sección 2.1 se describe la estrategia general que siguen los controladores que

pertenecen a la familia de los controladores predictivos. En la Sección 2.2 se detallan

los elementos comunes de los controladores predictivos, como lo son: el modelo utiliza-

do para la predicción, la función objetivo y la obtención de la ley de control. En la

Sección 2.3 se presenta una revisión general de los principales algoritmos reportados en

la literatura. Finalmente, en la Sección 2.4 se dan las conclusiones del caṕıtulo en base

a lo estudiado.

2.1. Estrategia de los controladores predictivos

El principio de operación de todos los controladores pertenecientes a la familia del

MPC se caracteriza por la estrategia siguiente, representada en la Figura 2.1:

1. En cada instante k y haciendo uso del modelo del proceso se predicen las futuras

salidas para un determinado horizonte, llamado horizonte de predicción HP . Estas

salidas predichas ŷf (k + i|k) 1 (para i = 1, 2, ..., HP ), dependen de los valoresconocidos hasta el instante k (entradas y salidas pasadas) y de las señales de

control futuras u(k + i|k) (para i = 0, 1, ..., HP − 1) que se pretenden mandar alsistema y que son las que se quieren calcular.

1 La notación indica el valor de la variable en el instante k + i, calculado en el instante k. Aśı comola marca diacŕıtica ˆ denota predicción.

13

14 Caṕıtulo 2. Conceptos básicos del control predictivo.

k k+HC

s(t)

w(k+i|k)

y(t)

k+HPk

y(k+i|k)^

yf (k+i|k)^

Hp

HcEntrada

Salida

u(t)u(k+i|k)

Figura 2.1: Estrategia de control predictivo.

2. El conjunto de señales de control futuras se calcula optimizando un determinado

criterio en el que se pretende mantener el proceso lo más próximo posible a la

trayectoria de referencia w(k + i|k) (que puede ser directamente la salida deseadas(k) o una suave aproximación a ésta). Este criterio suele tomar la forma de

una función cuadrática de los errores entre la salida predicha y la trayectoria de

referencia también predicha, incluyendo en muchos casos el esfuerzo de control.

Si el criterio es cuadrático, el modelo lineal y no existen restricciones se puede

obtener una solución expĺıcita, de otra manera se debe usar un método iterativo

de optimización. Adicionalmente se hace alguna suposición sobre la estructura de

la ley de control futura, como por ejemplo que va a ser constante a partir de cierto

instante HC .

3. La primera señal de control u(k|k) es enviada al proceso mientras que las siguientesseñales de control calculadas son desechadas. Puesto que en el siguiente instante

de muestreo ya se conoce y(k + 1), se repite el paso 1 con este nuevo valor y to-

das las secuencias son actualizadas. Se calcula por tanto la nueva señal de control

u(k + 1|k + 1) (que en principio será diferente a la secuencia de salida anterioru(k + 1|k), al disponer de nueva información), haciendo uso del concepto de hori-zonte deslizante.

2.2. Elementos básicos. 15

s(k)

yf (k+i|k)^

u(k|k)y(k)

Predictor

Optimizador Proceso

v(k)

Figura 2.2: Estructura básica del control predictivo.

Para llevar a cabo esta estrategia, se usa una estructura como la mostrada en la

Figura 2.2. Se hace uso de un modelo para predecir las salidas futuras del proceso

basándose en las futuras señales de control propuestas. Estas señales son calculadas por

el predictor teniendo en cuenta la función de costo (donde aparece el futuro error de

seguimiento) aśı como las restricciones.

Por lo tanto, el modelo del proceso juega un papel decisivo en el controlador.

El modelo elegido debe ser capaz de reproducir la dinámica del proceso para poder

predecir correctamente las salidas futuras. Al mismo tiempo, debe ser sencillo de usar

y de comprender.

El optimizador es otra parte fundamental de la estrategia pues proporciona las

acciones de control. Si la función de costo es cuadrática, el mı́nimo se puede obtener

como una función expĺıcita (lineal) de las entradas pasadas, las salidas pasadas y de

la trayectoria de referencia. Sin embargo, cuando existen restricciones de desigualdad

la solución debe de ser calculada por métodos numéricos con más carga de cálculo.

La complejidad del problema de optimización depende directamente del número de

variables y el tamaño de los horizontes elegidos.

2.2. Elementos básicos

Todos los controladores predictivos poseen elementos comunes y para cada uno de

estos elementos se pueden elegir diversas opciones, dando lugar a distintos algoritmos.

Estos elementos son:

• Modelo de predicción.• Función objetivo.• Obtención de la ley de control.

16 Caṕıtulo 2. Conceptos básicos del control predictivo.

2.2.1. Modelo de predicción

La piedra angular del MPC es el modelo del proceso; un diseño completo debe de

incluir los mecanismos necesarios para la obtención del mejor modelo posible, el cual

debe de ser lo suficientemente rico para capturar al máximo la dinámica del proceso y

debe de ser capaz de permitir el cálculo de las predicciones. A la vez, debe ser intuitivo

y debe ser posible llevar a cabo en él un análisis teórico. El uso del modelo del proceso

viene determinado por la necesidad del cálculo de la salida predicha en instantes futu-

ros ŷf (k + i|k). Las diferentes estrategias del MPC pueden usar distintos modelos pararepresentar la relación de las salidas con las entradas medibles, que pueden ser compen-

sadas con una acción prealimentada. Además se debe de tener en cuenta un modelo de

las perturbaciones para intentar describir el comportamiento que no aparece reflejado

en el modelo del proceso, englobándose aqúı el efecto de las entradas no medibles, el

ruido y los errores de modelado.

Para este fin, se puede separar el modelo en dos partes: el modelo del proceso

propiamente dicho y el modelo de las perturbaciones. Cualquier método utilizará ambas

partes para la predicción.

Modelo del proceso

Casi todas las formas posibles de modelar un proceso aparecen en alguna formu-

lación del MPC siendo las más usadas las siguientes:

• Respuesta al impulso. También conocida por secuencia de ponderación o modelode convolución. La salida viene relacionada con la entrada por la ecuación:

y(k) =∞∑

j=1

hju(k − j)

donde hj son los valores muestreados obtenidos al someter al proceso a un impulso

unitario de amplitud igual a un peŕıodo de muestreo (ver Figura 2.3a). Esta suma

es truncada y sólo se consideran N valores (por lo tanto sólo permite representar

procesos estables y sin integradores), teniendo

y(k) =N∑

j=1

hju(k − j) = H(q−1)u(k) (2.1)

donde: H(q−1) = h1q−1 + h2q−2 + · · · + hNq−N , siendo q−1 el operador de des-plazamiento hacia atrás. Un inconveniente de este método es el gran número de

parámetros que necesita, ya que N normalmente es de un valor elevado (del orden

2.2. Elementos básicos. 17

y(k)

k k+1 k+2 k+N. . .

h1

h2

hj

hN

a Respuesta al impulso.

y(k)

k k+1 k+2 k+N. . .

g1

g2

gj gN

b Respuesta al escalón.

Figura 2.3: Respuestas del sistema.

de 30-40) [Camacho, 2001]. La predicción vendrá dada por:

ŷ(k + i|k) =N∑

j=1

hju(k + i− j|k)

= H(q−1)u(k + i|k)

Este método es ampliamente aceptado en la práctica industrial debido a que es

muy intuitivo y no requiere de información previa del proceso, con lo que el pro-

cedimiento de identificación se simplifica, a la vez que permite describir fácilmente

dinámicas complejas como fase no mı́nima o retardos.

• Respuesta al escalón. Es muy similar al anterior sólo que la señal de entrada esun escalón. Para sistemas estables se tiene la respuesta truncada que será (ver

Figura 2.3b):

y(k) = y0 +N∑

j=1

gj∆u(k − j) = y0 + G(q−1)(1− q−1)u(k) (2.2)

donde las gj son los valores muestreados ante la entrada escalón y ∆ u(k) =

u(k)− u(k − 1). El valor de y0 puede tomarse como 0 sin pérdida de generalidad,con lo cual el predictor será:

ŷ(k + i|k) =N∑

j=1

gj∆u(k + i− j|k)

Este método presenta las mismas ventajas y desventajas que el método anterior.

18 Caṕıtulo 2. Conceptos básicos del control predictivo.

• Funciones de transferencia. Se utiliza el concepto de función de transferenciaG = B/A con lo que la salida viene dada por:

A(q−1)y(k) = B(q−1)u(k)

donde:

A(q−1) = 1 + a1q−1 + a2q−2 + · · ·+ anaq−naB(q−1) = b1q−1 + b2q−2 + · · ·+ bnbq−nb

Por lo tanto la predicción viene dada por:

ŷ(k + i|k) = B (q−1)

A (q−1)u(k + i|k)

Esta representación también es válida para procesos inestables y posee la ventaja

de necesitar pocos parámetros, aunque es fundamental un conocimiento a priori

del proceso, sobre todo en cuanto al orden de los polinomios A y B.

• Espacio de estados. Tiene la siguiente representación:

x (k + 1) = Ax (k) + Bu (k)

y (k) = Cx (k)

siendo x el estado y A, B y C las matrices del sistema, de entrada y salida respec-

tivamente. Para este modelo la predicción viene dada por:

ŷ(k + i|k) = Cx̂(k + i|k) = C[Aix(k) +i∑

j=1

Aj−1Bu(k + i− j|k)]

Posee la ventaja de que sirve también para sistemas multivariables a la vez que

permite analizar la estructura interna del proceso (aunque a veces los estados

obtenidos al discretizar no tienen ningún significado f́ısico). Los cálculos pueden

ser complicados, con la necesidad adicional de incluir un observador si los estados

no son accesibles.

• Otros. Los modelos no lineales también pueden ser utilizados para representar alproceso pero el problema de su uso radica en el hecho de que es muy complicado

encontrar la respuesta al problema de optimización. Las redes neuronales aśı como

la lógica difusa son otras formas de representación usadas en algunas aplicaciones.

Modelo de perturbaciones

Tan importante es la elección de un determinado modelo del proceso como lo

es la elección del modelo utilizado para representar las perturbaciones. Un modelo

2.2. Elementos básicos. 19

q-nk B(q

-1)

C(q-1)

D(q-1)

1

A(q-1)

u(k) y(k)

e(k)

n(k)+

+

Figura 2.4: Estructura ARIMA.

bastante extendido es el Autoregresivo Integrado de Media Móvil (Auto-Regressive

and Integrated Moving Average, ARIMA) mostrado en la Figura 2.4, en el que las

perturbaciones, es decir, las diferencias entre la salida medida y calculada por el modelo

vienen dadas por:

n(k) =C(q−1)e(k)

D(q−1)

donde el polinomio D(q−1) incluye expĺıcitamente el integrador ∆ = 1 − q−1, e(k) esun ruido de media cero y normalmente el polinomio C se considera igual a uno. Este

modelo se considera apropiado para dos tipos de perturbaciones: cambios aleatorios

ocurridos en instantes aleatorios (por ejemplo la calidad del material) y movimiento

browniano (en procesos con balance de enerǵıa) y es usado en varios métodos. Nótese

que al incluir un integrador se consigue un control sin errores en el estado estable.

Respuestas libre y forzada

Una caracteŕıstica t́ıpica de los controladores predictivos es el empleo de los con-

ceptos de respuesta libre y forzada. La idea es expresar la secuencia de acciones de

control como la suma de dos señales:

u(k) = u(k)f + uc(k)

La señal u(k)f corresponde a las entradas pasadas (anteriores al instante k) y en el

futuro se mantiene constante e igual al último valor de la variable manipulada. Es

decir:

uf (k − j) = u(k − j) para j = 1, 2, . . .uf (k + j) = u(k − 1) para j = 0, 1, 2, . . .

20 Caṕıtulo 2. Conceptos básicos del control predictivo.

Proceso

u y

k

k k

k

k k

ucuf yf yc

Figura 2.5: Respuestas libre y forzada.

La señal uc vale cero en el pasado y corresponde a las señales de control en los tiempo

futuros:

uc(k − j) = 0 para j = 1, 2, . . .uc(k + j) = u(k + j)− u(k − 1) para j = 0, 1, 2, . . .

La predicción de la secuencia de salida se separa en dos partes, como se ve en la

Figura 2.5. Una de ellas yf (k), la respuesta libre, corresponde a la predicción de la

salida cuando se toma como entrada únicamente uf (k), y la otra, la respuesta forzada

yc(k), corresponde a la salida cuando la señal de control es uc(k). La respuesta libre

corresponde a la evolución del proceso debido a su estado actual (influido principalmente

por las acciones de control pasadas) mientras que la respuesta forzada es la debida a

las acciones de control futuras.

2.2.2. Función objetivo

Los diversos algoritmos de MPC proponen distintas funciones de costo para la

obtención de la ley de control. En general se busca que la salida futura (ŷ) en el horizonte

considerado siga una determinada señal de referencia (w) al mismo tiempo que se puede

penalizar el esfuerzo de control (∆u) requerido para hacerlo. La expresión general de

esta función objetivo es:

J(H1, HP , HC) =

HP∑i=H1

δ(i)[ŷ(k + i|k)− w(k + i|k)]2 +HC∑i=1

λ(i)[∆u(k + i− 1|k)]2 (2.3)

En algunos métodos el segundo sumando, que se considera el esfuerzo de control,

no se toma en cuenta, mientras que en otros aparecen directamente los valores de la

señal de control (no sus incrementos). En la función de costo se pueden considerar:

2.2. Elementos básicos. 21

• Parámetros. H1 y HP son los horizontes mı́nimo y máximo de costo (o de predic-ción) y HC es el horizonte de control, que no tiene que coincidir con el horizonte

máximo, como se verá posteriormente. El significado de H1 y HP resulta bastante

intuitivo: marcan los ĺımites de los instantes en que se desea que la salida siga la

referencia. Aśı si se toma un valor grande de H1 es porque no importa que haya

errores en los primeros instantes, lo cual provocará una respuesta suave del pro-

ceso. Nótese que para procesos con tiempo muerto d no tiene sentido que H1 sea

menor que dicho valor puesto que la salida no empezará a evolucionar hasta el

instante k+d. Además, si el proceso es de fase no mı́nima, este parámetro permite

eliminar de la función objetivo los primeros instantes de respuesta inversa.

Los coeficientes δ(i) y λ(i) son secuencias que ponderan el comportamiento fu-

turo. Usualmente se consideran valores constantes o secuencias exponenciales. Por

ejemplo se puede conseguir un paso exponencial de δ(i) a lo largo del horizonte

usando:

δ(i) = αHP−i

Si α está comprendido entre 0 y 1 significa que se penaliza más a los errores alejados

del instante k que a lo más próximos, dando lugar a un control más suave y con

menor esfuerzo. Si, por el contrario, α > 1 es que se penalizan más los primeros

errores, provocando un error más brusco.

Todos estos valores pueden ser usados como parámetros de sintonización, obtenien-

do muchas posibilidades con las que se puede cubrir una amplia gama de opciones,

desde un control estándar hasta una estrategia diseñada espećıficamente para un

proceso en particular.

• Trayectoria de referencia. Una de las ventajas del control predictivo es que si seconoce de antemano la evolución futura de la referencia, el sistema puede empezar

a reaccionar antes de que el cambio se haya efectivamente realizado, evitando los

efectos de retardo en la respuesta del proceso. En muchas aplicaciones la evolu-

ción futura de referencia es conocida de antemano, como en robótica, los servos o

procesos en lote; en otras aplicaciones aunque la referencia es constante, se puede

conseguir una sensible mejora de prestaciones simplemente conociendo el instante

de cambio de valor y adelantándose a esa circunstancia.

En el criterio de minimización (2.3), la mayoŕıa de los métodos suelen utilizar

una referencia w(k + i|k) que no tiene por qué coincidir con la referencia real.Normalmente será una suave aproximación desde el valor actual de la salida y(k)

a la referencia conocida s(k) mediante un sistema de primer orden:

w(k|k) = y(k) w(k + i|k) = αw(k + i− 1|k) + (1− α)s(k + i|k) i = 1...HP(2.4)

α es un parámetro comprendido entre 0 y 1 (mientras más proximo a 1 más suave

será la aproximación) que constituye un valor ajustable que influirá en la respues-

22 Caṕıtulo 2. Conceptos básicos del control predictivo.

ta dinámica del sistema. Otra estrategia es la utilizada en el control predictivo

funcional, la cual es útil para puntos de ajuste (set points) variables:

w(k + i|k) = s(k + i|k)− αi (y(k)− s(k)) (2.5)

• Restricciones. Una de las grandes bondades que proporciona el control predictivo esla posibilidad de tomar en cuenta las restricciones propias del proceso. El principal

motivo para considerar restricciones en las variables del proceso consiste en que

violarlas puede ser muy costoso o peligroso, porque puede originar daños en los

equipos y pérdidas en la producción. Por ejemplo, en la mayoŕıa de los reactores

por lote, la calidad de la producción requiere que las variables del proceso se

mantengan dentro de ĺımites durante la reacción; violar estos ĺımites puede llevar

a una producción de calidad inferior a la requerida. Cuando los ĺımites han sido

impuestos por razones de seguridad, la violación de estos ĺımites puede producir

daños en los equipos, derrames de los productos nocivos o en la mayoŕıa de los casos

que se activen los dispositivos de seguridad produciendo paradas de emergencia.

2.2.3. Obtención de la ley de control

Para obtener los valores de u(k + i|k) será necesario minimizar la función de costo,la ecuación (2.3). Para ello se calculan los valores de la salida predicha ŷ(k + i|k) enfunción de los valores pasados de entradas y salidas y de señales de control futuras,

haciendo uso del modelo del proceso que se haya elegido y se sustituyen en la función

de costo, obteniendo una expresión cuya minimización conduce a los valores buscados.

Para el criterio cuadrático, si el modelo es lineal y no existen restricciones, se puede

obtener la solución de forma anaĺıtica; en otro caso se debe de usar un método iterativo

de optimización.

De cualquier manera, la obtención de la solución no resulta tan trivial pues existirán

HP −HC + 1 variables independientes, valor que puede ser elevado (del orden de 10 a30). Con la idea de reducir estos grados de libertad se puede proponer cierta estructura

a la ley de control. Además se ha encontrado en [Clarke y Morari, 1989] que estructurar

la ley de control produce una mejora en la robustez y en el comportamiento general

del sistema. Lo anterior se debe fundamentalmente a que el hecho de permitir la libre

evolución las variables manipuladas (sin estructurar) puede conducir a señales de control

de alta frecuencia no deseables y que en el peor de los casos podŕıan conducir a la

inestabilidad. Esta estructura a la ley control se plasma en el uso del concepto de

horizonte de control HC , que consiste en considerar que tras un cierto tiempo HC(0 < HC < HP ) no hay variación en las señales de control propuestas, es decir:

∆u(k + i− 1|k) = 0 i > HC

2.3. Revisión de los principales algoritmos. 23

lo cual es equivalente a dar pesos infinitos a los cambios en el control a partir de HC .

El caso extremo seŕıa considerar HC igual a 1 con lo que todas las señales de control

futuras seŕıan igual a u(k|k) 2 .Otra manera de estructurar la señal de control es mediante el uso de funciones base:

un procedimiento utilizado en el control predictivo funcional, que consiste en representar

la señal de control como una combinación lineal de ciertas funciones predeterminadas.

2.3. Revisión de los principales algoritmos

A continuación se presentan los principales algoritmos de control predictivo, mos-

trando de manera general sus principales caracteŕısticas. Se pueden encontrar estu-

dios comparativos de las diferentes técnicas en [Garćıa et al., 1989], [Kramer, 1991],

[Keyser et al., 1989] y [Qin y Badgwell, 2003].

2.3.1. Control por matriz dinámica (DMC)

Este método desarrollado por [Cutler y Ramaker, 1980], usa la respuesta ante un

escalón (2.2) para modelar el proceso, considerando sólo los HP primeros términos, asu-

miendo por tanto que el proceso es estable. En cuanto a las perturbaciones, se considera

que su valor permanece constante e igual al existente en el instante actual durante todo

el horizonte, es decir, igual al valor medido de la salida ym menos el estimado por el

modelo ŷ(k + i|k).

n̂(k + i|k) = n̂(k|k) = ym(k)− ŷ(k|k)

y por lo tanto el valor predicho será:

ŷ(k + i|k) =i∑

j=1

gj∆u(k + i− j) +HP∑

j=i+1

gj∆u(k + i− j) + n̂(k + i|k)

donde el primer término contiene las acciones de control futuras (que serán calculadas),

el segundo los valores pasados de las acciones de control (conocidas) y el último repre-

senta las perturbaciones. La función de costo puede considerar sólo errores futuros o

incluir también el esfuerzo de control.

Una de las caracteŕısticas de este método que lo ha hecho muy popular en la

industria es la inclusión de restricciones, que se traduce en inecuaciones de la forma

2 Recuerde que en el control predictivo: se calculan HP movimientos de control durante cadainstante de muestreo; se le env́ıa al proceso sólo la primera de estas señales calculadas; y, debido alconcepto de horizonte deslizante, en el siguiente instante de muestreo de repite el cálculo con nuevainformación.

24 Caṕıtulo 2. Conceptos básicos del control predictivo.

genérica:

HP∑j=1

Cryj ŷ (k + i|k) + Cruju (k + i− j|k) + cr ≤ 0 r = 1, ..., HC .

Donde:

Cyj Corresponde a la relación que existe entre j-ésima salida restingida y la

señal de control.

Cuj Corresponde a la relación que existe entre j-ésima entrada restingida y la

señal de control.

c Valor de la restricción.

En este caso la optimización debe ser numérica y se lleva a cabo en cada periodo

de muestreo, enviándose la señal u(k|k) y recalculando todo en el nuevo periodo demuestreo, como en todos los métodos MPC. Los principales inconvenientes de este

método son el tamaño del modelo empleado y la imposibilidad de tratar procesos ines-

tables.

2.3.2. Control algoŕıtmico de modelo (MAC)

Este método fue presentado por [Richalet et al., 1978]. Se conoce también como

control predictivo heuŕıstico y el producto comercial se llama IDCOM3 (Identification-

Command). Es muy similar al DMC con la diferencia principal de usar un modelo de

respuesta al impulso (2.1). No utiliza el concepto de horizonte de control, por lo que

calcula todos los movimientos de control correspondientes al horizonte de predicción.

Introduce el concepto de trayectoria de referencia como un sistema de primer orden que

evoluciona desde la salida actual a la salida deseada según una determinada constante

de tiempo, utilizando la expresión (2.4). La varianza del error entre esta trayectoria y

la salida es lo que marca la minimización de la función objetivo.

Las perturbaciones se pueden tratar como en el método anterior o se pueden estimar

según la siguiente expresión:

n̂ (k + i|k) = αn̂ (k + i− 1|k) + (1− α) [ym (k)− ŷ (k|k)]con:

n̂(k|k) = 0siendo ym el valor medido de la salida y α un parámetro ajustable (0 ≤ α < 1) rela-cionado con el tiempo de respuesta, el ancho de banda y la robustez del sistema en lazo

cerrado.

El método también considera restricciones en los actuadores, en las variables in-

ternas o en salidas secundarias.3 Fabricado por la compańıa Adersa.

2.3. Revisión de los principales algoritmos. 25

2.3.3. Control predictivo funcional (PFC)

Este controlador fue desarrollado por [Richalet et al., 1987] para procesos rápidos.

Emplea un modelo en espacio de estados, por lo que permite el manejo de procesos

inestables, y también la extensión al caso no lineal. Este esquema de control tiene dos

caracteŕısticas que lo distinguen del resto de controladores de la familia: el uso de puntos

de coincidencia y de funciones base.

El concepto de puntos de coincidencia (ver Figura 2.6) se emplea para simplificar

los cálculos considerando sólo un subconjunto de puntos en el horizonte de predicción.

La salida deseada y la predicha deben coincidir en dichos puntos, no en todo el horizonte

de predicción.

Figura 2.6: Puntos de coincidencia.

La otra idea innovadora de este método es la parametrización de la señal de con-

trol como una combinación lineal de ciertas funciones base, que son elegidas según la

naturaleza del proceso y la referencia:

u (k + i|k) =nB∑j=1

µj (k) B (i)

Estas funciones se escogen de acuerdo a la naturaleza del proceso y normalmente son

de tipo polinómico: escalones (B1(i) = 1), rampas (B2(i) = i) o parábolas

(B3(i) = i2), ya que la mayoŕıa de referencias se pueden especificar como combinación

de estas funciones. Con esta estrategia, un perfil de entrada complejo se puede especi-

ficar usando un número pequeño (generalmente nB es del orden de 2 ó 3) de parámetros

desconocidos µj que son las incógnitas del problema de minimización. De esta manera,

el concepto de horizonte de control, no existe en esta formulación porque se reemplaza

por el número de funciones base utilizadas.

26 Caṕıtulo 2. Conceptos básicos del control predictivo.

La función a minimizar es:

J =

HP∑j=1

[ŷ (k + hj|k)− w (k + hj|k)]2

donde hj corresponde a los puntos de coincidencia elegidos. Nótese que el número

de puntos de coincidencia, debe de ser, al menos igual al número de funciones base

utilizadas.

2.3.4. Control autosintonizado de predicción extendida

(EPSAC)

El algoritmo EPSAC usa un modelo de función de transferencia

A(q−1)y(k) = B(q−1)u(k − d) + v(k) (2.6)

donde d es el retardo y v(k) la perturbación a la salida. Este modelo puede am-

pliarse para tratar perturbaciones medibles d(k) añadiendo un término D(q−1)d(k)para incluir efecto de prealimentación. La predicción se obtiene según se muestra en

[Keyser et al., 1989] y la estructura de la ley de control es muy simple, ya que se con-

sidera que la señal de control permanecerá constante a partir del instante k (es decir,

horizonte de control igual a 1): ∆u(k + i|k) = 0 para i > 0. Para obtener la señal decontrol se minimiza una función de costo de la forma:

J =

HP∑

i=d

γ(i)[w(k + i|k)− P (q−1)ŷ(k + i|k)]2

donde P (q−1) es un polinomio de diseño con ganancia unitaria y γ(i) es una secuenciade ponderación similar a la de la ecuación (2.3). La señal de control se puede calcular

anaĺıticamente de la forma:

u (k|k) =

HP∑i=d

hiγ (i) [w (k + i|k)− P (q−1) ŷ (k + i|k)]HP∑i=d

γ (i)h2i

siendo hi los coeficientes de la respuesta al impulso del sistema.

2.3.5. Control adaptable de horizonte extendido (EHAC)

Esta formulación también emplea un modelo de función de transferencia (2.6) sin

tomar en cuenta las perturbaciones v(k) y pretende minimizar la diferencia entre la

2.3. Revisión de los principales algoritmos. 27

salida calculada y la referencia en el instante k + HP : ŷ(k + HP |k)− w(t + HP |k), conHP ≥ d. La solución a este problema no es única (a menos que HP = d) [Ydstie, 1984];una posible estrategia es considerar horizonte de control igual a 1:

∆u (k + i + 1|k) = 0 1 < i ≤ HP − d

o minimizar el esfuerzo de control

J =

HP−d∑i=0

u2 (k + i|k)

Este método utiliza un predictor de HP pasos de la forma

ŷ (k + HP |k) = y (k) + F(q−1

)∆y (k) + E

(q−1

)B

(q−1

)∆u (k + HP − d|k)

donde E(q−1) y F (q−1) son polinomios que satisfacen la relación:

(1− q−1) = A (q−1) E (q−1) (1− q−1) + q−HP F (q−1) (1− q−1)

con el grado de E igual a HP −1. Una ventaja de este método es que se puede encontrarfácilmente una solución expĺıcita, dada por:

u (k|k) = u (k − 1) + α0 [w (k + HP |k)− ŷ (k + HP |k)]HP−d∑i=0

α2j

siendo αi el coeficiente correspondiente a ∆u(k + i|k) en la ecuación de predicción.Po