APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES A LA ECONOMIA.docx

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APLICACIN DE LAS INTEGRALES A LA ECONOMIA

El teorema fundamental del calculo establece que el valor numrico de una

integral definida de una funcin continua f(x) tras un intervalo desde a-b esta

dado por la integral indefinida F (x) + c evaluada al limite ms alto deintegracin (b), menos la misma integral evaluada al limite ms bao de

integracin (a)! "uesto que #c$ es com%n a ambos, la constante de integracin

es eliminada en la sustraccin&

'e esta forma, el rea bao de una funcin desde a asta b puede ser

expresada como una integral definida de f(x) tras un intervalo a acia b, como

se aprecia en el siguiente rfico&

Esta tcnica tiene diversas aplicaciones en la econom*a puesto que permite

obtener reas de funciones continuas de una forma relativamente sencilla! 'e

esta forma, las integrales definidas permiten obtener valores numricos

mientras que las integrales indefinidas solo permiten obtener funciones!

Entre las funciones que se utilian en econom*a para acer modelos de

situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta de demanda!

1. Funcin de oferta

una empresa que fabrica vende un determinado producto utilia esta funcin

para relacionar la cantidad de productos que est dispuesta a ofrecer en el


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mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad! "odemos

decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente

de productos que los fabricantes estn dispuestos a ofrecer en el mercado en

alg%n per*odo espec*fico!

uanto maor es el precio, maor ser la cantidad de productos que la

empresa est dispuesta a ofrecer! .l reducirse el precio, se reduce la cantidad

ofrecida! Esto nos permite asegurar que la funcin de oferta es una funcin

creciente! /i p representa el precio por unidad q la cantidad ofrecida

correspondiente entonces a la le que relaciona p q se la denomina funcin

de oferta a su grfica se la conoce como grfica de oferta.

. esta funcin la simboliamos p 0 o(q) donde sabemos que p es el precio

unitario q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el

mercado!

!. Funcin de de"anda

1a empresa utilia esta funcin para relacionar la cantidad de productos

demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede

vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda! En general, si el precio

aumenta, se produce una disminucin de la cantidad demandada del art*culo

porque no todos los consumidores estn dispuestos a pagar un precio maor

por adquirirlo! 1a demanda disminue al aumentar el precio por eso esta es una


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funcin decreciente como lo observamos en los eemplos grficos! "odemos

asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad

correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en

determinado per*odo! /i el precio por unidad de un producto est dado por p

la cantidad correspondiente en unidades est dada por q la le que los

relaciona se denomina funcin de demanda! . su grfica se la llama grfica de

demanda!

. esta funcin la simboliamos p 0 d(q) donde sabemos que p es el precio

unitario q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el

mercado!

#. Su$era%it de Con&u"idore& ' Productore&

El mercado determina el precio al que un producto se vende! El punto de

interseccin de la curva de la demanda de la curva de la oferta para un

producto da el precio de equilibrio! En el precio de equilibrio, los consumidores

comprarn la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender!

/in embargo, algunos consumidores aceptarn gastar ms en un art*culo queel precio de equilibrio! El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del

art*culo los maores precios que todas esas personas aceptan pagar se

considera como un aorro de esas personas se llama el supervit de los

consumidores!

El rea bao la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores

estn dispuestos a pagar por q2 art*culos! El rea sombreada bao la recta 0

p2 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarn en el


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precio p2 de equilibrio! El rea entre la curva la recta representa el supervit

de los consumidores!

El supervit de los consumidores est dado por el rea entre las curvas p 0

d(q) p 0 p2 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida deesta forma&

'onde d(q) es una funcin demanda con precio de equilibrio p 2 demanda de

equilibrio q2!

"ara ver dicas aplicaciones, se tiene los siguientes eemplos&

3! 1a curva de demanda est dada por la le d(x) 0 42 - 2,25x6! Encuentre

el supervit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta

asciende a veinte unidades!

/olucin&

omo la cantidad de unidades es 62, su precio asciende ap 0 d(62) 0 42 - 2,25 626 0 65!

7esolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta&

0 0 0 862

1a ganancia de los consumidores asciende a 9 862 si el nivel de venta

asciende a veinte unidades!


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6! alcule el exceso de oferta el exceso de demanda para las curvas de

demanda oferta dadas&

Funcin de demanda& p3 (q) 0 3222 - 2,: q6! Funcin de oferta&

p6 (q) 0 :6q

/olucin&

El exceso de oferta el de demanda estn representados por las reas

que muestra la grfica&

1a oferta coincide con la demanda en (q2, p2) , es decir,&

p3 (q) 0 p6(q) ; 3222 - 2,:q60 :6q ; - 2,:q6 - :6q + 3222 0 2 ;

q30 - 364 < q60 62

omo los valores de las abscisas corresponde a n%mero de art*culosofrecidos o demandados, q20 62 , por lo tanto, p20 =:2!

El excedente de demanda o supervit de los consumidores es la regin

comprendida entre p3(q) la recta p 0 =:2, entre 2 62, o sea,&

0 0 0 6388,88


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El excedente de demanda asciende a 96388,88

El excedente de oferta es la regin comprendida entre las rectas p 0 =:2

p 0 :6q entre 2 62, o sea&

0 0 (=:2!62 - 63!626) 0 =:22

"or lo tanto, el supervit de oferta alcana 9=:22!

8! /uponemos que durante los primeros cinco a>os que un producto se

puso a la venta en el mercado la funcin f(x) describe la ran de ventas

cuando pasaron x a>os desde que el producto se present en el

mercado por primera ve! /e sabe que si !

alcule las ventas totales durante los primeros cuatro a>os!

/olucin&

'ebemos plantear ?enta total 0

?enta total 0 0 0 3=222

"or lo tanto, las ventas totales durante los primeros cuatro a>os

ascienden a 3=222 unidades!

(. E)cedente de* Con&u"idor ' e* E)cedente de* Productor

@na funcin de demanda "30 f3(A) como se observa en el grfico, representa

los diferentes precios que el consumidor est dispuesto a pagar por diferentescantidades de un bien! /i el mercado est en equilibro en un punto como (A 2,


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"2), entonces los consumidores estarn dispuestos a pagar ms de " 2! El

beneficio total para los consumidores est representado por el rea

sombreada, la cual se denomina excedente del consumidor! Esta rea equivale

a la diferencia entre lo que el consumidor est dispuesto a pagar lo que

realmente paga!

@na funcin de oferta "60 f6(A) como en el grfico, representa el precio al cual

diferentes cantidades de un bien ser

ofertado! /i el equilibrio de mercado sucede en (A 2, "2), los productores que

ofertan a un precio menor a "2se beneficiaran! Este beneficio o ganancia esllamado excedente del productor, E", el cual equivale al rea sombreada del

rafico! Esta rea equivale a la diferencia entre el precio que el productor

vende precio l*mite al cual el productor estar*a dispuesto a vender su

producto!

3! 'ada una funcin de demanda, p 0 :6 B 4q B q6, asumiendo que el

precio de equilibrio es 5, obtenga el excedente del consumidor!

/olucin! "ara encontrar el nivel de produccin asociado a p 0 5&

:6 B 4q B q6 0 5, q20 :

6! 1a tonelada de un mineral cuesta @/9 :5! 1os estudios indican que

dentro de x semanas, el precio estar cambiando a una tasa de 2!2C +


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2!2225x6@/9Dsemana! unto costar la tonelada de este mineral

dentro de 32 semanas

/olucin&

omo&

El precio

dentro de 32 semanas ser&

8! Gbtenga la cantidad producida que maximia la utilidad las

correspondiente utilidad total (asumiendo competencia perfecta) si HIg 0

6: - 5q B q6 Ig 0 : - 6q B q6 , siendo Hmg el ingreso marginal mg,

el costo marginal!

/olucin!

.sumiendo competencia perfecta, las curvas de ingreso marginal costo

marginal se interceptan determinan el precio la cantidad demandada!

Entonces&

6: - 5q B q60 : B 6q Bq6

q 0 4

omo @Ig 0 HIg - Ig ( @Ig& utilidad marginal) entonces,

@Ig 0 62 B :q

El dato es la utilidad marginal se desea obtener es la utilidad total (@)!

Entonces, es necesario #integrar$ la primera funcin para (@Ig) obtener

la segunda funcin (@) o funcin original


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/e a evaluado desde 4 a 2 puesto que q 0 4 es el valor que maximia

la utilidad, es decir, el punto mximo

:! Jallar la cantidad producida que maximice la utilidad determinar la

utilidad total en dico punto s las funciones de ingreso marginal costo

marginal son respectivamente,

HK(x) 0 64 - 4x - 6x6

K(x) 0 32 - 8x B x6

/olucin&

@na forma de solucionar es obtener el ingreso total el costo total para

luego obtener el beneficio finalmente, determinar el mximo valor de la

%ltima funcin! 1a forma ms directa es obtener el beneficio marginal

luego determinar el beneficio! on esta %ltima se determina el valor

mximo!

HK - K 0 LK

64 B 4x - 6x6 B (32 - 8x B x6) 0 LK

34 B 6x Bx6 0 LK (beneficio marginal)

Hntegrando LM se obtiene L&

'eterminando el mximo en L&


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Evaluando este valor en L se tiene 6N!

4! /i la funcin de demanda es " 0 =4 - :x B x6, allar el excedente del

consumidor cuando& a) x 0 4

b) " 0 5:

/olucin&

Hntegrando en la funcin excedente, tenemos&

+I+LIOGRAFIA

3! 7omero, 622C! Iatematica para Economistas! Ed! Lrice>o! Iexico!


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6! ttp&DDOOO!fca!unl!edu!arDHntdefD.plicacionesEconomia!tm8! ttp&DDOOO!monografiasDeerciciosDfca!unl!edu!arDHntdefD.plicacionesEcon

omia!tm4. ttp&DDOOO!matematicas-aplicadas-en-administracion-Economia!tml
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