APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

Las funciones cuadráticas modelan gran parte de situaciones del mundo físico. Aquí se muestra una de ellas, con la proposición y desarrollo del siguiente

Ejercicio Explicativo.

El puente Golden Gate enmarca la entrada a la bahía de San Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes cables que miden 3 pies de diámetro: el ancho de la calzada es de 90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del puente. Determinar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

Solución.Empezarnos seleccionando la ubicación de los ejes de coordenadas de modo

que el eje x coincida en la calzada y el origen coincida en el centro del puente.

Como resultado de esto, las torres gemelas quedarán a 746-220=526 pies

arriba de la calzada y ubicadas a 42002=2100 pies del centro.

Los cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo hacia

arriba, y tendrán su vértice en (0,0) como se ilustra en la figura de abajo

La manera en que seleccionamos la colocación de los ejes nos permite identificar la ecuación de una parábola como

y=ax2, a>0.

Obsérvese que los puntos (−2100,526) y (2100,526) están en la

gráfica parabólica.

Con base en estos datos podemos encontrar el valor de a en y=ax2: 

  y=ax2  526=a (2100)2  a=526(2100)2

 Así, la ecuación de la parábola es 

y=526(2100)2x2

 La altura del cable cuando x=1000 es

y=526(2100)2(1000)2≈119.3pies

Por tanto, el cable mide 119.3 pies de altura cuando se está a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

Ejercicio Explicativo.

Llamamos función cuadrática a toda función de la forma  donde los coeficientes a, b y c son números reales, siendo a distinta de cero. El dominio de la función son todos los números reales.

Término cuadrático: ax2

Término lineal: bx

Término independiente: c

Gráfico de función cuadrática, llamado parábola.

1) Los ingresos mensuales de un empresario de máquinas electromecánicas están dados por la función:

, donde x es la cantidad de máquinas que se fabrican en el mes.

2) Observen el gráfico y respondan:

a) ¿Cuántas máquinas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?

b) Si decimos que la ganancia fue de mil pesos aproximadamente, ¿cuántas máquinas se

fabricaron?

c) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican cinco máquinas?

d) ¿A partir de qué cantidad máquinas se comienza a tener pérdidas?

SOLUCION

a) f(x) = 100 (25) – 2 (25)2

f(x) = 2500 – 2(625)

f(x) = 2500 – 1250 = 1250

Deben producirse 25 maquinas electromecánicas para obtener el máximo ingreso (1250)

b) f(x) = 1000

1000 = 100 x – 2 x2

Dividiendo ambos miembros entre (- 2), tenemos -500 = -50 x + x2

X2 – 50 x + 500 = 0 = Expresado como ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0

Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

x=−(−50 )±√(−50)2−4 (1 )(500)

2=50±√(2500−2000)

2=50±√(500)

2

x1=50+22.362

=72.362

≅ 36.18

x2=50−22.362

=27.642

≅ 13.82

Entonces tomamos x2 = 13.82 = 14 maquinas para obtener una ganancia aproximada de 1000, no se tomo el x1, porque estaríamos incurriendo en un mayor costo de producción para obtener el mismo beneficio.

c) x = 5

Reemplazando en la función, f(x) = 100 x – 2 X2 Tenemos:

f(x) = 100(5) – 2 (5)2 = 500 – 2 (25) = 450

f(x) = 450

Cuando se fabrican 5 maquinas, se obtiene un ingreso de 450

d) Como podemos observar en la gráfica, para obtener el máximo beneficio se deben fabricar 25 maquinas, como se obtuvo en el punto a), por lo cual fabricando una unidad más, se comenzaría a obtener pérdidas.

X = 25 f(x) = 100 (25) – 2 (25)2 1250

X = 26 f(x) = 100 (26) – 2 (26)2 1248

(X=25) – (X=26) = 1250 – 1248 = 2

Al producir una unidad más, involucraría una pérdida de 2.