Integrantes :Diaz Yañez JuanitaRengifo Cardeña RosemarieZavaleta Peña Danko

“APLICACIÓN DE LA DERIVADA PARA MINIMIZAR EL COSTO DE PRODUCCION EN UNA EMPRESA QUE ENVASA ALCACHOFAS”

Estudiaremos la aplicación de la derivada en la minimización de costos de producción de una empresa dedicada al envasado de alcachofas. Hoy en día, las empresas deben tomar decisiones de competencia perfecta, para lograr el objetivo de producir con la máxima eficacia económica posible y mejorar el nivel de producción máximo económico y máxima ganancia. Por lo tanto, los costos de producción e ingresos resultan ser dos elementos fundamentales para decidir el nivel de producción de máxima ganancia.

Introducción

Situación Problemática • Actualmente, muchas empresas envasadoras a nivel nacional

presentan costos de producción elevados, los cuales no permite obtener ganancias proyectadas a corto, mediano y largo plazo. Por tanto es conveniente para estas minimizar sus costos de producción y aprovechar al máximo sus maquinarias dándole un mínimo desgaste.

• Por tal motivo en este proyecto se ha planteado aplicar la derivada de una función para minimizar costos de producción.

Problema

• ¿Cómo minimizar el costo de producción de la empresa agroindustrial Josymar de envasado de alcachofas utilizando el mínimo número de máquinas para envasarlos?

V. Dependiente: Costo de envasado de alcachofas.V. Independiente: Mínimo número de máquinas.

Variables

Mediante el uso de las derivadas nos será posible minimizar el costo de envasado de alcachofas de la empresa agroindustrial Josymar.

Hipótesis

ObjetivosObjetivo General: Minimizar los costos de producción de la empresa de envasado de alcachofa.Objetivos Específicos:• Determinar el número de máquinas que se necesitan para minimizar

los costos.• Calcular el número de horas empleadas en el envasado y el sueldo

del colaborador.• Crear la función del costo total de producción• Diseñar la gráfica que nos permita ubicar el menor costo de

envasado.

Información de la Empresa Agroindustrias Josymar S.A.C., es una empresa agroindustrial peruana, con cerca de 20 años de creación, la misma que se dedica a elaborar conservas de espárragos, alcachofas, pimientos y poros.  MISIÓN:

Cultivar, transformar y exportar conservas vegetales con investigación, desarrollo y compromiso de valor para nuestros clientes.

VISIÓN:Ser una empresa innovadora, líder a nivel mundial en la identificación y satisfacción de las necesidades de los más exigentes clientes, desarrollando y apalancando sus capacidades para aprovisionar, procesar y comercializar alimentos con los más altos estándares de calidad; anticipándose y adaptándose a las cambiantes condiciones competitivas del mercado.

 

Marco TeóricoLA DERIVADA:

Definición:

Sea f: X ⊂ R→R y a un punto de acumulación de X. Diremos que f es derivable en el punto a cuando existe el límite

 

f´(a) se llama la derivada de la función f en el punto a.

Reglas básicas de derivación:

Para una constante:

La derivada de una función constante es 0. Es decir, si c es un número real, entonces:

Suma y diferencia:

La derivada de la suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables es derivable en sí. Además, la derivada es igual a la suma (o diferencia de las derivadas de .

Cociente:El cociente de dos funciones derivables también es derivable para todos los valores de para todos los valores de para los que . Además, la derivada de se obtiene mediante el denominar por la derivada del número menos el numero por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador. 

 Potencia:Si n es un numero racional, entones la función es derivable y

Para que f sea derivable en x = 0, n debe ser un numero tal que se encuentre definido en un intervalo que contenga al 0.

Funciones seno y coseno:

  Funciones trigonométricas:

 

La regla de la cadena:

Se aplica a las funciones compuestas y añade versatilidad a las reglas analizadas en las dos secciones precedentes. La regla de la cadena establece que si cambia veces más rápido que , mientras que cambia veces más rápido que , entonces cambia veces más rápido que .

Si es una función derivable de y además es una función derivable de , entonces es una función derivable de .

Razón de cambio:

La función que representa la posición (respecto al origen) de un objeto como función del tiempo se denomina función de posición. Si durante cierto lapso de tiempo , entonces, empleando la fórmula:

La diferencial de una función:

Sea una función

Se define como la diferencial de la variable independiente a:

Se define como la diferencial de la variable dependiente a:

Trazado de curvasValores máximos y mínimos de una función:

Definición: Diremos que una función f tiene un valor máximo absoluto en c Df si ∈se cumple: f(x) ≤ f(c); x Df∀ ∈

Definición: Diremos que una función f tiene un valor mínimo absoluto en el punto c Df si se cumple: ≥ f f(x) f(c); x D∈ ∀ ∈

Definición: Diremos que una función f tiene un valor máximo relativo en el punto c Df, si existe > 0 tal que se cumple: f(x) ≤ f(c) si x −c < ∈ δ δ

Definición: Diremos que una función f tiene un valor mínimo relativo en el punto c Df, si existe > 0 tal que se cumple: f(c) ≤ f(x) si x −c < ∈ δ δ

Definición: Diremos que una función f tiene un extremo relativo en el punto c Df, si f(c) es un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo.∈

Desarrollo de

Proyecto

La fábrica agroindustrial Josymar, envasadora de alcachofas, espárragos, pimientos y poros; ha recibido un pedido de 110 000 unidades de frasco de dichos productos y estos se dividen en 60 000 unidades de frascos de Alcachofas y 50 000 unidades de espárrago blanco.La empresa posee un total de 23 máquinas a su disposición, pero están divididas por cada zona. Se necesita 12 máquinas para la producción de alcachofas, las cuales producirán 350 unidades por hora y su costo que implica ponerlas en funcionamiento es de S/.25 por máquina, también se necesita 11 máquinas para la producción de espárragos blanco que elaborará 325 unidades por hora y su costo es de S/. 30 por máquina.Adicional a esto una vez que las maquinas son puestas en funcionamiento, a pesar que su operación está completamente automatizada, estas necesitan de un supervisor de producción para cada zona de producción de alcachofas y espárragos; los salarios que estos recibirán por hora respectivamente son: S/.14 y S/.16.

Es por esto que la empresa necesita minimizar sus costos, surgiendo las siguientes preguntas:

• ¿Cuántas maquinas deberán ponerse en funcionamiento para que el costo de envasado de alcachofa sea el mínimo?

• ¿Cuántas máquinas deberán ponerse en funcionamiento para obtener el costo mínimo, si al empezar la producción de espárrago blanco se dan cuenta que una máquina no funciona?

 

Desarrollo a)Expresemos el costo total de producción por cada producto en función del número de máquinas que habrá que ponerse en funcionamiento.Costo de producción = Costo de funcionamiento de máquinas + salario de cada colaboradorEl costo de funcionamiento de las maquinas por cada producto será expresado por Ca. Y sus cantidades serán W.

 1er Paso: Dom (y) = [1; 12]; con este intervalo hallaremos el valor de “w” que hace mínima la función costo 2do Paso: Asíntotas VERTICAL : W = 0

Lim Cta (w) = Cta(12) = 500X 0+

No efectuamos límite 0- porque el costo de producción siempre es positivo.

HORIZONTAL: OBLICUA:

La curva tiene asíntota oblicua, cuando el grado del numerador supera en 1 unidad al grado del numerador. “Este es el caso”.

3er Paso: Hallamos la primera derivada.

Cta (w) = Cta' (w) = Cta ' (w) = Cta ' (w) =

• Hallamos el punto crítico:

4to Paso : Hallamos la segunda derivada Cta ' (w) =  Cta ''(w) =

Cta ''(w) =   Cta ''(w) =

Cta ''(w) =

Reemplazando el punto crítico en la segunda derivada:

Cta ''(w) = = 4.8

Cta '' > 0 Cta ''(10) es un mínimo

5to Paso: Puntos de Inflexión: (y''(w)=0 ó yЭ ''(w))

yЭ ''(w) cuando x=0 £ Dom (y)

y''(w) = 0 = 0 ; c.s = Ø

Entonces la curva no tiene puntos de inflexión.

-No tiene puntos de inflexión, pero podemos analizar concavidad a la izquierda y a la derecha de x=0

b) Para las máquinas de espárrago blanco: Expresamos el costo total de la producción de espárrago blanco en función del número de máquinas que habrá que ponerse en funcionamiento. Costo de Producción = Costo de funcionamiento de máquinas + salario del cobrador. El costo de funcionamiento de las máquinas será expresado por CE y su cantidad será “x-1” Como el salario del colaborador es de 16 soles / hora debemos calcular la cantidad de las horas de funcionamiento de las (x-1) máquinas para envasar 50 000 frascos. Para envasar los 50 000 frascos de espárrago blanco necesitaremos:

En consecuencia el salario del colaborador será:

CSE = CSE = CSE: Salario del colaborador

Finalmente tenemos la función:

CTE(X): 30(X-1) + CTE(X): CTE: Costo de producción.

1er Paso: Dom (CTE) = [2;11] ; en este intervalo la función costo se hace mínima.

2do Paso: Asíntotas

Vertical: 13(x-1) = 0

X-1 = 0

X = 1

Horizontal: Grado del numerador > Grado del denominador

Asíntota horizontalЭ

Oblicua: La curva tiene asíntota oblicua cuando al grado del numerador supera en una unidad al grado del denominador. “este no es el caso”

Resultados • Utilizando el criterio de la primera derivada

y la teoría de límites para la determinación de asíntotas se logró obtener el costo mínimo de producción el cual sería de 2491.54 soles y el mínimo número de máquinas que se puede utilizar seria de 10 maquinas.

• Utilizando el criterio de la primera derivada nos ha permitido obtener los intervalos de crecimiento y de decrecimiento también los máximos y mínimos relativos que se muestran en la siguiente gráfica.

GRACIAS