Aplicacin de funciones vectoriales en la Ingeniera Civil

FACULTAD DE MATEMATICA FISICA QUIMICA Y ESTADISTICA Aplicacin de funciones vectoriales en la Ingeniera Civil 10

Carrera Profesional de Ingeniera Civil

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE MATEMATICA FISICA QUIMICA Y ESTADISTICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILAplicacin de funciones vectoriales en la Ingeniera Civil 2015 DOCENTE : Ignacio Velsquez Hacha ALUMNA : Angela Valer Arotaipe CODIGO : 014100306J ASIGNATURA: Calculo II

PRESENTACION

Dentro de las aplicaciones de funciones vectoriales a la ingeniera civil, es posible encontrar numerosos ejemplos en la ingeniera civil, una de las principales aplicaciones del clculo vectorial se encuentra en la rama del diseo de vas y carreteras, ms especficamente, en la curvatura de estas construcciones. Es bueno e importante saber y tener en cuenta que las matemticas son una creacion de la humanidad y por lo tanto sus usos estn completamente dirigidos al provecho de la humanidad.A manera de ejemplo, podemos recalcar la importancia que tuvo la matemtica en la civilizacin egipcia para la construccin de inmensos e imponentes monumentos. En el continente americano, especialmente en las culturas prehispnicas utilizaron la geometra en gran cantidad El clculo vectorial puede llegar a ser muy atractivo para un estudiante al cual se le presenten una serie de problemas relacionados con su cotidianidad.Podemos encontrar aplicaciones de funciones vectoriales en las montaas, cumbres, lagos y en general en toda la parte de la orografa que sirvi de mucha ayuda a todas las civilizaciones para tomar decisiones crticas a la hora de construir sus creaciones.

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CONTENIDOPRESENTACION2CONTENIDO4INTRODUCCION AL TEMA4DEFINICION DE CURVATURA4DISEO DE CARRETERAS: CURVATURA5FUNCIN5LIMITACION DE LA VARIACION DE LA ACELERACIN CENTRIFUGA EN EL PLANO HORIZONTAL6VALORES MXIMOS8EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE CURVATURA EN CARRETERA8EJEMPLOS DE LA VIDA COTIDIANA8RESUMEN10BIBLIOGRAFIA10

CONTENIDO

INTRODUCCION AL TEMA

k =(dT )/ds (vectorcurvatura)Definicin de curvaturaEs una medida que determina que tan curva es una curva, tambin se puede definir como la direccin del vector tangencial por la unidad de longitud. Cuanto ms rpido cambia ste a medida que se desplaza a lo largo de la curva, se dice, que la curvatura es ms grande.

k=|k |=|(dT )/ds| (curvatura)

ds/dt=d/dt [_0^b|r '(t)|dt] ds/dt=|r '(t)|

k =(dT )/ds=((dT )/ds)(dt/ds)= (dT )/ds (1/(ds/dt))=((dT )/ds)/|r '(t)|

k =(T '(t))/|r '(t)|

k=r ^' (t)x r ''(t)/r '(t)^3Otra forma de calcular la curvatura es:

Si la curva est parametrizada por el parmetro de longitud de arco, la anterior ecuacin se reduce simplemente a:

k=r ''(s)

Adems de la curvatura se suele definir el llamado radio de curvatura, como el inverso de la curvatura.

=1/k

DISEO DE CARRETERAS: CURVATURAEn la ingeniera civil, una de las principales aplicaciones del clculo vectorial se encuentra en la rama del diseo de vas y carreteras, ms especficamente, en la curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera se compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas de transicin y la curva como tal.En las rectas, la curvatura es igual a cero; en las curvas de transicin, la curvatura es variable y en la curva como tal, la curvatura es constante. En este trabajo de investigacion, se intentara explicar y hacer un especial nfasis en las curvas de transicin, es decir, con curvatura variable.

RL=A^2FUNCIN:

El objetivo principal de las curvas de transicin consiste en evitar varias discontinuidades en la curvatura de la carretera. Teniendo en cuenta esto, las curvas de transicin deben cumplir con las mismas condiciones de seguridad y de esttica de toda la carretera.

FORMA Y CARACTERSTICASEn la mayora de los casos, la curva ms aceptada para el diseo de carreteras es la clotoide. Esta curva se representa por la ecuacin:

Donde:R Es el radio de la curvatura en cualquier punto.L Es la longitud de la curva desde su punto de inflexin y el punto de radio R.A Es el parmetro de la clotoide, este es caracterstico de la clotoide.El punto de inflexin de la curvatura se halla en el momento en que el radio es infinito.Otros de los elementos que hacen parte de la clotoide son:

VALORES MNIMOSLa curva de transicin debe cumplir con una longitud mnima para cumplir con varios requerimientos, entre estos estn:LIMITACION DE LA VARIACION DE LA ACELERACIN CENTRIFUGA EN EL PLANO HORIZONTAL

La variacin aceptada de la aceleracin centrpeta y que no es contrarrestada por el peralte de la carretera, debe tener un valor mximo, denominado J.Para efectos de clculo, suponiendo que la clotoide sea recorrida a una velocidad constante igual a la velocidad especifica de la curva circular asociada de radio menor, el parmetro A se puede definir como:

Donde:

Ve es la velocidad especfica de la curva circular asociada y de radio menor.J es la variacin de la aceleracin centrifuga.R1 es el radio de la curva circular asociada de radio mayor.R0 es el radio de la curva circular asociada de radio menor.P1 es el peralte de la curva circular asociada de radio mayor.P0 es el peralte de la curva circular asociada de radio menor.

Teniendo en cuenta esto, la longitud mnima de la curva debe ser:

Los valores de J aceptados para todo trazado estn dados por la siguiente tabla:

LIMITACION DE LA VARIACION DE LA PENDIENTE TRANSVERSAL:

La variacin de la pendiente transversal no puede ser mayor al 4%/s, segn la velocidad especifica de la curva de radio menor.

CONDICIONES DE PERCEPCION VISUAL:

Con el fin de que una curva sea lo suficientemente perceptible por el conductor, es necesario que:- La variacin de azimut entre los extremos de la clotoide, sea mnimo 1/18 radianes.- El retranqueo de la curva circular debe ser como mnimo 50 centmetros.En trminos de clculo, las condiciones que se deben cumplir son:

O

Donde:Lmin es la longitud en metros.R0 es el radio de la curva circular en metros.

Adems, es muy recomendable que la variacin del azimut entre los extremos de la clotoide, se como mnimo, la quinta parte del ngulo total de giro entre las alineaciones rectas consecutivas en que se inserta la clotoide.sea:

Donde:

Lmin es la longitud en metros.R0 es el radio de la curva circular en metros. es el ngulo de giro entre alineaciones rectas.

VALORES MXIMOSEs recomendable que los valores mnimos dados no se excedan considerablemente, de hecho, el mximo factor para excederse es de 1.5.

EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE CURVATURA EN CARRETERAUn automovilista se desplaza por una carretera recta. En el instante t=0 llega a una rotonda la cual recorre con una trayectoria f (t)=(acost,asent,bt(2-t)); t [0,2]. En el instante t=2 sale de la rotonda y vuelve a continuar por una carretera recta.Calcule la curvatura mxima en la rotonda para t [0,2] en qu punto ocurre?

k=|f '(t)(f ) ''(t)|/|f '(t)|^3

f '(t)=(-asent,acost,2b(1-t))|f '(t)|=(a^2+4b^2 (1-t)^2 )

f (t)=(-acost,-asent,-2b) 1

f '(t)(f ) ^''(t)=(-2abcost+2ab(1-t)sent,-2absent-2ab(1-t)cost,a^2)- |f '(t)(f ) ''(t)|=a(a^2+4b^2 (1+(1-t)^2 )

k(t)=(a(a^2+4b^2 (1+(1-t)^2 ))/(a^2+4b^2 (1-t)^2)^(32)

Sea (t)=a^2+4b^2 (1-t)^2 ^' (t)=-8b^2 (1-t)en t=1 hay un punto crticoComo ^'' (t)=8b^2>0, en t=1 hay un mnimo de (t) y un mximo de k (t) pues son inversamente proporcionales.

k(t)=(a^2+4b^2 )/a^2 en el punto f (1)=(acos1,bsen1,b)

}

EJEMPLOS DE LA VIDA COTIDIANA

En las siguientes imgenes podemos observar diversas aplicaciones de la curvatura en la vida real.

Puente Juscelino Kubitschek, unicado en Brasilia (Brasil). En esta imagen se puede observar una calada con curvas consecutivas, donde su diseo tuvo que haber tenido en cuenta las numerosas curvaturas en la calzada de tal manera que no se excedan los valores mximos planteados por la reglamentacin.

La accion de manejar a una alta velocidad , unidas a unas curvaturas en las carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto riesgo de accidentalidad llendo contra la integridad de cada conductor.

Construccin de una carretera. Antes de iniciar un proceso constructivo de una carretera, es necesario que se lleven a cabo una gran cantidad de estudios que conllevaran posteriormente a un diseo preliminar. En este diseo la curvatura juega un papel muy importante para garantizar la suficiente seguridad al conductor.

RESUMENAl hablar de las aplicaciones de funciones vectoriales a la ingeniera civil, encontramos muchos ejemplos que principalmente se encuentran en la rama de la construccion de carreteras y especificamente en las curvas.Para lograr una Buena construccion en este caso ya sea de una carretera se tiene que estudiar el Proyecto en todos los aspectos, entre estos la comodidad de los conductores , es por eso que antes se lleva una gran cantidad de estudios , que son analizados matematicamente sin excederse los valores maximos que obtenemos con la ayuda de funciones vectoriales , para garantizar la seguridad del conductor.

BIBLIOGRAFIA

Ramos, E. E. (2008). Analisis Matemtico III. Lima: EduPeru.Calculo Vectorial Y Aplicaciones En La Ingenieria.BuenasTareas.com. Pgina 10 | 10