ANALISIS VECTORIAL: Green, Divergencia,

Stokes & co. Notas y ejercicios relacionados. *

Christian Bouchot

11 de octubre de 2006

1. Introduccion

Las presentes notas suponen que uno sepa calcular un gradiente, una di-vergencia, un rotacional, un laplaciano y esta familiarizado con las cuestionesde parametrizacion de curvas y superficies, con la cuestion de los potencia-les vector y escalares y en consecuencia con las principales y muy clasicasformulas de analisis vectorial. Ver para ese efecto la Notas Sobre Potenciales

y en especial haber demostrado las siguientes identidades:Sean λ y µ dos escalares:

rot (λ−→f + µ−→g ) = λ

rot−→f + µ

rot (−→g )

⇐⇒ ∇× (λ−→f + µ−→g ) = λ∇×

−→f + µ∇×−→g

Las dos formulas siguientes son muy importantes:

rot (−−→grad(f)) =

−→0

⇐⇒ ∇×∇f =−→0

div(

rot (−→f )) = 0

*Notas compiladas y adaptadas de: Analyse Avancee pour Ingenieurs, B. Dacorogna

y C. Tanteri, Presse Polytechniques et universitaires Romande, 2002, y de: Advanced

Calculus of Several Variables, C. H. Edwards, Jr., Dover Publications Inc., 1973.

1

⇐⇒ ∇ · ∇×−→f = 0

A las cuales se debe agregar lo que es mas una definicion que una formula:

div(−−→grad(f)) = ∆f

⇔ ∇ · ∇−→f = ∇2f = ∆f (Laplaciano)

Sean f y g dos campos escalares:

−−→grad(f g) = f

−−→grad(g) + g

−−→grad(f)

⇐⇒ ∇(f g) = f∇g + g∇f

∆(f g) = g∆f + f∆g + 2−−→grad(f) ·

−−→grad(g)

⇐⇒ ∆(f g) = ∇ · ∇(f g) = g∆f + f∆g + 2∇f · ∇g

Sean f un campo escalar y −→g un campo vectorial:

rot (f −→g ) = f

rot (−→g ) +−−→grad(f) ×−→g

⇐⇒ ⇐⇒ ∇× (f −→g ) = f ∇×−→g + ∇f ×−→g

div(f −→g ) = f div(−→g ) +−−→grad(f) · −→g

⇐⇒ ⇐⇒ ∇ · (f −→g ) = f ∇ · −→g + ∇f · −→g

Sea −→g un campo vectorial:

∆−→g =−−→grad(div(−→g ))−

rot (

rot (−→g ))

⇐⇒ ∆−→g = ∇(∇ · −→g ) −∇×∇× −→g

Sean−→f y −→g dos campos vectoriales:

div(−→f × −→g ) = −→g ·

rot (−→f ) −

−→f ·

rot (−→g )

⇐⇒ ∇ · (−→f × −→g ) = −→g · ∇ ×

−→f −

−→f · ∇ × −→g

2

La estructura de la nota consiste de breves recuerdos de los teoremas deGreen, de la divergencia y de Stokes, sin demostraciones y con un mınimode informacion en cuanto a sus hipotesis. Despues, se proponen ejerciciosque tienen como finalidad manipular y a veces demostrar los teoremas opartes de ellos. Al final se proponen algunos ejemplos de algunas aplicacionesdonde se encuentran los opradores diferenciales y donde estos teoremas asu vez aplican; i.e. en termomecanica, mecanica de fluidos o fenomenos detransporte.

2. Teorema de Green

Teorema 2.1 (de Green) Sea Ω ⊂ R2 un dominio regular con un borde

∂Ω orientado positivamente1.

Sea−→f : −→x =

(

x1

x2

)

7→

(

f1(x1, x2)f2(x1, x2)

)

de clase C1 sobre el cierre de Ω en R2 =⇒

∫∫

Ω

rot (−→f )dx1dx2 =

∫∫

Ω

(

∂f2

∂x1

−∂f1

∂x2

)

dx1dx2

=

∮

∂Ω

−→f d

−→l

Corolario 2.2 (Teorema de la divergencia en el plano) Sea −→η un cam-

po de normales exteriores unitarias a ∂Ω =⇒

∫∫

Ω

div(−→f )dx1dx2 =

∮

∂Ω

(−→f

−→η)

dl

Corolario 2.3

area(Ω) =1

2

∮

∂Ω

(

−y

x

)

d−→l =

∮

∂Ω

(

0x

)

d−→l =

∮

∂Ω

(

−y

0

)

d−→l

1Dominio regular: puede contener huecos bordados por curvas simples cerradas y re-

gulares por trozos. Convencionalmente, la orientacion positiva se obtiene si el sentido de

recorrido de todos los bordes de Ω mantiene Ω a la izquierda

3

3. Teorema de la Divergencia

Teorema 3.1 (de la Divergencia) Sea Ω ⊂ R3 un dominio regular y −→η

un campo de normales exteriores unitarias a Ω. Sea−→f : Ω → R

3 de clase

C1:

=⇒

∫∫∫

Ω

div−→f dxdydz =

∫∫

∂Ω

−→f · −→η ds

Corolario 3.2

vol(Ω) =1

3

∫∫

∂Ω

x

y

z

−→η ds =

∫∫

∂Ω

x

00

−→η ds

=

∫∫

∂Ω

0y

0

−→η ds =

∫∫

∂Ω

00z

−→η ds

Nota

Si ∂Ω es una superficie de R3, regular, orientable, con una parametriza-

cion:−→σ :⊂ R

2 → R3

tal que:(

u

v

)

7→

σ1(u, v)σ2(u, v)σ3(u, v)

un campo de normales −→η a ∂Ω esta dado por:

−→η =∂−→σ

∂u×

∂−→σ

∂v

y por lo tanto

∫∫

∂Ω

−→f · −→η ds =

∫∫

∂Ω

[

−→f ·

(

∂−→σ

∂u×

∂−→σ

∂v

)]

dudv

Esto es la llamada integral del campo−→f sobre ∂Ω en la direccion de la

normal. (En otro lenguaje: es el “flux” del campo a traves de las fronterasde Ω)

4

4. Teorema de Stokes

Teorema 4.1 (de Stokes) Sea Σ ⊂ R3 una superficie regular por trozos y

orientable. Sea−→f : Σ → R

3

tal que:

−→x 7→

f1(−→x )

f2(−→x )

f3(−→x )

de clase C1 sobre un abierto conteniendo Σ ∪ ∂Σ entonces:

∫∫

Σ

rot−→f · d−→s =

∮

∂Σ

−→f · d

−→l

Nota:

En terminos fısicos, lo anterior se puede enunciar como: el flux del rota-cional de un campo a traves de Σ es igual a la circulacion del mismo camposobre el borde de Σ.

5. Ejercicios

Se proponen aquı ejercicios sobre la manipulacion de los teoremas ante-riores.

5.1. Ejercicios de la seccion 2

1. Sea Ω = (x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 < 4

y:−→f :

(

x

y

)

7→

(

x2y

2xy

)

Verificar el Teorema de Green.

2. Sea Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1

y:−→f :

(

x

y

)

7→

(

xy

y2

)

Verificar el Teorema de Green.

5

3. Sea Ω ⊂ R2 un dominio regular. Sea −→η = (η1, η2) la normal exterior

unitaria a ∂Ω orientado positivamente. Sean u y v dos funciones declase C2 sobre Ω, verificar las “identidades de Green”:

∫∫

Ω

∆u dxdy =

∫

∂Ω

∇u · −→η dl

y∫∫

Ω

(u∆v − v∆u) dxdy =

∫

∂Ω

[u (∇v · −→η ) − v (∇u · −→η )] dl

4. Con la ayuda del Teorema de Green demostrar el de la divergencia

5.2. Ejercicios de la seccion 3

1. Sea Ω = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 1

y:

−→f :

x

y

z

7→

xy

y

z

Verificar el Teorema de la Divergencia.

2. Sea:

Ω =

(x, y, z) ∈ R3 :

[

x2 + y2 + z2 < 4x2 + y2 < 3z

y

−→f :

x

y

z

7→

x

y

z

Verificar el Teorema de la Divergencia.

5.3. Ejercicios de la seccion 4

1. Sea Σ = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2, 0 < z < 1

y:

−→f :

x

y

z

7→

z

x

y

Verificar el Teorema de Stokes.

6

2. Sea Σ = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = R2, z ≥ 0

y:

−→f :

x

y

z

7→

x2y3

1z

Verificar el Teorema de Stokes.

3. Sea Σ = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 ∩ x + z = 1

y:

−→f :

x

y

z

7→

xy

xz

x2

Verificar el Teorema de Stokes.

7