Matemtica Financiera

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Anualidades

ObjetivoEl objetivo de este captulo es que usted aprenda a reconocer, definir y clasificar los diferentes tipos de anualidades; que aprenda a identificar y manejar los distintos factores que intervienen en las anualidades. Al terminar el estudio de este captulo, usted debe ser capaz de calcular: montos o valores futuros, valores actuales o presentes, rentas de anualidades, tasas de inters y tiempos o plazos de anualidades.

IntroduccinEn matemtica financiera, la expresin anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas, a intervalos iguales de tiempo. Se usa la palabra anualidad por costumbre que tiene su origen en las anualidades contingentes, en las que interviene la probabilidad anual de vida de las personas. En finanzas, anualidad no significa pagos anuales sino pagos a intervalos iguales de tiempo. As son anualidades los dividendos sobre acciones, los fondos de amortizacin, los pagos a plazos, los pagos peridicos de las compaas de seguro y, en forma ms general, los sueldos y todo tipo de rentas son anualidades. La expresin anualidad puede cambiarse por el de rentas, series uniformes, pagos peridicos, amortizaciones u otros, segn el caso y las costumbres locales. Nosotros vamos a conservar el nombre de anualidad para el estudio general de todo tipo de pagos peridicos, as, el estudiante no tendr cambios de lenguaje al estudiar las anualidades contingentes y, con ellas, los seguros de vida.

Definicin: Una anualidad es una sucesin de pagos peridicos iguales (perodo de renta). Si los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente a los dems, la anualidad toma, segn el caso, los nombres de anualidades variables o anualidades impropias.

Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago determinan diferentes tipos de anualidades. Para su estudio ordenado, es necesario clasificarlos y definirlas.

Renta: el valor de cada pago peridico recibe el nombre de renta.

Perodo de pago o perodo de renta: el tiempo que se fija entre dos pagos sucesivos es el perodo de pago o perodo de la renta.

Renta anual: la suma de los pagos hechos en un ao es la renta anual.

Tasa de una anualidad: el tipo de inters que se fija es la tasa de una anualidad y puede ser nominal o efectiva.

Segn su tiempo, las anualidades se agrupan en dos clases: anualidades ciertas y anualidades eventuales o contingentes.

Clasificacin de las anualidadesCiertaTemporal

Vencida u ordinaria

Anticipada o imposicin

Diferida

Simple

General

Impropia o variable

Perpetua

Eventual o contingenteVitaliciaVencida

Anticipada

Temporal

Anualidades ciertasSon aquellas anualidades cuyas condiciones se conocen de antemano (plazo, tasa, frecuencia de capitalizacin, etc.) y se establecen previamente, generalmente por contrato entre las partes intervinientes (deudor y acreedor). Estas anualidades de acuerdo a su duracin pueden ser:

Temporales: cuando el horizonte temporal es un plazo determinado. Por ejemplo, cuando se contrae un crdito a travs de Leasing u otra modalidad a un plazo especfico.

Perpetuas: son anualidades en la que el fin del horizonte temporal no est determinado, como por ejemplo: la emisin de bonos que en algunos pases pagan una renta a perpetuidad. La duracin del pago es ilimitado.

Anualidades eventualesSon aquellas en las que el primer pago o el ltimo, es decir, la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algn suceso previsible, pero cuya fecha de realizacin no puede fijarse por estar en funcin de algn acontecimiento externo no previsible exactamente. Son ejemplos de anualidades eventuales los seguros de vida, en las cuales se conoce la renta pero su duracin es incierta. El desarrollo de estos flujos corresponden al campo de las matemticas actuariales, el cual demanda no slo el conocimiento del inters sino tambin las probabilidades. Estas anualidades a su vez pueden ser:

Vitalicias: es una anualidad que tiene vigencia mientras dure la vida del rentista.

Temporales: es en esencia, una anualidad vitalicia cuya diferencia con ella estriba en que termina despus de un determinado nmero de pagos, aun cuando el rentista contine con vida.

Las anualidades ciertas y contingentes pueden ser a su vez:

Vencidas u ordinarias: cuando las rentas se inician a fin de perodo. Ejemplo: compra financiada en tres pagos mensuales, ocurriendo el primer pago 30 das despus de la compra.

Anticipadas o imposiciones: cuando las rentas se inician a comienzo de perodo. Ejemplo: compra financiada en tres pagos mensuales, ocurriendo el primer pago en el acto de la compra. Diferidas: cuando deudor y acreedor, despus de haber fijado los perodos de pago, acuerdan exoneracin del pago de las rentas durante u determinado nmero de vencimientos, capitalizndose las rentas vencidas al capital anterior. Cuando el primer pago es cobrado en el perodo subsecuente al perodo , denominado perodo de diferimiento. Las rentas diferidas pueden ser a su vez: vencidas y anticipadas.

Las anualidades en general pueden ser a su vez: Simples: cuando el perodo de renta coincide con el perodo de capitalizacin. Generales: cuando el perodo de renta no coincide con el perodo de capitalizacin. Pueden darse varios perodos capitalizables por perodo de renta, o varios perodos de renta por perodo capitalizable. Impropias o variables: son anualidades cuyas rentas no son iguales.

Valor de las Anualidades

El valor de una anualidad calculado a su terminacin es el monto de ella. El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor actual o presente. Estos valores pueden, tambin, calcularse en fechas intermedias; en tal caso, se refiere a: monto de la parte vencida o valor actual de las anualidades por vencer. As por ejemplo, una renta de S/. 2000 pagaderos cada final de ao, durante 6 aos, tendr un monto , o valor futuro , al finalizar los 6 aos y tendr un valor actual o presente , en su fecha inicial.

0 1 2 3 4 5 6

2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000

parte vencida fecha intermedia parte por vencer

Transcurriendo 2 aos se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad, de la parte por vencer, tal como se muestra en el grfico.

Smbolos que se utilizan en las anualidades:

1. Anualidades y rentas ciertas vencidasLas rentas pueden ser capitalizadas (monto de una anualidad), actualizadas (valor presente de una anualidad) o evaluadas en cualquier momento de un determinado horizonte temporal, aplicando el principio de equivalencia financiera.

2. Monto de una anualidad simple

Los pagos efectuados al final de cada perodo ganan inters compuesto, hasta la fecha final. Estableciendo la ecuacin de equivalencia para la fecha final como fecha focal, tendremos:

R

0 1 2 3 .

Cada pago efectuado al final de perodo capitaliza los intereses en cada uno de los perodos que le siguen, o sea, cada pago est sometido a inters compuesto por nmeros diferentes de perodos: el primer pago durante perodos, el segundo y, as sucesivamente, el penltimo durante un perodo hasta el ltimo pago que no gana intereses, ya que su pago con la fecha de trmino del plazo.

Los montos respectivos de los pagos comenzando por el ltimo sern , , , y .El monto total de la anualidad es igual a la suma de los montos producidos por las distintas rentas , o sea:

Los trminos del segundo miembro forman una progresin geomtrica de trminos, razn y primer trmino . Aplicando la frmula de la suma para una progresin geomtrica:

El trmino entre corchetes es conocido como el Factor de Capitalizacin de la Serie . La frmula puede representarse:

Y se lee: el FCS a una tasa por perodo y perodos de capitalizacin transforma una serie uniforme de rentas en un valor futuro .

Ejemplo 1: Si un trabajador ha cotizado a una Administradora de Fondos de Pensiones (AFP) el equivalente de S/. 360 anual, durante sus ltimos cinco aos de actividad laboral dependiente, qu importe habr acumulado en ese perodo si percibi una del 10%? 360 360 360 360 360 0 1 2 3 4 5Solucin:nRenta

Perodos capitalizablesOperacinMonto de la Renta

01234536036036036036043210

527,08 479,16 435,60 396,00 360,00

2 197,84

Cada uno de los flujos ha sido llevado hacia el momento 5 con un FSC. Su desarrollo directo se efecta aplicando el FCS.

Ejemplo 2: Qu monto se acumular en una cuenta de ahorros, si a fin de mes y durante 4 meses consecutivos se deposit S/. 100 por los cuales se percibe una TNA del 24% capitalizable mensualmente?Solucin: 1 2 3 n = 4 meses

3. Valor Presente de una anualidad simpleValor actual o presente de una anualidad es aquella cantidad de dinero que con sus intereses compuestos, en el tiempo de la anualidad, dar un monto equivalente al monto de la anualidadEstableciendo una ecuacin de equivalencia financiera tomando como fecha focal el inicio del horizonte temporal, el valor presente de una anualidad se puede obtener:

Reemplazando S por su equivalente

El trmino entre corchetes es conocido como el Factor de Actualizacin de la Serie . La frmula puede representarse:

Y se lee: el FAS a una tasa por perodo y perodos de capitalizacin transforma una serie uniforme de rentas en un valor presente .Ejemplo 3: Calcule el valor presente de los 5 flujos anuales de S/. 360 soles c/u del ejemplo 1 aplicando una TEA del 10%.

360 0 1 2 3 4 5Solucin:nRenta

Perodos actualizadosOperacinValorPresente

5432136036036036036054321

223,53 245,88 270,47 297,52 327,27

01 364,68

Cada uno de los flujos ha sido trado hacia el presente o momento 0 con una FSA. Su desarrollo directo se efecta aplicando el FAS.

Ejemplo 4: Actualmente la empresa Sara S.A. decide cancelar las 4 ltimas cuotas fijas insolutas de un prstamo contrado con una entidad financiera, ascendente cada una de S/. 500; las mismas que vencern dentro de 30, 60, 90 y 120 das, respectivamente. Qu importe deber cancelar hoy si la TEM es del 5%?Solucin: 1 2 3 n = 4 meses

4. Clculo del valor de las rentas en las anualidades simples

Es frecuente e importante la necesidad de conocer el importe de los pagos peridicos, para lograr un determinado resultado; as por ejemplo: Cul es el pago mensual que debe hacerse para cancelar el valor de una propiedad, en un cierto nmero de aos? Qu cantidad de dinero habr que colocar peridicamente, en un fondo de amortizacin, para cancelar una obligacin a largo plazo? Con qu cuotas peridicas puede cancelarse una mercanca, conociendo su valor de contado y la tasa de inters?Dos son los problemas que se presentan, segn se conozca: el monto a cancelar en fecha futura o el valor actual que debe cancelarse, mediante pagos peridicos.4.1. Clculo de la renta cuando se conoce el monto

El trmino entre corchetes es conocido como el Factor de Depsito al Fondo de Amortizacin (FDFA). La frmula puede representarse:

Esta frmula se lee: el FDFA a una tasa i por periodo y n perodos capitalizables, transforma un valor futuro (S), en un conjunto de Rentas (R) equivalentes, distribuidas uniformemente a travs del horizonte temporal.

4.2. Clculo de la renta, cuando se conoce el valor actual

El trmino entre corchetes es conocido como el Factor de recuperacin del Capital (FRC). La frmula puede presentarse:

Ejemplo 6: Una empresa ha decidido adquirir dentro de 4 meses un grupo de electrodomsticos cuyo precio estima en S/. 5000. Qu importe constante de fin de mes, debe ahorrar en ese perodo de tiempo, en un banco que paga una TNA del 36% con capitalizacin mensual, a fin de disponer ese monto al vencimiento de dicho plazo?Solucin: 0 1 2 3 n = 4 meses

Ejemplo 6: Cul ser la cuota constante a pagar por un prstamo bancario de S/. 8 000, reembolsable en 4 cuotas cada fin de mes? El banco cobra una TNA del 36% con capitalizacin mensual.Solucin: 0 1 2 3 n = 4 meses

5. Clculo del tiempo o plazo de una anualidadSi se conocen el monto S o el valor actual A, la tasa y la Renta R, puede calcularse el valor de n o sea el nmero de pagos:

En la prctica, el clculo de n se efecta utilizando ecuaciones de equivalencia, interpolando dos valores de las tablas.

Ejemplo 7: Cuntos depsitos de fin de mes de S/. 500 sern necesarios ahorrar, para acumular un monto de S/. 5 474,86 en un banco que paga una TNA del 24% con capitalizacin mensual?Solucin:

Ejemplo 8: Cuntos pagos semestrales de 600 soles debern hacerse para cancelar una deuda de S/. 4 500, con el 7% de inters capitalizable semestralmente?Solucin: Planteando la ecuacin de equivalencia P=R.FAS o R=P.FRC y despejando n de cualquiera de ellas, llegamos a la frmula:

En las actividades financieras se acostumbra a dar soluciones prcticas, optando por cualquiera de las dos alternativas que se expresan a continuacin:(a) Aumentar el pago correspondiente al ltimo perodo entero. (en nuestro caso el 8)(b) Utilizar el entero superior, efectuando un pago menor en el ltimo perodo. (en nuestro ejemplo, se trabajara con 9 perodos efectuando un pago menor, al final del noveno perodo).

6. Clculo de tasa de inters implcita de una anualidadCuando en una anualidad se conocen P,R,S y n exceptuando la tasa efectiva peridica, entonces est es posible hallarla aplicando la interpolacin lineal.Ejemplo 9: Un artefacto electrodomstico tiene un precio de contado de $ 1 500 y al crdito se ofrece con una cuota inicial de $ 300 c/u pagaderas cada fin de mes. Cul es la TEM cargada en el financiamiento?Solucin:i=?

P=1 200 n=12R=100Ejercicios de aplicacin:

1. Calcular el monto de una serie de 6 depsitos de S/. 1 000 hechos al final de cada 15 das. Los depsitos perciben una TNA del 36% capitalizable mensualmente.2. Industrias del Mar S.A. (Indumar) y Peruexport han celebrado un contrato por medio de la cual la primera le alquila a la segunda un terreno por un perodo de dos aos y por un arenta de S/. 500 mensuales, los cuales deber depositar a fin de cada mes enuna cuenta bancaria que le reportar a Indumar una TEA del 15%. Asumiendo que Perexport cumplir con su compromiso qu importe habr acumulado Indumar al finalizar el contrato de alquiler?3. Calcule el importe a depositar hoy en un banco que paga una TEM del 3%, el cul permitir retirar durante 5 meses (a fin de cada mes) una renta de S/. 900.4. Un comerciante vende televisores en S/. 6 500, precio de contado. Para promover sus ventas, idea el siguiente plan de ventas a plazos, con cargo del 1% mensual de intereses. Cuota inicial de S/. 1 200 y el saldo en 18 abonos mensuales. Cul es el valor de la mensualidad?5. Para mantener en buen estado cierto puente, es necesario repararlo cada 6 aos con un costo de $ 85 000. El consejo del municipio al cual pertenece el puente decide establecer una reserva anual para proveer los fondos necesarios con miras a las reparaciones futuras del puente. Si esta reserva se deposita en una cuota que abona el 8% de inters, hallar el monto de la reserva anual.6. Una deuda de S/. 4 000 que vence dentro de 45 das se propone cancelarla hoy efectuando un pago de S/. 3 800, es conveniente para el acreedor esta propuesta, si su costo de oportunidad es del 5% efectivo mensual?7. Una letra con valor nominal de S/. 2 000 ha sido descontada faltando 48 das para su vencimiento aplicando una TEM del 5%. Qu importe neto recibir el descontante?8. Si deseamos acumular S/. 5 000 en un banco mediante 5 depsitos iguales cada fin de trimestre ganando una TEM del 3%, cul ser el importe de cada depsito?9. La empresa Textiles S.A. ha decidido ahorrar una determinada suma constante durante dos aos, para adquirir una nueva mquina automatizada, cuyo costo ser en esa fecha aproximadamente de $ 9 000. Si la TEA que ganar en una institucin de crditos es 15%, a cunto ascender cada depsito de fin de mes?10. Cul es la cuota fija a pagar por un prstamo bancario de S/. 8 000 pactado a una TNA del 24% para ser amortizado en 8 cuotas trimestrales?11. Un automvil cuyo precio al cash es de $ 10 000, es vendido al crdito con una cuota inicial del 35% y 12 cuotas mensuales uniformes vencidas. Calcule el importe de cada cuota si por el financiamiento cobran una TEM del 5%.12. Se necesita adquirir una mquina evaluada en $ 8 000. Dentro de cuntos meses podr disponerse ese importe, ahorrando cada fin de mes una suma constante de $ 1 800 en una institucin financiera que paga una TEM del 2%?13. En cunto tiempo podr cancelarse un prstamo de S/. 15 000 con pagos de S/. 2 000 cada fin de trimestre? La entidad financiera cobra una TNA del 24% capitalizable trimestralmente.

A. Cano M.