G'.,L)l: J':, {l

?22:. :; ;:!::.

222 . : :

wlffi

eeffi

Anualidadsvencdd5,

anticipadas U dfer.idasEl dinero proporciona algo de felcidad. Peroa partir de cierto momento proporci.ona slo ms dinero. Neil Simon

iF

objetivosAl finalizarel estudiode estecaptuloel alumno podr:

##

Identificar,definir y explicarlos diferentes tipos de anualidades. Identificarsituaciones dondeseapliquenlasanualidades. en Plantear resolver y problemas anualidades de vencidas, anticipadas v diferidas.

#

260

Cap. 6

y Anualidades vencidas, anticipadas diferidas

ta:

; 6 . 1 i r . "I n t r o d u c c i ni::::.

i.:,,:,1;.,,,5,,.,..+

igualesrealizados Una anualidad sedefine como una seriede pagosgeneralmente en intervalos de tiempo iguales.El trmino anualidad parece implicar que los pagos Seefectan cada ao, sin embargo, esto no es necesariamenteas, ya que los pagospueden ser mensuales, quincenales, etctera. quincenaldel sueldo,el pago mensual de Son ejemplosde anualidades cobro el la renta de la casa,los abonosmensualespara pagaruna computadora comprada a crdito, el pago anual de la prima del seguro de vida, los dividendos semestrales sobre acciones,los depsitosbimestrales efectuadosa un fondo de jubilacin, etctera. El concepto de anualidad es de gran importancia en matemtica financiera ya que es muy frecuente que las transaccionescomerciales impliquen una serie de pagos hechos en intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago nico realizadoal final del plazo. Los trminos de renta, pago peridico, abono u otros, pueden utilizarse en lugar de anualidad. El tiempo transcurrido entre dos pagos sucesivosse llama periodo de pago o periodo de renta. El periodo de pago puede ser anual, semestralo mensual, entre otros. Al tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo de pago y el ti nal del ltimo se llama plazo de la anualidad.

jempro #de Una personacompra un televisorpagando 12 mensualidades $485 cada una. Identifique la anualidad,el periodo de pagoy el plazo de la anualidad. :-}.

ffi

5olucin'

La anualidad, rentao abonoesde $485. El periodode pagoesun mesy el plazo de la anualidad de un ao. es Utilizando el tiempo Existen cuatro formas de clasificar1asanualidades. puedenser: como criterio de clasificacin, anualidades las

lntroduccin

" i i 61:ri.j'

- -,1:" : r

Por ejemplo, al comprar un televisor a crdito en una tienda departamental, seestablecen antemano las fechas de de iniciaciny terminacin del crdito.

de algn sucesoque se sabeque ocurrir, pero no se sabecundo. Por ejemplo, el contrato de un segurode vida establece que la suma asegurada entregue al se beneficiario del seguroen 12 pagos : -' mensualesiguales.Sesabeque los pagost '" deben efectuarse al morir el aseguradq pero, Zcundova a morir? ls anualidades contingentesno seestudiarnen estelibro.

Utilizando los pagoso abonos como criterio de clasificacin, anualidades las Dueden ser:

Las anualidadesvencidas,llamadaS ,, ,, ; ordinarias.son tambin anualidades aquellascuyospagosse realizanal final de cadaperiodo de pago.

En cambio, las anualidadesanticipadas, son aquellas cuyos pagosse realizan al prncipio de cada periodo de pago.

las Utilizando los intereses como criterio de clasificacin, anualidades pueden ser:

,,,,,.,.'liii,i:,;jl;iiUna anualidad simple es aquella cuyo . ' Una anualidad general es aquella cuyo periodo de pago coincide.or, .l pEqg"ii periodo de pago no coincide con el periodo i.: de capitalizacinde los intereses. de capitalizacin de los intereses.Por Por ejempl o, r ealizar d epsitos mensuales 1i;i'.rejemplo, cuando se realizandepsitos quincenales en una cuenta de ahorro en una cuenta de ahorro que paga ", riti* cuyos intereses se capitalizan cada mes. interesescapitalizablescada mes.

Por ltimo, si se utiliza el momento de iniciacin de la anualidad como criterio pueden ser: de clasificacin, anualidades las

Una anualidad diferida es pagos,es decir, los pagosse realizan

cul lbs tagos s aplazanpor-u nmero. periodos.Porejemploi,sg decompra hoy, a crdito, una bicicleta estacionaria, la cual se paga 12 abonos mensualesy el p

el primer periodode pago.r,..:*ii*il

sellevar cabodespus a de

Cap. 6

y vencidas,anticipadas diferidas Anualidades

Tomando una caractersticade cada uno de los diferentes criterios de clasificacin, es posible formar 16 tipos diferentes de anualidades.Por ejemplo: l,$ Anualidades ciertas, simples,vencidase inmediatas. vencidasy diferidas. LF Anualidades contingentes,generales,

r,$ Anualidades y etctera. anticipadas diferidas, ciertas, simples,que se pueden foi*at, las ms usualesson: De los 16 tipos de anualidades ,l. simpieciertas,simples,vencidase inmediatas,conocidas Las anualidades mente como anualidadesvencidas.

.,.F t-qr anualidadesciertas,simples,anticipadase inmediatas, conocidassimplemente como anualidadesanticipadas.

(o y vencidas anticipadas) diferidas,cociertas,simples, iF L"r anualidadesnocidas simplemente como anualidades diferidas.

1 . ZQuesuna anualidad?de 2. ZCules los cuatrocriteriosde clasificacin lasanualidades? son

3. ZCules los trestipos mscomunesde anualidades? son 4. Una personacomprauna bicicleta a crdito mediante 18 pagosquinceel nalesde $172 cadauno. Identifique la anualidad, periodode pagoy el plazode la anualidad. 5 . D un ejemplode anualidad, a)'vencida b) anticipada c) vencida,diferida . diferida d) anticipada,'

F' Anualidadesvcncidaslas venciDe los 16 tipos de anualidades existentes, anualidades ciertas,simples, sonuna de lasmsutilizadasen el mundo financiero.Escomn dase inmediatas referirse estetipo de anualidades a como anualidades vencidas ordinarias. u

A n u a l i d a d e sv e n c i d a s

El monto de una anualidad vencida es el valor acumulado de una serie de pagosigualesefectuadosal final de cada periodo de pago. A continuacin se presentaun ejemplodel clculo del monto de una anualidadvencida. Suponga que se depositan $ I 000 al final de cada mes en un banco que pagauna tasa de inters de 1.570 mensual capitalizablecada mes. ZCul ser el al finalizar un ao? monto El diagramade tiempo es el siguiente:

10000

1000

1000

1000 t1

1000

12MESES

F

donde F esel monto de la anualidad. Note que el cero en el diagrama de tiempo corresponde al momento actual y coincide con el inicio del mes 1. El nmero I marcado en el diagramade tiempo correspondeal final del mes I y coincide con el inicio del mes 2, y assucesivamente. Al diagrama de.tiempo anterior tambin se le conoce como diagrama de flujo de efectivo. Se denominan flujos de efectivo a las entradasy salidasde dinero. En esteejemplo se tiene un flujo de efectivo de $ 1 000 mensuales,durante 12 meses. Debido a que los depsitos se realizan al final de cada mes, los primeros $1000 ganarninteresespor ll meses,los segundos$1000 ganarnintereses por 10 meses,etc. El ltimo depsito no gana intereses.El monto de la anualidad esla suma de todos los depsitosmensualesy su correspondienteinters compuesto, acumulado hasta el trmino del plazo. Si la fecha focal se localizaen el doceavo mes,el monto de la anualidad viene dado por la siguiente ecuacinde valor:

F : I 000(1.015),,+ I 000(1.015)'o+ I 000(1.015)r+. + I 000[1.015)+ .. I 000 1( ). F : 1 0 0 0 ( 1 . 0 1 5+" ( t . 0 1 5 )+ 0 1 . 0 1 5+ e. . ( 1 . 0 1 5 ) 1 ] [ ) + F: $13041.21El inters compuesto ganadopor la anualidad es la diferencia entre el monto y el total depositado: : g Inters anado 13041.21 (1000X12) : $1041.21 Cuando el nmero de pagoso depsitos es muy grande, el mtodo anterior para obtener el monto de la anualidad resulta muy laborioso. A continuacin se deducir la formula generalpara obtener el monto o valor futuro de una anualidad cierta, simple, vencida e inmediata. Considere una anualidad vencida en donde es el pago o depsito hecho al final de cada uno de n periodos. Seai la tasa de inters por periodo, expresada en forma decimal. El diagrama de tiempo es:

Cap. 6

y Anualidades vencidas,anticipadas diferidas

(n - 3) (n - 2)(n - 1);

n meses

Ya que el primer pagose realizaalfinal del primer"periodo, ganarinteresespor (n - 1) periodos. El segundo pago ganarintereses por (n - 2) periodos, etc. El pago final no genera intereses.Si la fecha focal se localiza en el periodo n, entonces el monto o valor futuro de la anualidad viene dado por

3 + F : A ( t + t ' - r + A ( t + i ) " - 2 A ( l + i ) " - t. . . + A ( l + ) + A 0 + i ) ? + , 4 ( 1+ t ) + AFactorizando:

+ F : A t ( l + i ) ' - r + ( l * " - z ( 1 + i ) ' - 3+ . . . + ( t + ; ) 3 + ( t + ) 2 +(l+r)+llO bien:

F : A t t + ( 1 + ) + ( t ) z+ ( t + ) 3 . . . + ( 1 + i ) ' - 3+ ( l + ) " - 2 + ++ (l + i)'-'lLos trminos de la expresinentre corchetesforman una sucesingeomtrica, donde:al :

1

r: [l

+D

Aplicando la ecuacin (3.4) para la suma de n trminos de una sucesin geomtrica, se obtiene: s : "n at(l- r') l-r :

l l l - ( 1+ i ) " 1 _ t - ( 1 + ) ' _ ( 1 + ; ) ' - l

I-(1+)

-i

i

Como:

[1+)'-t: , __________ 2 [t+(l + t ) + [ t + ) + ( t + ; ) ' + . . . + ( l + i ) " - 3i

+ (1 + i)"-2+ (1 + )'-tl

Entonces:

F:Atry-]

(6.1)

La ecuacin(6.1) esla formula general paraobtenerel monto o valor futuro de una anualidadvencida.

Anualidades vencdas

ejemplo ffiel Resuelva ejemplo dado al principio de la presenteseccinusando la (6.1). cin

ffi

fu"*, 5 o l u c r o n : MP

mensuales A: 1000 pesos : mensual 0.015por rnes i: l.5o/o n = Tlmeses

F:1000

( l + 0.01 t 2 s) 0.0l 5 [

'l

: i 0 0 0 [ 1 . 1 9 5 6 1 8 1 7I1 0.015

F : $13041.21

jempro ffiEl pap de un nio de l0 aosempiezaa ahorrar para que su hijo puedaestudiar una carrerauniversitaria. Planea depositar$2 000 en una cuentade ahorro al final de cadamesdurantelos prximos8 aos. la tasade intersesde 9%0, Si a) Zcul ser monto de la cuentaal cabode 8 aos? el b) ide cunto sernlos intereses? &d% ) o l u c l o Fl ; f,.." a) Debido a que en el presentecaptulo se manejannicamenteproblemas de anualidades simples,no es requisitofundamentalmencionarel periodode capitalizacin;sesobreentiende stecoincidecon el periodode renta.por tanto, queel periodo de capitalizacin es mensual.

:i:

$20009o/o anual : O.750/o mensual

n : (8 aosX]Z meseVao) : 96 meses

- rf + 2.048921228 I F: zooo[(io.oozs)'u : r.oooIL 0.007s J L0.0075 F : $279 712.33

Cap. 6

Anualidades y vencidas, anticipadas diferidas

: b) En B aos pap el deposita total de ($2 000 por mes)(96 meses) $ 192000. un Portanto, el intersganado ser:

I : 279712.33 192 000 : $87712.33

jempro #Con referencia al ejemplo anterior, suponga Or" depsito de $2 000 men"t sualesse efecta nicamente por 5 aos y el resto del tiempo se deposita $3 000 mensuales.Obtenga el monto final y el inters ganado.

#

sotucin:

El diagrama de tiempo es:

o

O O c

!

O O N

o(

O O \

o

O

c\I

O

O

O O O coT

0

1

2

3

60

62

...---j-_----:_.+ 94 95

O O O co

O O O cc

O O O cf)

96 meses F

El problemaseresuelve 3 partes. en Ia. Parte Secalculael monto de $2 000 mensuales 5 aos(60 meses) por

F r : zooo[lJ: !'09ZII1J] : ,ls0 848.2738 0.007s I L2a. Parte Al final de los 5 aossetiene un monto de $ 150 848.2738.Estosemuestraen el siguiente diagrama tiempo de .e. dcC F

$ @ O

p

300061

3000 62

3000 3

3000 94

3000

3000

0:

9s

96meses F

Anualidades vencidas

(36 A continuacin, obtiene monto de $ 150848.2738 3 aos meses), se el por la mediante formula del interscompuesto: : (1 Fz: 150848.7738 + 0.0075)30 $197406.89523a. Parte Se calcula el monto de la anualidad de $3 000 mensuales durante 3 aos [36 meses): i):e + 0.()07: 00 T : $123458.1484 ).0(7 0 0075 El monto total al final de los8 a serla s, ma de F2y \: ros SU

F:3000

Itr

rl

2 F : F , * F . , : 1 9 7 4 0 6 . 8 9 5 -T 123458.1484

F : $320 65.05 8Hasta este momento se ha determinado el valor futuro de una anualidad vencida.Ahora se abordar el problema de determinar el valor presenteo valor actual de una anualidad vencida; esto es,el valor al comienzo del plazo. El valor presente de una anualidad se define como la suma de los valores presentesde todos los pagos.Veamos un ejemplo. Suponga que una persona va a liquidar una deuda mediante 4 pagosmensualesde $1183.77 cada uno, que incluyen interesesa 3% mensual con capitalizacin cada mes. Se deseaobtener el valor presentede los pagos. . El diagrama de tiempo es:

1183.12 1183.72

1183.72 1183.72 4 meses

0 P

donde P es el valor presentede los pagos. Si la fecha focal se localiza en el momento actual, entonces se puede formar la siguiente ecuacin de valor:

r:

1183.72 1183.72

l^03

-

- 1183.72- 1183.72 r.oy r.ot l.oy

La expresin anterior se puede escribir como:

p: 1 183.72 (1.03)-1 1183.72 (1.03)-2 1183.72 (1.03)-3 + + + 7183.72(r.03)-4 P: $4400 de mensuales $1 183.72 de $4 400 esel valoractual 4 pagos cada uno.$4 400 esel capital pedido prstamo el deudor. por en

',1;

t269,::

,,-:

Cap.

y anticipadas diferidas vencidas, Anualidades

El valor presentede una anualidad admite dos interpretaciones.Supongaque en lugar de pagar una deuda de $4 400, se deposita este dinero en una cuenta que paga 370mensual capitalizable cada mes; el valor presente se interpreta de la siguiente forma: $4 400 depositados a 3% mensual capitalizable cada mes producirn un monto exactamenteigual que el obtenido al depositar $1183.72 cada mes, durante 4 meses:

: F : 4400(t + 0.03)4 54957.24(1+0.03)4-l F: 1183.72 0.03 [

t_$ 4 9 s 2 . 2 4l-

Lo anterior indica que el valor presente de una anualidad se puede obtener mediante la formula del inters compuesto,calculando el valor presentedel monto de la anualidad. La segundainterpretacin del valor presentede una anualidad es la siguiente: el valor presentees la cantidad que se debe invertir en estemomento para efectuar cierto nmero de retiros en el futuro. Esto es, si una persona invierte en este momento $4 400 a 370mensual capitalizable cada mes, entonces podr retirar $1183.72 cada mes, durante 4 meses,al final de los cualesla cuenta estaren ceros.La siguiente tabla demuestra estaafirmacin:

(0.03) (1) mensual: (4 4OO) Intersde 3%o

i; $r32.OO

i.ithie"i:l$rque se manejande la forma mostrada Existenmuchostipos de anualidades planesde jubilacin como las AFORE, ya en la tabla anterior.Por ejemplo,los que durante la vida productiva del trabajador se realiza depsitosa un fondo creadoparaestepropsito.Al momento de la jubilacin,el monto obtenidopaga una cantidad fija a intervalos regulares,generalmentecada mes. Despusde pasadocierto tiempo el fondo se agota.La suma obtenida por el trabajadoralinicio de la jubilacin es el valor presenteo actual de la anuahdad.l

+ '

-:il*

et:: ,;ft

{ .:

Anualidades vencidas

En seguidase deducir la formula generalpara obtener el valor actual de una anualidadvencida. considere una anualidad vencida en donde,4 es el pago o depsito hecho al final de cada uno de n periodos. Seai la tasa de inters por perioio, expresada en forma decimal. El diagrama de tiempo es:

A

A

A

A(n-2)

A (n-1)

An meses

0 P

Si la fecha focal se localizaen el momento actual y P representa valor el presente la anualidad entonces: de A, P : = (l +4), - . .+A . = (l ,+ A (t )z i)3 A ' A , _ i * 1{n_z) 1 ,. 1r,_rt l1,

p : A ( t + ) - r A ( \ + i ) - z + . , 4 ( t + i ) - 3+ . . . + , 4 + [t + i)-tu-z)

+ A ( l * i ) _ { , _+ A 0 + i ) _ " u

Factorizando: p: A I ( t + ) - r+ [ l + ; ) - 2+ ( l + ) - 3 . . . + ( t + i ) - n + 2 ( l + i ) - n + r + +

+ (1 + t)-,J

Los trminos de la expresin entre corchetes forman una sucesin geom trica, donde: ar: (l + i)-1 r: (l + i)-1

Sustituyendo estosvaloresen la ecuacin (3.4), se obtiene:

l-r,

l-(1+i)-'

1_

I (t+)

vn

s - (l+J-tlt-[t+i)-'I[l+)-1 [1+;)$ -

tl-(l +i)-"1

Como, I-(l+iJ-' : { l + r)-t+ (l + ) - z ( l + - ' * . . . * [ t + i)-n+z + i ( 1+ i ) - ' * r + ( t + t ) - , +

97rffi

Etr

&

r-nn A

Anualidades vencidas, y anticipadas diferidas

Entonces:

P:At-l+*] j e mp l o

(6.2)

La ecuacin (6.2) es la formula para obtener el valor presenteo valor actual de una anualidadvencida.

ZCules el valor presente $5 000 depositados una cuenta al final de cada de en trimestre durante 4 aos,si la tasa de inters es de l4o/ocapitalizable foren ma trimestral?

fu*: 5 O l U C l O f l : W .: ff***t

,4:5000i : f4o/o anual :

t4

_ 4 n : (4 aos){4 t rim .res/ao): 16 tr tmestres mest

3.5%o trimestral

l . t 1- . + 0.035J-'" : 5 0 0 0 r 1 - O . 5 7 6 7 0 5 9 1 1 P - 5 000 - 0 | I I' f

L

0.035

J

L

0.035

P : $60470.58 El valor actualde la anualidades $60470.58. Esto significaque al depositar estacantidadde dinero en estemomento,setendr un monto, al final de cuatro aos,igual al que seobtendrdepositando 000 cadatrimestre durante4 aos, $5 siendola tasade intersde l4o/o capitalizable cadatrimestre, en amboscasos. La otra interpretacines la siguiente: sedepositan$60470.58 a una tasade intesi rs de 74o/ocapitalizable trimestre,entonces pueden retirar $5000 cada cada se trimestre,durante4 aos.

jempro'ffijubilarseen esteaoy creequeuna mensualidad $ 10000 durante Raquel desea de los siguientes aossersuficienteparavivir bienl. ZCuntodinero debetener 20 en su fondo de retiro para poder retirar la cantidaddeseada, sabiendoque ste le paga12o/o anualcapitalizable cadames? e' i t Podemos suponer que 20 aos es su esperanzade vida. Adems, no se est tomando.n *.nl la inflacin. l

Anualidades vencidas

re sotucn,A - r0000: -t

l2o/o anual : 7o/o mensual

n : 240 meses

P : 1 0 0 0 0 l - ( 1 + 0 . 0 1 1 - z +:o *nor 16 | re4 0.01 L ]$908194.16 depositadosa l\o/o capitalizable cada mes producirn 240 pagos mensualesde $l0000,cada uno; es decir, un total de $2400000. La diferencia entre el valor actual y la cantidad total recibida es el inters com_ puesto ganado.

Inters : compuesto ganado Z4OO000 g0g 194.16 $ l4gl g05.84 =

jempto,ffiun distribuidor de automviles ofreci a un cliente un cgche nuevo mediante un pago inicial de $28 000 y 30 pagosmensuales de $3 650 cada uno. Si se carga una tasa de inters de 2.5o/o mensual capitalizablemensualmente,encuentre el valor de contado del automvil.

re sotucin,valor de contado: pagoinicial * valor actualde lasmensualidades Como: .4:3650 i: 2.5o/o mensual n : 30 meses Entonces: Valorde contado: 28 000 + 3 650 - [t + 0.025)-30

0.025

V a l ord e co n ta d:o 2 8 0 0 0 + 76395.57 $104395.57 :

jempro @El seor Jimnez deseavender su casaubicada en la ciudad de Los ngeles, Californiay recibelastres ofertassiguientes:

,'

27.fl,,

f.

Cap.

y vencidas, anticipadas diferidas Anualidades ---\

1a.Oferta:35000O dlares contado. de de 2a. Oferta:IOOO00 dlares contadoy 10200 dlares mesdurante30 meses. al al sin 3a. Oferta:11000dlares mesdurante3 aos, enganche. . Tomandocomo baseuna tasade intersde 0.6%o mensualconvertiblecada parael seorJimnez? mes,Zcul estas de ofertasesla msventajosa

M'

Solucin'

Paracompararlas ofertasrecibidases necesario determinar los valoresde conEstoes,el valor presente la anualidadms el pagoinicial, si de tado equivalentes. lo hubiera. 1a. Oferta Precio contado: 350000 dlares de 2a. Oferta Precio contado: 100000 + 10200 de[:

- ( t + 0.006 )0.006

3a. Oferra

:l

:379276-77 dlares

precio contado: 000f l - tr t qp-ool-'u: ,r, tgl.2|dlares lt de I 0.006 I LSobre la base de los precios de contado a los planes de pagos en abonos, la segundaoferta es la mejor.

jempro ffiZGunto se tiene que depositar cada quincena en una inversin que gana el 8.55% capitalizable quincenalmente, para tener $200000 al final de 5 aos?

W

Solucin:

Debidoa que $200000 sonun valorfuturo, esnecesario r despejaA dela formula ,del monto de una anualidad.

F: 200000 t=tt : t: quincenal 0.35625% 24 : (24 n: (5 aos) quincenas/ao)120quincenas

Anualidades vencidas

S i ^ F : a [ ( l * i ) ' r l , " r , , o r , . " s F i : , 4t ( t + i ) , - l l y , p o r t a n t o ,

I

i

J',---"-

:

*,

-r

Sustituyendo valores los numricos:

: $r338.64 ,4: !2oo-099x990?=?9,il -l (1+ o .0 0 3 5 6 2 5) ' 20Setienequedepositar I 338.64cadamesconel fin detener$200 000 al final $ de 5 aos. Conocidoel valor de la anualidadse puede calcularla cantidadganada por concepto intereses. de : Intereses ganados 200000 - (1 338.64)(1201: $39 363.20

jempro @La seora Aguilar es la beneficiaria de un seguro " ,r,. por $650000. Ella escogino recibir todo el dinero en una sola exhibicin, sino recibir un ingreso mensual fo durante los prximos 12 aos. Si el dinero se encuentra invertido a l8%oanual capitalizable cada mes, iqu cantidad mensual recibir la seora Aguilar?

F

sotucin;

En esteproblemaseconoceel valor presente la anualidady sepide el clculo de del pagomensualque agoteel valor presente cabode 12 aos.De Ia ecuacin al (6.2J tiene: se

- (lt l-'l, pi Sip : a [r .r,to.,."s : AII -(t\ ^ + -,1Jy,portanto,: t ' 'Yu' Lorrlv' " tL J'

l-(t +i)-" Sustituyendo valores los numricos, tiene: se

A _

(6soooo)(T) _

'-('.T)

: $ll044.28

Cap.

Anualdades vencidas, anticipadas diferidas v

La seora Aguilarrecibir$li044.ZB cadames,durantet2 aos, en lugar de $650000 al contado.

jempro #ZCuntosdepsitos mensuales $ I 739.66 cadauno sedeben hacerpara acumude lar un total de $100000, si se ganan interesesde 1.8370 mensual capitalizable cadames?

*

sotucin:

En esteproblema se conocela anualidady el monto de stay se pide calcularn, la cual deberdespejarse la ecuacin(O.l). de

F:A[=1E:

I

,: (l + i)'- I A Fi* l : (r + i)' ATomando logaritmos a ambos lados de la igualdad anteriol se tiene:

t r " e[ 4 * r l : n t o g ( - i ) -LAJ

''*[* * r] ,:log(1 ) +

:

oooxo.ol * r-l s:) ,o* [(loo -L123e.66loe(t + O.Ot 83)

6211279 J _ 1oe7.47 l o g1 . 0 1 8 3

r: 50 depsitos mensuales.

jempro @Se desea obtener un monto de $20000 mediante depsitos vencidos,cada meses, $ I 655 cadauno. Calculecuntosdepsitos debenhacersi se de se intereses l5%o de capitalizable cadabimestre.

vencidas Anualidades \

l'\

-

RF7

5oluclorl:

En el ejemplo anterior se despejn de la formula del monto, por tanto:

_ l o e] . 3 0 2 l 1 4 8 0 4 log1.025

n : 10.69104025 bimestres. Desde el punto de vista terico debern transcurrir 10,69104025 bimestres, pero en la realidad esto no es posible debido a que las capitalizacionesy los depsitos se realizan al final de cada bimestre. Cuando el nmero de pagos no esun nmero entero, se pueden llevar a cabo diferentes formas de ajuste. A continuacin severn dos alternativas.

l? !::{:lovn F: 20000i:

"r',..o sultado. Esto es:

y la obtenido seaiusta anualidad dichorea el resultado

2.5o/o bimestral

n: 17 bimestres (valor redondeado) Por tanto:

A_

Fi[ 1 + ) '- 1

( 1 + 0 . 0 2 5 )-t]'

(20000x0.02s) :

$1602.12

Sedeben realizar depsitos 1l bimestrales $ I GOZ.IZ uno para de cada acumular$20000.2a. Alternatiua Se realizan l0 depsitos bimestrales de $1655 cada uno y, al final del bimestre nmero 11, se efecta un depsito complementario. Para calcular el valor del depsito complementario se plantea una ecuacin de valor.

i,F '

' ., , 1 6 5 5 '

' . ,1 6 5 5 : 1 6 5 5. .

;

1 6 5 5 i'

1655

x

10'

1r

bimestres

z0'ooo

Cap.

Anualidades vencidas, anticipadas diferidas y

x es el valor del depsito complementario. Tomando el momento actual como fecha focal, se tiene la siguiente ecuacin de valor:

l6

- [1+ 0.025)-]o 20000 0.025 ( t + 0.025) 1r [l + 0.025) 1' 1 4 4 8 4 . 6 6 5+ 1 81.312086658 x:

: 15242.89564

Portanto: $994.86 Si se depositan$1655 al final de cada bimestredurante lO bimestres y $994.86al final del bimestre nmero rl, setendrun monto de $20000.

jempro WiCuntos pagosmensuales $791.g3 se deben realizarpara amortizar de una deudade $8 5o0, si la tasade inters de 28%anualcapitalizable mes? es cadaffR-

reEs 7

p

F 5Olucrot-t:.

En este problema se conoce la anualidad y el valor presente de la anualidad y se pide calcularn,la cual deberdespejarse ra (6.2): de ".rr".r,

.

ft-(t+t)-,-l P:Al

L

r

l

iP; r : l _ [ l + i ) - , _A

( l + )-"Tomando logaritmos a a mboslados -nl