UNA APLICACION DE LAS DERIVACIONES

LOCALMENTE NILPOTENTES AL PROBLEMA DE

EXTENDIBILIDAD

PROPUESTA DE TRABAJO DE GRADO

En modalidad seminario, presentado como requisito parcial

para optar al ttulo de Matematico

AMELIA ELIZABETH CORDOBA GARCIA

REYNALDO MANZANO CALVACHE

Directora:

Mg. MARIBEL DEL CARMEN DIAZ NOGUERA

UNIVERSIDAD DEL CAUCA

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y DE LA

EDUCACION

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

POPAYAN, CAUCA

2012

Indice

1. Presentacion 3

2. Justificacion 7

3. Objetivos 8

3.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. Objetivos especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Metodologa 9

5. Recursos 10

5.1. Recursos humanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2. Recursos materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3. Recursos economicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6. Cronograma de actividades 11

7. Presupuesto 12

8. Bibliografa 13

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1. Presentacion

La siguiente propuesta de trabajo de grado sera desarrollado en modalidad seminario,

como requisito de grado. El proyecto tiene como finalidad presentar una aplicacion de

la teora de derivaciones localmente nilpotentes al problema de extendibilidad. Para ello

estudiaremos minuciosamente la teora basica de derivaciones en anillos, la cual nos per-

mitira abordar el estudio de dicha aplicacion.

Antes de iniciar, es necesario tener en cuenta que siempre que se hable de un anillo B este

sera considerado conmutativo con unitario, tambien escribiremos A B para indicar queA es un subanillo de B, denotaremos por A[n] al anillo de polinomios en n variables sobre

un anillo A y K denotara un campo.

La derivacion de anillos esta ligada a una funcion definida en un anillo como se observa a

continuacion.

Definicion 1. Una derivacion D de un anillo B es un homomorfismo de grupos

D : B B tal que para todo f, g B, se satisface D(fg) = D(f)g + fD(g).

Al conjunto de todas las derivaciones de B lo denotamos por Der(B). Aunque, Der(B)

es un B-modulo con la suma y producto por escalar definido en funciones, no es cerrado

cuando de composicion de funciones se trata.

Dada una derivacion D de un anillo B definimos el conjunto Ker(D) = {x B|D(x) = 0}y lo llamamos nucleo o kernel de D. Un primer resultado relacionado con este conjunto

es que define un subanillo en B. Si A B tal que A Ker(D) decimos que D es unaAderivacion de B y al conjunto de todas las Aderivaciones lo denotamos por DerA(B).Note que DerA(B) Der(B), aun mas DerA(B) es un Bsubmodulo de Der(B).

Un ejemplo clasico de una Kderivacion en el anillo de polinomios K [1] es el siguente:

Ejemplo 1. Consideremos el anillo de polinomios K[t]. La funcion D, llamada la derivada

con respecto a t, D = ddt

: K [t] K [t] y definida como sigue:

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para p(t) =ni=0

(ai)ti K[t], D(p(t)) = d

dt(p(t)) =

ni=1

i(ai)ti1. Es facil verificar que esta

derivada es una K- derivacion en K[t]. Ademas, si K es un campo de caracterstica cero

se tiene que Ker(D) = K y si su caracterstica es p, con p > 0 entonces Ker(D) = K[tp].

Para el desarrollo del presente trabajo sera de gran importancia el estudio de las deriva-

ciones en el anillo de polinomios B = A[n], como veremos mas adelante el problema de

extendibilidad esta planteado en el anillo de polinomios con constantes en K. Un resultado

basico acerca de las derivaciones en este anillo esta dado por:

Lema 1. Sea A un anillo y B = A[X1, ..., Xn] = A[n]. Dados f1, f2, ..., fn B, existe una

unica D DerA(B) que satisface D(Xi) = fi, para todo i = 1, 2, ..., n.

La derivacion de la que nos habla el lema anterior es D =ni=0

fixi

. As, DerA(B) es

un Bmodulo libre con base{

x1

, x2

, ..., xn

}, en el desarrollo del trabajo veremos su

prueba.

Una otra derivacion en el anillo de polinomios B = A[n] es la derivacion jacobiana definida

como sigue:

Ejemplo 2. Dados f = (f1, f2, ..., fn1) B definimos la derivacion jacobianaf : B B dada por:

4f (g) = det((f1, f2, ..., fn1, g)

(X1, ..., Xn)

),

para cada g B. Podemos verificar que4f DerA(B) y que A[f1, f2, ..., fn1] Ker(D).

Para el desarrollo de este trabajo es basico el estudio de Derivaciones Localmente

Nilpotentes (LND).

Definicion 2. Sean B un anillo y D Der(B), definimos el conjunto

Nil(D) = {x B|n N/Dn(x) = 0}

Nota 1. Se puede demostrar que, Ker(D) Nil(D) B y Nil(D) B.

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Definicion 3. Sea B un anillo y D Der(B) decimos que D es una derivacion localmentenilpotente, si satisface Nil(D) = B, es decir, si b B n N Dn(b) = 0. Denotamospor LND(B) al conjunto de todas las derivaciones localmente nilpotentes de B.

Aunque LND(B) Der(B) este conjunto no es un subgrupo de Der(B), ya que no escerrado respecto a la suma de funciones como se puede ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3. Sean B = C[x, y], y las derivaciones D1 = y ddx y D2 = xddy

definidas en B

son derivaciones localmente nilpotentes. Sin embargo, D1 + D2 / LND(B). Ya que paraf(x, y) = x, (D1 + D2)(x) = y, luego (D1 + D2)

2(x) = (D1 + D2)(y) = x y por tanto no

existe n N tal que (D1 + D2)n = 0.

La derivada con respecto a t definida sobre el anillo de polinomios K[t] del Ejemplo1,

tambien es una derivacion localmente nilpotente. En esta derivacion encontramos un ele-

mento con una caracterstica en particular. Como podemos ver para el elemento t K[t],D(t) = 1 decimos que t es un Slice de d

dt LND(K[t]). Dicho elemento sera tematica de

estudio en el desarrollo del trabajo de grado.

Definicion 4. Sea B un anillo y D LND(B). Un Slice de D es un elemento s Bque satisface D(s) = 1.

Cuando existe un Slice en una derivacion localmente nilpotente, la situacion es muy

especial:

Teorema 5. Sean B una Q-algebra, D LND(B) y A = Ker(D). Si s B satisfaceD(s) = 1 entonces B = A[s] = A[1] y D = d

ds: A[s] A[s]. Esto es B es un anillo de

polinomios sobre A.

Hay derivaciones que no poseen Slices. Ver ejemplo 7.2 de [2].

En la actualidad un problema relacionado con las derivaciones localmente nilpotentes es

determinar si una derivacion localmente nilpotente definida en un anillo B = K [n] tiene o

no, un Slice. Este problema del algebra conmutativa se denomina Problema del Slice.

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Por otro lado un problema clasico en algebra conmutativa, resuelto parcialmente es el

problema de extendibilidad.

Definicion 6. Sean F1, F2, ..., Fn1 C[X] = C[n]. Decimos que la n1-upla (F1, F2, ..., Fn1)es extendible si existe un polinomio Fn C[X] tal que C[X] = C[F1, ..., Fn].

Problema de Extendibiblidad: Decidir cuando una n 1-upla es extendible.

El problema de extendibilidad y el problema de Slice estan fuertemente relacionados.

Pretendemos mediante este trabajo mostrar el siguiente resultado publicado por Arno

van den Essen en el artculo Locally nilpotent and derivations and their applications, III.

Teorema 7. Sea F1, ..., Fn1 C[X]. La n 1- upla (F1, ..., Fn1) es extendible s ysolo s la derivacion jacobiana D definida en C[x1, ..., xn] tiene un Slice y el nucleo es

C[F1, ..., Fn1] .

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2. Justificacion

Las Derivaciones Localmente Nilpotentes han sido utilizadas, en la solucion de diversos

problemas. En particular podemos mencionar el Decimo cuarto Problema de Hilbert, que

es enunciado asi:

Sea B = K[x1, x2, ..., xn] el anillo de polinomios en n variables sobre un cuerpo K de carac-

terstica cero, y K(x1, x2, ..., xn) su cuerpo de fracciones. Suponga que L es un subcuerpo

de K(x1, x2, ..., xn) contenido en K. Entonces, la k-subalgebra LB de K(x1, x2, ..., xn)es finitamente generada?

En [4], Freudenburg presenta una derivacion localmente nilpotente en B = k[x1, ..., x6]

cuyo nucleo A no es finitamente generado y por tanto Frac(A) B es un contraejemplopara la conjetura en el caso n = 6.

Una otra aplicacion la encontramos en el artculo [10], en el cual se reformula el problema

de extendibilidad, en terminos de derivaciones localmente nilpotentes.

El problema de extendibilidad fue resuelto para n = 2 por Chadzynski y Krasinski en

[12]. En el arculo [10], se resuelve el caso para n = 3, utilizando derivaciones localmente

nilpotentes mediante las cuales se reformula el problema de extendibilidad, en terminos

del problema del Slice.

La lectura de esta ultima aplicacion y que resuelve un ploblema clasico de algebra, re-

quiere de conocimientos sobre derivaciones localmente nilpotentes definidas en un anillo.

Teniendo en cuenta que en los programas de Matematicas y Licenciatura en Matematicas

no existe una asignatura que estudie esta tematica, pretendemos con este trabajo presen-

tar esta aplicacion imprimiendole una secuencia logica que abarque los requisitos previos,

de tal forma que sea de facil lectura para personas que tengan conocimientos basicos de

algebra conmutativa.

Ademas, la realizacion de este trabajo nos permite conocer problemas abiertos y temas

de investigacion.

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3. Objetivos

3.1. Objetivo general

Estudiar, divulgar y escribir en detalle una aplicacion de las derivaciones localmente nilpo-

tentes mediante la cual se reformula el problema de extendibilidad del problema del Slice.

Esta aplicacion fue publicada por Arno Van den Essen en el artculo Locally nilpotent

derivations and their applications, en la revista JOURNAL OF PURE AND APPLIED

ALGEBRA (1995).

3.2. Objetivos especficos

Escribir en detalle resultados basicos sobre las derivaciones localmente nilpotentes

en dominios enteros, dominios de factorizacion unica y en anillos de polinomios.

Probar que si B es una Q-algebra y D es una derivacion localmente nilpotente defi-

nida en B, con nucleo A y que posee un Slice, entonces B es un anillo de polinomios

con coeficientes en A. Para esto, se estudiaran en detalle resultados basicos referentes

a Slice y Preslice.

Definir el problema de extendibilidad y utilizar las derivaciones Jacobianas para

reformular el problema de extendibilidad en terminos de derivaciones localmente

nilpotentes.

Ilustrar con ejemplos de la tematica desarrollada en la presente monografa.

Resolver los ejercicios planteados en las notas de clase de Daniel Daigle [2], referentes

a las derivaciones, derivaciones localmente nilpotentes, Slices y Preslices.

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4. Metodologa

Con base en la tematica que se pretende abarcar en este proyecto, se proponen 4 etapas

para su desarrollo. En las tres primeras se pretende hacer revision bibliografica y escritos

parciales, los cuales seran presentados al director del proyecto y al comite de seguimiento,

para que realicen las observaciones y/o correcciones pertinentes. Al final de cada etapa se

hara la respectiva divulgacion. Mencionamos a continuacion la tematica a desarrollar en

cada una de estas:

ETAPA 1.

Conceptos y resultados basicos sobre la teora de derivacion en anillos, derivacion en

anillos de polinomios.

ETAPA 2.

Derivaciones Localmente Nilpotentes en dominios enteros y dominios de factorizacion

unica, Slice y Preslice.

ETAPA 3.

El problema de extendibilidad y su reformulacion en terminos de Derivaciones Local mente

Nilpotentes.

Finalmente en la ETAPA 4 se realizara la redaccion y divulgacion del documento final.

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5. Recursos

5.1. Recursos humanos

Director del proyecto: Mg. Maribel del Carmen Daz Noguera.

Responsables del proyecto: Amelia Elizabeth Cordoba Garca,

Reynaldo Manzano Calvache.

5.2. Recursos materiales

Biblioteca de la Universidad Del Cauca.

Biblioteca del Departamento de Matematicas.

Salas de computo de la Universidad del Cauca.

Papelera.

Computador personal.

Servicio de internet de la Universidad del Cauca y del estudiante responsable del proyecto.

5.3. Recursos economicos

Presupuesto personal del responsable de la propuesta de trabajo.

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6. Cronograma de actividades

Tiempo requerido en meses para el desarrollo de las actividades.

ACTIVIDAD TIEMPO EN MESES

I II III IV V VI

Revision Bibliografica 1a exposicion Estudo resultados basicos sobre derivaciones 2a exposicion Estudio de resultados basicos de las L.N.D y Problema de Extendibilidad 3a exposicion Elaboracion del documento final

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7. Presupuesto

La financiacion del proyecto estara bajo la responsabilidad de los estudiantes que presen-

tan este plan de trabajo. La Universidad del Cauca colaborara con la planta fsica, equipos

disponibles y demas recursos presupuestados para la realizacion de trabajos de grado. En

particular, el Departamento de Matematicas asignara el tiempo necesario para la asesora

por parte del Director. A continuacion se detalla el costo aproximado del trabajo.

MATERIALES A CARGO DE CANTIDAD V/UNIT. V/TOTAL

(1 mes)

Servicio de Internet Responsables del trabajo 6 meses 44.000 264.000

Resmas de papel Responsables del trabajo 3 10.000 30.000

Cartuchos

impresora Responsables del trabajo 1 100.000 100.000

Marcadores Responsables del trabajo 2 3.000 6.000

Computador personal Responsables del trabajo 1 1.250.000 1.250.000

Fotocopias Responsables del trabajo 300 50 15.000

Varios Responsables del trabajo Ilimitada 100.000

TOTAL 1.765.000

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8. Bibliografa

Referencias

[1] Daigle, D. Locally nilpotent derivations, lecture notes for sep-

tember School of algebraic geometry, Lukecin, Poland, Sep-

tember 2003. Available at http://aixi.otttawa.ca/ddaigle, or

http://www.minuw.edu.pl/jarekw/EAGER/lukencin03.html

[2] Daigle,D. Introduction to locally nilpotent derivations, Lecture notes, 2010.

[3] Fraleigh, John B. , Algebra Abstracta . Addison-Weslwy Iberoamericana, 1987

[4] Freudenburg, G. Counterexaple to Hilberts Fourteenth Problem in Dimension Six ,

Transform. Group 5 2000. pp. 69-71.

[5] Hungerford, Tomas W. Algebra. Springer, 1974.

[6] Kunz, Ernest. Introduction to Conmutative Algebra and Algebraic Geometry. Birkau-

ses Boston, 1985.

[7] Macdnald I.G, Atiyah M.F. Introduccion al algebra conmutativa . Editorial Reverte,

S.A. XCMLXXIII.

[8] Nowicki, Andrzej. Polynomial Derivations and Their Rings of Constants. Torun.

[9] Pierre Samuel, Oscar Zariski. Conmutative Algebra. Vol.1. Springer, 1985.

[10] Van den Essen, Arno. Locally Nipotent derivations and their Applications, III. Jour-

nal of Pure and applied Algebra 98,1995 pp.15-23

[11] Van Den Essen, Arno. Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture Pro-

gress in Mathematics, Birkhauser, 2000.

[12] J. Chadzynski and T. Krasinski, On the Lojasiewicz exponent at infinite for poly-

nomial mappings from C2 into C2 y components of polynomial automorphisms of C2,

preprint (1992).

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PresentacinJustificacinObjetivosObjetivo generalObjetivos especficos

MetodologaRecursosRecursos humanosRecursos materialesRecursos econmicos

Cronograma de actividadesPresupuestoBibliografa