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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS. SEVILLA

Análisis del comportamiento en fractura de elementos de hormigón

armado mediante X-FEM Proyecto Fin de Carrera

Autor: Ignacio Carranza Guisado

Tutores: Dr. Héctor Cifuentes Bulté

Dr. Fernando Medina Encina

Sevilla, Julio de 2014

Análisis del comportamiento en fractura de elementos

de hormigón armado mediante X-FEM

Autor: Ignacio Carranza Guisado

Tutores: Dr. Héctor Cifuentes Bulté

Dr. Fernando Medina Encina

Proyecto de Fin de Carrera entregado al Departamento de Mecánica de

los Medios Continuos y Teoría de Estructuras como requerimiento para la

obtención del

TÍTULO SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL PLAN 98

Escuela Técnica Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Camino de los Descubrimientos s/n

41092 Sevilla, España

Julio de 2014

“El precio del éxito es el trabajo duro, la dedicación para el

trabajo inmediato y la determinación de que ya sea que se gane

o se pierda, se ha dado lo mejor de uno mismo en la tarea

realizada. El único lugar donde el éxito aparece antes que el

trabajo es el diccionario”.

-Vince Lombardi

Agradecimientos.

No son pocas las personas que merecen una mención especial en este proyecto, por

haber contribuido, de alguna u otra forma, a la elaboración y consecución del mismo,

finalizando así mis estudios como Ingeniero Industrial.

En primer lugar agradecer a mis padres la educación que me han proporcionado desde

la infancia, formándome en los valores del esfuerzo y el trabajo duro diario, así como

en la responsabilidad que conllevan nuestros actos y decisiones. Gracias a ellos he

tenido la oportunidad de formarme como Ingeniero en las mejores condiciones

posibles y han servido como un apoyo incondicional, nunca dejándome desfallecer

durante estos años.

A mi hermano Miguel, reflejo de todos los valores que una persona debe tener. Él es el

espejo en el que uno debe mirarse para progresar día tras día. Ha sido mi primera

referencia como Ingeniero y como individuo, y ha demostrado que, si luchas por ello,

los sueños se pueden alcanzar, por muy difíciles o improbables que éstos puedan

parecer.

A mis “hermanos”, por su apoyo constante en los buenos y en los malos momentos, así

como por sus consejos en cualquier ámbito de la vida.

Al Dr. D. Héctor Cifuentes Bulté y al Dr. D. Fernando Medina Encina, por haber

contribuido a mi iniciación en la investigación y haber depositado en mí su confianza

para la elaboración de este proyecto basado en recientes técnicas de análisis

numérico.

Finalmente, no puedo dejar escapar la ocasión de agradecer profundamente a amigos

y compañeros de fatigas que han vivido conmigo estos último años, los cuales han

constituido un pilar fundamental, tanto en el plano personal como en el de estudiante.

Del mismo modo, mostrar mi gratitud a todos aquellos que no creyeron en mí, pues su

falta de confianza hacia mi persona no ha hecho más que servir como fuente de

motivación.

A todos ellos, muchas gracias.

I

Resumen.

El objetivo del presente proyecto es la modelización de la mecánica de la fractura de

un material cuasi-frágil, como es el hormigón, mediante el nuevo método conocido

como X-FEM (Método de los Elementos Finitos Extendido). De esta manera, se

pretende verificar si es posible o no aplicar dicha técnica para el estudio de estructuras

compuestas por elementos de este tipo de material.

El X-FEM consiste en una modificación del tradicional Método de los Elementos Finitos,

incluyendo variaciones que permiten modelar discontinuidades (grietas) sin necesidad

de volver a mallar. Ello se consigue mediante un enriquecimiento de la malla

añadiendo grados de libertad en los nodos de los elementos que se encuentran

intersectados por la fisura en cuestión. Esto permite representar la propagación de las

grietas de manera visual, haciendo más sencilla la interpretación de los resultados,

traduciéndose este hecho en una ventaja novedosa frente a otros modelos. Conviene

destacar que en la actualidad solamente existe un único programa de cálculo que

tenga implementado X-FEM, el software Dassault Systemes Simulia Abaqus, el cual ha

sido utilizado a lo largo de toda la investigación.

Para llevar a cabo la comprobación de la validez de este método aplicado al hormigón,

el trabajo aquí expuesto ha pretendido estudiar varios casos, ordenados de menor a

mayor complejidad. De esta forma, en primer lugar se ha estudiado una viga entallada

de hormigón en masa sometida a una carga en su sección central, de manera que se

está obligando a la misma a romper por dicha entalla. En otras palabras, se conoce a

priori el modo de rotura de la estructura. A continuación se ha realizado un análisis

similar para una viga reforzada con barras de acero, en este caso sometida a flexión en

cuatro puntos, con el fin de comprobar si X-FEM es capaz de realizar análisis numéricos

que resulten de mayor utilidad para el mundo real.

Para añadir veracidad a las simulaciones, se han comparado los resultados obtenidos,

mediante el correspondiente software de cálculo, con datos experimentales y con el

conocido como modelo de daño plástico del hormigón.

Todo esto ha permitido establecer que, efectivamente, X-FEM puede aplicarse a este

tipo de materiales, arrojando resultados verosímiles y ajustados a lo que la experiencia

ha determinado mediante ensayos. Además, se han extraído interesantes conclusiones

acerca de ventajas e inconvenientes que presenta el Método de los Elementos Finitos

Extendido frente a otros modelos en cuanto a precisión de resultados en comparación

con la realidad, y en lo referente a ahorro computacional

II

Índice Resumen. ........................................................................................................................... I

Capítulo 1: Conceptos Previos .......................................................................................... 1

1. Comportamiento del hormigón. ............................................................................... 2

2. Propiedades de fractura del hormigón. .................................................................... 4

3. Mecánica de la fractura del hormigón con MEF. ...................................................... 4

4. Método de los Elementos Finitos Extendido. ........................................................... 5

4.1. Introducción. ...................................................................................................... 5

4.2. Funciones de enriquecimiento. .......................................................................... 6

5. Uso del software Abaqus. ....................................................................................... 10

6. Modelo de daño plástico en el hormigón. .............................................................. 11

6.1. Introducción. .................................................................................................... 11

6.2. Relaciones tensión-deformación. .................................................................... 11

6.3. Función de fallo. ............................................................................................... 13

6.4. Curvas de comportamiento del hormigón. ...................................................... 14

Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos ................................................................ 17

1. Introducción. ........................................................................................................... 18

2. Datos de partida. ..................................................................................................... 18

3. Implementación de los modelos. ............................................................................ 20

3.1. Modelo de daño plástico. ................................................................................. 20

3.2. Método de los Elementos Finitos Extendido. .................................................. 31

3.3. Combinación de modelo de daño plástico y X-FEM......................................... 38

4. Resultados. .............................................................................................................. 41

4.1. Curvas experimentales. .................................................................................... 41

4.2. Resultados obtenidos mediante el modelo CDP. ............................................. 43

4.3. Resultados obtenidos mediante X-FEM. .......................................................... 46

4.4. Resultados de la aplicación conjunta de CDP y X-FEM. ................................... 50

Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos ............................................................ 56

1. Introducción. ........................................................................................................... 57

2. Datos de partida. ..................................................................................................... 57

3. Modelos. ................................................................................................................. 59

3.1. Modelo de daño plástico. ................................................................................. 59

III

3.2. Método de los Elementos Finitos Extendido. .................................................. 63

4. Resultados. .............................................................................................................. 69

4.1. Curvas experimentales. .................................................................................... 69

4.2. Resultados obtenidos mediante el modelo CDP. ............................................. 71

4.3. Resultados obtenidos mediante X-FEM. .......................................................... 73

Capítulo 4: Análisis de sensibilidad ................................................................................ 77

1. Introducción. ........................................................................................................... 78

2. Datos de partida. ..................................................................................................... 78

3. Casos. ...................................................................................................................... 80

4. Cálculo teórico. ....................................................................................................... 80

5. Resultados. .............................................................................................................. 82

5.1. Carga de plastificación de la armadura teórica. ............................................... 82

5.2. Curvas carga-desplazamiento. ......................................................................... 82

5.3. Patrón de fisuras. ............................................................................................. 85

5.4. Análisis de sensibilidad. .................................................................................... 88

Capítulo 5: Conclusiones ................................................................................................ 90

Bibliografía ...................................................................................................................... 93

Referencias.................................................................................................................. 94

Índice de figuras Figura 1. Comportamiento del hormigón a tracción ........................................................ 3

Figura 2. Comportamiento material frágil ....................................................................... 3

Figura 3. Comportamiento material dúctil ....................................................................... 3

Figura 4. Nodos enriquecidos ........................................................................................... 6

Figura 5. Nodos enriquecidos con la función de Heaviside .............................................. 7

Figura 6. Vectores tangenciales y normales ..................................................................... 8

Figura 7. Discretización de una grieta interior ................................................................. 9

Figura 8. Superficies de fallo del hormigón en tensión plana ......................................... 14

Figura 9. Comportamiento del hormigón a compresión ................................................ 15

Figura 10. Comportamiento del hormigón a tracción .................................................... 15

Figura 11. Viga entallada ............................................................................................... 18

IV

Figura 12. Modificaciones de la geometría para Abaqus ............................................... 19

Figura 13. Assembly ........................................................................................................ 22

Figura 14. Geometría ensamblada en Abaqus (CDP) ..................................................... 22

Figura 15. Detalle de la partición manual ...................................................................... 23

Figura 16. Step: información básica ............................................................................... 24

Figura 17. Step: información del incremento ................................................................. 25

Figura 18. Step-1. Especificaciones 1 .............................................................................. 26

Figura 19. Step-1. Especificaciones 2 .............................................................................. 27

Figura 20. Mallado (CDP) ................................................................................................ 28

Figura 21. Detalle mallado (CDP) ................................................................................... 28

Figura 22. Sets de nodos ................................................................................................. 29

Figura 23. Equation (Constraint) .................................................................................... 30

Figura 24. Geometría ensamblada en Abaqus (X-FEM) ................................................. 32

Figura 25. Edición Field-Output ...................................................................................... 33

Figura 26. Cuadro de diálogo Crack Edition ................................................................... 34

Figura 27. Create Interaction .......................................................................................... 34

Figura 28. Cuadro de diálogo "Create Interaction" (I) .................................................... 35

Figura 29. Cuadro de diálogo "Create Interaction" (II) ................................................... 35

Figura 30. Mallado (XFEM) ............................................................................................. 36

Figura 31. Detalle del mallado (XFEM) ........................................................................... 36

Figura 32. Extracto de "Extended finite element method for cohesive crack growth".

Moës & Belytschko ......................................................................................................... 37

Figura 33. Modelo completo con interacciones definidas (X-FEM) ................................ 38

Figura 34. Edición de propiedades (CDP+XFEM) ............................................................ 40

Figura 35. Ensayo experimental 1 (viga entallada) ........................................................ 41

Figura 36. Ensayo experimental 2 (viga entallada) ........................................................ 42

Figura 37. Ajuste numérico (viga entallada) .................................................................. 42

Figura 38. Curva P- (CDP Gf=145N/m).......................................................................... 43

Figura 39. Curvas numéricas P- para distintas Gf (CDP) .............................................. 44

Figura 40. Curva P- (CDP Gf=80N/m)............................................................................ 44

Figura 41. Patrón de fisuras viga entallada (CDP) .......................................................... 45

Figura 42. Detalle del patrón de fisuras viga entallada (CDP) ....................................... 45

V

Figura 43. Curva P- (X-FEM Gf=145N/m) ...................................................................... 46

Figura 44. Curvas numéricas P- para distintas Gf (X-FEM) ........................................... 47

Figura 45. Curva P-d (X-FEM Gf=110N/m)...................................................................... 47

Figura 46. Patrón de fisuras viga entallada (X-FEM) ...................................................... 48

Figura 47.Influencia del mallado y Gf (I) ........................................................................ 49

Figura 48. Influencia del mallado y Gf (II)....................................................................... 49

Figura 49. Job-1. Referencia (CDP+XFEM) ...................................................................... 50

Figura 50. Job-2 (CDP+XFEM) ......................................................................................... 51




Figura 54. Patrón de fisuras Job-1 (CDP+XFEM) ............................................................. 53





Figura 59. Geometría viga armada ................................................................................ 57

Figura 60. Sección viga armada...................................................................................... 57

Figura 61. Geometría modificada en Abaqus ................................................................. 58

Figura 62. Creación sección armadura ........................................................................... 60

Figura 63. Geometría ensamblada en Abaqus (viga armada CDP) ................................ 61

Figura 64. Creación de región embebida ........................................................................ 61

Figura 65. Mallado (viga armada CDP) .......................................................................... 62

Figura 66. Cargas y condiciones de contorno (viga armada CDP) .................................. 63

Figura 67. Cuadro de diálogo de propiedades del hormigón (viga armada) ................. 64

Figura 68. Geometría ensamblada en Abaqus (viga armada X-FEM) ............................ 65

Figura 69. Step: información del incremento (Static, Riks) ............................................ 66

Figura 70. Selección de regiones X-FEM ......................................................................... 67

Figura 71. Mallado (viga armada X-FEM) ...................................................................... 68

Figura 72. Detalle del mallado (viga armada X-FEM) .................................................... 68

Figura 73. Cargas y condiciones de contorno (viga armada X-FEM) .............................. 69

Figura 74. Ensayo experimental 1 (viga armada)........................................................... 69

VI



Figura 77. Ajuste numérico (viga armada) ..................................................................... 71

Figura 78. Curva P- (Job-1 viga armada CDP) ............................................................... 71

Figura 79. Curva P- (Job-2 viga armada CDP) ............................................................... 72

Figura 80. Patrón de fisuras (viga armada CDP) ............................................................ 73

Figura 81. Detalle patrón de fisruas (viga armada CDP) ................................................ 73

Figura 82. Curva P- (Job-1 viga armada X-FEM) ........................................................... 73

Figura 83. Curva P-d (Job-2 viga armada) ...................................................................... 74

Figura 84. Modos de rotura (Jiménez Montoya) ............................................................ 75

Figura 85. Patrón de fisuras (Job-1 viga armada) .......................................................... 75

Figura 86. Detalle STATUSXFEM (Job-1 viga armada) .................................................... 75

Figura 87. Patrón de fisuras (Job-2 viga armada) .......................................................... 75

Figura 88. Detalle STATUSXFEM (Job-2 viga armada) .................................................... 76

Figura 89. Geometría de la viga armada (II) .................................................................. 78

Figura 90. Sección de la viga armada (II) ....................................................................... 78

Figura 91. Geometría modificada en Abaqus (viga armada (II)) .................................... 79

Figura 92. Curva P- (caso 1) .......................................................................................... 83




Figura 96. Curvas P- (todos los casos) .......................................................................... 85

Figura 97. Patrón de fisuras (caso 1) .............................................................................. 85

Figura 98. Detalle STATUSXFEM (caso 1) ....................................................................... 86

Figura 99. Patrón de fisuras (caso 2) .............................................................................. 86

Figura 100. Detalle STATUSXFEM (caso 2) ..................................................................... 86

Figura 101. Patrón de fisuras (caso 3) ............................................................................ 87


Figura 103. Patrón de fisuras (caso 4) ............................................................................ 87


Figura 105. Influencia de Gf y armadura ........................................................................ 88

VII

Figura 106. Influencia del límite elástico ........................................................................ 89

Índice de ecuaciones Ecuación I .......................................................................................................................... 6

Ecuación II ......................................................................................................................... 8

Ecuación III ........................................................................................................................ 9

Ecuación IV ...................................................................................................................... 10

Ecuación V ....................................................................................................................... 11

Ecuación VI ...................................................................................................................... 11

Ecuación VII ..................................................................................................................... 12

Ecuación VIII.................................................................................................................... 12

Ecuación IX ...................................................................................................................... 12

Ecuación X ....................................................................................................................... 12

Ecuación XI ...................................................................................................................... 13

Ecuación XII ..................................................................................................................... 13

Ecuación XIII .................................................................................................................... 13

Ecuación XIV ................................................................................................................... 13

Ecuación XV .................................................................................................................... 13

Ecuación XVI ................................................................................................................... 16

Ecuación XVII .................................................................................................................. 16

Ecuación XVIII ................................................................................................................. 16

Ecuación XIX .................................................................................................................... 16

Ecuación XX ..................................................................................................................... 16

Ecuación XXI .................................................................................................................... 16

Ecuación XXII ................................................................................................................... 19

Ecuación XXIII .................................................................................................................. 20

Ecuación XXIV ................................................................................................................. 20

Ecuación XXV .................................................................................................................. 80

Ecuación XXVI ................................................................................................................. 81

Ecuación XXVII ................................................................................................................ 81

Ecuación XXVIII ............................................................................................................... 81

Ecuación XXIX .................................................................................................................. 81

VIII

Ecuación XXX ................................................................................................................... 81

Ecuación XXXI .................................................................................................................. 82

Índice de tablas Tabla 1. Elastic (hormigón) ............................................................................................. 20

Tabla 2. Plasticity (CDP) .................................................................................................. 20

Tabla 3. Compressive Behavior (CDP) ............................................................................. 20

Tabla 4. Tensile Behavior (CDP) ...................................................................................... 21

Tabla 5. Elastic (acero) ................................................................................................... 21

Tabla 6. Plastic (acero) ................................................................................................... 21

Tabla 7. Condiciones de contorno y carga (CDP) ............................................................ 31

Tabla 8. Elastic (hormigón) ............................................................................................. 31

Tabla 9. Maxps Damage ................................................................................................. 31

Tabla 10. Elastic (acero) ................................................................................................. 32

Tabla 11. Plastic (acero) ................................................................................................. 32

Tabla 12. Condiciones de contorno y carga (X-FEM) ...................................................... 38

Tabla 13. Elastic (hormigón) ........................................................................................... 39

Tabla 14. Plasticity (CDP) ................................................................................................ 39

Tabla 15. Compressive Behavior (CDP) ........................................................................... 39

Tabla 16. Tensile Behavior (CDP) .................................................................................... 39

Tabla 17. Maxps Damage ............................................................................................... 39

Tabla 18. Casos CDP+XFEM ............................................................................................ 40

Tabla 19. Elastic (hormigón viga armada CDP) .............................................................. 59

Tabla 20. Plasticity (hormigón viga armada CDP) .......................................................... 59

Tabla 21. Compressive Behavior (hormigón viga armada CDP) ..................................... 59

Tabla 22. Tensile Behavior (hormigón viga armadaCDP) ............................................... 59

Tabla 23. Density (hormigón viga armada CDP) ............................................................ 59

Tabla 24. Elastic (B-500S) ............................................................................................... 60

Tabla 25. Plastic (B-500S) ............................................................................................... 60

Tabla 26. Condiciones de contorno y cargas (viga armada CDP) ................................... 62

Tabla 27. Elastic (hormigón viga armada X-FEM) .......................................................... 63

Tabla 28. Maxps Damage (hormigón viga armada X-FEM) ........................................... 63

IX

Tabla 29. Plastic (hormigón viga armada X-FEM) .......................................................... 63

Tabla 30. Density (hormigón viga armada X-FEM) ........................................................ 63

Tabla 31. Elastic (B-500S) ............................................................................................... 64

Tabla 32. Plastic (B-500S) ............................................................................................... 65

Tabla 33. Condiciones de contorno y cargas (viga armada X-FEM) ............................... 68

Tabla 34. Casos estudiados para análisis de sensibilidad (viga armada)....................... 80

Tabla 35. Resultados teóricos ......................................................................................... 82

1

Capítulo 1:

Conceptos Previos

Capítulo 1: Conceptos previos

2

1. Comportamiento del hormigón.

El hormigón es un material cuyo uso está ampliamente extendido en el mundo

estructural que presenta un comportamiento cuasi-frágil y escasa resistencia a

tracción, lo que implica que normalmente se encuentre fisurado, aunque dichas grietas

no sean apreciables a simple vista. Gran parte de los códigos técnicos referidos a

estructuras establecen unos límites para evaluar la aceptación o no de la fisuración del

hormigón, sin entrar en más detalles sobre este defecto. Es cierto que la adición de

armaduras en el hormigón añade resistencia a tracción y evita la propagación de las

fisuras hasta que el acero plastifique, pero ello no quiere decir que no exista una

evidente preocupación por este fenómeno de fisuración del material estudiado. Es por

ello que en las últimas décadas diversos autores como Maurice F. Kaplan o Scordelis

hayan llevado a cabo investigaciones sobre la mecánica de la fractura de aplicación al

hormigón. De hecho en el “ACI Committe 446. Fracture Mechanics of Concrete:

Concepts, Models and Determination of Materials Properties. American Concrete

Institute” se exponen cinco razones para justificar la inclusión del estudio de la

mecánica de la fractura en este material:

1. No sólo es suficiente con especificar cómo se inicia una fisura, sino que es

necesario conocer cómo se propagará. El crecimiento de grieta requiere el

consumo de una cierta cantidad de energía, la cual recibe el nombre de energía

de fractura. Además, la propagación de fisuras sólo puede ser estudiada a

través de un criterio energético.

2. Los cálculos deben ser objetivos.

3. Ausencia de plastificación, lo que quiere decir que durante el ablandamiento

del material, la zona de fallo se propaga a través de la estructura.

4. El área encerrada por la curva P-δ determina la cantidad de energía consumida

durante el proceso de ruptura. Esta energía indica la ductilidad de la estructura

y un análisis de un estado límite no puede dar información sobre esto, ya que el

comportamiento post-pico no es tenido en cuenta.

5. La mecánica de la fractura puede oponerse a criterios de fuerza para predecir la

influencia del tamaño sobre la carga de rotura y la ductilidad.

Como se ha expresado previamente, se trata de un material con una resistencia a

tracción reducida (en torno al 10% de la resistencia a compresión), siendo despreciada

en los cálculos de la mayoría de normativas. Si se representa la curva carga-

desplazamiento (P-δ) mediante el correspondiente ensayo de una barra de hormigón

en masa bajo solicitación de tracción pura, se obtiene una gráfica similar a la siguiente

figura:


3

Figura 1. Comportamiento del hormigón a tracción

Si el material fuese frágil, una vez alcanzada la carga máxima, se observaría una caída

instantánea de la curva:

Figura 2. Comportamiento material frágil

Si por el contrario se tratase de un material dúctil, se produciría una plastificación tras

alcanzar la carga máxima:

Figura 3. Comportamiento material dúctil


4

Se comprueba que el hormigón presenta un comportamiento intermedio entre los dos

anteriores, de ahí que suela recibir la denominación de material cuasi-frágil. El

comportamiento que presenta tras la carga máxima es debido a la aparición y

propagación de grietas, originándose previamente a la ruptura una zona llamada zona

de proceso de fractura (ZPF), la cual está estrechamente asociada a factores del

material tales como el tamaño y tipo de áridos. En esta zona suelen producirse unas

fisuras iniciales que son capaces de transmitir tracciones entre ellas hasta un cierto

límite a partir del cual éstas interconectan entre sí dando lugar a una macrogrieta

incapaz de transmitir ninguna fuerza cohesiva.

2. Propiedades de fractura del hormigón.

Se denominan propiedades de fractura aquellas que permiten la definición del

comportamiento en tracción del hormigón. De entre todas ellas tienen una mayor

relevancia:

Energía de fractura (GF): representa el área encerrada por la curva de

comportamiento en tracción en su totalidad.

Resistencia a tracción (fct): representa el valor máximo admisible a tracción

para el material y establece el inicio de la aparición de fisuras y, por tanto, de la

ZPF.

Módulo de deformación longitudinal (EC): define el comportamiento del

material previo a alcanzar el valor máximo de la carga.

Longitud característica (lch): introducido por Hillerborg (1976). Permite un

análisis comparativo entre los distintos hormigones evitando la dificultad que

entraña la determinación de la longitud de la ZPF. Del mismo modo, se

encuentra relacionado con la forma de la curva P-δ.

Fragilidad: permite cuantificar el comportamiento dúctil-frágil. Uno de los más

empleados es el de Hillerborg: βH=D/lch.

3. Mecánica de la fractura del hormigón con MEF.

Desde que se comenzó a aplicar la mecánica de la fractura al hormigón, se han

desarrollado diversos modelos numéricos que permiten predecir y simular la fisuración

del material. Se suelen clasificar en tres tipos: modelo de grieta discreta [Hillerborg

(1976)], modelo de fisuración continua y modelo de grieta elástica equivalente.

Dentro de los modelos de fisuración continua se pueden distinguir:

Modelo de la banda fisurada [Bazant (1983)].


5

Modelos de fisuración difusa, basados en el anterior para un estado de

tensiones multiaxial.

Del mismo modo, se puede hacer una distinción dentro de los modelos de grieta

elástica equivalente:

Modelo de los dos parámetros de Jenq and Shah (1985).

Modelo de la grieta efectiva [Nallathambi and Karihaloo (1986)].

Conviene destacar que asimismo existen otros modelos tales como los basados en la

mecánica del daño en medios continuos, modelos de redes y partículas o modelos

multiescala, entre otros.

Todos estos modelos deben ser resueltos numéricamente, siendo uno de los métodos

más empleados el de los elementos finitos (MEF). En él, el dominio es discretizado en

elementos de menor tamaño de manera que se consiguen resultados según la ley de

comportamiento en una serie de puntos de cada elemento y extrapolados a todo el

dominio mediante unas funciones de forma.

Sin embargo, en los últimos años se ha desarrollado un nuevo método que

complementa al MEF y permite estudiar la propagación de grietas en elementos. Dicho

método es conocido como el “Método de los Elementos Finitos Extendido” (X-FEM).

4. Método de los Elementos Finitos Extendido.

4.1. Introducción.

El modelar discontinuidades en movimiento con el MEF presenta dificultades debido a

la necesidad de volver a mallar para ajustar la geometría de la discontinuidad. Esta

problemática se ve resuelta por el Método de los Elementos Finitos Extendido

propuesto por Belytschko y Black (1999); Moës et al (1999), en el que sólo se emplea

una única malla. Ésta se extiende al dominio geométrico, que se supone sin grieta, y no

tiene por qué ser demasiado refinada. El método trata a la grieta como una entidad

geométrica independiente y considera su interacción con la malla mediante funciones

de enriquecimiento de la aproximación asociada a los nodos de elementos

intersectados por la ubicación geométrica de la grieta. Lo que proponen los citados

autores es el enriquecimiento de la malla mediante la incorporación de grados de

libertad en los nodos de los elementos que se encuentran intersectados por la grieta.

De esta forma, se consigue que estos nodos puedan representar la discontinuidad y

mejorar la representación de la singularidad en el extremo de la fractura.


6

4.2. Funciones de enriquecimiento.

En un principio, para representar las grietas de forma independiente de la malla,

Belytschko y Black (1999) enriquecieron la aproximación de los desplazamientos de los

nodos alrededor del extremo y a lo largo de las caras de la grieta con unas funciones

que aumentan los grados de libertad de estos nodos.

En la siguiente figura se muestra en rojo la grieta, en círculos negros los nodos

convencionales y en cuadrados azules los nodos enriquecidos con las funciones de

extremo de grieta:

Figura 4. Nodos enriquecidos

La solución aproximada de elementos finitos es la siguiente:

( ) ∑ ( ) ∑[ ( )∑ ( )

]

Ecuación I

Donde es el conjunto de todos los nodos de la malla y es el subconjunto formado

por los nodos enriquecidos con funciones Fl(x). El eje x está alineado con las caras de

grieta, φ(x) son las funciones de forma convencionales, bil son los grados de libertad

añadidos a los nodos y Fl(x) son las funciones tipo extremo de la grieta. Estas funciones


7

proceden de la representación del campo asintótico de desplazamientos de extremo

de grieta de la Mecánica de la fractura Elástica Lineal (MFEL) y vienen dadas por:

( ) {√ (

) √ (

) √ (

) ( ) √ (

) ( ) }

Para grietas de mayor tamaño u otra orientación, es decir, no rectilíneas, la

representación mediante las funciones de extremo de grieta resulta imprecisa en los

elementos lejanos. Moës et al (1999) plantearon una manera complementaria para el

enriquecimiento, donde el extremo de grieta es enriquecido de forma análoga al caso

descrito anteriormente. Del mismo modo introdujeron una forma más apropiada para

representar la discontinuidad en los elementos que están intersectados a lo largo de la

grieta y que no están cerca del extremo. Los nodos de estos elementos se enriquecen

con la función de salto de Heaviside, H(x):

( ) { ( ) ( )

En la siguiente figura se representa de nuevo la grieta en rojo, los nodos

convencionales como círculos negros, los enriquecidos con las funciones de extremo

de grieta mediante cuadrados azules, y los nodos enriquecidos con la función de

Heaviside mediante círculos verdes:

Figura 5. Nodos enriquecidos con la función de Heaviside


8

En la figura 6, dado un punto x del dominio, se toma x* como el punto más cercano

sobre la grieta. En x*, se construyen los vectores tangenciales y normales a la grieta

curva, es y en respectivamente, con la orientación en tomada de manera que es·en=ez,

donde el vector unitario ez apunta hacia fuera del papel. En el caso de una grieta

poligonal donde no existe una única normal y hay dos posibles distancias a cada uno

de los segmentos de grieta, se define un cono de normales en el punto x*. En este

caso, H(x)=1 si (x-x*) pertenece al cono de normales, y -1 en caso contrario.

Figura 6. Vectores tangenciales y normales

De manera general, la aproximación de elementos finitos extendida para una grieta en

el caso bidimensional queda:

( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )

∑[ ( )∑ ( )

]

Ecuación II

donde es el conjunto de nodos que se enriquecen con la función de discontinuidad

H(x) para elementos divididos por la grieta.

Por tanto, en un problema bidimensional, un nodo convencional tiene dos grados de

libertad, uno enriquecido con la función de Heaviside tiene cuatro y un nodo

enriquecido con la función de extremo de grieta cuenta con diez grados de libertad.

En Moës et al (1999) se indica el enriquecimiento de los nodos en una discretización

con una grieta interior. Se enriquecen con funciones representativas del campo de

desplazamientos en extremo de grieta los nodos marcados con círculos y con

funciones de discontinuidad los marcados con cuadrados.


9

Figura 7. Discretización de una grieta interior

La aproximación de elementos finitos extendida para una grieta interior en el caso

bidimensional queda:

( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )

∑ [ ( )∑ ( )

]

∑ [ ( )∑ ( )

]

Ecuación III

donde y son los conjuntos de nodos a enriquecer con las funciones de extremo

de grietas correspondientes. Esta formulación de enriquecimiento local es un caso

específico del Método de la Partición de la Unidad [Melenk y Babuska (1996)].

El método retiene la mayoría de las ventajas que caracterizan a la formulación habitual

del MEF, con las modificaciones apropiadas para la integración numérica (en concreto,

subdivisión de los elementos intersectados por la grieta). Es de especial utilidad en el

análisis de propagación de grieta, al evitar el problema del remallado ofreciendo

buenos resultados. En Sukumar et al (2000) se presenta la extensión de método a 3D.

El planteamiento permite el análisis de otros tipos de comportamiento no isótropo así

como problemas no lineales.

De la ecuación (2) queda claro que el desplazamiento físico de un nodo enriquecido i,

está dado por los grados de libertad estándar más la contribución enriquecida H(xi)ai

y/o Fl(xi)bil. Esto implica que los grados de libertad estándar ui no corresponden al

desplazamiento verdadero calculado por X-FEM.


10

Zi y Belytschko (2003) y Ventura et al (2003) implementaron una variante llamada

formulación “shifted” para que el grado de libertad ui calculado con X-FEM sea la

solución física del desplazamiento nodal. Con esta formulación los grados de libertad

ai, bil se anulan en todos los nodos de coordenadas xi, y así no contribuyen en el valor

del desplazamiento físico del nodo enriquecido i. Esta formulación ha sido utilizada en

Giner et al (2008).

( ) ∑ ( ) ∑ ( )[ ( ) ( )]

∑[ ( )∑[ ( ) ( )]

]

Ecuación IV

Por otro lado hay que destacar un inconveniente del X-FEM. Este método se engloba

dentro del modelo de grieta discreta, el cual sólo representa las grietas dominantes, no

reflejando las microgrietas que se producen en materiales heterogéneos como el

hormigón.

5. Uso del software Abaqus.

Para llevar a cabo los propósitos de este proyecto, se empleará el software Dassault

Systemes Simulia Abaqus. Se trata de un programa informático que emplea el Método

de los Elementos Finitos para resolver problemas de ingeniería, desde análisis lineales

a complejos no lineales. Cuenta con numerosas librerías que permiten diseñar todo

tipo de geometrías y simular materiales mediante la introducción de parámetros

característicos de cada uno de ellos. Cabe destacar que en sus últimas versiones

incluye el Método de los Elementos Finitos Extendido, de ahí que se vaya a recurrir a

este software.

Resulta de especial utilidad, ya que se ha comprobado que se puede ahorrar tiempo y

materiales de ensayo en laboratorio al poder llevar a cabo simulaciones con extremada

exactitud. Es precisamente por esto por lo que se intenta en este proyecto modelar

elementos de hormigón armado mediante X-FEM empleando dicha aplicación

informática, ya que se trata de comprobar si es posible obtener resultados realistas de

la mecánica de la fractura de dicho material.

Del mismo modo, conviene destacar que debido a que las fisuras en el hormigón son

cohesivas, se utilizará el X-FEM comparándolo con el modelo de daño plástico


11

[Concrete Damaged Plasticity (CDP)] que incluye Abaqus, y que se describe en el

apartado 6 de este capítulo.

6. Modelo de daño plástico en el hormigón.

6.1. Introducción.

El denominado “Concrete Damaged Plasticity” (CDP) es un modelo incorporado en el

programa informático Abaqus que permite emplear dicho software para el análisis de

casos de cargas cíclicas. No obstante, también resulta de gran utilidad para cargas

monotónicas al ser el único que permite modelar los efectos irreversibles del daño

originado. Está diseñado para cargas no demasiado grandes, de hecho entre cuatro y

cinco veces menor que la carga última a compresión uniaxial que resiste el hormigón.

Para cargas de este tipo el comportamiento que sufre el hormigón es frágil,

fisurándose cuando se ve sometido a tracción y sufriendo aplastamiento a compresión.

El CDP se fundamenta en el daño irreversible que provocan estos dos mecanismos de

fallo del material.

6.2. Relaciones tensión-deformación.

La deformación total se descompone en una parte elástica y en otra plástica como se

expresa en la siguiente ecuación:

Ecuación V

Las relaciones tensión-deformación se encuentran gobernadas por la siguiente

expresión:

( ) ( ) ( )

Ecuación VI

donde:

: rigidez elástica inicial del hormigón (sin daño).

: rigidez elástica del hormigón degradada.

: variable de degradación escalar.

La variable d puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1. En un punto material con

d=0, el hormigón se encuentra sin daño alguno, d=1 corresponde a un daño completo


12

del mismo, y un valor intermedio representa una deformación plástica irreversible. El

colapso del hormigón está además asociado a la degradación de la rigidez elástica. En

este sentido, la teoría expone que dicha degradación es isotrópica y se emplea un

único parámetro para su descripción: d. La tensión efectiva en un punto material se

define como:

( )

Ecuación VII

La tensión de Cauchy se relaciona con la efectiva a través de la variable d del siguiente

modo:

( )

Ecuación VIII

En ausencia de daño, la tensión efectiva en la ecuación (VII) es igual a la de Cauchy. Sin

embargo, para valores d≠0 la tensión efectiva adquiere una mayor relevancia que la de

Cauchy, ya que conlleva fuerzas externas. Es por ello por lo que se emplea para análisis

de plasticidad. La evolución de la degradación se controla mediante la tensión efectiva

y un parámetro de endurecimiento designado como .

Los autovalores del tensor de tensiones efectivas se utilizan en las ecuaciones que

expresan la evolución de las variables de endurecimiento (una para compresión y otra

para tracción):

( ( ))

Ecuación IX

( )

Ecuación X

donde:

: autovalor máximo del tensor de deformación plástica .

: autovalor mínimo del tensor de deformación plástica .

: autovalores del tensor de tensiones efectivas .

Por otro lado, se tiene:


13

( ) ∑ ⟨ ⟩

∑ | |

Ecuación XI

donde ⟨ ⟩ es el paréntesis de Macauley. Este parámetro expresado en la ecuación (XI)

puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1.

6.3. Función de fallo.

En Abaqus se emplea la función de fallo F( , ), la cual describe una superficie en el

espacio de tensiones efectivas, que determina el fallo o el daño. Viene dada por la

siguiente expresión:

( )

( ( )⟨ ⟩ ⟨ ⟩) (

)

Ecuación XII

donde:

α, γ, β: coeficientes adimensionales.

: tensión efectiva.

: tensión desviadora de von Mises.

: autovalor máximo de .

( )

Ecuación XIII

√

Ecuación XIV

Ecuación XV

Se representa a continuación las superficies de fallo del hormigón en tensión plana:


14

Figura 8. Superficies de fallo del hormigón en tensión plana

6.4. Curvas de comportamiento del hormigón.

Se muestran a continuación las curvas de comportamiento del hormigón que usa el

software Abaqus para compresión y tracción respectivamente:


15

Figura 9. Comportamiento del hormigón a compresión

Figura 10. Comportamiento del hormigón a tracción

Durante el desarrollo del presente proyecto se emplearán dichas curvas, para lo cual

se definirán los parámetros necesarios de manera detallada con sus correspondientes

expresiones.


16

Para ello se recurre a las expresiones recogidas en la normativa EN 1992-1-1:

( )

Ecuación XVI

Ecuación XVII

[ ( ) ( )]

Ecuación XVIII

Ecuación XIX

Sin embargo, en caso de que los parámetros de entrada requeridos por el programa no

incluyan la deformación total, sino la deformación inelástica, observando la figura 9 se

puede deducir la siguiente expresión que permite calcular dicha deformación:

Ecuación XX

Ecuación XXI

Cabe destacar que en principio estas ecuaciones sólo serán necesarias para ayudar a la

convergencia de la solución, ya que el software Abaqus es capaz de construir dichos

comportamientos a partir de datos más sencillos.

17

Capítulo 2:

Análisis de flexión

en tres puntos

Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos

18

1. Introducción.

En este capítulo se estudiará una viga de hormigón en masa entallada implementada

en el programa Abaqus. Para ello se expondrán varios planteamientos con el objetivo

de intentar simular de forma correcta la ruptura de dicha viga mediante el Método de

los Elementos Finitos Extendido. En primer lugar, se procederá a obtener la curva P-δ

mediante el uso exclusivo de CDP, de manera que se tenga como referencia para los

resultados finales con X-FEM, comparando ambos modelos con resultados

experimentales. En todos los problemas que aquí se plantean se siguen una serie de

pasos estructurados para la correcta implementación de los modelos, los cuales serán

explicados con detalle en los próximos apartados.

Se elige una viga entallada debido a que así se fuerza a la misma a agrietarse por dicha

entalla de un modo conocido. De esta manera se puede comprobar si efectivamente es

aplicable el empleo de este nuevo método para la evaluación de este material. Sin

embargo, conviene destacar que no es posible obtener resultados en Abaqus

relacionados con las microgrietas que se forman en el hormigón, de manera que éstas

no aparecerán en las simulaciones.

2. Datos de partida.

La geometría del problema tipo a estudiar en el caso considerado es la que se muestra

a continuación:

Figura 11. Viga entallada

donde las cotas están expresadas en milímetros, la anchura de la entalla es de 3mm y

la profundidad de la viga es de 60mm.


19

A la hora de diseñar el problema en Abaqus se harán varias modificaciones, como se

muestra en la siguiente figura:

Figura 12. Modificaciones de la geometría para Abaqus

Con el fin de evitar concentraciones de tensiones en los apoyos, se emplean unos

bloques de acero en cuyo plano medio se situarán las condiciones de contorno. Del

mismo modo el desplazamiento se impondrá a lo largo de una línea en la zona central

de la viga hasta llegar a la entalla. De esta manera se consigue que el problema

converja de forma más veloz y no aborte prematuramente.

En este apartado se debe aclarar que el diseño de la geometría en Abaqus puede

realizarse mediante elementos bidimensionales tipo “Shell”, de manera que se

simplifique el problema considerablemente. No obstante, el espesor se añade

mediante una opción que incluye el programa al asignar un material a una “part” o

geometría creada.

En cuanto a las propiedades, se tomará un hormigón HA-30 con los siguientes datos de

partida:

fc = 37 MPa.

Ec = 30 GPa.

ν = 0,2.

GF = 145 N/m.

fct,ind = 3,1 MPa.

Atendiendo a las exigencias del Eurocódigo 2, algunos de estos parámetros han de ser

modificados. De esta forma:

Ecuación XXII


20

[ ]

Ecuación XXIII

Por otro lado, la resistencia a tracción del hormigón se estima, según el Eurocódigo 2,

del siguiente modo:

[ ] [ ]

Ecuación XXIV

3. Implementación de los modelos.

3.1. Modelo de daño plástico.

Se estudia en primer lugar la definición del modelo empleando “Concrete Damaged

Plasticity”, al tratarse de un método ya verificado. En este apartado se plantean los

pasos a seguir para la introducción de todos los parámetros necesarios para la correcta

convergencia de la solución con Abaqus.

3.1.1. Propiedades.

Los parámetros a introducir requeridos para la definición del hormigón se recogen en

las siguientes tablas:

Young’s Modulus [Pa] Poisson’s Ratio

33.000.000.000 0,2

Tabla 1. Elastic (hormigón)

Dilation Angle Eccentricity Fb0/fc0 K Viscosity

38 0 0 0 0

Tabla 2. Plasticity (CDP)

Yield Stress [Pa] Inelastic Strain

45.000.000 0

45.000.000 0

Tabla 3. Compressive Behavior (CDP)


21

Yield Stress [Pa] Fracture Energy [N/m]

2.015.000 145

Tabla 4. Tensile Behavior (CDP)

En cuanto al material diseñado para los bloques de apoyo sobre los que se aplicarán

las condiciones de contorno, basta con definir sus propiedades elásticas y plásticas. Se

resumen a continuación:


200.000.000.000 0,3

Tabla 5. Elastic (acero)

Yield Stress [Pa] Plastic Strain

50.000.000.000.000 0

Tabla 6. Plastic (acero)

Nótese que se ha empleado un límite de plasticidad muy elevado, de manera que se

garantice que el apoyo no vaya a sufrir fenómenos indeseables que puedan alterar los

resultados numéricos, ya que en la realidad dichos bloques de acero no existen como

tales.

Para la definición de las secciones se ha empleado, tanto para la viga como para los

apoyos, una de tipo “Solid, Homogeneous”, especificando en la casilla requerida que el

espesor de las partes es de 60mm.

3.1.2. Ensamblaje.

Una vez definidas las dos partes (viga y apoyo) y asignados los materiales, se procede

al ensamblaje del problema para su posterior estudio. Para ello se debe seleccionar la

opción “Independent (mesh on instance)” como se muestra en la figura:


22

Figura 13. Assembly

Una vez seleccionadas las dos partes, queda la viga con un solo apoyo. Para añadir el

segundo basta con crear un patrón lineal, desplazándolo en la dirección X

(denominada como dirección 1 en el programa) 480mm.

Finalmente, la viga queda modelada en Abaqus del siguiente modo:

Figura 14. Geometría ensamblada en Abaqus (CDP)

Se observa que se han definido una serie de particiones dentro de la viga. Éstas se han

realizado para poder mallar estructuradamente el elemento de forma manual, ya que

el programa proporcionaba una estructura incoherente. Además, conviene que el

mallado sea más fino en la zona próxima a la entalla, ya que es ahí donde se formará y

propagará la fisura. En la siguiente imagen se muestra una vista más detallada de la

partición creada en la zona central:


23

Figura 15. Detalle de la partición manual

3.1.3. Módulo “Step”.

En esta sección se crea un “Step” sobre el que trabajará el software. En este caso, al

llevar a cabo la simulación mediante un desplazamiento controlado, se considera uno

del tipo “Static, General”.

En las siguientes figuras se muestra el modo en el que se ha configurado el “Step-1”

creado, siendo este paso el único necesario:


24

Figura 16. Step: información básica


25

Figura 17. Step: información del incremento

El resto de opciones se mantienen por defecto. No obstante, para no sufrir un aborto

prematuro de la simulación, conviene ir al submenú “Other → General Solution

Controls → Manager” y editar el Step-1. En dicha ventana se marca la casilla “Specify”

y en la segunda pestaña se activa la opción “Discontinuous analysis”. Sin salir de dicha

ventatana, se modifica el valor de IA que corresponde al número de intentos que el

programa realizará antes de abortar y que tiene un valor por defecto de 5. La

configuración debe quedar del siguiente modo:


26

Figura 18. Step-1. Especificaciones 1


27

Figura 19. Step-1. Especificaciones 2

3.1.4. Interacciones. Parte I.

En este módulo ha de definirse el contacto entre la viga y los apoyos de acero. Para

ello basta con crear una restricción tipo “Tie” para cada uno de los bloques

anteriormente diseñados y ensamblados. Conviene destacar que tras el mallado se

volverá a este módulo.

3.1.5. Mallado.

Como se especificó en apartados precedentes, se han modelado manualmente una

serie de particiones para diseñar una malla muy estructurada con elementos de

pequeño tamaño en la zona central de la viga próxima a la entalla. Conforme se avanza

hacia los extremos la malla se hace menos densa, ya que de este modo se consigue un


28

considerable ahorro computacional, ya que en esas zonas no se producirá fractura,

como bien quedó explicado previamente.

Se procede a mostrar varias imágenes que ilustran el modelo mallado con detalle:

Figura 20. Mallado (CDP)

Figura 21. Detalle mallado (CDP)


29

3.1.6. Interacciones. Parte II.

Una vez generada la malla, se procede a crear un par de “Set” de nodos. Esta

operación se lleva a cabo para lograr obtener posteriormente la carga aplicada

directamente con el propio programa Abaqus, ya que el parámetro introducido ha sido

un desplazamiento, y de otra forma requeriría un cálculo manual considerablemente

más costoso. Para ello, basta con pulsar en “Tools → Set → Create” en la barra de

herramientas dentro del módulo “Interactions”. Aparece una ventana en la que se

establece el nombre del conjunto y se selecciona la opción “Node”. En el caso

considerado se crean dos sets: Nodo de carga y Resto de nodos respectivamente.

Figura 22. Sets de nodos

En la figura 21 se ha representado en rojo el set denominado Resto de nodos, mientras

que el inmediatamente superior corresponde al Nodo de carga.

A continuación se debe crear una restricción de manera que se relacionen ambos

conjuntos. Para ello se crea una “Constraint” tipo “Equation” con las siguientes

características:


30

Figura 23. Equation (Constraint)

Nótese que lo que se ha llevado a cabo no es sino la restricción de los desplazamientos

y esfuerzos a los que se verán sometidos una serie de nodos, en este caso referidos al

grado de libertad 2 (DOF 2), es decir, a la dirección Y.

Con esto se consigue que, una vez completada la simulación, sea posible obtener los

resultados de la carga aplicada visualizando la “RF2” en el nodo de carga.

Conviene destacar que realmente no se trata de una obligación, pues es posible

obtener los resultados mediante otros procedimientos, si bien éste parece el más

rápido a la hora de obtener los resultados finales tras la simulación de Abaqus.

3.1.7. Cargas y condiciones de contorno.

En este módulo se crean las condiciones de contorno que estarán presentes en todo

momento, esto es, los apoyos. Para ello basta con crear dos “Displacement/Rotation”

en el Step-Initial, de manera que el propio programa las propague para el resto de los

pasos.

Para definir el desplazamiento controlado, se crea otra condición de contorno similar a

las dos anteriores con la diferencia de que en este caso se aplicarán en el Step-1. De

esta forma se podrá especificar el valor del desplazamiento que se quiere imponer. En

el caso considerado, y tras haber creado los sets y su ecuación de restricción

correspondiente, se elige aplicar el desplazamiento sobre el conjunto “Nodo de carga”.

A continuación se exponen los parámetros a introducir en cada uno de los casos:


31

Desplazamiento Apoyo 1 (fijo) Apoyo 2 (móvil) Carga

U1 0 - -

U2 0 0 -0,001m

Tabla 7. Condiciones de contorno y carga (CDP)

3.2. Método de los Elementos Finitos Extendido.

En esta sección se pretende analizar la misma viga entallada empleando esta vez el

Método de los Elementos Finitos Extendido. Siguiendo con la metodología

anteriormente descrita, se define paso a paso el proceso de elaboración del modelo, si

bien gran parte, como se detalla en las próximas líneas, es similar al caso estudiado

previamente.

3.2.1. Propiedades.

Los parámetros a introducir para la correcta definición de las propiedades del material

cuasi-frágil estudiado son los siguientes:


33.000.000.000 0,2


Max Principal Stress [Pa] Fracture Energy [N/m]

2.015.000 145

Tabla 9. Maxps Damage

Existen varios aspectos a comentar acerca de cómo se definen los campos a rellenar en

Abaqus. En esta ocasión hace falta definir una ley de separación a tracción del material

para que el programa Abaqus pueda implementar el X-FEM. Esto se consigue siguiendo

la siguiente secuencia dentro de la ventana de propiedades: “Mechanical → Damage

for Traction Separation Laws → Maxps Damage”. En la casilla denominada “Max

Principal Stress” lo que se pide es el nivel de tensión para el cual aparecerá la fisura,

siendo para el caso considerado el valor de la resistencia a tracción del hormigón. Sin

embargo, para terminar de crear correctamente esta propiedad del material, es

necesario especificar el criterio para la evolución de la grieta. Para ello se pulsa el

botón “Suboptions → Damage Evolution” y se introduce la energía de fractura.

Llegados a este punto, habría que plantearse el introducir o no plasticidad al modelo.

Como se sabe que la viga entallada no fallará por compresión, no hace falta incluirla si


32

bien más adelante se volverá a hablar sobre este tema en concreto. De esta manera, el

material hormigón queda perfectamente definido para llevar a cabo el análisis

numérico que se quiere realizar.

Del mismo modo que en el caso anterior, para los bloques de acero que servirán de

apoyo para evitar concentradores de tensión, se tiene:


200.000.000.000 0,3

Tabla 10. Elastic (acero)


50.000.000.000.000 0

Tabla 11. Plastic (acero)

Para las secciones se emplearán nuevamente “Solid, Homogeneous”, especificando las

correspondientes profundidades de las mismas.

3.2.2. Ensamblaje.

Procediendo exactamente igual que en el apartado 3.1.2, la viga ensamblada con el

apoyo creado como geometría y su posterior patrón lineal queda del siguiente modo:

Figura 24. Geometría ensamblada en Abaqus (X-FEM)

El único aspecto relevante es la creación de una partición justo en la mitad de la viga,

donde se aplicará el desplazamiento controlado de la sección.


33


Se crea el Step-1 de forma idéntica a como se hizo con el CDP, es decir, del tipo “Static,

General” y ajustando los parámetros del cuadro de diálogo como se muestra en las

figuras 16 y 17. Asimismo, conviene modificar otra vez los controles generales del step,

tal y como se pudo observar en las figuras 18 y 19.

Por otro lado, hay que introducir una variante en el “Field Output”, puesto que es

necesario activar las casillas de “Failure/Fracture → PHILSM, Level set value phi;

PSILSM, Level set value psi” así como la de “State/Field/User/Time → STATUSXFEM,

Status of xfem element”. El usuario se ve obligado a proceder de esta forma porque en

caso contrario Abaqus no representará las fisuras que se generen, ya que no se

estarían requiriendo los resultados asociados a ellas.

Figura 25. Edición Field-Output

3.2.4. Interacciones. Parte I.

En primer lugar, se crean dos restricciones tipo “Tie” entre los bloques de apoyo y la

viga entallada.

Acto seguido es de suma importancia especificar la región susceptible de sufrir

fisuración, pues de lo contrario Abaqus no permitirá llevar a cabo el análisis, llegando a

abortar antes de cualquier tipo de simulación. Para ello basta con seguir las siguientes

indicaciones en la barra de tareas presente en la parte superior de la ventana: “Special

→ Crack → Create → XFEM”. Una vez seleccionada la región pertinente, en este caso la

viga entallada al completo, aparecerá un cuadro como el mostrado a continuación:


34

Figura 26. Cuadro de diálogo Crack Edition

Dejando todo por defecto, se pulsa el botón “Ok”. A continuación, en la barra de

herramientas vertical de la izquierda del entorno de trabajo, es necesario hacer crear

una interacción. Se muestra la sucesión de pasos a llevar a cabo para finalizar con este

apartado.

Figura 27. Create Interaction


35

Figura 28. Cuadro de diálogo "Create Interaction" (I)

Figura 29. Cuadro de diálogo "Create Interaction" (II)

3.2.5. Mallado.

En este caso el mallado se impondrá con elementos cuadriláteros de forma

estructurada en su mayor parte. Puede observarse con claridad en la siguiente

ilustración:


36

Figura 30. Mallado (XFEM)

Figura 31. Detalle del mallado (XFEM)

Se observa con claridad que en las zonas próximas a la entalla la malla se vuelve

irregular. Sin embargo, es necesario comentar que se trata de la malla mejor

estructurada que se ha podido obtener, arrojando resultados coherentes. De hecho, se

han llevado a cabo diversas pruebas con mallas totalmente estructuradas que llevaban

a una total falta de convergencia en Abaqus, lo cual pone de manifiesto una notable

deficiencia del software a la hora de definir el mallado empleando el Método de los

Elementos Finitos Extendido.

Del mismo modo, se ha comprobado que Abaqus no admite elementos triangulares

para implementar un análisis con X-FEM. El programa presentaba errores en la

definición de todos los elementos durante el preprocesado de la información extraída

del CAE. Identificando los elementos concretos que provocaban el problema mediante

el estudio de los archivos generados por el propio Abaqus, se descubrió que eran


37

precisamente los elementos triangulares los que no permitían llevar a cabo el análisis

con X-FEM. De nuevo este hecho representa un defecto que debería ser subsanado en

posteriores versiones del programa, ya que existen comprobaciones y estudios de

autores como Belytschko que demuestran que este método es aplicable con mallas

compuestas por elementos cuadriláteros y triangulares.

Figura 32. Extracto de "Extended finite element method for cohesive crack growth". Moës & Belytschko

3.2.6. Interacciones. Parte II.

Siguiendo los pasos indicados en el apartado 3.1.6 de este mismo capítulo, se vuelven

a definir dos sets de nodos denominados “Nodo de carga” y “Resto de nodos”, así

como una ecuación de restricción que los relaciona para, como ya se ha explicado,

simplificar la introducción de las cargas y extracción de los resultados finales.

Así, una vez llevada a cabo esta operación, el modelo completo ensamblado en el

apartado de interacciones debe quedar como el que se muestra a continuación:


38

Figura 33. Modelo completo con interacciones definidas (X-FEM)

En la imagen se representan mediante círculos amarillos las interacciones tipo

“Constraint”, es decir, los apoyos y la ecuación de restricción de los dos conjuntos de

nodos creados. Por otro lado, las cruces de color verde indican que la región a la que

pertenecen es susceptible de sufrir agrietamiento; en otras palabras, zonas en las que

se implementará el X-FEM.


La definición de las condiciones de contorno en los apoyos y del desplazamiento

controlado en la sección central de la viga entallada se lleva a cabo siguiendo una

metodología idéntica a la del apartado 3.1.7, referente al CDP. De este modo, se puede

volver a expresar:

Desplazamiento Apoyo 1 (fijo) Apoyo 2 (móvil) Carga

U1 0 - -

U2 0 0 -0,001m

Tabla 12. Condiciones de contorno y carga (X-FEM)

3.3. Combinación de modelo de daño plástico y X-FEM.

En esta sección se pretende evaluar lo acertado o no de la aplicación conjunta de los

modelos “Concrete Damaged Plasticity” y X-FEM sobre la viga entallada de hormigón

en masa. Para ello se han planteado diversos casos en los que se ha modificado alguno

de los parámetros de uno u otro método para estudiar cuál de los dos presenta una

mayor influencia sobre el otro.

Se emplean los mismos pasos que para X-FEM, siendo la única novedad la definición de

las propiedades del material, que será una combinación de los dos casos anteriores.


39

3.3.1. Propiedades.

Se exponen a continuación los parámetros a introducir para el caso inicial objeto de

estudio:


33.000.000.000 0,2



38 0 0 0 0

Tabla 14. Plasticity (CDP)


45.000.000 0

45.000.000 0

Tabla 15. Compressive Behavior (CDP)

Yield Stress [Pa] Fracture Energy

2.015.000 145

Tabla 16. Tensile Behavior (CDP)


2.015.000 145

Tabla 17. Maxps Damage

A modo de resumen se presenta una tabla con la organización de las distintas

simulaciones llevadas a cabo, mostrando los datos que varían en cada caso, para mejor

interpretación posterior de los resultados:


40

Job Propiedades Yield Stress [Pa] Gf [N/m]

1 X-FEM 2.015.000 145

CDP 2.015.000 145

2 X-FEM 2.015.000 80

CDP 2.015.000 145

3 X-FEM 2.015.000 145

CDP 2.015.000 80

4 X-FEM 20.000.000 145

CDP 2.015.000 145

5 X-FEM 2.015.000 145

CDP 20.000.000 145

Tabla 18. Casos CDP+XFEM

La ventana de edición de propiedades del material hormigón debe quedar con las

siguientes definiciones:

Figura 34. Edición de propiedades (CDP+XFEM)


41

4. Resultados.

Siguiendo con la ordenación de los apartados que anteceden al actual, se exponen los

resultados obtenidos mediante el análisis numérico llevado a cabo con el software

Abaqus. Para su verificación se han comparado las curvas carga-desplazamiento de

cada uno de los casos estudiados con los de una viga entallada de idénticas

propiedades y geometría ensayada experimentalmente en un laboratorio.

4.1. Curvas experimentales.

Se han ensayado dos vigas de similar geometría en un laboratorio, de manera que se

han obtenido sendas curvas carga-desplazamiento. A partir de éstas, se ha realizado un

ajuste numérico con el fin de usar la curva resultante como referencia para la

comparación de los análisis numéricos implementados en Abaqus.

Figura 35. Ensayo experimental 1 (viga entallada)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

ENSAYO1


42

Figura 36. Ensayo experimental 2 (viga entallada)

Figura 37. Ajuste numérico (viga entallada)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0,00E+00 2,00E-01 4,00E-01 6,00E-01 8,00E-01 1,00E+00

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

ENSAYO2

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

ENSAYO1

ENSAYO2

NUM


43

4.2. Resultados obtenidos mediante el modelo CDP.

Se ilustra a continuación la curva carga-desplazamiento obtenida tras simular con

Abaqus la viga entallada de hormigón en masa para las condiciones especificadas a lo

largo del apartado 3.1.

Figura 38. Curva P- (CDP Gf=145N/m)

Se comprueba que, si bien la forma de la curva es la correcta, los valores numéricos se

alejan bastante de la realidad. Como se conoce que la energía de fractura representa el

área encerrada bajo dicha curva, parece lógico que al variar dicho parámetro en

Abaqus, el programa ofrecerá mejores resultados. Es por ello por lo que se ha llevado a

cabo un exhaustivo análisis desarrollando diversos “Jobs” para comprobar si es posible

o no llegar finalmente a una aproximación válida a los datos extraídos del laboratorio.

A modo ilustrativo se plantea en el siguiente gráfico cómo varían los resultados que

proporciona Abaqus al variar la energía de fractura:

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

CDP

NUM


44

Figura 39. Curvas numéricas P- para distintas Gf (CDP)

Representando la curva correspondiente a una energía de fractura de 80 N/m frente a

la experimental, se concluye que es posible obtener una aproximación correcta y

acorde con el comportamiento real del hormigón.

Figura 40. Curva P- (CDP Gf=80N/m)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

Gf=145 N/m

Gf=50 N/m

Gf=110 N/m

Gf=80 N/m

Gf=70 N/m

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

CDP

NUM


45

En cuanto al patrón de fisuras, Abaqus permite visualizarlo mediante la opción “PE”

dentro de la pestaña de resultados, siempre y cuando se haya definido el material con

las propiedades correspondientes al “Concrete Damaged Plasticity”. De este modo, la

fisura vendrá representada por:

Figura 41. Patrón de fisuras viga entallada (CDP)

Figura 42. Detalle del patrón de fisuras viga entallada (CDP)

De acuerdo con lo que se conoce a priori que sucede en la realidad, la grieta se forma

en la entalla y se propaga hacia la parte superior central de la viga. De esta forma

queda demostrada la aplicabilidad de este método de análisis para la mecánica de la

fractura del material cuasi-frágil que es el hormigón, al haberse conseguido una curva

de comportamiento acorde con los resultados experimentales y un patrón de fisuras

que se corresponde con el mundo real.


46

4.3. Resultados obtenidos mediante X-FEM.


Abaqus la viga entallada de hormigón en masa para las condiciones especificadas a lo

largo del apartado 3.2.

Figura 43. Curva P- (X-FEM Gf=145N/m)

De nuevo se observa que la curva obtenida por el análisis numérico realizado con

Abaqus tiene la forma correcta pero presenta valores ligeramente alejados de los

datos experimentales. Razonando como en el caso anterior, se concluye que la

modificación de la energía de fractura debe subsanar el problema de manera que los

resultados se adapten mejor. Por ello se han creado un total de hasta diez “Jobs” en

los que se ha ido modificando poco a poco dicho parámetro hasta alcanzar la solución

óptima.

Se procede a mostrar un gráfico en el que figuran los distintos resultados obtenidos

para estos diez estudios numéricos:

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

XFEM

NUM


47

Figura 44. Curvas numéricas P- para distintas Gf (X-FEM)

Destaca el hecho de que la elección de la energía de fractura influye sobremanera en la

convergencia del programa, ya que, como bien puede observarse en la imagen, para

valores bajos se produce un aborto prematuro de la simulación.

Representando las curvas correspondientes a una energía de fractura de 110 N/m y la

experimental, se comprueba que es posible obtener resultados ajustados a la realidad:

Figura 45. Curva P-d (X-FEM Gf=110N/m)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

Gf=145 N/m

Gf=50 N/m

Gf=60 N/m

Gf=70 N/m

Gf=80 N/m

Gf= 90 N/m

Gf=100 N/m

Gf=110 N/m

Gf=120 N/m

Gf=130 N/m

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

XFEM

NUM


48

Una de las características importantes de X-FEM es que representa la formación y

propagación de las fisuras, por lo que resulta más intuitivo para el usuario la

visualización de cómo se producirá la rotura de la estructura. En concreto, para esta

viga entallada, el patrón de fisuras ya se ha comentado que debe consistir en una sola

que se origine en la propia zona central de la viga y se expanda hacia la parte superior

de la misma. Así, el software proporciona la siguiente ilustración:

Figura 46. Patrón de fisuras viga entallada (X-FEM)

Se observa que el resultado final es prácticamente idéntico al del laboratorio, siendo

incluso mejor que el conseguido mediante “Concrete Damaged Plasticity”. Por tanto,

se concluye que es posible realizar simulaciones numéricas mediante el Método de los

Elementos Finitos Extendido en materiales cuasi-frágiles como el hormigón.

Asimismo, se debe resaltar que el tiempo empleado por Abaqus es considerablemente

menor cuando se implementa X-FEM que con el CDP, lo que se traduce en una ventaja

computacional importante y que debe ser tenida en cuenta.

Por otro lado, al tratarse de una técnica novedosa de diseño, se ha querido llevar a

cabo un análisis de sensibilidad con el objetivo de demostrar cómo afectan los diversos

parámetros de mayor relevancia en la convergencia de la solución. Para ello se han

creado distintos trabajos ordenados por mallados de menor a mayor densidad y, para

cada uno de ellos, se ha ido modificando paulatinamente la energía de fractura

introducida. De este modo, se pretende comprobar si existe influencia del mallado o

no mediante un gráfico de comparación como el que se adjunta seguidamente:


49

Figura 47.Influencia del mallado y Gf (I)

Figura 48. Influencia del mallado y Gf (II)

Se observa que existe una evidente dependencia del mallado en este tipo de análisis, si

bien queda demostrado que a partir de una cierta densidad del mismo, los resultados

convergen a los mismos valores. Queda comprobado que para mallas formadas por

pocos elementos la solución proporcionada por Abaqus presenta oscilaciones que no

hacen más que poner de manifiesto un comportamiento que no se ajusta a la realidad.

Por tanto, si al llevar a cabo un análisis se obtienen resultados que presentan claras

anomalías, lo primero que se debe hacer es modificar el mallado para optimizar el

trabajo.

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

50 60 70 80 90 100 110 120 130 145

Car

ga d

e p

ico

[N

]

Energía de fractura [N/m]

1834 ELEMENTOS

4154 ELEMENTOS

1022 ELEMENTOS

658 ELEMENTOS

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

50 60 70 80 90 100 110 120 130 145

De

spla

zam

ien

to c

ríti

co [

mm

]

Energía de fractura [N/m]

1834 ELEMENTOS

4154 ELEMENTOS

1022 ELEMENTOS

658 ELEMENTOS


50

Se comprueba igualmente que la variación de la energía de fractura afecta más al valor

de la carga de pico que al desplazamiento para dicha carga, aspecto a tener en cuenta

a la hora de precisar mejor los resultados que se obtengan para que el análisis sea lo

más próximo al mundo real posible.

4.4. Resultados de la aplicación conjunta de CDP y X-FEM.

Como se expresó en apartados anteriores, la combinación de estos dos métodos de

cálculo se ha realizado para comprobar si resulta beneficioso o no la aplicación de

ambos de forma conjunta. Además, al introducir parámetros que son redundantes, se

pretende estudiar cuál de los dos presenta una mayor influencia en el resultado final y

poder así extraer conclusiones fiables.

De este modo, según lo explicado en el apartado 3.3 del presente capítulo, se ilustran a

continuación las diversas curvas carga-desplazamiento resultantes de los distintos

“Jobs” implementados, tomando como referencia los resultados del primero de ellos

para determinar los efectos de los distintos parámetros.

Figura 49. Job-1. Referencia (CDP+XFEM)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

REF


51

Figura 50. Job-2 (CDP+XFEM)


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

80;145

REF

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

145;80

REF


52



0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

20;2.015

REF

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

2.015;20

REF


53

Se exponen ahora los distintos patrones de fisuras a los que se han llegado para cada

uno de estos cinco trabajos, de manera que sean visibles las diferencias entre ellas y

con el modo de rotura real, ya conocido.

Figura 54. Patrón de fisuras Job-1 (CDP+XFEM)




54



Una vez visualizados los resultados, se extraen las siguientes conclusiones:

Si el parámetro que se modifica es la energía de fractura, se observa un claro

dominio del CDP sobre MAXPS.

La variación del “Yield Stress” provoca que la grieta aparezca antes o después,

sin influir demasiado en los resultados. De hecho, entre los Jobs 4 y 5 sólo

difieren en la fisura, presentando idénticos valores numéricos. No obstante, es

cierto que prevalece el valor más alto de dicho dato.

En la mayoría de los casos la rotura no se aprecia de modo correcto de acuerdo

como debería suceder con el Método de los Elementos Finitos Extendido. Ello

se debe a que se está superponiendo el modo de representación del “Concrete

Damaged Plasticity” y del X-FEM, dando lugar a una distorsión a la hora de

visualizar los resultados. Además, en ciertas ocasiones ni siquiera se llega a

formar la grieta, como sucede en el Job-4 por ejemplo.

Abaqus presenta problemas de convergencia para encontrar la solución al

problema, como bien puede observarse en las curvas carga-desplazamiento

ilustradas en esta sección.


55

Se ralentiza el tiempo de cálculo, lo que se traduce en un inconveniente

computacional.

Por todas estas razones, se puede establecer que no tiene sentido combinar estos dos

modelos simultáneamente, si bien parece posible que podría llegar a ajustarse la curva

a la experimental, no simula la fisuración de modo correcto y emplea demasiado

tiempo realizando operaciones numéricas para la obtención de los resultados, algo que

no ocurre al aplicar exclusivamente el X-FEM, por lo que se puede decir que no

presenta ninguna ventaja sobre los dos métodos anteriores.

56

Capítulo 3:

Análisis de flexión

en cuatro puntos

Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos

57

1. Introducción.

Una vez demostrada la validez del Método de los Elementos Finitos Extendido para el

análisis numérico del hormigón, en este capítulo se pretende ir un paso más allá y

comprobar si es posible modelar una viga de este mismo material reforzada con barras

de acero mediante X-FEM. Por tanto, lo que se persigue es alcanzar una curva de

comportamiento veraz y un patrón de fisuras coherente con la realidad.

Para ello, se cuenta con resultados experimentales de un ensayo de flexión en cuatro

puntos para la geometría que se pretende simular. De esta forma, se llevará a cabo de

nuevo una comparación para concluir si resulta factible y ventajoso el empleo de esta

nueva técnica a este tipo de material.


La geometría de la estructura objeto de estudio, así como su sección transversal, se

ilustran a continuación con sus correspondientes cotas expresadas en metros:

Figura 59. Geometría viga armada

Figura 60. Sección viga armada


58

Como se hizo con la viga entallada, a la hora de introducir la estructura en Abaqus se

añadirán algunas modificaciones, como se ve en la siguiente figura:

Figura 61. Geometría modificada en Abaqus

Sobre la figura anterior se debe mencionar que las cargas distribuidas de la forma

ilustrada serán usadas exclusivamente para X-FEM. En el caso de CDP se empleará un

desplazamiento controlado en el lugar de aplicación de las cargas como se explicará

posteriormente.

Al igual que en apartados anteriores, se ha optado por incluir unos bloques de acero

sobre los que se definirán las condiciones de contorno a fin de evitar efectos

indeseables en la viga. En esta ocasión, se sustituyen las dos cargas puntuales por dos

distribuidas sobre una pequeña región. La razón de esta decisión es que de este modo

se consigue que no aparezcan concentraciones de tensión y, además, permite a

Abaqus representar mejor el patrón de fisuras. Por otro lado, las zonas rayadas

representan regiones donde no se aplicará X-FEM por motivos que se explicarán

posteriormente.

En cuanto a las propiedades del hormigón, se consideran:

fc = 30 MPa.

Ec = 30 GPa.

ν = 0,2.

GF = 110 N/m.

fct,ind = 3 MPa.

Por las ecuaciones XXII, XXIII y XXIV se tendrá:

fcm = 38 MPa.

Ecm = 33 GPa.

fct = 1,95 Mpa.

Para las armaduras se toma un acero B-500S, de manera que los datos son:

Es = 200 GPa.

fyk = 500 MPa.

ν = 0,3.


59

3. Modelos.

3.1. Modelo de daño plástico.

Como ya se hiciera en el capítulo anterior, se estudia en primer lugar la definición del

modelo empleando “Concrete Damaged Plasticity”. En este apartado se resumen los

pasos a seguir para implementación del problema en Abaqus.

3.1.1. Propiedades.

Los parámetros a introducir requeridos para la definición del hormigón se recogen en

las siguientes tablas:


33.000.000.000 0,2

Tabla 19. Elastic (hormigón viga armada CDP)


38 0 0 0 0

Tabla 20. Plasticity (hormigón viga armada CDP)


38.000.000 0

38.000.000 0

Tabla 21. Compressive Behavior (hormigón viga armada CDP)

Yield Stress [Pa] Fracture Energy [N/m]

1.950.000 110

Tabla 22. Tensile Behavior (hormigón viga armadaCDP)

Mass Density [kg/m3]

2.400

Tabla 23. Density (hormigón viga armada CDP)


60

Para las armaduras, el acero B-500S se creará con las siguientes propiedades:


200.000.000 0,3

Tabla 24. Elastic (B-500S)


500.000.000 0

500.000.000 1

Tabla 25. Plastic (B-500S)

Hay que decir que para la creación de las armaduras se emplean elementos tipo “wire”

diseñados como una línea simple para la inferior y para la superior respectivamente.

Este aspecto es de especial importancia a la hora de crear la sección del material B-

500S, ya que el tipo será tipo “Truss” dentro de la categoría “Beam”. Con esto se

consigue que las armaduras trabajen exclusivamente a tracción.

Figura 62. Creación sección armadura

En cuanto al material para los bloques de apoyo, se emplea uno exactamente igual al

del capítulo 2.

3.1.2. Ensamblaje.

Procediendo como se hizo en el apartado 3.1.2 del capítulo 2, la viga ensamblada con

los bloques de apoyo y las armaduras superior e inferior queda como:


61

Figura 63. Geometría ensamblada en Abaqus (viga armada CDP)


En el caso considerado, al llevar a cabo la simulación mediante un desplazamiento

controlado, se considera un “Step” del tipo “Static, General”, donde el único

parámetro a modificar es el referente al incremento mínimo, que se especifica como

1E-050.

El resto de opciones se mantienen por defecto. No obstante, como ya se razonó en el

capítulo 2, para no sufrir un aborto prematuro de la simulación, conviene ir al

submenú “Other → General Solution Controls → Manager” y editar el Step-1 como ya

se hiciera en los casos ya comentados.

3.1.4. Interacciones.

En primer lugar se crean dos restricciones tipo “Tie” para cada uno de los bloques de

apoyo, de manera que se cree una interacción entre la viga y dichos elementos.

Además, al presentar la estructura elementos de refuerzo, se deben introducir dos

regiones embebidas para sendas armaduras. Para ello, basta con pulsar sobre el botón

de la barra vertical de herramientas “Create Constraint → Embedded region”,

seleccionar la barra de acero correspondiente y finalmente la viga, que será la

denominada parte “anfitriona”.

Figura 64. Creación de región embebida


62

3.1.5. Mallado.

Para una viga armada se espera que puedan aparecer un mayor número de fisuras que

en una entallada, luego en esta ocasión el mallado será más denso en general , si bien

resulta evidente que, al ser una geometría regular, se pueda realizar este paso de

manera estructurada de una forma mucho más sencilla.

Asimismo, hay que especificar en este módulo que las armaduras son de tipo “Truss”.

Para ello, basta con seleccionar dichos elementos y pulsar sobre el botón de la barra

de herramientas vertical con las siglas “BAR”. Una vez hecho esto, se abre un cuadro

de diálogo donde se cambia el tipo de “Beam” al anteriormente mencionado. Destacar

que si no se lleva a cabo esta operación, Abaqus dará un error fatal antes de simular.

De este modo, la estructura estudiada una vez mallada tendrá el siguiente aspecto:

Figura 65. Mallado (viga armada CDP)


Los apoyos, fijo y móvil respectivamente, se crean en el punto medio de la cara inferior

de los bloques diseñados a tal efecto. Una vez más, para ello bastará con crear una

condición de contorno en el “Step-Initial” de tipo “Displacement/Rotation”.

Por otro lado, la carga de peso propio se introduce como una de tipo “Gravity”,

mientras que el desplazamiento controlado se impone a lo largo de unas líneas de las

secciones transversales, correspondientes a las zonas de aplicación de las cargas del

ensayo de flexión en cuatro puntos. Se ha definido un desplazamiento controlado para

que Abaqus encuentre una solución de una manera más sencilla, dado el tipo de

análisis a realizar.

A modo de resumen, se muestran los valores a introducir en Abaqus en la siguiente

tabla:

Desplazamiento Apoyo1 (fijo) Apoyo2(móvil) Carga

Gravitatoria Desplazamiento

[m]

U1 0 - - -

U2 0 0 -9,81 -0,5

Tabla 26. Condiciones de contorno y cargas (viga armada CDP)


63

Si se visualiza la geometría con las cargas aplicadas, Abaqus debe mostrar el siguiente

aspecto:

Figura 66. Cargas y condiciones de contorno (viga armada CDP)

3.2. Método de los Elementos Finitos Extendido.

En esta sección se pretende analizar la misma viga armada empleando esta vez el

Método de los Elementos Finitos Extendido. La implementación será similar al caso ya

estudiado en el capítulo 2, si bien se procede a detallar paso a paso los aspectos de

mayor relevancia.

3.2.1. Propiedades.

Los parámetros a introducir para la correcta definición de las propiedades del material

cuasi-frágil estudiado son los siguientes:


33.000.000.000 0,2

Tabla 27. Elastic (hormigón viga armada X-FEM)


1.950.000 110

Tabla 28. Maxps Damage (hormigón viga armada X-FEM)


38.000.000 0

38.000.000 1

Tabla 29. Plastic (hormigón viga armada X-FEM)

Mass Density [kg/m3]

2.400

Tabla 30. Density (hormigón viga armada X-FEM)


64

Nótese que en esta ocasión se han introducido dos nuevas características al material:

la plasticidad y la densidad. Esto se debe a que así se consigue que el programa

obtenga una solución convergente y, en el caso de la densidad, ayuda a Abaqus a

generar un mayor número de grietas mediante X-FEM.

De este modo, el número de campos a definir para el hormigón se muestran en el

cuadro de diálogo siguiente:

Figura 67. Cuadro de diálogo de propiedades del hormigón (viga armada)

Para las armaduras, el acero B-500S se creará de la misma forma que para “Concrete

Damaged Plasticity”:


200.000.000 0,3

Tabla 31. Elastic (B-500S)


65


500.000.000 0

500.000.000 1

Tabla 32. Plastic (B-500S)

Como ya se especificó anteriormente, el material para los bloques de apoyo será uno

exactamente igual al del capítulo 2.

3.2.2. Ensamblaje.

Procediendo como se hizo en el apartado 3.2.2 del capítulo 2, la viga ensamblada con

los bloques de apoyo y las armaduras superior e inferior queda como:

Figura 68. Geometría ensamblada en Abaqus (viga armada X-FEM)


Se crea el “Step-1” de tipo “Static, Riks” ya que, al tratarse de una geometría algo

menos sencilla con una distribución de cargas de mayor complejidad, Abaqus podrá

encontrar una solución de manera considerablemente más rápida y fácil. El único

parámetro a modificar es el referente al mínimo incremento de la longitud de arco,

que quedará especificada como se muestra en la siguiente figura:


66

Figura 69. Step: información del incremento (Static, Riks)

Como ya se explicó en el capítulo 2, para no sufrir un aborto prematuro de la

simulación, conviene ir al submenú “Other → General Solution Controls → Manager” y

editar el Step-1. En dicha ventana se marca la casilla “Specify” y en la segunda pestaña

se activa la opción “Discontinuous analysis”. Sin salir de dicha ventatana, se modifica el

valor de IA por 50.

Igualmente, no se debe olvidar llevar a cabo la pertinente modificación del “Field

Output”, activando las casillas de “Failure/Fracture → PHILSM, Level set value phi;

PSILSM, Level set value psi” así como la de “State/Field/User/Time → STATUSXFEM,

Status of xfem element”.


67

3.2.4. Interacciones.

En primer lugar se crean dos restricciones tipo “Tie” para cada uno de los bloques de

apoyo, de manera que se cree una interacción entre la viga y dichos elementos.

A continuación, se debe proceder como ya se hiciera con la viga armada con el CDP, es

decir, definir las armaduras como embebidas en el hormigón, siguiendo los pasos ya

especificados en el punto 3.1.4 del vigente capítulo.

Como ya se hiciera en la sección 3.2.4 del capítulo 2, se sigue la secuencia “Special →

Crack → Create → XFEM” para crear la interacción que permitirá activar la función de

X-FEM en Abaqus. Se deben seguir los mismos pasos que se expusieron en dicho

apartado con una única diferencia: en esta ocasión, en lugar de toda la viga, se debe

seleccionar geometría a geometría las partes de la viga en las que se implementará

este modelo.

Como se mostró en la figura 61, las dos zonas rayadas situadas justo debajo de las

cargas aplicadas, no deberán ser tenidas en cuenta. Ello es debido a que se ha

comprobado que si en dicha zona, susceptible de sufrir mayores tensiones, se permite

al software aplicar el Método de los Elementos Finitos Extendido, la simulación aborta

prematuramente, proporcionando asimismo resultados incoherentes y un patrón de

fisuras incompleto.

Se representa a continuación en rojo las zonas a seleccionar en Abaqus como regiones

X-FEM:

Figura 70. Selección de regiones X-FEM

Finalmente, recordar que es necesario definir la interacción de crecimiento de grieta

como se ha explicado en apartados precedentes.

3.2.5. Mallado.

Al tratarse de una geometría sencilla y regular, al carecer de particularidades tales

como una entalla, la malla se puede definir estructuradamente con elementos

cuadriláteros. Se ha optado por un mallado de tamaño 0,025, de manera que se

consigue una densidad de la misma correcta sin llegar a suponer un esfuerzo

computacional demasiado grande para el programa.


68

De esta forma, se ilustra a continuación la estructura completa mallada en su

totalidad:

Figura 71. Mallado (viga armada X-FEM)

Figura 72. Detalle del mallado (viga armada X-FEM)


Las condiciones de contorno se imponen sobre el punto medio de la cara inferior de

cada bloque de apoyo, mediante la opción “Displacement/Rotation” en el “Step-

Initial”.

Para la creación de las cargas simplemente basta con pulsar sobre el correspondiente

botón de la barra de herramientas, especificar el “Step-1” y seleccionar el tipo

deseado. En el caso considerado, se escogerá una de tipo “Gravity” para el peso propio

y otra “Pressure” para las acciones externas. En este caso, se emplea una carga

distribuida y no un desplazamiento controlado para que el software pueda simular

mejor el patrón de fisuras, ya que se ha comprobado que en caso contrario apenas

simula dos grietas en las zonas en las que se aplica dicho desplazamiento.

En la siguiente tabla se recogen los parámetros a introducir en el programa:

Desplazamiento Apoyo1 (fijo) Apoyo2(móvil) Carga

Gravitatoria Carga

distribuida[Pa]

U1 0 - - -

U2 0 0 -9,81 18.000.000

Tabla 33. Condiciones de contorno y cargas (viga armada X-FEM)


69

Si se visualizan las cargas en el módulo “Load”, la estructura debe quedar como:

Figura 73. Cargas y condiciones de contorno (viga armada X-FEM)

4. Resultados.

En la presente sección se exponen los resultados a los que se ha llegado mediante el

análisis numérico llevado a cabo con Abaqus. Para una mejor comprensión de éstos, se

ordenará en diversos apartados, correspondientes a las curvas carga-desplazamiento

experimentales y a los modelos CDP y X-FEM con sus correspondientes gráficas y

patrones de fisuras.

4.1. Curvas experimentales.

Se han ensayado tres vigas con la geometría especificada en un laboratorio,

obteniéndose las siguientes curvas carga-desplazamiento:

Figura 74. Ensayo experimental 1 (viga armada)

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120 140

Car

ga [

kN]

Desplazamiento [mm]

ENSAYO1


70



A partir de estos datos se ha llevado a cabo un ajuste numérico con el objetivo de

emplear la nueva curva como referencia y poder así comparar los resultados de

Abaqus con los experimentales, tal y como se muestra en la siguiente gráfica:

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120

Car

ga [

kN]

Desplazamiento [mm]

ENSAYO2

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120

Car

ga [

kN]

Desplazamiento [mm]

ENSAYO3


71

Figura 77. Ajuste numérico (viga armada)

4.2. Resultados obtenidos mediante el modelo CDP.

Se pasa ahora a mostrar la curva carga-desplazamiento que se extrae de los resultados

proporcionados por Abaqus al modelar el problema mediante “Concrete Damaged

Plasticity”, tal y como se ha explicado durante el transcurso del capítulo vigente.

Figura 78. Curva P- (Job-1 viga armada CDP)

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30

Car

ga [

kN]

Desplazamiento [mm]

ENSAYO1

ENSAYO2

ENSAYO3

NUM

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30 35

Car

ga [

kN]

Desplazamiento [mm]

XFEM

NUM


72

Se ve claramente que la carga máxima es del mismo orden que la experimental, si bien

resulta algo menor. Sin embargo, se puede decir que se está del lado de la seguridad,

ya que en realidad resiste algo más, y ello puede deberse asimismo a razones propias

de la heterogeneidad del propio material. De hecho éste es uno de los motivos por los

que se realizan varios ensayos en el laboratorio en lugar de uno solo, pues las cargas

máximas pueden varias de un espécimen a otro, si bien no deben alejarse demasiado

entre ellos.

Del mismo modo, se observa que el tramo inicial de la curva presenta una mayor

pendiente que la gráfica del laboratorio. Para tratar de ajustarla se ha procedido a

variar el valor del módulo de deformación del hormigón, pasando de 33 GPa a 10 GPa.

La nueva curva se muestra bajo estas líneas:

Figura 79. Curva P- (Job-2 viga armada CDP)

En esta ocasión, el tramo inicial coincide perfectamente con la curva experimental,

aunque a partir de 20 kN adquiere una menor inclinación que en el caso del “Job-1”.

No obstante, podría decirse que se trata de una buena aproximación numérica por

parte de Abaqus, encontrándose los resultados del lado de la seguridad en el mismo

orden de magnitud.

A continuación se procede a mostrar el patrón de fisuras proporcionado por el

programa tras la simulación, siendo el mismo para los dos trabajos desarrollados:

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30 35

Car

ga [

kN]

Desplazamiento [mm]

XFEM

NUM


73

Figura 80. Patrón de fisuras (viga armada CDP)

Figura 81. Detalle patrón de fisruas (viga armada CDP)

4.3. Resultados obtenidos mediante X-FEM.


Abaqus la viga armada mediante el Método de los Elementos Finitos Extendido para

las condiciones especificadas a lo largo del presente capítulo.

Figura 82. Curva P- (Job-1 viga armada X-FEM)

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30 35

Car

ga [

kN]

Desplazamiento [mm]

XFEM

NUM


74

Se observa que los valores límite son del mismo orden y la forma es aproximada, si

bien no del todo exacta. Salta a la vista que la pendiente inicial es mayor en el caso

estudiado mediante X-FEM, por lo que se ha procedido a modificar el valor introducido

como Ecm con el propósito de intentar ajustarla a la del caso real.

Por tanto, para solventar el problema citado, se ha variado el valor del dato concreto

en 23 GPa, es decir, pasando de 33 a 10 GPa. Los resultados obtenidos se muestran

bajo estas líneas.

Figura 83. Curva P-d (Job-2 viga armada)

Se comprueba ahora que el tramo inicial coincide a la perfección, aunque la carga a la

cual la armadura plastifica es algo menor que en el “Job-1”, es decir, de nuevo se

observa el fenómeno comentado con anterioridad: la carga máxima es algo menor que

la experimental.

Una vez representadas las curvas de comportamiento, se procede a ilustrar la

fisuración reproducida por Abaqus mediante X-FEM para los dos trabajos realizados. Se

sabe a priori que ante un estado de carga como el estudiado, una viga de hormigón

armado que falla por plastificación de la armadura debe presentar unas grietas en la

zona central prácticamente verticales que se van curvando hacia el centro de la viga

conforme se propagan hacia la parte superior y los extremos. A modo ilustrativo, se

adjunta una imagen del libro “Hormigón Armado” de Jiménez Montoya, en el que el

caso de rotura por flexión pura corresponde a la fisuración tipo 1:

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30 35

Car

ga [

kN]

Desplazamiento [mm]

XFEM

NUM


75

Figura 84. Modos de rotura (Jiménez Montoya)

Los patrones obtenidos con el software de cálculo empleado son los siguientes:

Figura 85. Patrón de fisuras (Job-1 viga armada)

Figura 86. Detalle STATUSXFEM (Job-1 viga armada)

Figura 87. Patrón de fisuras (Job-2 viga armada)


76

Figura 88. Detalle STATUSXFEM (Job-2 viga armada)

Se ve claramente que se ha conseguido una representación de las fisuras muy buena y

coherente con el comportamiento real del hormigón armado. En el segundo caso, que

es el que coincide con la misma pendiente en la curva carga-desplazamiento, es incluso

mejor que en el primero.

De nuevo merece la pena citar que el tiempo de cálculo por parte del software es

extremadamente corto y vuelve a arrojar resultados verosímiles.

77

Capítulo 4:

Análisis de

sensibilidad

Capítulo 4: Análisis de sensibilidad

78

1. Introducción.

El objetivo de este capítulo es plantear varios casos teóricos de viga de hormigón

reforzada con barras de acero para poder así llevar a cabo un análisis de sensibilidad y

ver cómo varían los resultados en el Método de los Elementos Finitos Extendido al

modificar determinados parámetros. De nuevo, se simulará un ensayo de flexión en

cuatro puntos, como ya se hiciera previamente.

En esta ocasión, no se explicará detalladamente cada paso del diseño en Abaqus,

puesto que es similar al del capítulo anterior. Lo único que varía son las dimensiones

de la viga y que en esta ocasión sólo se dispondrá de armadura inferior.


A continuación se muestra la geometría, con las medidas expresadas en metros, del

nuevo caso objeto de estudio, si bien las armaduras no aparecen representadas en la

sección, pues éstas variarán de un caso a otro.

Figura 89. Geometría de la viga armada (II)

Figura 90. Sección de la viga armada (II)


79

Una vez más, se deben introducir ciertas modificaciones a la hora de crear dicha

geometría en Abaqus: los ya conocidos bloques de apoyo y, como en el capítulo 3, dos

regiones para diseñar la carga como una presión distribuida con el objetivo de evitar la

aparición de concentraciones de tensión y poder obtener un mejor patrón de fisuras.

Figura 91. Geometría modificada en Abaqus (viga armada (II))

Se han vuelto a representar como regiones rayadas aquellas que quedarán excluidas

del dominio sobre el que se aplicará X-FEM.

En cuanto a las propiedades del hormigón, se consideran:

fc = 30 MPa.

Ec = 30 GPa.

ν = 0,2.

GF = 110 N/m.

fct,ind = 3 MPa.

Por las ecuaciones XXII, XXIII y XXIV se tendrá:

fcm = 38 MPa.

Ecm = 33 GPa.

fct = 1,95 Mpa.

Para las armaduras se empleará en algunos casos un acero B-400S y en otros un B-

500S. Así:

Es = 200 GPa.

fyk = 400 ó 500 MPa (según el caso).

ν = 0,3.


80

3. Casos.

Se recogen en la siguiente tabla la casuística de los estudios que se llevan a cabo en el

vigente capítulo:

Caso Hormigón Acero Armadura

1 HA-30 B-400S 4φ16

2 HA-30 B-400S 4φ12

3 HA-30 B-400S 2φ12

4 HA-30 B-500S 4φ16

Tabla 34. Casos estudiados para análisis de sensibilidad (viga armada)

Los casos 1-3 sirven para ilustrar la influencia de la armadura, mientras que una

comparación entre 1 y 4 permite estudiar cómo afecta el límite elástico de las barras

de acero.

Destacar además que, dentro de cada uno de los casos, se elaboran análisis para

distintas energías de fractura del hormigón, de modo que sea posible ver la influencia

de este parámetro en los resultados definitivos. Con este fin se crean varios “Jobs” en

los correspondientes casos.

4. Cálculo teórico.

En esta sección se pretende explicar la metodología empleada para hallar el valor de la

carga a la cual plastifica la armadura de la viga estudiada.

En primer lugar se debe comentar que se considera un recubrimiento mecánico de 3

cm, lo que hace que el canto útil de la sección sea de 0,37 cm.

Del mismo modo, los coeficientes de seguridad para el hormigón y el acero serán:

γc = 1,5

γs = 1,15

Esto hace que se modifiquen ciertos parámetros de partida del siguiente modo:

Ecuación XXV


81

Ecuación XXVI

Acto seguido se lleva a cabo una adimensionalización, definiendo el término uc:

Ecuación XXVII

donde “d” es el canto útil de la sección.

Como para cada caso la armadura es conocida, resulta sencilla hallar el área de la

misma, As, y, a partir de ésta, puede calcularse el valor adimensional según la

siguiente expresión:

Ecuación XXVIII

Una vez calculado dicho parámetro, se recurre a la siguiente ecuación para obtener el

momento adimensional

√

Ecuación XXIX

Finalmente, se deshace la adimensionalización para obtener el momento aplicado a la

sección. Para ello se procede de la siguiente forma:

Ecuación XXX

Por Resistencia de Materiales se conoce que para una viga biapoyada sometida a

flexión en cuatro puntos, el momento máximo que resiste la estructura es igual a:


82

Ecuación XXXI

donde L representa la distancia entre los apoyos.

Para el caso estudiado, L es igual a 3 metros, luego la carga aplicada coincide con el

momento previamente calculado.

5. Resultados.

5.1. Carga de plastificación de la armadura teórica.

Siguiendo la metodología explicada en el apartado que precede al actual, se obtienen

las siguientes cargas a las cuales se espera que las armaduras plastifiquen. No

obstante, hay que decir que estos valores se encuentran del lado de la seguridad por

haber empleado coeficientes destinados a ese objetivo.

En la siguiente tabla se resumen los valores alcanzados:

Caso Carga de plastificación [N]

1 95.671,5

2 55.740,6

3 28.488,6

4 117.156,4

Tabla 35. Resultados teóricos

5.2. Curvas carga-desplazamiento.

Una vez finalizadas las simulaciones con Abaqus, se extraen los datos correspondientes

a las cargas y a la flecha, de manera que puedan representarse las curvas de

comportamiento de la estructura en cuestión.

A continuación se muestran las distintas gráficas obtenidas, en las que se ha

representado de igual modo una cota orientativa de la carga de plastificación calculada

de forma teórica.


83

Figura 92. Curva P- (caso 1)


0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 2 4 6 8 10

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

XFEM

TEÓRICA

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

0 1 2 3 4 5

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

XFEM

TEÓRICA


84



Se comprueba que en todos los casos se ha obtenido un resultado coincidente con los

hallados teóricamente, luego se demuestra, una vez más, que el Método de los

Elementos Finitos Extendido es una herramienta de gran potencial para el estudio del

hormigón.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 2 4 6 8 10

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

XFEM

TEÓRICA

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

0 2 4 6 8 10

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

XFEM

TEÓRICA


85

En una última gráfica se ilustran todas las curvas obtenidas para poder ver con claridad

la forma en la que éstas varían al modificar determinados parámetros:

Figura 96. Curvas P- (todos los casos)

5.3. Patrón de fisuras.

Se procede ahora a ilustrar los cuatro patrones de fisuras obtenidos mediante X-FEM

para cada uno de los correspondientes casos. Como ya se expusiera en el capítulo 3, se

sabe a priori cómo deben ser las grietas aproximadamente para este tipo de

problemas.

Los resultados son los siguientes:

Figura 97. Patrón de fisuras (caso 1)

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

0 5 10 15 20

Car

ga [

N]

Desplazamiento [mm]

CASO1

CASO2

CASO3

CASO4


86

Figura 98. Detalle STATUSXFEM (caso 1)




87






88

5.4. Análisis de sensibilidad.

Se exponen dos gráficos en los que se pretende ilustrar la influencia de varios

parámetros en el estudio de una viga de hormigón armado diseñada mediante el

Método de los Elementos Finitos Extendido en Abaqus.

En primer lugar se presenta:

Figura 105. Influencia de Gf y armadura

En este caso, se muestran los casos 1, 2 y 3, de manera que sirva para poder visualizar

la influencia de la energía de fractura del hormigón y de las distintas armaduras. Se

observa que el parámetro Gf apenas influye en los valores numéricos, ya que se

obtiene en todos los casos prácticamente una línea recta. No obstante conviene

destacar que la energía de fractura sí que resulta relevante a la hora de la definición de

las propiedades en Abaqus, puesto que puede hacer que el programa presente una

mejor convergencia. Por tanto, en caso de obtener una simulación demasiado corta, la

principal opción a modificar será ésta. Por otro lado, las armaduras hacen que,

efectivamente, la estructura se comporte como el caso real, es decir, dependiendo de

la que se coloque, la viga aguantará más o menos, verificando de nuevo este método

de diseño.

En segundo lugar se ilustra:

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

50 80 110 145

Car

ga d

e p

last

ific

ació

n [

N]

Gf [N/m]

4φ16

4φ12

2φ12


89

Figura 106. Influencia del límite elástico

Con esta sencilla curva se quiere mostrar que el software arroja resultados verosímiles

si se modifica la calidad del acero empleado para el diseño de las armaduras de

refuerzo. Así, para un límite elástico superior, la viga aguantará una mayor carga en

igualdad de condiciones. Asimismo, se vuelve a contemplar como la variación de la

energía de fractura no influye en los resultados numéricos obtenidos.

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

50 80 110 145

Car

ga d

e p

last

ific

ació

n [

N]

Gf [N/m]

4φ16 B-400S

4φ16 B-500S

90

Capítulo 5:

Conclusiones

Capítulo 5: Conclusiones

91

En este capítulo se recogen las principales conclusiones extraídas a lo largo de toda la

realización del proyecto.

Como bien se sabe a estas alturas, el propósito del trabajo es comprobar y verificar si

es posible modelar y analizar materiales cuasi-frágiles mediante la novedosa técnica

del Método de los Elementos Finitos Extendido. En este caso concreto, se han

estudiado diversas vigas de hormigón, tanto en masa como reforzado.

De forma paralela, se ha analizado la misma casuística empleando el método

“Concrete Damaged Plasticity”, con el fin de hacer una comparación cuantitativa y

cualitativa de ambos métodos, identificando ventajas e inconvenientes del uso de una

u otra técnica.

Lo primero que hay que destacar es la total aplicabilidad del X-FEM a este tipo de

materiales. Se han verificado todos los casos estudiados, comparando los resultados

obtenidos mediante el software Abaqus con los datos extraídos de ensayos

experimentales en laboratorio. Asimismo, conviene resaltar el hecho de que las curvas

de comportamiento llegan a ajustarse a las reales incluso mejor que con CDP.

Una vez comprobado el hecho de poder recurrir a este nuevo método para el análisis

numérico del hormigón, se procede a describir las ventajas de mayor relevancia que

aporta. Así, el punto a favor más destacado es la posibilidad que ofrece de representar

la fisuración y su propagación a lo largo de la estructura de manera gráfica. Además, el

tiempo que emplea Abaqus a la hora de llevar a cabo los cálculos es

considerablemente menor que empleando el modelo de daño plástico, lo que se

traduce en un evidente ahorro computacional. Esto hace que, además, los archivos

generados con X-FEM tengan un peso mucho menor que los que se crean con CDP.

Sin embargo, también presenta ciertas desventajas que deben ser tenidas en cuenta. Si

bien el Método de los Elementos Finitos Extendido sí admite una malla compuesta por

elementos triangulares, Abaqus no cuenta con esta posibilidad, lo que hace que X-FEM

pierda parte de su potencial, ya que existen casos en los que empleando este tipo de

elementos se puede conseguir un mallado mejor estructurado. En este orden, se debe

mencionar que durante el desarrollo del proyecto se ha comprobado que, tanto para

X-FEM como para CDP existe cierta influencia del mallado. Esto quiere decir que si el

tamaño de los elementos no es el adecuado, el programa puede aportar una solución

que se aleja de la realidad.

Otro inconveniente que parece tener X-FEM es que hay que tener especial cuidado a la

hora de definir las cargas. Esto quiere decir que, dependiendo del caso estudiado, se

podrá usar, por ejemplo, un desplazamiento controlado o no. No obstante, este hecho

sólo influye en la representación de las fisuras, ya que los resultados numéricos que

arroja Abaqus son los mismos, siempre y cuando la definición de las cargas sea

coherente con la realidad. A modo ilustrativo se puede citar el caso del capítulo 3, la

Capítulo 5: Conclusiones

92

viga armada sometida a flexión en cuatro puntos. En dicho caso, si en lugar de aplicar

la carga como una presión distribuida, se introduce como un desplazamiento

controlado, las curvas que se obtienen son coincidentes, aunque sólo aparecen dos

fisuras en las zonas en las que se ha especificado la condición de contorno. Este hecho

supone, por tanto, un aspecto a tener en cuenta, pues una elección que a priori puede

parecer acertada, puede ofrecer resultados no tan buenos como los esperados.

El módulo “Step” de Abaqus resulta de gran importancia igualmente para que el

programa pueda encontrar una solución de la forma más eficaz posible. Así, para casos

sencillos se puede emplear el tipo “Static, General”, mientras que para otros de mayor

complejidad, la elección de “Static, Riks” parece más adecuada.

Para tratar de mitigar los inconvenientes de ambos métodos, se ha analizado

igualmente el diseño utilizando ambas técnicas combinadas, de manera que actuasen

conjuntamente. Este estudio tiene como consecuencia la total incompatibilidad de los

mismos, ya que no sólo hace que la simulación aborte prematuramente, sino que

ralentiza el software y altera el patrón de fisuras, dando lugar a resultados

incoherentes.

Por todo lo expuesto anteriormente, se puede decir que, a pesar de las limitaciones

que posee, X-FEM constituye una alternativa válida y verosímil para el estudio del

hormigón, si bien parece evidente que en caso de mejorar la implementación del

mismo en el software, por parte de los responsables de Dassault Systemes Simulia

Abaqus, solventando problemas de mallado y definición de cargas sobre todo, el

Método de los Elementos Finitos Extendido puede llegar a convertirse en la principal

herramienta de trabajo para el estudio de la mecánica de la fractura de este tipo de

materiales, suponiendo un avance de suma importancia para futuras investigaciones.

93

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