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22 CAPITULO

Análisis de sistemas discretos: Muestreo y Reconstrucción.

Solo es útil el conocimiento

que nos hace mejores.

Sócrates.

Contenido: Tema 2.1: Introducción y Teorema del muestreo. Tema 2.2: Teorema de la reconstrucción. Tema 2.3: Transformación de modelos de espacio de estado:

Tiempo continuo a tiempo discreto. Tema 2.4: Formas canónicas de los modelos de espacios de estado. Tema 2.5: Modelos de entrada y salida.

Instituto Tecnológico de Puebla

Control Digital. Tema 2.1 Introducción y Teorema del Muestreo. Un sistema continuo por computadora puede representarse básicamente mediante la figura 2-1. RELOJ U(t) y(t)

A-D ALGORITMO D-A PROCESO

Figura 2-1. Sistema de control básico por computadora. La salida del proceso y (t) es una señal de tiempo continuo la cual es convertida a una señal de tiempo discreto mediante una conversión A/D, el convertidor puede ser incluido en la computadora o como unidad aparte.

La conversión se realiza para un tiempo de muestreo tk computadora interpreta la señal convertida { y( tk) } como una secuencia de números, se procesa la medición mediante una algoritmo, lo cual nos da una nueva secuencia de números { u( tk) } esta secuencia es convencional a una señal analógica mediante una DAC, se debe notar que el sistema funciona con un sistema en lazo abierto entre el interno del A-D y D-A, en este caso los eventos son controlados mediante el reloj de la computadora. La computadora opera secuencialmente en tiempo, en cuanto al convertidor debe producir una señal en tiempo continuo, esto normalmente se logra manteniendo constante la señal de control entre conversiones. Un sistema controlado por computadora contiene ambas señales continuas y discretas, a este tipo de señales se les conoce como sistemas de datos muestreados. Muestreo de señales en tiempo continuo. Muestrear una señal en tiempo continuo significa reemplazar la señal por una secuencia de números, los cuales representan los valores de la señal en cierto tiempo. Sea: Z= {…,-1,0,1…} y { Tk : K ∈ z } Un subconjunto de los números reales llamamos instantes de muestreo. Por lo que la versión muestreada de la señal f es entonces una secuencia.

{ f (tk) : k ∈ z } Donde el muestreo es una operación lineal .

Instituto Tecnológico de Puebla 22

Control Digital.

dt

Los instantes de muestreo con frecuencia están espaciados en tiempos iguales, es decir

Tk = k · h Lo cual es conocido como muestreo periódico y h se conoce como el periodo de muestreo o tiempo de muestreo. Y su correspondiente frecuencia como frecuencia de muestreo en Hertz

fs = 1 / h Hertz o rad/s conocida como frecuencia de Nyquist. hN /πω = Existen esquemas de muestreo mas complicados, por ejemplo diferentes periodos de muestreo pueden utilizarse para diferentes ciclos de control, A este esquema se le conoce como “Multirate Sampling” (múltiples razones de muestreo; el cual se considera como la superposición de esquemas periódicos de muestreo.) Todo esto se utiliza debido a las características actuales de los microprocesadores. Con el software moderno para procesos concurrentes, es posible diseñar sistemas como si estuvieran compuestos de diferentes procesos corriendo asíncronamente. Teorema del muestreo En aplicaciones tales como comunicaciones, es importante establecer las condiciones para las cuales la señal g(t) esta completamente determinada ( recuperable ) a partir de muestras. Comúnmente las señales en comunicaciones son limitadas en banda, lo cual significa que no contienen frecuencias más altas que una determinada frecuencia fB . La frecuencia contenida en una señal g(t) viene dada por su transformada de Fourier:

( )G g t e j tω ω= −

−∞

∞

∫ ( )

Un calculo similar se puede realizar utilizando la transformada de Laplace con s=jw pero en todo el tiempo, no solo desde t=0 . Para una señal limitada en banda mas allá de una frecuencia fB para la cual:

( )G fBω ω= >0 2 π

Un enunciado del teorema del muestreo es la siguiente: Una señal g(t) limitada en banda sobre una frecuencia (hertz) fB puede ser recuperada de una

secuencia infinita de muestras periódicas g(k) el intervalo de muestreo T es menor que 1

2 f B.

Esto es que una señal limitada en banda debe ser muestreada a una razón al menos del doble de la frecuencia máxima de sus componentes, la razón 2fB , donde fB es la frecuencia más alta de la señal limitada en banda, es conocida como la razón de Nyquist de la señal.


Control Digital. Sea una señal senoidal con frecuencia b,

( )g t A bt( ) cos= + θ

la secuencia de muestreo es en términos de T,

( )g k A kbT( ) cos= + θ

Si el intervalo de muestreo es menor que 1

2 f B,

Tf bB

< =1

222π

bT < π

por lo que las muestras son únicas, las cuales son al menos 2 por ciclos de g(t), entonces para una senoide con una frecuencia mayor tenemos:

h t A b t( ) cos( ' )= + θ

para la cual: b T bT n n' , , ,...= + =2 1π 2 3

+

la cual puede presentarse, como si produciría precisamente la misma secuencia muestreada:

[ ]h k A k bT n A kbT kn( ) cos ( ) cos( )= + + = +2 2π θ π θ h k A kbT g k( ) cos( ) ( )= + =θ

Los efectos de estas altas frecuencias, comienzan a convertir en indistinguibles a aquellos debajo del limite banda asumido, son conocidos con el nombre de distorsión de aliasing. Aliasing o (Frequency folding) La función Fs puede interpolarse como la transformada de Fourier de la señal muestreada; si es periódica con un periodo igual a la frecuencia de muestreo ωs. Si la señal en tiempo continuo no contiene componentes de frecuencias más altas que la frecuencia de Nyquist. La transformada de Fourier es una repetición periódica de una señal en tiempo continuo. Por lo que el valor de la transformada de Fourier de una señal muestreada ω es la suma de los valores de la trasformada de Fourier de una señal de tiempo continuo a la frecuencia ω + n Ws, después del muestreo no es posible separar las contribuciones de esta frecuencia. La frecuencia W puede considerarse en altas W + nWs es usual considerar frecuencias positivas. La frecuencia W es entonces en altas Ws-W, Ws + W, Ws-W, 2Ws+W..... donde 0 ≤ W ≤ Wn


Control Digital. Después del muestreo la frecuencia puede no distinguirse de sus altas, el alias es fundamental para la frecuencia w1 >wn esta dada por

w=[ (w1 + wo) Mod (ws)-wn) ] Teoría de muestreo de Shannon. Una señal en tiempo continuo que tiene una transformada de Fourier la cual es cero fuera para el intervalo (-ωo , ωo ) esta para únicamente por sus valores en puntos equidistantes si la frecuencia de muestreo es mayor que 2ωo

La señal en tiempo continuo puede ser calculada de la señal muestreada mediante la formula de interpolación:

∑∞

−∞= −−

=k s

s

khtwkhtwkhftf

2/)(2/)(sen)()(

Donde ωS es la frecuencia de muestreo angular dada en radianes por segundo. Demostración: Sea la señal f y F su transformada de Fourier.

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

−

=

=

dwwFetf

dttfewF

jwt

jwt

)(21)(

)()(

π Introduciendo

)(1)( ∑∞

−∞=

+=k

ss kwwh

wF

La prueba esta basada sobre la observación que las muestras F(kh) pueden apreciarse como los coeficientes de serie de Fourier de una función periódica Fs (w). Esto se muestra por calculo directo, la expansión en series de Fourier de un función periódica Fs es:

∑∞

−∞=

−=k

jkhwks eCwF )(

Donde los coeficientes están dados por

∫=sw

sjkhw

sk dwwFew

C0

)(1


Control Digital. Podemos mostrar que:

)(khfCk = Así que la señal muestreada

{ },....1,0,1....,),( −=kkhf únicamente determina la función Fs(w) Bajo las superposiciones del teorema que la función F es cero fuera del intervalo. Si ωs es mayor que 2ωo, tenemos que.

La transformada de Fourier de una señal en tiempo continuo esta dada únicamente para Fs, la cual se puede dar para la función muestreada.

{ },....1,0,1....,),( −=kkhf La primera parte del teorema esta mostrada. Para mostrar la primera formula tenemos:

∫ ∑

∫

∫

−

∞

−∞=

−

−

∞

∞−

=

=

=

2/

2/

2/

2/

)(2

)(2

)()(

s

s

s

s

w

wk

jkhwjwt

sw

w

jwt

jwt

dwkhfeeh

dwwFeh

dwwFetf

π

π

Intercambiando el orden de la integral y sumatoria.

hkhtkhtwkhf

ekhtj

hkhf

dwehkhftf

s

k

ww

k

jwkhjwt

jkhwjwt

k

s

s

/)(2/)(sen)(

)(2)(

2)()(

2/2/

−−

=

−=

=

∑

∑

∫∑

∞

−∞=

−

∞

−∞=

−

∞

∞−

−∞

−∞=

π

π

π


Control Digital. Porque

π2=hws Observaciones. 1. La frecuencia ωn = ωs / 2 juega un papel importante y se conoce como frecuencia de Nyquist. 2. Cabe hacer notar que la primera ecuación define la reconstrucción de señales de quienes la transformada de Fourier desaparece para frecuencia más grandes que la frecuencia de Nyquist. 3. Por el factor 1/h en la operación de muestreo; algunas veces se dice que tiene ganancia de 1/h. Tema 2.2. Teorema de la Reconstrucción.

+

Relación entre la transformada de Laplace y la transformada Z El tren de impulsos asociado con una secuencia de muestras f(k) es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

f t f t f t T f t T f t T

f k t kTk

* ( ) ( ) ( ) ( ) ...

( )

= + − + − + −

= −=

∞

∑

0 1 2 2 3 3

0

δ δ δ δ

δ

La transformada de Laplace del tren de impulsos es:

[ ]F s L f T f k esT k

k

* ( ) * ( ) ( )( )= = −

=

∞

∑0

si de aquí podemos observar que: z esT=

[ ]F s f k z Z f k F ze zk

ksT* ( ) ( ) ( ) ( )

=−

=

∞

= = =∑0

Por lo que podemos interpretar a la transformada z como la transformada de Laplace de un tren de impulsos, en el cual reemplazamos por z . esT Reconstrucción de señales a partir de muestras Cuando una señal analógica f(t) es muestreada para llegar a la forma f(k), existe una relación directa entre la transformada de Laplace F(s) de la señal analógica y la transformada Z de la secuencia. Si una transformada de Laplace racional se expande en la suma de los términos del tipo como los de la tabla no. 1.5 (capitulo no.1), la transformada Z de la secuencia muestreada se obtiene simplemente sumando los correspondientes términos de la transformada Z de la tabla.


Control Digital. Por ejemplo para una señal continua cuya transformada de Laplace es:

F s s ss s s s s s

( ) =+ ++ +

= +−+

++

4 13 185 6

3 42

53

2

3 2

f t e e u tt t( ) ( ) ( )= − +− −3 4 52 3 Para un periodo de muestreo T=0.2

f k e e u kk k( ) ( ) ( ). .= − +− −3 4 50 4 0 6

[ ]3 1 4 5

31

4 5

0 4 0 6

0 4 0 6

( ) ( ) ( ) ( )

( )

. .

. .

k k ke e u k

F z zz

zz e

zz e

− +

=−

−−

+−

− −

− −

Cuando la transformada de Laplace involucra retardos operaciones con múltiples intervalos de muestreo, el residuo de la transformada se expande en fracciones parciales, como se muestra en el siguiente ejemplo, en el cual el periodo de muestreo es T=0.1:

F s es s

es s

ss( )

( )( )

..=

++

= + +−

+

−−

0 10 12

32

13

133

Denotando:

G ss s

F s e G sf t g t u t g t u t

s

( )

( ) ( ) ( )( ) ( . ) ( . ) ( ) ( )

.

= +

−

+= += − − +

−

13

13

32

01 01 2

0 1

Entonces:

f k g k u k g k u k

F z z G z z zz

zz e

z zz z z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) . .( )( ..

= − − +

= + = +−

−−

=+

− −− −

−

1 1 2

2 2 13 1

13

0173 0 0861 0 74

1 10 3

2

)

Por lo que encontrar la transformada z de la correspondiente secuencia involucra separar las operaciones de retrasos en el tiempo de la parte racional de la transformada de Laplace, y sustituir por cada unidad de retraso en tiempo. z−1


Control Digital. Representación de señales muestreadas mediante impulsos. La descripción de la conversión A/D involucra la representación en tiempo discreto de señales en tiempo continuo, a este proceso comúnmente se le denomina muestreo, inversamente tenemos la conversión D/A a lo cual se le conoce con el nombre de reconstrucción. Aunque con frecuencia la señal analógica reconstruida de muestras digitales es una con forma de onda muestreada y sostenida, aunque este no es siempre el caso. Es fundamente el hecho de relacionar una señal en tiempo continuo con una secuencia de muestras esto es un tren de impulsos con un intervalo periódico T, con una fuerza igual a la correspondiente muestra. Tal como se observa en la figura no. 2.1. El objetivo de la reconstrucción es recuperar de las muestras f(k) la señal analógica f(t) o una aproximación muy grande a esta. Es claro que la señal f(t) no existe actualmente en alguna parte del sistema, típicamente las muestras f(k) son calculadas de las combinaciones de las muestras de otras señales.

figura no. 2.1. Proceso de muestreo.

La forma de onda en la figura no. 2.2 es la señal reconstruida a partir de las muestras de

, la cual puede ser derivada del tren de impulsos, el cual pasa a través de la adecuada transmitancia la cual recibe el nombre en este caso de retenedor de orden cero.

f to ( )f k( )


Control Digital. El tren de impulsos esta relacionado con las muestras por:

( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t T f t T f k t kTk

*( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )= + − + − + = −=

∞

∑0 1 2 20

δ δ δ δ

Para poder obtener la forma de onda a partir de se requiere de un sistema analógico lineal e invariante en el tiempo con una respuesta al impulso tal como se observa en la figura 2.2a, su demás cualidades se muestran en la figura no. 2.2b y 2.2c; en las cuales se puede observar la reconstrucción deseada de la señal.

f to ( ) f t*( )

figura no. 2-2. Reconstrucción de la señal.


Control Digital. La respuesta al impulso requerida por el retenedor de orden cero es:

y t u t u t Timpulso ( ) ( ) ( )= − −

Y su correspondiente transformada de Laplace es:

Y s esimpulso

sT

( ) =− −1

Como la transformada de Laplace del impulso unitario es la unidad y como la transmitancia es la razón de las transformadas tenemos:

L Y s eso impulso

sT

= =− −

( ) 1

Retenedor de orden cero Una reconstrucción casual esta dada por:

1 )()()(

+≤≤= kkk ttttftfZOH

Lo cual significa que la señal reconstruida es constantes por partes, continua por la derecha e iguala a la señal muestreada en los instantes de muestreo. Así el valor reconstruido se mantiene constante hasta que la próximo instante de muestreo. Algunos convertidores D-A con frecuencia son diseñados de tal forma que el valor anterior se mantenga constante hasta que la próxima conversión empiece. El retenedor de orden cero tiene la ventaja que puede utilizarse para muestreos no periódicos. Para el muestreo periódico de señales con una 1ª derivada suave se obtiene el siguiente error estimado.

)(' )()( 1 tfmaxhtftfmaxe kkZOH ≤−= +

Retenedores de orden alto. El ZOH puede considerarse como una extrapolación utilizando un polinomio de grado cero. Para funciones es posible obtener errores de reconstrucciones pequeños mediante extrapolación, utilizando polinomios de orden mayor. Una extrapolación casual de primer orden da.

[ ] 111

)()()()( +−−

≤≤−−−

+= kkkkkk

kk ttttftf

tttttftf

Y el máximo error utilizando un retenedor de orden 1 es: T


Control Digital. Para muestreos periódicos de señales de una 2ª derivada suave, el error puede estimularse mediante.

)('' tfhe max⟨ Una forma de enunciar las características necesarias de como recuperar la señal limitada en banda a partir de las muestras es la siguiente: Para recuperar adecuadamente una señal limitada en banda g(t) a partir de g(k), formar el tren de impulsos g*(t) y pasarlo a través de un filtro pasabajas, lo cual permitirá el paso de las frecuencias de g(t) bajo la frecuencia de banda limite fB y eliminara todas las frecuencias arriba de 1/2T. Este arreglo se muestra en la figura no. 2-3a, El filtro requerido tiene una respuesta en frecuencia como se muestra en la figura no. 2-3b si la señal reconstruida no tiene retardo, en la practica un corrimiento de fase es proporcional a la frecuencia, lo cual representa un retardo de tiempo en la reconstrucción, lo cual es aproximado. La respuesta en frecuencia de un retenedor de orden cero se muestra en la figura no. 2-3c , la cual se aproxima a un pasabajas con un retardo en el tiempo.

Figura 2-3 Teorema de reconstrucción.


Control Digital. Ejemplo. Dado un sistema con una función de transferencia Z :

D z zz z

( ) =+

+ +2 5

3 2

2

2

La cual esta descrito por la siguiente ecuación de diferencias:

y k y k y k r k r k( ) ( ) ( ) ( ) (+ = − + − + + +2 3 1 2 2 2 5 )

Podemos realizar un programa en algún lenguaje de alto nivel, de preferencia en aquellos del tipo orientados a objetos (C++) o en su defecto los estructurales (Lenguaje C). para este ejemplo construiremos el siguiente diagrama de flujo que se muestra en la figura no. 2-4. En este caso las variables Y2, Y1, y Y0 son utilizadas para y(k+2), y(k+1) y y(k), respectivamente mientras R2, R1, y R0 representan r(k+2), r(k+1) y r(k); Las condiciones iniciales para Y0, Y1, R0 y R1 en el primer paso son cero. después el valor de R2 es leído del convertidor A/D , Y2 se calcula y los valores de Y0, Y1, R0 y R1 son dados de alta para el próximo ciclo de calculo, Y2 es la salida del convertidor D/A . Asumiendo que existe tiempo suficiente entre muestras para realizar los cálculos, el programa espera hasta recibir una nueva muestra, calcula la próxima muestra de Y2 y de esta manera hasta el final.

Figura 2-4. Diagrama de flujo para implementar la función de transferencia con ayuda de la computadora.


Control Digital. Problemas. 1. Dibujar la respuesta al impulso del reconstructor de Shannon dado por la ecuación 1. 2. La señal f(t)= a1 Sen 295 t + a2 Sen 20 t Es la entrada a un circuito de orden cero, muestreador retenedor.¿ Cuales frecuencias existen a la salida si el periodo de muestreo es: h=0.2 ? Tema 2.3 Transformación de modelos de estado:

Tiempo continuo a tiempo discreto. Muestreo de un sistema en tiempo continuo Asumiendo que el sistema en tiempo continuo esta descrito de la siguiente forma.

DuCxytDutCxty

tButAxdtdx

tButAxx

+=+=

+=

+=

)()()(

)()(

)()(&

Ecuación 1.

Donde el sistema tiene R entradas T salidas y un orden N. Las relaciones entre las variables del sistema y las constantes de muestreo, pueden ser determinados para el estado en el instante de muestreo tk el estado en un tiempo futuro t, se obtiene resolviendo la ecuación:

[ ])()()(),(

)(')(

')'()()(

11

)'()(

)'()(

111

kkkkkk

t

tk

stAk

ttA

t

t

stAk

ttA

tutttxtt

tBudsetxe

dssBuetxetxk

k

kkk

k

k

++=

+=

+=

++

−−

−−

∫∫

++−

φEcuación 2.

La 2ª igualdad se da por el hecho que u es constante entre los instantes de muestreo Entonces el vector de tiempo t es una función lineal de x(tk) y de u(tk). Si los convertidores A/D y D/A de la figura no. 2.1 están perfectamente sincronizados y si los tiempos de conversión son despreciables la entrada u y la salida y pueden considerarse como muestreados en los mismos instantes de tiempo. El sistema de ecuaciones de un sistema muestreado es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )kkk

kkkkkkk

tDutCxtytutttxtttx

+=Γ+Φ= +++ ,. 111

Ecuación 3.


Control Digital. Donde:

∫+

+

=Γ

=

+

−+

1

1

01

)(1

),(

),(k

kk

t Askk

ttAkk

dsBett

ettφ

Las relaciones entre las señales muestreadas puede expresarse por la ecuación de diferencias lineal anterior. Se debe notar que la ecuación anterior no involucra alguna aproximación, es decir, nos da los valores exactos de las variables de estado de salida en los instantes de muestreo, ya que la señal de control es constante entre los instantes de muestreo. En muchos casos D=0, una razón de esto es porque los sistemas controlados por computadora, la salida y (tk) primero se mide y la señal de control se genera como una función de la salida. En la practica si es significativo el retardo entre las conversiones de A y AD, sin embargo es sencillo realizar las modificaciones. El vector de estado entre los puntos de muestra puede calcularse mediante la ecuación 2. Esto hace posible investigar entre los instantes de muestreo del sistema su comportamiento. Para un muestreo periódico con un periodo h,

tk = k h Por lo que el modelo descrito por la ecuación 3, se simplifica a un sistema invariante en el tiempo.

)()()()()()(khDukhCxkhykhukhxhkhx

+=Γ+=+ φ

Ecuación 4.

Donde

∫ ∫=Γ

=h hAs

Ah

BdssBdse

e

0 0)(.... φ

φ

Ecuación 5. Como calcular φ y Γ Los cálculos requeridos para muestrear un sistema en tiempo continuo son la evaluación de la matriz exponencial y la integración de la matriz exponencial. Algunos de los métodos son: 1. Expansión en series de la matemática exponencial. 2. Utilizando la transformada de Laplace

1)( −−→ ASIeAh


Control Digital. 3. Utilizando el teorema de Cayley Hamilton 4. Utilizando la transformación diagonal o forma de Jordan. Los cálculos a mano son fáciles de realizar para sistemas de orden bajo n y para sistemas de orden alto con estructuras especiales

2≤

Una forma de simplificar los cálculos es utilizando :

)!1(...

!3!2

132

0

2

+++++==Ψ

+

∫ ihAhAAhIhdseiih Asφ

Y las matrices φ y Γ están dadas por

BAI

Ψ=ΓΨ+=φ

Ejercicio. Consideremos un doble integrador, el cual esta representado mediante el siguiente sistema expresado en variables de estado.

[ ]

[ ] )(01)(

)(2)(10

1)(

!3!2

0110

0010

2

322

khxkhy

khuh

hkhx

hhkhx

hAAhIhe

xy

uxx

Ah

=

+

=+

++==Ψ

=

+

=

•

Operación inversa del muestreo. Muestrear un sistema define un mapeo de sistemas en tiempo continuo, como el descrito por la ecuación 1 a sistemas en tiempo discreto ecuación 4, aunque este tipo de operación no siempre puede realizarse. Por ejemplo, en el siguiente sistema; No existe una ecuación diferencial, que después del muestreo nos de la ecuación de diferencia:

)()(5.0)( khukhxhkhx +−=+ porque

existe no 5.0−=heα


Control Digital. La cual no tiene solución real ya que las exponenciales siempre son positivas. Sin embargo, si la matriz φ tiene eigenvalores sobre el eje real x, existe un correspondiente sistema en tiempo continuo el cual puede obtenerse resolviendo las siguientes ecuaciones.

)ln()ln( /1 h

hA φφ

==

Donde ln(φ) es una función matriz logarítmica. Y

ΓΨ= −1B Si el sistema no contiene integradores, entonces (φ-I) es una matriz no singular

Γ−=ΓΨ=ΓΨ= −−− AIAAB 111 )()( φ Muestreo de sistemas con retardo de tiempo. Los retardos son comunes con los modelos matemáticos de procesos industriales. Sea el siguiente sistema

)...()( ztButAxx −+=& Si asumimos que inicialmente el retardo en el tiempo t es menor que el periodo de muestreo; el sistema en tiempo discreto puede calcularse integrando sobre un periodo de muestreo.

∫+ −+ −+=+hkh

kh

shkhAAh dszsBuekhxehkhx ')'()()( )'(

Si una señal u (t) es constante sobre el intervalo de muestreo, la señal de retardo deberá sin embargo, cambiar en los instantes de muestreo. Para evaluar la integral de la ecuación es conveniente dividir el intervalo de muestreo en 2 partes, tal que u (t-T) sea constante en cada parte: por lo que.

)()(

)(')('

01

2

)'()'(

khuhkhu

khuBdsehkhuBdsehkh

kh

kh

kh

hkh

kh

shkhAshKhA

Γ+−Γ∴=

+−=∫ ∫ ∫+ + +

+

−+++τ

El muestreo de un sistema en tiempo continuo descrito por la ecuación nos da.

∫∫

−

−

=Γ

=Γ

=

−Γ+Γ+=+

τ

ττ

φ

φ

h As

AshA

Ah

dsBe

Bdsee

ehkhukhukhxhkhx

00

0

)(1

10 )()()()(


Control Digital. Y su modelo de estados

)()(

)(00)(

)( 01khu

Ihkhukhx

khuhkhx

Γ+

−

Γ=

+ φ

Notar que las variables de estado extras u(kh-h ) representar los valores pasados de la señal de control. Ejercicio. Considerar el doble integrador del ejercicio anterior e introducir un retardo en el tiempo 0≤ τ ≤ h. Para encontrar la representación en tiempo discreto de este sistema simplemente hay que sustituir valores en las ecuaciones anteriores y resolverlas utilizando el método de la transformada de laplace ( método mas utilizado aunque tiene la desventaja que si la matriz A es singular no se puede aplicar).

==

101 h

eAhφ

−=

−==Γ ∫−

τττ

ττττ

τ )2/(2/10

1 2

0

)(1

hhBdsee AshA

∫−

−

−==Γ

τ

τ

τhAs

h

hdsBe

0

2

0 2)(

Ejercicios complementarios: Considerar el sistema:

cxybuaxx

=+−=

•

sea una entrada constante con periodo h. Muestrear el sistema y discutir como los polos del sistema en tiempo discreto varía con el intervalo de muestreo h.

( ){ }( )

( )

( ){ }ah

ah

Ah

eeASIL

asASI

asASIASILe

−

−−−

−

−−

=

=−=+

=−

+=−−==

φ

φ

11

1

11

1


Control Digital.

[ ]

[ ]1

00

0

−=Γ

+−=Γ

−==Γ

=Γ

−

−

−−∫

∫

ah

ah

hash

as

h As

eab

eab

ab

eabbdse

dsBe

El modelo en tiempo discreto es:

( ) ( ) [ ] ( )

)()(

11

kCxky

kueabkxekx ahah

=

−+=+ −−

Aplicando la transformada z y la función de transferencia pulso se obtiene

[ ]

[ ]

ah

ah

ahah

ahah

ezaeCb

zH

eab

ezC

eabezCzH

zICzH

−

−

−−

−−−

−

−

−

=

−−

⇒

−−=

−=

)1(

)(

1

1)()(

)()(

1

1σφ

El polo que encontramos es e-ah al intervalo

h = 0 Polo = 1 h→ ∞ Polo → 0

Encuentre el correspondiente sistema en tiempo discreto cuando utilizamos un circuito retenedor de orden cero: a)

[ ]xy

uxdtdx

0110

0110

=

+

−

=


Control Digital.

Solución:

( ){ }

( ){ }

[ ]

+−=

−=

=

=

−

=−=

++−

++=

−+

=

−=−

−==

∫

∫

−−

−−

−−

senh1cosh

sencos

cossen

coshsenhsenhcosh

111

11

11

11

11

1)(

00

0

11

22

22

2

11

11

σ

σ

σ

φ

φ

hh

h As

Ah

ss

dsss

Bdse

ASIL

ss

s

sss

ss

sss

ASI

ASILe

Representación en tiempo discreto:

[ ] )(01)(

)(senh

cosh1)(

coshsenhsenhcosh

)(

)()()()(

khxkhy

khukhxhkhx

khCxykhukhxhkhx

=

+−+

−

=+

=+=+ σφ


Control Digital. b)

uy

udtyd

=

=

•••

3

3

Solución:

( )

( )

−=

−=

−

−

=

−

−

=

−−

=

−

−=−

+

=

==

==

==

=

∫

−

−

•

••••

•••

••

h

h

h

dss

s

kh

khkh

s

ss

sss

s

sss

ss

ss

sASI

uxx

yxx

yxx

yxx

yx

h

2

5

1

2

10010

21

100

110

111

000

1

0010

01

100

000100010

2

3

0

2

2

2

32

3

2

2

2

1

1

34

23

12

1

σ

φ

Representación en tiempo discreto:


Control Digital.

( )

( )

[ ] )(001)(

)(2

5

)(100

102

12

32

khxkhy

khu

h

h

h

khxkh

khkh

hkhx

=

−+

−

−

=+

De los siguientes sistemas en tiempo discreto, determinar si es posible su correspondiente representación en tiempo continuo:

a)

( ) ( ) )(65.0 hkhuhkhykhy −=−+ solución:

hA

Ahe

ehkhuhkhykhy

Ah

Ah

φφφ

φ

lnln

lnln

)(6)(5.0)(

=

==

=

−+−−=

por lo tanto si:

Noexisteh

A ⇒−

=

<)5.0ln(

0φ

Si tiene un elemento negativo, no existe solución real. φ b)

( ) ( ) (

( ) [ ] ( )khxkhy

khukhxhkhx

117.05.0

3.0015.0

=

+

−

−=+ )

Siguiendo el procedimiento anterior, podemos observar que la matriz tiene elementos negativos y por lo tanto no es posible su representación en tiempo continuo.

φ

Muchos sistema físicos pueden ser descritos de la siguiente forma.


Control Digital.

ugf

xdcba

dtdx

+

−

−=

Donde a, b, c, d, son no negativos. Encuentre una forma para sistemas muestreados utilizando un retenedor de orden cero.

Tema 2.4 Formas canónicas de los modelos de espacio de estado.

Solución de un sistema de ecuaciones. Un sistema invariante en el tiempo discreto, puede describirse por la ecuación de diferencias:

)()()()()1(

kCxkykukxkx

=Γ+=+ φ

Por simplicidad, el tiempo de muestreo h=1. Asumiendo que x(ko) y sus señales de entrada u (ko) u(k0 +1) .... se conocen. Es posible resolver la ecuación 1 simplemente utilizando iteraciones:

∑−

=

−−−

−−−

+++

+

Γ+=

−Γ++Γ+=

Γ+=Γ+=

11

0

01

0

101020

0010

0

0

00

)()(

)1(...)()()()()()(

)()()(

k

kj

jkkk

kkkk

jukx

kukukxkxkukxkxkukxxkx

φφ

φφ

φφ

En donde la solución consiste de 2 partes; una depende de las condiciones iniciales y otra es la contribución de las señales de entrada. Los eigenvalores de Φ determinaran las propiedades de la solución y los eigenvalores se obtienen al resolver la ecuación característica:

[ ] 0det =−φλI Cambio de coordenadas en los modelos de espacio de estados. Considerando T como una matriz no singular y definiendo un nuevo vector de estado.

)()( kTxkz =

)()(

)())()()()1()1( 1

kukz

kuTkzTTkuTkxTkTxkz≈≈

−

Γ+=

Γ+=Γ+=+=+

φ

φφ

tenemos y


Control Digital.

)()()()()()()( 1 kDukzCkDukzCTkDukCxky +=+=+=≈

−

La representación en variables de estado depende del sistema de coordenadas seleccionado para representar el estado. Existen transformaciones que hacen que el sistema permanezca invariante, las cuales resultan interesantes debido a sus aplicaciones. Teorema: Invarianza de la ecuación característica. La ecuación característica

[ ] 0det =−φλI Es invariante cuando los nuevos estados son introducidos a través de una matriz de transformación o singular. Prueba

[ ][ ]

[ ]φλφλ

φλφλ

−=−=

−=

−

−

−−≈

ITIT

TTTTI

detdetdetdet

detdet

1

11

Forma diagonal. Asumimos que φ tiene distintos eigenvalores, que existe una matriz T tal que

=−

n

TT

λ

λ

φ

...00

....

...0

0...01

1

Donde λi son eigenvalores de φ.

En este caso se obtiene un conjunto de ecuaciones de diferencia desacoplado. De esta manera el sistema de ecuaciones se vuelve simple y tendrá una solución.

∑−

=

−−+=1

01 )()0()(

k

jii

kii juBZkZ ijkλλ

Si φ tiene múltiples eigenvalores, entonces no es posible diagonalizar φ y por lo tanto debemos utilizar la forma de Jordan.


Control Digital. Forma observable. Asumiendo que φ tiene la ecuación característica.

[ ] 0...det 11 =+++=− −

nnn aaI λλφλ

Y que:

singular no es

.

.

.

1

0

=

−nC

CC

w

φ

φ

Entonces existe una matriz de transformación tal que el sistema transformado es

[ ] )(0...01)(

)(...

)(

0...001...00

....

..0...100...01

1

2

1

1

2

1

kzky

ku

bb

bb

kz

aa

aa

n

n

n

n

=

+

−−

−−

−−

Con esta forma es fácil obtener el modelo de entrada salida para determinar un observador adecuado. Forma controlable. Asumiendo que la ecuación característica de φ es A

[ ] 0...det 11 =+++=− −

nnn aaI λλφλ

Y que

45[ ] singular no es . . . 12-n ΓΓΓΓ= −n

cw φφφInstituto Tecnológico de Puebla

Control Digital. Existe una transformada tal que el sistema transformado es

[ ] )(...)(

)(

0...001

)(

01...00.........00...1000...01

...

)1(

1

121

kzbbky

kukz

aaaa

kz

n

nn

=

+

−−−−

=+

−

La cual es conocida como la forma canónica.

Tema 2.5 Modelos de entrada y salida.

Un sistema dinámico puede describirse utilizando modelos internos o externos: los modelos internos / modelos de espacio de estados describen los acoplamientos internos entre las variables del sistema. Y los modelos externos las relaciones entre las entradas y salidas del sistema. Consideremos un sistema en tiempo discreto con una sola entrada y salida: las señales de entrada y salida pueden representarse mediante vectores.

[ ][ ]T

T

y

u

)y( , . . . ),y(

)u( , . . . ),u(

1-N0

1-N0

=

=

En general, un modelo que relaciona Y con U puede expresarse como:

pYUHY += H es una matriz de N x N , Yp contiene las condiciones iniciales. Si las relaciones entre U y Y son casuales, la matriz H debe ser triangular inferior. El k-ésimo elemento de h(k,m) de H es cero si m>k. La relación entrada salida para un sistema lineal puede escribirse como:

∑=

+=k

mp kymumkhky

0)()(),()(


Control Digital. Donde yp(k) introduce las condiciones iniciales al sistema h(k,m), respuesta al impulso o en función del peso del sistema.

La función de respuesta al impulso es una representación adecuada porque se puede medir en forma real, directamente usando la inspección del impulso, de magnitud unitaria y ancho de intervalo de muestreo.

Para condiciones iniciales iguales a cero, h(k,m) de la respuesta al impulso es una salida en el tiempo tk para un impulso unitario en el tiempo tm.

Para sistemas invariante en el tiempo, la respuesta al impulso es una función de km solamente.

h (k,m) = h(k,m)

Es fácil calcular la respuesta al impulso de un sistema definido mediante variables de estado:

Se puede representar de la siguiente manera: k-1

y(k) =CΦ(k-k0) – x(k0) + Σ CΦ(k-j-1) Γ u(j) j=k0

Por lo que la respuesta a la función impulso es: H(k) = 0 | k<1 CΦ(k-1) Γ | k> 1 Y la respuesta al impulso es la suma de las funciones de la forma:

Re { p(k) xi *}

Donde : P es un polinomio en k. xi son los eigenvalores de Φ.

Teorema: La respuesta al impulso es invariante con respecto a la transformación de coordenadas del modelo de espectro del estado.

Prueba:

Introduciendo nuevas coordenadas z = T x la respuesta al impulso del sistema transformado es:

)()()(

1111

1111

khCTTTCTTTTCTCkh

kk

kk

=Γ=Γ=

Γ=Γ=−−−−

−−−−

φφ

φφ

Cálculo del operador de corrimiento:

Seleccionando una secuencia como:

f(k): k= -1, 1, 0, 1...


Control Digital.

Y para un periodo de muestreo igual a la unidad, el operador de corrimiento hacia adelante está denotado por q y tiene la siguiente propiedad:

q f (k) = f(k+1)

y la norma de la señal es: ∞ || f || 2 = Σ f 2 (k)

k=-∞

Y el inverso del operador de corrimiento es :

q-1 f(k) = f(k-1)

El operador es utilizado para simplificar la manipulación de ecuaciones de diferencia de un orden alto.

Considerar la ecuación: y(k+an) + a1 (k+an-1) + ana y(k) = b0(u(k+bn) + bnbu(k). donde

na>nb utilizando el operador tenemos: (qn + ana-1 + ana)y(k) = (b0qbn + ... + bnb)u(k) introduciendo polinomios: A(z) = z na + ai z na-1 + ... a na

B(z) = b0 z nb + b1 z nb-1 + ... + b nb

La ecuación de diferencias puede escribirse como:

A(y)u(k) = B (y)u(k)

Y cuando sea necesario el grado del polinomio se puede indicar con un subíndice Ana(q) pero la misma ecuación puede expresarse utilizando el otro operador q –1.

Y(k) + ai y (k-1) + ... + ana y (k –an) = b0 u (k-d) + ... + bn by(k-d-bn)

donde:

d=na=nb

El polinomio: A*(z)= 1+ ai z+ .. + ana z na = z na A(z –1)


Control Digital. Se obtiene a partir del polinomio A poniendo en orden inverso los coeficientes y se conoce como Polinomio recíproco. Por lo tanto, la ecuación de diferencias final es: A*(q –1) y(k) = B* (q –1)u(k-d) El polinomio:

A(z)=z

Tiene el polinomio reciproco:

A*(z)=1 Y

A**(z)=1 Ejemplo: En este ejemplo observaremos como actúan las condiciones iniciales. y(k+1) – ay(k) = a(k) donde:

|a| < 1 Utilizando el operador de corrimiento tenemos: qy(k) = y(k+1) (q –a)u(k) = u(k) Si y(k0)=y0

k-1 y(k) = a k-k0 y0 + Σ a k-j-1 u(k) y = k0

k-k0

y(k) = a k-k0 y0 + Σ a i-1 u(k - i) i=1

Una solución formal, también la podemos obtener utilizando el operador de corrimiento :

)(1

)(1)( 1

1

kuaqqku

aqky −

−

−=

−=

q-1 tiene norma unitaria, por lo que podemos afirmar que el lado derecho converge a la serie:


Control Digital. y(k) = q –1 ( 1+ aq –1 + a2q2 +...)u(k)

∑∞

=

− −=1

1 )(i

i ikua

Las solución de la ecuación de diferencia es igual por los dos caminos si consideramos que: y0 = 0 o que . ∞→− 0kk Operador de la Función de Transferencia de Pulso. Esta función se obtiene fácilmente a partir de la descripción del sistema eliminando las variables internas utilizando únicamente manipulaciones puramente algebraicas.

x(k+1)= q x(k)= Φ x(k) + Γ u(k) aplicando el operador de corrimiento:

(qI-Φ) x(k) = Γ u(k)

sustituyendo tenemos:

y(k) = (C x(k) +D u(k) ) = [C (q I - Φ)-1Γ+ D] u(k).

Por lo que el operador de transferencia de pulso es:

H(q) = C (qI- Φ)-1Γ + D.

expresado en función del operador de atraso H*(q-1) = C (I- q-1Φ)-1 q-1Γ+ D = H(q) . para un sistema con una sola entrada y salida

H(q) = C(q I - Φ)-1 Γ+ D = B(q) A(q) Si el vector de estado es de dimensión n y los polinomios A(k) y B(k) no tienen factores comunes, entonces el polinomio A es de grado n y el polinomio característico de Φ es A, lo cual significa que el modelo de entrada y salida puede escribirse como :

y(k)+ a1 y(k-1) + .. + an y(k-n) = b0 u(k)+ ... + bn u(k-n)

El caso es común cuando b0=u es decir, no hay término directo en el sistema de tiempo discreto. Usualmente Y(k) se mide primero y después se determina u(k).


Control Digital. Ejemplo: Considerando el doble integrador con h = 1, tenemos:

( ) ( )

[ ] )(01)(

)(2101

2

khxkhy

khuh

hkhx

hhkhx

=

+

=+

De la ecuación función de pulso

)()()()( 1

qAqBDqICqH =+−= − σφ

Encuentre H(q). Solución:

[ ]

( )[ ]

( )[ ] ( )

( )[ ]

( )( )

21

21

2

2

2

22

22

2

1

21)(5.0)(

12)1(5.0

1215.0

115.05.0)(

1)1(5.01

11

115.001

11)(

15.0

1011

011

1)(

121

1011

01)(

qqqqqH

qq

qqq

qqq

qqqH

qqq

qq

qH

qq

qqH

qq

qH

+−+

=

+−

−

+−−

=−

+−=

+−−

=

−

+−

−=

−

−

−=

−

−−=

−

−−

−

−

−

Ejemplos complementarios. Un sistema de dos tanques, como señal de entrada es el flujo del primer tanque y la salida es el nivel del segundo tanque. Usando los niveles como variables de estado del sistema, tenemos :

[ ] ( )txty

txdtdx

10)(0

0263.0)(

0129.00178.000197.0

=

+

−

−=


Control Digital. a) Muestre el sistema con un periodo de muestreo de h=12.

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )

+−=

+++

+=

+−

+=−=

−−−

−

−−

ttt

t

eeee

sss

ss

sASI

0129.00129.00197.0

0197.0

11

617647059.2617647059.20

0129.01

0129.00197.010178.0

00197.0

1

0129.00178.000197.0

φ

φ

Cuando h = 12, se tiene:

=

8565864776.0175700797.007894648248.0

φ

y para encontrar los valores de : Γ

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

+−+−

=Γ

+−=Γ

−−−

−

−−

−

∫

842128045.1336753306.5494625261.3335025381.1355025381.1

50688441176.050688441176.00263.0

0129.00197.0

0197.0

00129.00197.0

0197.0

hh

h

h

tt

t

eee

dtee

e

y al evaluarlo con valores de h = 12 tenemos:

=

029621048.0281069802.0

φ

b) Verifique que la función de transferencia de pulso para el sistema es:

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

6762448935.0646051302.1029621048.050259994127.0)(

8565864776.01029621048.0

8565864776.07894648248.0120493841882.0)(

8565864776.01

8565864776.07894648248.01175700797.0

07894648248.0

1

)(

8565864776.0175700797.007894648248.0

)(

68.065.1026.003.0

2

1

11

1

20

+−+

=

−+

−−=

−−−

−=−

−−

−=−

+−=

+−+

=

−

−−

−

qqqqH

qqqqH

qqq

qqI

qq

qI

CIqCqH

qqqqH

φ

φ

σφ


Control Digital. Utilice para el doble integrador e introduzca un retardo de 0.5 segundos con la ecuación: 1=h

( )

( )

( )

[ ]( )

21

321

2

2

2

1

2

1

1

1

2

0

2

00

1

2

1

01

11

1

21)6(125.0

)12()16(125.0)(

12)6(125.0)(

1275.0125.0125.0)(

5.05.0375.0125.0

110

11

01)(

5.0125.0

2

5.0375.0

2

5.0125.0

2101

101

)()(

−−

−−−

−

−

−

−

−

−

−−

+−++=

+−++=

+−++

=

+−++

=

++

−

−

−

=

=

−

−==

=

−=

=

−=

=

==

+−=

∫

∫

qqqqq

qqqqqqH

qq

qqqqqH

qqqqqH

qq

qq

q

qH

h

hdsBe

h

h

dsBee

he

qqICqH

hAs

AshA

Ah

o

σ

τ

τσ

τ

ττσ

τ

ττσ

σ

φ

σσφ

τ

ττ

Considerar el siguiente sistema, el cual se encuentra escrito en su forma canónica observable.

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )kxky

kubb

kxaa

kx

0101

12

1

2

1

=

+

−−

=+

Con el operador de la función de transferencia pulso se obtiene:


Control Digital.

[ ]

[ ]

22

11

22

11

212

21

2

1

12212

2

11

2

1

1)(

1011)(

101)(

−−

−−

−

+++

=++

+=

+−++

=

−+=

qaqaqbqb

aqaqbqbqH

bb

aqaq

aqaqqH

bb

qaaq

qH

Un sistema en tiempo continuo con la función de transferencia:

τses

sG −=1)(

es muestreado con h donde 1= 5.0=τ Determine la representación en espacio de estados del sistema muestreado, ¿Cuál es el orden del sistema?

( )

( )

)()()()()(

1)(

)(0

)(

)(

)()(

1)()()(

00

1

0

00

0

1

11

1

hkhukhuhkhxhkhx

sdsBee

h

BhBdssdsBe

hkhxxy

tuxx

tuyx

yxtuy

suesy

essu

sysG

AshA

hh

As

s

s

−+−+=+

===

−=

−===

==+

=−+=

−==

=−=

=

==

∫

∫

−

−−

•

••

•

−

−

ττ

τσ

τσ

τσ

φ

τ

τ

τ

ττ

τ

ττ

τ

τ

Como se puede observar en la ecuación desarrollada, el sistema es de primer orden.


Control Digital. Referencias Bibliográficas. [1] Design of Feedback Control Systems Gene H. Hostetter Clement J. Savant, JR. Raymond T Stefani. HRW Saunders. [2] Computer controlled system.

Theory and Design Karl J. Astrom. Bjorn Wittenmak. ISA.

[3] Sistemas Automáticos de control

Benjamín C. Kuo. Prentice Hall.


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