ANEXO NÚMERO 1

ANEXO NÚMERO 1

Teoría de transitorios hidráulicos

ÍNDICE:

1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................................1

1.1. TIPOS DE TRANSITORIOS HIDRÁULICOS ..............................................................................................1

1.2. DESCRIPCIÓN CONCEPTUAL DE LOS MODELOS DE RESOLUCIÓN .........................................................1

2. MODELO FÍSICO: ECUACIONES CONSTITUTIVAS Y METODOLOGÍA ..............................3

2.1. ECUACIONES CONSTITUTIVAS ............................................................................................................3

2.1.1. Balance diferencial de masa .....................................................................................................3

2.1.2. Balance diferencial de fuerzas ..................................................................................................6

2.1.3. Obtención de los modelos simplificados ...................................................................................9

2.1.4. Introducción a las condiciones de contorno ...........................................................................10

2.1.4.1. Punto de presión constante .............................................................................................................. 11

2.1.4.2. Válvula de retención........................................................................................................................ 11

2.1.4.3. Válvula motorizada ......................................................................................................................... 12

2.1.4.4. Cambio de sección recta en una tubería simple ............................................................................... 12

2.1.4.5. Confluencia de tuberías en un nodo................................................................................................. 13

2.2. MODELOS DE ESTUDIO DE UN TRANSITORIO HIDRÁULICO ................................................................13

2.2.1. Modelo estático.......................................................................................................................13

2.2.1.1. Principio de cálculo del modelo estático ......................................................................................... 14

2.2.1.2. Base matemática del modelo estático .............................................................................................. 14

2.2.1.3. Modelo estático en sistemas complejos ........................................................................................... 15

2.2.1.4. Técnicas de resolución numéricas ................................................................................................... 15

2.2.2. Modelo rígido .........................................................................................................................17

2.2.2.1. Base matemática del modelo rígido................................................................................................. 17

2.2.2.2. Modelo rígido en sistemas complejos.............................................................................................. 18

2.2.2.3. Técnicas de resolución numéricas ................................................................................................... 18

2.2.2.4. Modelo estático o modelo rígido ..................................................................................................... 19

2.2.3. Modelo elástico.......................................................................................................................19

2.2.3.1. Base matemática del modelo elástico ............................................................................................. 20

2.2.3.2. Técnicas de resolución numérica..................................................................................................... 20

3. MODELO MATEMÁTICO: TRATAMIENTO DEL SISTEMA DE ECUACIONES .................21

3.1. FORMA MATRICIAL DEL SISTEMA DE ECUACIONES ...........................................................................21

3.2. CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES ................................................................................21

3.2.1. Valores propios del sistema ....................................................................................................21

3.2.2. Clasificación ...........................................................................................................................22

3.3. FORMA NORMAL DEL PROBLEMA .....................................................................................................22

4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN NUMÉRICA ..................................................................................24

4.1. MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DEL MODELO ELÁSTICO ...................24

4.1.1. Obtención de soluciones sobre el sistema simplificado ..........................................................24

4.1.1.1. Características del sistema simplificado .......................................................................................... 27

4.1.1.2. Condiciones de contorno ................................................................................................................. 28

4.1.2. Método de las características: integración numérica del sistema..........................................29

4.1.2.1. Forma en características del sistema................................................................................................ 29

4.1.2.2. Discretización del sistema ............................................................................................................... 30

4.1.2.3. Convergencia y estabilidad del método de las características.......................................................... 33

4.2. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE LA ONDA CARACTERÍSTICA ................................................................34

4.2.1. Bases del método de la onda característica............................................................................35

4.2.1.1. Relaciones básicas del método ........................................................................................................ 35

4.2.2. El método de la onda característica .......................................................................................36

4.2.2.1. Transmisión de las ondas de presión ............................................................................................... 36

4.2.2.2. Coeficientes de las ecuaciones características de los elementos...................................................... 38

4.2.2.2.a. Elementos resistivos ................................................................................................................ 38

4.2.2.2.b. Elementos activos.................................................................................................................... 39

4.3. COMPARATIVA ENTRE EL MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS Y EL MÉTODO DE LA ONDA

CARACTERÍSTICA ....................................................................................................................................39

4.3.1. Utilización en el ámbito europeo ............................................................................................40

4.4. OTROS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN ...................................................................................................41

4.4.1. Fórmula de Michaud...............................................................................................................41

4.4.2. Pulso de Jukowski ...................................................................................................................42

4.4.3. Procedimiento de Allievi.........................................................................................................43

4.4.4. Método gráfico de Schnyder-Bergeron...................................................................................45

4.4.4.1. Fundamentos básicos....................................................................................................................... 46

4.4.4.2. Obtención de la solución gráfica ..................................................................................................... 46

4.4.4.3. Ejemplo gráfico ............................................................................................................................... 47

5. CONDICIONES DE CONTORNO CON EL M.C............................................................................49

5.1. CONDICIONES DE CONTORNO BÁSICAS.............................................................................................49

5.1.1. Nodo normal ...........................................................................................................................49

5.1.2. Válvula ....................................................................................................................................49

5.1.3. Depósito aguas arriba ............................................................................................................50

5.1.4. Depósito aguas abajo .............................................................................................................51

5.1.5. Depósito en línea ....................................................................................................................52

5.1.6. Nivel constante aguas abajo ...................................................................................................53

5.2. CONDICIONES DE CONTORNO DE ELEMENTOS QUE INTRODUCEN TRANSITORIOS POR OSCILACIONES

NO PERIÓDICAS .......................................................................................................................................53

5.2.1. Características hidráulicas de las válvulas ............................................................................54

5.2.1.1. Coeficientes para la caracterización hidráulica................................................................................ 54

5.2.1.2. Caracterización hidráulica de una válvula ....................................................................................... 55

5.2.1.3. Sistema de ecuaciones para la aplicación del método de las características .................................... 57

5.2.2. Características hidráulicas de las bombas .............................................................................58

5.2.2.1. Caracterización hidráulica de una bomba........................................................................................ 58

5.2.2.1.a. Modelización del comportamiento de una bomba en el primer cuadrante............................... 58

5.2.2.1.b. Inercia de un grupo impulsor................................................................................................... 59

5.2.2.1.c. Comportamiento generalizado de una bomba.......................................................................... 61

5.2.2.1.d. Curvas universales de Marchal, Flesch y Suter ....................................................................... 62

5.2.2.2. Ecuación de una estación de bombeo .............................................................................................. 66

5.2.2.3. Sistema de ecuaciones para la aplicación del método de las características .................................... 66

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES:

Figura A1.1. Volumen de control sobre el que se efectúa el balance diferencial de masa (fuente:

referencia [3] bibliografía). .........................................................................................................................3

Figura A1.2. Relación entre alturas piezométricas y presiones (fuente: referencia [3] bibliografía). .......6

Figura A1.3. Volumen de control sobre el que se efectúa el balance de fuerzas (fuente: referencia [3]

bibliografía). ................................................................................................................................................7

Figura A1.4. Condición de contorno en un nudo de tuberías (fuente: referencia [3] bibliografía)..........13

Figura A1.5. Dominio de dependencia de las soluciones u(x,t) (fuente: referencia [3] bibliografía)......26

Figura A1.6. Dominio de influencia de la condición inicial en un punto ξ (fuente: referencia [3]

bibliografía). ..............................................................................................................................................27

Figura A1.7. Dominios de dependencia de las características sobre un punto cualquiera P (fuente:

referencia [3] bibliografía). .......................................................................................................................28

Figura A1.8. Discretización del nodo ij mediante el método de las características con el esquema en

diferencias finitas explícito de primer orden (fuente: Joan Soler). ............................................................31

Figura A1.9. Propagación de una onda de presión en una tubería (fuente: referencia [5] bibliografía).35

Figura A1.10. Acción de una onda de presión ante una discontinuidad o elemento (fuente: referencia [5]

bibliografía). ..............................................................................................................................................36

Figura A1.11. Diagrama para obtener la máxima presión de golpe de ariete cuando se cierra la

admisión a cualquier velocidad (fuente: referencia [1] bibliografía)........................................................44

Figura A1.12. Diagrama para obtener la mínima presión de golpe de ariete cuando se abre la admisión

(fuente: referencia [1] bibliografía)...........................................................................................................45

Figura A1.13. Aplicación del método de Schnyder-Bergeron (fuente: referencia [1] bibliografía). ........48

Figura A1.14. Curvas de sobrepresiones en función de los tiempos (fuente: referencia [1] bibliografía).

....................................................................................................................................................................48

Figura A1.15. Esquema de un depósito situado aguas arriba de una conducción (fuente: Joan Soler). ..50

Figura A1.16. Esquema de un depósito situado aguas abajo de una conducción (fuente: Joan Soler). ...51

Figura A1.17. Esquema de un depósito situado en línea con la tubería (fuente: Joan Soler)...................52

Figura A1.18. Gráfico φ(θ) – θ para tres tipos típicos de válvulas (fuente: referencia [3] bibliografía). 57

Figura A1.19. Campos de trabajo de una bomba en el diagrama q – α....................................................62

Figura A1.20. Curvas de Marchal et al. para la altura de bombeo. .........................................................65

Figura A1.21. Curvas de Marchal et al. para el par de la bomba.............................................................66

ÍNDICE DE TABLAS:

Tabla A1.1. Definición de las distintas zonas de trabajo de un grupo impulsor. ......................................61

Tabla A1.2. Curvas de Marchal, Flesch y Suter. .......................................................................................65

NOMENCLATURA GENERAL:

La nomenclatura que se presenta a continuación es la empleada tanto en el anexo de teoría de

transitorios hidráulicos presente como en el conjunto de todo el documento.

a Celeridad de la onda

A Área de la sección

D Diámetro

e Espesor

E Módulo de Young

f Factor de fricción

F Fuerza

g Gravedad

H Altura piezométrica

∆Hv Pérdida de carga

I Momento de inercia

K Elasticidad del medio

L Longitud

M Par motor

N Velocidad de giro de una bomba

p Presión

P Potencia de un motor

t Tiempo

TC Tiempo de cierre de una válvula

v Velocidad

V Volumen

W Peso

x Dirección espacial

ρ Densidad

θ Ángulo respecto de la horizontal

η Rendimientio

ω Velocidad de giro

Estudio de flujo a presión en régimen variable en grandes impulsiones

Anexo 1 a la memoria. Teoría de transitorios hidráulicos Página 1

1. Introducción

El fenómeno de los transitorios hidráulicos se puede definir como la anomalía que se

produce en un flujo de agua cuando las condiciones que definen el movimiento del

fluido (velocidad, presión y sección de la corriente) varían en el tiempo. Como veremos

más adelante, las anomalías se pueden clasificar en función de la rapidez en que se

producen estos cambios.

1.1. Tipos de transitorios hidráulicos

Existen tres tipos de transitorios hidráulicos en función de la rapidez en que se producen

los cambios en las condiciones que definen el transitorio hidráulico:

1. Transitorio lento o casi-estático, en el que las variables significativas del flujo,

caudales y presiones, varían de manera muy lenta en el tiempo. Para realizar su

análisis será necesario realizar la aplicación sucesiva del modelo estático.

2. Transitorio rápido denominado oscilación en masa, en el que los cambios

temporales de las variables significativas son importantes. El modelo que será

necesario usar para realizar su análisis es el modelo rígido.

3. Transitorio muy rápido o golpe de ariete en el que, debido a la violencia de las

perturbaciones introducidas en el sistema, los cambios de presión son muy

importantes, variando de manera significativa la energía elástica almacenada en

fluido y tubería. El modelo necesario para realizar su análisis es el modelo elástico,

en el que se considera la compresibilidad del fluido y la elasticidad de las paredes de

la conducción.

Como se puede suponer de esta clasificación, el transitorio hidráulico que provocará

unos incrementos de presión más elevados es el golpe de ariete, razón por la cual se le

dará un mayor énfasis.

1.2. Descripción conceptual de los modelos de resolución

Veamos una descripción conceptual de los diferentes modelos de resolución que existen

y que se utilizan:

→ Inercial. Se tiene en cuenta la inercia del agua. En función de si se tiene en

cuenta la elasticidad de la tubería o no el modelo será elástico o rígido,

respectivamente.


Página 2 Anexo 1 a la memoria. Teoría de transitorios hidráulicos

→ No inercial. Cuando no se tiene en cuenta la inercia del agua, es decir, cuando

las condiciones de contorno cambian lentamente. Son los llamados modelos

estáticos o cuasi-estático.

Vista esta breve clasificación, podemos pasar a ver las distintas teorías de los modelos

comentados.



2. Modelo físico: ecuaciones constitutivas y metodología

Las ecuaciones constitutivas que gobiernan el fenómeno de un transitorio hidráulico se

basan en los balances diferenciales de masa y de fuerzas. Como bien es sabido, si

tenemos unas ecuaciones diferenciales, serán necesarias unas condiciones iniciales y de

contorno que también intervendrán en la solución buscada.

2.1. Ecuaciones constitutivas

2.1.1. Balance diferencial de masa

El balance diferencial de masa es la conocida ecuación de continuidad aplicada al

volumen de control diferencial de la Figura A1.1.

Figura A1.1. Volumen de control sobre el que se efectúa el balance diferencial de masa (fuente:

referencia [3] bibliografía).

Dicha ecuación de continuidad aplicada en este volumen de control nos proporciona

la siguiente ecuación:

0VC SC

V vdAt

ρδ ρ∂ + =∂ ∫ ∫

��

(A1-2.1)

La integral del primer sumando es la masa que en un determinado momento se

encuentra encerrada en el volumen de control que es igual a:

2 2VC

x A xV A x A x

x x

ρ δ δρδ ρ δ ρ δ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∫ ≃ (A1-2.2)

Dicha expresión se ha calculado a partir de los valores medios de densidad y sección

en el interior del volumen de control y se ha obtenido operando y despreciando

infinitésimos de orden superior.



La expresión completa de (A1-2.1) es la variación temporal de la masa interna

encerrada en el volumen de control que, a partir de (A1-2.2), quedará como:

VC

AV A x x

t t t

ρρδ δ ρ δ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂∫ (A1-2.3)

Donde no habrá alargamiento longitudinal en la conducción.

El segundo sumando de (A1-2.1) es el flujo másico neto que es equivalente a la

cantidad de masa saliente menos la cantidad de masa entrante, es decir, la cantidad

de masa acumulada en el volumen de control. Se puede expresar de la siguiente

forma:

SC

A vvdA x A x v x Av

x x x

ρρ ρ δ δ δ ρ∂ ∂ ∂ = + + + − ∂ ∂ ∂ ∫��

(A1-2.4)

Si despreciamos infinitésimos de orden superior como se ha realizado en (A1-2.2),

entonces:

SC

A vvdA Av x v x A x

x x x

ρρ δ ρ δ ρ δ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂∫

��

(A1-2.5)

Si sustituimos (A1-2.3) y (A1-2.5) en (A1-2.1) obtenemos la siguiente ecuación

diferencial:

0A A v

A x x Av x v x A xt t x x x

ρ ρδ ρ δ δ ρ δ ρ δ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(A1-2.6)

Donde si dividimos la igualdad por la masa A xρ δ del volumen de control

obtenemos:

1 1

0A v v A v

t A t x A x x

ρ ρρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(A1-2.7)

Si tenemos en cuenta que la derivada total de una función es igual a la suma de la

derivada local más la convectiva, la expresión (A1-2.7) queda de la siguiente forma:

1 1

0d dA v

dt A dt x

ρρ

∂+ + =∂

(A1-2.8)

En esta última expresión nos aparecen como incógnitas la densidad, ρ, la sección, A,

y la velocidad, v. Nuestras variables significativas son la presión, p, y la velocidad, v,

por lo que será mejor expresar todos los términos en función de estas variables; esto

supone ligar los efectos elásticos con la causa que los genera, las variaciones de

presión.



El primero de los dos cambios a realizar se basa en el módulo elástico de la siguiente

forma:

1 1d dp

dt K dt

ρρ

= (A1-2.9)

Y el segundo se basa en los conceptos de elasticidad:

2 2 2

·ue e eE dD

dp d d ED D D D

σ ε= = = (A1-2.10)

Si además, suponemos una sección circular cuya variación de la sección en función

del diámetro es:

2

D dDdA

π= (A1-2.11)

Al combinar (A1-2.10) y (A1-2.11) tenemos:

2 1

2 2

D D dA D dpdA dp

e E A dt e E dt

π= ⇔ = (A1-2.12)

Sustituyendo en (A1-2.8) obtenemos:

1

0

dp D dp v

K dt e E dt x

∂+ + =∂

(A1-2.13)

Dicha expresión (A1-2.13) se puede simplificar aún más si se tiene en consideración

la expresión de la celeridad:

11

K

aK D

cE e

ρ=

+ ⋅

(A1-2.14)

Obtenida a partir del equilibrio de fuerzas soportadas por parte de la tubería y donde

c1 es un valor que depende de cómo este anclada la tubería:

1

21

1: cuando la tubería no esta anclada en los extremos

1 : cuando la tubería esta anclada en los extremos

c

c µ=

= − (A1-2.15)

Donde µ es la tensión axial unitaria dividida por la tensión axial lateral (ver

referencia [9] de bibliografía para otros casos).



Si suponemos que la tubería no esta anclada en los extremos, al simplificar

obtenemos:

2

10

dp v

a dt xρ∂+ =∂

(A1-2.16)

Si por comodidad se prefiere expresar la presión en función de la altura piezométrica,

la expresión (A1-2.15) queda:

2 2

0g dH v g

v sena dt x a

θ∂+ + =∂

(A1-2.17)

Donde se ha tenido en consideración que H z p γ= + y que z x senθ∂ ∂ = − . Siendo

γ el peso específico del fluido.

Si además se recuerda la definición de la derivada total dH H H

vdt t x

∂ ∂= + ⋅∂ ∂

, se tiene:

2

0H H a v

v v sent x g x

θ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂

(A1-2.18)

Figura A1.2. Relación entre alturas piezométricas y presiones (fuente: referencia [3] bibliografía).

2.1.2. Balance diferencial de fuerzas

Del balance diferencial de fuerzas se obtendrá la conocida ecuación de momentum.

Para realizar el balance diferencial de fuerzas se utilizará el volumen de control de la

Figura A1.3 junto con las siguientes hipótesis:

• El flujo es unidimensional.

• El rozamiento se calcula como si de un régimen estacionario se tratara. Esto no

es así ya que el coeficiente de fricción f varía a lo largo de todo el transitorio,

sobretodo en los perfiles de velocidades en secciones rectas. Esto no importa



desde el punto de vista ingenieril ya que no afecta al primer pico de presión,

que es el de mayor interés.

• De las fuerzas exteriores que intervienen en el transitorio, las de presión, que

actúan sobre la totalidad de la superficie de control, y las de rozamiento a través

de las paredes laterales de la tubería tienen carácter superficial y la fuerza

gravitatoria tiene carácter volumétrico, aunque esta última fuerza tiene una

contribución muy poco significativa por lo que generalmente es despreciada.

Figura A1.3. Volumen de control sobre el que se efectúa el balance de fuerzas (fuente: referencia [3]

bibliografía).

Veamos las expresiones debidas a cada una de las tres fuerzas exteriores comentadas

en la tercera hipótesis:

Las fuerzas de presión se expresaran en función del balance de fuerzas de presión

que actúa sobre el volumen de control:

2

p A p x ApA p x A x p x

x x x x

δδ δ δ∂ ∂ ∂ ∂ − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ (A1-2.19)

Donde los dos primeros sumandos son las fuerzas de presión en las secciones

anterior y posterior y el tercero es la fuerza de presión debida al aumento gradual de

área en la tubería. Simplificando se llega a la siguiente expresión:

p

A xx

δ∂−∂

(A1-2.20)

La fuerza gravitatoria volumétrica será, sencillamente, el peso del elemento de

volumen:

2 2x

x A xW g A x g A x

x x

ρδ ρ δ ρ δ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ≃ (A1-2.21)



Actuando en dirección vertical por lo que, al proyectar en la dirección del flujo

queda:

xW g A x senδ ρ δ θ= (A1-2.22)

Y la fuerza de rozamiento se calcula aplicando la expresión de Darcy-Weisbach

(2

2V

L vH f

D g∆ = ), por lo que:

2

2r f

x vF A h g f A

D g

δδ γ ρ= = (A1-2.23)

Además, sabemos que tiene un sentido contrario al movimiento, por lo que se tomará

la siguiente expresión:

2 r

x v vF f A

D

δδ ρ= (A1-2.24)

Donde el término de fricción f será constante.

Entonces, el balance de fuerzas se realizará utilizando las expresiones (A1-2.19),

(A1-2.21) y (A1-2.23):

2

A x v vp dvF A x f g A x sen A x

x D dt

δδ ρ ρ δ θ ρ δ∂= − − +

∂∑ ≃ (A1-2.25)

Dividiendo dicha expresión por A xρ δ , resulta:

1

02

v vdv pf g sen

t D xθ

ρ∂+ + − =

∂ ∂ (A1-2.26)

Como en el apartado anterior, se puede expresar en función de las variables H y v.

Basta considerar que sen z xθ = −∂ ∂ y realizar algunas transformaciones,

obteniendo:

02

v vdv Hf g

dt D x

∂+ + =∂

(A1-2.27)

Si como en el caso anterior, se emplea la definición de la derivada total con la

velocidad, se tiene:

02

v vv v Hv f g

t x D x

∂ ∂ ∂+ ⋅ + + =∂ ∂ ∂

(A1-2.28)



2.1.3. Obtención de los modelos simplificados

Si combinamos las expresiones (A1-2.18) y (A1-2.28) obtenemos el siguiente

sistema de ecuaciones en derivadas parciales:

2

0

0

2

H H a vv v sen

t x g x

v vv v Hv g f

t x x D

θ ∂ ∂ ∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ + ⋅ + + = ∂ ∂ ∂

(A1-2.29)

Dicho sistema permite seguir la evolución del transitorio ya que tiene en cuenta todas

las variables que intervienen en los diferentes pulsos de presión que se generan, se

reflejan, transmiten y modifican a lo largo de la conducción.

Además, constituye el sistema de ecuaciones indefinidas completas del régimen

transitorio. En determinados casos, con el simple objetivo de simplificar la

integración de dichas ecuaciones y permitir la resolución de casos reales, se

desprecian algunos términos de dichas ecuaciones, obteniendo los llamados modelos

simplificados de cálculo de transitorios.

El primer paso para la obtención de cualquier modelo simplificado es la

adimensionalización del sistema que describe el fenómeno pudiendo así determinar

la importancia relativa de los distintos términos. Para ello será necesario fijar unos

valores de referencia, que en este caso serán los valores representativos del régimen

permanente inicial (o final) de un transitorio hidráulico en un conducto de longitud

L0, cuya altura piezométrica será H0 y la velocidad de circulación v0. El tiempo de

referencia se definirá como 0 0t L a= , ya que el período del transitorio es

proporcional a 0L a .

Con esto ya podemos definir los valores adimensionales:

* * * *

0 0 0 0

v H x tv H x t

v H L L a= = = = ; ; ; (A1-2.30)

Las derivadas de estos valores, que nos aparecen en las ecuaciones del sistema, son:

* *0 0

* *0 0

* *0 0

* *0 0

H a HH H H H

x L x t L t

v a vv v v v

x L x t L t

∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂

;

;

(A1-2.31)

Sustituyendo en el sistema de ecuaciones (A1-2.29) se obtiene el siguiente sistema de

ecuaciones adimensional:



* * ** *0

* * *0

* ** * **

0* * *

2 0

1 0

2 2 2

L senH H vv v

t x x H

v vv H vL f v

t D x x

αλ ρ λ

λ λρ ρ

∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂

(A1-2.32)

Donde se han definido los parámetros adimensionales: 0 02 av gHρ = (parámetro

adimensional de Allievi) y 0v aλ = .

Llegados a este punto podemos realizar las simplificaciones comentadas

anteriormente:

• En los casos habituales de flujo a presión la velocidad del fluido es despreciable

comparada con el valor de la celeridad y, por tanto, el parámetro λ es muy

inferior a la unidad.

• Además, como 0 0 L sen Hα es menor a la unidad, su producto con λ es mucho

menor a la unidad.

Con estas dos consideraciones se llega a la conclusión de que siempre que se puedan

considerar despreciables los términos convectivos (los que contienen λ ) y el término

en v senα , el sistema de ecuaciones adimensional (A1-2.32) se simplifica como:

* *

* *

* ** *

0* *

2 0

1 0

2 2 2

H v

t x

v vv HL f

t D x

ρ

λρ ρ

∂ ∂+ = ∂ ∂

∂ ∂ + + =∂ ∂

(A1-2.33)

Y, en variables dimensionales, las expresiones contenidas en (A1-2.33) nos

proporcionan las ecuaciones del modelo elástico simplificado:

2

0

0

2

H g v

t a xv vv H

f gt D x

∂ ∂ + = ∂ ∂

∂ ∂ + + =∂ ∂

(A1-2.34)

Esta simplificación es equivalente a la no consideración de las variaciones de energía

cinética a lo largo del conducto durante los regímenes transitorios.

2.1.4. Introducción a las condiciones de contorno

Las expresiones obtenidas en (A1-2.34) solo se verifican de forma completa en

tramos uniformes de tubería, por lo que en elementos singulares del sistema

hidráulico serán necesarias un conjunto de expresiones que relacionen las variables



básicas del problema, H y Q, proporcionando información adicional pudiéndose así

obtener la solución en dichos elementos.

En este apartado se analizarán las condiciones de contorno que podemos hallar en un

sistema hidráulico.

2.1.4.1. Punto de presión constante

Un punto de presión constante nos lo encontraremos en un depósito o en una

descarga atmosférica.

Cuando la conducción es alimentada por o alimenta a un depósito de gran

capacidad con relación al caudal circulante por dicha conducción, las oscilaciones

en el depósito son despreciables en el período de tiempo característico del

transitorio y, por tanto, se puede admitir que la presión en dicho punto es

constante. Entonces la condición de contorno será:

( )0 0B B BH z h cte p cte hγ= + = = = (A1-2.35)

Cuando una tubería descarga libremente en la atmósfera sucede lo mismo.

Entonces la condición de contorno será:

( )0 0B BH z cte p= = = (A1-2.36)

2.1.4.2. Válvula de retención

Las válvulas de retención son elementos utilizados como sistemas de protección

ante fenómenos transitorios (véase capítulo 4 del presente anexo a la memoria) y

su condición de contorno depende del sentido del flujo.

Si realizamos la hipótesis simplificativa de que la válvula se comporta idealmente

y, por tanto, se cierra en el mismo instante en que se invierte el flujo en la

conducción y, además, no provoca pérdida de carga alguna. Entonces las

condiciones de contorno que describen el comportamiento de la válvula son:

si 0A B

A B

v vv

H H

= >=

(A1-2.37)

0

si 00

A

B

vv

v

= ≤=

(A1-2.38)

Pudiendo ser en (A1-2.37) las presiones y, por tanto, las alturas piezométricas

distintas.



En el caso de suponer unas ciertas pérdidas de carga, la condición de contorno

(A1-2.37) variaría en el término de altura piezométrica de la siguiente forma:

B A VH H H= − ∆ (A1-2.39)

Siendo VH∆ las pérdidas de carga que se verán en el siguiente caso.

Es necesario destacar que las válvulas de retención tienen una cierta inercia en su

cierre y, por tanto, presentan una característica dinámica muy distinta a la ideal.

Debido a esta inercia una válvula de retención real cierra con posterioridad a la

inversión del flujo y este fenómeno puede dar lugar a importantes pulsos de

presión.

2.1.4.3. Válvula motorizada

La apertura o el cierre programados de una válvula se lleva a cabo siguiendo una

determinada ley de maniobra que se desarrolla en un período de tiempo Tc. El

comportamiento de una válvula viene descrito en cada instante por las pérdidas

que, de acuerdo a sus características, origina en función del caudal que la

atraviesa. Entonces, la condición de contorno de una válvula en general será:

B A VH H H= − ∆ (A1-2.40)

Siendo VH∆ las pérdidas de carga que se evalúan con la siguiente formulación:

2 VH K Q∆ = (A1-2.41)

El coeficiente de pérdidas, K, no depende sólo del tiempo sino que también

depende de las características intrínsecas de la válvula.

Si la válvula permite circulación de flujos en ambos sentidos y el propio

transitorio hidráulico lo comporta, la expresión (A1-2.40) debe escribirse:

VH K Q Q∆ = (A1-2.42)

En el caso de una válvula motorizada la ley de cierre es controlada mediante la

debida programación del motor.

2.1.4.4. Cambio de sección recta en una tubería simple

Supongamos una conducción que presenta un cambio de sección en un

determinado punto y en dicha conducción se ha generado un transitorio. Si no se

consideran las pérdidas de energía en dicho punto, las condiciones de contorno

son las siguientes:



A B

A B

Q Q

H H

= = (A1-2.43)

Como se puede observar, estas condiciones son realmente sencillas y no son del

todo reales, ya que existirán unas pérdidas de energía en el sentido del flujo CH∆ ,

que serán semejantes a las comentadas en el apartado 2.1.4.3, pero con

coeficientes de pérdidas distintos.

2.1.4.5. Confluencia de tuberías en un nodo

Veamos ahora el caso de una conducción que tiene una confluencia de dos

tuberías a la que llega un pulso de presión según la Figura A1.4. En este caso las

condiciones de contorno a aplicar irán en función de los puntos A, B y C de la

siguiente forma:

A B C

A B C

Q Q Q

H H H

= + = = (A1-2.44)

Dichas condiciones se corresponden respectivamente con la ecuación de

continuidad y la de la energía (suponiendo la ausencia de pérdidas) aplicadas al

nudo. Como en el apartado anterior, es necesario comentar la simplicidad de la

hipótesis planteada al no considerar pérdidas de carga.

Figura A1.4. Condición de contorno en un nudo de tuberías (fuente: referencia [3] bibliografía).

2.2. Modelos de estudio de un transitorio hidráulico

En el siguiente apartado se procederá al estudio de un transitorio en función de la

rapidez de los pulsos de presión, es decir, se realizará un estudio teórico de los

diferentes modelos comentados en la introducción del presente anexo a la memoria:

modelo estático, modelo rígido y modelo elástico.

2.2.1. Modelo estático

El modelo estático o casi-estático también recibe el nombre de simulación en período

extendido, ya que es un método utilizado en análisis en los cuáles las condiciones de

carga de la red varían muy lentamente. Entonces, no será posible estudiar los

transitorios elásticos con éste modelo.



Veamos algunas de las simulaciones más significativas en las que este modelo NO es

operativo:

• Respuestas de una red ante cierres o aperturas de válvulas.

• Análisis de la evolución del flujo en una red ante una rotura instantánea.

• Análisis de la respuesta de una red ante un brusco incremento del consumo.

• El arranque o parada de las bombas en un bombeo, así como una brusca variación

en las velocidades de giro.

• El análisis de las inestabilidades que puede introducir en la red una válvula

reguladora de presión.

Vistas las simulaciones en las que este modelo de cálculo no es aplicable, veamos en

que casos es aconsejable su aplicación:

• Es un instrumento efectivo en la gestión de los sistemas de distribución de agua,

ya que permiten una comprensión eficaz del comportamiento de los sistemas en

relación a los diferentes condicionantes que les pueden ser impuestos.

• Dimensionamiento hidráulico de los depósitos de distribución, donde será posible

determinar las cotas de solera, volúmenes de regularización y altura de agua.

2.2.1.1. Principio de cálculo del modelo estático

En la práctica nos encontramos con que no existe un sistema hidráulico totalmente

estático en el tiempo, ya que el funcionamiento real de un sistema esta asociado a

la variable tiempo. Dicha variable debe ser explícitamente considerada para poder

proceder a un análisis adecuado de cierto tipo de problemas, lo que trae como

consecuencia que el flujo deba ser considerado como un transitorio hidráulico.

Cuando las condiciones de contorno varían gradualmente en el tiempo se pueden

despreciar los efectos elásticos e inerciales en las ecuaciones fundamentales, lo

que equivale a efectuar la hipótesis de que los equilibrios hidráulicos se

establezcan de un modo casi instantáneo, obteniendo resultados más exactos

cuando la escala de tiempos de nuestro análisis es más larga.

2.2.1.2. Base matemática del modelo estático

El modelo estático se basa en la no consideración de la elasticidad de los

elementos ni la inercia de los fluidos en el sistema de ecuaciones (A1-2.34). Si

dicho sistema lo expresamos en función del caudal en vez de la velocidad

obtenemos:



2

0

Q 0

2 A

dH a Q

dt g A x

QdQ Hf g A

dt D x

∂+ = ⋅ ∂

∂ + + ⋅ = ⋅ ⋅ ∂

(A1-2.45)

Si, como hemos dicho, no se considera la elasticidad en dichas ecuaciones

tendremos la no variación del caudal a lo largo de la tubería y el caudal será

únicamente función del tiempo por lo que tendremos que:

0Q

x

∂ =∂

(A1-2.46)

Entonces el sistema (A1-2.45) quedará reducido únicamente a la segunda

ecuación, en donde si dejamos de considerar la inercia del fluido, quedará en:

02 A

Q Q Hf g A

D x

∂+ ⋅ =⋅ ⋅ ∂

(A1-2.47)

También conocida como ecuación de Darcy-Weisbach que caracteriza la fricción

del agua con las paredes de la tubería en flujos estacionarios. Dicha ecuación será

la base del modelo estático.

2.2.1.3. Modelo estático en sistemas complejos

Como hemos comentado, el modelo estático es aplicable, sobretodo, a sistemas

complejos de redes de distribución de agua que podemos simplificar como un

conjunto de depósitos con tuberías como nexo de unión.

La dinámica en los depósitos se rige por ecuaciones diferenciales ordinarias,

resultantes de la aplicación de la ecuación de continuidad a cada depósito en el

sistema de distribución. Estas ecuaciones, de modo genérico, se pueden escribir

como:

1

0m

rr i

i

dZA Q

dt =− =∑ (A1-2.48)

Donde Ar es el área de la sección transversal en el depósito, Zr es la cota de la

superficie libre en el depósito r, m el número de tuberías que convergen al

depósito r y Q el caudal afluente o efluente.

2.2.1.4. Técnicas de resolución numéricas

Las técnicas de resolución numérica que nos permiten obtener una solución a la

ecuación (A1-2.47) son, de forma esquemática, dos: la técnica explícita y la



técnica implícita. Dentro de estas dos técnicas existen una gran variedad de

métodos entre las cuáles veremos, de forma muy resumida, los dos métodos más

significativos:

El primero de ellos es el método de Euler que utiliza una técnica explícita. Dicho

método permite obtener la cota de agua en el depósito en un instante t t+ ∆

mediante la expresión:

( ) ( ) ( )rr r

r

Q tZ t t Z t t

S+ ∆ = + ∆ (A1-2.49)

Como se puede observar, dicho método es un método paso a paso que permite

obtener la cota de agua en el depósito en el tiempo t t+ ∆ a partir de la cota de

agua y el caudal entrante en el tiempo t . Esto nos viene a decir que en el intervalo

de tiempo t∆ el balance de caudales en el depósito es constante y, por tanto, la

variación de volumen en cada depósito viene dada por:

( ) ( ),r rV t t t Q t t+ ∆ = ⋅ ∆ (A1-2.50)

Esto nos conduce al siguiente error: cuando el balance de caudales es positivo el

llenado del depósito es más rápido que en la realidad y cuando el balance de

caudales es negativo el vaciado del depósito es más lento que en la realidad.

El segundo y último método es el método predictor-corrector que utiliza una

técnica implícita. Dicho método se basa en la siguiente expresión:

( ) ( ) ( ) ( )( )2r r r r

r

tZ t t Z t Q t Q t t

S

∆+ ∆ = + + + ∆⋅

(A1-2.51)

Como se puede observar, se trata de una ecuación implícita ya que en el instante

t t+ ∆ no es posible conocer el valor del caudal. El método se basa en realizar,

mediante el método de Euler, una predicción del caudal ( )rQ t t+ ∆ y utilizarlo en

el siguiente intervalo de tiempo.

En este caso el volumen en el interior de cada depósito se determina con:

( ) ( ) ( )( )1,

2r r rV t t t Q t Q t t+ ∆ = + + ∆ (A1-2.52)

Donde se puede observar como en este caso la aproximación es mejor, ya que se

consideran los caudales en los dos intervalos de tiempo.



2.2.2. Modelo rígido

El modelo rígido es, como se observará, una mejora en cuanto a la aproximación al

problema real que nos encontraremos ya que se tiene en cuenta la inercia del fluido.

Algunas de las aplicaciones más habituales de dicho modelo son:

• Tiempo de vaciado de un depósito.

• Oscilaciones que nos aparecen entre dos depósitos interconectados.

• Transitorio aparecido en un tubería de impulsión de escasa pendiente que esta

protegida.

• Cierres de válvulas lentos en sistemas formados por un depósito y una tubería por

la que se extrae o introduce un cierto caudal.

• Tiempo de establecimiento de una corriente.

Como se comprenderá más adelante, las simulaciones en las que NO es posible

utilizar dicho método son en las que los pulsos de presión son elevados y en los

cuáles es necesario tener en cuenta la elasticidad de las tuberías.

2.2.2.1. Base matemática del modelo rígido

El modelo rígido o modelo inercial rígido se basa en la no consideración de la

elasticidad en el sistema de ecuaciones simplificado (A1-2.34). Si dicho sistema

lo expresamos en función del caudal en vez de la velocidad obtenemos:

2

0

Q 0

2 A

dH a Q

dt g A x

QdQ Hf g A

dt D x

∂+ = ⋅ ∂

∂ + + ⋅ = ⋅ ⋅ ∂

(A1-2.53)

Si, como hemos dicho, no se considera la elasticidad en dichas ecuaciones

tendremos la no variación del caudal a lo largo de la tubería y el caudal será

únicamente función del tiempo por lo que tendremos que:

0Q

x

∂ =∂

(A1-2.54)

Entonces el sistema (A1-2.53) quedará reducido únicamente a la segunda

ecuación:



Q

02 A

QdQ Hf g A

dt D x

∂+ + ⋅ =⋅ ⋅ ∂

(A1-2.55)

Como se puede observar, las diferencias entre el modelo rígido y el modelo

estático se basan en la consideración o no de la variable tiempo en la ecuación que

gobierna los flujos.

Integrando la ecuación (A1-2.55) para un valor genérico de tiempo a lo largo de

un conducto de sección recta constante entre dos puntos, separados una distancia

L se tiene la denominada ecuación de Euler:

( ) ( ) 21 2

2

Q QL L dQH H f

D g A g A dt= + +

⋅ ⋅ ⋅ (A1-2.56)

Dicha ecuación nos caracteriza la oscilación de masa entre dos puntos unidos por

una conducción recta de sección constante. Es más, dicha ecuación representa,

físicamente, que la energía piezométrica que almacena el fluido en el punto 1 se

conserva por una parte como altura piezométrica en 2, por otra como disipación

por rozamiento al recorrer el camino desde 1 hasta 2 y el resto es energía invertida

en acelerar el fluido o recuperada si el fluido se frena.

2.2.2.2. Modelo rígido en sistemas complejos

Debido a que en el caso anterior se ha realizado un breve comentario sobre la

aplicación del modelo estático a los sistemas complejos de redes, veamos la

extensión del modelo rígido a este tipo de sistemas.

Holloway en 1985 realizó dicha extensión debido a que en la práctica la no

consideración de la inercia del fluido en las tuberías no es despreciable en muchas

ocasiones. La ecuación que rige el movimiento del fluido entre dos nudos de la

red es:

i j

L dQH H K Q Q

g A dt= − − ⋅

⋅ (A1-2.57)

Donde iH son las distintas alturas piezométricas en los nudos.

2.2.2.3. Técnicas de resolución numéricas

Como se comentó en el modelo estático existen una gran cantidad de técnicas

numéricas de resolución. Entre éstas podemos destacar los métodos de Runge-

Kutta, los métodos predictor-corrector como por ejemplo el método de Adams o

el método utilizado por Holloway en los sistemas complejos.



La utilización de uno u otro método dependerá siempre del problema a resolver ya

que por ejemplo el método de Runge-Kutta se adapta muy bien a problemas como

los de una chimenea de equilibrio pero no es tan eficiente para redes de tuberías

donde sería aconsejable utilizar el método de Holloway.

2.2.2.4. Modelo estático o modelo rígido

La frontera entre la utilización de un modelo elástico o cualquiera de los otros dos

es muy clara ya que el modelo elástico es necesario para casos concretos donde

nos encontramos con pulsos de presión importantes y variaciones de caudal

elevadas.

En cambio, la frontera en la utilización del modelo estático o el rígido no esta

nada clara. Este tema ha sido estudiado por una gran cantidad de autores como

Chaundry et al. (1985), Wood et al. (1989), Rogalla et al. (1993) o Abreu el al.

(1994).

Dichos autores han considerado, principalmente, dos opciones:

• Variaciones entre el tiempo característico de la maniobra que introduce el

transitorio y el período característico más significativo del sistema complejo.

• Introducción de ciertos parámetros a partir de los cuáles determinar la frontera

real entre la utilización de uno u otro modelo.

Podríamos referirnos de forma mucho más extensa en este tema pero se ha

considerado que no pertenece al documento en cuestión y que, en todo caso, la

utilización de un modelo rígido en todos los casos proporcionaría mejores valores.

Con esto se viene a decir que depende del punto de vista personal escoger uno u

otro método.

2.2.3. Modelo elástico

El modelo elástico es el modelo en el que no se realiza simplificación alguna de las

ecuaciones, es decir, se considera la elasticidad de las tuberías y la inercia del fluido.

La aplicación de un modelo tan completo queda reservada a casos en los que es la

consideración de todas las variables. Entre sus aplicaciones tenemos una gran

cantidad aunque las podríamos definir todas con: transitorios en los cuáles el tiempo

de maniobra que produce el transitorio es muy corto provocando unos pulsos de

presión elevados o muy elevados.



2.2.3.1. Base matemática del modelo elástico

La base matemática del modelo elástico la componen las ecuaciones del sistema (A1-2.29).

2.2.3.2. Técnicas de resolución numérica

Existe una gran variedad de métodos numéricos, de los cuáles los más utilizados

son:

• El método de las características o “Method of Characterisitcs”.

• El método de la onda característica o “Wave Characteristic Method”.

• Los métodos en diferencias finitas.

• Los métodos de elementos finitos.

• Los métodos de elementos de contorno.

• Los métodos pseudoespectrales.

Los dos primeros son las dos metodologías más usadas, concretamente el primero

de ellos. Los dos se basan en el mismo concepto pero con la diferencia de que el

primero hace un estudio del sistema desde un punto de vista Euleriano y el

segundo desde un punto de vista Lagrangiano. La bondad entre la utilización de

uno u otro método ha sido largamente discutida, sobretodo en Estados Unidos

pero en los ambientes europeos se utiliza, por norma general, el método de las

características.

Los otros cuatro métodos comentados no se utilizan en este tipo de estudios ya

que nos encontramos con problemas de eficiencia computacional (sobretodo en el

método en diferencias finitas) o con problemas en la captura de los frentes de

onda más abruptos (sobretodo en los métodos de elementos finitos).

Por las razones dadas, se realizará la explicación del método de las características de

forma extendida y más adelante una breve explicación del método de la onda

característica y una comparativa entre ambos.



3. Modelo matemático: tratamiento del sistema de ecuaciones

Las ecuaciones que integran el modelo elástico será con las que se trabaje para realizar

un estudio de los transitorios hidráulicos como el del caso que se estudia (un bombeo de

gran altura).

Dicho sistema de ecuaciones debe tratarse para de la forma que se verá a continuación

para obtener la solución.

3.1. Forma matricial del sistema de ecuaciones

El sistema de ecuaciones a tratar, como ya se comento en el apartado 2.2.3.1 es el

siguiente:

2

0

0

2

H H a vv v sen

t x g x

v vv v Hv g f

t x x D

θ ∂ ∂ ∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ + ⋅ + + = ∂ ∂ ∂

(A1-3.1)

Si dicho sistema se escribe en forma matricial obtenemos:

( ) ( )H HA v B v

v vt x

∂ ∂+ = ∂ ∂ (A1-3.2)

Donde:

( ) ( )2

,

2

v senav

A v B vg v vf

g v D

θ − = = −

3.2. Clasificación del sistema de ecuaciones

3.2.1. Valores propios del sistema

Si realizamos el polinomio característico de la matriz convectiva del sistema

(A1-3.2), ( )A v , obtenemos los polinomios característicos del sistema:

1

2

v a

v a

λλ

= += −

(A1-3.3)

Como podemos observar, los dos valores característicos serán siempre distintos ya

que el valor de a es muy superior al valor de v.



3.2.2. Clasificación

Como se puede obtener del apartado anterior, el sistema de ecuaciones que rige el

transitorio hidráulico es un sistema casi-lineal de tipo hiperbólico, ya que la matriz

( )A v tiene valores propios reales distintos para cada v .

No existe ninguna expresión que proporcione la solución de este sistema hiperbólico,

casi-lineal y no homogéneo en forma cerrada. Realizando la omisión de ciertos

términos, el sistema puede ser simplificado y reducido a expresiones que pueden ser

integradas de forma cerrada y mediante mecanismos gráficos obteniendo

aproximaciones más lejanas a la realidad como menos justificables sean la omisión o

la linealización. Por esta razón, será necesario recurrir a los métodos numéricos para

la resolución del sistema completo.

3.3. Forma normal del problema

Con la información obtenida en los apartados anteriores, podemos obtener la forma

normal del problema hiperbólico.

Se puede demostrar que todo sistema hiperbólico del tipo:

[ ] [ ] [ ]H HA B C

v vt x

∂ ∂+ = ∂ ∂ (A1-3.4)

Con dos valores característicos diferentes que constituyen la matriz [D]:

[ ] 0

0

v aD

v a

+ = −

(A1-3.5)

Tiene una única matriz transformadora que cumple:

[ ][ ] [ ][ ][ ]T A D T B= (A1-3.6)

En este caso en particular, la matriz transformadora vale:

[ ]1

1

a

gT

a

g

= −

(A1-3.7)

Utilizando esta propiedad, si premultiplicamos el sistema (A1-3.2) por la matriz

transformadora (A1-3.7) obtenemos:



( )

( )

1 sin2

1 sin2

v va a av a v a v f

H Hg g g D

a v a vt x v vav a v a v fg g g D

θ

θ

+ + − − ∂ ∂ + = ∂ ∂ − − − − − +

(A1-3.8)

Que al reordenar, nos proporciona la forma normal del sistema hiperbólico de

ecuaciones diferenciales siguiente:

( ) ( )

( ) ( )

sin2

sin2

v vH H a v v av a v a v f

t x g t x g D

v vH H a v v av a v a v f

t x g t x g D

θ

θ

∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + = − + ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ + − − + − = − − ∂ ∂ ∂ ∂

(A1-3.9)



4. Métodos de resolución numérica

En este capítulo teórico se realizará una explicación de los distintos métodos de

resolución numérica que existen y que se usan, o se han usado, para resolver el sistema

de ecuaciones tratado en el apartado anterior.

4.1. Método de las características: resolución numérica del modelo elástico

Para una mejor comprensión del método de las características, este apartado se

estructura de la siguiente forma: en un primer punto se verán las posibles

simplificaciones que se pueden realizar al sistema de ecuaciones (A1-2.29) y las

soluciones exactas de este sistema simplificado donde, gracias a dichas

simplificaciones, no será necesario realizar métodos numéricos para hallar las

soluciones al sistema. En un segundo apartado se realizará el tratamiento numérico

necesario para realizar la integración numérica del sistema (A1-2.29) con integración

numérica.

4.1.1. Obtención de soluciones sobre el sistema simplificado

Como se ha visto en el apartados anteriores, en la mayoría de los casos reales la

velocidad es muy inferior a la velocidad, por lo que los términos convectivos de la

aceleración, v H x∂ ∂ y v v x∂ ∂ , son muy inferiores al resto de términos y

pueden ser despreciados. Con el término que incluye la pendiente ocurre lo

mismo. Entonces el sistema (A1-2.34) se reescribe como:

2

0

0

2

H a V

t g x

V VV Hf g

t D x

∂ ∂+ = ∂ ∂

∂ ∂ + + = ∂ ∂

(A1-4.1)

Si adicionalmente se asume que las pérdidas son despreciables, el sistema

anterior, tras derivar la primera ecuación respecto al tiempo y la segunda respecto a

la variable espacial x y restarlas, se transforma en la conocida ecuación de

ondas unidimensional:

2 2

22 2

0

H Ha

t x

∂ ∂− =∂ ∂

(A1-4.2)

Dicha ecuación tiene una expresión análoga para la velocidad:



2 2

22 2

0

v va

t x

∂ ∂− =∂ ∂

(A1-4.3)

Dichas suposiciones son aplicables en ínfimos casos, pero la solución de los

problemas más generales tiene un comportamiento semejante al de la ecuación de

ondas.

De dicha ecuación si que se tiene la solución analítica, ya que fue obtenida por von

Riemann en 1869. Para obtenerla se realiza la superposición de las soluciones de los

factores en que se descompone:

0v v v v

a at x t x

∂ ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ (A1-4.4)

Rienman observó que una solución ( ),v x t de la ecuación:

0v v

at x

∂ ∂+ =∂ ∂

(A1-4.5)

Verifica que:

0dv v v dx v v

adt t x dt t x

∂ ∂ ∂ ∂= + = + =∂ ∂ ∂ ∂

(A1-4.6)

Si se cumple que dx dt a= , o lo que es lo mismo, si cte.x at− = Esto nos viene a

decir que ( ),v x t es constante a lo largo de cada una de las rectas de la familia

x at ξ− = , siendo ξ una constante arbitraria.

Entonces, la solución de (A1-4.5) es de la forma ( ) ( ) ( ),v x t f f x atξ= = − , que

representa la solución en términos únicamente de los valores iniciales

( ) ( ),0v x f x= . Se puede ver como el valor de u en cada punto ( ),x t depende solo

del valor inicial de f en el punto de abscisa 0x aξ = − ⋅ , de corte de la recta

x at ξ− = con el eje de abscisas, de ecuación 0t = .

Dichas rectas x at ξ− = son llamadas rectas características de la ecuación

diferencial. La influencia que ejerce el valor inicial en un punto determinado ξ sobre

la solución ( ),v x t se deja sentir justamente en los puntos de la característica

x at ξ− = . Y de ξ se dice que representa el dominio de dependencia de ( ),v x t

respecto de los valores iniciales.

De forma análoga podemos obtener la otra solución que nos falta:

0v v

at x

∂ ∂− =∂ ∂

(A1-4.7)



Dicha ecuación tendrá solución ( ),u x t constante sobre cualquier recta de la familia

cte.x at η+ = = , por lo que su solución queda representada por

( ) ( ) ( ),v x t g g x atη= = + , que depende únicamente del valor inicial de g en el punto

0x aη = + ⋅ de corte de la recta x at η+ = con el eje de abscisas.

Como en el caso anterior, las rectas x at η+ = son las características de la ecuación

diferencial y cada una de ellas representa el dominio de influencia del valor inicial.

Si superponemos ambas soluciones obtenemos la solución general de la ecuación de

ondas:

( ) ( ) ( ),v x t g x at f x at= + + − (A1-4.8)

Físicamente, las soluciones ( ),v x t obtenidas representan:

• x at ξ− = : una onda que viaja de izquierda a derecha sin cambiar de forma.

• x at η+ = : una onda que viaja de derecha a izquierda sin cambiar de forma.

Recuérdese que no se han considerado las pérdidas ni los términos de la aceleración,

por lo que es normal que las ondas viajen sin cambiar de forma.

Entonces, cuando en un punto cualquiera x tiene lugar una perturbación, la gráfica de

esta ecuación en el plano x-t muestra cómo evoluciona, ya que esta formada por dos

ondas que se propagan, sin cambiar de forma, con velocidad constante a, con

direcciones opuestas sobre el eje de abscisas.

Figura A1.5. Dominio de dependencia de las soluciones u(x,t) (fuente: referencia [3] bibliografía).

Llegados a este punto podemos definir el dominio de dependencia de la solución en

el punto ( ),x t como el intervalo ( ),x at x at− + y el dominio de influencia de ( ),0ξ

sobre ( ),v x t al área que queda entre las rectas características y las rectas at xξ − =

y at xξ + = (área sombreada de la Figura A1.6).



Figura A1.6. Dominio de influencia de la condición inicial en un punto ξ (fuente: referencia [3]

bibliografía).

En dicha figura también se pueden observar los dominios de indeterminación del

punto ( ),x t , que las zonas del plano x-t en las que cualquier perturbación que ocurra

en el dominio de dependencia del punto en cuestión no tienen ningún efecto (en la

figura son las zonas exteriores).

También podemos discernir entre las rectas características ya que a la recta

x at ξ− = se la llama característica positiva y a la recta x at η+ = se la llama

característica negativa.

4.1.1.1. Características del sistema simplificado

Como se realizó en apartados anteriores, expresaremos las ecuaciones en función

de las variables H y Q, en vez de las variables H y v. Al realizar dicho cambio de

variable, donde se ha considerado que la tubería tiene sección constante,

obtenemos:

2

0

0

H a Q

t gA x

Q HgA

t x

∂ ∂+ = ∂ ∂

∂ ∂ + =∂ ∂

(A1-4.9)

Si en dicho sistema de ecuaciones se realizan los cambios de variables definidos

por las rectas características comentadas se obtiene:

0

0

H H Q QgA a

H H Q QgA a

η ξ η ξ

η ξ η ξ

∂ ∂ ∂ ∂− + + = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ + + − = ∂ ∂ ∂ ∂

(A1-4.10)

Si se trabaja con las dos ecuaciones que conforman el sistema obtenemos las

siguientes ecuaciones:



0

0

gAH Q

a

gAH Q

a

η

ξ

∂ + = ∂

∂ − = ∂

(A1-4.11)

Como se puede observar, la relación gA

H Qa

+ no depende de η , por lo que es

constante sobre cada característica positiva; y la relación gA

H Qa

− no depende

de ξ , por lo que es constante sobre cada característica negativa. Entonces, las rectas características se pueden entender como líneas que permiten transmitir información en el tiempo y el espacio simultáneamente.

Entonces, si suponemos un punto P sobre el que se conocen todas las variables

necesarias, distribuciones iniciales de presión y velocidad, podemos definir los

distintos dominios comentados anteriormente en la siguiente figura:

Figura A1.7. Dominios de dependencia de las características sobre un punto cualquiera P (fuente:

referencia [3] bibliografía).

Se pueden observar los dominios de influencia, de dependencia y de

indeterminación comentados anteriormente.

4.1.1.2. Condiciones de contorno

La solución de un sistema en las zonas de indeterminación dependerá en todo

momento del dominio en el que nos encontremos, ya que si nos encontramos en el

dominio de dependencia la solución viene totalmente determinada por la

condición inicial, ya que a cualquier punto de dichas zonas llega una característica

positiva y una negativa.

Sin embargo, si tenemos un punto que se encuentra en el dominio de

indeterminación de las características iniciales del sistema necesitaremos de

ciertas relaciones que nos definen el caudal o la altura piezométrica o una relación

entre ambas para que, juntamente con una característica positiva para el extremo



aguas abajo y una negativa para el extremo aguas arriba, se pueda obtener la

solución en dichos puntos. Estas relaciones son las condiciones de contorno que

en posteriores capítulos veremos con mayor detalle.

4.1.2. Método de las características: integración numérica del sistema

El sistema (A1-2.29) en su forma normal, sistema (A1-3.9), es sobre el que será

necesario trabajar para poder obtener una solución no simplificada al problema.

El primer paso a realizar será la obtención del sistema (A1-3.9) en su forma en

características y el segundo será el de la discretización de dicho sistema, ya que

como ya se ha comentado, éste sistema no puede ser resuelto analíticamente.

4.1.2.1. Forma en características del sistema

Si observamos el sistema (A1-3.9), se puede ver que si se tuviera una curva que

cumpliera la ecuación diferencial:

d

v adt

ξ = + (A1-4.12)

El primer sumando, por ejemplo, pasaría de ser una derivada parcial a ser una

derivada total a lo largo de la curva (A1-4.12):

( )H H H H d dHv a

t x t x dt dt

ξ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + =∂ ∂ ∂ ∂

(A1-4.13)

Si realizamos los cambios de forma análoga en todo el sistema de ecuaciones

diferenciales se obtiene la buscada forma en características del sistema:

sin en 2

sin en 2

v vdH a dv a dv f v a

dt g dt g D dt

v vdH a dv a dv f v a

dt g dt g D dt

ξθ

ηθ

+ = − + = +

− = − − = −

(A1-4.14)

Como se puede observar, el método de las características se basa en que se pasa

de tener un sistema de dos ecuaciones en derivadas parciales a uno de cuatro

ecuaciones en derivadas totales. La dificultad del método radica en el hecho de

que las ecuaciones se han de resolver a lo largo de las curvas características,

solución del mismo sistema, con la obligatoriedad de que las cuatro ecuaciones se

resuelvan simultáneamente.



Además, los ejes de integración no son los clásicos (x,t), sino que son las curvas

características (ξ,η), las cuales son también incógnita del problema. Pero como ya

se aplicó el cambio de coordenadas pertinente, matriz transformadora (A1-3.7),

para resolver el sistema (A1-4.14) en los ejes (x,t) se tienen que resolver las

ecuaciones diferenciales a lo largo de las curvas características.

Como en casos anteriores, se realizará el cambio de variables de v y H a Q y H,

ya que se trata de una práctica habitual en problemas de ingeniería hidráulica.

en 2

en 2

Q QdQ gA dH d Qf a

dt a dt DA dt A

Q QdQ gA dH d Qf a

dt a dt DA dt A

ξ

η

+ = − = +

− = − = −

(A1-4.15)

4.1.2.2. Discretización del sistema

El sistema (A1-4.15) no tiene solución analítica, por lo que será necesario

resolverlo con metodología de integración numérica. Para resolverlo se puede

optar por utilizar varios esquemas numéricos, aunque el más simple y utilizado es

el esquema en diferencias finitas explícito de primer orden, obteniendo:

1 1

1 1

1

1 1

1 1

1

2

en

2

en

k ki UP UP i UP UP

UP UPk k k kUP UP UP

i UPUP UPk k

k kj DW j DWDW DW

DW DWk k k kDW DW DW

j DWDW DWk k

Q Q gA H H fQ Q

t t a t t D A

x xV a

t t

Q Q H HgA fQ Q

t t a t t D A

x xV a

t t

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+

− −+ = − − − − = +

− − − − = − − −

− = − −

(A1-4.16)

Donde UP es el subíndice que denota el tramo el tramo de aguas arriba del nodo ij

y DW es el subíndice que denota el tramo de aguas abajo del nodo ij.

En la siguiente figura se puede observar la nomenclatura que siguen las variables:



Figura A1.8. Discretización del nodo ij mediante el método de las características con el esquema en

diferencias finitas explícito de primer orden (fuente: Joan Soler).

Dicho esquema proporciona buenos resultados si la fricción no es muy elevada

y/o el diámetro no muy pequeño, siempre que se integre entre puntos

correspondientes a instantes de tiempo no muy alejados. Para valores de f muy

elevados o de D muy pequeños, este esquema puede producir resultados

inestables.

Faltan por definir las variables interpoladas en el instante k en los puntos xUP y

xDW, que con la ayuda de la Figura A1.8 son:

Para el tramo aguas arriba del nodo ij se tiene:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1

1

1

UP i UP UP

k kUP UP i i UP i i

UP

k kUP UP i i UP i i

UP

k kUP UP i i UP i i

UP

x x v a t

v x x v x x vx

H x x H x x Hx

Q x x Q x x Qx

− −

− −

− −

= − + ∆

= − − − ∆

= − − − ∆

= − − − ∆

(A1-4.17)

Y para el tramo aguas abajo del nodo ij se tiene:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1

1

1

DW j DW DW

k kDW DW j j DW j j

DW

k kDW DW j j DW j j

DW

k kDW DW j j DW j j

DW

x x v a t

v x x v x x vx

H x x H x x Hx

Q x x Q x x Qx

+ +

+ +

+ +

= − − ∆

= − − − ∆

= − − − ∆

= − − − ∆

(A1-4.18)

Donde se han usado las igualdades:



1

1

1

k k

UP i i

DW j j

t t t

x x x

x x x

+

−

+

∆ = −∆ = −

∆ = −

Si sustituimos las dos primeras ecuaciones en las segundas en (A1-4.17) y

(A1-4.18) se obtiene:

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

k k k k k k k kUP UP i i i UP i UP i i i i i UP i UP i i

k k k k k k k kDW DW j j j DW j DW j j j j j DW j DW j j

v x v x v v t v a t v x v x v v t v a t v x

v x v x v v t v a t v x v x v v t v a t v x− − − − −

+ + + + +

∆ = − ∆ − ∆ − − + ∆ + ∆ +∆ = − ∆ + ∆ − − + ∆ − ∆ +

(A1-4.19)

Que al reordenar:

( ) ( )

( ) ( )1 1

1 1

k k k k kUP i i UP i UP i i UP

k k k k kDW j j DW j DW j j DW

x v v t v v x v v a t

x v v t v v x v v a t

− −

+ +

∆ + − ∆ = ∆ + − ∆

∆ + − ∆ = ∆ + − ∆

(A1-4.20)

Aislando las velocidades interpoladas, se obtienen las siguientes expresiones:

( )( )( )( )

1

1

1

1

k k ki UP i i UP

UP k kUP i i

k k kj DW j j DW

DW k kDW j j

v x v v a tv

x v v t

v x v v a tv

x v v t

−

−

+

+

∆ + − ∆=

∆ + − ∆

∆ + − ∆=

∆ + − ∆

(A1-4.21)

Que resultan ser unas expresiones explícitas que dependen exclusivamente de los

valores en el instante k. Con dichos valores se pueden obtener los puntos exactos

de interpolación:

( )( )

UP i UP UP

DW j DW DW

x x v a t

x x v a t

= − + ∆= − − ∆

(A1-4.22)

Con esto ya pueden ser hallados los demás valores interpolados de forma

explícita:

111 1

1 1 1 1

111

1 1 1

DW j DW jk k k kUP i UP iUP i i DW j j

i i i i j j j j

DW j DW jk k kUP i UP iUP i i DW j

i i i i j j

x x x xx x x xH H H H H H

x x x x x x x x

x x x xx x x xQ Q Q Q Q

x x x x x x

+−− +

− − + +

+−−

− − +

− − − −= + = + − − − −

− − − −= + = + − − − 1

1

kj

j j

Qx x +

+

−

(A1-4.23)

Y, ya por último, operando en el sistema (A1-4.16) se puede obtener el esquema

de cálculo del método de las características a utilizar:



( )

( )

1 1 1 1

1 1 1 1

, 02

, 02

k k k kUP UP UPUP i i i i UP UP UP UP

UP UP UP UP

k k k kDW DW DWDW j j j j DW DW DW DW

DW DW DW DW

gA gA fC Q H Q H Q H Q Q t

a a D A

gA gA fC Q H Q H Q H Q Q t

a a D A

+ + + + +

− + + + +

≡ + − − + ∆ =

≡ − − + + ∆ =

(A1-4.24)

Si se observa el sistema de dos ecuaciones (A1-4.24) del nodo ij, se observa como

los tres últimos sumandos de ambas ecuaciones son funciones variables de Q y H

en el instante k y, en cambio, los dos primeros sumandos son funciones variables

de Q y H en el instante k+1 y, por tanto, son las cuatro incógnitas a resolver:

( )1 1 1 1, , ,k k k ki i j jQ H Q H+ + + +

Entonces se tienen 4 incógnitas a resolver y únicamente se tienen dos ecuaciones,

por lo que faltan dos ecuaciones, que serán las ecuaciones internas del nodo ij.

Dichas ecuaciones dependerán de las condiciones de contorno del nodo en

cuestión.

4.1.2.3. Convergencia y estabilidad del método de las características

El esquema del anterior apartado solo proporcionará una aproximación a la

solución exacta, por lo que es necesario saber si el esquema descrito proporciona,

para los puntos de la malla del problema discretizado unos valores próximos a los

exactos, aun que sea a costa de utilizar valores de ∆x y ∆t muy pequeños.

Lo primero que es necesario es poder asegurar la estabilidad del esquema, ya ésta

es una condición básica para la convergencia de un esquema numérico de cálculo.

Diremos que un sistema es inestable si el error crece al progresar el cálculo y que

el sistema es estable si el error se mantiene acotado.

Para asegurar la estabilidad de un esquema como el utilizado se puede utilizar la

condición de Courant-Friedrics-Lewy que cualitativamente establece que el

dominio de dependencia de un punto en el esquema de cálculo debe contener al

dominio de dependencia de dicho punto en el problema diferencial.

En el caso de no considerar los términos convectivos de la aceleración (caso

simplificado), la condición de Courant-Friedrics-Lewy es:

x

ta

∆∆ ≤ (A1-4.25)



En cambio, si consideramos que la celeridad y la velocidad pueden ser variables a

lo largo de la tubería, y se consideran los términos convectivos de la aceleración

(caso real), la condición de Courant-Friedrics-Lewy se reescribe como:

( )x

tmáx v máx a

∆∆ ≤+

(A1-4.26)

Esta condición puede llegar a ser imposible de controlar, por lo que en la mayoría

de casos se asume que la celeridad es constante y la velocidad tiene una magnitud

despreciable frente a ésta, pudiendo obtener la condición de Courant-Friedrics-

Lewy como:

N

aC

x t=

∆ ∆ (A1-4.27)

Quedando la condición como 1NC ≤ , para que el esquema sea estable.

Todo esto es válido solo para sistemas lineales, que son en los que no se tienen en

cuenta las pérdidas. En caso contrario, el sistema se vuelve no lineal y la

aplicación de la condición de Courant no asegura la estabilidad del sistema.

Cuando es el caso de que las pérdidas son pequeñas, puede considerarse válida la

condición. Pero cuando las pérdidas son elevadas, el sistema se puede convertir en

inestable aunque se cumpla la condición de Courant.

4.2. Método de resolución de la onda característica

El método de la onda característica se puede plantear como una alternativa al método de

las características, ya que nos proporciona una solución aproximada al mismo problema

en cuestión.

Como ya se ha comentado, este método utiliza un punto de vista Lagrangiano para

obtener la solución, en otras palabras, en vez de calcular las propiedades del fluido en

uno o varios puntos concretos (malla descrita en el método de las características), se

sigue el comportamiento de las ondas de presión a lo largo de su recorrido por el

sistema de tuberías.

Veamos en que se fundamenta este método y el porque de su no utilización en Europa

en los siguientes apartados.



4.2.1. Bases del método de la onda característica

En este apartado se verá en que se basa el método de la onda característica y, por

tanto, se empezará a distinguir las principales diferencias entre éste y el método de

las características.

El método de la onda característica se basa en el concepto físico de que el flujo en un

transitorio hidráulico viene provocado por la generación y propagación de las ondas

de presión que se producen en la alteración de un sistema hidráulico, como puede ser

el cierre de una válvula. Una onda de presión, que podemos representar como un

cambio rápido de presión y su cambio de flujo asociado, viaja a una velocidad igual a

la celeridad de la onda, y la onda es parcialmente transmitida y reflejada en todas las

discontinuidades en el sistema; la onda de presión también quedará modificada por la

fricción con las paredes de las conducciones.

4.2.1.1. Relaciones básicas del método

Las relaciones básicas del método son las mismas que las utilizadas en otros,

principalmente se basan en el pulso de Jukowski (véase el apartado 2.6).

La relación entre un cambio de presión y un cambio de caudal que va asociado

con el paso de una onda de presión define la respuesta de un sistema hidráulico

ante un transitorio hidráulico. En la siguiente figura podemos observar la

transmisión de una onda de presión durante un cierto ∆t, la cual avanzará un cierto

∆x.

Figura A1.9. Propagación de una onda de presión en una tubería (fuente: referencia [5] bibliografía).

Haciendo balance y aplicando el principio de momentum obtenemos que el

incremento de presión será:

L

xP Q

A tρ ∆∆ = ∆

∆ (A1-4.28)



El término x t∆ ∆ es la velocidad de propagación de la onda de presión. Como la

velocidad media del fluido es, en la mayoría de casos, varios órdenes de magnitud

inferior a la velocidad del sonido, es aceptable tomar como valor de la velocidad

de la onda de presión la celeridad de la onda, por lo que el incremento de presión

quedará:

L

QP a

Aρ ∆∆ = (A1-4.29)

O, en términos de altura:

L

QH a

gA

∆∆ = (A1-4.30)

Pudiendo obtener la celeridad de la onda a partir de la expresión (A1-2.14).

4.2.2. El método de la onda característica

Como se ha visto, el método de la onda característica se basa en ver como se

propagan las ondas de presión en el transcurso de un transitorio hidráulico. Así pues,

será necesario determinar como se propagan éstas ondas de presión a lo largo de los

distintos elementos que se pueden hallar en un sistema hidráulico.

4.2.2.1. Transmisión de las ondas de presión

El método se basa en determinar como se transmiten las ondas de presión ante

cualquier elemento, es decir, en hallar las distintas ondas de presión que se pueden

ver en la siguiente figura.

Figura A1.10. Acción de una onda de presión ante una discontinuidad o elemento (fuente: referencia [5]

bibliografía).

Estas ondas de presión dependerán en todo momento del caudal circulante y

satisfacen la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )H A t B t Q C t Q Q∆ = + + (A1-4.31)



Donde A, B y C representan los coeficientes de la ecuación característica del

elemento. Estos coeficientes pueden variar a lo largo del tiempo, por lo que será

necesario determinarlos para cada elemento en cada instante de tiempo.

En la Figura A1.13 se pueden observar los valores de caudal antes y después del

paso de las ondas de presión. Dichos términos representan tasas volumétricas de

flujo que entran y salen del elemento; en cualquier caso, la aparición de

fenómenos de cavitación puede afectar a las relaciones de continuidad, lo que

provoca que sea necesario considerar los términos de flujo de forma separada.

Entonces, si se aplican las relaciones básicas del transitorio para los cambios de

presión, se obtienen las siguientes expresiones:

( )

( )

13 1 3 1

1

24 2 4 2

2

cH H Q Q

g A

cH H Q Q

g A

∆ = ∆ + ⋅ −

∆ = ∆ + ⋅ − (A1-4.32)

Y los picos de presión posteriores al paso de la onda de presión son:

3 1 1 3

4 2 2 4

H H H H

H H H H

= + ∆ + ∆= + ∆ + ∆

(A1-4.33)

Entonces, la ecuación característica que proporciona el pico de presión y el flujo a

lo largo de la discontinuidad después de la onda característica es:

( ) ( ) ( )4 3 0 0 0H H A t B t Q C t Q Q− = + + (A1-4.34)

Las ecuaciones (A1-4.32), (A1-4.33) y (A1-4.34) pueden ser resueltas para

obtener la relación cuadrática para Q0:

( ) ( ) 1 20 0 0 0

1 2

0

c cC t Q Q B t Q Q b

g A g A

+ − + + =

(A1-4.35)

Donde, ( ) 1 21 1 2 2

1 2

2 2 i

c cb A t H H H H Q

g A g A

= + + ∆ − − ∆ + + ⋅

.

La ecuación (A1-4.35) puede ser resuelta utilizando la ecuación cuadrática o utilizando el método iterativo de ceros de funciones Newton-Raphson con la aproximación inicial Q0 = Qi.

En caso de que no exista cavitación en el proceso, los flujos en las tuberías son numéricamente iguales al flujo a través del elemento, por lo que se obtiene que

3 0Q Q= − y 4 0Q Q= .



4.2.2.2. Coeficientes de las ecuaciones características de los elementos

Los coeficientes de la ecuación característica de cada elemento se determinan

utilizando los datos de caudal y/o altura para éste.

Dependiendo del tipo elemento será necesario utilizar uno u otro coeficiente. Por

ejemplo para el caso de las bombas será necesario utilizar los tres coeficientes

para representar las variaciones del flujo y altura y, en cambio, las válvulas

precisan únicamente del coeficiente C, que se refiere a la resistencia que ofrece el

elemento al flujo.

El coeficiente de mayor relevancia es C, ya que irá incluido en la ecuación

característica de cualquier elemento. Su forma será siempre semejante a: 2H Q∆ .

Veamos los coeficientes de los elementos de mayor relevancia:

4.2.2.2.a. Elementos resistivos

Dentro de estos tipos de elementos tenemos una gran variedad, los cuáles

tienen la peculiaridad de que al circular el flujo entre ellos, se produce una

pérdida de carga, por lo que su ecuación característica solo contendrá el

coeficiente C. Veamos algunos de ellos:

• Elemento interno: se trata de un elemento que provoca una reducción de la

sección en el conducto. Su coeficiente C es:

( ) 2 20

1

2d

C tC A g

= −⋅ ⋅ ⋅

(A1-4.36)

• Fricción en las tuberías: este elemento atenuará la onda de presión en un

punto concreto simulando las pérdidas por fricción a lo largo de la tubería

de longitud L. El coeficiente C en este caso es:

( ) 2

2 L

f LC t

g D A

⋅= −⋅ ⋅ ⋅

(A1-4.37)

• Elemento con sección de paso nula: en este caso se trata, principalmente,

del caso de tener una válvula cerrada. El coeficiente C será nulo, por lo que

el valor del pico de presión quedará constante, es decir, únicamente se

producirá una reflexión de la onda de presión.



4.2.2.2.b. Elementos activos

En este caso nos referiremos a elementos que provocan una variación del flujo

debido a elementos mecánicos. Por ésta razón será necesario utilizar los tres

coeficientes que dependerán de varios parámetros en función del elemento.

El caso más habitual es el de las bombas, por lo que será el único que se

comentará:

• Bombas: los coeficientes dependerán de varias condiciones (velocidad de la

bomba, caudal, altura de impulsión…). El caso en el que provocará

transitorios éste elementos será el de la arrancada y parada de la bomba y la

expresión de la ecuación característica más habitual para este caso es:

22 1 R R RH H A a B a Q C Q Q− = + + (A1-4.38)

Donde AR, BR y CR son los coeficientes de la curva cuadrática que

representa el funcionamiento normal de una bomba operando a velocidad

máxima.

Cuando tenemos procesos en los que la velocidad es variable, arrancada y

parada de la bomba, a = N/NR representa la proporción de la velocidad

angular en cualquier instante, N, respecto de la velocidad angular máxima,

NR.

En cuanto al tercer término, representa la resistencia al flujo que ocasiona

la bomba, por lo que se escogerá proporcional al cuadrado del flujo en la

bomba. Éste dependerá de la dirección del flujo y puede considerarse que

varía durante el periodo de parada o arrancada.

Otro método más exhaustivo y, por tanto, más realista es que utiliza los

datos de los cuatro cuadrantes del funcionamiento de una bomba. Debido a

que este tema se tratará en capítulos posteriores lo dejaremos, pero solo

cabe decir que los coeficientes A, B y C se determinarán con tres puntos del

gráfico de Marchal et al. para determinar el funcionamiento de la bomba en

los alrededores del punto de funcionamiento.

4.3. Comparativa entre el método de las características y el método de la onda característica

Como ya se ha comentado, el método de las características (MOC) y el método de la

onda característica (WCM) se diferencian en el enfoque del problema, ya que el primero

utiliza una metodología Euleriana y el segundo Lagrangiana.



Los métodos Eulerianos actualizan el estado hidráulico del sistema en puntos prefijados

de una malla a incrementos de tiempo uniformes y los métodos Lagrangianos

actualizan el estado hidráulico en intervalos de tiempo fijos o variables.

Ambos métodos asumen el estado constante del sistema antes del transitorio, lo que

proporciona las distribuciones iniciales de caudal y presión en el sistema.

El método de las características esta considerado como el método Euleriano mas exacto

en la representación de las ecuaciones que gobiernan el transitorio hidráulico, pero

requiere una gran cantidad de cálculos para resolver el problema. A medida que el

sistema se vuelve más complejo, el número de cálculos necesarios crece casi

exponencialmente.

El método de la onda característica sigue el movimiento y transformación de la onda de

presión a medida que se propaga a lo largo del sistema, es decir, donde se hallan

discontinuidades y evalúa las nuevas condiciones del sistema a cada intervalo de

tiempo.

De las dos metodologías expuestas, la Lagrangiana es la que requiere menos cálculos,

lo cuál es más visible en sistemas muy grandes. La metodología Lagrangiana utiliza un

modelo físico más sencillo para su desarrollo futuro y, además, como la metodología es

continua en el tiempo y el espacio, el método es menos sensible a la estructura de las

conexiones.

Las soluciones a los transitorios obtenidas con ambos métodos son muy similares en la

mayoría de los casos con, en principio, la misma precisión. Ambos proporcionan la

solución a intervalos de tiempo dados en las uniones y elementos, pero el método de las

características requiere, además, las soluciones en todos los puntos interiores para cada

intervalo de tiempo.

Como se puede observar, la defensa de un método u otro no es fácil ya que si bien el

método de la onda característica precisa de menor cantidad de cálculos, el método de las

características realiza el cálculo en una mayor cantidad de puntos evitando así la

posibilidad de no considerar cambios en las características de las tuberías en el cálculo.

4.3.1. Utilización en el ámbito europeo

El método de las características es el más utilizado en el ámbito europeo y

latinoamericano. El porque de la no utilización del otro método es debido,

principalmente, al desconocimiento de dicho método y la normalización del uso del

primero.



Nos referimos a desconocimiento porque el método de la onda característica fue

desarrollado en la universidad de Kentucky de Estados Unidos por Wood et al. y nos

referimos a la normalización porque el método de las características se ha utilizado

en programas comerciales desde la aparición de los primeros programas comerciales

que se dedicaban al cálculo de los transitorios hidráulicos.

4.4. Otros métodos de resolución

En los apartados anteriores se ha realizado una explicación de los métodos de resolución

de los transitorios hidráulicos que se utilizan en la actualidad, pero no se pueden olvidar

otros métodos que fueron utilizados con anterioridad y que han servido de base para el

estudio de los métodos comentados. Todo y saber que dichos métodos no se utilizan, se

ha preferido comentarlos brevemente porque su conocimiento puede proporcionar una

aproximación al problema que se este tratando, de forma que se pueda tener un espectro

de magnitudes sobre el que poder trabajar.

4.4.1. Fórmula de Michaud

La utilización de ésta fórmula es muy limitada debido a su simplicidad, aunque se ha

considerado necesario exponerla por ser la amplia difusión que tiene en España.

La fórmula de Michaud se puede aplicar únicamente cuando el tiempo de cierre, TC,

es superior al período característico del transitorio, 2L a . En este caso, Michaud

supone que la sobrepresión máxima se alcanza en 2t L a= . Además supone que la

velocidad disminuye linealmente, es decir, siguiendo la ley:

( )0 1 Cv v t T= − (A1-4.39)

Con esta ley, podemos obtener que la variación de la velocidad será igual a:

00

22

C

LvLv v v

a aT ∆ = − = −

(A1-4.40)

Con estas hipótesis y aplicando la relación de la variación de presión con la variación

de velocidad obtenemos que la sobrepresión máxima será de:

00

2

C

a L vp a v

a T

ρρ∆ = − = (A1-4.41)

Dicha ecuación, en altura de presión será:

0

mC

L vH

g T∆ = (A1-4.42)



Como se puede suponer con lo expuesto, esta fórmula es sólo válida para unas

condiciones de disminución de velocidad perfectamente establecidas,

proporcionando valores distintos a los reales en caso contrario.

Bien al contrario de lo que se pueda pensar, esta fórmula no proporciona valores que

quedan por encima de los valores reales en cualquier caso, por lo que no dejará del

lado de la seguridad su utilización en el diseño de una conducción a presión. Esto es

así debido, principalmente, a que la disminución de la velocidad del agua dependerá

del tipo de válvula utilizada, proporcionando, en la mayoría de los casos:

• Si tenemos una válvula que cierra más lento al principio, los valores que

proporciona la fórmula son mayores a los reales.

• Si tenemos una válvula que cierra más rápido al principio, los valores que

proporciona la fórmula son menores a los reales.

Todo y estos inconvenientes podemos concluir que la fórmula de Michaud sólo nos

proporciona un valor representativo de los valores máximos que se pueden obtener

en un transitorio hidráulico de golpe de ariete.

4.4.2. Pulso de Jukowski

El pulso de Jukowski es el nombre que se ha dado a la máxima sobrepresión que

podemos tener en un sistema debido a un golpe de ariete y que se debe a las

investigaciones realizadas por Jukowski.

Dicha sobrepresión máxima se dará en acontecimientos rápidos, es decir, cuando TC,

el tiempo de duración del acontecimiento, es menor que el tiempo que la onda de

presión invierte en regresar al lugar que la provocó tras reflejarse en la conducción y

se deduce a partir de la aplicación de la ecuación integral de la cantidad de

movimiento, también llamado balance integral de fuerzas, al volumen de control que

comporta la tubería en la que se notará el transitorio.

En dicho cálculo se admiten los siguientes supuestos:

• No se consideran las pérdidas por fricción en la tubería.

• El flujo es unidimensional, con una sola variable espacial significativa.

• El cierre de la válvula es, además de instantáneo, total, por lo que la variación de

velocidad es –v0.

• La tubería es horizontal, por lo que no existe la influencia del campo gravitatorio.



• No se tienen en cuenta las pérdidas en la tubería debidas al término cinético.

De la ecuación integral de la cantidad de movimiento, se tiene:

( ) VC SCF M v dQ

tρ∂= +

∂∑ ∫ (A1-4.43)

Donde F∑ son las fuerzas exteriores que actúan sobre el volumen de control,

( )VCMt

∂∂

es la variación local de la cantidad de movimiento encerrada en el

volumen de control y SC

v dQρ∫ es el flujo de cantidad de movimiento a través de la

superficie.

Dichos términos son:

( )0 0 0

20

0

VC VC

SC

F p A

M v x A M v A a vt

v dQ v A

ρ ρ

ρ ρ

= −∆

∂= ⇒ = − − ∂= −

∑

∫

(A1-4.44)

Donde MVC es la cantidad de movimiento encerrada en el volumen de control. Se ha

asumido que las variaciones de la densidad del fluido y de la sección de la tubería

son mucho menos significativas que la variación temporal de la longitud de la tubería

afectada por la perturbación generada por el cierre de la válvula.

Sustituyendo (A1-4.44) en (A1-4.43) se obtiene el pulso de Jukowski:

0 p a vρ∆ = − (A1-4.45)

Otro término a tener en cuenta es el valor de la celeridad del pulso de presión

(A1-2.14) que ya se comento en apartados anteriores y que se obtiene a partir de la

consideración del balance integral de materia.

4.4.3. Procedimiento de Allievi

Las fórmulas de dicho procedimiento, en las que Allievi proporciona las variaciones

de presión, son funciones de dos parámetros definidos por el mismo. El primero

incluye todos los elementos constructivos y de funcionamiento de la tubería y se

llama característica de la tubería, que ya habíamos visto en apartados anteriores:

0

0

2

a v

gHρ = (A1-4.46)

El otro es el tiempo de variación de admisión, ya sea cierre o apertura:



2 ca T

Lθ = (A1-4.47)

Donde H0 es la carga estática en el extremo inferior de la tubería en metros y Tc el

tiempo de cierre/apertura. En el caso de que el diámetro de la tubería varíe, se debe

tomar como velocidad inicial, la velocidad con media ponderada de todos los tramos:

( )01 1 02 2

0

1 2

...

...

v L v Lv

L L

+=+

(A1-4.48)

Los diagramas de las figuras A1.14 y A1.15 proporcionan: el primero, la máxima

presión alcanzada en la tubería como consecuencia del cierre de la admisión a

cualquier velocidad uniforme de maniobra. El segundo, la máxima depresión que se

origina cuando se abre la admisión desde una posición de cierre hasta cualquier

grado de apertura con cualquier velocidad uniforme de maniobra.

Figura A1.11. Diagrama para obtener la máxima presión de golpe de ariete cuando se cierra la admisión

a cualquier velocidad (fuente: referencia [1] bibliografía).



Figura A1.12. Diagrama para obtener la mínima presión de golpe de ariete cuando se abre la admisión

(fuente: referencia [1] bibliografía).

La obtención de las presiones comentadas no es directa, ya que el valor que se

obtiene de los diagramas es ζ2, que es la relación entre la presión total, incluyendo el

golpe de ariete a la presión H0:

2 0

0

H h

Hζ += (A1-4.49)

Donde h es la presión del golpe de ariete en metros de agua.

Del primero de los dos diagramas se puede obtener, a partir de las curvas S, el tiempo

que transcurre desde el comienzo del cierre hasta el instante en que se produce la

máxima presión. Dichas curvas indican el tiempo en unidades 2L aµ = .

4.4.4. Método gráfico de Schnyder-Bergeron

El método de Schnyder-Bergeron fue desarrollado de forma paralela por los

ingenieros Schnyder y Bergeron, siendo ambos fabricantes de bombas. Éste método

se puede entender como un método gráfico de resolución del método de las

características.



4.4.4.1. Fundamentos básicos

Las rectas básicas que constituyen el método se puede obtener de dos formas

distintas: de la solución analítica de la ecuación de ondas o como un caso

particular del método de las características donde se tiene una conducción sin

pérdidas.

En ambos casos se obtendrán dos ondas, una viajando aguas abajo y la segunda

aguas arriba, que por similitud con el método de las características llamaremos

características positivas y negativas respectivamente.

Manipulando las ecuaciones que se han desarrollado en el método de las

características podemos obtener las características negativa y positiva como la

altura piezométrica y el caudal en un cierto punto P a partir de los valores de

dichas variables en un instante anterior (puntos X e Y):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

a a

a a

Q X Q PC H P H X

C C

Q X Q PC H P H X

C C

+

−

= + −

= − +

(A1-4.50)

Donde a

gAC

a= se supone constante.

En caso de considerar las variables reducidas ( ) ( ) ( ) ( )0 0

, ,, y ,

H x t Q x th x t q x t

H H= = ,

las ecuaciones (A1-4.50) se pueden reescribir como:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

C h P h X q P q X

C h P h Y q P q Y

ρ

ρ

+

−

− = − −

− = + −

(A1-4.51)

Donde 2ρ es el parámetro adimensional de Allievi comentado con anterioridad.

4.4.4.2. Obtención de la solución gráfica

La solución gráfica se basa en representar la evolución del transitorio en los

puntos que se crean necesarios en un gráfico caudal – altura de carga hidrostática.

En dichos puntos, la evolución vendrá dada por un lado por las líneas

características y, por el otro, por las curvas parabólicas S que nos ligarán la

presión en el obturador con el caudal para cada apertura del obturador (dichas

curvas irán nombradas con el subíndice 1, 2, 3… en función del tiempo). Para



facilitar la operación es habitual elegir como unidad de los tiempos una fracción

2 L aµ = que la onda de presión tarda en recorrer la tubería.

Una vez obtenido el gráfico h – Q, es directa la obtención del gráfico de la

evolución de la carga – tiempo.

4.4.4.3. Ejemplo gráfico

Éste método es fácil de entender con un ejemplo gráfico, por lo que se ha optado

por presentar un ejemplo que clarifique los conceptos de los dos apartados

anteriores.

El caso que se trata es el de una tubería de características uniformes, en la que el

cierre total se realiza en un tiempo de valor 2µ. Se toma como unidad de tiempo

2 L aµ = .

En el instante inicial, la presión en todos los puntos de la tubería será igual a la

estática H0 (se prescinde de las pérdidas) y el caudal Q0, perdurando estas

condiciones hasta el instante 1 en B, y hasta los 1/4, 2/4 y 3/4 en D, M y C,

respectivamente; es decir, lo que tarda en llegar la onda positiva. Si a partir de 1B

regresamos con la característica positiva, se hallan una serie de estados caudal-

presión, contenidos en la recta 1B-2A, llegando al punto A en el instante 2, y

como el estado de A en este momento deberá quedar dentro de la característica S2,

será el definido por el punto 2A; como los puntos D/4, M/2…, coinciden con el

punto 1B, por el mismo razonamiento se encuentran los puntos A/2, 1A… Del

punto A, en el instante 2, se parte en sentido a B siguiendo la característica

negativa, llegando a B en el instante 3 a su cruce con la curva S3 quedando

representado el estado 3B. Del mismo modo se encuentran los demás puntos de

interés, obteniendo la figura siguiente.



Figura A1.13. Aplicación del método de Schnyder-Bergeron (fuente: referencia [1] bibliografía).

Con los resultados obtenidos en la Figura A1.16, es posible dibujar las curvas de

sobrepresiones en función de los tiempos en cada punto (Figura A1.17).

Figura A1.14. Curvas de sobrepresiones en función de los tiempos (fuente: referencia [1] bibliografía).



5. Condiciones de contorno con el M.C.

En el siguiente apartado se verán las condiciones de contorno necesarias para la

aplicación del método de las características.

5.1. Condiciones de contorno básicas

En este apartado se verán las condiciones de contorno más sencillas y que no necesitan

un estudio específico de dicho elemento.

5.1.1. Nodo normal

Cuando dos tuberías están unidas, se tiene la ecuación de continuidad y la de la

energía como ecuaciones de condición internas:

( )( )

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1

, 0

, 0

k kUP i i

k kDW j j

k ki j

k k k ki j Q j j

C Q H

C Q H

Q Q

H H k Q Q

+ + +

− + +

+ +

+ + + +

==

=

= + ⋅

(A1-5.1)

Donde kQ es el coeficiente de pérdidas de carga localizadas.

5.1.2. Válvula

Las ecuaciones del flujo en presencia de una válvula en línea que puede modificar su

apertura a lo largo del tiempo según una función temporal definida por el usuario son

las mismas que con el nodo normal, con la diferencia de que las perdidas de dicho

nodo están en función de una cierta apertura definida:

( )( )

( )

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1 1

, 0

, 0

k kUP i i

k kDW j j

k ki j

k k k k ki j Q j j

C Q H

C Q H

Q Q

H H k t Q Qθ

+ + +

− + +

+ +

+ + + + +

==

=

= + ⋅

(A1-5.2)

Donde kQ es el coeficiente de pérdidas de carga localizadas que varia en función de

la apertura de la válvula.



5.1.3. Depósito aguas arriba

En la siguiente figura se pueden ver representadas las variables que intervienen en

esta condición interna.

SD hD

qS

qD > 0; kD< 0

j

qD < 0; kD> 0

hS

zj

zD

SD hD

qS

qD > 0; kD< 0

j

qD < 0; kD> 0

hS

zj

zD

Figura A1.15. Esquema de un depósito situado aguas arriba de una conducción (fuente: Joan Soler).

En este caso el sistema de ecuaciones que se resuelve esta formado por las

ecuaciones de la ecuación del flujo a presión a lo largo de la curva característica

negativa, el caudal saliente por el vertedero del depósito, la discretización de la

ecuación diferencial de continuidad en un depósito, la aplicación del principio de

conservación de la energía de Bernouilli entre los extremos de la conexión del

depósito con la conducción y la ecuación de continuidad.

( )( )

1 1

31 1 2

1 11

1

1 1 1 1

1 1

, 0

2

k kDW j j

k kS S S D S

k k k kkD D D D

D Sk k

k k k kj D D j D D D

k kj D

C Q H

q L C h h

h h q qS q

t t

z z h H k q q

Q q

− + +

+ +

+ ++

+

+ + + +

+ +

=

= ⋅ ⋅ − − + = − − + + = + ⋅=

(A1-5.3)

Donde SD es la superficie en plante del depósito, kD es el coeficiente de pérdidas

equivalente de la conexión que toma un valor distinto en función de si el agua entra o



sale del depósito, Ls es la anchura del vertedero, Cs es el coeficiente de desguace del

vertedero. Las otras variables están representadas en la Figura A1.9.

De éste sistema, las incógnitas a resolver son 1 1 1 1 1, , , ,k k k k kj j D D SQ H h q q+ + + + + y los

parámetros propios de la condición de contorno son 0 , , , de entrada, de salida, , ,D D D D D S S Sh z S k k L C h , siendo 0

Dh la condición inicial del

nivel del depósito.

5.1.4. Depósito aguas abajo

Se procede como en el caso anterior, pero considerando la curva característica

positiva en vez de la negativa.

SDhD

qS

qD > 0; kD< 0

i

qD < 0; kD> 0

hS

zi

zD

SDhD

qS

qD > 0; kD< 0

i

qD < 0; kD> 0

hS

zi

zD

Figura A1.16. Esquema de un depósito situado aguas abajo de una conducción (fuente: Joan Soler).

El sistema de ecuaciones será pues:

( )( )

1 1

31 1 2

1 11

1

1 1 1 1

1 1

, 0

2

k kUP i i

k kS S S D S

k k k kkD D D D

D Sk k

k k k ki D D i D D D

k ki D

C Q H

q L C h h

h h q qS q

t t

z z h H k q q

Q q

+ + +

+ +

+ ++

+

+ + + +

+ +

=

= ⋅ ⋅ − − + = − − + + = + ⋅=

(A1-5.4)







De éste sistema, las incógnitas a resolver son 1 1 1 1 1, , , ,k k k k ki i D D SQ H h q q+ + + + + y los

parámetros propios de la condición de contorno son 0 , , , de entrada, de salida, , ,D D D D D S S Sh z S k k L C h , siendo 0



5.1.5. Depósito en línea

Procederemos como en los dos casos anteriores, pero en este caso tendremos en

cuenta algunas ecuaciones más.

NODE ij

SDhD

qS

qD > 0; kD< 0

ij

qD < 0; kD> 0

hS

zij

zD

NODE ij

SDhD

qS

qD > 0; kD< 0

ij

qD < 0; kD> 0

hS

zij

zD

Figura A1.17. Esquema de un depósito situado en línea con la tubería (fuente: Joan Soler).

En este caso, el sistema de ecuaciones que se resuelve esta constituido por las

ecuaciones de la ecuación del flujo a presión a lo largo de la curva característica

negativa, la ecuación del flujo a presión a lo largo de la curva característica positiva,

el caudal saliente por el vertedero del depósito, la discretización de la ecuación

diferencial de continuidad en un depósito, la aplicación del principio de conservación

de la energía de Bernouilli entre los extremos de la conexión del depósito con la

conducción, la ecuación de continuidad en la unión en forma de T y la aplicación del

principio de conservación de la energía de Bernouilli entre los puntos i y j.



( )( )

( )

1 1

1 1

31 1 2

1 11

1

1 1 1 1

1 1 1

1 1

, 0

, 0

2

k kUP i i

k kDW j j

k kS S S D S

k k k kkD D D D

D Sk k

k k k kij D D j D D D

k k ki j D

k ki j

C Q H

C Q H

q L C h h

h h q qS q

t t

z z h H k q q

Q Q q

H H

+ + +

− + +

+ +

+ ++

+

+ + + +

+ + +

+ +

==

= ⋅ ⋅ −

− + = − − + + = + ⋅= +

=

(A1-5.5)





De éste sistema, las incógnitas a resolver son 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,k k k k k k ki i j j D D SQ H Q H h q q+ + + + + + + y

los parámetros propios de la condición de contorno son 0 , , , de entrada, de salida, , ,D D D D D S S Sh z S k k L C h , siendo 0



5.1.6. Nivel constante aguas abajo

Cuando se tiene el caso de que el nivel piezométrico no varia en todo el proceso de

cálculo, el sistema de ecuaciones a resolver es el siguiente.

( )1 1

1

, 0

.

k kUP i i

ki

C Q H

H Cte

+ + +

+

=

= (A1-5.6)

Donde Cte. es el valor del nivel piezométrico en el extremo.

5.2. Condiciones de contorno de elementos que introducen transitorios por oscilaciones no periódicas

Los transitorios hidráulicos pueden producirse por diferentes causas y múltiples

maneras. De entre dichas causas destacan dos por ser las que tienen una frecuencia de

ocurrencia mayor y por la magnitud del transitorio que provocan:

• Maniobras y cambios de posición de válvulas.

• Variación en el punto de funcionamiento de bombas.



En éste capítulo se van a tratar las perturbaciones generadas por apertura o cierre de

válvulas y las generadas por el arranque o parada de grupos de bombeo.

5.2.1. Características hidráulicas de las válvulas

La gama de válvulas existentes en la actualidad es muy extensa y no es posible

resumirla en un capítulo, por lo que se realizará una definición de los parámetros que

definen el comportamiento de éstas.

5.2.1.1. Coeficientes para la caracterización hidráulica

Entre los coeficientes que permiten la caracterización hidráulica de una válvula

destaca los coeficientes de flujo o de caudal, que permiten cuantificar la pérdida

de carga, vH p γ∆ = ∆ , en función del caudal de paso para un determinado grado

de apertura de la válvula (parámetro θ , función de la posición del eje o del

obturador).

De entre los coeficientes de caudal existen varias definiciones:

Coeficiente k

Función de la velocidad media de circulación en la conducción, v.

( ) 2

2 g Hk

vθ ∆= (A1-5.7)

Dicho coeficiente es adimensional y es análogo al coeficiente de pérdidas

localizadas de un accesorio genérico.

Coeficiente Cd

Como el anterior, es función de la velocidad media de circulación en la

conducción. Tiene dos variantes.

( )22

d

v

vC

g H vθ =

∆ + (A1-5.8)

( )2

dl

v

vC

g Hθ =

∆ (A1-5.9)

La expresión más utilizada es la (A1-5.8), cuya variabilidad está entre los

valores 0 y 1.

Estos coeficientes, como el anterior, son adimensionales.



Los dos coeficientes planteados, k y Cd, están relacionados por:

2

11

d

kC

= − (A1-5.10)

Coeficiente de pérdidas localizadas K

Similar al primero de los coeficientes planteados, pero referido al caudal

circulante.

( ) 2VH

KQ

θ ∆= (A1-5.11)

Dicho coeficiente no es adimensional, pero es utilizado por los fabricantes.

Coeficiente de caudal Kv

Es el caudal en m3/s que pasando a través de la válvula ocasiona una pérdida de

carga de 1kg/cm2 (10 m.c.a.).

( )v

V

QK

Hθ =

∆ (A1-5.12)

Como el anterior, no es un coeficiente adimensional, pero es utilizado por los

fabricantes. Presenta su máximo para la válvula completamente abierta.

La relación entre los dos últimos coeficientes es directa:

( )( )2

1

V

KK

θθ

= (A1-5.13)

5.2.1.2. Caracterización hidráulica de una válvula

Como ya sabemos, el comportamiento de una válvula viene definido por la

condición de contorno siguiente:

2VH K Q∆ = ⋅ (A1-5.14)

Donde K es un coeficiente que deberemos determinar y que tendrá su relación con

los coeficientes presentados en el apartado anterior.

Si utilizamos el coeficiente (A1-5.12), la condición de contorno para la válvula

será:



( )

2

V

QH

K θ

∆ =

(A1-5.15)

En cambio, si utilizamos el coeficiente (A1-5.11), la condición de contorno será:

( ) 2H K Qθ∆ = ⋅ (A1-5.16)

En la mayoría de casos los fabricantes proporcionan para cada grado de apertura

θ la relación entre el coeficiente de caudal para el citado grado de apertura θ y el

correspondiente a válvula abierta:

( ) ( ),0

V

V

K

K

θϕ θ = (A1-5.17)

Donde ,0VK es el valor máximo del coeficiente VK , que se presenta para la

válvula completamente abierta.

Si se expresa (A1-5.17) en términos de coeficiente de pérdidas se tendrá:

( )

( )20

1K

K

θϕ θ

= (A1-5.18)

Otro valor útil es τ , que es la relación entre el coeficiente de caudal para un

determinado grado de apertura θ y el coeficiente de caudal correspondiente al

grado de apertura inicial:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )0

0 0V

V

K t t Kt

K K t

ϕτ

ϕ= = = (A1-5.19)

Dicha expresión depende del tiempo, ya que depende del grado de apertura que a

su vez depende del tiempo.

En el gráfico de la Figura A1.22 se presentan distintas leyes de cierre de válvulas.

Dichas leyes de cierre, en la mayoría de casos, pueden ajustarse a expresiones de

la forma:

( ) bϕ θ θ= (A1-5.20)

Donde θ adopta de forma general la función:

1C

t

Tθ

= −

(A1-5.21)



Con estas dos últimas expresiones tendremos que la ley de cierre se puede

calcular con la expresión siguiente:

( ) 1

b

C

t

Tϕ θ

= −

(A1-5.22)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Angulo de apertura

Coeficiente fi _

Asiento plano Mariposa Lineal

Figura A1.18. Gráfico φ(θ) – θ para tres tipos típicos de válvulas (fuente: referencia [3] bibliografía).

Como se puede observar en la figura anterior, para una válvula de asiento plano se

tiene un coeficiente b que estará entre los valores 0 y 1, para una válvula de

mariposa se tiene un coeficiente b mayor a 1.

5.2.1.3. Sistema de ecuaciones para la aplicación del método de las características

Las ecuaciones del flujo en presencia de una válvula son las mismas que en el

caso de tener un nodo simple con la diferencia de que en este caso se introduce el

valor de la apertura de la válvula, del cual dependen las pérdidas:

( )( )

( )

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1 1

, 0

, 0

k kUP i i

k kDW j j

k ki j

k k k k ki j V j j

C Q H

C Q H

Q Q

H H k t Q Qθ

+ + +

− + +

+ +

+ + + + +

==

=

= + ⋅

(A1-5.23)

Donde ( )1ktθ + es la apertura de la válvula en el instante 1kt + .



5.2.2. Características hidráulicas de las bombas

En el apartado referente al método de la onda característica ya se ha realizado un

breve hincapié en el tema que se tratará en este apartado de forma mucho más

extensa.

La utilización de equipos de bombeo en la hidráulica es muy habitual por lo que se

realizará una explicación de forma muy extensa, no solo por la utilización de éstos

equipos, sino por las complicaciones que conlleva su estudio.

5.2.2.1. Caracterización hidráulica de una bomba

Toda bomba instalada en un sistema hidráulico a presión tiene unas curvas que

caracterizan su funcionamiento. En función del caudal circulante, Q, y la altura de

impulsión, H, el funcionamiento de la bomba estará en un cuadrante u otro de

funcionamiento.

En la mayoría de casos, únicamente se tendrán las curvas características de la

bomba en el primer cuadrante (Q y H positivos) y para una velocidad nominal de

régimen ( 0N N= ), ya que dicha información es la proporcionada por el

fabricante.

Para realizar un estudio de los transitorios, dicha información no es suficiente, ya

que la bomba puede girar a una velocidad inferior, parada o arranque, e incluso

puede girar con velocidades negativas (entonces ya no se tendrá a la bomba

trabajando en el primer cuadrante). Si además tenemos en cuenta que el análisis

de los transitorios se realizará de forma analítica (método de las características o

método de la onda característica) es necesario expresar el comportamiento de la

bomba por medio de un sistema de ecuaciones que modelice el mismo.

En función del cuadrante de funcionamiento de una bomba se podrá realizar una

modelización u otra, siendo el más sencillo el del primer cuadrante, donde un

ajuste de curvas permite la obtención del sistema de ecuaciones.

En cambio, si se desea realizar un análisis generalizado del comportamiento de

una bomba, estudio en los cuatro cuadrantes, el problema se complica teniendo

que utilizar metodologías gráficas para poder encontrar la solución al problema.

5.2.2.1.a. Modelización del comportamiento de una bomba en el primer

cuadrante

El sistema de ecuaciones que se utiliza en la mayoría de casos para modelizar

el comportamiento de una bomba es de tipo polinómico tanto en altura de

impulsión como para rendimiento global de la bomba.



Para bombas centrífugas se aceptan aproximaciones de segundo orden:

2

2

H A B Q C Q

D Q E Qη= + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ (A1-5.24)

Al aumentar el orden de aproximación, aumenta también el grado de

incertidumbre (dependiendo sobretodo de los puntos proporcionados por el

fabricante), aunque para bombas de tipo mixto, axial y con otros rodetes

especiales es justificado aumentar dicho orden, como por ejemplo de tercer

orden:

2 3

2 3

H A B Q C Q D Q

E Q F Q G Qη= + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ (A1-5.25)

Como la cantidad de puntos proporcionados por el fabricante es, en la mayoría

de casos baja, se utiliza la aproximación de segundo orden.

La determinación de los coeficientes de las ecuaciones (A1-5.24) se realiza

mediante ajuste numérico, como por ejemplo el método de los mínimos

cuadrados.

Los datos proporcionados por el fabricante deben seguir una serie de normas

que vienen preestablecidas en las normas estatales de recepción de grupos de

bombeo. De entre las normas más utilizadas hay: la norma ISO 2548, la norma

francesa NF X 10-601 y la norma alemana DIN 1944.

5.2.2.1.b. Inercia de un grupo impulsor

La inercia es un dato imprescindible para evaluar el golpe de ariete en una

impulsión.

Si bien las curvas características en el primer cuadrante son relativamente

fáciles de obtener del fabricante, los valores de las inercias de las masas

rotantes en el grupo impulsor no. Por esta razón, se plantean a continuación

algunos métodos para aproximar el valor de la inercia del conjunto motor –

bomba – fluido girando:

Fórmula de Linton

1,435

150P

IN

=

(A1-5.26)



Donde P es potencia del motor en CV, N la velocidad nominal de giro en

rpm y I el momento de inercia del conjunto en kg·m2.

Dicha fórmula fue obtenida en 1960 y fue ajustada con motores de

aquella época, por lo que no se aconseja su uso ya que los motores de

aquella época eran, con toda seguridad, mucho más robustos. Constituye

un límite superior de inercia y, por tanto, un límite inferior de las

sobrepresiones en el golpe de ariete.

Expresiones del “Bureau of Reclamation de EEUU”

Proporcionan únicamente la inercia del motor y sugieren añadir de un 10

a un 15 % para tener en consideración la bomba.

1,38

1,38

1200 0,0045

1800 0,00193

N rpm I P

N rpm I P

≈ ⇒ =≈ ⇒ =

(A1-5.27)

Donde P es la potencia en Kw del motor e I la inercia del mismo en

kg·m2. También han quedado obsoletas, ya que fueron obtenidas en

1975.

Ábacos de Koelle y Thorley

Más recientemente se han desarrollado experiencias y ensayos de grupos

motor – bomba que han sido recopilados debidamente en ábacos y

ajustados a expresiones similares a las vistas en (A1-5.24). En éstas

experiencias se han tenido en cuenta más parámetros.

Son un total de dos ábacos y fueron obtenidos en 1989 y en 1991,

respectivamente.

Expresión de la inercia usada por los fabricantes de bombas

2

4

P DI

⋅= (A1-5.28)

Donde P, en este caso concreto, es la masa equivalente que situada a una

distancia D/2, radio de giro equivalente, del eje de giro tendría una

inercia idéntica al conjunto de masas rodantes. Se ha de tener cuidado en

sumar la correspondiente parte hidráulica a la inercia relativa al motor

eléctrico de arrastre.



5.2.2.1.c. Comportamiento generalizado de una bomba

El análisis realizado en el aparatado a anterior no sirve para el caso general de

una bomba, ya que dicho análisis esta realizado teniendo únicamente en cuenta

el primero de los cuatro cuadrantes de funcionamiento de una bomba.

Parámetros adimensionalizados para el estudio en los 4 cuadrantes

Para realizar cualquier estudio es habitual realizar, como ya se ha visto

en casos anteriores, la adimesionalización de los parámetros que

intervienen. En el caso de una bomba se deben tener en cuenta, como

parámetros de relevancia, la velocidad de giro, el par del conjunto

impulsor, la altura de impulsión y el caudal circulante. Se definen, por

tanto, los siguientes coeficientes:

0 0 0 0

, , , N M H Q

h qN M H Q

α β= = = = (A1-5.29)

Donde el subíndice 0 índica el valor de régimen de funcionamiento de

grupo impulsor y M es el par que se define según la expresión:

P QH d

M Idt

γ ωω ηω

= = = − (A1-5.30)

Siendo ω la velocidad de giro del grupo impulsor.

Zonas de trabajo de un grupo impulsor

Con los parámetros definidos en el subapartado anterior es posible

discernir las distintas zonas de trabajo de un grupo impulsor, que se

pueden ver reflejadas en la siguiente tabla:

Zona Modo de trabajo h q α β

A Bombeo convencional + + + +

B Bombeo con excesiva altura (bomba freno) + - + +

C Bombeo con excesivo caudal (disipación) - + + +

D Bombeo con excesivo caudal y altura negativa (turbina centrífuga)

- + + -

E Turbina centrípeta + - - +

F Turbina centrípeta con escaso caudal (región disipativa) + - - -

G Bomba girando en sentido inverso + + - -

H Bomba en giro inverso y con excesivo caudal - + - -

Tabla A1.1. Definición de las distintas zonas de trabajo de un grupo impulsor.



-q +q

P>0

M>0

H>0

P<0

P>0

H<0

M<0

P<0

A

C

D

H

GF

E

B

Figura A1.19. Campos de trabajo de una bomba en el diagrama q – α.

5.2.2.1.d. Curvas universales de Marchal, Flesch y Suter

Para estudiar el comportamiento de una bomba en un circuito hidráulico a

presión es necesario conocer el comportamiento de una bomba en cualquier

región de trabajo y no solo en zona de bombeo convencional (zona A de la

tabla A1.1). Salvo raras excepciones, ningún fabricante proporciona las curvas

completas de funcionamiento, lo que resulta una limitación a la hora de

estudiar el de una bomba cuando ésta se coloca en una región distinta a la zona

A.

En 1937 Knapp realiza unas curvas genéricas del comportamiento de una

bomba que se basan en isolíneas que varían en función de la velocidad

específica de la bomba.

En 1965 Marchal, Flesch y Suter proponen unas tablas que recogen el

comportamiento completo de cuatro clases de bombas tipo. A cada tipo de

bomba va asociada una velocidad específica: Ns = 0,46; 1,61; 2,78 y 4,94

(desde una bomba centrífuga hasta una bomba axial). Dicha velocidad

específica viene definida por la expresión:



( )

0 03 4

0

S

QN

g H

ω=

⋅ (A1-5.31)

En el caso práctico, la Ns no coincidirá, en la mayoría de los casos, con los

cuatro valores de referencia por lo que se deberá realizar una interpolación

entre los datos dados por las curvas. En el caso de que la velocidad específica

se encuentre fuera del rango que va de 0,46 a 4,94 se deberán calcular los

valores de estas curvas a partir de las curvas características que proporcione el

fabricante.

Veamos, pues, como vienen presentados los datos de las curvas en cuestión y

su tratamiento.

Curvas de trabajo de un grupo impulsor

Toda bomba o, de forma más genérica, máquina hidráulica puede

expresarse en función de dos curvas independientes, una que nos

determina la altura de bombeo en función de α y del caudal y otra que

nos determina el rendimiento en función de β y del caudal. Entonces es

posible relacionar las cuatro variables adimensionales expuestas

anteriormente con las siguientes dos curvas:

( )2 2arctan

hf f

q q

αθα

= = +

(A1-5.32)

( )2 2arctan

q q

β αϕ θ ϕα

= = +

(A1-5.33)

Donde se tienen las siguientes consideraciones:

• Por semejanza se verifica 2 2cte., cte. y cte.q h qα α β= = =

• La función arco tangente presenta un valor finito cuando 0q = y el

coeficiente qα tiende a infinito.

• Cuando α tiende a 0 , q no tiene por qué serlo y, por lo tanto, el

binomio 2 2qα + no se anula, quedando permanentemente definidas

las relaciones ( )2 2h qα + y ( )2 2qβ α + .

Curvas empíricas de Marchal, Flesch y Suter

En la siguiente tabla se pueden observar los valores de las curvas

completas de Marchal, Flesch y Suter.



Ns = 0,46 Ns = 1,61 Ns = 2,78 Ns = 4,94 θ

f(θ) φ(θ) f(θ) φ(θ) f(θ) φ(θ) f(θ) φ(θ)

0 -0,55 -0,43 -1,22 -1,35 -1,62 -1,38 -0,97 -0,57

5 -0,48 -0,26 -1,07 -1,14 -1,34 -1,08 -0,92 -0,61

10 -0,38 -0,11 -0,90 -0,91 -1,10 -0,82 -0,97 -0,73

15 -0,27 -0,05 -0,74 -0,69 -0,62 -0,57 -0,88 -0,66

20 -0,17 0,04 -0,54 -0,40 -0,59 -0,37 -0,67 -0,54

25 -0,09 0,14 -0,36 -0,15 -0,35 -0,16 -0,46 -0,39

30 0,06 0,25 -0,15 0,05 -0,14 0,06 -0,24 -0,15

35 0,22 0,34 0,06 0,21 0,11 0,22 -0,02 0,06

40 0,37 0,42 0,29 0,38 0,31 0,37 0,24 0,30

45 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

50 0,64 0,55 0,70 0,60 0,81 0,59 0,80 0,64

55 0,78 0,59 0,89 0,69 0,86 0,68 1,06 0,76

60 0,91 0,61 1,04 0,74 0,89 0,71 1,30 0,88

65 1,03 0,61 1,19 0,79 0,93 0,73 1,50 0,94

70 1,13 0,60 1,30 0,81 1,14 0,83 1,73 1,11

75 1,21 0,58 1,40 0,84 1,42 0,96 1,99 1,39

80 1,27 0,55 1,49 0,87 1,64 1,20 2,26 1,66

85 1,33 0,50 1,53 0,91 1,84 1,36 2,54 1,89

90 1,35 0,44 1,57 0,99 1,98 1,47 2,83 2,10

95 1,36 0,41 1,60 1,06 2,09 1,53 3,05 2,28

100 1,34 0,37 1,63 1,13 2,16 1,52 3,33 2,52

105 1,31 0,35 1,67 1,22 2,18 1,51 3,51 2,68

110 1,28 0,34 1,70 1,30 2,22 1,55 3,67 2,83

115 1,22 0,34 1,73 1,39 2,31 1,63 3,81 3,03

120 1,17 0,36 1,75 1,45 2,39 1,69 3,87 3,24

125 1,13 0,40 1,72 1,50 2,53 1,83 3,80 3,23

130 1,09 0,47 1,68 1,56 2,59 1,95 3,67 3,15

135 1,04 0,54 1,64 1,61 2,70 2,17 3,46 2,90

140 0,99 0,62 1,60 1,64 2,71 2,35 3,18 2,59

145 0,96 0,70 1,56 1,65 2,85 2,53 2,85 2,39

150 0,91 0,77 1,52 1,66 2,95 2,71 2,47 2,09

155 0,89 0,82 1,49 1,66 3,05 2,82 2,25 1,82

160 0,85 0,86 1,46 1,66 3,03 2,87 1,97 1,57

165 0,82 0,89 1,42 1,67 2,88 2,73 1,70 1,32

170 0,79 0,91 1,39 1,66 2,74 2,61 1,50 1,11

175 0,75 0,90 1,35 1,63 2,54 2,39 1,28 0,92

180 0,71 0,88 1,30 1,57 2,30 2,16 1,09 0,65

185 0,68 0,85 1,25 1,48 1,92 1,84 0,90 0,49

190 0,65 0,82 1,10 1,37 1,55 1,45 0,77 0,52

195 0,61 0,74 1,10 1,23 1,15 1,22 0,70 0,66

200 0,58 0,67 0,98 1,08 0,84 0,96 0,71 0,67

205 0,55 0,59 0,80 0,91 0,63 0,74 0,68 0,64

210 0,54 0,50 0,65 0,75 0,51 0,53 0,58 0,51

215 0,53 0,42 0,55 0,60 0,41 0,36 0,41 0,32

220 0,52 0,33 0,44 0,42 0,28 0,18 0,26 0,12

225 0,52 0,24 0,37 0,27 0,19 -0,03 0,03 -0,15

230 0,53 0,16 0,30 0,11 0,12 -0,17 -0,18 -0,39

235 0,55 0,07 0,24 -0,01 0,06 -0,28 -0,37 -0,61

240 0,57 0,01 0,24 -0,13 0,03 -0,43 -0,59 -0,81

245 0,59 -0,12 0,27 -0,26 -0,14 -0,53 -0,74 -0,97



Ns = 0,46 Ns = 1,61 Ns = 2,78 Ns = 4,94 θ

f(θ) φ(θ) f(θ) φ(θ) f(θ) φ(θ) f(θ) φ(θ)

250 0,61 -0,21 0,29 -0,37 -0,20 -0,72 -0,91 -1,17

255 0,63 -0,22 0,31 -0,49 -0,42 -1,03 -1,19 -1,46

260 0,64 -0,35 0,32 -0,60 -0,49 -1,20 -1,52 -1,75

265 0,66 -0,51 0,33 -0,69 -0,55 -1,31 -1,86 -2,03

270 0,66 -0,68 0,33 -0,77 -0,75 -1,43 -2,20 -2,30

275 0,62 -0,85 0,31 -0,86 -0,94 -1,61 -2,50 -2,54

280 0,51 -1,02 0,29 -0,96 -0,96 -1,75 -2,79 -2,79

285 0,32 -1,21 0,22 -1,10 -0,92 -1,77 -2,93 -2,93

290 0,23 -1,33 0,15 -1,30 -0,94 -1,77 -3,08 -3,08

295 0,11 -1,44 0,05 -1,67 -1,04 -1,86 -3,10 -3,10

300 -0,20 -1,56 -0,10 -1,93 -1,23 -2,00 -3,19 -3,19

305 -0,31 -1,65 -0,27 -2,04 -1,55 -2,10 -3,11 -3,11

310 -0,39 -1,67 -0,40 -2,15 -1,75 -2,22 -3,10 -3,10

315 -0,47 -1,67 -0,50 -2,25 -1,85 -2,42 -2,97 -2,97

320 -0,53 -1,63 -0,60 -2,35 -2,01 -2,54 -2,85 -2,85

325 -0,59 -1,56 -0,70 -2,33 -2,15 -2,67 -2,62 -2,62

330 -0,64 -1,44 -0,80 -2,20 -2,28 -2,75 -2,31 -2,31

335 -0,66 -1,33 -0,90 -2,05 -2,28 -2,78 -2,07 -2,07

340 -0,68 -1,18 -1,00 -1,95 -2,30 -2,75 -1,80 -1,78

345 -0,67 -1,00 -1,10 -1,80 -2,21 -2,63 -1,56 -1,46

350 -0,66 -0,83 -1,20 -1,65 -2,04 -2,33 -1,33 -1,15

355 -0,61 -0,64 -1,30 -1,50 -1,86 -1,94 -1,12 -0,85

Tabla A1.2. Curvas de Marchal, Flesch y Suter.

Representadas, dichas curvas quedan de la siguiente forma:

-4.00

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Ángulo (º)

Fh

Ns = 0,46 Ns = 1,61 Ns = 2,78 Ns = 4,94 Figura A1.20. Curvas de Marchal et al. para la altura de bombeo.



-4.00

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360Ángulo (º)

Fb

Ns = 0,46 Ns = 1,61 Ns = 2,78 Ns = 4,94 Figura A1.21. Curvas de Marchal et al. para el par de la bomba.

5.2.2.2. Ecuación de una estación de bombeo

El flujo a través de una estación de impulsión se puede describir mediante el

principio de la energía de la siguiente forma:

2i B j B BH H H k Q+ = + ⋅ (A1-5.34)

Donde iH es el nivel piezométrico a la entrada de la estación, BH es la altura

manométrica de la bomba (altura de bombeo), jH es el nivel piezométrico a la

salida de la estación, BQ es caudal bombeado y Bk es el coeficiente de pérdidas

de carga equivalente para la estación de bombeo que tomará valor positivo o

negativo en función del sentido del agua.

5.2.2.3. Sistema de ecuaciones para la aplicación del método de las características

El sistema de ecuaciones que se resuelve esta formado por la ecuación del flujo a

presión a lo largo de la curva característica positiva, la ecuación del flujo a presión

a lo largo de la curva característica negativa, el comportamiento de la altura

manométrica de una bomba según el modelo de Marchal et al., el comportamiento

del par de una bomba según el modelo de Marchal et al., la ecuación de inercia de

una bomba, la continuidad entre la entrada de la estación de bombeo y la

aspiración de la bomba, la continuidad entre la impulsión de la bomba y la salida

de la estación de bombeo y la aplicación del principio de conservación de la

energía de Bernouilli entre los puntos i (aguas arriba de la estación de bombeo) y j

(aguas abajo de la estación de bombeo).



( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1

12 21 1 1

01

12 21 1 1

01

1 101

0

1 1

, 0

, 0

arctan 0

arctan 0

10

2

k kUP i i

k kDW j j

kk k k

k

kk k k

k

k k k k

k k

k ki B

kj

C Q H

C Q H

H f H qq

M M qq

I N

M t t

Q Q

Q

α α

αϕ α

β β β β

+ + +

− + +

++ + +

+

++ + +

+

+ ++

+ +

+

=

=

− ⋅ ⋅ + =

− ⋅ ⋅ + =

⋅ + − ⋅ − =

−

=

( )

1 1

21 1 1 1

kB

k k k ki B j B B

Q

H H H k Q

+

+ + + +

=+ = + ⋅

(A1-5.35)

Donde las variables adimensionalizadas α, β, h y q vienen definidas por el superíndice de instante de cálculo de la siguiente forma:

0 0 0 0

, , y k k k k

k k k kN M H Qh q

N M H Qα β= = = = y las otras variables ya se han definido

anteriormente.

De éste sistema, las incógnitas a resolver son 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , ,k k k k k k k k

i i j j B BQ H Q H H Q M N+ + + + + + + + y los parámetros propios de la

condición de contorno son 0 0 0 0, , , , , de entrada y de entradaB Bh q I k kα β , donde,

como es de esperar, se incluyen los valores 0 0 0 0, , ,N M H Q correspondientes a los

puntos de régimen de funcionamiento del grupo impulsor.

ANEXO NÚMERO 1

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