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En una de las actividades) del apartado “Practiquemos lo visto hasta el momento” se pide el trazado de las rectas tangentes en varios puntos de una función dada. Para la resolución del ítem se desarrollará el siguiente trabajo:

Desarrollo

Sea una función constante f(x)=k, la derivada de esa función para cualquier valor de x del dominio de f, ¿cuál es?

Veamos cómo podemos hallar la función derivada de una función cualquiera, en este caso una constante, utilizando un programa llamado Graphmatica:

Primero debemos abrir el programa a partir de su acceso:

Una vez adentro del programa, podemos visualizar la siguiente pantalla:

Este programa nos permite graficar diferentes funciones, y es una gran ventaja poder manejarlo ya que nos ahorramos mucho tiempo para su elaboración, y nos evitamos los errores por cálculo.

Sea f(x)=2 por ejemplo; para graficar dicha función en este programa, insertaremos el comando de la función de la siguiente manera:

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Luego de ello, con un simple enter, podemos ver la gráfica de la función:

Para hallar la función derivada simplemente

tenemos que hacer un clic en:

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Que automáticamente la graficará:

Si nos paramos con el cursor sobre la función derivada y hacemos un clic, podemos observar que no sólo la gráfica, sino que también indica cuál es la función derivada:

Como vimos en la actividad anterior, la derivada de una función constante coincide con ………………………………………….(el eje x).

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Este programa también nos permite visualizar la recta tangente de una curva en un punto:

Primero se hace un clic en la opción Dibujar tangente y posteriormente un clic sobre el punto de la curva donde se quiere obtener la recta tangente. En este caso nos ubicaremos en x=3 y haremos el clic:

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La recta punteada ahora es la recta tangente a la curva en x=3. Como se puede observar, la recta tangente coincide con nuestra función y=2. Y no sólo grafica la recta tangente, sino que emerge una ventana que nos brinda información muy útil sobre ella:

La cual nos indica la pendiente de la recta tangente, la ecuación de la recta que pasa por dicho punto y es tangente y las coordenadas de dicho punto.

El valor de la pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la función en dicho punto.

Si nos ubicamos en otro de los puntos que pertenece a la curva y=2, vemos que la recta tangente sigue coincidiendo con la función original:

Para una función constante, la recta tangente en cualquiera de sus puntos no solo es la mejor aproximación lineal de la función en dichos puntos, sino que es la mejor aproximación.

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Ahora veamos como graficar una función lineal y la derivada de una función lineal. Antes limpiaremos la pantalla del graphmatica:

Sea la función lineal y=5 x ‐1

Para graficar dicha función tendremos presente los pasos que realizamos para la anterior función:

Ahora graficaremos la derivada de la función que es también una función.

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De la cual podemos concluir que la función derivada de una función lineal es ………….(constante).

También podemos trazar la recta tangente en cualquiera de los puntos de la recta:

Al igual que con la función constante, en una función lineal, la recta tangente que pasa por cualquiera de sus puntos coincide con la función original. Y el valor de la pendiente de la recta tangente coincide con la función derivada.

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Hasta el momento se ha presentado el programa y alguna de sus herramientas en forma simple, para visualizar funciones y derivadas de dichas funciones que han trabajado en la guía, función constante y función lineal.

A partir de aquí se trabajará con una función cuadrática, y=x2, la cual corresponde a uno de los ítems de “Practiquemos lo visto hasta el momento”.

Dada la función y=x2, graficarla no ha sido problema para ustedes hasta el momento. Propongo que realicen dicha gráfica en forma manual y luego verificaremos con el programa.

Si queremos graficar la función en la “compu”, lo haremos de la siguiente manera:

Para graficar una función en la cual “la x” esta elevada a un número, luego de la x marcaremos ^ y posteriormente el exponente al cual esta elevada la variable independiente.

Al igual que hicimos con las anteriores funciones, podemos trazar las rectas tangentes a la curva en determinados puntos, que es lo que tenemos que hacer en el ítem b) de la guía.

Si lo hiciéramos en forma manual (el trazado de las rectas tangentes) seguramente lo haríamos en forma aproximada, y como toda aproximación, se pueden cometer algunos errores que no aportan a nuestro trabajo.

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Por lo tanto, utilizaremos el graphmatica para la resolución de los ítems b) y c) del trabajo.

La recta tangente a la curva en el punto (1, 1) es:

De la ventana que emerge luego de trazar la recta tangente podemos concluir que:

La pendiente de la recta tangente es 2

Este dato es el pedido en el ítem c), así que podrían ir completando el cuadro a medida que tracemos todas las rectas tangentes pedidas en el ítem anterior.

Para ir terminando con esta etapa del trabajo, graficaremos la derivada de la función:

Como podemos ver, la derivada de la función es otra función que tiene la forma: y=2x