Andrés Ruiz Soler

Números Hipercomplejos y Cuaterniones

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Trabajo Métodos Matemáticos I. Números hipercomplejos y cuaterniones

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Sir William Rowan HamiltonIntroducción a los cuaternionesCuaternionesAplicacionesNotas y AclaracionesReferencias

Sir William Rowan HamiltonNacido en 1805, vivió con su tío, un clérigo de la iglesia de Irlanda, quien se encargó de su educación.

Mostró sorprendentes aptitudes para los idiomas (con tan sólo 13 años dominaba inglés, latín, griego, hebreo y árabe).

Sus primera asombrosa actuación en las matemáticas y la física fue descubrir un error en el razonamiento de Laplace de su libro “Traité de mécanique céleste”.

Su primer gran trabajo consistió en la unificación de la óptica y la dinámica.

Unos años después, Hamilton descubrió los cuaterniones, intentando desarrollar una rigurosa teoría para los números complejos.

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Introducción a los CuaternionesIntentando desarrollar la teoría de los números complejos, comenzó por la generalización de estos números al espacio tridimensional.

Sin embrago todo fueron fracasos, hasta que caminado por el Canal Real llegó a la conclusión de que no se trataba de tripletes sino de cuaterniones.

En el lugar donde Hamilton realizó el descubrimiento, la Royal Irish Academy erigió una placa conmemorativa recordando y mostrando su fórmula:

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CuaternionesLa extensión de los números complejos a 4 dimensiones da lugar a los cuaterniones:

Donde a, b, c, d son números reales. i, j, k son las unidades imaginarias.1, i, j, k dan lugar a una base vectorial.

Los cuaterniones son un sólo ejemplo de una clase más general, los números hipercomplejos.

El cuaternión consiste en una parte real y un vector:

Parte Imaginaria

Parte Real

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Cuaterniones. Propiedades:

Como se puede apreciar en esta regla de multiplicación de los elementos de la base, el producto entre cuaterniones es asociativo y no conmutativo.

Suma:La suma se realiza análogamente a como se hace con números complejos:

Producto:El producto se realiza componente a componente de acuerdo con las leyes de combinación y producto de los elementos de la base (Reglas de Hamilton):

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Cuaterniones. Propiedades:Así el producto será:

Cuaternión conjugado:Dado el cuaternión , su conjugado se escribe como:

Cociente entre cuaterniones:El cociente entre cuaterniones se obtiene rápidamente a partir de la fórmula del inverso de un cuaternión:

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Cuaterniones. Propiedades:

Así el cociente entre dos cuaterniones será:

Donde

Con como norma del cuaternión a:

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Algunas de las aplicaciones de los cuaterniones son la teoría de números , electromagnetismo, teoría de la relatividad y mecánica cuántica.

Otra aplicación significativa es la rotación en el espacio.

Rotación en el espacio, parámetros de Euler y ángulos de Euler:

La rotación de ángulo de un punto (expresado como cuaternión) alrededor de un vector unitario , se puede calcular a través de:

Donde q es el cuaternión:

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Aplicaciones

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AplicacionesCuyas componentes del cuaternión anterior son los parámetros de Euler:

Donde son los parámetros de Euler (los parámetros de Euler pueden expresarse en términos de ángulos de Euler)

Tengamos en cuenta que en la expresión de la rotación , se ha podido expresar el inverso como el conjugado porque el teorema de rotación de Euler establece:

Ya que una rotación arbitraria puede ser descrita por solo tres parámetros.

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AplicacionesMediante estas técnicas, los cuaterniones son utilizados en el control de orientación de satélites, ya que no contienen singularidades en su estructura.

Los cuaterniones dan una forma simple para representar las expresiones cinemáticas y expresar rotaciones sucesivas.

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Notas y Aclaraciones:De acuerdo con la definición de van der Waerden (1985), los números hipercomplejos son números cuyas propiedades salen de las de los reales y de los complejos.

Ejemplos de números hipercomplejos, son los cuaterniones, octoniones y sedeniones

Los números hipercomplejos utilizan otras reglas de multiplicación, distintas a las de los cuaterniones:

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Notas y Aclaraciones:Por lo tanto, la multiplicación de los números hipercomplejos es conmutativa, a diferencia de los cuaterniones.

Sin embrago, los números hipercomplejos no cumplen la propiedad de existencia de inverso.

Como ejemplo, los octoniones son la extensión no asociativa de los cuaterniones.

Un típico octonión es de la forma:

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Notas y Aclaraciones:La regla de multiplicación de los elementos de la base de los octoniones se puede entender fácilmente a través de “Fano plane mnemonic”:

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Notas y Aclaraciones:El “Fano plane mnemonic”, esta formado por siete puntos y siete líneas orientadas (el circulo lo consideramos como una línea). Cada unos de los puntos corresponde a un elemento de la base imaginaria de los octoniones. Para obtener el resultado de la multiplicación de dos elementos de la base, tan solo tenemos que seguir la línea que los une teniendo en cuenta su orientación.

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Referencias:Información:

Información general. Biografía. www.hamilton2005.ieOn Quaternions. Sir William Rowan Hamilton.

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Quatern2/Quatern2.htmlCuaterniones. http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.htmlCuaterniones. http://es.wikipedia.org/wiki/CuaternionesNúmeros Hipercomplejos. http://mathworld.wolfram.com/HypercomplexNumber.htmlOctonion. http://en.wikipedia.org/wiki/OctonionCuaterniones y rotación en el espacio. http://es.wikipedia.org/wiki/Cuaterniones_y_rotaci%C3%B3n_en_el_espacio http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html http://mathworld.wolfram.com/EulerParameters.htmlHamilton. http://www.tecnociencia.org/pdf/Tecnociencia2.pdf

Imágenes:Octonions and the Fano Plane Mnemonic.http://demonstrations.wolfram.com/OctonionsAndTheFanoPlaneMnemonic/

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