Anlisis

Matemtico I

Semana 10

Anlisis Matemtico I

Diferencial de una funcin y

aplicaciones

Diferencial de una funcin

Sea una funcin derivable y el diferencial dx una

variable independiente. El diferencial dy se define como:

Ejemplo:

dxxfdy )(

)(xfy

Sea la funcin: 674)( 235 xxxxfy

dxxxxxfdy )14125()( 24

Calcular los diferenciales de las siguientes funciones:

5432)(a) 23 xxxxf

xxg

11)(b)

22

24)(c)

2

3

xx

xxxh

Diferencial de una funcin

x0 x1

f (x0)

f (x1) f

f(x)

M N

Del grfico, se puede apreciar que: f MN

Aproximacin por incrementos

Como f(x) = MN /x, entonces: MN = f(x)x

Luego, podemos afirmar que:

Ejemplo

Determine la variacin aproximada de: f(x) = x3,

cuando x vara de 2,1 a 2,2

V aproximada: f(2.1)(2.2-2.1)

Si x 0: f dy

Variacin Variacin Real Aproximada

Como f(x) = MN /x, entonces: MN = f(x)x

Luego, podemos decir que: f f(x)x

Ejemplo:

Estime el cambio de f(x) = x3, cuando x vara de

2 a 2,1.

Aproximacin por incrementos

Ejemplo:

Aplicando diferenciales, calcular en cunto se

incrementa el rea de un cuadrado de 5 metros de lado

cuando la longitud de su lado tiene un incremento de

0.02 m.

x x + dx

A A + dA

Aproximacin por incrementos

Solucin:

Tenemos la funcin A que representa el rea de un cuadrado

de lado x:

2)( xxfA

Diferenciando:

xdxdA 2

Sustituyendo para x = 5 , dx = 0.02:

2.0)02.0)(5(2 dA

Luego, el rea del cuadrado se incrementar en 0.2 m2.

2) En la superficie del mar hay una mancha de aceite de

forma circular, con un radio de 80 metros, que

comienza a extenderse, conservando su forma circular.

Si en una hora, el radio del crculo aumenta 2 metros,

cul es el aumento aproximado de su rea?

1) Al calentar una placa cuadrada metlica de 15 cm de

longitud, su lado aumenta 0.04 cm. Cunto aument

aproximadamente su rea?.

3) Se define la funcin ingreso de la siguiente manera:

donde I est dado en miles de dlares y la cantidad x en

cientos de unidades. Usando diferenciales estime la

variacin del ingreso cuando la produccin pase de 5 000

a 4 800 unidades.

(x)lne(x)I 0,1x