En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sera la derivada parcial respecto de x y tambin la derivada parcial respecto de y. Si existieran mas variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el nmero de variables que existan en la funcin.Si, las primerasderivadas parcialesderespecto de x e y son las funcionesdefinidas como

siempre que el lmite existe.

DemostracinRecordemos que la derivada de una funcin de una variable se define como:

ahora como tenemos la funcinlo que hacemos es fijar el valor de una de las variables a una costante, de esta manera analizamos el cambio en la funcin con respecto solo al cambio de una de sus variables.Entonces hacemosaqu lo que hicimos fue fijar el valor de, y al hacer esto tenemos una funcinque depende slo de.Derivamos la funcin

comoentoncesy cambiamos la expresin anterior,

Entonces tenemos que la derivada de la funcincuando fijamosy cambiamoses, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la funcin con respecto al eje x)

Derivadas parcialesEnmatemtica, unaderivada parcialde unafuncinde diversas variables, es suderivadarespecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son tiles enclculo vectorialygeometra diferencial.La derivada parcial de una funcinfrespecto a la variablexse representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Dondees la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.Cuando una magnitudes funcin de diversasvariables(,,,), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresin que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha funcinen un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incgnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.Analticamente elgradientede una funcin es la mxima pendiente de dicha funcin en la direccin que se elija. Mientras visto desde el lgebra lineal, la direccin del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variacin en la funcin.

DEFINICION (DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES).

Si z = f(x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto alas variables x e y son las funciones definidas como:

Siempre y cuando el lmite exista.Observacion . La definicion indica que para calcular se considera y constante derivando con respecto a x y para calcular se considera x constante derivando con respecto a y. Pueden aplicarse por tanto las reglasusuales de derivacion.Ejemplo 1.1. 1. Calcular las derivadas parciales de f(x, y) = yx2 +3x3y4.2. Dada f(x, y) = xex2y hallar fx, fy y evaluarlas en (1, ln(2)).INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALESSi y = y0 entonces z = f(x, y0) representa la curva interseccion de lasuperficie z = f(x, y) con el plano y = y0. Por tanto

fx (x0, y0) = pendiente de la curva interseccion en (x0, y0, f(x0, y0)).Analogamente, f(x0, y) es la curva interseccion de