Analisis y diseño de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Ing. Roberto Morales Morales
RECTOR UNI - PERU
ANALISIS Y DISEO DE LOSAS
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7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Losas en una DireccinLosas en una Direccin
Las losas armadas en una direccin son panelesLas losas armadas en una direccin son panelesde piso de concreto para los cuales la relacinde piso de concreto para los cuales la relacinde luz mayor a la luz menor es igual o mayor quede luz mayor a la luz menor es igual o mayor que2.0. Cuando esta relacin es menor que 2 el2.0. Cuando esta relacin es menor que 2 el
panel de piso llega a ser una losa en dospanel de piso llega a ser una losa en dosdirecciones.direcciones.Una losa en una direccin es diseada como unUna losa en una direccin es diseada como un
pao de viga de ancho de 1m usando el mismopao de viga de ancho de 1m usando el mismoprocedimiento de anlisis y diseo que el deprocedimiento de anlisis y diseo que el devigas con refuerzo simple.vigas con refuerzo simple.
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7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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En el diseo de losas, normalmente se asume unEn el diseo de losas, normalmente se asume unespesor.espesor.
Las losas normalmente para cargas tpicas noLas losas normalmente para cargas tpicas no
requieren de refuerzo por corte.requieren de refuerzo por corte.
Ln
t
b b b b b
Ln
Ln
Ln
1 m
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Refuerzo transversalRefuerzo transversal
Astemp = 0.0020 bt para fAstemp = 0.0020 bt para fyy = 2800, 3500 kg/cm2= 2800, 3500 kg/cm2= 0.0018 bt para f= 0.0018 bt para fyy = 4200= 4200
s < 5t, 45 cms < 5t, 45 cm con y = 0.35%con y = 0.35%
Ast 0.0018 bt 4200fy
0.0014 bt=
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Aplicacin:Aplicacin:
Disear la losa simplemente apoyada reforzadaDisear la losa simplemente apoyada reforzadaen una direccin, que se muestra en la figura.en una direccin, que se muestra en la figura.
Considere:
f'c = 280 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
wD = 0.56 t/m2
wL = 0.50 t/m2
Dimensionar la losa para una cuanta de 0.004
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7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Solucin:
Considerando un ancho de 1mConsiderando un ancho de 1m
wuwu = 1.2= 1.2 wwDD + 1.6+ 1.6 wwLL = 1.2 * 0.56 + 1.6 * 0.5 = 1.472 t/m= 1.2 * 0.56 + 1.6 * 0.5 = 1.472 t/m22
MuMu == f'f'cc bdbd22
(1(1--0.590.59 ))
2.38 * 102.38 * 1055 = 0.9 * 280 * 100 d= 0.9 * 280 * 100 d22 * 0.060 (1* 0.060 (1--0.59 * 0.060)0.59 * 0.060)
3.60
Mu u2
81.47 *
3.602
82.38 t m= = = w
L
fy
fc0.004 *
4200
2800.060=
= =
-
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Usar:Usar: h = 16 cm d = 16h = 16 cm d = 16 -- (2 + 0.635) = 13.36 cm(2 + 0.635) = 13.36 cm
maxmax = 0.75= 0.75 bb = 0.0213 > 0.004........... Conforme= 0.0213 > 0.004........... Conformeminmin == temptemp = 0.0018 < 0.004 .....= 0.0018 < 0.004 ..... ConformeConforme
Diseo:Diseo:
a = 2 cma = 2 cm d = 13.36 cmd = 13.36 cm
d 12.77 cm h d2
12.77 21.27
215.4 cm= = + + = + + =r
( )
da
212.36 cm As
Mn
fy da
2
2.38 * 105
0.9 * 4200 12.36 = =
=
As 5 cm2 a
As fy
0.85 f c b
5.09 * 4.2
0.85 * 0.28 * 1000.90 cm= = = =.
'09
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CONFORME
Usar:
1/2" @ 0.26 Respuesta
d a2
12.91 cm As 4.88 cm2 a 0.86 cm = = =
As / bd100 * 13.36
0.003654.88
= = =
= = = = = =b 1 A 1.27A nA s 0.26ms n n A / m 4.88s
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Refuerzo transversal
Ast
= 0.0018 bt = 0.0018 * 100 * 16 = 2.88 cm2 /m
Usar: 3 / 8" @ s0.71
2.880.25 m= =
f 1/2 @ 0.26
5
0.16
f 3/8 @ 0.25
f 1/2 @ 0.26
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Diseo de una Losa Maciza
Disear la losa maciza por flexin reforzada enuna direccin. Considere: espesor = 14 cm, s/c= 600 kg/m2, f'c = 210 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2.
Solucin:
P.P. = 0.14 * 1 * 2.4 * 1.2 = 0.40
acab = 0.10 * 1.2 = 0.12S/C = 0.60 * 1.6 = 0.96
wu = 1.48 t/m
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S/C = 600 kg/m2
f'c = 210 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
1/24
1/14
3.40 3.70
1/14
1/9 1/24
1
24 0.71 t m a 0.40 cm As 1.68 cm2
= =
3 / 8" @ 0.42
19
2.07 t m
1
24
0.84 t m a 0.47 cm As 2.00cm2 = =
-
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Diseo:
Mu = 2.07 t-m a = 2 cm
3 / 8" @ 0.36 m
1
141.22 t m a 0.69 cm A
s2 cm2 = = .93
3 / 8" @ 0.24 m 1
141.45 t m a 0.83 cm As 3.51 cm
2 = =
3 / 8" @ 0.20 m
d 14 21.27
211.37 cm= + =
-
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As = 5.09 cm2 a = 1.20 cm Conforme
Usar
As 2.07 * 105
0.9 * 4200 11.37a
2
5.28 cm2=
=
=
=a As fy0.85 fc 100
1.24 cm
1/ 2" @1.27
5.100.25 m=
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2.07 t-m ............... 1.20 cm
Mu ........................ xAs min = 0.0018 bd = 0.0018 * 100 * 11.37 = 2.05 cm2
3/8" @ 0.35
s < 3t, 45 cm = 42, 45 cm Conforme
f 3/8 @ 0.24
f 3/8 @ 0.42f 1/2 @ 0.25
f 3/8 @ 0.36
f 3/8 @ 0.20
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Lneas de fluencia
Los trminos "Lneas de Fluencia Positiva" y"Lneas de Fluencia Negativa" son usados paradistinguir los asociados a traccin en la parteinferior de la losa y traccin en la parte superiorde la losa respectivamente.
P
Lnea de Fluencia PositivaLnea de Fluencia Negativ
PLANTA
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Las orientaciones para establecer los ejes de rotacin y
lneas de fluencia son:1. Las lneas de fluencia son generalmente rectas.2. Los ejes de rotacin generalmente se encuentran a
lo largo de las lneas de apoyo, las cuales puedenser rtulas reales o lneas de fluencia que actancomo rtulas plsticas.
3. Los ejes de rotacin pasan por los puntos de apoyo
(como las columnas).4. La lnea de fluencia comun a dos porciones de losa
pasa por el punto de interseccin de los ejes de
rotacin de dichas porciones.5. Las deformaciones en la estructura plastificada seproducen alrededor de un eje de rotacin y se hallanconcentradas en las lneas de fluencia. Las
porciones limitadas por ellas permanecen planas
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Apoyos simples en todos los lados
Apoyo Apoyo
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Formas tpicas de lnea de fluencia:
Apoyos no paralelos
Apoyos simples
en todos los lados
213
4
1
2
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Formas tpicas de lnea de fluencia:
4 Apoyossimples
3 Apoyossimples
Bordelibre 2 Apoyos
empotrados2
1
1
2
3
Borde Libre
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Formas tpicas de lnea de fluencia:
Eje de rotacin
Bordelibre
3 Apoyosempotrados
2
1
3
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Formas tpicas de lnea de fluencia:
Columna
2 apoyos empotrados
Apoyo simple
Libre
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Mtodos de anlisisa) Anlisis por el mtodo de equilibrio
A partir de una configuracin aproximada de las lneasde fluencia puede encontrarse la verdadera,considerando el equilibrio de las porciones de la losa.Cada porcin considerada como cuerpo libre, debeestar en equilibrio bajo la accin de las cargasaplicadas, momentos flectores a lo largo de las lneasde fluencia y reacciones o fuerzas cortantes a lo largode las lneas de apoyo.Debe notarse que los momentos de fluencia sonmomentos principales, por lo tanto los momentos detorsin son nulos a lo largo de las lneas de fluencia ygeneralmente las fuerzas cortantes son tambin nulas.
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Mtodos de anlisisb) Anlisis por el mtodo de los trabajos
virtualesEn base a una configuracin de lneas defluencia se le da al sistema un conjunto de
desplazamientos virtuales compatibles con laconfiguracin supuesta, siendo posiblecalcular las rotaciones correspondientes.
Igualando el trabajo exterior con el trabajointerior, se encuentra la relacin entre lascargas aplicadas y los momentos ltimos dela losa.
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Losas isotrpicas y ortotrpicas
Si una losa es reforzada idnticamente en
direcciones ortogonales, los momentosresistentes ltimos son los mismos en esas dosdirecciones y a lo largo de cualquier otra
direccin. Estas losas son llamadasIsotrpicamente reforzadas.Si una losa es reforzada diferentemente en dos
direcciones ortogonales, la losa es llamadaanisotrpica u ortotrpica.
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Momentos ltimos en ejes noperpendiculares a las armaduras
El problema es calcular el momento ltimo enuna direccin cualquiera si se conocen losmomentos ltimos resistentes en dos direccionesperpendiculares.
mq
1
q
q
senq
cosq
mx
my
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mq, mx ,my : momentos ltimos por unidad de longitud.
Tenemos:
En caso de losas isotrpicas
(Los momentos ltimos son iguales en cualquier direccin)
m (mx cos ) cos (my sen ) sen = +
m mx cos2
my sen2
= +
=mx my
= +m mx cos2 mx sen
2
m mx my = =
-
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Ejemplos de Aplicacin
a) Mtodos de Equilibrio
Aplicacin N 01:Se tiene una losa continua uniformementecargada como se muestra en la figuraadjunta. La losa tiene una luz de 3 m y estreforzada para proveer una resistencia aflexin positiva de 0.70 t-m/m. A flexinnegativa tiene una resistencia de 0.70 t-m/m en la seccin A y de 1.05 t-m/m en C.Hallar la capacidad de carga lmite de la
losa..
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Solucin:
Considerando un metro de ancho tendremos:
w t/m
A
B
C
3-xx
1 m
PLANTA
3.00
-
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Analizando cada parte de la losa como cuerporgido:
.. .(1)
..(2)
De (1) .......................(3)
MAwx2
20.70 0.70 0 = =
MCw (3 x)2
20.70 1.05 0 =
=
w2.8
x2=
-
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Aplicacin N 02:
Se tiene una losa cuadrada simplemente
apoyada en sus cuatro lados eisotrpicamente reforzada. Determinar elmomento resistente lmite por metro lineal
requerido para sostener una cargauniformente distribuida de W t/m2.
-
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Solucin:
Tenemos la configuracin de falla
L
L
-
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Considerando una de las cuatro partes iguales ysu equilibrio alrededor de su eje de rotacin.
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La carga distribuida concentrada en el centro de gravedad
ser:
La proyeccin de los momentos sobre el eje de rotacinser:
Luego:
PewL2
4=
Mp MBC cos mL2
2
2
2
mL
2
= = =
MEJEwL2
4
1
3
L
2
mL
2
mL
2
0= =
= mw L2
24t m m/
-
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Aplicacin N 03:
Para la losa que se muestra simplemente
apoyada, determinar el momento resistenteltimo para una carga lmite uniformementedistribuida w (t/m2). La losa es isotrpicamente
reforzada.
1
2
2
6.0
x
1.53.01
-
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Solucin:
Zona 1:
La carga concentrada ser: Pe w3x2
=
m
3.0
m
Pe
x/3
Eje de rotacin
x
-
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Considerando el equilibrio en el eje tendremos:
De aqu:
........................(1)
MEJE3wx
2
x
33m 0= =
m
wx2
6=
-
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Zona 2:
Las cargas concentradas considerando lassecciones mostradas sern:
mm
m
x 6 -2x x
1.50
0.50.75
Pe2
Pe1 Pe1
Eje de Rotacin
6.00
-
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Tomando momentos respecto al eje de rotacin:
6m + 1.5wx - 6.75w = 0 ..... (2)
(1) en (2)
Pe1
wx1.5
2=
Pe2 w(6 2x) 1.5=
MEJE 0 =
( )6 m 2 wx1.5
2 0.5 w(6 2x) 1.5 (0.75) 0 =
6wx2
61.5 wx 6.75w 0 x 1.95 m
+ = =
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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t-m/m
b) Mtodo de Trabajos Virtuales
m wx26
m 0.634 w= =
0.70 0.70 1.05
A B C
-
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Aplicacin N 04:
Se tiene una losa continua uniformemente
cargada. La losa tiene una luz de 3 m y estreforzada para proveer una resistencia a flexinpositiva de 0.70 t-m/m y a flexin negativa de
0.70 t-m/m en A y 1.05 t-m/m en C. Determinar lacapacidad de carga ltima de la losa.
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Solucin:Tenemos las rotaciones:
A1
x= B B1 B2 A C= + = +
= +
Bx x
1 1
3C
1
3 x=
1/21/2
W (t/m )
2
w(3-x)wx
A
B
C
CA
qB1 qB2
x 3 - x
3 3
-
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Cuando tenemos una deflexin unitaria en B, sedesarrolla un trabajo externo de:
Y un trabajo interno de:
WE wx1
2 w (3 x)1
2= + =
3
2
w
W M 0.701
x0.70
1
x
1
3 x1.05
1
3 x = = + +
+
= +
14 175
3
. .
x x
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Igualando:
Si: WI = WE
........................................... (1)
Para determinar el valor mnimo de w diferenciamos (1)con respecto a x, e igualamos a cero:
+
=1.4
x
1.75
3 x
3w
2
w0.933
x
1.167
3 x
= +
( )
dw
dx0
0.933
x2
1.167
3 x2
0= +
=
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Resolviendo:
2.046 x = 2.898
En (1)w = 1.39 t/m2
0 966 108
3
. .
x x=
x m= 142.
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Aplicacin N 05:
Para la losa que se muestra en la figura adjunta
determinar el momento ltimo resistente parauna carga lmite uniforme w t/m2. La losa esisotrpicamente reforzada.
1.5
3.0
x
6.0
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Solucin:
Considerando un desplazamiento virtual de D =1
de la linea de fluencia paralela a los ladosmayores.
2A
11
D=1
2A2B
X
3.0m
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Tendremos:
051.0
Pe2A
/3
2x/3
D/3
e
1
P
x/3
D=1.0
Zona 1:
Pe2B
D/ 2
Zona 2A:
0.5 0.5
Zona 2B:
We1
Pe1 3
w3x
2
1
3
wx
2
= = =
-
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Igualamos el trabajo exterior al trabajo interior para eltotal de la losa:
We2A Pe2A3
x1.5 w
2
1
3
wx
4
= = =
We2B Pe2B2
(6 2x) 1.5 w1
24.5 w 1.5 wx= = =
Wi M=
Wi 3 mL
x6 m
L
1.5= +
( )2wx
2 4
wx
4 2 4.5 w 1.5 wx 2
3 m
x
6 m
1.5
+ + = +
+ = +
wx 9 w m
6
x8
-
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..................................................... (1)
Para hallar el momento ltimo tenemos que diferenciarcon respecto a x e igualar a cero.
simplificando:
x2 + 1.5x - 6.75 = 0
Que viene a ser la misma ecuacin que se obtuvousando el mtodo de equilibrio. En (1)
t-m/m
mw (9 x)
6
x8
=
+
( )
dm
dx (9 x) ( 1)
6
x 8
2
6x
2
1
6
x 8
1
0= +
+ +
=
= =x m m w195 0 634. .
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Aplicacin N 06:
Para la losa exagonal inscrita en un crculo de
dimetro 8.80 m determine el valor de la cargauniforme ltima t/m2. La losa tiene 20 cm deespesor y est reforzada con 1/2" @ 0.15 en
cada sentido (inferior). Est simplementeapoyada en sus bordes. Considere f'c = 210kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2.
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Solucin:
Por simetra la hiptesis de falla corresponde a
las lneas de fluencia que pasan por lasbisectrices. Las zonas delimitadas son iguales.
1.27
8.80
C
A B
G
4.40 Eje de Rotacin
3
23 81L .m m
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
52/250
Por metro de Losa:
As =
a = 1.99 cm
m = 8.45 * 4.2 (0.167 - 0.001) = 5.58 t-m
m = 5.58 t-m/m
1
0.15* 1.27 8.45 cm2 / m=
a = 8 45 4 2
0 85 0 21 100
. * .
. * . *
m A f d as y= 2
a) Mtodo de Equilibrio
-
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a) Mtodo de Equilibrio
5.58 * 4.40 - 0.5 * 4.40 * 3.81w * 1.27 = 0
w = 2.31 t/m2
b) Mtodo de Trabajo Virtual
M = 1.0WE :
Wi :
MAB 0=
6 * 4.40 * 3.81 * 0.5 W1
316.76 W=
6 * 5.58 * 4.40 *1
3.81 38.66
=
WE Wi w 2.31 t / m2= =
-
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Aplicacin N 07:
La losa de la figura adjunta tiene sus cuatro
bordes simplemente apoyados. Ignorando losefectos de esquina, complete la configuracin delas lneas de fluencia y determine el valor de la
carga uniformemente repartida que correspondea esta hiptesis de falla. El espesor de la losa es15 cm y tiene refuerzo de 3/8" @ 0.20 en cada
sentido (malla inferior) considere.
2
-
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f'c = 210 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
45
45 30
30
5.0
5.0
45
45
S l i
-
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Solucin:
Por metro de losa:
-
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As = 5 * 0.71 = 3.55 cm2/m
dp=h-(r+f)
dp = 15 - (2 + 0.95) = 12.05 cm
a3.55 * 4200
0.85 * 210 * 1000.84 cm= =
( ) 1.73t m / mam A f d 3.55 * 4.2 0.1205 0.0042s y 2= = =
d1d2
Si damos al punto F un desplazamiento virtual
-
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Si damos al punto F un desplazamiento virtual
encontramos los desplazamientos de los otrospuntos por relaciones geomtricas.
F 1=
E1.10
1.80
0.61= =
IB1.00
1.850.54= =
3A0.95
1.800.53= =
IA 4E3
0.203= = =
2 3B1
3 F1
3= = =
Luego:
-
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Luego:
WE:(1) (IA):
(IB):
(2)
(3) (3A):
(3B):
1
2* 5 * 1.20 * w * 0.203 0.61 w=
12
* 4.5 * 1.30 * * 0.54 1.58w w=
1
2* 5 * 1.85 *
1
31.54 w=
1
2* 4.10 * 0.50 * w * 0.53 0.54 w=
1
2* 6.83 * 1.80 * w *
1
32.05 w=
(4) 1* 1 83 * 1 10 * *0 203 0 20
-
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(4)
= 6.52 w
WI:
(1)
(2)
(3)
(4)
= 17.68 t-m WE = WL
6.52 w = 17.68 w = 2.71 t/m2
1
2
* 1.83 * 1.10 * w *0.203 0.20 w=
5 * 1.73 *
1
1.85 4.68 t m=
5 * 1.73 *1
1.854.68 t m=
6.83 * 1.73 *1
1.806.56 t m=
1.83 * 1.73 *
0.61
1.10 1.76 t m=
Efectos de esquina en lneas de
-
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Efectos de esquina en lneas de
fluencia
En el estudio anterior se ha considerado que las
lneas de fluencia llegan hasta los ngulos entredos lados que se cortan. Otra posibilidad es quelas lneas de fluencia se bifurquen antes de
llegar al ngulo, como se muestra en la figuraadjunta. a
b
c
Efectos de esquina en lneas de
-
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Efectos de esquina en lneas de
fluenciaSi el ngulo de la losa est anclado ocurre que el eje de
rotacin es a-b y la lnea ab se convierte en una lnea defluencia. Lo que quiere decir que la zona abc no sedeforma.Las distribuciones de las lneas de fluencia con lneas
bifurcadas en los ngulos conducen a una menorcapacidad de la losa, que aquellas que no presentanestas caractersticas. Sin embargo frecuentemente seignora en el anlisis correspondiente, debido a que el
error que se comete ignorando el efecto de esquinausualmente es pequeo y el incluirlo conduce a unanlisis complicado.
-
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m
mm
1
1/3
A B
2.0
4.00
Anlisis del ejemplo de losa cuadrada con carga
-
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Anlisis del ejemplo de losa cuadrada con carga
uniforme repartida.
Por equilibrio:
m
a
a
mc
b
m
Pe h
Mab 0 =
( )m m' a1
2
a h w1
3
h 0+ =
(1)1 1
-
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....................... (1)
Se tiene:
Si: h < 1/2 diagonal Hay efecto de esquinaSi: h > 1/2 diagonal No hay efecto de esquina
Si la esquina no est anclada el elemento triangular abcgirara alrededor del eje ab levantndose de los apoyos.
m' = 0 En (1):
Donde:m = Momento Unitario positivo
( )m m' a1
2 a h w
1
3 h 0+ =
h6 m
w
=
-
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Aplicacin N 08:Calcular la carga uniformemente repartida que produce la
falla de una losa cuadrada de 4 m de lado, continua ensus cuatro bordes y reforzada en dos sentidos con 3/8"@ 0.25 m en la cara inferior y 3/8" @ 0.20 m en la carasuperior.
f'c = 210 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
t=0.15
4.0
4.0
-
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Solucin:Calculamos los momentos positivos y negativos por unidadde longitud.
m: As = 1/0.25 * 0.71 = 2.84 cm2
m': As = 1/0.20 * 0.71 = 3.55 cm2
a = 0.84 cm
m = 1.73 t-m/m
a2.84 * 4200
0.85 * 210 * 1000.67 cm= =
( )dprom 15 2 22
15 2 0.95 12.05 cm= + = + =
0.0067m 2.84* 4.2 0.1205 1.40 t m/m
2
= =
a) Sin considerar efectos de esquina
-
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a) Sin considerar efectos de esquina
w = 4.70 t/m2
( ) ( )4 1.4 1.731
24 2 w
1
32 0+ =
m
mm
1
1/3
A B
2.0
4.00
b) Considerando efectos de esquina:
-
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b) Considerando efectos de esquina:
Tomando un valor de: WE = 0.9w = 0.9 * 4.70 =4.23 t/m2. En (1):
Luego es posible que se bifurquen las lneas defluencia.
( ) ( )h
6 m m'
WE
6 1.40 1.73
4.232.11 m
diag
2=
+=
+=
diag
2
2
2L=
-
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o 1= P1.76
2.00* 1.0 0.88= =
b
Eje de giro
supuesto
2.36 d/2 10cm.Para losas sin abacos h> 12.5cm.
-
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LLnn/34/34LLnn/34/34LLnn/31/31LLnn/31/31LLnn/31/31LLnn/28/2852505250
LLnn/36/36LLnn/36/36LLnn/33/33LLnn/33/33LLnn/33/33LLnn/30/3042004200
LLnn/40/40LLnn/40/40LLnn/36/36LLnn/36/36LLnn/36/36LLnn/33/3328002800
ConConv igasv igas dede
bordeborde
SinSinv igasv igas dede
bordeborde
ConConvigasvigas dedebordeborde
SinSinvigasvigas
dedebordeborde
PaPaoointeriorinterior
PaPaoo exteriorexteriorPaPaoointeriorinterior
PaPaoo exteriorexterior
ConCon abacosabacosSinSin abacosabacosEsfuerzoEsfuerzodede
f luenciaf luenciadel acerodel acero
fyfy(kg/cm(kg/cm22))
LLnn/34/34LLnn/34/34LLnn/31/31LLnn/31/31LLnn/31/31LLnn/28/2852505250
LLnn/36/36LLnn/36/36LLnn/33/33LLnn/33/33LLnn/33/33LLnn/30/3042004200
LLnn/40/40LLnn/40/40LLnn/36/36LLnn/36/36LLnn/36/36LLnn/33/3328002800
ConConv igasv igas dede
bordeborde
SinSinv igasv igas dede
bordeborde
ConConvigasvigas dedebordeborde
SinSinvigasvigas
dedebordeborde
PaPaoointeriorinterior
PaPaoo exteriorexteriorPaPaoointeriorinterior
PaPaoo exteriorexterior
ConCon abacosabacosSinSin abacosabacosEsfuerzoEsfuerzodede
f luenciaf luenciadel acerodel acero
fyfy(kg/cm(kg/cm22))
Si : 2.0 >Si : 2.0 > aam > 0.2 , el espesor de losa estar
-
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dado por la expresin:
Si : am > 2.0 , el espesor mnimo estar dadopor la expresin:
h
Lf
cm
ny
m=
+
+ >
0 814000
36 5 0 212 5
.
( . ). .
h
Lf
cm
ny
=
+
+ >
0 814000
36 9 9 0
.
. .
-
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El parmetro b es igual a la relacion entre lamayor y menor luz lebre de la losa.
En los extremos discontinuos, la losa deberaproveerse una viga de borde con un valor de ano menor que 0.8 o si no la hay, el peralte sera
igual al espesor determinado con las dosexpresiones anteriores incrementado en un 10%.
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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2. bacos o panelesLos dimensiones de los bacos debern
satisfacer las condiciones presentadas en lafigura 3. (ACI-13.3.7)
h
>h/4
>Ib/6>Ia/6
Ia IbAl ejeAl eje
Figura 3. Provisiones para el dimensionamiento de bacos
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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2. bacos o panelesPara el clculo del refuerzo negativo sobre la
columna, el espesor del baco por debajo de lalosa no se considerar mayor que un cuarto dela distancia entre la cara de la columna o capitel
y el borde del baco. Si el espesor del baco esmayor, no se tomar en cuenta.
-
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3. CapitelesLos capiteles reducen la luz libre de los paos de la losa,
sin embargo, para el diseo, esta reduccin es limitada aun mnimo de 65% de la luz entre ejes de apoyos. Parael clculo de los momentos de la losa, las dimensionesde las columnas no se considerarn mayores que las
definidas por la interseccin del mayor cono circular opirmide recta que se pueda inscribir entre el capitel y lasuperficie inferior de la losa del baco si es que existe ycuyos lados estn inclinados 45 respecto al eje de lacolumna. La figura 4 muestra esta consideracin msclaramente.
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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3. CapitelesLos capiteles tambin incrementan la resistencia
al punzonamiento de la unin losa-columna puesaumentan el permetro de la columnaAncho Efectivo del Capitel
Losa
Abaco
Capitel
Columna
45 45
Figura 4. Ancho Efectivo de una columna provista de capitel
Diseo de losas Armadas en dos
-
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Direcciones segn e Joint ComiteeASCE-ACI 1940:Este mtodo solo es aplicable a losas armadas en dossentidos apoyadas en vigas o muros. Se definen lossiguientes parmetros:Ls: luz menor del pao analizado medida centro a
centro de los apoyos o luz libre mas dos veces el
espesor de la losa, el que sea menor.LI: luz mayor del pao analizado medida centro acentro de los apoyos o luz libre mas dos veces elespesor de la losa, el que sea menor.
wu: carag amplificada uniforme por unidad de area.m: cociente de la luz menor del pao entre la luz
mayor, m= Ls/LI.
Diseo de losas Armadas en dos
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Direcciones segn e Joint ComiteeASCE-ACI 1940:La losa se considera dividida en franjas medias y franjas
de columna como se muestra en la fig. La seccin criticapara el maximo momento negativo se ubica en la cara delas vigas y para el mximo positivo, en el centro de lospaos. Los momentos, en la direccin mayor y menor, se
calculan a travs de la siguiente expresin:
M = CwuLs2
El parmetro C depende de las condiciones de apoyo dela losa y se indica en la tabla 2.
Diseo de losas Armadas en dos
Di i J i C i
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Direcciones segn e Joint ComiteeASCE-ACI 1940:El momento por unidad de ancho obtenido a traves de laexpresion anterior corresponde a la franja media. Elmomento de la franja de la columna sera 2/3 delcalculadopara la franja media. Si el momento negativo a un lado
de la viga es menor qu el 80% del momento en su otrolado, los 2/3 de la diferencia se reparten a ambos ladosproporcionalmente a las rigideces de las losas.
El calculo de los momentos en las vigas se efectuahaciendo uso de las siguientes cargas uniformes,equivalentes a las cargas triangulares o trapezoidales:
Diseo de losas Armadas en dos
Di i J i t C it
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Direcciones segn e Joint ComiteeASCE-ACI 1940:El calculo de los momentos en las vigas se efectahaciendo uso de las siguientes cargas uniformes,
equivalentes a las cargas triangulares o trapezoidales:
Viga paralela a la luz Ls : wequiv= wLs/3Viga paralela a la luz LI : wequiv= wLs/3*(3-m2)/2
El calculo de las fuerzas cortantes se efecta empleandola distribucin real de la carga sobre la viga.
Por su simplicidad este mtodo resulta muy til para eldiseo de losas apoyadas en muros y vigas.
Franjas de Columna
L /4
-
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Franja Media
L /4s
Ls/2
Ls/4
Ls/4Ls/4
L Ls I 1.0, las vigas debenproporcionarse una resistencia del 85 % del
momento en la franja de columna de acuerdocon la seccin 13.6.5.1 del Cdigo ACI.
2. La porcin del momento factorizado no resistidapor la franja de columna, se asignar a las dosmedias franjas centrales.
Los momentos factorizados en las franjas de
columna y franjas centrales se resumen comosigue:
Momento Momentos e n lasFranja de columna
-
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Momento Momentos e n lasFactorizado Momento Momento en la Viga Momento en la dos medidas
(t-m) (t-m)1 (t-m) losa (t-m) franjas centradas
(t-m)
Luz extrema:
NegativoExterior
0.16 Mo = 2.87 82 2.35 2.00 0.35 0.52
Positivo 0.57 Mo = 10.23 82 8.39 7.13 1.26 1.84
NegativoInterior
0.70 Mo = 12.57 82 10.31 8.76 1.55 2.26
Luz interior
Negativo 0.65 Mo
= 11.67 82 9.57 8.13 1.44 2.1
Positivo 0.35 Mo = 6.28 82 5.15 4.38 0.77 1.13
%
Franja de columna
Los momentos factorizados en las franjas de
columna y franjas centrales se resumen comosigue:
M t M t lF j d l
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
151/250
Momento Momentos en las
Factorizado Momento Momento en la Viga Momento en la dos medidas(t-m) (t-m)1 (t-m) losa (t-m) franjas centradas
(t-m)
Luz extrema:
NegativoExterior
0.16 Mo = 4.76 82 3.90 3.32 0.58 0.86
Positivo 0.57 Mo = 16.95 82 13.9 11.82 2.08 3.05
NegativoInterior
0.70 Mo = 20.82 82 17.07 14.51 2.56 3.75
Luz interior
Negativo 0.65 Mo = 19.33 82 15.85 13.47 2.38 3.48
Positivo 0.35 Mo = 10.41 82 8.54 7.26 1.28 1.87
Franja de columna
%
4. Momento factorizado en lascolumnas:
Analizando para la direccin N-S, ejes 2 y 3,tenemos:
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
152/250
tenemos:
a) Columnas interiores
Con luces iguales en la direccin de
anlisis y luces iguales en la direccintransversal.
M w L Lu L n
=
0 07 0 52
2. .
Mu = 0.07[0.5 (1.7 * 0.50) * 6.5 * 4.55] = 4.0 t-m
Mu = 4.0 t-m
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
153/250
Con el mismo tamao de la columna y longitudsobre y debajo de la losa.
Este momento se combina con la carga axial
factorizada (para cada piso) para el diseo de lascolumnas interiores.
M t m M t mc c= = = 4 0
22 0 2 0
.. .
b) Columnas exteriores:
El momento negativo exterior total de la losa-viga es transferido a las columnas exteriores;con el mismo tamao de la columna ylongitud sobre y debajo del sistema de losa:
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
154/250
longitud sobre y debajo del sistema de losa:
M t m M t mc c= = = 3 82
2
191 191.
. .
5. Resistencia al corte:
a) Vigas:
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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Puesto que 1L2/L1 > 1.0 para todas lasvigas, deben resistir el cortante total (bw = 35cm, d = 44 cm).
Se verificar slo las vigas interiores, porqueellos transportan fuerzas cortantes muchoms altas que las vigas de borde.
W
S
E
N
L = 6.5 m2
Figura 5.1c reas tributarias para clculos decortante
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
156/250
L = 5.0 m1
L /2 L - L L /21 2 1 1
Vigas NS:
V w LL w L
u uu
= =1
2 2 41
1 12
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
157/250
Vigas EW:
( )V wL L
w L L
L
u u u= +
1
2 2 2 2 2
1 1
2 1
1
( ) ( )Vw L
L L L
w L
L Lu
u u
= + = 1
1 2 1
1
2 14 2 2 4 2
Vigas NS:
Vw L
uu= 124
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
158/250
Vu = 8.88 t
Vc = 0.75 * 0.53 * * 35 * 44/1000 = 10.24 t
Vc = 10.24 t > Vu = 8.88 t .......... OK!
V tu = =142 5 04
8 882. * . .
V f b dc c w= 0 53. '
280
Slo se requiere refuerzo mnimo de corte
Vigas EW:
( )w L L Lu 1 2 12
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
159/250
Vu = 14.2 t
Vc = 10.24 t < Vu = 14.2 t ..........CONFORME
( )Vu
u
=1 2 1
4
( )V tu =
=
142 5 2 6 5 5
4
14 2. * * .
.
La resistencia requerida al corte, serproporcionada por el refuerzo de corte
( )V
V Vs
u c=
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
160/250
b) Losas: (bw = 100 cm , d = 12 cm)
( )V ts =
=
14 20 1161
0 753 45
. .
..
V
w L
uu
= 5 21
V tu = =
142 5
2 3 55
. *
.
V f b dc c w= 0 53. '
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
161/250
Vc = 0.75 * 0.53 * * 100 *12/1000 = 7.99 t
Vc = 7.99 t > Vu = 3.55 t ..........CONFORME
La resistencia al cortante de la losa es adecuadasin el refuerzo por corte
280
7. Las vigas de borde deben disearse pararesistir el momento no transferido a lascolumnas exteriores por las vigasinteriores, de acuerdo con la seccin 11.6del Cdigo ACI.
-
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de Cd go C
Diseo de una Losa Armada en dos
direcciones y con vigas de borde
Aplicacin:
Un sistema de piso armado en dos direccionespara un edificio de concreto armado est
-
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p
compuesto por paneles de losa con dimensiones6 * 7.5 m2 en planta, apoyados en vigasperaltadas en los ejes de columnas y vaciadas
monolticamente con la losa, como aparece en lafigura. Utilizando concreto con f'c = 280 kg/cm2 yacero con fy = 4200 kg/cm2, disese un panel
exterior comn para soportar una carga viva deservicio de 600 kg/m2, adems del propio pesodel piso.
50 5035 35 35 35
17.5 17.5
(a)
-
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Figura, losa de piso armada en dos direccionescon vigas en los ejes de columnas:; (a) SeccinX-X (la seccin Y-Y es similar); (b) Planta parcialdel piso.
(a)
7.5 m 7.5 m 7.5 m
6 m
Y
-
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(b)
6 m
Y
6 m
PANEL EXTERIORCOMUN PANEL INTERIOR
X X
Solucin:
El sistema de piso satisface todos los lmites establecidos enel Mtodo de Diseo Directo del cdigo ACI. Con propsitosilustrativos, se disear nicamente un panel exterior comn
-
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como se ilustra en la figura. Los lmites de espesor queindica el cdigo ACI, se utilizarn como gua para obtener elespesor deseado de la losa. Para utilizar las ecuaciones que
indica el cdigo (referidas al espesor) se introducir un valortentativo de h=17.5 cm y se supondrn las dimensiones delas vigas en 35 * 50 cm2 como en la figura. La proyeccinefectiva del ala ms all de la cara de las almas de las vigas
es la menor de 4hf o h - hf, que en este caso es igual a 32.5cm. Los momentos de inercia de las vigas T, sedeterminarn con respecto a su centro de gravedad.
Viga de Borde (Exterior)
17.5
-
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50
35 32.5
Ib cm= 492446 354
.
Viga Interior
100
-
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17.5
35
Ib cm= 575656 37 4.
Franja de Columna
El cdigo del ACI divide los paos en franjas para facilitarla distribucin de los momentos en ellos. La franja de
-
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columna es una franja con un ancho a cada lado del ejede las columnas igual al menor valor entre L1/4 y L2/4,donde L1 y L2 son las longitudes centro a centro del paode la losa.
Ancho de franja = 1.5 m
L14
7.54
1.875m= =
L14
6
4 1.5m= =
Para las Franjas de Losa
En este caso es el ancho entre las lneascentrales de los paneles a cada lado de la viga.
-
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Para un ancho de 3.93 m (Viga de bordeexterior):
s393 *17.53
12175519.53 cm4= =
Para las Franjas de Losa
Para un ancho de 6 m:
600 *17 53
-
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Para un ancho de 7.5 m:
s600 *17.53
12267968.75 cm4= =
s750 *17.53
12 334960.94 cm4
= =
Rgidez relativa de la Viga y de la
Losa () =
Ecb b
E
-
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Para la viga de borde:
Ecs s
= =492446.35
175519.532.8
Rgidez relativa de la Viga y de la
Losa () Para las dos vigas de 7.5 m de largo:
575656 37
-
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Para la viga de 6 m de largo:
=575656.37
267968.752.1=
= =575656.37
334960.941.7
Rgidez Promedio (m)
2 8 2 1 1 7
-
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m2.8 2.1 1.7
32.2=
+ += am = 2.2
Relacin entre la luz libre endireccin larga y la luz libre en la
corta ()Luz larga = 750 - 35 = 715 cm
L t 600 35 565
-
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Luz corta = 600 - 35 = 565 cm
b = 1.27 = =
715
565 1.27
Espesor mnimo de la losa
h
Ln 0.8fy
14000
36 9=
+
+
-
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0.2 < m < 2 mh > 12.5 cm
Donde:
Ln: Luz libre en direccin larga en cmLn = 750 - 35 = 715 cm
El espesor mnimo no debe ser menor que eldeterminado por la ecuacin.
h
Ln 0.8fy
14000
36 9
+
-
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h = 16.58 cm
h 36 9= +
h
715 0.84200
1400036 9 *1.27
16.58 cm=+
+=
y el limite necesita no ser mayor que el valor de
la ecuacin:
h
Ln 0.8fy
14000
36
+
-
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h = 21.85 cm
h 36=
h715 0.8
4200
14000
3621.85 cm= + =
*Para losas con vigas de borde rgidas
relativamente altas, con valores de m 2, laecuacin que controla es:
Ln 0 8
f
y+
-
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De donde:h = 16.58 cm (mnimo)
El limite de 9 cm de la ecuacin si m 2 9cm (mnimo).
h
Ln 0.8 y14000
36 9=
+
+
Evidentemente no controla en este caso y elespesor tentativo adoptado de 17.5 cm ser labase para los dems clculos.
Sea:
-
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Sea:wc = 2400 kg/m3 (peso especfico del concreto)
Para una losa de 17.5 cm la carga muertaes:
wD17.5
100* 2400 420
kg
m2= =
wD
17.5
100 * 2400 420
kg
m2= =
Carga viva:
wL = 600
Si se aplican los coeficientes de carga usuales
kg
m2
-
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Si se aplican los coeficientes de carga usualespara obtener las cargas de diseo, se obtiene:
wu = 1.2wD + 1.6wL
wu = 1.2 * 420 + 1.6 * 600 = 1464 kg/m2
wu = 1.464 t/m2
Momento esttico total para cargas
mayoradas
M wuL2Ln2
-
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Donde:Ln: Se define como la luz en la direccin del
anlisis de los momentos
L2: Se define como la luz en la direccintransversal
M wuL2Ln28
o =
Para la direccin de la luz corta considerando
la franja de losa y viga centrada en el eje
interior de columnas, el momento esttico
total de diseo es:
21 464 * 7 5 * 5 65
-
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Mo = 43.81 t-mEsto se distribuye de la siguiente manera:
Momento Negativo de Diseo = 43.81 * 0.65 =28.48 t-m
21.464 * 7.5 * 5.65M 43.81 t - mo 8
= =
Momento Positivo de Diseo = 43.81 * 0.35 =15.33 t-m
La franja de columna tiene un ancho de 2 * 6/4 =
3 m
-
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3 mL 7.52 1.25L 61
= =
L 7.52 1.7 * 2.131L 61
= =
Tabla, factores de distribucin aplicados almomento esttico Mo para calcular momentospositivos y negativos en la luz extrema.V
-
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Tabla, momentos en la franja de columna comoporcentaje del momento total en la seccincrtica.
-
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Los factores de distribucin para el momento de
la franja de columna, se obtendr a partir de latabla.
Interpolando linealmente tenemos:
-
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Interpolando linealmente tenemos:
Momento Negativo
Que la franja de columna toma el 67.5 68% delmomento negativo, o sea 19.37 t-m, de los
cuales las vigas toman el 85% o sea 16 46 t-m y
-
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cuales las vigas toman el 85%, o sea 16.46 t m yla losa toma el resto o sea 2.91 t-m. Los 9.11 t-mrestantes se asignan a la franja central de la
losa.
Momento Positivo
Que la franja de columna toma el 67.5 68% delmomento positivo, o sea 10.42 t-m, de los cuales
las vigas toman el 85%, o sea 8.86 t-m y la losa
-
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las vigas toman el 85%, o sea 8.86 t m y la losatoma el resto o sea 1.56 t-m. Los 4.91 t-mrestantes se asignan a la franja central de la
losa.
Un anlisis similar se realiza para la direccin
de luz corta, teniendo en cuenta la franja de
losa y viga en el borde del edificio, con baseen un momento esttico total de diseo igual
a:
2
-
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Mo = 22.96t -m
M1.464 * 3.93 * 5.652
822.96 t mo = =
Del cual el 65% se asigna a la seccin de flexinnegativa y el 35% a la seccin de flexin
positiva, como antes:Momento Negativo de Diseo = 22.96 * 0.65 =14.24 t-m
Momento Positivo de Diseo = 22 96 * 0 35 =
-
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Momento Positivo de Diseo 22.96 0.35 8.72 t-m
En este caso:
L 7.52 1.25L 61 = =
L
7.52 2.8 * 3.51 L 61 = =
Momento Negativo
Que la franja de columna toma el 67.5 68% delmomento negativo, o sea 9.68 t-m, de los cuales
las vigas toman el 85%, o sea 8.23 t-m y la losat l t 1 45 t L 4 56 t
-
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g , ytoma el resto o sea 1.45 t-m. Los 4.56 t-mrestantes se asignan a la franja central de la
losa.
Momento Positivo
Que la franja de columna toma el 67.5 68% delmomento positivo, o sea 5.93 t-m, de los cuales
las vigas toman el 85%, o sea 5.04 t-m y la losat l t 0 89 t L 2 79 t
-
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g , ytoma el resto o sea 0.89 t-m. Los 2.79 t-mrestantes se asignan a la franja central de la
losa.
Momento esttico total de diseo en la
direccin larga del panel exterior, es:
M 61 65 t
= = 2
1.464*6*7.5M 61.76 t m
o 8
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
194/250
Mo = 61.65 t -m
Este se repartir a las secciones de momentonegativo y positivo de acuerdo con la tabla y sedistribuir lateralmente a travs del ancho de lassecciones criticas de momento con la ayuda dela tabla.
De la tabla, las relaciones de momento quedeben aplicarse para obtener los momentosexteriores negativo y positivo y el momentonegativo interior son respectivamente: 0.16, 0.57y 0.70.
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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La constante torsional para la viga de borde se
encuentra a partir de la siguiente ecuacin parauna forma rectangular de 35 * 50 cm con un alasobresaliente de 17.5 * 32.5 cm.
50
17.5
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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35 32.5
Cx
y
x y=
1 0 63
3
3
.
Donde:
x: dimensin menory: dimensin mayor
C 1 0.63 * 3550
35
3
* 503
=
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
197/250
C = 437816.28 cm4
50 3
+
1 0.63 * 17.5
32.517.53 * 32.5
3= 437816.28 cm4
En este caso:
L2L1
6
7.50.8
L2L1
0.8= = =
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
198/250
1L2L12.1* 6
751.7 1L2
L11.7= = =
La restriccin relativa proporcionada por laresistencia torsional de la viga de bordetransversal efectiva se refleja mediante elparmetro t.
t Ecb C2E
=
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
199/250
En el problema:
t2Ecs s
t437816.28
2 * 267968.75
0.82= =
Momento Negativo Exterior
El factor de distribucin para el momento de lafranja de columna, se obtendr a partir de la
tabla.Que la franja de columna toma el 93% del
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7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
200/250
Que la franja de columna toma el 93% delmomento negativo exterior, o sea (61.76 * 0.16) *
0.93 = 9.19 t-m, de los cuales las vigas toman el85%, o sea 7.81 t-m y la losa toma el resto o sea1.38 t-m. Los (61.76* 0.16) * 0.07 = 0.69 t-m
restantes se asignan a la franja central de lalosa.
Momento Positivo
Que la franja de columna toma el 81% delmomento positivo, o sea (61.76 * 0.57) * 0.81 =
28.51 t-m, de los cuales las vigas toman el 85%,o sea 24 23 t-m y la losa toma el resto o sea
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
201/250
o sea 24.23 t m y la losa toma el resto o sea4.28 t-m. Los (61.76 * 0.57) * 0.19 = 6.69 t-m
restantes se asignan a la franja central de lalosa.
Momento Negativo Interior
Que la franja de columna toma el 81% delmomento negativo interior, o sea (61.76 * 0.70) *
0.81 = 35.02 t-m, de los cuales las vigas tomanel 85% o sea 29 77 t-m y la losa toma el resto o
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
202/250
el 85%, o sea 29.77 t m y la losa toma el resto osea 5.25 t-m. Los (61.76 * 0.70) * 0.19 = 8.25 t-m
restantes se asignan a la franja central de lalosa.
Refuerzo de la losa
Es conveniente tabular el refuerzo de diseo de lalosa.
En la direccin de 7.5 m, las dos mediasfranjas de columna pueden combinarse con
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7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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franjas de columna pueden combinarse conel propsito de realizar los clculos en una
sola franja de 265 cm de ancho. En la direccin de 6 m, la media franja de
columna exterior y la media franja de
columna interior generalmente son diferentesy se tratan en forma independiente.
Refuerzo de la losa
Los momentos de diseo determinados con baseen las distribuciones anteriores se resumen en la
columna 3 de la tabla.Primero se colocar el acero positivo en la
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7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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e o se co oca e ace o pos o e adireccin corta, seguido de las barras positivas
en la direccin larga. Si se deja una distancialibre de 2 cm por debajo del acero y se utilizanbarras de 1/2", el espesor efectivo en la
direccin corta ser de 15 cm mientras que en lalarga ser de 14 cm; una situacin similar seobtiene para el acero superior.
Refuerzo de la losa
Despus de calcular los momentos de diseo pormetro de franja de losa (columna 6); debe
encontrarse el espesor efectivo mnimo de losaque se requiere por razones de flexin.
-
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q q p
Para las resistencias de los materiales utilizados,la mxima cuanta determinada de acero es:
0.75b = 0.02125
Donde:
b
0.85 1f'cfy
*6000
6000 f y=
+
280 6000
-
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b = 0.02833 0.75b = 0.02125
b
0.85 * 0.85 *280
4200*
6000
6000 4200002833=
+=
Luz de 7.5 m:
b600
4
35
2* 2 265 cm= =
-
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Luz de 6 m:
b600
4
35
2
132.5 cm= =
Obsrvese que debe proveerse una rea mnimade acero igual a 0.0018 veces el rea bruta deconcreto para control del agrietamiento portemperatura y retraccin de fraguado.
Para una franja de losa de 100 cm el reacorrespondiente es:
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
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0.0018*17.5*100 = 3.15 cm2
Expresado en trminos de la cuanta de acero
mnima para los espesores efectivos reales, seobtiene:
En direccin de 7.5 m:
En direccin de 6 m:
min
3.1514 *100
0.0023= =
-
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min
3.15
15 *100
0.0021= =
Estos requisitos controlan en los sitios indicadosen la tabla el rea total de acero en cada franja.Se obtiene fcilmente a partir de la cuanta deacero y est determinada en la columna 8.
Finalmente se obtiene la cantidad necesaria debarras. Obsrvese que en dos sitios, la cantidadexigida de barras la controlan los requisitos de
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
210/250
exigida de barras la controlan los requisitos deespaciamiento mximo de 2 *17.5 = 35 cm.
La capacidad a cortante de la losa se verifica conbase en las reas tributarias. A una distancia d dela cara de la viga larga.
La resistencia a cortante de diseo de la losa
es:
0.35V 1.464 3 0.15 3.92 tu 2= =
=V 0.75 * 0.53 f' b d
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
211/250
Donde:bw = 100 cm d = 15 cm
Vc = 0.85 * 0.53 *100 * 15/1000 = 9.98 tVu = 3.92 t < Vc = 9.98 t CONFORME
c c w
280
Tabla, diseo del refuerzo de la losa.
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
212/250
(*)corresponde a: cuanta de acero controlada por los requisitos de retraccin defraguado y temperatura.
(**)corresponde a: cantidad de barras controlada por los requisitos de espaciamientomximo
B) Mtodo del Prtico Equivalente
Descripcin del Mtodo:
Es un procedimiento para el anlisis de sistemas
de losas armadas en dos direcciones mselaborado que el mtodo directo, el cual
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
213/250
considera un anlisis elstico para la
determinacin de momentos. En este mtodo laestructura se divide, para efectos analticos, enprticos contnuos centrados en los ejes de
columnas y extendindose, tanto longitudinalcomo transversalmente.
Descripcin del Mtodo:
Este mtodo se basa en la transformacin de laestructura tridimensional en una serie desistemas bidimensionales denominados prticos
equivalentes (ver figura 3.1), centrados en losejes de las columnas o de los apoyos, con cada
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
214/250
prtico extendindose hasta la altura total de la
estructura. El ancho de cada prtico equivalenteest limitado por los ejes centrales de lospaneles adyacentes, adems de que estos son
capaces de reproducir el comportamiento delconjunto si se toman algunas previsiones en ladeterminacin de sus propiedades.
-
7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01
215/250
Figura 3.1 Sistema de prticos bidimensionales
El prtico equivalente, est constituido por treselementos bsicos los cuales se presentan en la
figura 3.2 y son:
1. Las franjas de losa limitadas por las lneas
centrales de los paos adyacentes al eje enestudio. Las vigas dirigidas en la direccindel prtico se consideran parte de ellas al
-
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del prtico se consideran parte de ellas al
igual que los bacos que pudieran existirsobre las columnas.
2. Las columnas u otros soportes verticalesalineados a lo largo del eje analizado. En caso
de que la losa sea sostenida por capiteles, seconsidera que stos forman parte de lacolumna. La longitud de la columna es evaluada
al eje de las losas de niveles consecutivos.
3 L l t d l t t t it
-
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3. Los elementos de la estructura que transmiten
los momentos de la losa a la columna, sontransversales a la direccin de anlisis y seextienden a todo lo ancho de la franja de losa.Son denominados tambin elementos de rigideztorsional.
2
A
L2
L1
L2
Kct
K
cb
K
L /2
2L /22
c1
-
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Vigay losa
L1
Kct
Kcb
Figura 3.2 Elementos que constituyen el prtico equivalente
Consideraciones para la Aplicacindel Mtodo:
1. Debe considerarse que la estructura estconstituida por prticos equivalentes a lo largo de
ejes de columnas tomadas longitudinal ytransversalmente a travs de la estructura.
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2. Cada prtico debe consistir en una hilera decolumnas o apoyos y franjas de viga-losa limitadaslateralmente por el eje central de la losa a cadalado del eje de las columnas o los apoyos.
Consideraciones para la Aplicacindel Mtodo:
3. Debe suponerse que las columnas o apoyos estnunidos a las franjas de viga-losa mediante elementos
torsionales (ACI-13.7.5) transversales a la direccin deltramo para el cual se estn determinando losmomentos, extendindose hasta los ejes centrales de
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las losas laterales a cada lado de la columna.
4. Los prticos adyacentes y paralelos a un borde debenestar limitados por dicho borde y el eje central de la
losa adyacente.
Consideraciones para la Aplicacindel Mtodo:
5. Se permite el anlisis de cada prtico equivalente en sutotalidad. Alternativamente, para cargas
gravitacionales, se permite un anlisis de cada piso otecho con sus extremos lejanos considerados comoempotrados.
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6. Cuando las vigas-losa son analizadas separadamente,se permite determinar el momento en un apoyo dadosuponiendo que la viga losa esta empotrada en
cualquier apoyo distante dos vanos del considerado,siempre que la losa continu ms all de dicho punto.
Franj a
c e
ntral
Franja
de c
olu
mna
Fran
jad
ec ol u
mn
a
1/2
Fran
jac e
ntra
l
inter i
or
exteri
or
L2 L2
L /22L /22 L /22
L /42L /42 L /42
L1
-
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Figura 3.3 Franjas de diseo del prtico equivalente
equivalenteequivalentePrtico
interior
Prtico
exterior
Clculo del Momento Total enambos sentidos de la Losa:
Definida la geometra y las rigideces efectivas dela franja de la viga losa y de los apoyos, el
anlisis del prtico equivalente puede llevarse acabo mediante el mtodo de distribucin demomentos En general el prtico se analiza en su
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momentos. En general el prtico se analiza en su
totalidad, sin embargo, si slo se considerancargas de gravedad, es posible analizar cadanivel por separado. En este caso, se asume que
los extremos de las columnas del nivelcorrespondiente se encuentran empotrados enlos extremos opuestos a la losa.
Clculo del Momento Total enambos sentidos de la Losa:
Una vez determinados los momentos de diseopositivos y negativos, falta distribuirlos a lo ancho delas secciones crticas. Para fines de diseo, el anchototal de la franja se divide en franjas de columna ymedias franjas centrales adyacentes, definidas
i t l t t t
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previamente y los momentos se suponen constantes
dentro de los lmites de cada una de ellas. Ladistribucin de momentos a las franjas de columna ya las franjas centrales se realiza utilizando los
mismos porcentajes determinados con relacin alMtodo de Diseo Directo. Estos se resumen en latabla 4-1.1 del captulo IV.
Clculo del Momento Total enambos sentidos de la Losa:
La distribucin de momentos y cortantes a vigasen los ejes de columnas, si stas existen, se
realiza tambin segn los procedimientos delMtodo de Diseo Directo. La restriccin N 6para la aplicacin del Mtodo de Diseo Directo,
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para la aplicacin del Mtodo de Diseo Directo,
relacionada con la rigidez relativa de vigas en losejes de columnas en las dos direcciones,tambin es aplicable en este caso si se utilizan
estas relaciones de distribucin.
Clculo del Momento Total enambos sentidos de la Losa:
En apoyos interiores, la seccin crtica para elmomento negativo factorizado (tanto en la franja de
columna como en las franjas intermedias) se debetomar en el borde de los apoyos rectilneos, pero ano ms de 0.175L1 del centro de la columna. En los
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apoyos exteriores provistos de mnsulas o capiteles,
la seccin crtica para el momento negativofactorizado en el tramo perpendicular a un borde,debe considerarse situada a una distancia del borde
del elemento de soporte no mayor de 1/2 de laproyeccin de la mnsula o capitel ms all de lacara del elemento de apoyo (ver figura 3.4).
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Figura 3.4 Seccin crtica para la determinacin del momento negativo de diseo
Clculo del Momento Total enambos sentidos de la Losa:
A travs de las tablas 4-2.1 hasta la 4-2.6 delcaptulo 4 se obtienen los coeficientes de
rigidez, factores de transporte y los coeficientesde momento de empotramiento para lasdiferentes geometras y configuraciones de
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g y g
carga. Una amplia gama de proporciones detamao-luces de columna en ambas direccioneslongitudinales y transversales es abarcado en las
tablas.
Clculo del Momento Total enambos sentidos de la Losa:
La tabla 4-2.1 puede usarse para placas planas ylosas en dos direcciones con vigas. Las tablas 4-
2.2 hasta la 4-2.5 se proponen que sean usadospara losas planas y losas reticulares con variospaneles deprimidos (cabeza slida). La tabla 4-
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p p ( )
2.6 cubre el caso excepcional de una placa planacombinado con una losa plana. Los coeficientesde momento de empotramiento se proveen para
cargas uniformes y parcialmente uniformes.
Clculo del Momento Total enambos sentidos de la Losa:
Los coeficientes parciales de carga han sidodesarrollados para cargas distribuidas sobre la
longitud del tramo igual a 0.2L1. Sin embargo, lascargas que actan sobre las porciones mslargas del tramo pueden ser consideradas
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g p
sumando los efectos de las cargas que actansobre cada intervalo de 0.2L1. Por ejemplo, si lacarga parcial se extiende sobre 0.6L1, entonces
los coeficientes que corresponden a los tresintervalos consecutivos de 0.2L1 sernagregados.
Clculo del Momento Total enambos sentidos de la Losa:
Para cargas concentradas, una carga parcial dealta intensidad puede ser considerada para una
situacin apropiada, y se asume que serdistribuido sobre 0.2L1. Para valores delparmetro entre aquellos listados, la
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interpolacin puede hacerse. Se muestran losdiagramas de rigidez en cada tabla. Con uncriterio adecuado por parte del diseador, las
condiciones de tramos diferentes pueden serconsideradas con la ayuda de la informacindada en las tablas.
Columnas:
Los tipos comunes de columna y condiciones deapoyo en los extremos para los sistemas delosas se muestran en la figura 3.5. La rigidez delas columnas est basada en la longitud de
stas (Lc) desde la mitad del espesor de la losasuperior hasta la mitad del espesor de la losainferior
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inferior.
Los diagramas de rigidez de las columnaspueden usarse para determinar la rigidez aflexin de la columna, Kc. Los diagramas de
rigidez estn basados en las consideracionessiguientes:
a) El momento de inercia de la columna, exterior al nudolosa-viga se basa en la seccin transversal bruta delconcreto. La variacin del momento de inercia a lolargo de los ejes de la columnas entre los nudos deviga-losa se tiene en cuenta. Para columnas concapiteles se asume que el momento de inercia vara
linealmente desde la base del capitel al fondo de lalosa-viga, (13.7.4.1 y 13.7.4.2).
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b) El momento de inercia es asumido infinito desde laparte superior de la losa hasta la parte inferior de laconexin losa-viga. Como en los elementos de la losa-viga, el factor de rigidez Kc para las columnas no
pueden basarse en la suposicin de miembrosprismticos uniformes (13.7.4.3).
La tabla 4-2.7 del captulo IV puede usarse paradeterminar la rigidez de la columna real y factores detransporte.
Elementos Torsionales
El clculo de la rigidez de los elementos torsionalesrequiere varas suposiciones simplificatorias. Si noexisten vigas que formen prticos con la columna, sesupone como viga efectiva una porcin de la losaigual al ancho de la columna o capitel. Si existen
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g p
vigas que lleguen a la columna, se asume uncomportamiento de viga T o viga L, con alas que seprolongan a cada lado de la viga una distancia igual ala proyeccin de la viga hacia arriba o hacia debajo
de la losa
Elementos Torsionales (continuacin)
Pero no mayor de cuatro veces el espesor de lalosa. Adems se supone que no ocurre ningunarotacin por torsin en la viga sobre el ancho delapoyo.
Estos elementos transmiten los momentos de lalosa hacia los apoyos lo cual genera torsin enellos La seccin de los elementos torsionales
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ellos. La seccin de los elementos torsionalesse asumir constante a lo largo de su luz. ElCdigo recomienda considerar, para el anlisis,la mayor de las tres secciones propuestas a
continuacin (ACI-13.7.5):
1. La porcin de losa con un ancho igual al de lacolumna, consola o capitel en la direccin en la
cual se estn determinando los momentos.2. En construcciones monolticas, la porcin de
losa anteriormente definida incluyendo,
adems, la seccin de la viga perpendicular ala direccin de anlisis sobre y por debajo de lalosa.
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losa.
3. La seccin de la viga perpendicular a ladireccin de anlisis considera el aporte de lalosa.
Los elementos torsionales para las conexionescomunes de losa-viga se muestran en la figura
3.6. El primer criterio se aplica a losas sin vigasentre apoyos mientras que el segundo y eltercero se utilizan cuando existen vigas en la
direccin perpendicular al eje en estudio.La rigidez Kt de los elementos torsionales escalculado por la siguiente expresin:
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calculado por la siguiente expresin:
KE C
L
c
L
tcs=
9
122
2
3
Donde la sumatoria es aplicable al caso comncuando hay vigas de borde a ambos lados de la
columna.El trmino C es una seccin transversalconstante que define las propiedades torsionales
de cada elemento torsional que conforma laconexin:
x x y 3
-
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Donde x es la dimensin menor e y es ladimensin mayor de una parte rectangular.
Cx
y
x y
=
1 0 63 3.
El valor de C es calculado dividiendo la seccintransversal de un elemento torsional en partes
rectangulares separadas y sumando los valores de Cpara las componentes de los rectngulos.
Es apropiado subdividir la seccin transversal de unamanera que en lo posible resulte valores grandes de C.
Cuando las vigas forman prticos con las columnas en ladireccin del tramo para el cual se determinan losmomentos, la rigidez torsional Kt debe multiplicarse por la
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relacin entre el momento de inercia de la losa con estaviga y el momento de inercia de la losa sin ella.
K
K
tat sb
s=
I
I
I=
sin vigas
Sistema de losa Diagrama de rigidez
de la columna
lc
I=
cE Icc
I=
I=
I=
I=
Diagrama de rigidez
de la columna
Sistema de losa con
capiteles de columna
cl ccE cI
-
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Fondo de la
Superficie de
unin losa-viga
la losa-viga
Sistema de losa
con abacos de la columna
Diagrama de rigidez
lc IE
I=
ccc
I=
de la columna
Diagrama de rigidez
con vigas
Sistema de losa
Il Ec cc c
Figura 3.5 Secciones para calcular la rigidez de la columna Kc.
Donde:
Kta: Incremento de la rigidez torsional debido a laviga paralela (note que la viga paralela se
muestra en la figura 3.2).Is: Momento de inercia del ancho de losa igual al
ancho total entre las lneas centrales del
panel, l2, excluyendo esa porcin del alma deviga que se extiende sobre y debajo de lalosa (note la parte A de la figura 3.2).
IsL h
= 23
-
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Isb: Momento de inercia de la seccin de la losaespecificada por Isb que incluye esa porcin delalma de la viga que se extiende sobre y
debajo de la losa (para la viga paralela mostradaen la figura 3.2, Isb es para la seccin total Tque se muestra).
s
12
La Columna equivalentes (R13.7.4)
Con la publicacin del ACI 318-05, el concepto dela columna equivalente de definir un elemento de
una sola rigidez consistiendo de columnas realessobre y debajo de la losa-viga ms un elementotorsional transversal agregado se elimin delCdigo Con el uso creciente de las
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Cdigo. Con el uso creciente de lascomputadoras para el anlisis de losas en dosdirecciones por el Mtodo del Prtico Equivalente,el concepto de combinar rigideces de columnasreales y elementos torsionales en una sola rigidezha perdido mucho de continuidad.
La Columna equivalentes (R13.7.4)
La columna equivalente, sin embargo, se retuvoen el comentario hasta la edicin del Cdigo de
1989, como una ayuda de anlisis dnde la losa-viga para diferentes niveles de pisos sonanalizados separadamente para cargas de
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gravedad, especialmente cuando se usa ladistribucin de momentos u otros procedimientosde clculo manual para el anlisis.
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Figura 3.6 Criterios para la determinacin de la seccin transversal de los elementos torsionales.
La Columna equivalentes (R13.7.4)
Mientras el concepto de la columna equivalentetodava se reconoce por R13.7.5, los detalles del
procedimiento contenidos en el comentariodesde la edicin '83 para calcular la rigidez de lacolumna equivalente, Kec, se elimin de R13.7.5
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del Cdigo '95.Los ejemplos 5.2.1 y 5.2.2 utilizan el concepto dela columna equivalente con la distribucin del
momento para el anlisis por carga de gravedad.
La Columna equivalentes (R13.7.4)
El concepto de la columna equivalente modificala rigidez de la columna para tomar en cuenta la
flexibilidad torsional de la conexin losa-columnalo cual reduce su eficiencia para la transmisinde momentos.
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La columna equivalente consiste de columnasreales sobre y debajo de la losa-viga, mselementos torsionales "agregados" a cada lado
de la columna y que se extiende hasta los ejesde los paneles adyacentes y como se muestraen la figura 3.2.
Note que para un prtico exterior, el elementotorsional agregado est en un slo lado. La
presencia de vigas paralelas tambin influir enla rigidez de la columna equivalente.
La rigidez a flexin de la columna equivalente Keces dado en trminos de su inversa, o flexibilidad,como sigue:
1 1 1
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K K Kec c t= +
Para propsitos de clculo, el diseador puedepreferir que la expresin anterior se d
directamente en trminos de las rigideces comosigue:
Las rigideces de las columnas reales, Kc yelementos torsionales, K deben cumplir con la
KK x K
K Kec
c t
c t=
+
-
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,t
pseccin 13.7.4 y 13.7.5 del Cdigo ACI.Despus de que los valores de Kc y Kt sondeterminados, se calcula la rigidez de la columnaequivalente Kec. Usando la figura 3.2 para lailustracin del procedimiento, se tiene:
Donde:
Kct: Rigidez a flexin en la superficie de la
columna inferior que conforma la conexin.Kcb: Rigidez a flexin en la base de la columnasuperior que conforma la conexin.
( ) ( )K
K K K K
K K K Kec
ct cb ta ta
ct cb ta ta=
+ +
+ + +
-
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Kta: Rigidez torsional de cada elementotorsional, uno en cada lado de la columna,incrementado debido a la viga paralela (si la
hubiera).
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