Análisis Vectorial
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22-03-2016
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“Electromagnetismo”
Dr. Ing. Ariel Leiva López
1er Semestre, 2016.
Valparaíso, Chile
Grupo de Telecomunicaciones
Escuela de Ingeniería Eléctrica
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Valparaíso, Chile
Ingeniería Civil Electrónica e Ingeniería Civil Eléctrica
Escuela de Ingeniería Eléctrica - PUCV
1
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Agradecimientos
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Dr. Francisco Pizarro T.por facilitar archivos .ppt de los distintos módulos.
Raimundo Villarroel V.Por facilitar apuntes de clases.
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Vectores
Producto punto
Producto Cruz
Campos vectoriales
Integrales de línea
Integrales de superficie
Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Gradiente
Divergencia
Rotacional
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Origen
Extremo
𝐴
Tipos de representación:
• Coordenadas cartesianas.
• Coordenadas esféricas.
• Coordenadas cilíndricas.
Vectores:
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Vectores: Coordenadas cartesianas.
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
𝐴
𝑥𝑦
𝑧 𝐴 = 𝐴𝑥𝑖𝑥 + 𝐴𝑦𝑖𝑦 + 𝐴𝑧𝑖𝑧
Vector unitario
𝑖𝑥 =𝐴𝑥
𝐴𝑥
𝑖𝑦 =𝐴𝑦
𝐴𝑦
𝑖𝑧 =𝐴𝑧
𝐴𝑧
𝐴 = 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦
2 + 𝐴𝑧2
Vectores: Coordenadas cartesianas.
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑖𝑦 + (𝐴𝑧+𝐵𝑧)𝑖𝑧Suma de vectores
𝐴 = 𝐴𝑥𝑖𝑥 + 𝐴𝑦𝑖𝑦 + 𝐴𝑧𝑖𝑧
𝐵 = 𝐵𝑥𝑖𝑥 + 𝐵𝑦𝑖𝑦 + 𝐵𝑧𝑖𝑧Vectores: Coordenadas cartesianas.
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Vector de posición:
𝑖𝑥
𝑖𝑦
Determine en función de los otros 2 vectores.
Vectores: Coordenadas cartesianas.
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
𝐴 = 𝐴𝑥𝑖𝑥 + 𝐴𝑦𝑖𝑦 + 𝐴𝑧𝑖𝑧 𝐴 = 𝐴𝑟𝑖𝑟 + 𝐴𝜃𝑖𝜃 + 𝐴𝜙𝑖𝜙
𝜃
𝜙
𝜃𝜃
𝑟 cos𝜙
𝜙
𝑟 sin 𝜃 sin𝜙
Vectores: Cambio de sistemas de coordenadas.
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Tarea sugerida:
¿Cómo represento los vectores unitarios en
coordenadas esféricas?
¿Cómo transformo un punto de sistemas de
coordenadas a otro?Cartesiano a cilíndrico y esférico
Cilíndrico a rectangular
Esférico a rectangular
Vectores: Cambio de sistemas de coordenadas.
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Vectores
Producto punto
Producto Cruz
Campos vectoriales
Integrales de línea
Integrales de superficie
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Gradiente
Divergencia
Rotacional
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“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Operaciones vectoriales: Producto punto.
• Llamado también producto escalar: 𝐴 ⋅ B
• Si conocemos los componentes 𝑥, 𝑦, 𝑧 de los vectores (DEMUESTRE)
• Si conocemos el ángulo entre los dos vectores
– Da un resultado escalar
– Es conmutativa y distributiva
– ¿Qué pasa si los vectores son perpendiculares?
– ¿Qué pasa si multiplico el vector por un componente unitario?
𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧
𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 𝜃
𝜃
Proyección de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵: 𝐴 cos𝜃
Proyección multiplicada por 𝐵: 𝐴 𝐵 cos𝜃
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Ejercicios simples:
𝐴 ⋅ 𝑖𝑥 =
𝐴 ⋅ 𝑖𝑦 =
𝐴 ⋅ 𝑖𝑧 =
𝑖𝑥 ⋅ 𝑖𝑧 =
𝑖𝑥 ⋅ 𝐴 =
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Vectores
Producto punto
Producto Cruz
Campos vectoriales
Integrales de línea
Integrales de superficie
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Gradiente
Divergencia
Rotacional
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• Llamado también producto vectorial: 𝐴 × B– Entrega un vector C de magnitud 𝐶 = 𝐴 𝐵 sin𝜃
– Dirección perpendicular a 𝐴 y 𝐵
– Geométricamente: magnitud de C es el área formada por los vectores 𝐴 y 𝐵
– Tiene sentido de avance como un tornillo girado por la mano derecha (rotando 𝐴 en 𝐵)
• No es conmutativa
Operaciones vectoriales: Producto cruz.
𝐴 × 𝐵 = 𝑖𝑥 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦 + 𝑖𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 + 𝑖𝑧(𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥)
𝐵
𝐴
𝜃Área |C|
𝐶 = 𝐴 × B
𝐴 × 𝐵 =
𝑖𝑥 𝑖𝑦 𝑖𝑧𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
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Ejercicios simples:
𝐴 × 𝑖𝑥=
𝐴 × 𝑖𝑦 =
𝐴 × 𝑖𝑧 =
𝑖𝑥 × 𝑖𝑧 =
𝑖𝑥 × 𝐴 =
𝐴 = 2𝑖𝑧
𝑖𝑦 × 𝑖𝑥 =
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Análisis Vectorial
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Ejercicios simples (propuesto en clases):
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Vectores
Producto punto
Producto Cruz
Campos vectoriales
Integrales de línea
Integrales de superficie
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Gradiente
Divergencia
Rotacional
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Campos escalares:
En 3D o 2D puede representarse como o , resp.𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐴(𝑥, 𝑦)(coordenadas cartesianas)
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Campos vectoriales:
En 3D o 2D puede representarse como o , resp. 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐴(𝑥, 𝑦)(coordenadas cartesianas)
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Vectores
Producto punto
Producto Cruz
Campos vectoriales
Integrales de línea
Integrales de superficie
Análisis Vectorial
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Gradiente
Divergencia
Rotacional
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Integrales de línea:
• Dos puntos: 𝑝 y 𝑝’ separados por una distancia muy pequeña (infinitesimal)
𝑑 𝑙
– Diferencial de longitud vectorial:
𝑑 𝑙 = 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑𝑦 𝑦 + 𝑑𝑧 𝑧
𝑝
𝑝′𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑥
𝑦
𝑧
𝑑 𝑙
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Integrales de línea:
– Supongamos:
• Movimiento a lo largo de una trayectoria curva del punto 𝑃1 a 𝑃2
en un campo de fuerza radial 𝐹
• La fuerza 𝐹 actúa sobre un objeto en la dirección radial 𝑟
• Se realiza un producto punto en cada desplazamiento
infinitesimal:
𝐹 ∙ 𝑑𝑙
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Análisis Vectorial
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Integrales de línea:
𝑃1
𝑃2
𝑃
𝐹
𝐹
𝐹𝜃
Trayectoria del elemento
⊥ respecto a 𝐹
Trayectoria del elemento
∥ respecto a 𝐹
𝑟𝑑𝐿
𝑟1
𝑟2
𝐹 cos 𝜃 𝑑𝐿 = 𝐹𝐿𝑑𝐿
Componente 𝐹 en dirección
trayectoria
cos 𝜃 𝑑𝐿 = 𝑑𝑟
𝐹 ⋅ 𝑑𝐿 cos 𝜃 𝑑𝐿 = 𝐹𝐿𝑑𝐿 = 𝐹𝑑𝑟
Longitud diferencial del vector
𝜃
𝑑𝐿
𝐹
𝐹𝐿
𝜃 𝑑𝑟
𝑑𝐿
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Integrales de línea:
– Producto 𝐹 y 𝑑𝑟: diferencial de trabajo 𝑑𝑊 producida por la fuerza 𝐹requerida para mover un objeto una distancia cos 𝜃𝑑L = 𝑑𝑟
– Descomponiendo trayectoria : segmentos paralelos y perpendiculares
• Paralelos: hay trabajo
• Perpendiculares: ningún trabajo
𝑑𝑊 = 𝐹 ⋅ 𝑑𝐿 = 𝐹 cos 𝜃 𝑑𝐿
𝑊 = 𝑃1
𝑃2
𝐹 ⋅ 𝑑𝐿
Integral de línea
𝑊 = 𝑟1
𝑟2
𝐹 cos 𝜃 𝑑𝐿 = 𝑟1
𝑟2
𝐹𝑑𝑟
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Integrales de línea:
• Ejemplos campo lineal y radial (grupos 4-5 personas)
– Campo lineal: Un campo de fuerza 𝐹 se encuentra en la dirección 𝑥 y se
incrementa linealmente con la distancia 𝑥. Así 𝐹 = 𝑥x. Encuentre el trabajo
realizado por la fuerza 𝐹 al mover un objeto desde un punto 𝑥 = 1 a un
punto 𝑥 = 2
– Solución:
𝐹 ⋅ dL = 𝑥𝑑𝑥 𝑊 = 𝐹 ⋅ dL = 1
2
𝑥𝑑𝑥 =3
2(𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠)
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Integrales de línea:
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– Campo radial: Una fuerza radial 𝐹 disminuye con la distancia como
se muestra en la ecuación 𝐹 = 𝑟𝑟−2 . Esta disminución varía de
manera inversa al cuadrado de una distancia radial y es la misma
que la del campo eléctrico 𝐸 alrededor de un punto de carga 𝑞.
Encuentre el trabajo realizado en el movimiento de un punto
𝑟 = 2 a un punto 𝑟 = 2 2 por una trayectoria directa (radial) y una
siguiendo las siguientes coordenadas rectangulares:
𝑥, 𝑦 = 1,1 → 𝑥, 𝑦 = 2,1 → 𝑥, 𝑦 = 2,2
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Integrales de línea:
1
1
2
2
y
x
1,1 2,1
2,2
𝑟 = 2
𝑟 = 2 2
𝐹 ⋅ dL = 𝑟−2𝑑r
𝑊 = 𝐹 ⋅ dL = 2
2 2
𝑟−2𝑑r =1
2 2(𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠)
Solución 1
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Integrales de línea:
– Ejercicio propuesto
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Vectores
Producto punto
Producto Cruz
Campos vectoriales
Integrales de línea
Integrales de superficie
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Gradiente
Divergencia
Rotacional
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Integrales de superficie:
– Diferencial de superficie:
• Escalar:𝑑𝑆𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑧 ; 𝑑𝑆𝑦 = 𝑑𝑥𝑑𝑧 ; 𝑑𝑆𝑧 = 𝑑𝑥𝑑𝑦
• Vectorial: 𝑑 𝑆𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥 ; 𝑑 𝑆𝑦 = 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑦; 𝑑 𝑆𝑧 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑆𝑧
𝑑 𝑆𝑧
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Integrales de superficie:• Supongamos:
– Fluye agua a una razón uniforme de 𝐵 (𝑙 𝑚𝑖𝑛−1 𝑚−2) a través de una espira cuadrada de área 𝐴.
• Flujo de agua a través de la espira depende de tres cosas:
– 𝐵 (razón y dirección del flujo)
– Área 𝐴 de la espira
– Ángulo de la espira respecto a 𝐵
• Si área es vector (magnitud 𝐴 , dirección ⊥ a su superficie): flujo 𝜓 del agua se puede expresar
como producto escalar
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𝜓 = 𝐵𝐴 cos 𝜃 = 𝐵 ∙ 𝐴 𝑙/𝑚𝑖𝑛 𝐴 = 𝑛𝐴
Vector unitario perpendicular a la espira de superficie𝜃
𝑛
𝐴
Flujo uniforme
𝐵
𝜓 = 𝐵 ⋅ 𝑛𝐴
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Integrales de superficie:
• Supongamos:
– Fluye agua a una razón uniforme de 𝐵 (𝑙 𝑚𝑖𝑛−1 𝑚−2) a través de una espira cuadrada de área 𝐴.
• Flujo de agua a través de la espira depende de tres cosas:
– 𝐵 (razón y dirección del flujo)
– Área 𝐴 de la espira
– Ángulo de la espira respecto a 𝐵
• Si el flujo no es uniforme (𝐵 función de la posición):
– Calcular flujo incremental 𝑑𝜓 en una superficie 𝑑𝑆
– Si se suman las contribuciones de todos los puntos
𝑑𝜓 = 𝐵 ⋅ 𝑛𝑑𝑠 = 𝐵 ⋅ 𝑑 𝑠
𝜓 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐴
𝐵 ⋅ 𝑛𝑑𝑠 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐴
𝐵 ⋅ 𝑑 𝑠
Integral de superficie
𝜃 𝑛
𝐴
Flujo no uniforme
𝐵
𝑑𝜓 = 𝐵 ⋅ 𝑛𝑑𝑠
𝑑𝑆
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Análisis Vectorial
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Integrales de superficie:
– El agua fluyendo en dirección 𝑥 tiene una velocidad de flujo dada como
función 𝐵𝑥 = 3 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑛−1 𝑚−2. Encuentre el flujo total de agua a través
del área rectangular con coordenadas en las esquinas
(0,0,0), (0,3,0), (0,0,2), (0,3,2) m
Superficie𝑑𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑧
Superficie total (3 × 2)𝑚2
𝑑𝑧
𝑑𝑦 𝑦
𝑥
𝑧
(0,0,0) (0,3,0)
(0,0,2) (0,3,2)
Salida 𝐵 de flujo
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Integrales de superficie:
– El agua fluyendo en dirección 𝑥 tiene una velocidad de flujo dada como
función 𝐵𝑥 = 3𝑦𝑧 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑛−1 𝑚−2. Encuentre el flujo total de agua a través
del área rectangular con coordenadas en las esquinas
(0,0,0), (0,3,0), (0,0,2), (0,3,2) m
Superficie𝑑𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑧
Superficie total (3 × 2)𝑚2
𝑑𝑧
𝑑𝑦 𝑦
𝑥
𝑧
(0,0,0) (0,3,0)
(0,0,2) (0,3,2)
Salida 𝐵 de flujo
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Integrales de superficie:
Superficie𝑑𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑧
Superficie total (3 × 2)𝑚2
𝑑𝑧
𝑑𝑦 𝑦
𝑥
𝑧
(0,0,0) (0,3,0)
(0,0,2) (0,3,2)
Salida 𝐵 de flujo
– Solución: La velocidad de flujo 𝐵𝑥 =3𝑦𝑧 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑛−1 𝑚−2 indica que la
velocidad del flujo es cero en el origen y
tiene un máximo en 0,3,2 .
– Integrando respecto a 𝑦 (𝑧 constante), se
obtiene el flujo a través de la banda de
área igual a 3 m (en la dirección 𝑦) por un
ancho 𝑑𝑧. Luego se integra con respecto
a 𝑧 y se suma el flujo a través de todas
las bandas 𝑑𝑧 desde 𝑧 = 0 hasta 𝑧 = 2
𝜓 = 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒
𝐵 ⋅ 𝑑 𝑠 = 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒
𝐵𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜓 = 3
𝑧=0
𝑧=2
𝑦=0
𝑦=3
𝑦𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 = 27 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑛−1
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Vectores
Producto punto
Producto Cruz
Campos vectoriales
Integrales de línea
Integrales de superficie
Análisis Vectorial
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Gradiente
Divergencia
Rotacional
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Análisis Vectorial
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Gradiente:
• Conocer el comportamiento de un campo escalar
– Ejemplo: función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) alrededor de un punto 𝑝
Podemos describir 𝑑𝑓 de la siguiente forma:
𝑝
𝑝′𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑥
𝑦
𝑧
𝑑 𝑙
𝑑𝑓 =𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦𝑑𝑦 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧𝑑𝑧
Cambio que experimenta la función 𝑓alrededor de 𝑝 (a un punto cercano 𝑝’)
𝑑𝑓 =𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦 𝑦 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧 𝑧 ⋅ 𝑑 𝑙
𝛻𝑓 : gradiente de f
Operador nabla
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Gradiente:
• Punto 𝑝 con distintos 𝑝’ a la misma distancia 𝑑 𝑙
– Al ir cambiando la posición de 𝑝’: sólo cambia el sentido de 𝑑 𝑙
– El valor de 𝑑𝑓 sólo cambiará debido a los cambios del valor
del cos(𝜃)
• 𝜃 = 90º: 𝑑𝑓 es cero
– La función 𝑓 no tiene cambio de valor en torno al punto 𝑝 en
la dirección del vector
• 𝜃 = 0º: 𝑑𝑓 máximo
– Tiene el mismo sentido que el vector gradiente. La función f
tiene el máximo cambio en torno al punto 𝑝
– 𝜃 = 180º: sentido mayor cambio descendente
• Sentido del vector gradiente de una función escalar en un
punto p cualquiera es aquel sentido en el que la función
escalar tiene un mayor cambio ascendente en torno a 𝑝’
𝜃𝑑 𝑙
𝑝
𝑝1′
𝑝2′
𝑝3′
𝑝4′
𝛻𝑓
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Gradiente:• Si 𝜃 = 90º : cambio es nulo.
• 𝛻𝑓 se orienta a 90 º de las líneas a lo largo de las cuales el valor de 𝑓 no cambia
• Líneas “iso” o “equi” de 𝑓 𝑓1
𝑓2
𝑓3
𝑓4
𝛻𝑓
Averiguar las expresiones delgradiente para otro tipo desistemas de coordenadas
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Ejercicio (propuesto en clases):
La temperatura de una sala está dado por la siguiente expresión:
𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4 ∙ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑧
Si una mosca situada en (1,1,2) quiere volar en la dirección que pueda calentarse de la
manera más rápida. ¿En qué dirección debe volar?
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Vectores
Producto punto
Producto Cruz
Campos vectoriales
Integrales de línea
Integrales de superficie
Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Gradiente
Divergencia
Rotacional
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Divergencia
• Flujo función vectorial
– 𝐴: función vectorial
– Flujo 𝛷 que produce la función 𝐴 al atravesar
una superficie abierta 𝑆
– Si la superficie es cerrada:
– 𝐴 ⋅ 𝑑 𝑆 : aporte al flujo Φ que el vector 𝐴produce al atravesar cada punto de la
superficie 𝑆.
• Puede ser positivo o negativo dependiendo del
valor del ángulo 𝜃 entre los vectores
• 0<θ<90º : aporte es positivo (se suma flujo).
Flujo está saliendo de la superficie 𝑆.
• 90º<θ<180º:l aporte es negativo (se resta flujo).
Flujo está entrando a la superficie 𝑆.
𝜙 = 𝑆
𝐴 ⋅ 𝑑 𝑆
𝜙 = 𝑆
𝐴 ⋅ 𝑑 𝑆
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Divergencia
• Flujo función vectorial
– Bajo algunas condiciones es posible que, en una superficie cerrada, el flujo total
neto sea cero
– Si saliese más flujo del que entra: fuentes
– Saliese menos flujo del que entra: sumidero
• Divergente: flujo del campo desde un punto hacia otro
– 𝛻 ⋅ 𝐴 = 𝑖𝜕
𝜕𝑥+ 𝑗
𝜕
𝜕𝑦+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑧⋅ 𝑖𝐴𝑥 + 𝑗𝐴𝑦 + 𝑘𝐴𝑧
– 𝛻 ⋅ 𝐴 =𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧= lim∆𝑣→0
𝑆 𝐴∙𝑑 𝑠
∆𝑣
• Cambio de la componente x del vector 𝐴 sobre el eje x…
• Unidad escalar (magnitud pero no dirección)
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Ejercicio (propuesto en clases):
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Vectores
Producto punto
Producto Cruz
Campos vectoriales
Integrales de línea
Integrales de superficie
Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Gradiente
Divergencia
Rotacional
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Rotacional:
• Circulación: integral de línea cerrada de 𝐴 a lo largo de
un trayecto cerrado
• Rotacional (𝛻 ×): tendencia de un campo a circular
alrededor de un punto
– 𝛻 × 𝐴 =
𝑖 𝑗 𝑘𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
– 𝛻 × 𝐴 =𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑦−
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑧 𝑖 +
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑧−
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑥 𝑗 +
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑥−
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑦 𝑘
• Cada componente del rotacional de 𝐴 indica la tendencia del campo a
rotar en uno de los planos
• Dirección de rotación: eje donde la rotación es mayor
• Sentido de rotación: regla de la mano derecha
𝐶 = 𝐿
𝐴 ⋅ 𝑑 𝑙 = 𝑆
(∇ x 𝐴) ∙ 𝑑𝑠
𝛻 × 𝐴 = 𝑖𝜕
𝜕𝑥+ 𝑗
𝜕
𝜕𝑦+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑧× 𝑖𝐴𝑥 + 𝑗𝐴𝑦 + 𝑘𝐴𝑧
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Análisis Vectorial
“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile
Rotacional:
• Rotacional (𝛻 ×): tendencia de un campo a circular alrededor de un punto
– 𝛻 × 𝐴 =𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑦−
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑧 𝑖 +
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑧−
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑥 𝑗 +
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑥−
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑦 𝑘
• Cada componente del rotacional de 𝐴 indica la tendencia del campo a rotar en uno de
los planos
• Dirección de rotación: eje donde la rotación es mayor
• Sentido de rotación: regla de la mano derecha