Analisis Tridimensional Inelastico de Estructuras

7/21/2019 Analisis Tridimensional Inelastico de Estructuras

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ANALISIS TRIDIMENSIONAL INELASTICO DE ESTRUCTURAS

Ing. Ricardo Oviedo Sarmiento

La fase mas crítica de un análisis estructural es crear un modelo en la computadora con un finito númerode miembros con masas y un finito numero de desplazamientos nodales que simulen el real comportamiento de laestructura. Las masas pueden ser estimadas y las propiedades de rigidez también con adecuada aproximacióngracias a los experimentos. Pero las cargas dinámicas, la disipación de energía y las condiciones de borde sondifíciles de estimar. ebido a lo comple!o del análisis dinámico sísmico inelástico se requieren de simplificaciones

para obtener un modelo matemático soluble con las computadoras disponibles.

3.1 ANÁLISIS DINÁMICO TRIDIMENSIONAL

"s recomendable en un análisis tridimensional asociar la dirección principal con la que presenta el modo

fundamental de #ibración y la dirección secundaria con aquella que tenga $% grados en relación a la principal.

3.1.1 Eqi!i"rio din#mico

"l equilibrio de la fuerza de un sistema de múltiples grados de libertad en función del tiempo puede ser expresado por la siguiente relación &'$()

F(t) I + F(t) D + F(t) S = F(t) (3.1)

"n donde los #ectores de fuerza en un tiempo t son)

*&t(+ es un #ector de las fuerzas de inercia actuando en las masas de los nudos.

*&t( es un #ector del amortiguamiento #iscoso, o fuerzas de disipación de energía .*&t(- es un #ector de las fuerzas internas cargadas por la estructura

*&t( es un #ector de las cargas externas aplicadas.

"sta ecuación esta basada en las leyes de la física y es #alida para sistemas nolineales si el equilibrio esformulado con respecto a la geometría deformada de la estructura.

"s importante mencionar que los desplazamientos debidos a acciones sísmicas, los cuales sonnormalmente brindados por los programas de cómputo, usualmente son desplazamientos relati#os y que las cargassísmicas en la estructura están aplicadas a la cimentación y no son cargas externas aplicadas a los nudos de laestructura.

3.1.$ Mode!o com%taciona! tridimen&iona!

Los efectos torsionales y accidentales deben ser considerados en todas las estructuras. /odas las

estructuras deben ser tratadas como sistemas tridimensionales. Las estructuras con planos irregulares, entrantes o pisos blandos pueden causar problemas adicionales si un modelo tridimensional realístico es modelado. "stemodelo debe ser creado desde el inicio para luego ser sometido a cargas sísmicas &00(.

-olamente los elementos estructurales con rigidez y ductilidad importante deben ser modelados. Loscomponentes no estructurales pueden ser ob#iados. Los cortantes y deformaciones axiales pueden ser consideradossin mayor esfuerzo por los programas de cómputo actuales. La rigidez de la losa rígida 1a sido aceptada para lamayoría de las estructuras.

Los efectos P2delta deben ser incluidos en todos los modelos estructurales. "stos efectos en el análisisdinámico pueden producir peque3os incrementos en el período de los modos. 4na #enta!a es que los factores deamplificación del momento para todos los miembros pueden ser tomados como la unidad en todos lossubsecuentes c1equeos de esfuerzos &56, '$(.

La masa de la estructura puede ser estimada con gran precisión. La mayor suposición requerida es estimar

la cantidad de carga #i#a a ser incluida en la masa. "n el caso de utilizar la aproximación del diafragma rígido, elmomento rotacional de inercia de la masa debe ser calculado.



3.1.3 'orma& de modo ( )recencia& tridimen&iona!e&

"l primer paso en un análisis dinámico modal de un modelo estructural, es el cálculo de las formas demodo tridimensionales y las frecuencias naturales de #ibración. Para el cálculo de las funciones de formaortogonales se 1an utilizado los #ectores 7itz de carga dependiente &'$(.

8ada forma de modo tridimensional de una estructura puede tener componentes de desplazamiento entodas direcciones. Las magnitudes de las fuerzas y los momentos no tienen significado porque la amplitud de unaforma de modo no tiene #alor.

3.$ ANÁLISIS TRIDIMENSIONAL NO LINEAL

"l análisis dinámico no lineal de sistemas estructurales predefine un número de elementos nolineales queson asumidos que existen. Los #ectores 7itz de carga dependiente de la masa y rigidez ortogonal del sistemaestructural elástico son utilizados para reducir el tama3o del sistema no lineal a ser resuelto. Las fuerzas en loselementos nolineales son calculados por iteración al final de cada paso. Las ecuaciones modales desacopladas sonresueltas exactamente para cada incremento de tiempo. Las ecuaciones de equilibrio son formadas y resueltas en

cada incremento de carga &9:, '$(.

Las ecuaciones fundamentales de equilibrio de fuerza2deformación y compatibilidad son satisfec1as. Lafuerza exacta de equilibrio del modelo en computadora de una estructura en un tiempo t es expresada por lasiguiente ecuación matricial)

M ü (t) + C ů (t) + K u (t) + R (t) NL = R (t) (3.2)

onde ;, 8 y < son las matrices de masas, amortiguamiento proporcional y rigidez respecti#amente. "ltama3o de estas matrices cuadradas es igual al número total de puntos de desplazamientos nodales desconocidos.La matriz de rigidez elástica < no toma en cuenta la rigidez de los elementos nolineales. Los #ectores dependientesdel tiempo son la aceleración, #elocidad y desplazamiento respecti#amente. "l #ector R*t+NL es el #ector de fuerza

resultante de la suma de las fuerzas en los elementos nolineales y es calculado para cada iteración en cada instante

de tiempo.

3.$.1 Ace!eraci,n &-&mica

=ormalmente, 0% puntos por segundo son utilizados para definir un registro de aceleración sísmica, y se

asume que la función de aceleración es lineal en cada incremento de tiempo, tal como se muestra en la figura 5.9.

Las #elocidades y los desplazamientos pueden entonces ser calculadas de la integración de lasaceleraciones y #elocidades en cada inter#alo de tiempo &'$()

= 1 ( üi – üi-1 ) (3.3) Δt

ü(t) = üi-1 + t (3.4)

ů(t) = ůi-1 + t üi-1 + t2 (3.5) 2

u(t) = ui-1 + t ůi-1 + t2 üi-1 + t 3 (3.6)

2 6

La e#aluación de estas ecuaciones en t t produce el siguiente grupo de ecuaciones)

= 1 ( üi – üi-1 ) (3.7)

Δt

üi = üi-1 + Δt (3.)



ůi = ůi-1 + Δt üi-1 + Δ t 2 i=1!2!3" (3.#)

2

ui = ui-1 + Δt ůi-1 + Δ t 2 üi-1 + Δ t 3 (3.1$) 2 6

La integración de los registros sísmicos en el suelo debería producir #elocidad cero al final del registro."xcepto en los registros cercanos a la falla sísmica, donde desplazamientos cero podrían ser obtenidos al final delregistro. Las aceleraciones sísmicas reales son normalmente corregidas para satisfacer estos requerimientos.

Los desplazamientos son funciones cúbicas en cada incremento de tiempo. -i los desplazamientos sonusados como carga sísmica especificada, peque3os pasos o un método de solución de orden superior, basado endesplazamientos cúbicos, debe ser utilizado para el análisis dinámico estructural. -i las aceleraciones son utilizadas

como la carga básica, un método de solución de ba!o orden, basado en funciones lineales, puede ser usado pararesol#er el problema de respuesta dinámica.

3.$.$ M/todo de &o!ci,n %a&o a %a&o

"l método de solución más general para el análisis dinámico es un método incremental en donde las

ecuaciones de equilibrio son resueltas a incrementos de tiempo >t, :>t, 5>t, etc. "xisten un gran número demétodos de soluciones incrementales. "n general, ellos en#uel#en una solución del !uego completo de ecuacionesde equilibrio en cada incremento de tiempo. "n el caso del análisis inelástico, puede ser necesario reformar lamatriz de rigidez para el completo sistema estructural para cada paso en el tiempo &'$(. /ambién, la interacción puede ser requerida en cada incremento de tiempo para satisfacer el equilibrio. 8omo un resultado de los grandes

requerimientos computacionales, puede tomar una significante cantidad de tiempo resol#er los sistemasestructurales con una gran cantidad de grados de libertad.

"l amortiguamiento numérico o artificial debe ser a3adido a la mayoría de los métodos de soluciónincremental para obtener soluciones estables. Por esta razón, los ingenieros deben ser muy cuidadosos en lainterpretación de los resultados. Para algunas estructuras inelásticas su!etas a mo#imientos sísmicos, los métodos

de solución incrementales son necesarios.

Para sistemas estructurales muy grandes, una combinación del método de superposición modal y elmétodo incremental 1an resultado ser eficientes para sistemas con un peque3o número de elementos nolineales.

3.$.3 M/todo de integraci,n nm/rica

La aproximación más general para resol#er la respuesta dinámica de sistemas estructurales es laintegración numérica directa de las ecuaciones de equilibrio dinámico. "sto in#olucra satisfacer el equilibriodinámico a discretos puntos en el tiempo después de que la solución 1a sido definida en el tiempo cero. La mayoríade los métodos usan inter#alos iguales de tiempo. Los métodos explícitos no in#olucran la solución de un grupo deecuaciones lineales en cada paso. ?ásicamente, estos métodos utilizan la ecuación diferencial en el tiempo @tA para

predecir una solución en el tiempo @tB>tA. "n general, todos los métodos explícitos son condicionalmente establescon respecto al tama3o del paso &'$(.

Los métodos implícitos pretenden satisfacer la ecuación diferencial en el tiempo @tA después de que lasolución en el tiempo @t2>tA 1a sido encontrada. "stos métodos requieren la solución de un grupo de ecuacioneslineales en cada paso. Los métodos implícitos pueden ser condicionalmente o incondicionalmente estables.

3.$.0 M/todo de Nemar2

"n 9$0$ =eCmarD presento el método de integración de paso único para la solución de problemasdinámicos estructurales para cargas sísmicas. urante los pasados E% a3os, el método de =eCmarD 1a sido aplicadoal análisis dinámico de muc1as estructuras en ingeniería &'$(. /ambién 1a sido modificado y me!orado por otros

in#estigadores. Para ilustrar el uso del método de integración numérica, consideremos la solución de la ecuación deequilibrio dinámico escrita de la siguiente manera)

M üt + C ůt + K ut = F t (3.13)

"l uso directo de las series de /aylor pro#ee una rigurosa aproximación para obtener las siguientes dos

ecuaciones adicionales)



ut = ut-Δt + Δtůt-Δt + Δt üt-Δt + " (3.14) 2

ůt = ůt-Δt + Δtüt-Δt + " (3.15)

=eCmarD truncó estas ecuaciones y las expresó de la siguiente forma)

ut = ut-Δt + Δtůt-Δt + Δt üt-Δt + %Δt 3 " (3.16) 2

ůt = ůt-Δt + Δtüt-Δt + &Δt 2 " (3.17)

-i se supone que la aceleración es lineal en el paso, la siguiente ecuación puede ser escrita)

= (üt - üt-Δt ) (3.1) Δt

La sustitución de la ecuación 5.F en las ecuaciones 5.6 y 5.' producen las ecuaciones de =eCmarD en laforma estándar)

ut = ut-Δt + Δtůt-Δt + (1'2 – %) Δt 2 üt-Δt + %Δt 2 üt (3.1#)

ůt = ůt-Δt + (1 - &)Δtüt-Δt + &Δtüt (3.2$)

=eCmarD resol#ió ecuaciones &5.9$, 5.:% y 5.95( por iteración para cada inter#alo de tiempo, para cadadesplazamiento de cada grado de libertad del sistema estructural. "l termino t fue obtenido de la ecuación 5.95,di#idiendo la ecuación por la masa asociada con el grado de libertad.

"n 9$6: =eCmarD formulo el método de =eCmarD en notación matricial, adicionando rigidez yamortiguamiento proporcional a la masa, y elimino la necesidad de la iteración al introducir la solución directa de

las ecuaciones en cada paso. "sto requiere que las ecuaciones 5.9$ y 5.:% sean rescritas en la siguiente forma)

üt = 1 (ut - ut-Δt ) + 2ůt-Δt + 3 üt-Δt (3.21)

ůt = 4 (ut - ut-Δt ) + 5 ůt-Δt + 6 üt-Δt (3.22)

La sustitución de las ecuaciones 5.:9 y 5.:: en la ecuación 5.:5 permite el equilibrio dinámico del sistemaen el tiempo @tA a ser escrito en términos del desplazamiento desconocido del nudo t )

(1 M+4C+K)ut =F t +M(1ut-Δt –2ůt-Δt -3üt-Δt )+C(4ut-Δt –5ůt-Δt –6 üt-Δt ) (3.23)

3.$.4 E! m/todo de 5i!"er6 5ge& ( Ta(!or

"l método utiliza el método de =eCmarD para solucionar la siguiente ecuación modificada demo#imiento)

Müt + (1+)C ůt + (1+)Kut = (1+)F t - F t + K ůt-Δt + K ut-Δt (3.24)

8uando 7 es igual a cero, el método se reduce al método de aceleración constante. "l cual producedisipación de energía en los modos altos. "ste método es actualmente utilizado en #arios programas de cómputo&'$(. "l desempe3o del método es similar al uso del amortiguamiento proporcional de rigidez.

3.$.8 Amortigamiento vi&co&o

"l amortiguamiento estructural proporciona un amortiguamiento in1erente en el sistema estructural. Los procedimientos de análisis aplican un 0G de amortiguamiento #iscoso, este porcenta!e lo asumen la mayoría de loscódigos sísmicos. 8omúnmente se asume un amortiguamiento del tipo #iscoso por su simplicidad matemática.

"l amortiguamiento #iscoso especificado es el amortiguamiento de 7ayleig1, donde la matriz de rigidez



H8I, es construida de la matriz de masas H;I y la matriz de rigidez H<I)

*C = *M + , *K (3.25)

onde J y K, son coeficientes especificados por el usuario. "stas dos constantes pueden ser calculadas para dos períodos de respuesta, /9 y /:, los cuales tienen asociados radios de amortiguamiento #iscosos, 9 y :)

= 4 ( 1 1 – 2 2 ) (3.26)

( 22 - 1

2 )

, = 1 2 ( 2 1 – 1 2 ) (3.27) ( 2

2 - 12 )

"l uso de estas dos constantes, J y K, permite especificar el amortiguamiento exactamente en dos períodos.Para todos los períodos entre estos dos períodos el amortiguamiento será menos que el especificado y para los períodos fuera del rango de estos dos períodos el amortiguamiento será mayor que el especificado. M cualquier período /, el amortiguamiento #iscoso puede ser calculado como)

= + , / (3.2)

4 /

La figura 5.: muestra el amortiguamiento total, de las componentes de la masa y la rigidezrespecti#amente, donde J y K 1an sido determinadas para proporcionar un amortiguamiento de 0G. "lamortiguamiento de masa se incrementa con el incremento de los períodos y el amortiguamiento de rigidez decrececon el incremento del período. -e puede apreciar en la figura 5.: que el amortiguamiento total se incrementa

rápidamente para períodos menores y mayores que los #alores especificados.

8uando la matriz de amortiguamiento es proporcional al de la matriz de masas &J %(, el factor deamortiguamiento es peque3o para las frecuencias altas de #ibración. Pero, si el amortiguamiento es proporcional ala matriz de rigidez &K %(, el factor de amortiguamiento es mayor para las frecuencias altas de #ibración.

Mctualizado a "nero del :%%E

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