INTRODUCCION

En los problemas de ingeniería no es siempre posible obtener soluciones matemáticas rigurosas, solo en algunos casos simples pueden obtenerse soluciones analíticas. Cuando los problemas implican propiedades de materiales, distribución de cargas y condiciones de contorno complejas, es necesario introducir simplificaciones e idealizaciones para reducir el problema a una solución matemática que sea capaz de dar resultados aceptables desde el punto de vista de la seguridad y la economía.

MÉTODO DE RAYLEIGH

1. DEFINICIÓN:

Un método muy aceptado por los códigos de construcción actuales es el Método de Rayleigh, el cual permite calcular con buena aproximación la frecuencia fundamental de un sistema de grados de libertad mediante un proceso relativamente sencillo.

Este método fue desarrollado utilizando la ley de la conservación de la energía, permitiendo analizar sistemas de múltiples grados de libertad como un sistema equivalente de un grado de libertad, en función de una sola coordenada generalizada.

Donde , , y son los parámetros generalizados (masa generalizada, amortiguamiento generalizado, rigidez generalizada y fuerza generalizada, respectivamente), definidos por

Para una aceleración en la base dependiente del tiempo, la fuerza generalizada se convierte en

Donde L es el factor de participación del terremoto

Puede resultar conveniente expresar el amortiguamiento generalizado en términos del porcentaje de amortiguamiento crítico de la siguiente manera

Donde representa la frecuencia circular del sistema generalizado y está dada por

Funciones de desplazamiento y propiedades generalizadas

2. EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES:

Un principio alternativo al método directo, empleado hasta ahora en la formulación de ecuaciones del movimiento, es el uso del principio de los trabajos virtuales. Puede ser aplicado a sistemas dinámicos, con el principio de D´ Alembert que establece el equilibrio dinámico mediante la inclusión de fuerzas de inercia en el sistema.

El principio de los trabajos virtuales puede ser expresado de la siguiente manera: “En un sistema que está en equilibrio, el trabajo de todas las fuerzas durante un desplazamiento hipotético es igual a cero”

3. MÉTODO DE RAYLEIGH:

Para un sistema sin amortiguación de vibración libre, la ecuación diferencial del movimiento puede ser obtenida aplicando el Principio de Conservación de la Energía: “Si no hay fuerzas externas actuando sobre el sistema, y no existe disipación de energía (amortiguación), la energía total del sistema permanece constante durante el movimiento y por lo tanto, su derivada es igual a cero.”

Dado un sistema elástico sin amortiguamiento, la máxima energía potencial en términos de la coordenada generalizada puede escribirse como

Y la energía cinética

De acuerdo con el principio de conservación de la energía, estos valores máximos deben ser iguales entre sí e iguales a la energía total del sistema. Por tanto, el método de Rayleigh consiste en determinar la frecuencia natural del sistema mediante la igualación de ambas energías máximas

Y el período es:

Multiplicando y dividiendo por y utilizando ,

La cual aparece en el artículo 32 del RNC-07.

EJERCICIO DE APLICACIÓN– MÉTODO DE RAYLEIGH

Calcule el periodo fundamental, la configuración del primer modo y la frecuencia natural de la estructura mostrada a continuación, usando el método de Rayleigh.

Solución

1. Selección de las fuerzas laterales

Las cargas laterales en el método de Rayleigh vienen dadas por las fuerzas de inercia, es decir, el producto de cada masa con su respectiva aceleración. Puesto que solo conocemos las masas, las fuerzas de inercia se escogen arbitrariamente, con valores descendentes desde las masas superiores hacia las inferiores.

Como en nuestro caso las propiedades de la estructura son similares en cada nivel, se asume que las aceleraciones, y por tanto las cargas inerciales, varían linealmente desde el nivel del techo. Dado que la magnitud de las fuerzas de inercia es irrelevante,

asumimos los valores de 8, 6, 4 y 2 kip para cada nivel (de las masas superiores a las inferiores) por conveniencia en los cálculos.

2. Cortante de piso

Empleando el método de las secciones, con las fuerzas de inercia como cargas externas, calculamos el cortante en cada uno de los niveles de la estructura. Dicho de una manera simple, el cortante en un nivel es igual a la suma de las fuerzas laterales en las masas superiores al mismo.

3. Desplazamientos relativos de cada nivel

De la ley de Hooke se tiene que el desplazamiento relativo de las masas es igual al cortante dividido por la rigidez del entrepiso.

4. Desplazamiento total de cada nivel

Es la acumulación de los desplazamientos relativos por cada nivel.

5. Función de forma

Se obtiene dividiendo los desplazamientos de cada nivel entre el máximo desplazamiento (el del nivel superior)

6. Masa generalizada

7. Fuerza generalizada

8. Período fundamental

9. Frecuencia natural

10. Configuración del primer modo de vibración

Resumen de los cálculos

METODO DE RAYLEIGH

Nivel K (k/in)m

(K*s^2/in) P (K) V (K) ∆ ( V/K) v Φ(mi)

(Φi^2) (Pi)(Φi)

4 0.23 8 0.3333 1 0.2300 8

  180 8 0.0444  

3 0.25 6 0.2889 0.8667 0.1878 5.2000

  180 14 0.0778  

2 0.25 4 0.2111 0.6333 0.1003 2.5333

  180 18 0.1000  

1 0.25 2 0.1111 0.3333 0.0278 0.6667

  180     20 0.1111 0.0000 0.0000 0.5458 16.4000

4. CONCLUSIONES:

- El método de Rayleigh consiste en calcular la frecuencia natural del sistema, igualando la energía cinética máxima con la energía potencial máxima.

- La aplicación del método de Rayleigh nos muestra que se puede obtener un mejor valor para la frecuencia natural.