Análisis Sísmico de Estructuras: Procedimientos de...

Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia

GMC

Analisis Sısmico de Estructuras:

Procedimientos de Calculo - Analisis en eldominio del tiempo y en el dominio de la

frecuencia

Jose M.a Goicolea

Depto. Mecanica de Medios Continuos y Teorıa de Estructuras

08/04/02

J.M. Goicolea Analisis Sısmico de Estructuras


Bibliografıa

♠ M Geradin, D. Rixen: Mechanical Vibrations, 2nd. ed.,

Wiley 1997.

♠ D.E. Newland: An introduction to random vibrations and

spectral analysis, 2nd. ed., Longman, 1984

♠ R.W. Clough, J. Penzien: Dynamics of Structures, 2nd.

ed., McGraw-Hill, 1993.

♠ J.L. Humar: Dynamics of Structures, Prentice-Hall, 1990.

♠ A.K. Chopra: Dynamics of Structures, Prentice-Hall,

1995.

♠ J. Miquel, A. Barbat: Estructuras sometidas a acciones

sısmicas: calculo por ordenador, CIMNE, Barcelona,

1988.



Metodos de solucion de las ecuaciones

dinamicas

Analisis modal

• Problemas lineales:

Mx + Cx + Kx = f(t)

• Calculo en el dominio del tiempo o de la frecuencia

• Estudio aleatorio

Integracion directa en el tiempo

• Caso general, no necesariamente lineal;

Mx + p(x, . . .) = f(t)

• Estudio determinista



Integracion directa en el tiempo

Resolucion, mediante discretizacion en el tiempo, de las

E.D.O. anteriores.

t0, t1, . . . , tn, tn+1, . . .

∆tn+1/2 = tn+1 − tn

Metodos explıcitos

• Conocidos (xn, xn) + ec. dinamica en tn =⇒ xn+1

• Condicionalmente estable (∆t ≤ ∆tcrit)

Metodos implıcitos

• Conocidos (xn, xn) + ec. dinamica en tn+1 =⇒ xn+1

• Incondicionalmente estable (∆t no limitado)



Metodos explıcitos: Euler

♥ Caso de 1 g.d.l.

xn+1 = xn + xn∆t

xn+1 = xn + xn∆t

• “forward” Euler (hacia delante): a partir de tn : → tn+1

• Error: ε = O(∆t) (orden 1).

♥ Caso de n g.d.l.

xn+1 = xn + M−1 · (fn − pn)∆t

• Matriz de masa concentrada (MIJ = mIδIJ , I no

sumado):

xn+1I = xn

I +fn

I − pnI

mI∆t

• ¡ecuaciones desacopladas para cada nodo!



Metodos explıcitos: diferencias centrales

♥ Caso de 1 g.d.l.

xn+1/2 = xn−1/2 + xn∆t

xn+1 = xn + xn+1/2∆t

• A partir de tn : → tn+1, pero velocidad en n + 1/2.

• Error: ε = O(∆t2) (orden 2).

♥ Caso de n g.d.l.

xn+1/2 = xn−1/2 + M−1 · (fn − pn)∆t

• Matriz de masa concentrada (MIJ = mIδIJ , I no

sumado):

xn+1/2I = x

n−1/2I +

fnI − pn

I

mI∆t

• ¡ecuaciones desacopladas para cada nodo!



Metodos explıcitos: Ciclo de calculo

1.— Fuerzas internas pn

a. elementos finitos:

p(e)ai =

∫Ω(e) σij

∂Na

∂xj︸︷︷︸Bja

dV,

((e) elemento, a nodo local, i, j comp.)

Ensamblaje: pAi = ANel

(e)=1p(e)ai

b. diferencias finitas:

pAi =∫

∂√A

σijnjdS

(A n.o de nodo global)

a

b

c

(e)

∂PA

A



Metodos explıcitos: Ciclo de calculo (2)

2.— nuevas coordenadas:

xnA =

fnA − pn

A

mA

xn+1/2A = x

n−1/2A + xn

A∆t

xn+1A = xn

A + xn+1/2A ∆t

3.— Deformaciones y gradientes

• Elementos Finitos:

εn+1/2ij =

12

na∑a=1

(x

n+1/2ja Na,i + x

n+1/2ia Na,j

)

• Diferencias Finitas:

εn+1/2ij =

12

(x

n+1/2i,j + x

n+1/2j,i

)




4.— calculo de tensiones

Ley constitutiva incrementalσ= F (ε, ε, . . .)

Con pequenas rotaciones,σ= σ;

con grandes rotaciones, termino corrector (p. ej. Jaumann):

σ =σ −σ · ω + ω · σ

σn+1 = σn + σn+1/2∆t

5.— Incremento del tiempo

tn+1 = tn + ∆t; n ← n + 1

si tn+1 < tfinal, volver al paso 1.




Observaciones:

Algoritmo Elemento por Elemento, todas las operaciones

se realizan a nivel local y no se necesita ensamblar

ninguna matriz de coeficientes global.

Sencillez y Robustez de los algoritmos.

Por limitacion del algoritmo, la informacion no puede

recorrer mas de un elemento cada ∆t. Si fısicamente la

velocidad de propagacion de las ondas es mayor

(c > h/∆t), entonces sera inestable.



Amortiguamiento en integracion explıcita

♠ Algoritmo con diferencias centrales:

xn+1/2 =(

M∆t

+C2

)−1 [(M∆t

− C2

)xn−1/2 + fn − pn

]

♠ Amortiguamiento de Ray-

leigh: Algoritmo desacoplado.

C = αM + βK

ζ =α

2ω+

βω

20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5

ζ

ω

rigidez (β)

masa (α)

Rayleigh



Estabilidad condicional en metodos explıcitos

♠ Intervalo de tiempo crıtico: debe ser ∆t < ∆tcrit.

♠ Mediante analisis en frecuencias se deduce la condicion

∆tcrit =2

ωmax,

donde ωmax es la frecuencia propia maxima del modelo.

♠ En la practica se traduce en la

Condicion de Courant:

∆tcrit =h

c

h : dimension mınima del elemento

c : velocidad propagacion ondas

(tiempo que tardan las ondas en re-

correr un elemento)

ch



Familia de metodos implıcitos β-Newmark

♦ Formulas de integracion:

xn+1 = xn +∫ tn+1

tn

x(τ) dτ

xn+1 = xn + ∆txn +∫ tn+1

tn

(tn+1 − τ)x(τ) dτ

♦ En funcion de los parametros (γ, β) se pueden proximar las

integrales como:

xn+1 = xn + (1− γ)∆txn + γ∆txn+1

xn+1 = xn + ∆txn + ∆t2(12− β)xn + ∆t2βxn+1



Metodo trapezoidal

♦ β-newmark con (β = 1/4, γ = 1/2): Aceleracion media

constante en el intervalo (n, n + 1)

a =(xn+1/2

)=

xn + xn+1

2.

xn+1 = xn +xn + xn+1

2∆t

xn+1 = xn + xn∆t +12xn + xn+1

2∆t2



Regla trapezoidal

♦ Caso lineal (sin amortiguamiento):

M · xn+1 + K · xn+1 = Fn+1

(4

∆t2M + K

)· xn+1 = Fn+1 + M ·

(4

∆t2xn +

4∆t

xn + xn

)

• Rigidez aparente: K = 4∆t2

M + K• Incondicionalmente estable

♦ Caso no lineal:

M · xn+1 + p(xn+1) = fn+1

Resolucion numerica (Newton): Rigidez tangente

Kt =∂p∂x

∣∣∣∣n+1

.



Metodo HHT-α

♠ Se basa en el metodo β-Newmark, pero promediando las

fuerzas elasticas, amortiguamiento y exteriores entre dos

instantes de tiempo sucesivos con un parametro α:

M · xn+1 + αp(xn) + (1− α)p(xn+1) = αfn + (1− α)fn+1

♠ Para α = 0 se recupera el metodo β-Newmark.

♠ Incondicionalmente estable si

α ∈ [0, 13 ], γ = 1

2 + α, β = 14 (1 + α)2.

♠ Para α 6= 0 introduce cierto nivel de amortiguamiento

numerico en las altas frecuencias. esto suele ser beneficioso

en la dinamica estructural, ya que las altas frecuencias

generalmente son erroneas y producen ademas problemas

numericos.



Caracterısticas Metodos Explıcitos

condicionalmente convergente =⇒ ∆t pequeno

pocas operaciones por cada ciclo

estructura sencilla del algoritmo. Fiable y Robusto.

ecuaciones desacopladas. No almacena matrices globales,

ni resuelve sistemas de ecuaciones simultaneas.

tamano memoria crece linealmente con modelo (decisivo

para 3D).

no sirve para calculos estaticos (salvo: relajacion

dinamica).

CLASE DE PROBLEMAS:

Problemas de dinamica rapida: propagacion de ondas,

frecuencias altas



Caracterısticas Metodos Implıcitos

incondicionalmente convergente =⇒ ∆t puede ser grande

mayor numero de operaciones por ciclo

estructura mas compleja del algoritmo. Menos robusto

para casos no lineales acusados (convergencia).

resuelve sistema de ecuaciones simultaneas, almacenando

matrices globales.

tamano memoria crece cuadraticamente con modelo.

Imprescindible solucion out of core para 3D.

sirve para calculos estaticos, haciendo M = 0.

CLASE DE PROBLEMAS:

Problemas de vibraciones inerciales: frecuencias mas

bajas



Desarrollo en Serie de Fourier

• Sistema lineal con excitacion periodica (g(t + nT0) = g(t)):

mx + cx + kx = g(t)

• Desarrollo en serie de Fourier: siendo Ω0 =2π

T0,

g(t) = a0 +∞∑

n=1

an cos(nΩ0t) +∞∑

n=1

bn sen(nΩ0t) (1)

• multiplicando (1) por cos(mΩ0t) o sen(mΩ0t) e integrando:

a0 =1T0

∫ T0/2

−T0/2

g(t) dt; an =2T0

∫ T0/2

−T0/2

g(t) cos(nΩ0t) dt; (2)

bn =2T0

∫ T0/2

−T0/2

g(t) sen(nΩ0t) dt (3)



Respuesta a una carga periodica

• Sistema lineal:

respuesta a carga combinada = combinacion de respuestas

• Suponemos que la carga periodica es indefinida:

regimen permanente.

• respuesta a carga armonica (sin amortiguamiento):

p(t) = p0 sen(Ωt) ⇒ u(t) = p01/k

1− β2sen(Ωt); (4)

p(t) = p0 cos(Ωt) ⇒ u(t) = p01/k

1− β2cos(Ωt) (5)

• respuesta a carga periodica g(t) desarrollada por (1):

u(t) =a0

k+

∞∑n=1

an1/k

1− β2n

cos(nΩ0t) +∞∑

n=1

bn1/k

1− β2n

sen(nΩ0t) (6)



Forma exponencial del desarrollo de Fourier

• Notacion exponencial compleja (eiθ def= cos θ + i sen θ):

sen(nΩ0t) =einΩ0t − e−inΩ0t

2i; cos(nΩ0t) =

einΩ0t + e−inΩ0t

2(7)

• Sustituyendo en desarrollo de Fourier (1):

g(t) = a0 +∞∑

n=1

aneinΩ0t + e−inΩ0t

2+

∞∑n=1

bneinΩ0t − e−inΩ0t

2i

= a0 +∞∑

n=1

einΩ0t

(an

2+

bn

2i

)+

∞∑n=1

e−inΩ0t

(an

2− bn

2i

)

=n=∞∑

n=−∞cneinΩ0t;

(cn =

1T0

∫ T0/2

−T0/2

g(t)e−inΩ0t dt

).

(8)



Respuesta a funcion periodica en forma

exponencial

• Respuesta a funcion armonica:

p(t) = p0einΩ0t ⇒ u(t) = p0H(nΩ0)einΩ0t (9)

H(nΩ0) =1/k

(1− β2n) + 2iζβn

, βn =nΩ0

ω0(10)

• Respuesta a funcion periodica g(t) (8):

u(t) =∞∑−∞

cnH(nΩ0)einΩ0t (11)



Respuesta a carga no periodica

g(t)

T0

t

• Funcion periodica ficticia incluyendo intervalo de ((silencio)).

∆Ω def= Ω0 =2π

T0; (T0 →∞ ⇒ ∆Ω → 0); nΩ0 = n∆Ω = Ωn

cn =1T0

∫ T0/2

−T0/2

g(t)e−iΩnt dt



Transformada de Fourier

• Al hacerse T0 →∞, la variable Ωn se vuelve continua:

G(Ωn) def= cnT0 =∫ T0/2

−T0/2

g(t)e−iΩnt dtT0→∞=⇒ G(Ω) =

∫ ∞

−∞g(t)e−iΩt dt

(transformada (directa) de Fourier)

• Por otra parte, el desarrollo en serie serıa:

g(t) =1T0︸︷︷︸

∆Ω/(2π)

∞∑−∞

G(Ωn)eiΩnt T0→∞=⇒ g(t) =12π

∫ ∞

−∞G(Ω)eiΩt dΩ

(transformada inversa de Fourier)



Calculo mediante la transformada de Fourier

a) Transformacion de g(t) al dominio de la frecuencia

G(Ω) =∫ ∞

−∞g(t)e−iΩt dt;

(g(t) =

12π

∫ ∞

−∞G(Ω)eiΩt dΩ

)(12)

b) Respuesta en el dominio de la frecuencia

H(Ω) ·G(Ω) (13)

c) Transformada inversa al dominio del tiempo

u(t) =12π

∫ ∞

−∞H(Ω)G(Ω)eiΩt dΩ (14)



Respuesta a impulso unidad

• carga instantanea (impulso): g(t) = δ(t),∫∞−∞ δ(t) dt = 1.

G(Ω) =∫ ∞

−∞δ(t)e−iΩt dt = 1;

h(t) =12π

∫ ∞

−∞H(Ω) · 1 · eiΩt dt

• Sabemos que:

h(t) =1

mωDe−ζω0t sen(ωDt); H(Ω) =

1/k

(1− β2) + 2iζβ

• Pareja de transformadas de Fourier:

h(t) ⇐⇒ H(Ω)



Respuesta a carga armonica

• carga armonica unitaria: g(t) = cos(Ω0t),

G(Ω) =∫ ∞

−∞cos(Ω0t)e−iΩt dt = 0 si Ω 6= Ω0;

lımΩ→Ω0

G(Ω) = ∞;∫ ∞

−∞G(Ω) dΩ = 1.

(delta de Dirac: G(Ω) = δ(Ω− Ω0))

• Respuesta mediante transformada de Fourier:

u(t) =∫ ∞

−∞H(Ω)δ(Ω− Ω0)eiΩt dΩ = H(Ω0)eiΩ0t

=1/k

(1− β20) + 2iζβ0

eiΩ0t

(β0 =

Ω0

ω0

)



Transformada discreta de Fourier

• Muestreo discreto con N intervalos iguales n = 0, . . . , N − 1:

∆t = T0/N ; t = 0, ∆t, 2∆t, . . . , (N − 1)∆t;

∆Ω =2π

T0=

2π

N∆t; Ω = 0, ∆Ω, 2∆Ω, . . . , (N − 1)∆Ω.

G(n∆Ω) =N−1∑

k=0

g(k∆t)e−ik∆tn∆Ω∆t =N−1∑

k=0

g(k∆t)e−2πikn/N∆t

g(k∆t) =12π

N−1∑n=0

G(n∆Ω)e2πikn/N∆Ω

• Respuesta:

u(k∆t) =12π

N−1∑n=0

G(n∆Ω)H(n∆Ω)e2πikn/N∆Ω (15)



Transformada rapida de Fourier (FFT) (I)

• Convolucion discreta en el tiempo (N2 FLOPsa):

u(k∆t) =N−1∑m=0

g(m∆t)h[(k −m)∆t]∆t

• Convolucion discreta en frecuencia (2N2 + 2N FLOPs):

G(n∆Ω) =N−1∑

k=0

g(k∆t)e−ik∆tn∆Ω∆t;

H(n∆Ω) =N−1∑

k=0

h(k∆t)e−ik∆tn∆Ω∆t

u(k∆t) =12π

N−1∑n=0

H(n∆Ω)G(n∆Ω)e2πikn/N∆Ω

aProductos de numeros reales (FLOP: Floating Point Operation)



Transformada rapida de Fourier (FFT) (II)

• J.W. Cooley & J.W. Tukey (1965): Algoritmo de calculo

para Transformada discreta, aprovechando propiedades

armonicas de las funciones.

• FFT (Fast Fourier Transform): En un principio para

N = 2γ, siendo γ ∈ N.

• FLOPsΩ: 4(

3N2 log2 N + N

)

N 2 8 32 128 1024

FLOPst/FLOPsΩ 0.20 0.36 0.94 2.78 16.00



Sistemas con n GDL: dominio de la frecuencia

M · q + C · q + K · q = s p(t) (16)

Sup. excitacion armonica, p(t) = eiΩt; La respuesta es

q(t) = HeiΩt;

(−Ω2M + iΩC + K) ·H = s

H(Ω) = (−Ω2M + iΩC + K)−1 · s

• Resolucion: 2n ecuaciones reales para calcular H para cada

valor dado de Ω. (Geradin: resolucion por descomposicion

espectral)

• Serie de Fourier o FFT: valido para carga cualquiera

• Necesario cuando parametros dep. de Ω (amort. histeretico)


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