Estudio sema ntico y sinta ctico del

Ca lculo Predicativo Cla sico Jonathan Julián Huerta y Munive1, Dr. Iván Martínez Ruiz1.

1Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas-BUAP.INTRODUCCIÓNHistoricamente el Calculo de Predicados surge como

resultado del trabajo de Gottlob Frege en su obra

titulada Begriffsschrift (Idiografía). Posteriormente,

Giuseppe Peano y Bertrand Russell divulgaron el trabajo

de Frege a otros matemáticos y filósofos haciéndolo uno

de los padres de la lógica moderna. Conceptualmente,

la Lógica Predicativa es un enriquecimiento del Calculo

Proposicional Clasico. Es un sistema formal con mayor

poder de expresividad y, más útil para el estudio de las

teorías matemáticas. De manera general se puede decir

que el Calculo de Predicados se diferencia del

Proposicional en que añade al lenguaje de éste último

los cuantificadores universal y existencial; las

constantes y variables proposicionales, adema s de

contener un conjunto de funciones y relaciones de n-

aridad. Como consecuencia, añade axiomas y reglas para

trabajar con estos nuevos símbolos. Los beneficios que

conllevan estas adiciones no vienen sin un costo, ya que

no es tan fácil corroborar la veracidad de una fórmula

en el Cálculo Predicativo como lo es para el

Proposicional por medio de tablas de verdad.

OBJETIVOSConstruir el lenguaje formal para las Lógicas Predicativas de

Primer Orden, verificar el concepto de satisfactibilidad para

una fórmula en este tipo de estructuras, enlistar los axiomas

básicos de un Cálculo de Predicados y deducir sus

propiedades y metateoremas tipicos como el teorema de

Lindembaum-Tarski, la prueba de Henkin para el teorema de

Completitud de Gödel, y el teorema de Löwenheim-Skolem.

METODOLOGÍASe consultaron diversas fuentes bibliográficas para obtener

las definiciones básicas y así demostrar los teoremas y

propiedades clásicos de un Cálculo Predicativo.

CONCLUSIONES• Se desarrolló la construcción del lenguaje del Cálculo de

predicados y se probaron varias propiedades del mismo, entre ellas

su lectura única.

• Se analizaron los conceptos de validez lógica y satisfactibilidad en

un cálculo de predicados.

• Se estudiaron varios meta-teoremas para la obtención de teoremas

y teorías del cálculo de predicados de primer orden.

• Se demostró que la teoría matemática del cálculo de predicados

de 1º orden es completa y consistente; no obstante, a diferencia del

cálculo proposicional, no existe un procedimiento efectivo para

determinar si una fórmula es teorema o no.

RESULTADOSSe probaron los siguientes meta-teoremas:

Teorema 1. Toda tautología es teorema del Cálculo de Predicados.

Teorema 2. Todo teorema es lógicamente válido.

Teorema 3. Si 𝜓 no depende de 𝜑 en la prueba de que Γ, 𝜑 ⊢ 𝜓, entonces

existe una prueba para Γ ⊢ 𝜓.

Teorema 4. (de la deducción) Si en una prueba de Γ, 𝜑 ⊢ 𝜓 no se aplicó

generalización a una prueba que dependa de 𝜑 sobre una variable libre de

𝜑 entonces hay una prueba de Γ ⊢ 𝜑 → 𝜓 .

Teorema 5. Si t es libre para x en 𝜑 entonces ∀𝑥 𝜑 𝑥 ⊢ 𝜑 𝑡 .

A continuación se enuncian los meta-teoremas más importantes

demostrados en la realización del proyecto de investigación y se da la

prueba conjunta del segundo y tercero:

Lema de Lindenbaum: Si K es una teoría consistente, entones existe una

extensión de ésta completa y consistente.

Teorema Fundamental de los Cálculos de Predicados de Primer Orden:

Toda teoría consistente tiene un modelo numerable.

Teorema de Completitud de Gödel: En cualquier cálculo de predicados

una fórmula 𝜓 es teorema si y sólo si es lógicamente válida.

Teorema de Löwenheim-Skolem: Toda teoría con un modelo también

tiene un modelo numerable.

Demostración:

Sea K una teoría consistente, por el 1º lema de Henkin, se cumple que

existe K´, teoría con chivo expiatorio y extensión de K que tiene una

cantidad numerable de términos cerrados. Por el lema de Lindenbaum, K´

tiene una extensión K’’ completa y consistente con los mismos símbolos

que K´ y, por ende, K’’ también es teoría con chivo expiatorio. Por el 2º

lema de Henkin, K’’ admite un modelo, 𝔄, cuyo dominio es el conjunto de

términos cerrados de K’’. Al ser 𝔄 modelo numerable de K’’, extensión de

K, 𝔄 también modela a K, con lo que se ha probado el primer teorema.

No es difícil revisar que Modus Ponens y Generalización preservan validez

lógica y que los axiomas son lógicamente válidos. De este modo todo

teorema también es fórmula lógicamente válida. Por otro lado si una

fórmula lógicamente válida no fuese teorema, se podría añadir a su

negación como axioma del cálculo de predicados y la teoría resultante

sería consistente, por lo que tendría un modelo. En este modelo se

satisfacerían la fórmula y su negación, lo cual es imposible. Por lo tanto

toda fórmula lógicamente válida es teorema y con esto se demuestra el

teorema de completitud de Gödel.

DESARROLLO DE LAS NOCIONES BÁSICASEl lenguaje formal del Cálculo de Predicados de 1º Orden

estudiado utiliza los siguientes símbolos:

• Símbolos de agrupación: (,),[,]

• Variables: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, …• Conectivos Lógicos: →,↔,∧,∨, ¬• Cuantificadores: ∀, ∃• Constantes: 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, …• Símbolos Funcionales: 𝑓1

1, 𝑓21, 𝑓3

1, … , 𝑓12, 𝑓2

2, 𝑓32, … , 𝑓1

𝑛, 𝑓2𝑛, …

• Símbolos Predicativos: 𝑃11, 𝑃2

1, 𝑃31, … , 𝑃1

2, 𝑃22, 𝑃3

2, …, 𝑃1𝑛, 𝑃2

𝑛 …

Y se construye de la siguiente forma:

i. Las variables y las constantes son términos.

ii. Un símbolo funcional de n-aridad seguido de “(“, n

términos y “)” es un término: 𝑓𝑘𝑛(𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛).

iii. Un símbolo predicativo de n-aridad seguido de “(“, n

términos y “)” es una fórmula bien formada (wff-well

formed formula) o elemento del lenguaje: 𝑃𝑘𝑛(𝑡1, … , 𝑡𝑛).

iv. Si 𝜑, 𝜓 son wffs y 𝑥 es una variable entonces 𝜑 → 𝜓 ,

𝜑 ↔ 𝜓 , 𝜑 ∧ 𝜓 , 𝜑 ∨ 𝜓 , ¬𝜑, ∀𝑥[𝜑], y ∃𝑥[𝜑] son wffs.

v. Ninguna otra cosa es un término o una wff.

Los axiomas del cálculo de predicados son las wffs que

tengan alguna de las siguientes formas:

1. (𝜑 → 𝜓 → 𝜑 )

2. 𝜑 → 𝜓 → 𝛾 → 𝜑 → 𝜓 → 𝜑 → 𝛾

3. ¬𝜑 → ¬𝜓 → ¬𝜑 → 𝜓 → 𝜑

4. ∀𝑥 𝜑 𝑥 → 𝜑 𝑡/𝑥 donde t es término y x, libre en 𝜑.

5. ∀𝑥 𝜑 → 𝜓 → 𝜑 → ∀𝑥 𝜓 si x no es libre en 𝜑.

x1, x2, x3,...x1, x2, x3,…

Las regla de inferencia son dos:

Modus Ponens: 𝜑, (𝜑 → 𝜓) ⊢ 𝜓Generalización: 𝜑 ⊢ ∀𝑥 𝜑

De manera práctica se dirá que una fórmula del lenguaje es satisfactible si

existe un “mundo” donde lo que enuncia la fórmula es verdadero.

Análogamente se dirá que una fórmula es lógicamente válida si es

verdadera en todos los mundos posibles. Una prueba es una lista finita

generada a partir de los axiomas, usando las reglas de inferencia. A la

última fórmula de cualquier prueba se le denominará teorema y a un

conjunto de teoremas se le llama teoría. Una de éstas es consistente si no

se cumple que una fórmula y su negación son ambos elementos de la

teoría, y es completa si al menos una de las dos es parte de la teoría para

toda posible wff del lenguaje. Si existe un mundo que satisfaga todas las

fórmulas de una teoría, se dirá que éste es modelo de la misma.