7/23/2019 Analisis numerico Metodo de Euler y euler mehorado

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6.2 Mtodos de un paso: Mtodo de Euler, Mtodo de Eulermejorado

En matemticaycomputacin, el mtodo de Euler, llamado as en honode Leonhard Euler, es un procedimiento de integracin numricapararesolver ecuaciones diferenciales ordinariasa partir de un valor inicial dado.

El mtodo de Euler es el ms simple de los mtodos numricosresolver un problema del siguien

tipo:

Consiste en multiplicar los intervalos ue va de a en subintervalos de ancho ! osea:

de manera ue se obtiene un con"unto discreto de puntos: del intervalo

interes . #ara cualuiera de estos puntos se cumlple ue:

.

La condicin inicial , representa el punto por donde pasa la curva

solucin

de la ecuacin de el planteamiento inicial, la cual se denotar como .

$a teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en ese punto! por lo tant

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Computaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Computaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferenciales_ordinariashttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Computaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferenciales_ordinariashttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

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%rafica &.

Con esta informacin se tra'a una recta, auella ue pasa por y de pendiente .

Esta recta apro(ima en una vecinidad de . )mese la recta como reempla'o de

y localcese en ella *la recta+ el valor de y correspondiente a . Entonces, podemos deducir seg

la %rfica &:

e resuelve para :

Es evidente ue la ordenada calculada de esta manera no es igual a , pues e(iste un

peue-o error. in embargo, el valor sirve para ue se apro(ime en el punto

y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesin de apro(imaciones

siguiente:

Mtodo de Euler Mejorado

Este mtodo se basa en la misma idea del mtodo anterior, pero hace un refinamiento en la apro

tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La frmula es la siguiente:

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onde

#ara entender esta frmula, analicemos el primer paso de la apro(imacin, con base en la siguie

grfica:

En la grfica, vemos ue la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta

bisectri' de la recta

tangente a la curva en el punto de la condicin inicial y la /recta tangente/ a la curva en el punto

donde es

la apro(imacin obtenida con la primera frmula de Euler. 0inalmente, esta recta bisectri' se

traslada paralelamente hasta el punto de la condicin inicial, y se considera el valor de

esta recta en el punto como la apro(imacin de Euler me"orada.