Instituto Politcnico Nacional

Anlisis matemtico para la solucin de problemas fsicos en la naturaleza.

Objetivo: Anlisis de expresiones matemticas para solucin de problemas fsicos.

Los fsicos han encontrado la manera de representar cuantitativamente los fenmenos fsicos por medio de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones pueden ser resueltas analticamente o a travs de mtodos numricos dependiendo de la complejidad del problema y tambin dependern de las condiciones iniciales y condiciones de frontera para la solucin. Para el siguiente ejemplo se analiza la cada libre. Para iniciar es necesario tener ciertas condiciones iniciales para la solucin de las expresiones. Se sigue el siguiente planteamiento:

Al lanzar una esfera en un tiempo inicial t(0) se obtienen los siguientes datos:

() (0) = 5 . (0) = 10 /

Donde como se sabe la aceleracin es de -9.81 m/s2 y es constante.

Para solucionar el problema es necesario encontrar la expresin matemtica que modele la cada libre, esto se hace a travs de clculo. Donde las condiciones iniciales son interpretadas como las siguientes:

() = . () =

= = .

() = 22

=

= . Primero se calcula la expresin para la velocidad en cualquier punto partiendo de la aceleracin.

2

2= 9.81

Cambiando la variable:

2

2=

= 9.81

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Aplicando el mtodo de solucin de ecuaciones diferenciales de separacin de variables:

= 9.81 + 1 =9.81 + 2

= 9.81 + 2 1 Donde (2 1)= 3 y obteniendo as

() = 9.81 + 3

Aplicando nuestra condicin inicial de la velocidad en la ecuacin anterior en t (0):

(0) = 9.81(0) + 3 10 = 9.81(0) + 3 3 = 10

Por lo tanto finalmente encontramos la expresin para la velocidad en cada libre de la esfera con respecto al tiempo:

() = 9.81 + 10

Posteriormente al haber obtenido la expresin anterior se calcula el desplazamiento (Cada libre):

() = 9.81 + 10 Cambiando la variable:

=

= 9.81 + 10

Aplicando separacin de variables

= (9.81 + 10) + 4 =(9.81 + 10) + 5

+ 4 = 4.9052 + 10 + 5

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Donde (5 4)= 6 y obteniendo as: = 4.9052 + 10 + 6

Aplicando nuestra condicin inicial de y (0) en t (0):

(0) = 4.905(0)2 + 10(0) + 6 5 = 4.905(0)2 + 10(0) + 6 6 = 5

Finalmente obtenemos la expresin para cada libre de una esfera con respecto al tiempo:

() = 4.9052 + 10 + 5

Despus de tener las ecuaciones anteriores se programaron en Matlab para poder elaborar las grficas y de esta manera se representan los datos de manera ms adecuadas dndoles valores con respecto al tiempo.

Figura 1. Grafica conjunta de cada libre, velocidad y aceleracin.

Conclusin.

En esta sencilla publicacin se demostr la manera de obtener valores numricos a partir de expresiones matemticas (ecuaciones diferenciales), aplicando los mtodos de solucin necesarios y usando los datos obtenidos muchas veces por experimentacin. Tambin va orientado al entendimiento matemtico y modelado sencillo para representar fenmenos en la naturaleza.

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