ANALISIS MATEMATICO I (2016)mate.unlp.edu.ar/practicas/48_3_22122016082246.pdf · tln2( ) dt d) Z...

ANALISIS MATEMATICO I (2016)Clase 23

Actividad 1. Hallen el polinomio de Taylor centrado en x = 0 de orden 3 para cada una de las siguientesfunciones.

a) f(x) = e−x b) f(x) = x2e−x c) f(x) =1

x+ 1d) f(x) = arctan(x)

Usando GeoGebra grafiquen las funciones anteriores y los polinomios de Taylor calculados.Utilicen el comando

PolinomioTaylor[ <Funcion>, <Valor de x0>, <Orden> ]

para comprobar los resultados.

Actividad 2. Consideren las funciones f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x).

a) Encuentren las expresiones de sus polinomios de Taylor de orden n de f alrededor de x = 0.

b) En cada funcion, hallen una cota para el error de aproximacion en el intervalo [0, π] en terminos de n.

Actividad 3. Utilicen un polinomio de Taylor de la funcion f(x) = ex alrededor de x = 0 para

a) Calcular el valor del numero e con un error menor que 10−5.

b) Calcular el valor de 4√e con un error menor que 10−3.

Actividad 4. Hallen el polinomio de Taylor de orden 4 alrededor de x = 1 para la funcion f(x) = ln(x).Utilicen este polinomio para aproximar ln(9/10) y acotar el error cometido.

Actividad 5.

a) Recontruyan el polinomio f(x) de grado 3 del que sabemos que

f(0) = 2 f ′(0) = f ′′(0) = 6 f ′′′(0) = −12

b) Sea f(x) un polinomio de grado 2 tal que f(2) = −1, f ′(2) = 3 y f ′′(2) = 4. Expresen f(x) enpotencias de (x− 2) , y luego en la forma habitual, es decir en potencias de x .

c) Utilizando el desarrollo de Taylor, escriban p(x) = x4 − x3 + 2x2 − 3x + 1 como un polinomio enpotencias de x− 1.

d) Si p es un polinomio de grado n. Para m ≥ 1, ¿cual es el polinomio de Taylor de orden m alrededorde x = 0?

Actividad 6. Calculen los siguientes lımites.

a) lımx→0

ln(1 + x)− xx2

b) lımx→0

ex − cos(x)

xc) lım

x→0

√ex − x− 1

x

Actividad 7. Sea f : (−1,+∞)→ IR definida por f(x) = (1 + x)r, siendo r un numero real fijo.

a) Demuestren que cerca de x = 0, la funcion f puede aproximarse con primer orden por 1 + rx, y con

segundo orden por 1 + rx+r(r − 1)

2x2.

1

b) Estimen el valor de√

1, 1 a orden 2, eligiendo valores adecuados de r y de x. Calculen una cota para

el error cometido y verificar con el valor de√

1, 1 que arroja la calculadora.

Actividad 8. Utilizando un desarrollo de Taylor, encuentren para que valores de a > 0 el lımite

lımx→0

sen(x)− x+x3

6xa

es finito.

Actividad 9. (Actividad optativa) Hallen los siguientes lımites:

a) lımx→0

cos(sen(x))− cos(x)

x2

b) lımx→1

ln(x)

x2 + x− 2

c) lımx→π/4

cos(x)− sen(x) +√

2(x− π/4)

(x− π/4)3

2


Actividad 1. Encuentren la suma superior y la suma inferior para f(x) = 3x2 + 3, 0 ≤ x ≤ 3, conside-rando una particion de 6 intervalos con igual longitud.Es posible chequear los resultados usando los comandos del Geogebra:

SumaSuperior[ <Funcion>, <Extremo izquierdo>, <Extremo derecho>, <Numero de rectangulos> ]

SumaInferior[ <Funcion>, <Extremo izquierdo>, <Extremo derecho>, <Numero de rectangulos> ]

Actividad 2.

Consideren el esquema de la derecha y respondan:

a) ¿Cuales son los valores de ∆x, x0, n?

b) ¿Corresponde a una suma superior o inferior?

c) Si tomaramos f(x) =1

5x2 − x. ¿Cual serıa el valor de la suma

planteada?

Actividad 3. Determinen, usando formulas conocidas para calcular areas, el area encerrada por la graficade la funcion f y el eje x, en el intervalo que se indica. Escriban en la notacion de integrales.

a) f(x) = 2− x en [0, 2] b) f(x) =

3− 2x si − 2 ≤ x ≤ 0

3 si 0 < x ≤ 2en [−2, 2]

c) f(x) =√

1− x2 en [0, 1]

Actividad 4. Sea g(x) =

∫ x

−2

f(t)dt con x ∈ IR, siendo f la funcion dada por el siguiente grafico.

Calcular g(−2), g(0), g(1), g(2), g(3), g(4).

1

Actividad 5. Sean f y g dos funciones integrables tales que

a)

∫ 4

0

8f(x)dx = 6 y

∫ 4

0

g(x)dx = 9, calculen

∫ 4

0

(4f(x) +

2

3g(x)

)dx

b)

∫ 0

−8

(8f(x)− 5g(x)) dx = 12,

∫ 0

−8

g(x)dx = 5 y

∫ 0

−3

f(x)dx = 3, calculen

∫ −3

−8

f(x)dx

Actividad 6. Calculen

∫ 4

−4

|x| dx y comparen con

∣∣∣∣∫ 4

−4

x dx

∣∣∣∣. Verifiquen geometricamente la respuesta.

Actividad 7. Dada la funcion f(x) =

∫ x

0

e−t2 dt,

a) Usando la propiedad de monotonıa de la integral, muestren que1

e≤ f(1) ≤ 1.

b) Usando la desigualdad et ≥ 1 + t. Probar que para x ≥ 0 se cumple

∫ x

0

e−t2 dt ≥ x− x3

3.

2


Actividad 1. Determinacion de cotas para una integral

a) Muestren que

∫ 1

0

√1 + cos(x) dx es menor que 3

2 .

b) Encuentren alguna cota superior y alguna cota inferior para

∫ 1

0

1

1 + x2dx.

c) Muestren que

∫ 2

0

sen(x2) dx no puede ser 3.

Actividad 2. Verifiquen quex|x|

2es una primitiva de |x|.


a)

∫ 4

1

t6 − t2

t4dt b)

∫ π

0

sen(x) + 2 cos(x) dx c)

∫ π2

−π2

| sen(x)| dx

d)

∫ ln(6)

ln(3)

8ex dx e)

∫ π4

0

1

cos2(x)dx f)

∫ π/6

0

1

1 + x2dx

g)

∫ −1−5

1

xdx h)

∫ 2

1/2

√x dx i)

∫ √32

12

1√1− x2

dx

Actividad 4. Dada la funcion f(x) =

∫ x

0

e−t2

dt

a) Encuentren el polinomio de Taylor de orden 2 de f centrado en x0 = 0.

b) Utilicen el polinomio encontrado para calcular en forma aproximada el valor de

∫ 1

0

e−t2

dt.

c) Encuentren una cota para el error cometido en la aproximacion.

Actividad 5. Consideren las funciones f(x) =

∫ x

0

sen(t2) dt y g(x) = x3.

Calculen (g ◦ f)′(x) y (f ◦ g)′(x).

Actividad 6. Elijan la afirmacion correcta (justificar la eleccion).

a) La derivada de g(x) =

∫ x

1

(t2 + 1)8dt es:

A) g′(x) = (x2 + 1)8 B) g′(t) = (t2 + 1)8 C) g′(x) =

∫ x

1

8(t2 + 1)72t dt

b) La derivada de g(x) =

∫ x3

0

sen4 (t) dt es:

A) g′(t) = cos4 (t3) B) g′(x) = sen4 (x3)3x2 C) g′(x) = cos4 (x3)x2

1

c) La derivada de g(t) =

∫ 1

5t+3

u2 sen2(u) du es:

A) g′(u) = u2 sen2(u) B) g′(t) = −5(5t+ 3)2 sen2(5t+ 3) C) g′(t) = −5t2 sen2(t)

Actividad 7. (Actividad optativa) Muestren que la funcion no tiene primitiva en el intervalor (−1, 1).

f(x) =

0 si x 6= 0,

1 si x = 0.

Decidan si la funcion es integrable o no.

Actividad 8.(Actividad optativa) Considerar la funcion F (x) =

∫ sen(x)

− cos(x)

1√1− t2

dt

a) Graficar F en el intervalo [π

6,π

3].

b) Graficar F en el intervalo [−π3,−π

6].

2


Actividad 1. Encuentren las primitivas indicadas usando el metodo de sustitucion:

a)

∫5

2

(x2− 7)4

dx b)

∫z

1 + z2dz c)

∫sen7(x) cos(x) dx

d)

∫v sen(2v2) dv e)

∫25

(6x− 2)5dx f)

∫sen2(x) dx

g)

∫1

z2sen2(

1

z) dz h)

∫sen(2t + 1)

cos2(2t + 1)dt i)

∫du√

5u + 9

j)

∫1

ln(s) sds k)

∫e−3x dx l)

∫1

1 + z2

4

dz

m)

∫ex

e2x + 1dx n)

∫ √1 +√x dx n)

∫x2√

1− x dx


a)

∫ π/2

π/4

cos(w)

sen3(w)dw b)

∫ 1

−1r√

1− r2 dr c)

∫ 1

0

1√xe−√x dx

d)

∫ 0

−1

e2x

3√

1 + e2xdx e)

∫ 3

−3

1

x2 + 9dx f)

∫ 0

−π/4tan(u) sec2(u) du

Actividad 3. Supongan que F (x) es una antiderivada de la funcion f(x) =sen(x)

xpara x > 0. Expresen

∫ 3

1

sen(2x)

xdx

en terminos de F .

1


Actividad 1. Encuentren las primitivas indicadas usando el metodo de integracion por partes:

a)

∫x cos(x) dx b)

∫arctan(ω) dω c)

∫x2e3x dx

d)

∫ln(x)

x2dx e)

∫arc sen(x) dx f)

∫e2θ sen(3θ)dθ

g)

∫ln(u) du h)

∫x arctan(x) dx i)

∫sen2(w) dw


a)

∫ 2

1

√x ln(x) dx b)

∫ π/4

0

θ

cos2(θ)dθ c)

∫ 2

1

t ln2(t) dt d)

∫ 1/2

0

√1− x2 dx

Actividad 3. Calculen la integral

∫ 3

−1

t3(4 + t3)−1/2dt sabiendo que

∫ 3

−1

(4 + t3)1/2dt = 11, 35.

Actividad 4. Sea In =

∫ 1

0

(1 − x2)n dx. Demuestren que (2n + 1)In = 2nIn−1, y utilicen esta relacion

para calcular I2, I3, I4 y I5 a partir del valor de I1.

1


Actividad 1. Encuentren las primitivas indicadas usando el metodo de fracciones simples:

a)

∫1

x2 − x− 6dx b)

∫1

(x+ 1)(x2 + 1)dx c)

∫x

(x+ 1)(x+ 2)2dx


a)

∫ 1

0

x3 − 4x− 10

x2 − x− 6dx b)

∫ π2

0

cos(t)

6− 5 sen(t) + sen2(t)dt c)

∫ −π3

−π2

1

sen(x)dx

Actividad 3.

a) Verifiquen que, para x ∈ (−π, π), haciendo la sustitucion u = tan(x

2

)se obtienen las siguientes

relaciones:

i) du =1

2 cos2(x2

) dx ii) cos(x

2

)=

1√u2 + 1

iii) sen(x

2

)=

u√u2 + 1

iv) cos(x) =1− u2

1 + u2v) sen(x) =

2u

1 + u2vi) dx =

2

1 + u2du

b) Usando lo anterior, calculen ∫ π2

0

1

3 sen(x) + 4 cos(x)dx

1


Actividad 1. Calculen las siguientes integrales:

a)

∫ √1− x2 dx b)

∫ 1

0

√1 + x2 dx c)

∫ 2

1

√x2 − 1 dx d)

∫ √x2 + 2x dx

Actividad 2. Calculen las siguientes integrales:

a)

∫ 1

−1

ex 2x dx b)

∫ √1 + x

1− xdx c)

∫x

1− 4x4dx d)

∫ 2

1

arctan(x)

x2dx

Actividad 3. Dada f una funcion integrable en el intervalo [−a, a], demuestren:

a) Si f es par, entonces

∫ a

−a

f(x) dx = 2

∫ a

0

f(x) dx.

b) Si f es impar, entonces

∫ a

−a

f(x) dx = 0.

Actividad 4. Demuestren que si f es periodica de perıodo a y continua, entonces∫ a

0

f(x)dx =

∫ b+a

b

f(x) dx para todo b ∈ R

Sugerencia: demuestren que

∫ t+a

t

f(x) dx no depende de t.

Actividad 5. Muestren que si f y g son continuas en [a,b], g positiva, entonces∫ b

a

f(x)g(x) dx = f(η)

∫ b

a

g(x) dx, para algun η ∈ (a, b).

1


Actividad 1. Calculen el area comprendida entre las graficas de:

a) y = x, e y = x3 b) y = xex e y = 2x c) x = 3− y2 e x = y + 1

Actividad 2. Sean f(x) = x − x2 y g(x) = ax. Determinar a para que la region delimitada por lasfunciones f y g tenga area 9/2.

Actividad 3. Calculen la longitud del arco de las siguientes curvas

a) y = x32 desde el origen hasta el punto de coordenadas (4,8).

b) y = ex entre x = 1 y x = 2.

Actividad 4. Calculen el volumen del solido generado por:

a) la region acotada por f(x) =√x con x en el intervalo [0, 4] al rotar alrededor del eje x.

b) la region acotada por las graficas de y =√x e y = x2 al girar alrededor del eje x.

Actividad 5. Calculen el volumen del solido generado al girar alrededor del eje y la region acotada porlas ecuaciones y = 6− 3x e y = 0 y x = 0.

Actividad 6. Hallen la formula del volumen de un cono de altura h y radio de la base r.

Actividad 7. Hallen el volumen del toro obtenido al rotar la circunferencia x2 + (y − b)2 = 1 alrededordel eje x (suponer b ≥ 1).

1

Actividad 8. Un cable electrico que cuelga de dos torres distantes a 200 mts adopta la forma de unacatenaria de ecuacion (ver la figura)

y = 75(ex/150 + e−x/150) = 150 cosh(x/150)

Calculen la longitud del cable entre las dos torres.

Actividad 9. Calculen el valor de a > 0 de tal manera que el sector parabolico OAB de la figura tengaarea mınima. El punto B es la interseccion de la parabola y = x2 con su normal en el punto A = (a, a2).

Actividad 10.Sea f : IR+ → IR definida por f(x) = xα pudiendo ser α cualquier numero real mayor a 1.La region Rα esta delimitada por la grafica de f , la recta tangente a la grafica de f en x = 1 y el eje x.¿Para que valor de α la region Rα tiene la mayor area posible?

2


Actividad 1. Estudien para que valores de s convergen y para cuales no, las integrales impropias.

a)

∫ 1

0

dx

xsb)

∫ +∞

1

dx

xs

Actividad 2. Averiguen si las siguientes integrales impropias convergen, y en caso afirmativo calculensu valor:

a)

∫ +∞

0

x

1 + x2dx b)

∫ +∞

0

x

1 + xdx c)

∫ 1

−1

x√1− x2

dx

d)

∫ 0

−∞ex√ex + 1 dx e)

∫ 1

0

ln(x)√xdx f)

∫ π/2

0

tan(θ)dθ

Actividad 3.

a) Muestren que

∫ +∞

0

e−x cos2(x) dx y

∫ 1

0

| ln(x)|1 + x2

dx son convergentes.

b) Muestren que para cualquier n ∈ N ,

∫ 1

0

| ln(x)|n

xdx es divergente.

Actividad 4. Analicen la convergencia de

a)

∫ +∞

1

1

1 + x6dx b)

∫ +∞

1

x2 − x+ 4

x7/2 + 6x+ 1dx c)

∫ e

1

1

ln(x)dx

d)

∫ +∞

1

(1

x− 1

1 + x

)dx e)

∫ 1

0

1√sen(x)

dx f)

∫ +∞

1

x−xdx

Actividad 5. Determinen si las siguientes integrales impropias son convergentes o divergentes.

a)

∫ +∞

−∞x e−x

2

dx b)

∫ +∞

1

1

x ln(x)dx c)

∫ 1

−1

1

x2dx

Actividad 6. Usando desarrollos de Taylor adecuados, determinen cuales de las siguientes integralesimpropias convergen. En caso afirmativo, calculen el valor de la integral con un error menor a 10−2.

a)

∫ 1

0

sen(x)

x3/2dx b)

∫ 1

0

ln(1 + x)

x2dx

Actividad 7. Hay funciones que no tienden a cero en el infinito cuya integral impropia resulta conver-

gente. Por ejemplo, prueben que

∫ +∞

0

sen(x2) dx resulta convergente.

Actividad 8.(Actividad optativa) Se sabe que f es una funcion derivable en el intervalo [1,+∞) y quesu derivada esta acotada en ese intervalo. Muestre que si la∫ +∞

1

|f(x)| dx

es convergente entonces lımx→+∞

f(x) = 0.

1


Actividad 1. Escriban los primeros 8 terminos de las sucesiones formadas por

a) los numeros naturales impares

b) la suma de cada numero natural con su cuadrado

Actividad 2. Completen los dos terminos que faltan en las siguientes sucesiones y hallen el terminogeneral de las mismas.

a) 13, 17, 21, , 29, 33, , 41, 45,...

b) 1, 8, 27, , 125, , 343,...

c) 1, 3, 6, 10, , 21, 28, , 45, 55,...

Actividad 3. Hallen el termino general de las siguientes sucesiones y demuestren, en cada caso, que lasmismas son monotonas y acotadas.

a)1

2,

2

3,

3

4, . . . b) 1,

1

2,

1

4,

1

8, . . .

c) 1,√

2,3√

3,4√

4, . . . d) 1,2!

22,

3!

33,

4!

44, . . .

Actividad 4. Dadas las siguientes sucesiones

a) an =10n

n!b) bn =

√n+ 1−

√n

Decidan si la misma es monotona a partir de algun termino y calculen lımn→∞

an y lımn→∞

bn.

Actividad 5. Muestren que la sucesion

√2,

√2 +√

2,

√2 +

√2 +√

2, ...

es convergente y calculen su lımite. Pista: noten que an+1 =√

2 + an.

Actividad 6. Muestren que

lımn→∞

(1√

n2 + 1+

1√n2 + 2

+ · · ·+ 1√n2 + n

)= 1

Sugerencia: Comparen cada termino de la suma con el primero y el ultimo.

Actividad 7. Decidan si la sucesion an =n√n

nes convergente. En caso afirmativo calculen el valor lımite.

Actividad 8.

a) Sea an una sucesion convergente cuyos terminos caen todos en el intervalo [0,1]. Demuestren que ellımite de la sucesion pertenece a dicho intervalo.

b) Muestren que la afirmacion anterior resulta falsa si se sustituye el intervalo [0, 1] por (0, 1).

1

Actividad 9. Calculen, por definicion, el lımite de la sucesion xn =ln(n)

n. Sugerencia: prueben que

ln(n) <√n para todo n ≥ 4.

Actividad 10. Sea a1 = 2 y an+1 = a2n para cada n ∈ IN. Demuestren que {an}n∈IN diverge a +∞.

Actividad 11. Utilizando sucesiones, muestren que

a) la funcion f(x) = cos(πx

)tiene una discontinuidad no evitable en x = 0

b) la funcion f : [−1, 1]→ IR definida por

f(x) =

{x si x es racional0 si x es irracional

es continua en x = 0 y discontinua en todos los otros puntos de su dominio.

Actividad 12. Determinen cotas superiores e inferiores para los siguientes conjuntos y encuentren elsupremo y el ınfimo. Digan en que casos existe el maximo y el mınimo del conjunto.

a) (0, 1] b)

{1

n: n ∈ IN

}c)

{1 + (−1)n +

(−1)n

n: n ∈ IN

}

Actividad 13. Metodo de Newton (Actividad Opcional)La formula recursiva

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)

permite encontrar soluciones aproximadas a la ecuacion f(x) = 0.

¿Como utilizarıan el metodo para calcular7√

2? ¿Como podrıan asegurar, y bajo que condiciones, que elmetodo converge a la solucion exacta?

2

ANALISIS MATEMATICO I (2016)Clases 33 y 34

Actividad 1. Hallen la suma de las series:

a) 1 +1

3+

1

9+

1

27+ . . . b)

∞∑i=0

1

7i/2c)

∞∑j=0

1

5j−1d)

∞∑n=1000

(13

15

)n

Actividad 2. Analicen para que valores de s ∈ IR converge la serie

∞∑n=1

1

ns

Actividad 3. ¿Las siguiente series convergen:?

a)

∞∑n=1

ln2(n)

n3b)

∞∑n=0

n2

n4 + 1c)

∞∑n=2

n2

n2 − 1

d)

∞∑n=0

arctan(n)

n2 + 1e)

∞∑n=0

n2e−n f)

∞∑n=1

n!

nn

Actividad 4. Dada la serie

∞∑n=1

n

(n+ 1)!

a) Hallen una expresion general para la suma parcial N -esima. Pista:n

(n+ 1)!=

1

n!− 1

(n+ 1)!

b) Decidan si la serie converge, y en caso afirmativo calculen el valor de la serie.

Actividad 5.

a) Calculen el valor exacto de

∞∑n=1

1

n(n+ 1).

b) Calculen el valor exacto de

∞∑n=1

2

n(n+ 1)(n+ 2).

Actividad 6. Dada la serie

∞∑n=2

1

n(lnn)α

a) ¿Para que valores de α ∈ IR resulta convergente?

b) Para α = 2, hallen cuantos terminos de la serie deben sumarse para aproximar el valor lımite de laserie con un error menor que 10−3.

Actividad 7. Sea {un}n una sucesion de terminos positivos.

a) Si

∞∑n=1

un converge, muestren que

∞∑n=1

upn tambien converge si p > 1.

b) Si

∞∑n=1

un diverge, muestren que

∞∑n=1

upn tambien diverge si p < 1.

1

c) Demuestren que

∞∑n=1

un converge si y solo si

∞∑n=1

un1 + un

converge.

Actividad 8. Averiguen si las series son convergentes y si son absolutamente convergentes:

a)

∞∑n=1

(−1)n(

1 +1

n

)−nb)

∞∑n=1

(−1)n

2n+ 1c)

∞∑n=2

(−1)n

ln(n)

d)

∞∑n=0

(−1)n(√n+ 1−

√n)

e)

∞∑n=1

(−1)n+1

√n

n+ 1f)

∞∑n=0

(−1)nn+ 1

n!2n

Actividad 9. Aproximen los lımites de las siguientes series con error menor que 10−3:

a)

∞∑n=1

(−1)n

n4b)

∞∑n=1

(−1)nn

2nc)

∞∑n=0

n2

2nd)

∞∑n=1

5n

n!.

Para tener en cuenta:

Si {an}n≥1 satisface las condiciones del Criterio de Leibnitz, entonces |∞∑n=1

an −N∑n=1

an| < aN+1.

Si f(x) una funcion positiva, monotona y no creciente, entonces

M∑k=n+1

f(k) ≤∫ M

n

f(x) dx.

Si la sucesion de terminos positivos {xn}n≥1 cumplexn+1

xn≤ ρ < 1 para todo n ≥ n0, entonces

∞∑k=n

xk ≤ xn0

ρn−n0

1− ρ, si n ≥ n0

Actividad 10.(Actividad optativa) Estudien la convergencia de las siguientes series:

a)√

2 +

√2−√

2 +

√2−

√2 +√

2 +

√2−

√2 +

√2 +√

2 + . . . b)

∞∑n=1

(a1/n − b1/n + c1/n

2

), a, b, c ∈ IR+.

Actividad 11.(Actividad optativa) El fractal llamado Triangulo de Sierpinski es el conjunto de puntosque permanecen despues de reiterar el proceso indicado en la figura infinitas veces. Se parte de un trianguloequilatero solido. En cada paso, cada triangulo solido es dividido en cuatro triangulos equilateros de igualtamano (usando los puntos medios del mismo) y se elimina el triangulo que queda invertido en el medio.Calcular el area del Triangulo de Sierpinski. ¿Cuanto vale el perımetro?

2


Actividad 1. Hallen el radio de convergencia de las siguientes series de potencias

a)

∞∑n=0

nxn b)

∞∑n=1

(xn

)nc)

∞∑n=1

nn

n!xn

d)

∞∑n=2

xn

ln(n)e)

∞∑n=1

(x− 5)n

n24nf)

∞∑n=1

(x− 1)2n

3n

Actividad 2. Dada f(x) =

∞∑n=0

x2n

(2n)!, calculen su radio de convergencia y muestren que f ′′(x) = f(x).

Actividad 3. Prueben las siguientes identidades diferenciando o integrando (segun convenga) series desumas conocidas.

(a)1

(1− x)2=

∞∑n=1

nxn−1 ∀x : |x| < 1 (b) − ln(1− x) =

∞∑n=0

xn+1

n+ 1∀x : |x| < 1

Actividad 4. Dada la serie f(x) =

∞∑n=1

xn

(n− 1)!. Hallen su intervalo de convergencia y muestren que se

satisface x(f ′(x)− f(x)) = f(x).

Actividad 5. Encuentren la serie de Taylor de las siguientes funciones indicando su radio de convergencia.

a) f(x) = ex b) g(x) = cos x c) h(x) = sen x d) F (x) = ln(1 + x)

Actividad 6. Calculen la region de convergencia y la funcion suma de

a) 1− x+x2

2!− x3

3!+ ... b) 1− x3 + x6 − x9 + ...

c)x2

2 · 1− x3

3 · 2+

x4

4 · 3− x5

5 · 4+ ... d) 1 + 2(x− 1) + 3(x− 1)2 + 4(x− 1)3 + ...

e)

∞∑n=0

(n+ 1)xn

n!f) x− x3

3+x5

5− x7

7+ · · ·

Actividad 7. Mediante desarrollos de Taylor adecuados verifiquen las siguientes igualdades.

a)

∞∑n=0

2n

n!= e2 b)

∞∑n=1

(−1)n−1

n= ln(2)

c)

∞∑n=1

(−1)n−1

n2=

∫ 1

0

ln(1 + x)

xdx d)

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1=π

4

1

Actividad 8. Dadas las series

∞∑n=0

(1− x)xn y

∞∑n=0

(−1)nxn(1− x).

a) Hallen el dominio de convergencia.

b) Hallen la funcion lımite y analicen su continuidad en [0, 1].

Actividad 9. (Actividad optativa) Sea f(x) =

{e−1/x

2

si x 6= 00 si x = 0

. Demuestren que existe la serie

formal de Taylor alrededor de x0 = 0 , pero que no converge hacia la funcion dada para ningun x 6= 0.

Actividad 10.(Actividad optativa) Sea

f(x) =

∞∑n=

anxn = 1 + x+ 2x2 + 3x3 + 5x4 + · · ·

donde los coeficientes an corresponden a la sucesion de Fibonacci: an+2 = an+1 + an, a0 = a1 = 1.

a) Muestren que, suponiendo que x pertenece al intervalo de convergencia, entonces f(x) =−1

x2 + x− 1

Sugerencia: muestren que f(x)− x f(x)− x2 f(x) = 1

b) Encuentre la forma general de los coeficientes an con ayuda del inciso anterior descomponiendo f(x)en fracciones simples.

2


Actividad 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales con el metodo de variables separables.Indicar, cuando sea posible, el dominio de las soluciones encontradas y esbozar sus graficas.

a) y′ = 3x2(1 + y2)

b) y′ =ex

ey

c) y′(y − 1) = x.

Actividad 2. Resolver los siguientes problemas de valores iniciales.

a)

{x2y′ = yy(1) = −1

b)

{y′ = cos2(y)

y(0) =π

4

Actividad 3. Las siguientes EDOs se pueden convertir mediantes un cambio de variables a EDOs devariables separables. Resolver:

a)

{y′ = y + xy(0) = 8

b) (x− 2y)(1− 2y′) = 1.

Actividad 4. Una EDO de primer orden se dice de tipo homogenea cuando puede escribirse como:M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, donde M y N son funciones homogeneas del mismo orden α, es decircumplen:

M(tx, ty) = tαM(x, y) N(tx, ty) = tαN(x, y)

Mediante el cambio de variables u = y/x (tambien sirve u = x/y) este tipo de ecuaciones se transformanen ecuaciones de variables separables.

Resolver:

a) (x+ y)2dx− 2x2dx = 0.

b) y′ = arctan(x/y).

Actividad 5. Encontrar la solucion de las siguientes EDOs lineales de primer orden

a) xy′ − 2y = x2

b) y′ + y/x = 3x+ 4

c) y′ − y = cosx

d) y′ + 5y = e5x

Actividad 6. Resolver los siguientes problemas de valores iniciales.

a)

{y′ = 4yy(1) = 2

1

b)

{y′ = 4y + xy(0) = −3

Actividad 7. Se llaman ecuaciones de Bernoulli a aquellas de la forma y′ + P (x)y = Q(x)yα, α 6= 1.Una manera de resolverlas es transformarlas a EDOs lineales mediante el cambio de variables z = y1−α.Hallar la solucion general de las siguientes ecuaciones de Bernoulli

1. y′y − 2y2 = ex

2. y′ + 3x2y = x2y3

Actividad 8. Hallar una serie de potencias que sea solucion del P.V.I.:{y′ = x+ yy(0) = 1

Indicacion: Suponer que la solucion puede escribirse como serie de potencias alrededor de x = 0, reem-plazar en la ecuacion y encontrar sus coeficientes.

Usando series de potencias, encontrar una aproximacion de la solucion del P.V.I.{y′ =

y

1− x+ 1

y(0) = 1

Encontrar los primeros cuatro coeficientes del desarrollo en serie de y.

2

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