UNIDAD III

INTRODUCCIÓNEl análisis de una estructura indeterminada es, desde luego, más complicado que el de una estructura determinada correspondiente. Esto puede considerarse una pequeña desventaja, ya que el análisis representa generalmente un pequeño porcentaje del costo total. El análisis estructural normalmente incluye toda la labor relacionada con la evaluación de esfuerzos axiales, esfuerzos de corte y momentos flexionantes causados por cualquier acción que debe resistir la estructura. Cuando una estructura indeterminada se analiza por un método se necesita la solución de ecuaciones simultáneas que requieren una ecuación para cada grado de indeterminación.

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En este curso se analizarán dos métodos para resolver estos sistemas: el método de las fuerzas y el método de los desplazamientos (método de las rotaciones). Ambos métodos se basan principalmente en resolver un sistema de ecuaciones lineales, del mismo orden del grado de indeterminación. Si se utiliza el método de las fuerzas, se usará el grado de indeterminación estática, si se aplica el método de los desplazamientos, se usará el grado indeterminación geométrica o

grados de hipergeometría.

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La elección para aplicar cualquiera de estos métodos se fundamenta en seleccionar aquel que tenga el menor grado de indeterminación correspondiente, ya que a mayor número de incógnitas mayor será el tiempo de solución, tanto en forma manual como con el uso de computadoras, lo cual resulta costoso.

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METODO DE LAS FUERZASA este método también se le llama método general o método de las deformaciones consistentes, donde las incógnitas son las fuerzas redundantes de la estructura.Las redundantes de una estructura son aquellas fuerzas en exceso de las fuerzas primarias o las sobrantes o superabundantes de las necesarias para mantener el equilibrio estático.En este método se necesita que sea definida una estructura primaria, la cual debe ser isostática (determinada) y estable, las fuerzas de esta estructura son las fuerzas primarias y pueden encontrarse solo por equilibrio. Hay más de una estructura primaria para una estructura indeterminada, y se selecciona la menos compleja dependiendo de las incógnitas que deseamos encontrar. Así por ejemplo en la siguiente estructura indeterminada, se tiene:

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Es indeterminada en dos (2) grados, por lo tanto, dos redundantes. La estructura primaria debe ser isostática y estable, podrían ser cualquiera de los siguientes sistemas:

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De estos sistemas isostáticos, el 1 y el 2 cumplen con las condiciones de sistema primario, ya que además de ser determinados son estables, lo que no ocurre con el caso 3, el cual a pesar de ser isostático por tener 3 unidades de vinculación, dos en B y una en A, no es estable, ya que los sistemas de apoyo le permiten movimiento inmediato, como la una rotación alrededor del punto A. Por otra parte, en el proceso del método de las fuerzas se imponen los requisitos de compatibilidad de la estructura. En efecto, se determina el valor particular de las redundantes debido a una distribución dada de cargas que provoca que la estructura se deforme de acuerdo con todas las condiciones de los soportes. En esencia, se encuentra aquellas fuerzas redundantes que dan desplazamientos consistentes con condiciones conocidas en los soportes o con alguna condición de compatibilidad interna.

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El método de las fuerzas se basa en el concepto en que los desplazamientos de la estructura debido a las cargas aplicadas y a las fuerzas redundantes dan como resultado una condición desplazada que satisface la compatibilidad de la estructura, internamente y en los soportes. Además se manipulan a las ecuaciones de equilibrio, las de compatibilidad y las relaciones entre fuerzas y desplazamientos para obtener un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.Las n ecuaciones se denominan ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos en la dirección de las fuerzas redundantes, y las n incógnitas son las fuerzas redundantes. Una vez resuelto este sistema de ecuaciones lineales para las redundantes, es posible encontrar las fuerzas finales de los miembros y el desplazamiento libre.Las ecuaciones de condición de deflexión de una estructura o ecuaciones de compatibilidad, se obtienen por superposición de desplazamientos causados por las cargas aplicadas, los esfuerzos y las cargas redundantes individuales. Los coeficientes de estos esfuerzos y reacciones redundantes son las deflexiones debidas a las reacciones y esfuerzos unitarios que pueden calcularse por el método de trabajo virtual (principio de las fuerzas

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virtuales). Estas ecuaciones de compatibilidad, se escriben una por cada punto de aplicación de una componente de esfuerzo (incógnita) o reacción redundante y matemáticamente se expresan así:D1 = D10 + d11.X1 + d12.X2 + d13.X3 +……………d1n.XnD2 = D20 + d21.X1 + d22.X2 + d23.X3 +………..….d2n.XnD3 = D30 + d31.X1 + d32.X2 + d33.X3 +……………d3n.Xn. ………………………………………………………………..Dn = Dn0 + dn1.X1 + dn2.X2 + dn3.X3 +……………dnn.XnDonde:

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Donde: El miembro de la izquierda de cada ecuación (Di), representa el valor del desplazamiento total (asentamiento) en el punto de aplicación y dirección de la fuerza redundante respectiva. Este valor es casi siempre conocido o preestablecido.El miembro de la derecha de cada ecuación representa la suma de todas las componentes de deflexión causada por las cargas reales y las componentes redundantes en el punto de aplicación y en la dirección de la componente redundante respectiva.

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Así se tiene que:D1: representa el desplazamiento total (asentamiento o deformación) en el punto de aplicación y dirección de la redundante X1.D2: representa el desplazamiento total en el punto de aplicación y dirección de la redundante X2D3: Representa el desplazamiento total en el punto de aplicación y dirección de la redundante X3.El termino Di0: representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante Xi debido al caso de carga 0. Estos términos se determinan aplicando trabajo virtual, donde el sistema real es el caso de cargas reales de la estructura y el sistema virtual es el caso de carga donde la redundante respectiva j, es igual a 1. Así por ejemplo:

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D10: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante X1 debido al caso de carga 0. Así el sistema virtual será el caso 1, donde la redundante X1 es igual a 1, y el sistema real es el caso de cargas 0 ó sistema de cargas de la estructura original.D20: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante X2 debido al caso de carga 0.D30: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante X3 debido al caso de carga 0.El Término dij: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante Xi debido al caso de carga j. Este termino se determina aplicando trabajo virtual, donde el sistema virtual es el caso donde la redundante Xi es igual a 1, y el sistema real es el caso de carga donde la redundante Xj es igual a 1. Así por Ejemplo:d12: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante X1 debido al caso de carga 2. Así, el caso virtual es donde la redundante X1 es igual a 1, y el caso real es donde la redundante X2 es igual 1.

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Procedimiento general.Los pasos generales pueden resumirse como sigue:

Se identifican los grados de indeterminación estática de la estructura (n)Se selecciona el sistema primario de la estructura realSe divide la estructura primaria en (n + 1) casos isostáticos, y se aplica el principio de

superposición de efectos.Se establecen las ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos, una por cada

grado de indeterminación (n).Se determina mediante el método de trabajo virtual cada uno de los desplazamientos en los

puntos de aplicación y dirección de las redundantes, debido a cada caso de carga (cargas reales y las redundantes como cargas), Dio, dij, siendo i, el punto de aplicación de la redundante y j ó o, el caso de carga que produce la respectiva deflexión.

Se sustituyen cada uno de los resultados del paso anterior en las ecuaciones de compatibilidad.

Se resuelve el sistema de ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos.Se determinan las fuerzas finales en la estructura original debidas tanto a las cargas

aplicadas como a las redundantes.Se pueden construir los diagramas de los esfuerzos respectivos de la estructura, si son

requeridos.