PROYECTO FINAL: ANÁLISIS ESTRUCTURAL PARA UNA VIGA CAJÓN APOYADA SOBRE PILAS Y ESTRIBOS

BAQUERO SANTOS CAMILO ANDRÉSCÓD: 214765

RODRÍGUEZ URREA JEISSON ESTEBANCÓD: 214868

ESTÁTICAFRANCISCO LEONARDO NOY HILARIÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA CIVILBOGOTÁ D. C.JUNIO DE 2011

INTRODUCCIÓN

Los Conocimientos adquiridos en un curso básico de Estática desempeñan un papel fundamental e indispensable para la resolución de problemas cotidianos de la Ingeniería Civil asociados a diseños y cálculos de estructuras. La Estática permite conocer cuantitativamente las condiciones que debe reunir un sistema de fuerzas para dejar en equilibrio los cuerpos sobre los que actúan. Todas las Estructuras estáticas (Como Edificios, Estadios, Puentes, Túneles etc.…) requieren de la Estática para su funcionamiento.

En el presente trabajo, Se realiza el análisis de una Viga cajón perteneciente a un puente en diseño, utilizando los principios fundamentales de la Estática. Inicialmente, las fuerzas como factores que afectan la estabilidad de un Cuerpo Rígido como la Viga se introducen en las ecuaciones de sumatoria más sencillas para lograr que pese a su acción el cuerpo permanezca estático. El peso mismo de la Viga por acción de la gravedad ya es una fuerza que debe ser considerada. También, el hecho de observar una sección transversal de la viga como la unión de muchas figuras geométricas sencillas, permite obtener con certeza y precisión detalles muy importantes de esta como lo son la posición de su Centroide y Los Momentos de Inercia respecto a los ejes centroidales de su sección. La información obtenida en estos procedimientos es clave para la decisión de materiales y la ubicación correcta de cada elemento que se incluirá en una estructura en construcción.

Otro de los aspectos más importantes que podemos estudiar tiene que ver con la acción de La Fuerza Cortante y el Momento Flector sobre cada punto de la Viga, mediante la Estática, podemos obtener esquemas gráficos que revelan las condiciones de carga más extremas a las que la Viga puede estar sometida bajo ciertas condiciones dadas. Esto permite evitar que pese a que las ecuaciones revelen equilibrio estático, el material se fracture o se deforme demasiado por la acción de fuerzas que exceden su resistencia.

Como material adicional, se adjuntó un CD que contiene los archivos computacionales más importantes que se utilizan para este análisis permitiendo observar con detalle las cotas y características geométricas de los elementos que serán estudiados.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

-Se requiere realizar el análisis estructural de una Viga Cajón que hace parte de un puente de 5 luces en pleno diseño. La viga es continua sobre los elementos que la sostienen (Pilas y Estribos) pero no tiene conexión rígida con ellos.

La viga debe idealizarse como un elemento continuo apoyado sobre los puntos como se aprecia en este esquema:

Figura A. Perfil del puente cuya viga cajón esta en análisis (Ver digitalmente en CD Adjunto)

Deben considerarse 5 casos distintos de Cargas a los que la viga estará sometida:

1- Carga muerta por el peso propio de la Viga2- Carga muerta por el peso de las barreras de tráfico y la carpeta asfáltica3- Carga Viva para producir momentos negativos máximos sobre los apoyos

intermedios.4- Carga Viva para producir momentos Positivos máximos en las luces 1, 3 y 55- Carga Viva para producir momentos Positivos máximos en las luces 2 y 4

Los siguientes esquemas muestran las condiciones de carga para cada uno de los 3 Casos de Carga Viva:

Figura B. Condiciones de Carga para los 3 casos de Carga Viva (Ver digitalmente en CD Adjunto)

Puesto que la estructura es estáticamente indeterminada, se adjuntan las reacciones respectivas para cada caso, las cuales fueron calculadas por métodos distintos a los permitidos por la Estática:

Figura C. Reacciones adjuntas para el análisis de la Viga (Ver digitalmente en CD Adjunto)

Se requiere el cálculo de los Valores de Carga muerta, utilizando un peso unitario de 2,4 Ton/(m^3) para todo el material. Además, se requiere la posición del centroide de la sección de la viga la cual también se adjunta y sus momentos de Inercia respecto a los ejes centroidales:

Figura D. Sección acotada de la Viga Cajón (Ver digitalmente en CD Adjunto)

También deberá obtenerse un diagrama de Cortante y uno de Momento Flector para cada uno de los 5 casos de Carga a analizar y los envolventes de cada uno.

Se adjunta también la geometría de una de las barreras de tráfico, necesaria para el cálculo de Carga muerta:

Figura E. Sección de la barrera de tráfico (Ver digitalmente en CD Adjunto)

El análisis debe realizarse utilizando las herramientas computacionales estándar como Microsoft Excel y Autocad.

DESARROLLO

-Inicialmente, conociendo las reacciones en cada uno de los apoyos y además aprovechando la simetría presente en los esquemas descriptivos de la viga cajón procedemos con los cálculos de los casos de carga muerta; es decir: El peso propio de la viga y también el peso de las barreras de tráfico y la carpeta asfáltica. Será necesario calcular cada una de las cargas generadas en cada caso para luego idealizar los diagramas de cortante y momento flector respectivamente.

a). Cálculo de la carga muerta por el peso propio de la Viga cajón y Verificación de las Reacciones

Consideremos la viga en cuestión, Dado que conocemos sus dimensiones, podemos calcular su volumen, el cual estará dado por el producto del área de una de sus secciones por la longitud (200 m):

V Viga=200m∗8,4 0m2=1680m3

Ahora asumiendo que la viga tenga por peso específico 2,4 Ton/(m^3) (Concreto) tenemos:

PViga=(1680∗2,4 )Ton=4032Ton

Por lo tanto, la carga muerta del peso propio de la Viga será de 4032 Ton.

Para verificar este valor, procedemos ubicando los apoyos según se requiere y expresando las reacciones resultantes, además, consideramos el peso propio de la Viga como una carga distribuida en todo su largo. Cabe mencionar que a pesar de que los apoyos 2, 3, 4 y 5 son de segundo género, sus reacciones a lo largo del eje x se asumen nulas dadas las condiciones a las que está sometida la viga (Pues esta no soporta cargas axiales):

Figura 1. Representación esquemática de las condiciones de la viga bajo su propio peso.

Resulta evidente que no es posible calcular las reacciones mostradas usando las ecuaciones otorgadas por la estática ya que contamos con 6 variables y solo 3 ecuaciones disponibles. Tampoco resulta efectivo suponer que ciertas reacciones tengan el mismo valor que otras de forma arbitraria, por lo tanto podemos concluir que la estructura es Estáticamente indeterminada; No obstante, en el planteamiento del problema se nos ofrecen las reacciones calculadas para cada caso de Carga, por métodos distintos a los permitidos por la Estática.

Figura 2. Reacciones determinadas por métodos distintos a los ofrecidos por la estática

Ry1=318,33TonRy 2=912,48TonRy3=785,19Ton Ry 4=785,19TonRy5=912,48TonRy6=318,33Ton

Conociendo las reacciones podemos efectuar sumatorias de Fuerzas para determinar el peso de la Viga misma:

∑ Fy=[ (318,33∗2 )+(912,48∗2 )+(785,19∗2 )−(W∗200)]Ton=0Ton

W=4032Ton200m

→W=20,16 Tonm

Quiere decir que a lo largo de los 200 metros de Viga se tiene una carga de 20,16 Toneladas en cada metro lo que da un total de 4032 Toneladas de toda la Viga. Verificando así el primer valor obtenido para el cálculo de Carga muerta.

b). Cálculo de la carga muerta por el peso de las barreras de Tráfico y la carpeta asfáltica y Verificación de las reacciones.Las barreras de tráfico y la carpeta asfáltica ejercen cada una fuerza sobre la viga producida por su peso propio, por lo tanto podemos considerar 2 cargas distribuidas aplicadas directamente sobre la viga.

Figura 3. El Caso 2 de Carga muerta por el peso ejercido por la carpeta asfáltica y la barrera sobre la viga.

(Imágenes tomadas de <http://barrerasyprotectordeconcreto.blogspot.com/2009/01/barreras-para-trafico-alta-velocidad.html>)

Figura 4. W1 y W2 corresponden a los pesos de la barrera y la carpeta sobre la viga.

Al igual que con el peso propio de la Viga, se tienen los valores de las reacciones para este caso de Carga Muerta:

Figura 5. Reacciones para las cargas de la Carpeta Asfáltica y las Barreras de Tráfico

Ry12=49,74TonRy 22=142,58TonRy 32=122,69Ton Ry 42=122,69TonRy52=142,58TonRy62=49,74 Ton

Para el cálculo del peso propio de la Carpeta asfáltica, procedemos primero con el cálculo del Volumen de la misma, esto es:

V Carpeta=(0,075∗200∗11,9)m3=178,5m3

Además, consideramos un peso específico de 2,4 Ton/(m^3) para toda la carga muerta, por lo tanto, el peso de la carpeta asfáltica se calcula simplemente:

PCarpeta=178,5m3∗2,4 Ton

m3=428,4Ton

Para una de las barreras de tráfico calculamos el área de la sección sombreada en el siguiente esquema:

Figura 6. Solo la parte sombreada de la sección de la barrera de tráfico debe ser considerada para la carga muerta ya que el resto está incorporado Carpeta Asfáltica

V Barreras=2∗(0,211∗200 )m3=84,56m3

PBarreras=84,56m3∗2,4 Ton

m3=202,5Ton

El factor 2 para el volumen de las barreras proviene de considerar una barrera a cada lado del puente. Ahora, podemos efectuar sumatoria de fuerzas verticales, para comprobar que la carga muerta es correcta y obedece a las reacciones que se presentan; luego calculamos los W1 y W2 utilizando sumatorias de fuerzas:

∑ Fy=¿630,002Ton−428,4 Ton−202,5Ton≈0¿

La sumatoria verifica la veracidad en los cálculos de las cargas muertas No obstante, para estar totalmente acordes con las reacciones dadas, ajustaremos el peso de las barreras eliminando la mínima diferencia generada por imprecisiones, por lo tanto tenemos:

PBarreras=201,62Ton

Por lo tanto tenemos:

PCarpeta=428,4 Ton→W 1=2,142Ton

m3

PBarrera=201,62Ton→W 2=1,0081Ton

m3

Más adelante en el desarrollo, obtendremos los Diagramas de Cortante y Momento Flector basándonos en estas cargas distribuidas que obtuvimos, mientras tanto, centramos nuestra atención hacia el cálculo del Centroide y los Momentos de Inercia respecto a los ejes centroidales de la viga en análisis.

c). Cálculo del Centroide de la Viga cajón

Para calcular el centroide de la sección transversal de la Viga, la idealizamos como un conjunto de figuras geométricas con características sencillas, en este caso, Rectángulos y Triángulos rectángulos que también pueden representar áreas vacías (huecos) y por tal toman una significancia negativa a la hora de efectuar cálculos.

Para este caso particular, inscribimos la sección completa en un gran rectángulo y representamos cada una de las partes vacías como figuras geométricas simples, es decir, que la única área positiva será la del gran rectángulo, la partición en figuras se muestra a continuación:

Figura 7. Partición de sección de la Viga en figuras geométricas sencillas

Evidentemente, las figuras que hacen parte del vacío se toman como áreas Negativas. Para este caso particular, calculamos el centroide de la Viga tomando como punto de referencia el punto A (Véase Figura 7) aprovechando la simetría del esquema, eso significa que el punto A será en nuestro sistema coordenado el Origen (0,0), mientras que el Centroide tendrá coordenadas (x , y).

Inicialmente se calculo el área de cada una de las 21 figuras (Teniendo en cuenta símbolo), luego se ubico el centroide de cada una de ellas usando Autocad y se referenció respecto al origen que elegimos, posteriormente se hallaron los productos de Área con distancia para luego efectuar las sumatorias de cada uno (En X y en Y) y finalmente se dividió por el área total de la sección. Este procedimiento se deriva de los teoremas propuestos para el centroide de figuras bidimensionales.

Figura Ai (m^2) Xi (m) Yi (m) Ai*Xi (m^3) Ai*Yi (m^3)1 31,75 0,00 1,25 0,00 39,692 -2,74 -1,41 1,15 3,86 -3,153 -2,74 1,41 1,15 -3,86 -3,154 -0,87 -2,55 1,43 2,21 -1,245 -0,87 2,55 1,43 -2,21 -1,246 -0,60 -0,40 1,25 0,24 -0,757 -0,60 0,40 1,25 -0,24 -0,758 -0,04 -0,47 0,43 0,02 -0,029 -0,04 0,47 0,43 -0,02 -0,02

10 -0,04 -2,97 2,07 0,12 -0,0811 -0,04 2,97 2,07 -0,12 -0,0812 -0,45 -1,72 2,10 0,77 -0,9413 -0,45 1,72 2,10 -0,77 -0,9414 -0,04 -0,47 2,07 0,02 -0,0815 -0,04 0,47 2,07 -0,02 -0,0816 -1,20 -3,30 0,67 3,96 -0,8017 -1,20 3,30 0,67 -3,96 -0,8018 -0,40 -5,47 2,10 2,17 -0,8319 -0,40 5,47 2,10 -2,17 -0,8320 -5,30 -5,03 1,00 26,63 -5,3021 -5,30 5,03 1,00 -26,63 -5,30

SUMATORIA 8,4016 0 13,282

Figura 8. Tabla para el cálculo del Centroide del la sección de la viga

Sabiendo que:

x=∑ Ai∗xi

ATotal

y=∑ Ai∗ yi

ATotal

Tenemos que el centroide de la figura respecto al punto A (Véase figura 7) está ubicado en las coordenadas:

x=0 y=1,58091

Si por alguna razón preferimos al punto B (Véase figura 7) como punto de referencia para calcular el centroide, las coordenadas serían: (x=6,35 y=1,58091)

Figura 9. El punto rojo indica la posición del centroide de la sección transversal de la Viga.

d). Cálculo del momento de Inercia de la Viga cajón respecto a los ejes centroidales

Para efectuar este cálculo, debemos empezar por el momento de Inercia que efectúa cada una de las figuras en las que dividimos la sección, asegurándonos de que las 20 figuras que son vacías aporten un momento de Inercia Negativo; Además, debemos recordar que según si la figura es un triángulo o un rectángulo, se tiene que:

ParaTringulo Rectángulo: I xx=bh3

36I yy=

b3h36

Para Rectángulo(Cuadrilátero): I xx=bh3

12I yy=

b3h12

Como queremos el Momento de Inercia respecto a los ejes centroidales de la sección (Es decir con origen en el Centroide); también debemos calcular para cada figura los valores dix y diy que representan las distancias de los centroides de cada figura a cada eje, afortunadamente se cumple que:

d ix=|Y i−Y|d iy=|X i−X|

Donde Yi y Xi son las coordenadas centroidales de cada figura.

Luego, y por acción del teorema de ejes paralelos, debemos calcular el producto entre el cuadrado de las distancias dix y diy con el área de cada figura para finalmente obtener el momento de inercia respecto a cada eje aplicando las relaciones:

I x=∑ Ixx+∑ Ai∗(d ix2)

I y=∑ Iyy+∑ Ai∗(d iy2)

Los valores de inercia obtenidos para cada una de las 21 figuras se listan en el siguiente cuadro; Notamos que solo la figura 1 (El gran rectángulo) aporta inercia positiva:

Figura Ai (m^2) Ixx Iyy Xi (m) Yi (m) dix diy (dix^2)A (diy^2)A1 31,75 16,536 426,746 0,00 1,25 0,33 0,00 3,477 0,0002 -2,74 -0,661 -0,595 -1,41 1,15 0,43 1,41 -0,509 -5,4283 -2,74 -0,661 -0,595 1,41 1,15 0,43 1,41 -0,509 -5,4284 -0,87 -0,139 -0,050 -2,55 1,43 0,15 2,55 -0,019 -5,6535 -0,87 -0,139 -0,050 2,55 1,43 0,15 2,55 -0,019 -5,6536 -0,60 -0,113 -0,008 -0,40 1,25 0,33 0,40 -0,066 -0,0967 -0,60 -0,113 -0,008 0,40 1,25 0,33 0,40 -0,066 -0,0968 -0,04 0,000 0,000 -0,47 0,43 1,15 0,47 -0,053 -0,0099 -0,04 0,000 0,000 0,47 0,43 1,15 0,47 -0,053 -0,009

10 -0,04 0,000 0,000 -2,97 2,07 0,49 2,97 -0,009 -0,35211 -0,04 0,000 0,000 2,97 2,07 0,49 2,97 -0,009 -0,35212 -0,45 -0,001 -0,186 -1,72 2,10 0,52 1,72 -0,120 -1,31713 -0,45 -0,001 -0,186 1,72 2,10 0,52 1,72 -0,120 -1,31714 -0,04 0,000 0,000 -0,47 2,07 0,49 0,47 -0,009 -0,00915 -0,04 0,000 0,000 0,47 2,07 0,49 0,47 -0,009 -0,00916 -1,20 -0,267 -0,096 -3,30 0,67 0,91 3,30 -1,003 -13,06817 -1,20 -0,267 -0,096 3,30 0,67 0,91 3,30 -1,003 -13,06818 -0,40 -0,002 -0,155 -5,47 2,10 0,52 5,47 -0,107 -11,87919 -0,40 -0,002 -0,155 5,47 2,10 0,52 5,47 -0,107 -11,87920 -5,30 -1,767 -3,102 -5,03 1,00 0,58 5,03 -1,789 -133,82821 -5,30 -1,767 -3,102 5,03 1,00 0,58 5,03 -1,789 -133,828∑ 8,4016 10,638 418,361 -3,892 -343,278

Figura 10. Cálculo de las Sumatorias de los momentos de inercia para las 21 figuras.

Figura Base AlturaRectángulo (1) 12,70000 2,50Rectángulo (2) 1,61352 1,70Rectángulo (3) 1,61352 1,70Triángulo (4) 1,02000 1,70Triángulo (5) 1,02000 1,70

Rectángulo (6) 0,40000 1,50Rectángulo (7) 0,40000 1,50Triángulo (8) 0,40000 0,20Triángulo (9) 0,40000 0,20

Triángulo (10) 0,40000 0,20Triángulo (11) 0,40000 0,20

Rectángulo (12) 2,23352 0,20Rectángulo (13) 2,23352 0,20Triángulo (14) 0,40000 0,20Triángulo (15) 0,40000 0,20

Figura base altura

Triángulo (16) 1,20000 2,00Triángulo (17) 1,20000 2,00Triángulo (18) 2,65000 0,30Triángulo (19) 2,65000 0,30

Rectángulo (20) 2,65000 2,00Rectángulo (21) 2,65000 2,00

Figura 11. Tabla con la descripción de cada figura, para el cálculo de las inercias.

Por lo tanto tenemos:I x=10,638+ (−3,892 )→I x=6,746m

4

I y=418,361+ (−343,278 )→I y=75,083m4

El momento de Inercia de la Viga cajón respecto al eje centroidal x es 6,746 m^4 y respecto al eje centroidal y es 75,083 m^4.

e). Elaboración del diagrama de Cortante y Momento Flector para el primer caso de carga muerta (Peso propio de la Viga cajón)

Retomando los resultados que obtuvimos al calcular los pesos propios de la Viga cajón, podemos también generar los diagramas de Cortante y Momento Flector.

Para obtener estos diagramas, debemos plantear primero la ecuación de Singularidad para el cálculo del momento Flector, así que realizamos un corte de la Viga y suponemos que la distancia desde la primera reacción al punto del corte sea X:

Figura 12. Esquema sobre las distancias de cada reacción al punto de corte sobre la Viga cajón

Ahora, planteamos la ecuación que nos asegura el equilibro en la sumatoria de momentos de todas las fuerzas que actúan en el sistema descrito; pero antes, es necesario aclarar el modo en que funcionan los paréntesis angulares que intervienen en dicha ecuación:

⟨ x ⟩=x si x>0⟨ x ⟩=0 si x ≤0

Por lo tanto se tiene:

∑M s=M−912,48< x−160>−785,19<x−120>−785,19<x−80>−912,48<x−40>−318,33 x+¿20,16 x∗( x2 )=0¿

Como queremos graficar el cambio del momento Flector a lo largo de la Viga, despejamos la Variable M:

M=912,8<x−160>+785,19<x−120>+785,19<x−80>+912,48<x−40>+318,33 x−10,08 x2

Recordemos que según el teorema de Momentos y Cortantes, para obtener la ecuación de Cortante basta con Derivar la ecuación de Momento Flector, por lo tanto, podemos obtener inmediatamente la segunda relación:

V=912,8¿x−160>¿0+785,19¿ x−120>¿0+785,19¿x−80>¿0+912,48¿x−40>¿0+318,33−20,16 x ¿¿¿¿

Además, notemos que para los paréntesis angulares se cumple que:

⟨ x ⟩0=1 si x>0⟨ x ⟩0=0 si x ≤0

Para obtener las gráficas correspondientes a las ecuaciones que generamos, debemos elaborar una tabla en donde a ciertos valores de x asignados, se nos muestren los valores de Cortante y Momento correspondientes; para este caso específico, se nos pide que cada x de la tabla esté a 2,5 metros uno del otro. Como la viga mide 200 metros, tendremos que estimar 80 valores de x, pero sin olvidar que en todos los x donde actúe una reacción habrá que considerar una aproximación por izquierda y por derecha del valor asignado (Para la gráfica de cortante); esto se debe a que en donde existen cargas puntuales, se producen discontinuidades en dicha gráfica.

En la siguiente figura se muestra la tabla correspondiente para los diagramas del caso 1:

x (m) V (Ton) M (Ton.m) x (m) V (Ton) M (Ton.m)

0,00 318,33 0,00 102,50 -50,40 1422,602,50 267,93 732,83 105,00 -100,80 1233,605,00 217,53 1339,65 107,50 -151,20 918,607,50 167,13 1820,48 110,00 -201,60 477,60

10,00 116,73 2175,30 112,50 -252,00 -89,4012,50 66,33 2404,13 115,00 -302,40 -782,4015,00 15,93 2506,95 117,50 -352,80 -1601,4017,50 -34,47 2483,78 120,00 -403,20 -2546,4020,00 -84,87 2334,60 120,00 381,99 -2546,4022,50 -135,27 2059,43 122,50 331,59 -1654,4225,00 -185,67 1658,25 125,00 281,19 -888,4527,50 -236,07 1131,08 127,50 230,79 -248,4830,00 -286,47 477,90 130,00 180,39 265,5032,50 -336,87 -301,28 132,50 129,99 653,4835,00 -387,27 -1206,45 135,00 79,59 915,4537,50 -437,67 -2237,63 137,50 29,19 1051,4240,00 -488,07 -3394,80 140,00 -21,21 1061,4040,00 424,41 -3394,80 142,50 -71,61 945,3742,50 374,01 -2396,78 145,00 -122,01 703,3545,00 323,61 -1524,75 147,50 -172,41 335,3347,50 273,21 -778,72 150,00 -222,81 -158,7050,00 222,81 -158,70 152,50 -273,21 -778,7252,50 172,41 335,33 155,00 -323,61 -1524,7555,00 122,01 703,35 157,50 -374,01 -2396,7757,50 71,61 945,38 160,00 -424,41 -3394,8060,00 21,21 1061,40 160,00 488,07 -3394,8062,50 -29,19 1051,43 162,50 437,67 -2237,6365,00 -79,59 915,45 165,00 387,27 -1206,4567,50 -129,99 653,47 167,50 336,87 -301,2870,00 -180,39 265,50 170,00 286,47 477,9072,50 -230,79 -248,47 172,50 236,07 1131,0875,00 -281,19 -888,45 175,00 185,67 1658,2577,50 -331,59 -1654,43 177,50 135,27 2059,4380,00 -381,99 -2546,40 180,00 84,87 2334,6080,00 403,20 -2546,40 182,50 34,47 2483,7782,50 352,80 -1601,40 185,00 -15,93 2506,9585,00 302,40 -782,40 187,50 -66,33 2404,1387,50 252,00 -89,40 190,00 -116,73 2175,3090,00 201,60 477,60 192,50 -167,13 1820,4792,50 151,20 918,60 195,00 -217,53 1339,6595,00 100,80 1233,60 197,50 -267,93 732,8297,50 50,40 1422,60 200,00 -318,33 0,00

100,00 0,00 1485,60 200,00 0,00 0,00

Figura 13. Tabulación de las ecuaciones de Diagrama de Cortante y Momento para el caso 1 de Carga.

Figura 14. Diagrama de Cortante para el caso 1 de Carga.

Figura 15. Diagrama de Momento Flector para el caso 1 de Carga.

f). Elaboración del diagrama de Cortante y Momento Flector para el segundo caso de carga muerta (Peso de la carpeta asfáltica y las barreras de tráfico)

Análogamente a como se hizo con el caso 1 de carga muerta, representamos las condiciones de la viga:

Figura 16. Condiciones de la Viga bajo el caso 2 de Carga muerta.

Planteando las ecuaciones de la misma forma que en el caso 1 (Véase Figura 11):

∑M s=M−142,58<x−160>−122,69<x−120>−122,69<x−80>−142,58<x−40>−49,74 x+¿2,142 x∗( x2 )+1,0081 x∗( x2 )=0¿

M=142,58<x−160>+122,69<x−120>+122,69<x−80>+142,58<x−40>+49,74 x−1,57505 x2

V=142,58¿ x−160>¿0+122,69¿ x−120>¿0+122,69¿ x−80>¿0+142,58¿ x−40>¿0+49,74−3,1501x ¿¿¿¿

En la siguiente figura se muestra la tabla correspondiente para los diagramas del caso 2 de cargas muerta:

x (m) V (Ton) M (Ton.m) x (m) V (Ton) M (Ton.m)

0,00 49,74 0,00 102,50 -7,88 222,262,50 41,86 114,51 105,00 -15,75 192,725,00 33,99 209,32 107,50 -23,63 143,507,50 26,11 284,45 110,00 -31,50 74,60

10,00 18,24 339,90 112,50 -39,38 -14,0012,50 10,36 375,65 115,00 -47,25 -122,2915,00 2,49 391,71 117,50 -55,13 -250,2617,50 -5,39 388,09 120,00 -63,00 -397,9220,00 -13,26 364,78 120,00 59,69 -397,9222,50 -21,14 321,78 122,50 51,81 -258,5425,00 -29,01 259,09 125,00 43,94 -138,8627,50 -36,89 176,72 127,50 36,06 -38,8630,00 -44,76 74,66 130,00 28,19 41,4632,50 -52,64 -47,10 132,50 20,31 102,0835,00 -60,51 -188,54 135,00 12,44 143,0137,50 -68,39 -349,66 137,50 4,56 164,2640,00 -76,26 -530,48 140,00 -3,31 165,8240,00 66,32 -530,48 142,50 -11,19 147,6942,50 58,44 -374,53 145,00 -19,06 109,8745,00 50,57 -238,28 147,50 -26,94 52,3747,50 42,69 -121,71 150,00 -34,82 -24,8250,00 34,82 -24,82 152,50 -42,69 -121,7152,50 26,94 52,37 155,00 -50,57 -238,2855,00 19,06 109,87 157,50 -58,44 -374,5357,50 11,19 147,69 160,00 -66,32 -530,4860,00 3,31 165,82 160,00 76,26 -530,4862,50 -4,56 164,26 162,50 68,39 -349,6665,00 -12,44 143,01 165,00 60,51 -188,5467,50 -20,31 102,08 167,50 52,64 -47,1070,00 -28,19 41,46 170,00 44,76 74,6672,50 -36,06 -38,86 172,50 36,89 176,7275,00 -43,94 -138,86 175,00 29,01 259,0977,50 -51,81 -258,54 177,50 21,14 321,7880,00 -59,69 -397,92 180,00 13,26 364,7880,00 63,00 -397,92 182,50 5,39 388,0982,50 55,13 -250,26 185,00 -2,49 391,7185,00 47,25 -122,29 187,50 -10,36 375,6587,50 39,38 -14,00 190,00 -18,24 339,9090,00 31,50 74,60 192,50 -26,11 284,4592,50 23,63 143,50 195,00 -33,99 209,3295,00 15,75 192,72 197,50 -41,86 114,5197,50 7,88 222,26 200,00 -49,74 0,00

100,00 0,00 232,10 200,00 0,00 0,00

Figura 17. Tabulación de las ecuaciones de Diagrama de Cortante y Momento para el caso 2 de Carga.

Figura 18. Diagrama de cortante para el caso 2 de Carga muerta.

Figura 19. Diagrama de Cortante de Momento Flector para el caso 2 de Carga muerta.

g). Elaboración del diagrama de Cortante y Momento Flector para el primer caso de Carga Viva CV-1

Para los casos de Carga Viva, tenemos específicamente las cargas que actúan sobre la viga, la representación esquemática de las condiciones de carga se muestra a continuación:

Figura 20. Condiciones de la Carga Viva 1 CV1.

Definimos distancias en términos de x:

Figura 21. Distancias de las cargas en función de x para CV1

Planteamos las ecuaciones:

∑M s=M−274,99<x−160>−233<x−120>−233<x−80>−274,99<x−40>−92 x+¿52< x−180>+52<x−140>+52< x−100>+52<x−60>+52< x−20>+4,7 x ( x2)=0¿

M=274,99<x−160>+233<x−120>+233<x−80>+274,99<x−40>+92 x−52<x−180>−52< x−140>−52<x−100>−52< x−60>−52<x−20>−2,35 x2

V=274,99¿ x−160>¿0+233¿ x−120>¿0+233¿x−80>¿0+274,99¿ x−40>¿0+92−52¿ x−180>¿0−52¿ x−140>¿0−52¿ x−100>¿0−52¿ x−60>¿0−52¿x−20>¿0−4,7 x ¿¿¿¿¿¿¿¿¿

La tabulación resultante para estas ecuaciones es:

x (m) V (Ton) M (Ton.m) x (m) V (Ton) M (Ton.m)0,00 92,00 0,00 102,50 -37,76 539,692,50 80,25 215,31 105,00 -49,51 430,605,00 68,50 401,25 107,50 -61,26 292,147,50 56,75 557,81 110,00 -73,01 124,30

10,00 45,00 685,00 112,50 -84,76 -72,9112,50 33,25 782,81 115,00 -96,51 -299,5015,00 21,50 851,25 117,50 -108,26 -555,4617,50 9,75 890,31 120,00 -120,01 -840,8020,00 -2,00 900,00 120,00 112,99 -840,8020,00 -54,00 900,00 122,50 101,24 -573,0122,50 -65,75 750,31 125,00 89,49 -334,6025,00 -77,50 571,25 127,50 77,74 -125,5627,50 -89,25 362,81 130,00 65,99 54,1030,00 -101,00 125,00 132,50 54,24 204,3932,50 -112,75 -142,19 135,00 42,49 325,3035,00 -124,50 -438,75 137,50 30,74 416,8437,50 -136,25 -764,69 140,00 18,99 478,9840,00 -148,00 -1120,00 140,00 -33,01 479,0040,00 126,99 -1120,00 142,50 -44,76 381,7942,50 115,24 -817,21 145,00 -56,51 255,2045,00 103,49 -543,80 147,50 -68,26 99,2447,50 91,74 -299,76 150,00 -80,01 -86,1050,00 79,99 -85,10 152,50 -91,76 -300,8152,50 68,24 100,19 155,00 -103,51 -544,9055,00 56,49 256,10 157,50 -115,26 -818,36x (m) V (Ton) M (Ton.m) x (m) V (Ton) M (Ton.m)57,50 44,74 382,64 160,00 -127,01 -1120,0060,00 32,99 479,80 160,00 147,98 -1120,0060,00 -19,01 479,80 162,50 136,23 -765,94

62,50 -30,76 417,59 165,00 124,48 -440,0565,00 -42,51 326,00 167,50 112,73 -143,5467,50 -54,26 205,04 170,00 100,98 123,6070,00 -66,01 54,70 172,50 89,23 361,3672,50 -77,76 -125,01 175,00 77,48 569,7575,00 -89,51 -334,10 177,50 65,73 748,7677,50 -101,26 -572,56 180,00 53,98 898,3980,00 -113,01 -840,40 180,00 1,98 898,4080,00 119,99 -840,40 182,50 -9,77 888,6682,50 108,24 -555,11 185,00 -21,52 849,5585,00 96,49 -299,20 187,50 -33,27 781,0687,50 84,74 -72,66 190,00 -45,02 683,2090,00 72,99 124,50 192,50 -56,77 555,9692,50 61,24 292,29 195,00 -68,52 399,3595,00 49,49 430,70 197,50 -80,27 213,3697,50 37,74 539,74 200,00 -92,00 0,00

100,00 25,99 619,40 200,00 0,00 0,00100,00 -26,01 619,40

Figura 22. Tabulación de las ecuaciones de Cortante y Momento Flector para la Carga Viva 1 CV1

Figura 23. Diagrama de Cortante para la Carga Viva 1 CV1.

Figura 24.Diagrama de Momento Flector para la Carga Viva 1 CV1.

h). Elaboración del diagrama de Cortante y Momento Flector para el segundo caso de Carga Viva CV-2

Figura 25. Condiciones de la Carga Viva 2 CV2.

A diferencia del Caso de Carga Viva 1, esta vez tenemos 3 cargas distribuidas independientes y por tal, debemos replantear las condiciones de la carga, realizando un procedimiento gráfico que consiste en completar las discontinuidades con cargas distribuidas iguales a las que están presentes, sin olvidarnos de ubicar también una contraparte de signo contrario que compense las fuerzas que estamos adicionando, en el siguiente esquema, se muestra paso a paso la realización de este proceso:

Figura 26. Pasos para completar cargas distribuidas discontinuas sin alterar los efectos producidos sobre la viga cajón.

En el siguiente esquema se tiene la representación final una vez terminado el proceso gráfico; las condiciones de carga mostradas son equivalentes a las iniciales (Véase Figura 25)

Figura 27. Representación final equivalente a las condiciones iniciales de carga CV2.

Ahora efectuamos el corte en un punto “s” para generar las ecuaciones que nos permitirán obtener los Diagramas para este caso de Carga Viva.

Figura 28. Distancias de las cargas en términos de x

Planteamos las ecuaciones:

∑M s=M−137,5<x−160>−116,5<x−120>−116,5< x−80>−137,5< x−40>−106x+52<x−180>+52<x−100>+52<x−20>+4,7 x ( x2 )−4,7<x−40>¿¿

M=137,5<x−160>+116,5< x−120>+116,5< x−80>+137,5< x−40>+106 x−52< x−180>−52<x−100>−52< x−20>−2,35 x2+2,35¿x−40>¿2−2,35¿ x−80>¿2+2,35¿ x−120>¿2−2,35¿ x−160>¿2¿¿¿¿

V=137,5¿ x−160>¿0+116,5¿ x−120>¿0+116,5¿ x−80>¿0+137,5¿ x−40>¿0+106−52¿ x−180>¿0−52¿ x−100>¿0−52¿ x−20>¿0−4,7 x+4,7<x−40>−4,7<x−80>+4,7<x−120>−4,7<x−160>¿¿¿¿¿¿¿¿

La tabulación resultante para estas ecuaciones es:

x (m) V (Ton) M (Ton.m) x (m) V (Ton) M (Ton.m)0,00 106,00 0,00 102,50 -37,75 960,312,50 94,25 250,31 105,00 -49,50 851,255,00 82,50 471,25 107,50 -61,25 712,817,50 70,75 662,81 110,00 -73,00 545,00

10,00 59,00 825,00 112,50 -84,75 347,8112,50 47,25 957,81 115,00 -96,50 121,2515,00 35,50 1061,25 117,50 -108,25 -134,6917,50 23,75 1135,31 120,00 -120,00 -420,0020,00 12,00 1180,00 120,00 -3,50 -420,0020,00 -40,00 1179,96 122,50 -3,50 -428,7522,50 -51,75 1065,31 125,00 -3,50 -437,5025,00 -63,50 921,25 127,50 -3,50 -446,2527,50 -75,25 747,81 130,00 -3,50 -455,0030,00 -87,00 545,00 132,50 -3,50 -463,7532,50 -98,75 312,81 135,00 -3,50 -472,5035,00 -110,50 51,25 137,50 -3,50 -481,2537,50 -122,25 -239,69 140,00 -3,50 -490,0040,00 -134,00 -560,00 142,50 -3,50 -498,7540,00 3,50 -560,00 145,00 -3,50 -507,5042,50 3,50 -551,25 147,50 -3,50 -516,2545,00 3,50 -542,50 150,00 -3,50 -525,0047,50 3,50 -533,75 152,50 -3,50 -533,75x (m) V (Ton) M (Ton.m) x (m) V (Ton) M (Ton.m)50,00 3,50 -525,00 155,00 -3,50 -542,5052,50 3,50 -516,25 157,50 -3,50 -551,2555,00 3,50 -507,50 160,00 -3,50 -560,0057,50 3,50 -498,75 160,00 134,00 -560,0060,00 3,50 -490,00 162,50 122,25 -239,6962,50 3,50 -481,25 165,00 110,50 51,25

65,00 3,50 -472,50 167,50 98,75 312,8167,50 3,50 -463,75 170,00 87,00 545,0070,00 3,50 -455,00 172,50 75,25 747,8172,50 3,50 -446,25 175,00 63,50 921,2575,00 3,50 -437,50 177,50 51,75 1065,3177,50 3,50 -428,75 180,00 40,00 1180,0080,00 3,50 -420,00 180,00 -12,00 1180,0080,00 120,00 -420,00 182,50 -23,75 1135,3182,50 108,25 -134,69 185,00 -35,50 1061,2585,00 96,50 121,25 187,50 -47,25 957,8187,50 84,75 347,81 190,00 -59,00 825,0090,00 73,00 545,00 192,50 -70,75 662,8192,50 61,25 712,81 195,00 -82,50 471,2595,00 49,50 851,25 197,50 -94,25 250,3197,50 37,75 960,31 200,00 -106,00 0,00

100,00 26,00 1039,97 200,00 0,00 0,00100,00 -26,00 1039,97

Figura 29. Tabulación de las ecuaciones del Caso 2 de Carga Viva.

Figura 30. Diagrama de Cortante para la Carga Viva CV2

Figura 31. Diagrama de Momento Flector para la Carga Viva CV2

i). Elaboración del diagrama de Cortante y Momento Flector para el tercer caso de Carga Viva CV-3

Figura 32. Condiciones para el tercer caso de Carga Viva CV3

Al igual que para el Segundo caso de Carga Viva CV2, debemos replantear las condiciones del sistema para poder considerar correctamente las cargas distribuidas que se muestran; en el siguiente esquema tenemos el proceso gráfico adecuado para lograr tal fin.

Figura 33. Representación final equivalente a las condiciones de Carga CV3 (Figura 32)

Figura 34. Corte y definición de las distancias en función de x

Planteamos las ecuaciones:

∑M s=M−137,5<x−160>−116,5<x−120>−116,5< x−80>−137,5< x−40>+14 x+52<x−140>+52<x−60>+4,7<x−40>¿¿

M=137,5<x−160>+116,5< x−120>+116,5< x−80>+137,5< x−40>−14 x−52<x−140>−52<x−60>−2,35¿ x−40>¿2+2,35¿ x−80>¿2−2,35¿ x−120>¿2+2,35¿ x−160>¿2¿¿¿¿

V=137,5¿ x−160>¿0+116,5¿ x−120>¿0+116,5¿ x−80>¿0+137,5¿ x−40>¿0−14−52¿ x−140>¿0−52¿ x−60>¿0−4,7< x−40>+4,7< x−80>−4,7<x−120>+4,7<x−160>¿¿¿¿¿¿¿

La tabulación resultante para estas ecuaciones es:

x (m) V (Ton) M (Ton/m) x (m) V (Ton) M (Ton/m)0,00 -14,00 0,00 102,50 0,00 -420,002,50 -14,00 -35,00 105,00 0,00 -420,005,00 -14,00 -70,00 107,50 0,00 -420,007,50 -14,00 -105,00 110,00 0,00 -420,00

10,00 -14,00 -140,00 112,50 0,00 -420,0012,50 -14,00 -175,00 115,00 0,00 -420,0015,00 -14,00 -210,00 117,50 0,00 -420,0017,50 -14,00 -245,00 120,00 0,00 -420,0020,00 -14,00 -279,99 120,00 116,50 -420,0020,00 -14,00 -280,01 122,50 104,75 -143,4422,50 -14,00 -315,00 125,00 93,00 103,7525,00 -14,00 -350,00 127,50 81,25 321,5627,50 -14,00 -385,00 130,00 69,50 510,0030,00 -14,00 -420,00 132,50 57,75 669,0632,50 -14,00 -455,00 135,00 46,00 798,7535,00 -14,00 -490,00 137,50 34,25 899,0637,50 -14,00 -525,00 140,00 22,50 970,0040,00 -14,00 -560,00 140,00 -29,50 970,0040,00 123,50 -560,00 142,50 -41,25 881,5642,50 111,75 -265,94 145,00 -53,00 763,7545,00 100,00 -1,25 147,50 -64,75 616,5647,50 88,25 234,06 150,00 -76,50 440,0050,00 76,50 440,00 152,50 -88,25 234,0652,50 64,75 616,56 155,00 -100,00 -1,2555,00 53,00 763,75 157,50 -111,75 -265,9457,50 41,25 881,56 160,00 -123,50 -560,0060,00 29,50 970,00 160,00 14,00 -560,0060,00 -22,50 970,00 162,50 14,00 -525,0062,50 -34,25 899,06 165,00 14,00 -490,0065,00 -46,00 798,75 167,50 14,00 -455,0067,50 -57,75 669,06 170,00 14,00 -420,0070,00 -69,50 510,00 172,50 14,00 -385,0072,50 -81,25 321,56 175,00 14,00 -350,0075,00 -93,00 103,75 177,50 14,00 -315,0077,50 -104,75 -143,44 180,00 14,00 -280,0180,00 -116,50 -420,00 180,00 14,00 -280,0080,00 0,00 -420,00 182,50 14,00 -245,0082,50 0,00 -420,00 185,00 14,00 -210,0085,00 0,00 -420,00 187,50 14,00 -175,0087,50 0,00 -420,00 190,00 14,00 -140,0090,00 0,00 -420,00 192,50 14,00 -105,0092,50 0,00 -420,00 195,00 14,00 -70,00x (m) V (Ton) M (Ton/m) x (m) V (Ton) M (Ton/m)95,00 0,00 -420,00 197,50 14,00 -35,0097,50 0,00 -420,00 200,00 14,00 0,00

100,00 0,00 -420,00 200,00 0,00 0,00Figura 35. Tablas de las ecuaciones del caso 3 de Carga Viva

Figura 36. Diagrama de Cortante para la Carga Viva CV3

Figura 37. Diagrama de Momento Flector para la Carga Viva CV3j). Envolventes (Valores máximos y mínimos) de Cortantes y Momentos Flectores por Carga Viva

Respecto a los valores máximos y mínimos que pueden tomar los cortantes y los momentos flectores en cada uno de los 3 casos de Carga Viva sobre la Viga, se obtuvieron los siguientes resultados:

Caso de Carga Viva

Cortante (Ton)x (m) Valor Máximo x (m) Valor Mínimo

CV1 160 148 40 -148CV2 160 134 40 -134CV3 40 123,5 160 -123,5

Caso de Carga Viva

Momento Flector (Ton.m)x (m) Valor Máximo x (m) Valor Mínimo

CV1 20 - 180 900 40 -160 -1120CV2 20 - 180 1180 40 - 160 -560CV3 60 - 140 970 40 - 160 -560

Figura 38. Valores máximos y mínimos obtenidos en los Diagramas para Carga Viva

Para calcular manualmente uno de estos valores, basta con restringir el valor de x a cierto intervalo; por ejemplo:

Deseamos verificar los valores máximos y mínimos del Momento Flector para la carga Viva 1 CV1. Tomamos su ecuación:

M=274,99<x−160>+233<x−120>+233<x−80>+274,99<x−40>+92 x−52<x−180>−52< x−140>−52<x−100>−52< x−60>−52<x−20>−2,35 x2

Para calcular un punto crítico de la función, derivamos e igualamos a Cero, pero dado que sabemos que el Cortante es la derivación del Momento, bastará con igualar el Cortante a 0.

0=274,99¿ x−160>¿0+233¿ x−120>¿0+233¿ x−80>¿0+274,99¿x−40>¿0+92−52¿ x−180>¿0−52¿ x−140>¿0−52¿ x−100>¿0−52¿ x−60>¿0−52¿ x−20>¿0−4,7 x ¿¿¿¿¿¿¿¿¿

Para poder despejar x, necesitamos definirlo en un intervalo para así poder “activar” algunos paréntesis angulares y deshacernos de ellos, supongamos que queremos

0≤ x≤40Por lo tanto, la ecuación se reduce:

0=92−52¿ x−20>¿0−4,7 x¿

Le ecuación será:40−4,7x=0 si x>2092−4,7 x=0 si x ≤20

Despejando de la primera tenemos:

Puntocrítico en x=8,5106383 si x>20Puntocrítico en x=19,5744681 si x ≤20

Hallamos segundas derivadas:−4,7 si x>20−4,7 si x≤20

Como los valores son Negativos, decimos que los puntos hallados son máximos, el máximo absoluto será x = 19,5744681, no obstante, como los requerimientos de este análisis piden que el comportamiento de los Diagramas se estudie cada 2,50 m, el máximo será el valor permitido más cercano a tal x, es decir; x = 20,000 metros el cual fue uno de los x en el que obtuvimos Momento máximo para el caso CV1.

Al evaluar este valor en la ecuación tenemos:

Mmax=274,99<20−160>+233<20−120>+233<20−80>+274,99<20−40>+92(20)−52<20−180>−52<20−140>−52<20−100>−52<20−60>−52<20−20>−2,35 (20)2

Mmax=92(20)−2,35 (20)2

Mmax=1840−940 Mmax=900

Que coincide con el valor obtenido y presentado en la tabla. No obstante, para el cálculo de los Envolventes restantes se utilizaron herramientas computacionales como Excel para su rápida determinación.

CONCLUSIONES

-A pesar de que la Estática no puede dar solución a problemas como el cálculo de reacciones cuando se involucran más de 3 variables, resulta sumamente efectiva y práctica para estimaciones de Cargas que garanticen el equilibrio en sistemas menos complejos.

-Puesto que todas las cargas que actúan sobre la viga en todos los casos son puntuales o distribuidas uniformemente (De forma rectangular), el comportamiento de los Diagramas de Cortante es correcto, dado que no se encuentran intervalos de la función con comportamiento cuadrático o exponencial; En el caso más complejo, la función se comporta linealmente.

-Los Diagramas de Momento Flector, revelan de forma evidente la simetría que se presenta en cada Caso de Carga Analizado, además y como es de esperarse, el comportamiento de la función en estos caso es a lo máximo Cuadrático (Lo cual se ve en las ecuaciones), lo cual también está acorde con el hecho de que el Diagrama Momento Flector es una función que supera en un grado al de Fuerza Cortante.

-Los órdenes de Magnitud en los casos de Carga Viva llegan a superar las 120 Toneladas para los Diagramas de Cortante mientras que para el caso de Carga muerta, las fuerzas actuantes superan las 400 Toneladas (Más del triple), esto indica que el mayor aporte de Carga sobre los apoyos lo realiza la Viga misma con su propio peso.

-Para el caso del Momento Flector, los valores más extremos que se tienen también corresponden a la Carga muerta (Mas de 3300 Ton.m) lo cual ratifica el hecho de que la Viga misma es la carga más notable.

-Las dificultades más comunes que se encuentran en la realización de un análisis estático como este, podrían radicar en el correcto planteamiento de las ecuaciones de Singularidad principalmente para casos de Carga como CV2 y CV3, en donde fue necesario replantear las condiciones del sistema completando cargas distribuidas discontinuas generando ecuaciones de Momento y Cortante de hasta 4 líneas. Resulta una tarea tediosa y de mucho cuidado el ubicar apropiadamente cada uno de los símbolos, valores y exponentes que se involucran en cada ecuación y su posterior implementación en un Software como Excel. Afortunadamente, el Ingeniero puede sospechar con facilidad donde pudo darse un error (En caso de que se presente) debido a la forma de los Diagramas (La cual es predecible).