TEORIA DE CONTROL

Francisco Andrade Rojas.

Tercer año

ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA

FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD DE CUENCA

ANALISIS ENTRADA - SALIDA DE SISTEMAS EN EL TIEMPO

GENERALIDADES.

Si la entrada y salida de un sistema cambian en cualquier instante, se dice que el

sistema es de tiempo continuo. La entrada x(t) y la salida y(t) son funciones de la variable de

tiempo continuo t. Debe notarse que la entrada y la salida no tienen que ser en sí mismas

funciones contínuas.

Los sistemas con parámetros que varían con el tiempo se llaman sistemas variables en

el tiempo. Estos, generalmente se modelan mediante ecuaciones diferenciales o de diferencias

lineales con coeficientes que varían en el tiempo.

Si la salida para cualquier tiempo t depende solo de la entrada en el mismo tiempo, el

sistema se llama sin memoria. Si la salida en el tiempo t depende de los valores de la entrada

correspondientes a cierto intervalo (t-T,t) entonces el sistema tiene memoria de longitud T.

SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN EL

DOMINIO DEL TIEMPO.

Una ecuación diferencial lineal ordinaria con coeficientes constantes es característica de

los sistemas concentrados lineales invariables en el tiempo.

Suponga que la ecuación diferencial es de orden n

)()(....)()(

01

1

1 txtybdt

tydb

dt

tydb

n

n

nn

n

n

en forma más resumida como

L[y] = x(t)

siendo L un operador lineal.

La solución de ésta ecuación diferencial tiene dos componentes:

1) la solución (transitoria , natural , complementaria , homogénea) de fuente libre o de entrada

cero, y

2) la componente resultante de la fuente (forzada, de estado-estable , no homogénea, solución

particular) o de estado cero.

La solución transitoria yc(t) se obtiene de la ecuación homogénea anterior; es decir, yc(t)

debe satisfacer:

L[yc(t)] = 0

Para el caso especial de coeficientes constantes , se tiene la solución de ésta ecuación en

la forma:

yc(t) = C1 y1(t) + C2 y2(t) + ….. + Cn yn(t)

Las funciones y1(t) , y2(t) , ……, yn(t) dependen de las raíces de la ecuación

característica asociada,

f(r) = bnrn + bn-1rn-1 + ……… + b0 = 0

en donde bn…,….. b0 son los mismos coeficientes que en la ecuación diferencial inicial. Si ésta

tiene n raíces distintas r1, r2…, rn, las funciones yi(t) , i = 1,2,…,n son yi(t) = erit y la solución

transitoria o complementaria es:

trn

trtrc

neCeCeCty .........)( 2121

Dependiendo de la multiplicidad de las raíces , las funciones yi(t) toman diversas

formas. Después de encontrar las n raíces de la ecuación característica , se asignan las y i(t) , i =

1.2…..,n como sigue:

1) para cada raíz real r , la función ert .

2) para cada raíz real r de multiplicidad k , las funciones ert , t ert ,…….,tk-1 ert .

3) para cada par complejo simple de raíces a±jb , las funciones eat Cosbt y eat Senbt.

4) para cada par complejo de raíces a±jb de multiplicidad k , las funciones eat Cosbt , eat Senbt,

t eat Cosbt ,t eat Senbt, ……, tk-1 eat Cosbt , tk-1 eat Senbt.

Las constantes Ci , i = 1,2,……,n se determinan de las condiciones iniciales o de

frontera del problema.

La solución resultante de la respuesta forzada es un poco más complicada. Existen

varios métodos para la obtención de yp(t) incluyendo el de suposición argumentada. Se puede

emplear el método de coeficientes indeterminados , si las derivadas de x(t) dan por resultado un

número finito de funciones independientes. A continuación describiremos brevemente el

método de coeficientes indeterminados.

Sea Dº d/dt con lo que el operador L se puede expresar como

L = bnDn + bn-1Dn-1 + ……… + b0 = 0

es decir, como operador polinomial en el operador D. Se desea encontrar un operador que

“anule” x(t) . Es decir, dado x(t), se desea encontrar un operador LA tal que

LA [x(t)] = 0

Tal operador siempre se puede encontrar si x(t) es solución de una ecuación homogénea con

coeficientes constantes. Por ejemplo, si x(t) = eat , entonces el operador anulador es LA = D - a.

Si x(t) = Acosbt+Bsenbt , entonces el operador anulador es LA = D2+ b2. Para una suma de tales

términos , el operador anulador es el producto de los operadores de cada sumando.

Una vez que se ha encontrado el operador anulador se aplica a ambos miembros de la

ecuación no homogénea original para obtener una ecuación homogénea. Esto es , suponga que

LA es el anulador para x(t) y que se desea resolver

L[y(t)] = x(t)

entonces:

LA {L[y(t)]} = LA [x(t)] = 0

en donde ésta ecuación puede resolverse empleando el método expuesto anteriormente.

Así , la solución es:

)(...)()(.........)()()( 112211 tyCtyCtyCtyCtyCty prprppnn

Las primeras n funciones solución satisfacen L[y(t)] = 0. Por tanto , si se sustituye y(t) en ésta

ecuación , éstos términos sumarán cero y los únicos términos del segundo miembro serán los

que provienen de la función de excitación. Si ahora se igualan coeficientes de términos

semejantes en ambos miembros de la ecuación , es posible determinar las constantes Cp1, ……

Cpr, y así obtener la solución forzada.

La respuesta total del sistema y(t) está formada de dos componentes. La solución de

fuente libre o transitoria, se obtiene con un estímulo de entrada igual a cero y por tanto , solo

depende del carácter del sistema y no de señales externas. Esta solución se conoce como

respuesta natural del sistema , debido a que ocurre para x(t) = 0. Los términos de fuente libre ,

transitoria, natural , homogénea y complementaria se emplean para describir ésta respuesta que

depende únicamente del carácter del sistema.

Por el contrario , la solución forzada es característica tanto del sistema como del

estímulo de estrada. Si el sistema o la entrada varían, cambia la respuesta forzada. La respuesta

forzada también se conoce como respuesta en estado estable debido a que es una respuesta

dirigida que puede existir después de desaparecer la respuesta transitoria.

ALMACENAMIENTO DE ENERGIA INICIAL EN SISTEMAS LINEALES.

Para el análisis de sistemas lineales , existe otra forma útil de descomponer la respuesta

total. Esta descomposición implica separar la respuesta provocada por la energía inicial

almacenada de la respuesta debida a la entrada del sistema. Al separar la energía inicial

almacenada del resto de la respuesta, se tiene una forma más sencilla de manejar e interpretar el

almacenamiento de energía en un sistema.

En la descomposición mostrada en la figura 1 cada uno de los sistemas marcados con H

es igual al sistema dado en la parte superior de la figura.

HX(T) Y 1(T)

H

H

X(T)

X(T)=0

Y d(T)

Y h(T)

Y 2(T)

(fig. 1)

Escribiremos la salida y2(t) del sistema como la suma de yd(t) , salida de un sistema

inicialmente en reposo alimentado con la entrada x(t) , más yh(t), salida de un sistema no

forzado con condiciones iniciales idénticas a las del dado.

Entonces tenemos

y2(t) = yd(t) + yh(t)

donde

L[yd(t)] = 0

con yh(0)= y1(0); y`h(0) = y`1(0); ………

De éste modo y1(0); y`1(0); ……… yn-11(0) son las condiciones iniciales dadas para el sistema.

VARIABLES DE ESTADO

La descripción con variable de estado se relaciona con el sistema considerado como un

todo. Por lo tanto , se toman en cuenta tanto las variables internas del sistema como las

variables de entrada - salida.

En general, el estado de un sistema en el tiempo t es el conjunto mínimo de variables

necesarias en el tiempo t para que, dadas las entradas del sistema para t > t , se pueda

especificar con exactitud el comportamiento futuro del sistema para t > t.

Considérese un sistema con una sola entrada y una sola salida representado por la

ecuación diferencial

)()(....)()(

001

1

1 tuatybdt

tydb

dt

tydb

n

n

nn

n

n

Para poner éste sistema en forma de variable de estado primero se hace un dibujo de

diagrama a bloques. En el caso de sistemas de tiempo continuo se emplean integradores como

elemento básico del diagrama de bloques. En la figura 2 se muestra una representación en

diagrama de bloques de la ecuación anterior. Los integradores de la figura 2 corresponden a los

elemento de retardo de sistemas de tiempo discreto.

a0

b n-1

b n-2

b 0

u(t)...

y(t)y (n) (t) y (n-1) (t) y (n-2) (t)

+

- --

(fig. 2)

Para poder calcular la salida y(t) debida a la entrada u(t) , es necesario saber los valores

iniciales asociados a cada integrador , ya que éstos valores se pueden especificar

independientemente de la entrada. En otras palabras , las salidas iniciales del integrador se

consideran como la memoria del sistema: así, se definen las variables de estado como las

salidas

de éstas unidades de memoria. Las componentes del vector de estado x(t) se definen como:

)()()(

)()()(

)()(

11

12

1

txtytx

txtytx

tytx

nn

n

entonces se puede escribir

)()()( tButAxtx donde x es un vector y A,B son matrices.

La ecuación de estado de un sistema de tiempo continuo expresa la derivada con

respecto al tiempo del vector de estado en función del vector de estado y de la entrada ,

mientras que la ecuación de estado de un sistema de tiempo discreto expresa el estado en un

instante dado en términos del estado en un instante anterior y de la entrada.

Se puede expresar la salida y(t) en términos del estado x(t) y de la entrada u(t) como:

)()()( tDutCxty donde y es un vector y C,D son matrices.

Se pueden tratar múltiples entradas y múltiples salidas con las mismas fórmulas. Para n

estados, r entradas y s salidas , la matriz A tiene dimensiones n x n ,la B n x r , la C s x n, la D

s x r.

Las variables de estado se pueden interpretar como las “celdas de memoria” del

sistema. Para sistemas de tiempo continuo éstas celdas de memoria se pueden elegir, de modo

que correspondan a las componentes físicas de almacenamiento de energía dentro del sistema.

Para los sistemas eléctricos, éstos dispositivos de almacenamiento de energía son los

capacitores y los inductores.

OBSERVABILIDAD Y CONTROLABILIDAD.

Suponiendo que la matriz A del sistema tenga distintos eigenvalores y que la base de

coordenada se elija de tal manera que se tenga la representación con variable de estado en forma

normal, se puede determinar con facilidad la observabilidad y controlabilidad con solo

examinar las matrices B y C . Si B y C solo tienen filas y columnas diferentes de cero ,

respectivamente, entonces el sistema es controlable y observable respectivamente.