Análsis Dual

I

OBJETIVOS

Reconocer el problema primal y el problema dual. Convertir problemas primales en duales.

II

TEMAS A TRATAR

Problema Primal. Problema Dual.

Concepto, pasos para llegar a él, ventajas.

III

MARCO TEORICO

PROBLEMA PRIMAL.- Es el modelo matemático que obtenemos luego de analizar y plantear un problema de programación lineal. En otras palabras es el modelo que obtenemos luego de plantear un problema.

PROBLEMA DUAL.- Modelo relacionado al problema primal.

CONVERSIÓN DE PRIMAL A DUALPara obtener el dual, se siguen los siguientes pasos:a) Si el primal es maximización, el dual es minimización; y viceversa.b) Si dual es maximización, entonces el símbolo de todas sus restricciones es . Si

dual es minimización, entonces el símbolo de todas sus restricciones es .c) Se define una variable dual por cada restricción primal.d) Se define una restricción dual por cada variable primal.e) Los coeficientes en cada una de las restricciones duales son iguales a los

coeficientes de las variable primales asociadas.f) Los límites de cada una de las restricciones duales, son iguales a los coeficientes de

la función objetivo primal.g) Los coeficientes de la función objetivo dual son los límites del problema primal.

Ing. Efraín Murillo

Sesión

5

NOTA: Desde el mometo que se define una variable dual, ésta es no restringida (puede ser negativa), solamente cambiará esta concepto si el problema dual dice lo contrario (nos dice que no es negativa).

NOTA: Si el problema dual, nos da una variable redundante (nos afirma que una variable sigue siendo no restringida), entoces esa variable debe ser considerada como una restricción completa..

Ejemplo 1:

Max Z = 5X1 + 4X2

6X1 + 4X2 24X1 + 2X2 6-X1 + X2 1X2 2

El dual es:Min B = 24Y1 + 6Y2 + Y3 + 2Y4

6Y1 + Y2 – Y3 54Y1 + 2Y2 + Y3 + Y4 4

Y1 0Y2 0Y3 0Y4 0

Las soluciones son:Primal Dual

Z 21 B 21X1 3 Y1 ¾X2 3/2 Y2 ½

Y3 0Y4 0

VENTAJAS DE USAR EL PROBLEMA DUAL Nos permite realizar menos cálculos al hallar las soluciones, por ejemplo un problema

de 2 variables y 4 restricciones, se convierte en uno de 2 restricciones y 4 variables. Nos permite hacer un análisis económico.

Ejemplo 2:

Supóngase que un fabricante tiene dos recursos disponibles, R1 y R2. Estos recursos pueden usarse para producir dos productos diferentes A y B, de acuerdo con las siguientes reglas:

Cantidad Actividad de recurso

Ing. Efraín Murillo

Tipo de recurso A B disponibleR1 1 h-h 1 h-h 3 h-hR2 4 h-m 2 h-m 8 h-m

Contribución unitaria $3.5 $2.5

Cuántas unidades de A y B se debe producir para maximizar las ganancias?

Este es un problema de mezcla de productos. Si se expresa el problema en el formato del modelo de programación lineal se tiene:

Max Z= 3.5A+2.5BStA+B≤34A+2B≤8A,B≥0

La solución es A=1, B=2, Z=$8.5.

Asociando las variables r1 y r2 a las restricciones 1 y 2 respectivamente, tenemos que el modelo general del otro problema llamado dual es:

Min W= 3r1+8r2Str1+4r2≥3.5r1+2r2≥2.5r1,r2≥0

INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL PROBLEMA DUAL

El problema dual puede entenderse reinterpretando el problema original. Supóngase que el fabricante prefiere vender los dos recursos R1 y R2, en lugar de usarlos para fabricar los productos A y B. Con seguridad los recursos tienen un valor, puesto que pueden usarse para crear productos que pueden venderse. Pero, aunque se conoce el valor unitario de los productos, no se conoce el valor unitario de los recursos. Entonces, esto es lo que se quiere encontrar: ¿Cuánto debe cobrarse por los recursos?

Por supuesto, en un mercado libre los recursos deben venderse en la cantidad más alta que el mercado acepte. Sin embargo, existe un precio mínimo abajo del cual le conviene más al fabricante usar los recursos para los productos A y B que venderlos directamente. Por ejemplo, supóngase que el mercado sólo pagaría $0.10 por unidad de cada recurso. El fabricante obtendría $1.10 por sus 11 unidades de recursos si los vende, comparado con los $8.50 que obtiene por los productos A y B.

Sean r1 y r2 los precios unitarios por los recursos R1 y R2, respectivamente. La cantidad total recibida de la venta directa de los dos recursos sería R1r1+R2r2. Como lo que se busca es el precio mínimo que se debe cobrar por estos recursos, la función objetivo es:

Min Z= 3r1 + 8r2

Como se mencionó antes, sería un error vender los recursos por menos de lo que puede obtenerse al usarlos en la fabricación de los productos A y B. Así, el precio de cada producto proporciona un límite inferior o una restricción sobre el precio del recurso. Para el producto A, se tiene la restricción:

r1 + 4r2 ≥ 3.5

Ing. Efraín Murillo

Es decir, si se venden directamente 1 unidad del recurso R1 y 4 unidades del recurso R2, entonces, por lo menos deben recibirse $3.50, ya que esa es la cantidad que se recibiría por una unidad del producto A que se fabrique. De igual manera, para el producto B

r1 + 2r2 ≥ 2.5

La solución gráfica del problema dual se muestra en la figura siguiente:

Los precios mínimos que debe cobrar el fabricante son $1.50 por unidad de recurso R1 y $0.50 por unidad de recurso R2. Nótese que tanto el problema primal como el problema dual dan el mismo valor de la función objetivo: $8.50. Esto era de esperarse, ya que el fabricante no aceptaría menos dinero por los recursos del que podría obtener usándolos en su producción.

IV

(La práctica tiene una duración de 02 horas) ACTIVIDADES

01. Ingrese el problema ejemplo 1 y 2 de la presente práctica en sus dos formas (Primal y dual) al LINDO, WinQsb o POMQM, compare los resultados de las tablas generadas y emita sus conclusiones.

02. Convierta los siguientes problemas en sus respectivos duales, y halle los resultados de ambos modelos (Primal y Dual) por el LINDO, WinQsb o POMQM. Verifique cada una de las respuestas y analice.

Max Z = 5X1 + 12X2 + 4X3 Min 15X1 + 12X2 Max Z = 3X1 + 5X2X1 + 2X2 + X3 10 X1 + 2X2 3 X1 42X1 – X2 + 3X3 = 8 2X1 – 4X2 5 2X2 12

3X1 + 2X2 18

03. Una fábrica ha seguido constantemente una política de fabricación de aquellos productos que contribuyan con la mayor cantidad a los costos fijos y a las ganancias. Sin embargo, siempre se ha procurado producir los requerimientos mínimos semanales de ventas, que son los siguientes para los productos K, L, M y N:

Producto K 25 unidadesProducto L 30 unidadesProducto M 30 unidadesProducto N 25 unidades

Ing. Efraín Murillo

Los requerimientos de producción y el tiempo disponible para la semana siguiente son:

  Tiempo requerido por producto Tiempo disponible    (horas)   la próxima semana

K L M N (horas)Departamento 1 0.25 0.2 0.15 0.25 400Departamento 2 0.3 0.4 0.5 0.3 1000Departamento 3 0.25 0.3 0.25 0.3 500Departamento 4 0.25 0.25 0.25 0.25 500Contribución unitaria $10.50 $9.00 $8.00 $10.00  

a) Obtenga el modelo matemático Primal y muestre su solución.b) Formule el modelo Dual y defínase las variables respectivas.c) Utilizando el software Lindo o WinQsb, obtenga la solución del problema dual y

compare con la solución del Problema Primal.

04. Una empresa manufacturera está considerando la fabricación de una nueva línea de productos, compuesta por cuatro productos. Cada producto puede fabricarse con dos métodos diferentes y completamente distintos, uno de los cuales consta de dos procesos y el otro de tres. Se fabricarán basándose en un segundo turno. El precio de venta de esos productos y sus costos variables, así como las cantidades que probablemente puedan venderse, de acuerdo con el grupo de investigaciones de mercadotecnia, son los siguientes:

PRODUCTO 1 2 3 4

Precio de venta al mayoreo (40% de descuento) $100 $150 $125 $140Costos variables – método A 80 135 120 135Costos variables – método B 110 150 100 110Cantidad que puede venderse 1000 3000 4000 6000

La sección de manufactura de la empresa ha determinado que los tiempos de manufactura para cada proceso son los siguientes:

PRODUCTO 1 2 3 4

Método A Dpto. 20 3.0 3.6 2.0 3.5

Dpto. 21 9.0 10.0 8.0 9.0Dpto. 22 1.0 1.0 0.5 0.5

Método B Dpto. 31 4.0 4.0 2.0 4.0

Dpto. 32 5.0 8.0 4.0 3.0

Horas disponibles al mes:Departamento 20 15000Departamento 21 50000Departamento 22 8000Departamento 31 10000Departamento 32 10000

a) Obtenga el modelo matemático Primal y muestre su solución.b) Formule el modelo Dual y defínase las variables respectivas.

Ing. Efraín Murillo

c) Utilizando el software Lindo, WinQsb o POMQM, obtenga la solución del problema dual y compare con la solución del Problema Primal

Ing. Efraín Murillo