análisis del modelo de dos fluidos en flujo bifásico totalmente ...

TESIS DOCTORALCARRERA DE DOCTORADO EN INGENIERÍA NUCLEAR

ANÁLISIS DEL MODELO DE DOS FLUIDOS ENFLUJO BIFÁSICO TOTALMENTE

DESARROLLADO

Osvaldo Azpitarte

Osvaldo AzpitarteDOCTORANDO

Dr. Gustavo BuscagliaDIRECTOR

Instituto BalseiroComisión Nacional de Energía Atómica

Universidad Nacional de CuyoDiciembre 2003

Análisis del Modelo de Dos Fluidos en Flujo Bifásico TotalmenteDesarrollado

Osvaldo Azpitarte, Instituto Balseiro, ArgentinaDiciembre 2003

Resumen

Se analiza el modelo de dos fluidos y su aplicación a flujos bifásicos bubbly totalmente desarrolladosen conductos verticales, tanto en régimen laminar como en régimen turbulento. En régimen laminar elmodelo es reducido a dos ecuaciones diferenciales que resuelven la fracción de gas (EG) Y la velocidad(VL). Para régimen turbulento se implementa un modelo k - € para bajo número de Reynolds cuyoresultado es un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales que reproducen las cuatro variables (EG, VL,k y €) en todo el dominio radial (incluyendo la sub capa laminar).Para flujo laminar, el sistema de ecuaciones es reducido inicialmente a una sola ecuación diferencialadimensional (ODE) que resuelve la distribución de EGen la región central del conducto sin tener encuenta el efecto de las paredes. La ecuación diferencial es resuelta utilizando Mathematica. Analizan-do las soluciones se concluye que se produce una compensación exacta entre el gradiente de presiónimpuesto y la fuerza hidrostática Peff9 (Peff: densidad efectiva de la mezcla). Esta compensación tienecomo consecuencia que EG en el centro del conducto sólo depende del gradiente de presión aplicado(la dependencia es lineal) y que los perfiles de EGy VL son necesariamente planos.El problema completo es tratado numéricamente mediante la implementación de un código de elemetosfinitos. El efecto de las paredes es incorporado mediante la inclusión de un modelo de fuerza de pared.Cuando el código es aplicado al caso laminar, se confirman las conclusiones obtenidas al resolver laODE con Mathematica, y es posible analizar también el caso en que el gradiente de presión es mayorque el peso del líquido puro (PL g). En ese caso se desarrolla un región de EG nula alrededor del ejedel conducto (en flujo ascendente).Cuando el código es aplicado a resolver el caso turbulento, se concluye que, dentro de un rango degradientes de presión limitado por dos valores de transición (81 y (2), son aplicables las mismas con-clusiones obtenidas para flujo laminar. Un análisis de las transiciones 81 y 82 permite concluir quetienen su origen en un incremento abrupto de fuerzas laterales. Se muestra también que son funciónlineal de la fracción de gas promedio (EG).Finalmente, se analiza el efecto de reducir la aceleración de la gravedad (g). Al reducir 9 se modificala relación entre las fuerzas laterales actuantes. En flujo laminar se produce mayor acumulación de gassobre la pared del conducto en flujo ascendente, y en el centro en flujo descendente. En flujo turbulentose produce siempre una mayor acumulación de gas sobre la pared del conducto.

Analysis of the Two-Fluid Model in FulIy-Developed Two-PhaseFlow

Osvaldo Azpitarte, Instituto Balseiro, ArgentinaDecember 2003

A bstract

The two fluid model is analysed and applied to solve vertical fully-developed bubbly two-phase flows,both in laminar and turbulent conditions. The laminar model is reduced to two differential equationsto solve the gas fraction (fG) and the velocity (vL). For the turbulent condition, a k - é model for lowReynolds number is implemented, resulting in a set of differential equations to solve the four variables(fG, VL, k and é) along the whole radial domain (including the laminar sub layer).For laminar condition, the system is initially reduced to a single non-dimensional ordinary equation(ODE) to solve fG in the central region of the duct, without considering the effect of the wall. Theequation is solved using Mathematica. Analysing the solutions it can be concluded that an exactcompensation of the applied pressure gradient with the hydrostatic force Peff 9 occurs (Peff : effectivedensity of the mixture). This compensation implies that the value of fG at the center of the duct onlydepends on the applied pressure gradient (dependency is linear), and that the fG and VL profiles arenecessarily flatoThe complete problem is dealt numerically through the implementation of a finite element codeo Theeffect of the walls is included via a model of wall force.When the code is applied to a laminar condition, the conclusions previously obtained solving the ODEare confirmed. It is also possible to analyse the regime in which the pressure gradient is greater thanthe weight of the pure liquid, in which case a region of strictIy zero void fraction develops surroundingthe axis of the duct (in upward flow).When the code is applied to a turbulent condition, it is shown that the conclusions obtained for laminarcondition can also be applied, but within a range of pressure gradient limited by two transition values(81 and 82). An analysis of transitions 81 and 82 allows us to conclude that their origin is a suddenincrease of lateral forces. It is also shown that both transitions are linear functions of the average voidfraction (loG) .Finally, the effect of reducing the gravity is analysed. When 9 is reduced the relationship betweenlateral forces is modified. In laminar condition, the fraction of gas is higher on the wall regio n forupward flow, and in the central regio n for downward flow. For turbulent condition, the fraction of gasalways increases towards the wall.

Vedicatoria

.9l mis padres

.9l.mi esposa 'Evira y mis liijos :María 'lIictoria e IgtW.wJ que siempre me l(.ompaiUlron y alentaron

.9Lgradecimientos

.9l (justavo 'BuscagiaJ director de esta tesisJ por su invaIora6fe y permanente orientl(.WnJ

asesoramiento y apoyo

.9l.'Enzo tJ)aTÍJpor su permanente y vafwsa ayuda en todo fo referido a fa impfementl(.Wn numirica y

computacWnaf de esta tesis

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vafwsos aportes a esta tesis

.9l todo ef personaf de ras divisiones de 'Iermoliídráufica y :Mecánica ComputacÍlJ1UlÍ con quienes

compartí muc/io más que ef espacw físico y ef tiempo

Indice general

1. Introduccion 3

2. El Modelo de dos fluidos 6

2.1. Ecuaciones de conservacion locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Condiciones de salto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Promediados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1. Porque promediar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.2. El promedio volumetrico y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4. Ecuaciones de conservacion promediadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1. Ecuacion de conservacion de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2. Ecuacion de conservacion del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.3. Ecuacion de conservacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. El modelo de dos fluidos - Regimen laminar 17

3.1. Reduccion y adimensionalizacion del sistema de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . 19

3.2. Propiedades genericas de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. Simulacion numerica de flujos laminares de dos fases 26

4.1. Metodo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2. Reproduccion de datos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3. Resultados numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4. El efecto de reducir la aceleracion de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5. El modelo de 2 fluidos - Regimen turbulento 38

5.1. Introduccion a la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2. Modelado de flujos turbulentos de una fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.1. Modelos de turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.2. El modelo k − ε para flujos de una fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1

INDICE GENERAL 2

5.2.3. Capa lımite turbulenta - La ley de pared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.4. El modelo k − ε para flujos de bajo numero de Reynolds . . . . . . . . . . . . 44

5.3. Modelado de flujos turbulentos de dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3.1. El modelo k − ε para flujos de dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3.2. La fuerza de dispersion turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4. Sistema de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6. Simulacion numerica de flujos turbulentos de dos fases 48

6.1. Comparacion de resultados obtenidos con modelo de alto y bajo numero de Reynolds . 48

6.2. Reproduccion de datos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.3. Estudio parametrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4. Analisis de las transiciones θ1 y θ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.5. Mapa de flujo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.6. El efecto de reducir la aceleracion de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.7. Multiplicador de dos fases (Φ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7. Conclusiones 74

Capıtulo 1

Introduccion

Se denomina genericamente flujo bifasico a aquel en el que fluyen simultaneamente dos fases. Estasfases pueden ser lıquidas, solidas o gaseosas. La superficie que separa las fases, denominada interfase,puede ser rıgida o deformable, y a traves de ella las fases pueden intercambiar masa, momento y/oenergıa.

En los flujos bifasicos una de las fases es denominada fase continua, y la otra fase dispersa. La fasedispersa puede presentarse en forma de burbujas (gas) o de partıculas (solidas o lıquidas) de distintostamanos y formas. La distribucion geometrica de las fases, lo que se denomina topologıa del flujo, esuna caracterıstica importante de los flujos bifasicos, porque influye en la interaccion entre las fases.La Figura 1.1 muestra las topologıas caracterısticas de los flujos gas-lıquido en conductos verticales.

Figura 1.1: Topologıas de flujo gas-lıquido

Esta tesis esta dedicada, en particular, al analisis de flujos bifasicos gas-lıquido de topologıa bubbly enconductos verticales. La importancia de este tipo de flujos radica en la relevancia de sus aplicacionespracticas, que incluye, entre otras, al ciclo agua-vapor de las usinas termicas, al flujo en los circuitosprimario y secundario de los reactores nucleares, al flujo en los reactores quımicos de burbujas o enlas columnas de destilacion, etc...

El modelado completo y detallado de un flujo de dos fases constituye , hoy por hoy, un problemacasi inabordable, por su complejidad, y por la capacidad de calculo computacional que demandarıa.Tengase en cuenta, por ejemplo, que exigirıa tener la capacidad de predecir la evolucion de la forma,tamano y posicion de cada burbuja o partıcula de fase dispersa. Es por esta razon que han sidodesarrollados modelos simplificados para representar los flujos bifasicos con mayor o menor detalle.

3

CAPITULO 1. INTRODUCCION 4

El modelo mas simple de todos es el denominado modelo homogeneo (Wallis, 1969). En el el fluido esconsiderado como un unico pseudofluido, cuyas propiedades son propiedades promedio pesadas con lafraccion volumetrica de cada fase. La velocidad de ese pseudofluido es unica.

El modelo de drift flux (Wallis, 1969) es similar al modelo homogeneo, pero a diferencia de este, calculauna velocidad relativa entre las fases.

El modelo de dos fluidos (Ishii, 1975) es mas completo que los anteriores, y es, en la actualidad, uno delos mas utilizados para la simulacion de flujos de dos fases. Este modelo surge de plantear las ecuacionesde conservacion exactas para cada fase, y luego de promediar adecuadamente, introducir la variableǫk(x, t) (fraccion de la fase k), que es la probabilidad de encontrar la fase k en la posicion x al tiempot. En el proceso de promediado se pierde mucha informacion de interes, que debe ser reintroducida almodelo a traves de las llamadas relaciones de cierre o clausura. Estas relaciones incluyen, entre otras,a las fuerzas que realiza una fase sobre la otra, como las fuerzas de drag, lift, masa virtual, etc...

Las relaciones de cierre estan, aun hoy, lejos de estar definitivamente establecidas, tanto conceptualcomo cuantitativamente. Como ejemplo, se puede citar que la accion del termino de lift, que modelalas fuerzas transversales que actuan sobre una burbuja o partıcula en presencia de un gradiente develocidad, no esta totalmente comprendida. El coeficiente de lift (CL) utilizado para burbujas en flujoen conductos (CL ≈ 0,05; Lahey, 1990) es mucho mas pequeno que el deducido para flujo potencial(CL = 1

2 ; Drew & Lahey, 1987), mientras que CL para partıculas depende de la velocidad de rotacion dela partıcula alrededor de su centro, resultando, en algunos casos, de signo negativo . Algunos autores,a causa de esta incerteza, simplemente omiten el termino de lift (Uchiyama, 1999). Tampoco el efectoque las paredes solidas ejercen sobre las burbujas cercanas esta totalmente establecido. Este efecto seintroduce generalmente al modelo a traves de las denominadas fuerzas de pared. Antal et al. (1991),por ejemplo, modelaron esta fuerza considerando burbujas esfericas y rıgidas. Sin embargo, un modeloreciente (Larreteguy et al., 2002) considera burbujas deformables y elasticas.

En vistas de este “state of the art”, el objetivo de esta tesis es volver sobre flujos sencillos y tratarde extraer la mayor cantidad de informacion posible acerca del comportamiento del modelo de dosfluidos, utilizando un modelo que satisfaga los principios constitutivos basicos (Ishii & Mishima, 1984)(Drew & Lahey, 2001).

Uno de los flujos mas sencillos y mas analizados, tanto experimental como numericamente, es elflujo totalmente desarrollado en conductos cilındricos verticales. Muchos autores lo han modeladoy analizado, tanto en regimen laminar como en regimen turbulento. Antal et al. (1991) resolvieronnumericamente las ecuaciones correspondientes a flujo laminar totalmente desarrollado y lograronreproducir los datos experimentales de Nakoryakov et al. (1986). Lopez de Bertodano et al. hicieronlo propio para regimen turbulento, y reprodujeron los datos experimentales de Serizawa et al. (1986).El objetivo de esta tesis es ir mas alla de estos analisis y explorar propiedades genericas del modelode dos fluidos y sus soluciones.

El Capıtulo 2 de esta tesis esta dedicado a la presentacion completa del modelo de dos fluidos, haciendoreferencia especıfica a las relaciones de clausura.

Los Capıtulos 3 y 4 estan dedicados al modelado y analisis de flujos totalmente desarrollados enregimen laminar.

En el Capıtulo 3 se presenta el sistema de ecuaciones diferenciales resultantes del modelo, y, a travesde manipulaciones algebraicas, se logra reducir ese sistema a una sola ecuacion diferencial ordinaria(ODE), adimensionalizada mediante la introduccion de una longitud caracterıstica L que resulta serdel orden del radio de la burbuja. Las soluciones de esta ODE son facilmente obtenidas e investigadasutilizando Mathematica (Wofram, 1991). Como conclusion de este analsis, se pudo demostrar que,

CAPITULO 1. INTRODUCCION 5

en flujos laminares totalmente desarrollados, existe una compensacion exacta entre el gradiente depresion aplicado y la fuerza hidrostatica ρeff g, donde ρeff es la densidad efectiva de la mezcla y g laaceleracion de la gravedad. Como corolario, se demuestra tambien que la fraccion de gas en el centrodel conducto solo depende del gradiente de presion, y que, para todo conducto de diametro de interespractico (d > 20 L), la unica solucion posible con significado fısico es la de perfiles planos de fraccionde gas y velocidad de lıquido.

En el Capıtulo 4 se implementa una aproximacion numerica del sistema de ecuaciones presentado en elcapıtulo anterior, utilizando el metodo de los elementos finitos (Zienkiewicz, 1977). Esta aproximacionnumerica permite comprobar las conclusiones anteriores, y extenderlas a casos en los que se predicenregiones de fraccion de gas nula. Se analiza tambien el comportamiento de las soluciones del modelo dedos fluidos bajo condiciones de gravedad reducida. El analisis permite demostrar que, al disminuir laaceleracion de la gravedad, cambia el peso relativo de las fuerzas interfaciales, haciendo que la fuerzade lift sea crecientemente dominante sobre las otras. Esto se traduce en una mayor acumulacion deburbujas en la pared para flujo ascendente, y en una mayor acumulacion de burbujas en la regioncentral del conducto para flujos descendentes.

Los Capıtulos 5 y 6 de esta tesis estan dedicados al modelado y analisis de flujos totalmente desarro-llados en regimen turbulento.

En el Capıtulo 5 se presenta un modelo turbulento k − ε desarrollado para flujos de dos fases bubbly(Lopez de Bertodano et al., 1994). Como el radio de las burbujas puede ser comparable al espesor dela subcapa laminar, se aplicaron correcciones cuyo resultado es un modelo conocido como modelo k−εde bajo Reynolds (Wilcox, 1998). Las funciones de correccion empleadas son las que fueron derivadaspara flujos de una sola fase, ya que el enfasis de la tesis fue puesto en las propiedades de las solucionesdel modelo de dos fluidos y no en el modelo de turbulencia.

Los resultados numericos del sistema de ecuaciones planteado en el Capıtulo 5 se presentan en elCapıtulo 6, y de ellos se pudieron extraer importantes conclusiones. Dentro de un rango de gradientesde presion limitado por dos valores de transicion, que hemos denominado θ1 y θ2, las propiedades delflujo son similares a las obtenidas para flujo laminar : el gradiente de presion aplicado es compensadopor la fuerza hidrostatica ρeff g, la fraccion de gas en el centro del conducto depende linealmente delgradiente de presion, y se predicen perfiles planos de fraccion de gas y velocidad en la region centraldel conducto. Se muestra tambien que el valor absoluto del gradiente de presion es mayor que ρeff g, siel gradiente de presion es menor que θ2, y es menor que ρeff g si el gradiente de presion es mayor queθ1. La fraccion de gas en la region central del conducto es aproximadamente constante para gradientesde presion menores que θ2, y disminuye levemente para gradientes de presion mayores que θ1.

Un analisis de las transiciones θ1 y θ2 nos permitio concluir que estas deben su origen a un incrementode la fuerza lateral de dispersion turbulenta y a la accion de una fuerza lateral que depende de laderivada radial de la energıa cinetica turbulenta (k). Se comprobo tambien que las transiciones θ1 yθ2 dependen linealmente de la fraccion de gas promedio (ǫG).

Finalmente, se analizo como cambian las soluciones del modelo turbulento cuando se reduce la ace-leracion de la gravedad. En este caso, cuando se reduce g, cambia nuevamente el peso relativo de losterminos de la ecuacion correspondiente a la fraccion de gas, lo que provoca una mayor acumulacionde burbujas en la pared, tanto para flujo ascendente como para flujo descendente.

Capıtulo 2

El Modelo de dos fluidos

El modelo de dos fluidos (Ishii, 1975) surge de plantear las ecuaciones de conservacion para cada unade las fases, y, luego de promediar adecuadamente, suponer que en todo punto del dominio espacialconsiderado, existe una probabilidad ǫk de encontrar la fase k, donde ǫk es la fraccion volumetrica dela fase k en el punto considerado.

2.1. Ecuaciones de conservacion locales

En forma local, y en cada fase, se cumplen las ecuaciones de conservacion de masa, momento y energıa.

Estas ecuaciones se expresan :

• Ecuacion de conservacion de la masa

∂ρ

∂t+ ∇ · ρ~v = 0 (2.1)

• Ecuacion de conservacion del momento

∂ρ~v

∂t+ ∇ · ρ~v~v = ∇ · (T + TRe) + ρ~g (2.2)

dondeT = −p I + µ (∇~v + (∇~v)T )TRe = ρ~v′ ~v′

donde la barra horizontal indica promediado.

• Ecuacion de conservacion de la energıa

∂

∂tρ

(

U +1

2v2)

+ ∇ · ρ~v(

U +1

2v2)

= ∇ ·(

(T + TRe) · ~v − ~q)

+ ρ (r + ~g · ~v) (2.3)

En las ecuaciones anteriores ρ es la densidad, ~v es la velocidad media, ~v′ es la fluctuacion instantaneade velocidad, T es el tensor de tensiones, TRe es el tensor de tensiones de Reynolds, U es la energıainterna especıfica, ~g es la aceleracion de la gravedad, ~q es el flujo de calor, y r es la fuente volumetricade calor por unidad de masa.

Es comun encontrar tambien esta ecuacion expresada en terminos de entalpıa en lugar de energıainterna especıfica :

U = h − p

ρ(2.4)

6

CAPITULO 2. EL MODELO DE DOS FLUIDOS 7

o sea

∂

∂tρ

(

h +1

2v2)

+ ∇ · ρ~v(

h +1

2v2)

= ∇ ·[

(µ(∇~v + (∇~v)T ) + TRe) · ~v − ~q]

+ ρ (r + ~g · ~v) (2.5)

2.2. Condiciones de salto

Los flujos de dos fases se caracterizan por la presencia de interfases que separan las fases que estanen movimiento. En una interfase las propiedades son discontinuas, pero los flujos de masa, momentoy energıa son continuos.

• Conservacion de la masa2∑

k=1

[ρk (~vk − ~vki)] · nk = 0 (2.6)

donde ~vki es la velocidad de la interfase, y nk la normal exterior a la interfase para cada fase.

Definiendo el flujo de masa interfacial para la fase k como :

mk = [ρk (~vk − ~vki)] · nk (2.7)

resulta que m1 + m2 = 0, lo que implica que la generacion de una fase se produce, exclusivamente,por la desaparicion de la otra.

• Conservacion del momento2∑

k=1

[mk~vk + Tki · nk] = ~mσi (2.8)

~mσi = Hσn + ∇i σ (2.9)

donde ~mσi es la fuerza de la tension superficial, H la curvatura media en la interfase, n la normal

exterior de la fase dispersa, y ∇i el gradiente en coordenadas de la superficie.

Por ejemplo, en el caso en que no hubiera cambio de fase (mk = 0), ni gradientes en la tensionsuperficial, la condicion de salto en la interfase resultarıa :

2∑

k=1

Tki · nk = Hσn (2.10)

que se reduce a ∆p = Hσ en la direccion normal.

En el caso particular de una burbuja esferica de gas inmersa en un lıquido, esta expresion se convierteen :

∆p = pg − pl =2σ

rb(2.11)

donde rb es el radio de la burbuja

• Conservacion de la energıa

2∑

k=1

[

mk

(

Uk +1

2v2k

)

+ Tki · ~vk − ~qk

]

· nk = εσi (2.12)

εσi = Hσn · ~vi + ∇i (σ~vi) −

diUi

dt− Ui∇i · ~vi (2.13)


Donde Ui es la densidad de energıa interna en la interfase, y di

dt es la derivada material en la interfase.

Si ignoramos todas las contribuciones, asumimos que no hay cambio de fase, y despreciamos el trabajode deformacion en la superficie, se obtiene :

2∑

k=1

~qk · nk = 0 (2.14)

lo que significa que el calor entregado por una de las fases es recibido por la otra.

2.3. Promediados

2.3.1. Porque promediar

Se podrıa intentar resolver el problema del flujo de dos fases con el modelo cerrado que vimos hastaahora, es decir, las ecuaciones locales instantaneas de cada fase (2.1) y las condiciones de salto en lasinterfases (2.2). Si ası lo hicieramos, deberıamos ser capaces de determinar la evolucion temporal dela posicion de todas y cada una de las interfases. Estas posiciones son, a su vez, parte de la soluciondel problema, ya que las ecuaciones de conservacion y las condiciones de salto estan acopladas. Lasdificultades matematicas y de calculo numerico para encontrar la solucion serıan enormes, y en lamayorıa de los problemas practicos, superarıan nuestra capacidad actual.

Por otro lado, el enorme caudal de informacion que se obtendrıa serıa inmanejable, lo que harıa nece-sario el uso de procesamiento estadıstico para que los resultados tuvieran utilidad. No nos interesarıa,por ejemplo, conocer si a los t segundos de iniciado un proceso encontramos en la posicion ~x a la fase1 o 2 , sino cual es la probabilidad de encontrar alguna de las fases.

Es por estas razones que la aplicabilidad de la formulacion local instantanea esta severamente limita-da, y se hace evidente que es necesario promediar las ecuaciones locales instantaneas, con lo que seobtendran variables promediadas.

En el proceso de promediado se pierde informacion de detalle del flujo, alguna de ella de fundamentalimportancia, como las fuerzas que actuan en las interfases. Es por esta razon que, con el promediado, senecesitara modelar una cantidad de terminos que reemplacen la informacion perdida, para obtener unsistema cerrado de ecuaciones. Esto se conoce como el planteo del problema de cierre, y su tratamientose vera cuando se planteen las ecuaciones promediadas.

2.3.2. El promedio volumetrico y sus propiedades

Las ecuaciones de conservacion promediadas para cada fase, pueden ser obtenidas promediando lasecuaciones locales sobre un volumen V0. Este volumen debe ser lo suficientemente grande como paraabarcar varias partıculas de fase dispresa, pero, a su vez, suficientemente pequeno como para noenmascarar variaciones espaciales de las propiedades promediadas.

Siguiendo a Ni & Beckermann (1991), si consideramos una funcion general de la posicion y el tiempoen la fase k, fk(~x, t), que puede ser escalar, vectorial o tensorial, y a la que denotaremos simplementefk, se define el promedio volumetrico como :

fk =1

V0

∫

V0

XkfkdV (2.15)

donde Xk es la llamada funcion indicadora de fase, que vale uno en la fase k y cero en cualquier otra.


El promedio volumetrico intrınseco se define como :

fkk

=1

Vk

∫

V0

XkfkdV (2.16)

Definimos tambien la fraccion volumetrica ǫk como

ǫk =Vk

V0(2.17)

que debe cumplir con∑

k

ǫk = 1 (2.18)

Se comprueba tambien que

fk = ǫkfkk

(2.19)

La fluctuacion de fk se define como

f ′k = fk − fk

k(2.20)

El promedio del producto de dos funciones fk y gk esta dado por

fkgkk

= fkkgk

k + f ′kg

′k

k(2.21)

Finalmente enunciaremos dos teoremas, comprobados por varios autores :

∂fk

∂t=

∂fk

∂t− 1

V0

∫

Ak

fk ~wk · nk dA (2.22)

donde ~wk es la velocidad de la interfase Ak

∇fk = ∇fk +1

V0

∫

Ak

fknkdA (2.23)

o su equivalente

∇fk = ǫk∇fkk

+1

V0

∫

Ak

f ′knkdA (2.24)

Comparando las dos ultimas ecuaciones, obtenemos

1

V0

∫

Ak

fkknkdA = −fk

k ∇ǫk (2.25)

que, para el caso particular fk = 11

V0

∫

Ak

nkdA = −∇ǫk (2.26)

2.4. Ecuaciones de conservacion promediadas

Integrando las ecuaciones de conservacion locales (2.1) a (2.3) y haciendo uso de las ecuaciones (2.15)a (2.26), se obtiene las correspondientes ecuaciones promediadas.

El dominio espacial deja ahora de ser un dominio separado por interfases, para convertirse en undominio continuo, donde la probabilidad de encontrar a la fase k en un punto dado, esta dado por lafraccion volumetrica ǫk.

Al desaparecer las interfases, pierde sentido plantear condiciones de salto como tales. Estas se trans-forman, ahora, en restricciones a los terminos que surgen de la solucion del problema de cierre, comose vera mas adelante.


2.4.1. Ecuacion de conservacion de la masa

∂ǫkρkk

∂t+ ∇ ·

(

ǫkρkk~vk

k)

= Γk (2.27)

Donde :Γc = −Γd por condicion de salto en la interfase.Γc = Γcd − Γdc

Γd = Γdc − Γcd

Γcd : ritmo de cambio de fase dispersa a fase continuaΓdc : ritmo de cambio de fase continua a fase dispersa

El modelado de los terminos Γcd y Γdc depende de las fases particulares de que se trate, y sus leyesconstitutivas.

2.4.2. Ecuacion de conservacion del momento

∂ǫkρkk~vk

k

∂t+ ∇ ·

(

ǫkρkk~vk

k~vk

k)

= ∇ ·(

ǫk Tkk

+ TRek

k)

+ ǫkρkk~g + ~Mk + ~vk Γk (2.28)

Donde :~Mk : intercambio de momento interfacial~M1 + ~v1 Γ1 = − ~M2 + ~v2 Γ2 por condicion de salto en la interfase

El termino ~Mk se suele subdividir en varias contribuciones :

~Mk = ~MDk + ~ML

k + ~MV Mk + ~MTD

k + ~Mwk (2.29)

El tratamiento de los terminos que componen ~Mk constituye parte del llamado problema de cierre.

• Fuerza de drag - ~MDk

La fuerza de drag tiene en cuenta la fuerza de arrastre que se opone al movimiento cuando hayvelocidad relativa entre las fases.

~MDk =

3

8

ǫd ρc CD

rd| ~vc − ~vd | (~vc − ~vd) (2.30)

donde CD es el llamado coeficiente de drag, funcion del numero de Reynolds, que en este caso se calculacomo :

Re =2 rd ρc | ~vd − ~vc |

µc(2.31)

donde rd es el radio de las partıculas de la fase dispersa, supuestas esfericas.

La ley de Stokes establece, para efectos inerciales despreciables (Re ≪ 1) :

CD =24

Re(2.32)

Por otro lado, Ossen tuvo en cuenta los efectos inerciales, y obtuvo :

CD =24

Re

(

1 +3

16Re

)

(2.33)


Si bien no hay solucion analıtica para Re ≥ 1, existen expresiones para calcular el coeficiente de dragcon razonable presicion :

Drew & Passman (1998) establecieron que :

CD =24

Re(1 + 0,1 Re0,75) (2.34)

Re =2 rd ρc | ~vd − ~vc |

µm(2.35)

µm = µc(1 − ǫd

ǫdm)−2,5ǫdm(µd+0,4µc)/(µd+µc) (2.36)

Por otro lado, Morsi y Alexander (1972) obtuvieron :

CD = 24/Re para Re ≤ 0,1CD = 22,73/Re + 0,0903/Re2 + 3,69 para Re ≤ 1CD = 29,1667/Re − 3,8889/Re2 + 1,222 para Re ≤ 10CD = 46,5/Re − 116,67/Re2 + 0,6167 para Re ≤ 100CD = 98,33/Re − 2,778/Re2 + 0,3644 para Re ≤ 1000

En la Figura 2.1 se compara el resultado de las expresiones anteriormente citadas.

1E−4 1E−3 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

0,1

1

10

100

1000

10000

100000

Drew

Ossen

Stokes

Morsi

CD

Re

Figura 2.1: Coeficientes de drag

• Fuerza de lift - ~MLk

Si la fase continua tiene movimiento de corte con vorticidad no nula, la fase dispersa experimenta unafuerza, en direccion perpendicular al movimiento, llamada fuerza de lift.

~MLk = −CL ǫd ρc (~vc − ~vd) ∧ (∇∧ ~vc) (2.37)

CL : Coeficiente de lift.

Muchos calculos y mediciones del coeficiente de lift pueden encontrarse en la literatura, y no todoscoinciden, ni siquiera en el signo de este coeficiente.

Para determinar el coeficiente de lift, la mayorıa de los autores calculo numericamente la fuerza de liftsobre una esfera de radio a rotando con velocidad angular Ω inmersa en un flujo lineal de corte, cuyavelocidad adopta la forma :

vc ex = (v0 + α y)ex (2.38)


donde v0 es la velocidad sobre la lınea de corriente correspondiente al centro de la esfera.

Se definen, ademas, las variables adimensionales

Ω∗ =a

v0Ω ; α∗ =

a

v0α ; Re =

2 a v0

ν(2.39)

donde ν es la viscosidad cinematica del fluido.

Teniendo en cuenta que la fuerza definida en (2.37) es, en realidad, fuerza por unidad de volumen, lafuerza calculada por los autores es

~FL = −CL Vd ρc (~vc − ~vd) ∧ (∇∧ ~vc) (2.40)

donde Vd es el volumen de la esfera, y ~vd = 0

Se calcula, entonces, el coficiente de lift como

CL = −~FL

Vd ρc ~vc ∧ (∇∧ ~vc)(2.41)

Saffman estudio la fueza de lift ejercida sobre la esfera que rota en un flujo de corte lineal, para Remucho menor que la unidad. La expresion que obtuvo para esa fuerza es :

~FL = 6,46 ν ρc a2 v0

√

| α |ν

− 11

8ρc v0 α a3 + πρc v0 Ω a3 (2.42)

y, asumiendo las siguientes relaciones :

Re ≪ 1 ; ReΩ =Ω(2a)2

ν≪ 1 ; Reα =

α(2a)2

ν≪ 1 ; ε =

√Reα

Re= 1,414

√

α∗

Re≫ 1 (2.43)

finalmente obtuvo

CL =3

8α∗

(

5,816

√

| α∗ |Rep

− 0,875α∗ + 2Ω∗

)

(2.44)

McLaughlin extendio el resultado de Saffman para ε mas pequeno (0,1 ≤ ε ≤ 20) , y obtuvo :

CL

CL,Sa= 0,443 J (2.45)

donde CL,Sa es la expresion (2.44) despreciando el segundo y tercer termino. El termino adimensionalJ responde a la siguiente expresion :

J = J(ε) ≈ 0,6765 [1 + tanh[2,5(log10ε + 0,191)]] [0,667 + tanh[6(ε − 0,32)]] (2.46)

En base a resultados numericos, Mei propuso la siguiente expresion para el coeficiente de lift :

CL

CL,Sa= (1 − 0,3314

√α∗)exp(−Re

10) + 0,3314

√α∗ para Re ≤ 40 (2.47)

CL

CL,Sa= 0,0524

√α∗Re para Re > 40 (2.48)

Kurose y Komori (1997) calcularon la fuerza de lift sobre una esfera que rota en flujo de corte lineal,para 1 ≤ Re ≤ 500, y obtuvieron la siguiente expresion :

CL =3

8α∗

[

K0α∗0,9 + K1α

∗1,1 +(

K2 + K3α∗ + K4α

∗2,0 + K5α∗9,5)

Ω∗]

(2.49)


donde los coeficientes Kn estan dados en forma de tabla para valores fijos de Reynolds (Re = 1, 5, 10,50, 100, 200, 300, 400, 500)

Es de destacar que, si la esfera no rota (Ω∗ = 0), el coeficiente de lift calculado por Kurose - Komoricambia de signo y se hace negativo para Re ≈ 60 .

Buscaglia et al.(1999) calcularon la fuerza de lift sobre una esfera inmersa en un flujo de corte linealque rota con Ω∗(t), partiendo de Ω∗(0) = 0. Obtuvieron como resultado que el coeficiente de lift esnegativo para Reynolds y Ω∗ bajos, y se hace positivo cuando Ω∗ aumenta.

Auton estudio la fuerza de lift sobre una burbuja esferica elevandose en un flujo de corte no viscosoque cumple la condicion

α∗ ≪ 1 (2.50)

y obtuvo

~FL =2

3πρc a3 α v0 (2.51)

que, teniendo en cuenta (2.41), resulta en :

CL =1

2(2.52)

En el lımite opuesto de flujo muy viscoso, Legendre & Magnaudet (1998) obtuvieron :

~FL =4

πρc ν

1

2 a2 v0 α1

2 J(ε) (2.53)

donde J(ε) responde a la ecuacion (2.46)

CL =6

π2(2Reα∗)−

1

2 J(ε) (2.54)

Para extender el rango de validez de la correlacion (2.54) hasta flujos de alto Reynolds, Legendre yMagnaudet reemplazaron la funcion J(ε) por una funcion empırica J ′(ε) definida como

J ′(ε) =J(∞)

(1 + 0,2ε−2)3

2

(2.55)

donde J(∞) = 2,255 , y obtuvieron :

C low ReL (Re, α∗) =

6

π2(2Reα∗)−1/2 J ′(ε) (2.56)

Chigh ReL (Re) =

11 + 16Re−1

21 + 29Re−1(2.57)

CL (Re, α∗) =

(

[

C low ReL (Re, α∗)

]2+[

Chigh ReL (Re)

]2)0,5

(2.58)

La Figura (2.2) muestra el coeficiente de lift para esferas, en funcion del Reynolds, para α∗ = 0,1 yΩ∗ = 0 .

La Figura (2.3) muestra el coeficiente de lift para esferas, en funcion del Reynolds, incluyendo losresultados de Kurose - Komori, para α∗ = 0,1 y Ω∗ = 0 .

La figura (2.4) muestra el coeficiente de lift en funcion del Reynolds para burbujas esfericas, α∗ = 0,1y Ω∗ = 0. La curva Legendre (1) corresponde a la ecuacion (2.54), y la curva Legendre (2) a laecuacion (2.58).


0,01 0,1 1 10 100

1E−4

1E−3

0,01

0,1

1

10

100

Mei

McLaugh lin

Saffman

CL

Re

Figura 2.2: Coeficientes de lift

1 10 100 1000

0

1

2

3

4

5

6

Kurose

Mei

McLaugh lin

Saffman

CL

Re


El objetivo de esta recopilacion es simplemente mostrar la diversidad de expresiones existentes paracalcular el coefieciente de lift, y poner en evidencia que difieren en gran medida. Los autores coincidenen que el coeficiente de lift depende de Ω∗, pero el hecho es que a Ω∗ no es posible medirlo.

• Fuerza de masa virtual - ~MV Mk

La fuerza de masa virtual surge como consecuencia de que, para acelerar una partıcula de fase dispersa,se debe acelerar tambien la fase continua que la rodea, y la inercia resultante es mayor.

~MV Mk = CV M ǫd ρc [(

∂~vc

∂t+ ~vc · ∇~vc) − (

∂~vd

∂t+ ~vd · ∇~vd)] (2.59)

CV M : coeficiente de masa virtual

Varios autores trataron este coeficiente :

Auton y Naciri concluyeron que el coeficiente de masa virtual debe ser igual al coeficiente de lift trasestudiar un flujo estacionario, rotacional con Sr ≪ 1 , donde Sr (non-dimensional shear rate) es :

Sr =2 α a

v0(2.60)

Legendre & Magnaudet (1998), por otro lado, sostienen que la igualdad CV M = CL es valida paraflujos estacionarios con Sr ≤ 0,2.


0,1 1 10 100 1000

0,1

1

10

Legend re − (1)

Legend re − (2)

Auton

CL

Re


Para flujo potencial alrededor de una esfera, Drew (1998) propone :

CV M =1

2(2.61)

igual al coeficiente de lift propuesto por Auton para flujos de alto Reynolds.

Para flujos de alto Reynolds, Zuber propuso :

CV M =1

2+

3

2ǫd (2.62)

• Fuerza de dispersion turbulenta - ~MTDk

La fuerza de dispersion turbulenta tiene en cuenta la dispersion de la fase dispersa por accion de laturbulencia de la fase continua. Esta fuerza sera presentada en el Capıtulo 5.

• Fuerza de pared - ~Mwk

La fuerza de pared tiene en cuenta el efecto que las paredes rıgidas ejercen sobre las partıculas dispersasque se mueven en su proximidad. Esta proximidad sumada a la condicion de no deslizamiento en lapared, hace que la velocidad de la fase continua que pasa entre la partıcula y la pared sea menor quela del que pasa del lado interno de la partıcula . El efecto neto es una fuerza que aleja a la partıculade la pared, con una intensidad inversamente proporcional a la distancia a esa pared.

Segun Antal et al. (1991) esta fuerza puede expresarse como

~Mwd = (Cw1 + Cw2

rd

y) ǫd ρd

| ~vr |2rd

nw (2.63)

dondeCw1 = −0,1Cw2 = 0,147y : distancia a la parednw : versor normal exterior de la pared


2.4.3. Ecuacion de conservacion de la energıa

La conservacion de la energıa total se expresa :

∂

∂t

[

ǫkρkk(

Ukk

+1

2(~vk

k)2 + KRe

k

)]

+ ∇ · ǫkρkk~vk

k[

Ukk

+1

2(~vk

k)2 + KRe

k

]

=

∇ · ǫk

[(

Tkk

+ TRek

)

· ~vkk − ~qk

k − ~qRek

]

+ ǫkρkk(

rkk + ~g · ~vk

k)

+ (2.64)

Ek + Wk +

[

Uki +1

2(~vki

e)2]

Γk

donde : KRek : energıa cinetica turbulenta

~qRek : fluctuaciones en los flujos de energıa

Ek : fuente de energıa debido a la interaccion con la otra faseWk : trabajo interfacial~ve

ki Γk : flujo de energıa cinetica interfacial

En todos los casos particulares analizados en esta tesis, se considerara que los efectos termicos sondespreciables.

Capıtulo 3

El modelo de dos fluidos - Regimenlaminar

Consideramos las ecuaciones de conservacion de masa y momento, despreciando los efectos termicos(Drew & Passman, 1998)

∂(ǫkρk)

∂t+ ∇ · (ǫkρk~vk) = 0 (3.1)

∂(ǫkρk~vk)

∂t+ ∇ · (ǫkρk~vk~vk) = ∇ · [ǫk(Tk + τRe

k )] + ǫkρk~g + Mk (3.2)

en las cuales k se refiere a la fase (L para lıquido, G para gas), ǫk es la fraccion volumetrica (dehecho, probabilıstica) de la fase k, ~vk es la correspondiente velocidad, ρk la densidad, TK el tensor detensiones,

Tk = −pkI + µk[∇~vk + (∇~vk)T ]

pk la presion, y µk la viscosidad. τRek es el tensor de tensiones de Reynolds debido a fluctuaciones

estadısticas, modelado por Nigmatulin (1979) :

τReL = −ǫG ρL

[

A|~vG − ~vL|2I + B(~vG − ~vL)(~vG − ~vL)]

(3.3)

donde los valores usuales para A y B son 320 and 1

20 , respectivamente. De aquı en adelante denotaremoss(~vG − ~vL) como ~vr, y definiremos vr = |~vr|.En (3.2), MK representa el intercambio de momento interfacial, que se relaciona con las fuerzas entrelas fases (M ′

k) segunMk = pki∇ǫk − τki · ∇ǫk + M ′

k (3.4)

donde el subındice i indica el valor en la interfase.

Existen diferentes modelos para Mk, en particular para la fase lıquida (k = L),

ML = pLi∇ǫL −[

µL

(

∇vL + ∇vTL

)

− ρL

(

A|~vr|2I + B(~vr ⊗ ~vr))]

∇ǫL + M ′L (Antal, 1991) (3.5)

ML = pLi∇ǫL−[

ρL

(

ab |~vr|2I − a2(~vr · ~vr))]

∇ǫL−ρLǫL∇·(~vr⊗~vr))+M ′L (Drew & Passman, 1998)

(3.6)donde a = − 9

20 y b = 320 .

La presion en la interfase (pLi) puede derivarse de la expresion (Stuhmiller, 1977) :

pL − pLi = C ρL ǫL |~vr|2 , C =1

4(3.7)

17

CAPITULO 3. EL MODELO DE DOS FLUIDOS - REGIMEN LAMINAR 18

Consideraremos fuerzas de drag, lift y pared, M ′k = M ′D

k + M ′Lk + M ′W

k , con

M ′DG = −M ′D

L = −3

8

ǫG

RbCD ρL~vr|~vr| (3.8)

CD =24

Re(1 + 0,1 Re0,75) (3.9)

Re =2Rb ρL|~vr|

µm, µm =

µL

(1 − ǫG)(3.10)

M ′LG = −M ′L

L = −CL ǫG ρL~vr ∧ (∇∧ ~vL) (3.11)

M ′WG = −M ′W

L =

ǫG ρL|u‖|2

Rb

[

CW1 + CW2

(

Rb

y0

)]

nw siǫG ρL|u‖|

2

Rb

[

CW1 + CW2

(

Rb

y0

)]

> 0

0 siǫGρL|u‖|

2

Rb

[

CW1 + CW2

(

Rb

y0

)]

≤ 0(3.12)

u‖ = ~vr − [nw · ~vr]nw (3.13)

CW1 = −0,1 , CW2 = 0,147 (3.14)

donde y0 es la distancia a la pared, nw es el versor normal y Rb es el radio de burbuja.

Considerando flujo totalmente desarrollado en un conducto vertical cilındrico, el conjunto completode ecuaciones presentado se reduce a un sistema de cinco ecuaciones diferenciales que corresponden acinco funciones incognitas : vL(r), vG(r), pL(r, z), pG(r, z) y ǫG(r) :

• Ecuacion de conservacion de nomento - fase gaseosa - direccion radial (r)

ǫG

[

∂pG

∂r+ CL ρL vr

∂vL

∂r+

ρL v2r

Rb(CW1 + CW2

Rb

(R − r))

]

= 0 (3.15)

donde R es el radio interno del conducto.

• Ecuacion de conservacion de momento - fase gaseosa - direccion axial (z)

∂pG

∂z= −ρG g − 3

8

CD

RbρL vr|vr| (3.16)

Esta ecuacion es utilizada para el calculo de la velocidad relativa (vr). Esta velocidad sera considerada,de aquı en mas, uniforme. Es esta una excelente aproximacion porque todos los coeficientes en (3.16)son constantes a excepcion de CD, que depende debilmente de ǫG para flujos diluidos (ver (3.9)-(3.10)).

• Ecuacion de conservacion de momento - fase lıquida - direccion radial (r)

ǫL∂pL

∂r= − ∂

∂r

[

A ρL ǫL(1 − ǫL)v2r

]

+ CL ǫG ρL vr∂vL

∂r+ C ρL(1 − ǫG)v2

r

∂ǫG

∂r(3.17)

+ǫG ρL v2

r

Rb

[

CW1 + CW2Rb

(R − r)

]

− C1 ρL v2r

∂ǫG

∂r

• Ecuacion de conservacion de momento - fase lıquida - direccion axial (z)

ǫL∂pL

∂z=

1

r

∂

∂r

[

r ǫL µL∂vL

∂r

]

+3

8

ǫG

RbCD ρL vr|vr| − ǫL ρL g + C2 µL

∂vL

∂r

∂ǫG

∂r(3.18)

• Condicion de salto en la interfase

pG − pL =2σ

Rb− C ρL(1 − ǫG)v2

r (3.19)


3.1. Reduccion y adimensionalizacion del sistema de ecuaciones di-ferenciales

Definamos

ρ ≡ ρeff = ǫL ρL + ǫG ρG , ρ ≡ 1

S

∫

Sρ dS ,

∂P

∂z≡ ∂p

∂z+ ρg (3.20)

donde S es el area transversal del conducto.

Eliminando la fuerza de drag de (3.16) y (3.18), y usando ǫL = (ρ − ρG)/(ρL − ρG), se llega a

∂P

∂z+ (ρ − ρ)g =

(ρ − ρG)

(ρL − ρG)

µL

r

∂

∂r

(

r∂vL

∂r

)

+ (C2 − 1)µL∂vL

∂r

∂ǫG

∂r(3.21)

Por otro lado, reemplazando (3.17) y (3.19) en (3.15), y despues de multiplicar por ǫL/(ρL vr), seobtiene

(ρ − ρG)

(ρL − ρG)

1

(ρL − ρG)

∂ρ

∂r=

CL

(2C − A)vr

∂vL

∂r+

1

Rb (2C − A)(CW1 + CW2

Rb

R − r) (3.22)

−(C1 + A ǫG)

(2C − A)

1

(ρL − ρG)

∂ρ

∂r

El sistema queda reducido, entonces, a solo dos ecuaciones, lo que motiva la introduccion de lassiguientes variables adimensionales :

∂P ∗

∂z≡ 1

(ρL − ρG)g

∂P

∂z, L2 ≡ 2 µL vr(C − A)

g(ρL − ρG)CL, v∗ =

vL

vr

CL

2(C − A)(3.23)

r∗ ≡ r

L, R∗ ≡ R

L, R∗

b ≡ Rb

L, E ≡ CW1

2(C − A)R∗b

, D ≡ CW2

2(C − A)(3.24)

La Tabla 1 muestra valores de la longitud intrınseca L calculados para diferentes fases dispersas enagua en reposo, asumiendo un radio de burbuja (o partıcula) de 0.5 mm y un coeficiente de liftCL = 0,1. A primer orden, L depende solamente del radio de burbuja y de las constantes (C − A) yCL, y para valores razonables de estos coeficientes resulta del orden del radio de burbuja.

Mezcla ρc (kg/m3) µc (kg/(m s)) ρd (kg/m3) vr (m/s) L (m)

agua-aire 998 0.001 1.19 0.1184 1,557 10−4

agua-CO2 998 0.001 1.9022 0.1183 1,557 10−4

agua-polystireno 998 0.001 55 0.1143 1,573 10−4

agua-madera 998 0.001 545 0.0714 1,793 10−4

agua-aceite 998 0.001 874 0.0297 2,211 10−4

agua-vidrio 998 0.001 2500 - 0.153 1,442 10−4

agua-acero 998 0.001 7900 - 0.387 1,07 10−4

agua-vapor 958.12 0.000282 0.598 0.1545 0,964 10−4

Cuadro 3.1: Algunos valores tıpicos de la longitud caracterıstica L. El subındice c se refiere a la fasecontinua y el subındice d a la fase dispersa. La mezcla agua-vapor esta considerada a 100 C y presionatmosferica. Se considero un radio de burbuja o partıcula de 0.5 mm .


De (3.21)-(3.22), usando las variables adimensionales (3.23)-(3.24) y considerando nulo el termino defuerza de pared, se obtiene la siguiente ecuacion diferencial ordinaria

(ǫL)2∂2ǫL

∂r∗2+ (2 − C2)ǫL

(

∂ǫL

∂r∗

)2

+(ǫL)2

r∗∂ǫL

∂r∗− ǫL + (3.25)

+(C1 + A)

2(C − A)

[

ǫL

(

1

r∗∂ǫL

∂r∗+

∂2ǫL

∂r∗2

)

− (C2 − 1)

(

∂ǫL

∂r∗

)2]

=∂P ∗

∂z− ǫL

donde ǫL = (ρ−ρG)/(ρL−ρG). La ecuacion es valida en todo punto donde no actue la fuerza de pared(R− r > −D

E L). Es de hacer destacar que el termino de la derecha es constante, independiente de r∗.

A las constantes A y B les fue asignado su valor usual, A = 320 , B = 1

20 , y se consideraron dos conjuntosde valores para C1 y C2 : C1 = − 3

20 y C2 = 1 tomados de Antal et al. (1991) (Modelo I), o C1 = − 27400

y C2 = 0, tomados de Drew & Passman (1998) (Modelo II).

Adoptando, por ejemplo, el modelo de Antal et al., la ecuacion (3.25) queda reducida a

(ǫL)2∂2ǫL

∂r∗2+ ǫL

(

∂ǫL

∂r∗

)2

+(ǫL)2

r∗∂ǫL

∂r∗− ǫL =

∂P ∗

∂z− ǫL (3.26)

que es, en cierta forma, la ecuacion “universal” para el flujo bubbly laminar totalmente desarrolladosuficientemente lejos de la pared, en el sentido de que no contiene parametros a excepcion de laconstante en el lado derecho.

Las diferentes soluciones de (3.26) se obtienen cambiando dos parametros : el gradiente de presion y lacantidad de gas en el flujo. Para el analisis que sigue se cambiara el segundo parametro por la fraccionde lıquido en r∗ = 0, ǫL(0), y se reescribira el lado derecho de (3.26) como

∂P ∗

∂z− ǫL = −ǫL(0)(1 + λ) (3.27)

lo que resulta finalmente en

(ǫL)2∂2ǫL

∂r∗2+ ǫL

(

∂ǫL

∂r∗

)2

+(ǫL)2

r∗∂ǫL

∂r∗− ǫL = −ǫL(0)(1 + λ) (3.28)

Si, por otro lado, se adopta el modelo de Drew & Passman, se obtiene una ecuacion analoga :

(ǫL)2∂2ǫL

∂r∗2+ 2ǫL

(

∂ǫL

∂r∗

)2

+(ǫL)2

r∗∂ǫL

∂r∗− ǫL + (3.29)

+33

80

[

ǫL

(

1

r∗∂ǫL

∂r∗+

∂2ǫL

∂r∗2

)

+

(

∂ǫL

∂r∗

)2]

= −ǫL(0)(1 + λ)

Se resuelven entonces las ODE (3.28)-(3.29) con condiciones iniciales ǫ′L(0) = 0 y ǫL(0) dada, para lasdiferentes constantes del lado derecho, que han sido parametrizadas con λ. Notese que :

∂pL

∂z= −ρ(0)g − λ[(1 − ǫG(0))(ρL − ρG)g] (3.30)

por lo que λ es una medida de la diferencia entre el gradiente de presion aplicado y el peso especıficoefectivo de la mezcla en el centro del conducto.


0 2 4 6 8 10 12 14

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Antal

0.0001

0.001

0.01

Drew

0.0001

0.001

0.01

r *

ǫG

ǫG(0) = 0,016

λ

Figura 3.1: ǫG(r∗) - λ > 0 - Flujo ascendente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

Antal

− 0.01

− 0.001

− 0.0001

Drew

− 0.01

− 0.001

− 0.0001

r *

ǫG(0) = 0,016

ǫG

λ

Figura 3.2: ǫG(r∗) - λ < 0 - Flujo descendente

3.2. Propiedades genericas de las soluciones

Las ecuaciones (3.28)-(3.29) fueron resueltas utilizando Mathematica (Wolfram, 1991) para un amplioconjunto de los parametros ǫL(0) (igual a 1−ǫG(0)) y λ. Algunas soluciones pueden verse en las Figuras3.1 - 3.3. Un hecho generico acerca de la familia biparametrica de soluciones de (3.28)-(3.29) es laexistencia de un valor lımite de r∗, que denominaremos radio crıtico (r∗c ), para el que ǫL toma valoresque no tienen significado fısico (negativos o mayores que uno). En la Fig. 3.4 se muestra r∗c comofuncion de |λ| para diferentes valores de ǫG(0). Considerese, por ejemplo, el caso en que ǫG(0) = 0,016.Recuerdese que la longitud caracterıstica (L) es del orden de Rb, y para fijar ideas, se puede asumirque el radio del conducto es 40 veces Rb. Es este, sin duda, un conducto de diametro pequeno. Detodas formas, observando la Fig. 3.5, es evidente que a menos que |λ| < 10−6, no existe solucionpara la ecuacion diferencial (3.28)-(3.29) que se mantenga entre 0 y 1 a lo largo de todo el radio delconducto. En todos los casos razonables (esto es, conductos significativamente mas grandes que el radiode burbuja) la banda de valores “permitidos” para λ, centrada en cero, es extremadamente angosta.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Antal

0.016

0.1

0.2

Drew

0.016

0.1

0.2

r *

ǫG

λ = 0,0001

ǫG(0)

Figura 3.3: ǫG(r∗) para diferentes ǫG(0)

¿Que es lo que esto significa? Significa que, en flujo laminar totalmente desarrollado, las solucionesdel modelo de dos fluidos (las unicas soluciones con significado fısico) son aquellas en las que el pesoespecıfico efectivo en el centro del conducto (ρeff(0) ~g) practicamente equilibra al gradiente de presionimpuesto. “Practicamente” quiere decir que la diferencia, como en el caso anterior, es de una partepor millon o menos.

1E−6 1E−5 1E−4 1E−3 0,01

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0.016

0.1

0.2

(rc*

)

|λ |

ǫG(0)

Modelo Antal

Flujo ascendente

Rad

iocr

ıtic

o

Figura 3.4: r∗c como funcion de |λ| para diferentes ǫG(0)

Este resultado nos permite probar, como corolario, que :

Consecuencia 1 : Los perfiles planos de fraccion de gas tıpicos de los flujos de dos fases en conductos,son la unica solucion posible del modelo de dos fluidos (a menos que el diametro del conducto sea muypequeno). Esto puede probarse simplemente observando las soluciones de (3.28)-(3.29) con |λ| < 10−6,y confirmando que todas ellas son extremadamente planas (como funciones de r∗) hasta muy cerca der∗c , donde muestran un rapido crecimiento (si λ es positivo) o decrecimiento (si λ es negativo) que lleva aǫG a valores mayores que uno o menores que cero. Otro modo, mas heurıstico, de probar que los perfiles


1E−6 1E−5 1E−4 1E−3 0,01

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

(rc*

)

| λ |

ǫG(0) = 0,016

Rad

iocr

ıtic

o

Modelo Antal - Flujo asc.Modelo Antal - Flujo desc.Modelo Drew - Flujo asc.Modelo Drew - Flujo desc.

Figura 3.5: r∗c como funcion de |λ|

de fraccion de gas son necesariamente planos, sabiendo ya que |λ| < 10−6, proviene de un analisistermino a termino de (3.28)-(3.29). El hecho de que |λ| sea pequeno implica la cancelacion “practica”,en r∗ = 0, del cuarto termino de la izquierda de (3.28)-(3.29) con el termino derecho. Esto deja alresto de los terminos, todos ellos conteniendo derivadas de ǫL, igualados a cero (“practicamente”) ycon la condicion de borde ǫ′L(0) = 0. La solucion de este problema es (de nuevo “practicamente” en elsentido ya explicado) una constante, y por lo tanto un perfil plano de fraccion de gas.

Esta no es la unica consecuencia de que λ sea necesariamente muy pequeno.

Consecuencia 2 : El perfil plano de fraccion de gas lejos de la pared del conducto tiene un valor deǫL (y por lo tanto de ǫG) que solamente depende del gradiente de presion, la densidad de las fases, yla gravedad. En particular, el valor de ǫG no depende de (a) el caudal de gas, (b) la viscosidad de lasfases, o (c) la velocidad relativa. La prueba es inmediata teniendo en cuenta la ecuacion (3.30).

Una vez obtenida ǫL(r∗), la ecuacion

−ǫL(0)(1 + λ) = ǫL1

r∗∂

∂r∗

(

r∗∂v∗

∂r∗

)

− ǫL (3.31)

con condicion de contornod v∗

L

d r∗ (r∗ = 0) = 0, da como resultado la velocidad de la fase lıquida a menosde una constante (el valor en el centro). La ecuacion fue resuelta usando nuevamente Mathematica.Algunos resultados se muestran en la Figuras 3.6 y 3.7.

Con una comprobacion analoga a la de la Consecuencia 1, se obtiene :

Consecuencia 3 : Los perfiles planos de velocidad tıpicos de los flujos de dos fases en conductos,son la unica solucion posible del modelo de dos fluidos (a menos que el diametro del conducto seamuy pequeno). En particular, la chatura de estos perfiles no esta ligada a las tensiones turbulentasefectivas. Simplemente surge de un balance entre el gradiente de presion y el peso especıfico efectivode la columna de fluido.

Es de destacar el hecho de que, aunque este analisis trata a la ecuacion sin el termino de fuerzade pared, se pueden extraer conclusiones acerca del perfil de fraccion de gas cerca de la pared. Laconsecuencia es, por lo tanto, independiente del modelo de interaccion pared - burbuja :

Consecuencia 4 : En flujos bubbly ascendentes debe existir un denominado “pico” de fraccion de gas


0 2 4 6 8 10 12 14

−0,5

−0,4

−0,3

−0,2

−0,1

0,0

Antal

0.0001

0.001

0.01

Drew

0.0001

0.001

0.01

v *

r *

ǫG(0) = 0,016

λ

Figura 3.6: v∗(r∗) - λ > 0 - Flujo ascendente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

0,022

0,024

λ

Antal

− 0.01

− 0.001

− 0.0001

Drew

− 0.01

− 0.001

− 0.0001

v *

r *

ǫG(0) = 0,016

Figura 3.7: v∗(r∗) - λ < 0 - Flujo descendente

en la region mas cercana a la pared.

Probarlo no es difıcil. Es evidente que, para que la mezcla gas-lıquido fluya hacia arriba, el gradientede presion aplicado debe superar el peso especıfico promedio ρ ~g, o, en variables adimensionales, debecomprobarse que :

−∂P ∗

∂z> ǫL

Pero, como λ es muy pequeno, −∂P ∗

∂z ≃ ǫL(0), lo que conduce a ǫL(0) > ǫL, y por lo tanto a ǫG(0) < ǫG.Por otro lado, se sabe que ǫG es (practicamente) constante excepto muy cerca de la pared. Por lo tanto,en la mayor parte del conducto, ǫG toma el valor ǫG(0) que es menor que la fraccion de gas promedio.Es obvio que debe haber una significativa acumulacion de burbujas cerca de la pared, dando comoresultado un “pico” de fraccion de gas.

En el caso de que C < A, los terminos afectados en la adimensionalizacion cambian de signo, resultando


(Modelo I) :

−(ǫL)2∂2ǫL

∂r∗2− ǫL

(

∂ǫL

∂r∗

)2

− (ǫL)2

r∗∂ǫL

∂r∗− ǫL = −ǫL(0)(1 + λ) (3.32)

que acumula las burbujas en el centro del conducto para flujos ascendentes, como si el coeficiente de liftfuera negativo. Es para remarcar el hecho de que los coeficientes A (relacionado a la tension de Reynoldsefectiva) y C (relacionado a la correcion de presion en la interfase) esten ligados matematicamente deun modo tan fuerte. No se puede cambiar arbitrariamente los coeficientes A y C, pues su diferenciaes tan importante como el mismo coeficiente de lift

Capıtulo 4

Simulacion numerica de flujoslaminares de dos fases

El analisis del capıtulo anterior esta referido a la region donde las fuerzas de pared no estan activas. Masaun, no todos los gradientes de presion han sido considerados, porque cuando −∂pL

∂z es mayor que ρLg,el gradiente de presion no puede ser equilibrado ajustando la fraccion de gas en el centro del conducto,aunque esa fraccion de gas sea estrictamente cero. En este capıtulo se presentan estudios numericos,realizados utilizando elementos finitos, para comprender mas en profundidad el comportamiento delsistema.

Eliminando la fuerza de drag de las ecuaciones (3.16) y (3.18), la ecuacion diferencial para vL(r)resulta :

∂pL

∂z+ (1 − ǫG)ρLg + ǫGρGg =

1

r

∂

∂r

[

r (1 − ǫG) µL∂vL

∂r

]

+ C2 µL∂vL

∂r

∂ǫG

∂r(4.1)

Combinando las ecuaciones (3.15), (3.17) y (3.19), y luego de manipuleo matematico, la ecuaciondiferencial para ǫG(r) resulta :

ǫG∂ǫG

∂rv2r

[

(1

2− A + C1) −

1

5ǫG

]

= −ǫGCL vr∂vL

∂r− ǫG(Cw1 + Cw2

Rb

R − r)v2r

Rb(4.2)

Las siguientes condiciones de contorno son impuestas al sistema :

∂vL

∂r(0) = 0 , vL(R) = 0 ,

∂ǫG

∂r(0) = 0 (4.3)

Con el requerimiento adicional :

1

S

∫

SǫG dS = ǫG , donde ǫG es dada (4.4)

4.1. Metodo numerico

Las ecuaciones (4.1) and (4.2) han sido levemente modificadas con el objeto de simplificar su trata-miento numerico.

Se agrego a ambas ecuaciones un termino de derivada temporal. Si bien se considera un caso esta-cionario, el tratarlo como transitorio permite que las variables se adapten a su valor final en formaprogresiva y numericamente mas estable.

26

CAPITULO 4. SIMULACION NUMERICA DE FLUJOS LAMINARES DE DOS FASES 27

Se agrego tambien un termino de difuson artificial para evitar oscilaciones espureas que podrıan generarvalores negativos de ǫG.

El sistema resultante es, entonces :

ρL∂vL

∂t+

∂pL


1

r

∂

∂r

[


∂r

]

+ C2 µL∂vL

∂r

∂ǫG

∂r(4.5)

∂ǫG

∂t+ ǫG

∂ǫG

∂rv2r

[

(1

2− A + C1) −

1

5ǫG

]

− K∂2ǫG

∂r2= −ǫGCLvr

∂vL

∂r− ǫG(Cw1 + Cw2

Rb

R − r)v2r

Rb(4.6)

donde K es el coeficiente de difusion artificial.

El esquema temporal es semi-implıcito :

ρLvnL − vn−1

L

∆t+

∂pL

∂z+ (1 − ǫn−1

G )ρLg + ǫn−1G ρGg =

1

r

∂

∂r

[

r (1 − ǫn−1G ) µL

∂vnL

∂r

]

+ C2 µL∂vn

L

∂r

∂ǫn−1G

∂r(4.7)

ǫn∗G − ǫn−1

G

∆t+ ǫn−1

G

∂ǫn∗G

∂rv2r

[

(1

2− A + C1) −

1

5ǫn−1G

]

+ ǫn∗G (Cw1 + Cw2

Rb

R − r)v2r

Rb− K

∂2ǫn∗G

∂r2(4.8)

= −ǫn−1G CLvr

∂vn−1L

∂r

donde ǫn∗G es una variable auxiliar que, en cada paso de tiempo, es corregida para satisfacer la condicion

(4.4) :ǫnG = ǫn∗

G + (ǫG − ǫn∗G ) (4.9)

Definiendo :

G = ǫ(n−1)G v2

r

[

(1

2− A + C1) −

1

5ǫ(n−1)G

]

(4.10)

H = (Cw1 + Cw2Rb

R − r)v2r

Rb(4.11)

en la Ecuacion (4.8), G hace el papel de una “velocidad” y H el papel de una “reaccion”. El coeficientede difusion K es calculado en la forma en que normalmente se lo hace en problemas de reaccion-conveccion (e.g. Codina, 1998):

K =

G h ; si H h2 ≤ G hH h2 ; si H h2 > G h

(4.12)

De ahora en mas, se utilizara el modelo de Drew & Passman (Modelo II). Si bien el modelo de Antalet al. da resultados muy similares, no conserva el momento en la direccion axial.

4.2. Reproduccion de datos experimentales

Con el objeto de verificar el modelo numerico, sus resultados fueron comparados con datos experi-mentales presentados por Nakoryakov et al. (1986), como fuera hecho previamente por Antal et al.(1991).

Los parametros importantes del experimento fueron :


Flujo : bubbly, laminar, vertical, ascendente

Mezcla: aire - agua

Presion : atmosferica

Diametro de conducto : 1.5 cm

Diametro de burbuja : 0.87 mm

Numero de Reynolds (fase lıquida) : 1267

Fraccion de de gas promedio (ǫG) : 0.019

Los parametros fısicos utilizados fueron los siguientes :

ρL = 1000 kgm3

ρG = 1.19 kgm3

µL = 0.001 kgm s

∂p∂z = -9649 P/m .

Para la simulacion se utilizo :

CL = 0,1

vr = 0,1028 ms

ǫG = 0,019

El valor elegido para el coeficiente de lift esta dentro del rango aceptable (CL ≈ 0,05 para burbujas enconductos; CL ≈ 0,5 para flujo potencial) y es el mismo que utilizaron Antal et al. para su simulacion.La velocidad relativa (vr) fue calculada segun (3.16).

La Figura 4.1 muestra una comparacion entre los perfiles de fraccion de gas. Como fue senaladoanteriormente, el perfil en la region central del conducto es plano (Consecuencia 1), y presenta unpico cercano a la pared (Consecuencia 4) antes de caer a cero bajo el efecto de la fuerza de pared.

El valor numerico de la fraccion de gas en el centro del conducto resulto ǫG(0) = 0,0154332, por lo que

−∂p

∂z= 9649

P

m≈ [(1 − ǫG(0))ρL + ǫG(0)ρG] g = 9648,935

P

m(4.13)

y se confirma la Consecuencia 2.

Utilizando (3.30) se obtuvo λ = 6,77 × 10−6.

La Figura 4.2 muestra los perfiles de velocidad de lıquido, que son ciertamente planos, a pesar de nohaberse considerado turbulencia.

Finalmente, la velocidad de lıquido promedio resulto :

vL =1

A

∫

AvL dA ≈ 0,08215

m

s(4.14)

lo que implica que el correspondiente numero de Reynolds es Re = 1232,2, valor muy cercano alexperimental (Re = 1267).


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

r / R

ǫG

ModeloExperimento

Figura 4.1: Perfil de fraccion de gas

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

(m/s

)

r / R

ModeloExperimento

Vel

oci

dad

Figura 4.2: Perfil de velocidad de lıquido

4.3. Resultados numericos

Se llevo a cabo un estudio numerico de un caso general, con el objeto de analizar el comportamientode las principales variables como funcion del gradiente de presion aplicado y de la fraccion de gaspromedio (ǫG).

Los parametros utilizados fueron los siguientes : ρL = 1000 kgm3 ; ρG = 1.19 kg

m3 ; µL = 0.01 kgm s ;

CL = 0,1 .

La Figura 4.3 muestra perfiles de fraccion de gas como funcion del gradiente de presion aplicado, paraflujo ascendente y fraccion de gas promedio constante. La forma de estos perfiles depende de las dosfuerzas laterales actuantes (fuerza de lift y fuerza de pared), que en este caso tienen sentido opuesto.Cuando el valor absoluto del gradiente de presion aumenta, la fraccion de gas en la region centraldel conducto disminuye, la altura del pico aumenta y la posicion radial del valor maximo se muevehacia la pared. Este comportamiento obedece a un incremento de la fuerza de lift que es debido a un


aumento en el gradiente de la velocidad de lıquido en la region cercana a la pared (ver Figura 4.4). Seobserva tambien que en la region proxima a la pared la fraccion de gas se anula por la accion de lafuerza de pared. Cuando la fuerza de lift aumenta, el pico de gas se aproxima a la pared y la regionde fraccion de gas nula se hace mas estrecha.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

__

∇z

p / ρL

g

− 0.992

− 0.994

− 0.996

− 0.998

− 1.000

r / R

ǫG

ǫG = 0,01

Figura 4.3: Perfiles de fraccion de gas - Flujo ascendente

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

∇z

p / ρL

g

− 0.992

− 0.994

− 0.996

− 0.998

− 1.000

− 1.003

(m/s

)

r / R

ǫG = 0,01

Vel

oci

dad

Figura 4.4: Perfiles de velocidad de lıquido - Flujo ascendente

De los resultados que se muestran en la Figura 4.3 se puede extraer otra importante conclusion :cuando −∂p

∂z es igual o mayor que el peso especıfico de la fase lıquida (ρL g), la fraccion de gas en laregion central se anula.

Las Figuras 4.5 y 4.6 muestran perfiles de fraccion de gas y velocidad para distintos gradientes depresion, en flujo descendente. En este caso, la fuerza de lift acumula las burbujas en la region central,dejando lıquido puro en la zona cercana a la pared.

Ya ha sido demostrado que λ es necesariamente muy pequeno. Este estudio numerico nos permiteverificar y extender esta conclusion : λ es muy pequeno (|λ| ≤ 10−6) cuando ǫG(0) 6= 0 (−∂p

∂z ≤ ρL g).


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

∇z

p / ρL

g

− 0.985

− 0.984

− 0.983

− 0.982

− 0.981

r / R

ǫG

ǫG = 0,01

Figura 4.5: Perfiles de fraccion de gas - Flujo descendente

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

− 0,020

− 0,018

− 0,016

− 0,014

− 0,012

− 0,010

− 0,008

− 0,006

− 0,004

− 0,002

0,000

∇z

p / ρL

g

− 0.985

− 0.984

− 0.983

− 0.982

− 0.981

(m/s

)

r / R

ǫG = 0,01

Vel

oci

dad

Figura 4.6: Perfiles de velocidad de lıquido - Flujo descendente

Cuando ǫG(0) = 0 (−∂p∂z > ρLg), λ depende linealmente del gradiente de presion, como puede deducirse

de la Ecuacion (3.30). Esto se muestra claramente en la Figura 4.7 para diferentes valores de ǫG.

Considerando que λ es muy pequeno, la Ecuacion (3.30) se reduce a :

∂p

∂z= g (ρL − ρG) ǫG(0) − g ρL (4.15)

Notese que, en este caso, ǫG(0) depende linealmente del gradiente de presion (ver Figura 4.8).

La Figura 4.9 muestra el caudal masico total como funcion del gradiente de presion, para distintosvalores de ǫG. Cuando el valor absoluto del gradiente de presion aumenta, se observa un incrementoproporcional en el caudal masico. Cuando el gradiente de presion se iguala al peso especıfico de lafase lıquida, tiene lugar un cambio de regimen : el perfil plano de velocidad se cambia por uno de tipoparabolico (ver Figura 4.4), y la pendiente de la curva de caudal masico aumenta.


−1,006

−1

,004

−1

,002

−1

,000

−0

,998

−0

,996

−0

,994

−0

,992

−0

,990

−0

,988

−0

,986

−0

,984

−0

,982

−0

,980

−0

,978

−0

,976

−0

,974

−0

,972

−0

,970

−0

,968

0,0000

0,0005

0,0010

0,0015

0,0020

0,0025

0,0030

0,0035

0.005

0.01

0.02

λ

∇z

p / ρL

g

ǫG

Figura 4.7: λ en funcion del gradiente de presion

4.4. El efecto de reducir la aceleracion de la gravedad

El codigo de elementos finitos implementado fue utilizado tambien para analizar las soluciones delmodelo de dos fluidos bajo condiciones de gravedad reducida. Para ello, se obtuvieron soluciones sobreun caso general, disminuyendo g y manteniendo constante ǫG y la tension de corte en la pared (τw).

La aceleracion de la gravedad esta explıcitamente presente en la ecuacion de conservacion de momentode gas en la direccion axial (Eq. 3.16), usada para el calculo algebraico de la velocidad relativa. Comose muestra en la Figura 4.10, la velocidad relativa disminuye cuando g disminuye.

La influencia que tiene la disminucion de g sobre los perfiles de fraccion de gas puede ser deducida sise analiza la ecuacion correspondiente a ǫG(r) (Ec. 4.2). Si se divide toda la ecuacion por v2

r , solo eltermino de lift queda dividido por vr. Por lo tanto, cuando g y vr disminuyen, el termino de lift sevuelve crecientemente dominante sobre los otros terminos de la ecuacion.

Las Figuras 4.11 y 4.12 muestran los perfiles de fraccion de gas calculados para g decreciente : cuandola fuerza de lift aumenta su importancia relativa, las burbujas se acumulan cerca de la pared en flujoascendente, y en la region central del conducto en flujo descendente.

En la ecuacion correspondiente a vL(r) (Eq. 4.1), g esta tambien explıcitamente presente. Expresandoel gradiente de presion como la suma de un termino gravitacional y uno friccional :

∂p

∂z=

∂p

∂z|F +

∂p

∂z|G =

∂p

∂z|F − [(1 − ǫG)ρL + ǫG ρG] g (4.16)

donde

−∂p

∂z|F =

S

Aτw , S : perımetro (4.17)

La Ecuacion (4.1) puede reescribirse como :

∂pL

∂z|F + (ǫG − ǫG)(ρL − ρG)g =

1

r

∂

∂r

[


∂r

]

(4.18)

La Figura 4.13 muestra los perfiles de velocidad para distintos valores de g en flujo ascendente. Lafraccion de gas en la region central del conducto es menor que la fraccion de gas promedio (ǫG < ǫG), y


−1

, 006

−1

,004

−1

,002

−1

,000

−0

,998

−0

,996

−0

,994

−0

,992

−0

,990

−0

,988

−0

,986

−0

,984

−0

,982

−0

,980

−0

,978

−0

,976

−0

,974

−0

,972

−0

,970

−0

,968

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0.005

0.01

0.02

∇z

p / ρL

g

ǫG(0)

ǫG

Figura 4.8: ǫG(0) en funcion del gradiente de presion

por lo tanto, el segundo termino de la izquierda de la Ecuacion (4.18) es positivo. Cuando g disminuye,tambien lo hace la fraccion de gas en la region central del conducto, y el segundo termino de la izquierdade (4.18) aumenta. Esto da como resultado que la velocidad se reduzca (g = 9.8 , 7 , 5 m

s2 ). No obstante,cuando la fraccion de gas en la region central se anula, el segundo termino de la izquierda de (4.18)disminuye cuando g disminuye, y el resultado es que la velocidad se incrementa (g = 3 , 1 m

s2 ). Noteseque las pendientes de los distintos perfiles son iguales en la pared, correspondiendo a una τw constante.En este caso particular, se utilizo ∂pL

∂z |F = −10 Pm y τw = 0,025 P

En el caso de flujo descendente, la fraccion de gas en la region central del conducto es mayor que lafraccion de gas promedio (ǫG > ǫG), y el segundo termino de la izquierda de (4.18) es negativo. Comoconsecuencia, |vL| en la region central aumenta cuando g disminuye. (ver Figura 4.14). Notese, tambien,que los gradientes de velocidad en la pared son iguales. Para flujo descendente se utilizo ∂pL

∂z |F = 78 Pm

and τw = −0,195 P .

Las Figuras 4.15 y 4.16 muestran el caudal masico como funcion de g para flujo ascendente y descen-dente respectivamente.


−1

,004

−1

,003

−1

,002

−1

,001

−1

,000

−0

,999

−0

,998

−0

,997

−0

,996

−0,0005

0,0000

0,0005

0,0010

0,0015

0,0020

0,0025

0,0030

0,0035

0,0040

0.005

0.01

0.02(k

g/s

)

∇z

p / ρL

g

ǫG

Cau

dal

mas

ico

Figura 4.9: Caudal masico en funcion del gradiente de presion

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

(m/s

)

g (m/s2)

Vel

oci

dad

rela

tiva

Figura 4.10: Velocidad relativa en funcion de g


0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

g (m/s2)

1.0

5.0

9.8

r / R

ǫG

ǫG = 0,002

Figura 4.11: Perfiles de fraccion de gas para diferentes valores de g - Flujo ascendente

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

g (m/s2)

1.0

3.0

5.0

7.0

9.8

r / R

ǫG

ǫG = 0,002

Figura 4.12: Perfiles de fraccion de gas para diferentes valores de g - Flujo descendente


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0000

0,0005

0,0010

0,0015

0,0020

0,0025

0,0030

g (m/s2)

1.0

3.0

5.0

7.0

9.8

(m/s

)

r / R

ǫG = 0,002V

eloci

dad

Figura 4.13: Perfiles de velocidad de lıquido para diferentes valores de g - Flujo ascendente

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

− 0,025

− 0,020

− 0,015

− 0,010

− 0,005

0,000

g (m/s2)

1.0

3.0

5.0

7.0

9.8

(m/s

)

r / R

ǫG = 0,002

Vel

oci

dad

Figura 4.14: Perfiles de velocidad de lıquido para diferentes valores de g - Flujo descendente


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00006

0,00007

0,00008

0,00009

0,00010

0,00011

0,00012

0.002

0.004

0.006

(kg

/s)

g (m/s2)

ǫG

Cau

dal

mas

ico

Figura 4.15: Caudal masico para distintos valores de g - Flujo ascendente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

− 0,00095

− 0,00090

− 0,00085

− 0,00080

− 0,00075

− 0,00070

− 0,00065

− 0,00060

− 0,00055

− 0,00050

0.002

0.004

0.006

(kg

/s)

g (m/s2)

ǫG

Cau

dal

mas

ico

Figura 4.16: Caudal masico para distintos valores de g - Flujo descendente

Capıtulo 5

El modelo de 2 fluidos - Regimenturbulento

5.1. Introduccion a la turbulencia

Muchos de los flujos de dos fases de interes practico en la ingenierıa son de regimen turbulento. Elflujo en los tubos de un generador de vapor, el flujo alrededor de la quilla de un barco o el flujo enreactores quımicos de burbujas, son claros ejemplo de ello. Es imprescindible, entonces, extender elanalisis realizado en el capıtulo anterior para casos laminares a casos de regimen turbulento.

Segun la definicion (Hinze, 1975), la turbulencia es “una condicion irregular de flujo en el cual lasdiversas cantidades muestran una variacion aleatoria en el tiempo y el espacio, pero de manera quepueden definirse cantidades promediadas estadısticamente”.

La Figura 5.1 muestra la evolucion tıpica de una variable generica u en flujo turbulento. En un puntoespacial, se define el valor medio (u) como el promedio temporal de la variable, y la fluctuacion (u′)como la diferencia entre la variable y su valor medio (u′ = u − u)

Figura 5.1: Valor medio y fluctuacion en flujo turbulento

38

CAPITULO 5. EL MODELO DE 2 FLUIDOS - REGIMEN TURBULENTO 39

La ecuaciones de conservacion que describen un flujo de una fase, se escriben como :

∂vi

∂xi= 0 (5.1)

∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj= −1

ρ

∂p

∂xi+

∂

∂xj(ν

∂vi

∂xj) + gi (5.2)

Si en ese flujo se aumenta progresivamente el numero de Reynolds, el termino difusivo de la ecuacion(5.2) va haciendose comparativamente mas pequeno que los otros en la ecuacion, y el flujo se vuelvecada vez mas no lineal. Esto se manifiesta fısicamente en la aparicion de inestabilidades (fluctuaciones)en las variables del flujo, que se incrementan con el numero de Reynolds. Esta inestabilizacion da lugara la aparicion de vortices, que a su vez se inestabilizan y se rompen en vortices mas chicos, y ası hastaque los gradientes de velocidad son lo suficientemente grandes como para que la disipacion en calordetenga el proceso. A esta cascada de transferencia de energıa de vortices grandes a vortices maschicos se la conoce como cascada de vortices de Kolmogorov. En general, los vortices mas grandes quepodemos encontrar en un flujo son del orden del tamano geometrico del dominio, y los mas chicosestaran en la escala disipativa, tanto mas chicos cuanto mayor sea el numero de Reynolds.

Experimentalmente se ha comprobado que la transicion de flujo laminar a flujo turbulento se producea un numero de Reynolds aproximado de 2000 en flujos en tuberıas.

Se dice que la turbulencia es homogenea cuando tiene la misma estructura en todo el dominio, y porlo tanto, las derivadas espaciales de las cantidades de turbulencia son nulas. Se dice, tambien, que laturbulencia es isotropica cuando no existen direcciones preferenciales en las cantidades de turbulencia.

Si en las ecuaciones (5.1) y (5.2) se reemplaza

vi = vi + v′i ; p = p + p′ (5.3)

se obtiene∂(vi + v′i)

∂xi= 0 (5.4)

∂vi

∂t+

∂v′i∂t

+ vj∂vi

∂xj+ vj

∂v′i∂xj

+ v′j∂vi

∂xj+ v′j

∂v′i∂xj

= (5.5)

gi −1

ρ

∂p

∂xi− 1

ρ

∂p′

∂xi+

∂

∂xj(ν

∂vi

∂xj) +

∂

∂xj(ν

∂v′i∂xj

)

Si promediamos en el tiempo la ecuacion (5.4) obtenemos

∂vi

∂xi= 0 (5.6)

Esta ultima es la ecuacion de continuidad del flujo promedio.Restando la ecuacion (5.6) de la ecuacion (5.4) se obtiene la ecuacion de continuidad de las fluctuacionesde flujo

∂v′i∂xi

= 0 (5.7)

Promediando en el tiempo la ecuacion (5.5) se obtiene

∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj+ v′j

∂v′i∂xj

= gi −1

ρ

∂p

∂xi+

∂

∂xj(ν

∂vi

∂xj) (5.8)


Teniendo en cuenta la ecuacion (5.7), se deduce que

v′j∂v′i∂xj

=∂(v′jv

′i)

∂xj− v′i

∂v′j∂xj

=∂(v′jv

′i)

∂xj(5.9)

Teniendo en cuenta la ecuacion (5.9), la ecuacion de conservacion de momento del flujo promedio (5.8),queda expresada como

∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj= gi −

1

ρ

∂p

∂xi+

∂

∂xj(ν

∂vi

∂xj− v′jv

′i) (5.10)

Si restamos la ecuacion (5.10) de la ecuacion (5.5) se obtiene la ecuacion de conservacion de momentode las fluctuaciones de flujo

∂v′i∂t

+ vj∂v′i∂xj

+ v′j∂vi

∂xj+ v′j

∂v′i∂xj

= − 1

ρ

∂p′

∂xi+

∂

∂xj(ν

∂v′i∂xj

+ v′jv′i) (5.11)

Las expresiones (5.6) y (5.10) son las ecuaciones de conservacion del flujo promedio en regimen tur-bulento.

Al termino −ρv′jv′i de la ecuacion (5.10) se lo conoce comunmente como Tensor de tensiones de

Reynolds (τRe). En realidad es un termino de aceleracion convectiva, pero tiene el mismo efectomatematico que un tensor de tensiones y se lo denomina ası en la literatura universal.

La determinacion del Tensor de tensiones de Reynolds, en funcion de las variables promediadas delflujo, constituye el problema central del modelado de flujos turbulentos. Su tratamiento da origen auna serie de modelos que seran considerados a continuacion.

5.2. Modelado de flujos turbulentos de una fase

5.2.1. Modelos de turbulencia

• Simulacion directa

Este metodo resuelve el problema integrando directamente las ecuaciones de Navier-Stokes sin pro-mediar (ecs. 5.1 y 5.2). El numero de puntos de calculo necesarios para resolver los vortices de escalaespacial mas chica es del orden de N > Re9/4, y el numero de pasos temporales necesarios esaproximadamente Re3/4. Estos valores hacen que el metodo sea practicamente inaplicable.

• Aproximacion de Boussinesq

Esta aproximacion supone que el tensor de tensiones de Reynolds, por analogıa con el tensor detensiones viscosas, es producto de una “viscosidad turbulenta” (µt) por el gradiente de velocidad.

τReij = −ρv′jv

′i = µt

∂vi

∂xj(5.12)

A diferencia de la viscosidad molecular (µ), la viscosidad turbulenta no es una propiedad del fluido.De hecho, su valor varıa punto a punto, y depende de la estructura de la turbulencia.

Si bien este no es un modelo de turbulencia propiamente dicho, las distintas formas de calcular laviscosidad turbulenta en funcion de variables conocidas dio origen a varios modelos.

• Modelo algebraico


El modelo algebraico o de “mixing length” consiste en suponer que la viscosidad turbulenta es funcionde una cierta “longitud de mezclado” (ℓm).

µt = ρ ℓ2m | ∂vi

∂xj| (5.13)

τReij = µt

∂vi

∂xj= ρ ℓ2

m | ∂vi

∂xj| ∂vi

∂xj(5.14)

La longitud de mezclado (ℓm) se calcula a partir de expresiones algebraicas, y es funcion de la posiciony del tipo de flujo del que se trate. Por ejemplo, para un jet turbulento axisimetrico que incide sobrefluido en reposo (Launder & Spalding, 1972) :

ℓm

δ= 0,075 ; δ : radio del jet (5.15)

Como ventajas de este modelo podemos citar que es simple, ya que no requiere ecuaciones diferen-ciales adicionales, y que existe suficiente experiencia acumulada, que se refleja en muchas y probadasexpresiones para ℓm.Su desventaja principal es que no tiene en cuenta ni la conveccion ni la difusion de la turbulencia.

• Modelos de una ecuacion diferencial

Estos modelos anaden una variable al conjunto de variables del problema. La “energıa cinetica turbu-lenta” (k) se define como

k =1

2(v′21 + v′22 + v′23 ) (5.16)

Esta energıa cinetica turbulenta se calcula a partir de una ecuacion diferencial de transporte del tipo: flujo convectivo = difusion + produccion - disipacion.

La viscosidad turbulenta resulta proporcional a√

k

µt ∝ ρ√

kℓm (5.17)

Si bien este modelo es mejor, en algunos casos, que el modelo algebraico, no tiene en cuenta los efectosde transporte en la escala de longitud de la turbulencia, y por lo tanto, no puede aplicarse a flujos conrecirculaciones.

• Modelo de dos ecuaciones diferenciales

Estos modelos determinan dos variables, la energıa cinetica turbulenta (k) y la escala de longitud deturbulencia (ℓ), mediante dos ecuaciones diferenciales de transporte.

La viscosidad turbulenta resulta :µt ∝ ρ

√kℓ (5.18)

El mas conocido de estos modelos es el llamado Modelo k−ε (Launder & Spalding, 1972). Este modelodefine la variable “disipacion” (ε) como :

ε = Cµk3/2

ℓ, Cµ = 0,09 (5.19)

resultando

µt = Cµρk2

ε(5.20)

• Modelos de transporte de tension


Estos modelos no utilizan la aproximacion de Boussinesq. En su lugar, agregan un set de ecuacionesdiferenciales que transportan directamente las componentes del tensor de tensiones de Reynolds. Paraun flujo tridimensional, un modelo de transporte de tension introduce siete ecuaciones diferenciales :una para la escala de turbulencia (ℓ o equivalente), y seis para las componentes de τRe.

La principal ventaja de estos modelos es, que no introducen constantes empıricas, y que incorporanefectos de “historia” del flujo de manera natural. Sin embargo, presentan la desventaja de requerir ungran volumen de calculo.

5.2.2. El modelo k − ε para flujos de una fase

Este modelo introduce dos variables : la energıa cinetica turbulenta (k) y la disipacion (ε), definidascomo

k =1

2(v′21 + v′22 + v′23 ) ; ε = ν

∂v′i∂xj

∂v′i∂xj

(5.21)

La ecuacion de transporte de la energıa cinetica turbulenta resulta

∂k

∂t+ vj

∂k

∂xj=

1

ρ

∂

∂xj

[

(µt

σk+ µ)

∂k

∂xj

]

+µt

ρ(∂vi

∂xj+

∂vj

∂xi)∂vi

∂xj− ε (5.22)

donde σk = 1,0

Los terminos de la derecha son conocidos como difusion, produccion y disipacion de k, respectivamente.

La ecuacion de transporte de la disipacion resulta

∂ε

∂t+ vj

∂ε

∂xj=

1

ρ

∂

∂xj

[

(µt

σε+ µ)

∂ε

∂xj

]

+ C1εε

k

µt

ρ(∂vi

∂xj+

∂vj

∂xi)∂vi

∂xj− C2ε

ε2

k(5.23)

donde σε = 1,3 ; C1ε = 1,44 ; C2ε = 1,92

La viscosidad turbulenta se calcula como

µt = Cµρk2

ε, Cµ = 0,09 (5.24)

Considerando valida la aproximacion de Boussinesq, la expresion final del tensor de tensiones deReynolds es :

τReij = −ρv′iv

′j = −2

3ρ k δij + ρ νt(

∂vi

∂xj+

∂vj

∂xi) (5.25)

La ecuacion de conservacion del momento (5.10) queda entonces expresada como :

∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj= gi −

∂

∂xi(1

ρp +

2

3k) +

∂

∂xj[(ν + νt)

∂vi

∂xj] (5.26)

A partir de ahora, por comodidad, se suprimira el suprarayado en la expresion de las variables pro-mediadas.

Al aplicar el modelo k−ε es importante tener presente que las ecuaciones de transporte para k y ε sonvalidas solamente en flujo totalmente turbulento, excluyendo las regiones muy cercanas a las paredesdonde los efectos viscosos son importantes.


5.2.3. Capa lımite turbulenta - La ley de pared

En la capa lımite turbulenta se pueden distinguir 3 subcapas :

- Subcapa laminar : dominan las tensiones viscosas- Subcapa turbulenta : dominan las tensiones turbulentas- Subcapa de solape (o logarıtmica) : ambas tensiones son importantes

Para su analisis, se define la velocidad conocida como “velocidad de friccion” (vτ ), que es representativade las velocidades proximas a las paredes :

vτ =

√

τw

ρ(5.27)

A la velocidad adimensionalizada la simbolizaremos v+ :

v+ =v

vτ(5.28)

A la distancia desde la pared la simbolizaremos y, y la correspondiente distancia adimensionalizadasera :

y+ =vτy

ν(5.29)

Por analisis dimensional comprobado experimentalmente, los perfiles de velocidad en las distintassubcapas corresponden a :

- Subcapa laminarv+ = y+ (5.30)

- Subcapa de solape

v+ =1

κln(y+) + B (5.31)

donde κ (Constante de von Karman) ≈ 0.41 ; B ≈ 5.0

Por lo general, la expresion (5.31), denominada “ley logarıtmica de pared”, es una buena aproximaciony se utiliza para calcular la velocidad en toda la capa lımite turbulenta. Ver Figura 5.2

Figura 5.2: Perfil de velocidad tıpico de una capa lımite turbulenta


5.2.4. El modelo k − ε para flujos de bajo numero de Reynolds

El modelo k-ε presentado hasta ahora predice correctamente las variables en todo el dominio, menosen la subcapa laminar, donde los efectos viscosos son importantes. Si bien el espesor de esta subcapa esgeneralmente despreciable, pueden existir casos que requieran una mejor reproduccion de las variablesen esa region. En estos casos se justifica reemplazar el modelo k-ε tradicional que emplea ley de paredlogarıtmica, por un modelo corregido que tenga en cuenta los efectos viscosos en la subcapa laminar ysuponga condiciones de borde apropiadas en la pared. Estos modelos, denomina Modelos k-ε de bajoReynolds, son mas complejos que los modelos de alto Reynolds, y numericamente mas costosos, ya querequieren una malla muy refinada en las subcapas laminares.

En el caso del flujo bubbly de dos fases puede ocurrir que el diametro de las burbujas presentes seadel mismo orden que el espesor de la subcapa laminar. Si en este caso no se usara un modelo de bajoReynolds, se perderıa el detalle de una region importante del perfil de fraccion gas, como lo es el dela zona donde actua la fuerza de pared.

Los modelos k − ε para flujos de bajo Reynolds consisten en introducir funciones empıricas en lasecuaciones diferenciales de k y de ε del modelo k − ε para flujos de alto Reynolds , que resultan ası :

∂k

∂t+ vj

∂k

∂xj=

∂

∂xj

[

(νt

σk+ ν)

∂k

∂xj

]

+ νt(∂vi

∂xj+

∂vj

∂xi)∂vi

∂xj− ε (5.32)

∂ε

∂t+ vj

∂ε

∂xj=

∂

∂xj

[

(νt

σε+ ν)

∂ε

∂xj

]

+ C1εf1ε

kνt(

∂vi

∂xj+

∂vj

∂xi)∂vi

∂xj− C2εf2

ε2

k+ E (5.33)

La variable ε esta definida porε = ε0 + ε (5.34)

donde ε0 es el valor de ε en la pared.

La viscosidad turbulenta es definida como

νt = Cµfµk2

ε(5.35)

Las ecuaciones (5.32) a (5.35) contienen cinco funciones empıricas : f1, f2, fµ, ε0 y E. Estas funcionesvarıan segun el modelo adoptado, y dependen de alguno de los siguientes parametros adimensionales :

ReT =k2

εν; Ry =

k1/2y

ν; y+ =

vτy

ν(5.36)

Para el presente trabajo se utilizara el modelo de Lam - Bremhorst (Wilcox, 1998), por ser el quemejor se adapta al esquema numerico planteado. Segun este modelo :

fµ = (1 − e−0,0165 Ry)2(1 +20,5

ReT) (5.37)

f1 = 1 + (0,05

fµ)3 (5.38)

f2 = 1 − e−Re2

T (5.39)

ε0 = 0 (5.40)

E = 0 (5.41)

Las condiciones de contorno en la pared (y = 0) deben ser :

v = 0 ; k = 0 ;∂ε

∂y= 0 (5.42)


5.3. Modelado de flujos turbulentos de dos fases

5.3.1. El modelo k − ε para flujos de dos fases

En los modelos de turbulencia para flujos de dos fases lıquido-gas generalmente se calcula solamentela turbulencia de la fase lıquida. La turbulencia de la fase gaseosa se desprecia, por ser esta fase muchomenos densa y viscosa que la lıquida.

El modelo k − ε para flujos bubbly de dos fases, fue implementado por Lopez de Bertodano et al.(1994).

La principal aproximacion que hace este modelo es la de suponer que la turbulencia inducida por cortey la turbulencia inducida por la presencia de burbujas estan debilmente acopladas, y por lo tanto,pueden superponerse linealmente. Esto equivale a decir :

τRe = τReIB + τRe

IC (5.43)

El termino de turbulencia inducida por corte es el mismo que el utilizado para flujos de una fase, osea :

τReICij = −2

3ρL kIC δij + ρLνt(

∂vi

∂xj+

∂vj

∂xi) (5.44)

donde kIC es la energıa cinetica turbulenta asociada a la turbulencia inducida por corte.

De aquı en mas utilizaremos la notacion k = kIC .

La expresion general para turbulencia isotropica inducida por burbujas es :

τReIB =

2

3ρLkIB (5.45)

donde kIB es la energıa cinetica turbulenta asociada a la turbulencia inducida por la presencia de lasburbujas. Esta energıa se calcula, segun la teorıa de flujo potencial (Lance & Bataille, 1991) como :

kIB =1

2ǫGCV M | vr |2 (5.46)

El valor experimental obtenido para CV M es de aproximadamente 2.

Para calcular la viscosidad turbulenta (νt), Sato (1981) propuso superponer linealmente la viscosidadturbulenta inducida por corte con la viscosidad turbulenta inducida por burbujas, resultando

νt = Cµk2

ε+ CtbRbǫG | vr | (5.47)

donde Cµ = 0,09 y Ctb = 1,2 .

Las ecuaciones de transporte de k y ε, en flujo de dos fases de alto Reynolds, son similares a lascorrespondientes a flujo de una sola fase.

(1 − ǫG)

(

∂k

∂t+ vj

∂k

∂xj

)

=∂

∂xj

[

(1 − ǫG)(νt

σk+ ν)

∂k

∂xj

]

+ (1 − ǫG)

[

νt(∂vi

∂xj+

∂vj

∂xi)∂vi

∂xj− ε

]

(5.48)

(1 − ǫG)

(

∂ε

∂t+ vj

∂ε

∂xj

)

=∂

∂xj

[

(1 − ǫG)(νt

σε+ ν)

∂ε

∂xj

]

(5.49)

+(1 − ǫG)

[

C1εε

kνt(

∂vi

∂xj+

∂vj

∂xi)∂vi

∂xj− C2ε

ε2

k

]


5.3.2. La fuerza de dispersion turbulenta

En el Capıtulo 2 mencionamos que en el intercambio de momento entre las fases deberıa aparecer untermino que tuviera en cuenta la dispersion de la fase dispersa por accion de la turbulencia de la fasecontinua. A ese termino se lo denomina fuerza de dispersion turbulenta.

Varios autores han modelado esta fuerza, entre ellos, Lopez de Bertodano (1998), Carrica et al. (1999)y Drew (2001). Todos los modelos coinciden en proponer que la fuerza de dispersion turbulenta esproporcional al gradiente de fraccion de gas.

El modelo de Carrica et al. (1999), que es el que adoptaremos, establece que

MTDL = CDCTD

3

8ρL

| vr |Rb

νeff∇ǫG (5.50)

El coeficiente CTD esta definido por :

CTD = Sc−1b =

νbubble

νeff(5.51)

siendo Scb el numero de Schmidt de las burbujas, que relaciona a la difusividad de las burbujas (νeff )con la viscosidad turbulenta efectiva :

νeff = νL + νt (5.52)

donde la viscosidad turbulenta es la definida en la ecuacion 5.47.

Algunos experimentos (Loth, 1997) han demostrado que el numero de Schmidt para pequenas partıcu-las esta entre 0.7 y 1.

Calculos realizados con este modelo han sido comparados con otros realizados con DNS (Direct Nu-merical Simulation) y se ha obtenido buena concordancia(Moraga et al., 2001).

5.4. Sistema de ecuaciones diferenciales

El sistema de ecuaciones diferenciales que resulta de aplicar el modelo de dos fluidos y el modelo k− ε(bajo Reynolds) a un flujo bubbly aire-agua, turbulento, vertical, totalmente desarrollado en geometrıacilındrica, es :

• Ecuacion correspondiente a v(r)

ρL∂v

∂t+

∂pL


1

r

∂

∂r

[

r(1 − ǫG)(µL + µt)∂v

∂r

]

+ C2µL∂v

∂r

∂ǫG

∂r(5.53)

• Ecuacion correspondiente a ǫG(r)

∂ǫG

∂t+ G

∂ǫG

∂r+ HǫG − K

∂2ǫG

∂r2= D (5.54)

donde las constantes estan definidas, ahora, como :

G = ǫGv2r

[

(1

2− A + C1) −

1

5ǫG

]

+2

3k + CDCTD

3

8

| vr |Rb

(νL + νt) (5.55)

H = (Cw1 + Cw2Rb

y0)v2r

Rb(5.56)


D = −ǫGCLvr∂v

∂r+ ǫG(1 − ǫG)

2

3

∂k

∂r(5.57)

• Ecuacion correspondiente a k(r)

(1 − ǫG)

(

∂k

∂t+ vj

∂k

∂xj

)

=∂

∂xj

[

(1 − ǫG)(νt

σk+ ν)

∂k

∂xj

]

+ (1 − ǫG)

[

νt(∂vi

∂xj+

∂vj

∂xi)∂vi

∂xj− ε

]

(5.58)

• Ecuacion correspondiente a ε(r)

(1 − ǫG)

(

∂ε

∂t+ vj

∂ε

∂xj

)

=∂

∂xj

[

(1 − ǫG)(νt

σε+ ν)

∂ε

∂xj

]

(5.59)

+(1 − ǫG)

[

C1εf1ε

kνt(

∂vi

∂xj+

∂vj

∂xi)∂vi

∂xj− C2εf2

ε2

k

]

Capıtulo 6

Simulacion numerica de flujosturbulentos de dos fases

Para obtener soluciones numericas del sistema de ecuaciones planteado en (5.4), las ecuaciones fueronimplementadas en el programa de elementos finitos GPFEP (Buscaglia & Felicelli), previo a modifi-carlas para facilitar su tratamiento numerico de la misma forma que en 4.1.

6.1. Comparacion de resultados obtenidos con modelo de alto y bajonumero de Reynolds

Para comparar los resultados que se obtienen con los modelos k−ε de alto y bajo Reynolds, se reprodujoun flujo de una fase, vertical, en geometrıa cilındrica de 0.0254 cm de radio, bajo un gradiente de presion∂p∂z = −9900 P/m. Para la ley de pared del modelo de alto Reynolds, se considero y+ = 50.

Para el caso de alto Reynolds se utilizo una malla 100 nodos. En cambio, para el caso de bajo Reynolds,se utilizo una malla de 200 nodos.

Las Figuras 6.1-6.4 muestran como el modelo de bajo Reynolds puede, a diferencia del modelo de altoReynolds, calcular las variables en la region de la subcapa laminar. En el resto del dominio ambosmodelos coinciden.

6.2. Reproduccion de datos experimentales

Para comprobar el modelo y su correcta implementacion numerica, los resultados fueron comparadoscon datos experimentales obtenidos por Serizawa (1986) para flujo turbulento y ascendente de agua ygas en un tubo de 0.0508 cm de diametro, con velocidades superficiales jL = 1,36 m/s y jG = 0,077 m/s(jk = Qk

A ).

Los parametros utilizados fueron :

ρL = 1000 kgm3

µL = 0,001 kgm s

ρG = 1,19 kgm3

48

CAPITULO 6. SIMULACION NUMERICA DE FLUJOS TURBULENTOS DE DOS FASES 49

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Alto Reyno lds

Bajo Reyno ldsV

elo

cida

d de

líq

uid

o (

m/s

)

r / R

Figura 6.1: Perfil de vL

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

Mode lo

Alto Reyno lds

Bajo Reyno lds

k(m

2/s

2)

r / R

Figura 6.2: Perfil de k

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

Mode lo

Alto Reyno lds

Bajo Reyno lds

ε(m

2/s

3)

r / R

Figura 6.3: Perfil completo de ε


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

Mode lo

Alto Reyno lds

Bajo Reyno lds

ε(m

2/s

3)

r / R

Figura 6.4: Perfil reducido de ε

∂p∂z = −9850 P

m

Rb = 0,00125 m

ǫG = 0,0637

Los parametros numericos utilizados fueron :

CTD = 1,5

CL = 0,1

La Figuras 6.5 a 6.7 muestran los resultados obtenidos. En el caso de las fluctuaciones de velocidad(v′), Serizawa presenta dos sets de datos porque la turbulencia medida resulto ser anisotropica. Laaproximacion de los resultados numericos es razonablemente buena.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

Calculado

Serizawav L(m

/s)

r / R

Figura 6.5: Velocidad de la fase lıquida (m/s)

La fraccion de gas en flujo turbulento ascendente presenta un perfil similar al obtenido en flujo laminar,con un pico proximo a la pared del conducto. Algunos modelos (Okawa et al., 2002), que utilizan un


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

Calculado

Serizawa (v1’)

Serizawa (v2’)

v’ (

m/s

)

r / R

Figura 6.6: Fluctuacion de velocidad (m/s)

0,0 0,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0

0 ,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

C a lcu lado

S erizaw a

r / R

ǫG

Figura 6.7: Fraccion de gas

esquema lagrangiano para la fase gaseosa (bubble individual tracking), reproducen este pico de fraccionde gas pero solo para velocidades moderadas (hasta 2 m/s), y predicen que el perfil se vuelve uniformepara velocidades mas altas (de 2 a 4 m/s). Este tipo de modelos pueden calcular con mayor precisionla velocidad relativa entre las fases. Otros modelos llamados “polidispersos” (Politano et al., 2003),que distinguen los distintos tamanos de burbuja, predicen que las burbujas de mayor diametro seconcentran en el centro del conducto y las de menor diametro en la proximidad de la pared. Estecomportamiento se debe a que el modelo de fuerza de lift que emplean predice un coeficiente de liftnegativo para las burbujas mayores.

El perfil de velocidad es similar al obtenido en flujo laminar. Cabe recordar que la relativa uniformidaddel perfil se debe, ahora, no solo a la presencia de la fase gaseosa sino tambien a la accion de laviscosidad turbulenta.

6.3. Estudio parametrico

Al igual que en el Capıtulo 4, dedicado al analisis del caso laminar, se realizo un estudio parametricocon el objeto de analizar el comportamiento de las principales variables en funcion del gradiente depresion impuesto y de la fraccion de gas promedio (ǫG).


Los parametros utilizados fueron los siguientes :

ρL = 1000 kgm3

µL = 0,001 kgm s

ρG = 1,19 kgm3

Rb = 0,00125 m

CTD = 1,5

CL = 0,1

La Figura 6.8 muestra la fraccion de gas en el centro del conducto en funcion del gradiente de presionimpuesto. Es de destacar el hecho de que, entre los gradientes de presion que hemos denominado θ1

y θ2, ǫG(0) varıa linealmente con el gradiente de presion, en forma analoga a lo que ocurrıa en flujolaminar (Fig. 4.8). De hecho, la region laminar esta incluida en esa recta, y comprende unos pocosP/m alrededor del gradiente de presion que marca el cambio de sentido del flujo.

−10500 −10250 − 10000 − 9750 − 9500 − 9250 − 9000

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

θ1

θ2

G rad P (P /m )

ǫG(0)

ǫG = 0,01

Flujo descendenteFlujo ascendente

Figura 6.8: ǫG(0) en funcion del gradiente de presion - ǫG = 0,01

En la Figura 6.9 se muestra como varıa el parametro λ, definido en el capıtulo anterior, en funciondel gradiente de presion impuesto. Entre los valores θ1 y θ2, el parametro λ se mantiene relativamenteconstante y proximo a cero, comportamiento similar al observado en el caso laminar (Fig. 4.7). Elhecho de que λ sea muy proximo a cero, implica, aquı tambien, una compensacion entre el gradientede presion impuesto y el peso especıfico efectivo en el centro del conducto.

Las Figuras 6.10 y 6.11 muestran como varıan ǫG(0) y λ en funcion del gradiente de presion, paradistintos valores de ǫG. Como se puede ver en ambas figuras, la forma de las curvas es la misma paracualquier ǫG. Lo que tambien se debe destacar es que los valores de θ1 y θ2 dependen del valor de ǫG.

La Figura 6.12 muestra, precisamente, como varıan θ1 y θ2 en funcion de ǫG. En ambos casos, lospuntos se ubican sobre rectas, que si se prolongan, se cortan en el punto correspondiente a una solafase lıquida (ǫG = 0 y ∂p

∂z = −9800 P/m). La figura muestra tambien la delgada banda correspondientea flujo laminar (lıneas de puntos) que rodea la linea de cambio de sentido del flujo.


−10000 − 9900 − 9800 −9700 − 9600 − 9500

− 0,020

− 0,015

− 0,010

− 0,005

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

θ2

θ1

λ

G rad P (P /m )

ǫG = 0,01

Figura 6.9: λ en funcion del gradiente de presion - ǫG = 0,01

− 11000 − 10500 − 10000 − 9500 − 9000 − 8500

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

0 .01

0 .0175

0 .025

G rad P (P /m )

ǫG

ǫG(0)

Figura 6.10: ǫG(0) en funcion del gradiente de presion - distintos ǫG

−10250 −10000 − 9750 − 9500 − 9250 − 9000

−0,100

− 0,075

− 0,050

− 0,025

0,000

0,025

0, 050

0,075

0 .0

0 .01

0 .0175

0 .025

λ

G rad P (P /m )

ǫG

Figura 6.11: λ en funcion del gradiente de presion - distintos ǫG


0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

− 9900

−9800

−9700

− 9600

−9500

− 9400

−9300

− 9200

− 9100

− 9000

Flu jo

lam ina r

θ1

θ2

Gra

d P

(P

/m)

Flujo descendente

Flujo ascendente

ǫG

Figura 6.12: θ1 y θ2 en funcion de ǫG

De lo observado en las Figuras 6.8 a 6.12 se puede extraer una importante conclusion : “para cadavalor de ǫG existe un par de valores de gradiente de presion, que hemos denominado θ1 y θ2, entrelos cuales se verifica que el peso especıfico efectivo en la zona central del conducto (ρeff g) equilibra elgradiente de presion impuesto”. Dicho en otras palabras, el perfil de fraccion de gas se “acomoda” deforma tal de verificar que ρ(0) g ≈ ∂p

∂z .

Esta ultima conclusion puede ser vista como una extension al flujo turbulento de la conclusion analogaobtenida para flujo laminar (ver 3.2). Sin embargo, la existencia de los puntos de transicion (θ1 y θ2),a partir de los cuales la conclusion no es mas aplicable, debe atribuirse a las caracterısticas turbulentasdel flujo, y su origen debe ser analizado.

6.4. Analisis de las transiciones θ1 y θ2

El primer paso para analizar las transiciones θ1 y θ2 debe ser la verificacion de que estas transiciones nosean producto de los parametros utilizados en el metodo numerico aplicado. En nuestro caso, el metodonumerico esta caracterizado por dos parametros : el coeficiente de difusion (K) y la densidad de lamalla utilizada (cantidad y distribucion de los elementos en que se subdividio el dominio). Para llevar acabo esta verificacion se aplico el codigo de calculo numerico sobre dominios reducidos alrededor de lastransiciones (Fig 6.13) y se analizo el efecto producido por la variacion de los parametros mencionados.

La variacion de los dos parametros del metodo numerico no afecto significativamente a las transicionesθ1 y θ2, como lo demuestran las Figuras 6.14, 6.15, 6.16 y 6.17.

Desechada la influencia del metodo numerico, debemos centrar la atencion en el efecto de los terminosintroducidos por la turbulencia y que diferencian a las ecuaciones (4.5) y (4.6) (regimen laminar) delas ecuaciones (5.53) y (5.54) (regimen turbulento). Estos terminos son aquellos que contienen a lasvariables µt, k y ∂k/∂r, y la fuerza de dispersion turbulenta (MTD).

Para analizar la transicion θ2 se estudio la distribucion radial de variables principales en puntosinmediatamente anteriores y posteriores a θ2 (puntos A, B, C y D de la Figura 6.18).

Como se muestra en la Figura 6.19, el perfil de vL(r) en la region central del conducto pasa de serplano (puntos A y B) a tener curvatura apreciable (puntos C y D). Este hecho produce un aumento


−10500 −10250 −10000 −9750 −9500 −9250 −9000

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

θ1

θ2

G rad P (P /m )

ǫG(0)

Figura 6.13: ǫG(0) en funcion de ∂p∂z

- Regiones cercanas a θ1 y θ2

−9550 −9525 −9500 −9475 −9450 −9425 −9400 −9375 −9350 −9325 −9300 −9275

0,028

0,029

0,030

0,031

0,032

0,033

0,034

200 e lem − K = 1

300 e lem − K = 1

400 e lem − K = 1

300 e lem − K = 0.1

Grad P (P/m)

ǫG(0)


- Region cercana a θ1

−9550 −9525 −9500 −9475 −9450 −9425 −9400 −9375 −9350 −9325 −9300 −9275

−0,022

−0,020

−0,018

−0,016

−0,014

−0,012

−0,010

−0,008

−0,006

−0,004

−0,002

0,000

0,002

200 e lem − K = 1

300 e lem − K = 1

400 e lem − K = 1

300 e lem − K = 0.1

λ

Grad P (P/m)

Figura 6.15: λ en funcion de ∂p∂z



−9900 −9875 −9850 −9825 −9800 −9775 −9750 −9725 −9700

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0,010

0,011

200 e lem − K = 1

300 e lem − K = 1

400 e lem − K = 1

300 e lem − K = 0.1

300 e lem − K = 0.5

Grad P (P/m)

ǫG(0)



−9900 −9875 −9850 −9825 −9800 −9775 −9750 −9725 −9700

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

200 e lem − K = 1

300 e lem − K = 1

400 e lem − K = 1

300 e lem − K = 0.1

300 e lem − K = 0.5

λ

Grad P (P/m)



de la variable ∂vL

∂r lo que, a su vez, provoca un incremento del termino de produccion de k (ecuacion5.58). Finalmente, esto se traduce en un aumento de k en la region central, como se muestra en laFigura 6.20.

Un incremento de la energıa cinetica turbulenta provoca, a su vez, un aumento abrupto de la variableνt (ecuacion 5.47), como se observa en la Figura 6.21. Ese aumento se traduce, finalmente, en unincremento del termino MTD (ecuacion 5.50) como se puede ver en la Figura 6.22.

Para completar el analisis sobre θ2 debemos volver nuevamente la atencion sobre la Figura 6.13. Enel tramo que une las transiciones θ1 y θ2 un aumento del gradiente de presion va acompanado de unadisminucion proporcional de ǫG(0). En el caso de flujo laminar, esta relacion lineal se mantenıa hastael punto en que ǫG(0) se anulaba (Figura 4.8). En el caso turbulento, a partir de la transicion θ2, unaumento del gradiente de presion ya no es mas acompanado de una disminucion de ǫG(0). La accionde algun termino impide que ǫG(0) continue disminuyendo linealmente con el gradiente de presion. Sepudo determinar que ese termino es MTD. Esta fuerza tiene en cuenta la dispersion que la turbulencia


−9925 −9900 −9875 −9850 −9825 −9800 −9775 −9750 −9725 −9700 −9675

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0,010

DC B

A

Grad P (P/m)

ǫG(0)



0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

A

B

C

D

r / R

vL

Figura 6.19: vL(r) - Region cercana a θ2

de la fase lıquida produce en la distribucion de la fase gaseosa. En flujo turbulento ascendente su efectoes el de disminuir el pico de fraccion de gas cercano a la pared y aumentar la fraccion de gas en lazona central del conducto. Por ello, el aumento de MTD en la transicion θ2 impide que la fraccion degas se anule en el centro del conducto.

Los resultados que se muestran en la Figura 6.23 confirman la relacion existente entre θ2 y el terminoMTD. Si disminuye la fuerza de dispersion turbulenta (coeficiente CTD) disminuye tambien la fraccionde gas en el centro del conducto y se desplaza el punto de transicion θ2. Notese que si el termino MTD

disminuye lo suficiente (CTD = 0,6), ǫG(0) llega a anularse, como ocurrıa en flujo laminar.

La Figura 6.24 muestra el efecto que la disminucion del termino MTD tiene sobre el parametro λ.

Para analizar la transicion θ1 estudiaremos la distribucion radial de las variables principales en puntosinmediatamente anteriores y posteriores a θ1 (puntos A, B, C y D de la Figura 6.25).

El perfil de velocidad de lıquido en la region central del conducto pasa de ser plano (puntos A y B) atener curvatura apreciable (puntos C y D), como se muestra en la Figura 6.26. Esta diferencia produce


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

A

B

C

D

r / R

k

Figura 6.20: k(r) - Region cercana a θ2

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,00000

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

A

B

C

D

r / R

νt

Figura 6.21: νt(r) - Region cercana a θ2

un aumento de la variable ∂vL

∂r que provoca un incremento del termino de produccon de k (ecuacion5.58). Finalmente, esto se traduce en un aumento de k en la region central, como se muestra en laFigura 6.27.

Volvamos ahora nuevamente la atencion sobre la Figura 6.13. En el tramo que une las transiciones θ1

y θ2 un disminucion del gradiente de presion va acompanado de un aumento proporcional de ǫG(0), deforma similar a lo que ocurrıa en flujo laminar (Figura 4.8). En flujo turbulento, en cambio, se observaque, a partir de la transicion θ1, una disminucion del gradiente de presion no es mas acompanada deun aumento proporcional de ǫG(0). Se pudo comprobar que uno de los terminos que impide que ǫG(0)continue aumentando linealmente con el gradiente de presion es el segundo termino de la ecuacion(5.57), al que llamaremos de ahora en mas M ′K

G .

M ′KG = ǫG(1 − ǫG)

2

3

∂k

∂r(6.1)

Como se puede deducir de las ecuaciones (5.54) y (5.57), el termino M ′KG representa una fuerza lateral


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

A

B

C

D

MTD

r / R

Figura 6.22: MTD(r) - Region cercana a θ2

−9900 −9875 −9850 −9825 −9800 −9775 −9750 −9725 −9700

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0,010

0,011

0,012

1.5

1.05

0.9

0.6

Grad P

ǫG(0)

CTD



cuyo efecto es similar al de la fuerza de lift. Recordemos que la fuerza de lift empuja a las burbujashacia la pared del conducto en flujo ascendente y hacia el centro del conducto en flujo descendente.Este cambio de sentido se debe a que la derivada radial de la velocidad es negativa en flujo ascendente ypositiva en flujo descendente. El termino M ′K

G , en cambio, empuja a las burbujas siempre en direcciona la pared del conducto porque la derivada radial de la energıa cinetica turbulenta mantiene el mismosigno, tanto para flujo ascendente como para descendente.

La derivada radial de la energıa cinetica turbulenta aumenta bruscamente cuando el gradiente depresion atraviesa la transicion θ1 (Figura 6.28). Esto provoca un aumento del termino M ′K

G que empujaa las burbujas hacia la pared del conducto e impide que ǫG(0) continue creciendo linealmente en funciondel gradiente de presion.

Para confirmar la relacion existente entre el termino M ′KG y la transicion θ1, se multiplico al termino

M ′KG por un coeficiente arbitrario Ckr y se analizo el efecto de disminuir ese coeficiente. La Figura

6.29 muestra los resultados obtenidos y confirma claramente la relacion que hemos expresado.


−9900 −9875 −9850 −9825 −9800 −9775 −9750 −9725 −9700

−0,002

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

1.50

1.05

0.90

λ

Grad P

CTD



−9550 −9500 −9450 −9400 −9350 −9300

0,028

0,029

0,030

0,031

0,032

0,033

0,034

r / R

C

A

ǫG(0)

B

D



La Figura 6.30 muestra el efecto del termino M ′KG sobre el parametro λ.

Si bien la accion del termino M ′KG influye sobre la distribucion de fraccion de gas, haciendo siempre

que aumente en la periferia y disminuya en el centro, se puede concluir que su accion no es la quedetermina la aparicion de la transicion θ2, tratada anteriormente. En efecto, esta transicion se debeexclusivamente, como ya se comprobo, a la accion del termino MTD, que hace aumentar la fraccionde gas en el centro del conducto en flujo ascendente. Se pudo comprobar, sin embargo, que el terminoMTD sı contribuye a la aparicion de la transicion θ1. En flujo descendente la fraccion de gas es mayoren el centro que en la periferia, y por lo tanto, la accion de este termino es la de disminuir la fraccionde gas en el centro. Su influencia sobre la transicion θ1 es, en este caso, similar a la del termino M ′K

G

(Figuras 6.31 y 6.32).

Como hemos observado, el termino MTD influye tanto en la posicion de la transicion θ1 como en la deθ2. Esto es ası porque el efecto de la dispersion turbulenta es el de aumentar la fraccion de gas en elcentro del conducto en flujo ascendente, y el de disminuir la fraccion de gas en el centro del conductoen flujo descendente. Se puede concluir, entonces, que el efecto de incrementar el termino MTD es el


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

−0,8

− 0,7

−0,6

−0,5

− 0,4

− 0,3

−0,2

− 0,1

0,0A

B

C

D

Ve

loci

dad

de

líqu

ido

(m

/s)

r / R

Figura 6.26: vL(r) - Region cercana a θ1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

A

B

C

D

r / R

k

Figura 6.27: k(r) - Region cercana a θ1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

− 0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

A

B

C

D

r / R

∂k∂r

Figura 6.28: ∂k∂r

(r) - Region cercana a θ1


− 9520 −9500 − 9480 − 9460 −9440 − 9420 −9400 − 9380 − 9360 − 9340

0,028

0,029

0,030

0,031

0,032

0,033

0,034

0,035

0,036

0,037

0,038

1.0

0.7

0.4

0.1

Grad P

Recta laminar

ǫG(0)

Ckr



−9520 −9500 −9480 − 9460 −9440 − 9420 −9400 −9380 −9360 −9340

−0,016

− 0,014

−0,012

−0,010

−0,008

−0,006

−0,004

−0,002

0,000

0,002

0,004

1.0

0.7

0.4

0.1

λ

Grad P

Recta laminar

Ckr



de acercar la posicion de las dos transiciones.

Analizando la expresion correspondiente a MTD (ec. 5.50), se nota que los factores CD, vr, νeff y∇ǫG tienen su propia expresion y son calculados internamente por el codigo numerico. En cambio, losvalores de CTD, ρL y Rb son elegidos “arbitrariamente”. Elegida la fase lıquida se fija el valor ρL, porlo que solo analizaremos el efecto de variar CTD o Rb sobre las transiciones θ1 y θ2.

Recordemos que CTD = Sc−1b y que algunos experimentos han demostrado que el numero de Schmidt

para pequenas partıculas puede variar entre 0.7 y 1. Esto nos conduce a suponer que los valores deCTD razonables pueden variar entre 1 y 2. Incrementando el valor de CTD se aumenta la accion de ladispersion turbulenta, y el efecto es entonces el de acercar entre sı a las dos transiciones, como puedeverse en la Figura 6.33. Tambien se observa que el efecto sobre la transicion θ2 es mayor que el efectosobre la transicion θ1. Esto se debe a que el valor de ∇ǫG es mayor en flujo ascendente que en flujodescendente, por la presencia del pico de fraccion de gas cercano a la pared.

Sobre el tamano del radio de las burbujas pueden influir mucho factores, como el radio del conducto,


−9520 −9500 −9480 −9460 −9440 −9420 −9400 −9380 −9360 −9340

0,028

0,030

0,032

0,034

0,036

0,038

0,040

0,042

2

1

Grad P (P/m)

CTD

ǫG(0)



− 9520 − 9500 − 9480 −9460 −9440 − 9420 −9400 − 9380 − 9360 − 9340

− 0,012

− 0,010

− 0,008

− 0,006

−0,004

− 0,002

0,000

21

Grad P (P/m)

CTDλ



las propiedades fısicas de las fases o la distribucion de presion. Para un radio de conducto de unapulgada y flujo bubbly, es razonable suponer radios de burbujas cuyo orden varıe entre 1 mm y 0.1mm. Suponer este rango de radios de burbuja implica variar MTD en un orden de magnitud. Estavariacion es mucho mayor que la que se puede esperar al variar el coeficiente CTD. Cuando se disminuyeel radio de las burbujas aumenta el efecto de la dispersion turbulenta, y las transiciones θ1 y θ2 seacercan, como se puede ver en la Figura 6.34.

6.5. Mapa de flujo turbulento

Las rectas que incluyen a los puntos θ1 y θ2 delimitan distintas regiones en lo que llamaremos mapade flujo turbulento, como se muestra en la Figura 6.35.

En la region comprendida entre las rectas que incluyen a θ1 y a θ2 es valida la conclusion obtenida en6.3, similar a la que fuera obtenida para flujo laminar : el peso especıfico efectivo en la zona central


0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

−9800

−9700

−9600

−9500

−9400

−9300

− 9200

−9100

1.5

2.0

Gra

d P

(P

/m)

CTD

ǫG

Figura 6.33: θ1 y θ2 en funcion de ǫG para distintos valores de CTD

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

− 9900

− 9800

− 9700

− 9600

− 9500

− 9400

− 9300

− 9200

− 9100

Gra

d P

(P

/m)

0.00125

0.0005

0.0001

ǫG

Rb (m)

Figura 6.34: θ1 y θ2 en funcion de ǫG para distintos radios de burbuja

del conducto (ρeff g) equilibra el gradiente de presion impuesto.

Por encima de la recta que incluye a los puntos θ1 se verifica que el peso especıfico efectivo en el centrodel conducto es mayor que el gradiente de presion impuesto (ρeff g > ∂p

∂z ; λ < 0). Por debajo de larecta que incluye a los puntos θ2, en cambio, se verifica que el peso especıfico efectivo en el centro delconducto es menor que el gradiente de presion impuesto (ρeff g < ∂p

∂z ; λ > 0).

Las figuras que siguen muestran los perfiles caracterısticos de las principales variables en distintasregiones del mapa de flujo turbulento (puntos 1, 2, 3 y 4 de la Figura 6.35).

La Figura 6.36 muestra los distintos perfiles de velocidad de fase lıquida. En la region comprendidaentre θ1 y θ2 (puntos 3 y 4), el perfil de velocidad es mas plano que en los puntos exteriores (1 y 2).En la zona interior, el perfil debe su forma al equilibrio entre el peso especıfico efectivo en la zonacentral del conducto y el gradiente de presion impuesto. En la zona exterior, en cambio, el perfil esrelativamente plano debido a la presencia de la viscosidad turbulenta.


0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

−9900

−9800

−9700

−9600

−9500

−9400

−9300

−9200

−9100

−9000

4321

θ1

θ2

Gra

d P

ǫG

Flujodescendente

Flujoascendente

Figura 6.35: θ1 y θ2 en funcion de ǫG

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

−1,4

−1,2

−1,0

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0,0

0,2

0,4

0,6 Grad P = −9600 P/m

0 .0 (1 )

0 .01 (2 )

0 .0175 (3 )

0 .025 (4 )

vL

(m/s

)

r / R

ǫG

Figura 6.36: vL(r) para distintos ǫG - ∂p∂z

= −9600 P/m

La Figura 6.37 muestra los perfiles caracterısticos de la energıa cinetica turbulenta en las distintasregiones. En los puntos interiores (3 y 4), la energıa cinetica turbulenta es sensiblemente menor que enlos puntos exteriores (1 y 2). Esto se debe a que la produccion de energıa cinetica turbulenta, que esproporcional al gradiente de velocidad, es menor. Resulta tambien ilustrativo mostrar como varıa laenergıa cinetica turbulenta promedio (k) en funcion del gradiente de presion impuesto (Figura 6.38).

k =1

A

∫

Ak dA (6.2)

La Figura 6.39 muestra los perfiles caracterısticos de la disipacion de energıa cinetica turbulenta (ε)en las distintas regiones. Los valores de ε en la region cercana a la pared del conducto son mayores enlos puntos exteriores que en los puntos interiores.

La Figura 6.40 muestra los perfiles caracterısticos de la fraccion de gas en las distintas regiones.


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

Grad P = −9600 P/m

0 .0 (1 )

0 .01 (2 )

0 .0175 (3 )

0 .025 (4 )

r / R

k

ǫG

Figura 6.37: k(r) para distintos ǫG - ∂p∂z

= −9600 P/m

−11000 −10500 −10000 −9500 −9000 −8500 −8000

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

θ2 θ

1

G rad P (P /m )

k

ǫG = 0,025

Figura 6.38: k en funcion del gradiente de presion

0,800 0,825 0,850 0,875 0,900 0,925 0,950 0,975 1,000

0

1

2

3

4

5

6

7

G rad P = − 9600 P /m

0 .0 (1 )

0 .01 (2 )

0 .0175 (3 )

0 .025 (4 )

r / R

ε

ǫG

Figura 6.39: ε(r) para distintos ǫG - ∂p∂z

= −9600 P/m


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

Grad P = − P/m0 .01 (2 )

0 .0175 (3 )

0 .025 (4 )

r / R

9600

ǫG

ǫG

Figura 6.40: ǫG(r) para distintos ǫG - ∂p∂z

= −9600 P/m

6.6. El efecto de reducir la aceleracion de la gravedad

En forma similar a lo realizado en flujo laminar, en flujo turbulento tambien se analizo la influenciaque reducir la aceleracion de la gravedad (g) tiene sobre la distribucion de las principales variables.

Como ya fue mencionado anteriormente, la velocidad relativa entre las fases disminuye cuando gdisminuye (Fig. 4.10).

La influencia que tiene la disminucion de g sobre los perfiles de fraccion de gas puede ser deducida si seanaliza la ecuacion correspondiente a ǫG(r) (Ec. 5.54). Si se divide toda la ecuacion por v2

r , el terminode lift queda dividido por vr y el termino M ′K

G queda dividido por v2r . Por lo tanto, cuando g y vr

disminuyen, y a diferencia del caso laminar, es ahora el termino M ′KG el que se vuelve crecientemente

dominante sobre los otros terminos de la ecuacion. Recordemos que este termino representa una fuerzalateral que, a diferencia de la fuerza de lift, empuja a las burbujas siempre en direccion a la pared delconducto, tanto en flujo ascendente como en flujo descendente.

Las Figuras 6.41 y 6.42 muestran los perfiles de fraccion de gas calculados para g decreciente. Cuandoaumenta la importancia relativa del termino M ′K

G , las burbujas son empujadas hacia la pared delconducto, tanto en flujo ascendente como en flujo descendente.

La ecuacion diferencial para la velocidad de lıquido en flujo turbulento (Ec. 5.53) es muy similar a lacorrespondiente para flujo laminar (Ec. 4.1). Solo se diferencian en la expresion de la viscosidad. Sepuede hacer, por lo tanto, un analisis similar al efectuado en el apartado 4.4. En las Figuras 6.43 y6.44 se muestran los perfiles de velocidad para flujo turbulento ascendente y descendente. El efecto dereducir la aceleracion de la gravedad es similar al observado para flujo laminar (Figuras 4.13 y 4.14).

Las Figuras 6.45 y 6.46 muestran los perfiles de la energıa cinetica turbulenta para flujo ascendentey descendente. En ambos casos se observa que la disminucion de g provoca un aumento de k. Paraentender este efecto debemos analizar la ecuacion diferencial correspondiente a k (Ec. 5.58). La ace-leracion de la gravedad no esta explıcitamente presente en esta ecuacion, por lo que el efecto debetener su origen solamente en la influencia de esta en los terminos de produccion y disipacion de k. Eltermino de produccion de k depende del gradiente de velocidad. En las Figuras 6.43 y 6.44 se observaque una disminucion de g provoca un leve aumento del gradiente de velocidad, y por lo tanto, de laproduccion de k. Por otro lado, las Figuras 6.47 y 6.48 muestran que una disminucion de g provoca


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

9.8

4.0

1.0

0.1

r / R

ǫG

g (m/s2)

Figura 6.41: Perfiles de fraccion de gas para diferentes valores de g - Flujo ascendente

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

9.8

4.0

2.5

1.5

1.0

0.6

0.1

r / R

g (m/s2)

ǫG

Figura 6.42: Perfiles de fraccion de gas para diferentes valores de g - Flujo descendente

una disminucion de la disipacion de k (ε), efecto que se hace mas evidente en flujo ascendente.

6.7. Multiplicador de dos fases (Φ2)

El llamado multiplicador de dos fases (Φ2) se define como el cociente entre el gradiente de presion porfriccion del flujo de dos fases y el correspondiente gradiente de presion por friccion del flujo de una faseque tiene el mismo caudal masico (o el mismo numero de Reynolds, si se conserva el area transversaldel conducto).

Φ2 =∂p∂z |F 2φ

∂p∂z |F 1φ

(6.3)

Con los resultados obtenidos con el codigo numerico se pudo calcular valores de multiplicador de dosfases y compararlos con los correspondientes valores experimentales.


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

9.8

4.0

1.0

0.1

r / R

g (m/s2)

v L(m

/s)

Figura 6.43: Perfiles de velocidad para diferentes valores de g - Flujo ascendente

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

− 2,0

−1,5

−1,0

−0,5

0,0

9.8

4.0

2.5

1.5

1.0

0.6

0.1

r / R

g (m/s2)

v L(m

/s)

Figura 6.44: Perfiles de velocidad para diferentes valores de g - Flujo descendente

La Figura 6.49 muestra como varıa el gradiente de presion por friccion en funcion del numero deReynolds, para flujo ascendente y distintos valores de ǫG. Usando los datos de esta figura y haciendolos cocientes entre los correspondientes gradientes de presion, se obtuvieron los valores de Φ2 que semuestran en la Figura 6.50.

La Figura 6.51 muestra como varıa el gradiente de presion por friccion en funcion del numero deReynolds, para flujo descendente y distintos valores de ǫG. Usando ahora esta figura, se obtuvieron losvalores de Φ2 para flujo descendente que se muestran en la Figura 6.52.

Experimentalmente se ha comprobado que Φ2 es siempre mayor que uno, y crece con el tıtulo (x). Losvalores de Φ2 se obtienen generalmente de correlaciones muy complejas o de graficos obtenidos sobrela base de datos experimentales y solo validos dentro de cierto rango. La Figura 6.53 muestra, comoejemplo, la Correlacion de Baroczy (Butterworth & Hewitt, 1977) para jL = 1356 kg

s m2 (los numerossobre las curvas dan el valor del tıtulo x en porciento). Teniendo en cuenta los valores utilizados enlos calculos numericos ( 1

Γ2 ≈ 0,003 ; x ≈ 0,00001), los valores de Φ2 calculados y presentados en lasFiguras 6.50 y 6.52 resultan razonables.


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

9.8

4.0

1.0

0.1

r / R

k(m

2/s

2)

g (m/s2)

Figura 6.45: Perfiles de energıa cinetica turbulenta para diferentes valores de g - Flujo ascendente

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

9.8

4.0

2.5

1.5

1.0

0.6

0.1

r / R

g (m/s2)

k(m

2/s

2)

Figura 6.46: Perfiles de energıa cinetica turbulenta para diferentes valores de g - Flujo descendente

0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00

0

5

10

15

20

9.8

4.0

1.0

0.1

r / R

g (m/s2)

ε(m

2/s

3)

Figura 6.47: Perfiles de ε para diferentes valores de g - Flujo ascendente


0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00

0

10

20

30

40

50

9.8

4.0

2.5

1.5

1.0

0.6

0.1

r / R

g (m/s2)

ε(m

2/s

3)

Figura 6.48: Perfiles de ε para diferentes valores de g - Flujo descendente

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

− 500

− 400

−300

− 200

− 100

0

0 .025

0 .0175

0 .01

0 .0

R eL

∂p∂z |F

ǫG

Flujo ascendente

Figura 6.49: ∂p∂z

|F en funcion de ReL para distintos ǫG - flujo ascendente


20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

0 .025

0 .0175

0 .01

Φ2

R eL

Flujo ascendente

ǫG

Figura 6.50: Multiplicador de 2 fases (Φ2) en funcion de ReL para distintos ǫG - flujo ascendente

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

0

50

100

150

200

250

300

350

0 .05

0 .025

0 .0

R eL

∂p∂z |F

ǫG

Flujo descendente

Figura 6.51: ∂p∂z

|F en funcion de ReL para distintos ǫG - flujo descendente


20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

0 .05

0 .025

Φ2

R eL

ǫG

Flujo descendente

Figura 6.52: Multiplicador de 2 fases (Φ2) en funcion de ReL para distintos ǫG - flujo descendente

Figura 6.53: Φ2 - Correlacion de Baroczy

Capıtulo 7

Conclusiones

En la presente tesis se ha llevado a cabo una evaluacion analıtica y numerica del modelo de dos fluidosaplicandolo al caso de flujos bubbly totalmente desarrollados.

Una vez presentado el modelo completo (Capıtulo 2) se lo aplico al caso particular de flujo lami-nar totalmente desarrollado en conductos cilındricos verticales. El sistema de ecuaciones resultantefue reducido a una sola ecuacion diferencial ordinaria (ODE), que se adimensionalizo mediante la in-troduccon de una longitud caraterıstica que resulto ser del orden del radio de la burbuja. Las solucionesde esta ecuacion fueron obtenidas y extensamente analizadas utilizando Mathematica. Este analisis selimito a las soluciones del modelo en la region central del conducto, sin tener en cuenta aun el efecto delas paredes. La principal conclusion que se obtuvo es que en flujos laminares totalmente desarrolladosexiste una compensacion exacta entre el gradiente de presion aplicado y la fuerza hidrostatica ρeff g,donde ρeff es la densidad efectiva de la mezcla y g la aceleracion de la gravedad. Como corolario deesta conclusion se pudo demostrar que la fraccion de gas en el centro del conducto depende solamentedel gradiente de presion aplicado, y que la unica solucion posible del modelo es la de perfiles planosde fraccion de gas y velocidad en la region central del conducto.

En el Capıtulo 3 se implemento una aproximacion numerica del sistema de ecuaciones resultante delmodelo, incluyendo el efecto de las paredes del conducto mediante una fuerza de pared (M ′W ). Estaaproximacion numerica permitio comprobar las conclusiones del capıtulo anterior y extenderlas a casosen los que se predicen regiones de fraccion de gas nula. En particular, se analizo el comportamiento delas principales variables en funcion del gradiente de presion impuesto. Se pudo comprobar que cuandoel valor absoluto del gradiente de presion aumenta, la fraccion de gas en la region central del conductodisminuye y aumenta la altura del pico de gas proximo a la pared. Este comportamiento obedece auna incremento de la fuerza de lift debido a un aumento del gradiente de velocidad cerca de la pared.Se pudo comprobar tambien que, cuando el gradiente de presion es igual o mayor que el peso especıficode la fase lıquida (ρL g), la fraccion de gas en la region central se anula y el perfil de velocidad adoptala forma parabolica propia de flujos laminares de una fase. Se analizo tambien el comportamiento delas soluciones del modelo bajo condiciones de gravedad reducida. Se pudo concluir que, al disminuir laaceleracion de la gravedad, cambia el peso relativo de las fuerzas interfaciales y la fuerza de lift se hacecrecientemente dominante sobre las otras. Esto se traduce en una mayor acumulacion de burbujasen la pared en flujo ascendente, y en una mayor acumulacion de burbujas en la region central delconducto en flujo descendente.

Los Capıtulos 5 y 6 de esta tesis fueron dedicados al modelado y analisis de flujos totalmente desa-rrollados en regimen turbulento. Para ello se utilizo un modelo k − ε modificado para ser aplicado aflujos bifasicos bubbly. A este modelo se le aplicaron correcciones para tener en cuenta el hecho de que

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CAPITULO 7. CONCLUSIONES 75

el radio de las burbujas puede ser comparable al espesor de la subcapa laminar. El modelo resultante,denominado modelo de bajo Reynolds, permitio reproducir las variables a lo largo de todo el radio delconducto, incluida la subcapa laminar.

Al igual que para flujos laminares, para flujos turbulentos tambien se analizo el comportamiento de lasprincipales variables en funcion del gradiente de presion impuesto. La principal conclusion que se pudoextraer es que, dentro de un rango de gradientes de presion limitado por dos valores de transicion (θ1

y θ2), las propiedades de las soluciones son similares a las obtenidas para flujo laminar : el gradientede presion aplicado es compensado por la fuerza hidrostatica ρeff g, la fraccion de gas en el centro delconducto depende linealmente del gradiente de presion, y se predicen perfiles planos de fraccion de gasy velocidad en la region central del conducto. El valor de la fuerza hidrostatica ρeff g es menor que elgradiente de presion cuando este es menor que θ2, y es mayor que el gradiente de presion cuando estees mayor que θ1. La fraccion de gas en la region central del conducto es aproximadamente constantepara gradientes de presion menores que θ2, y decrece con el gradiente de presion cuando este es mayorque θ1.

Un analisis detallado del origen de las transiciones θ1 y θ2 permitio descartar que estas deban su origena la implementacion numerica del modelo. Se pudo concluir que las transiciones θ1 y θ2 tienen su origenen un incremento abrupto de la fuerza lateral de dispersion turbulenta motivado por un cambio enla curvatura del perfil de velocidad, y en la accion de una fuerza lateral que depende de la derivadaradial de la energıa cinetica turbulenta. En particular se pudo comprobar que el efecto de incrementarla fuerza de dispersion turbulenta es el de acercar las transiciones entre sı. Se comprobo tambienque la posicion de las transiciones θ1 y θ2 es funcion lineal de la fraccion de gas promedio (ǫG). Seconstruyo un mapa de flujo turbulento en funcion del gradiente de presion y la fraccion de gas promedio,incluyendo las lineas rectas que contienen las transiciones, y se analizaron los perfiles caracterısticosde las principales variables en cada region de ese mapa.

Para flujos turbulentos tambien se analizo como cambian las soluciones del modelo cuando se reducela aceleracion de la gravedad. En este caso, a diferencia del laminar, el termino que aumenta suimportancia relativa frente a los otros terminos de la ecuacion es la fuerza lateral que depende de laderivada radial de la energıa cinetica turbulenta. Como consecuencia, cuando disminuye la acelaracionde la gravedad, se produce una creciente acumulacion de gas en proximidad de la pared, tanto paraflujo ascendente como para flujo descendente.

Finalmente se utilizo el modelo turbulento para calcular multiplicadores de dos fases (Φ2), que son loscoeficientes que relacionan los gradientes de presion en flujo bifasico con los equivalentes en flujo deuna fase. Los resultados obtenidos guardan buena relacion con los resultados de las correlaciones enuso que se presentan.

Como conclusion final y sintetizadora, se puede decir que esta tesis constituye un analsis amplio yprofundo del modelo de dos fluidos y su aplicacion a flujos totalmente desarrollados, tanto en regimenlaminar como en regimen turbulento. Las conclusiones obtenidas constituyen un aporte original yvalioso, ya que han permitido caracterizar las soluciones que se pueden obtener con el modelo de dosfluidos e identificar claramente los orıgenes y las causas de esa caracterizacion.

Serıa de gran interes que, como continuacion de esta tesis, se llevaran a cabo estudios tendientesa confirmar las conclusiones obtenidas, haciendo uso de otros modelos bifasicos (bubble individualtracking, etc..) o de otras variantes del modelo de dos fluidos (modelo polidisperso, etc..).

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