Análisis de series de tiempo Quinta clase. Modelos ARMA Son combinaciones de lo anterior; para un...
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Análisis de series de tiempo
Quinta clase
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Modelos ARMA
• Son combinaciones de lo anterior; para un proceso estacionario con media cero
0
0
)()(
q
p
tt wBxB
)1( 1
11111
p
qtqtttptt wwwxxx
distinta de cero
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Identificación de modelos
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Predicción (Conceptos Básicos)
• Se busca pronosticar los valores de la serie {xt} (ojo, puede ser multivariada) para los tiempos T+1, ..., T+H conociendo la historia del proceso hasta el tiempo T.
• H es el horizonte de predicción
es el pronóstico.
• Teorema: La esperanza condicional de xT+h dado el pasado es un estimador insesgado de xT+h , y no hay otro predictor que condicional en el pasado tenga variancia mas pequeña. Esta variancia es el MSFE (mean-square forecast error)
• Obsérvese que el MSFE es UN criterio para escoger un pronóstico, no es el único!.
)hasta nInformació(~ Tfx hhT
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Predicción
• Estamos usando filtros lineales, asi que parace natural buscar la predicción basada en combinaciones lineales
• Caso AR es facil: ARMA no tanto!
1;
),,|(
predicción deia la variancMinimizar
00
1
xxx
xxxExn
kkk
nmn
nmnn
mn
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Error de predicción
m
jjwmnmn
nmn
mjjmnjmn
xxEP
wx
0
222)~(
~
En R se puede usar la función genérica “predict” para hacer las prediccionesy los errores de predicción
Predicción a largo plazo: va a la media ! con error constante
Ver ejemplo del GNP en R
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ARIMA y SARIMA
• Series integradas: – Se llaman asi por qué son las derivadas las que se comportan como
serie estacionaria
– No trabajar con la serie original sino con la serie de los incrementos de algún orden:
– Ejemplo con la serie de glacial
• SARIMA– Season = (estación)
ts
qts
P wBxB )()(
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Análisis espectral
Time
c
0 100 200 300 400 500
-20
12
Time
c +
w
0 100 200 300 400 500
-40
24
Time
c +
5 *
w
0 100 200 300 400 500
-10
010
• Las series presentan ‘regularidades’ que pueden interpretarse como solapamiento de ‘ondas’ periodicas.
• La idea del análisis espectral es transformar la serie al dominio de la frecuencia
• Ciclo: Un período completo de una onda sinusoidal
• Ciclos por observación es la convención que usa el libro
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Análisis espectral
)2sin()2cos( 21 tUtUx kkkkt
• Suponiendo las variables independientes)2sin()2cos(
)2cos(
21 tUtU
tAxt
Ui ~ N(0,) A2 ~ 2
medida en ciclos por unidad de tiempo o en ciclos por punto temporal en el caso discreto.
o Para series medidas en tiempos discretosse requiere de al menos dos puntos para obtener un ciclo, por lo que la frecuencia
másalta será 0.5 ciclos por punto.
)2cos()( 2 hh kk
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Superposición de sinusoidales con diferente frecuencias. ... agréguese ruido ...
freq=6/100, amp^2=13
Time
x1
0 20 40 60 80 100
-15
-55
15
freq=10/100, amp^2=41
Time
x2
0 20 40 60 80 100
-15
-55
15
freq=40/100, amp^2=85
Time
x3
0 20 40 60 80 100
-15
-55
15
sum
Time
x
0 20 40 60 80 100
-15
-55
15
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Periodograma
)/(ˆ)/(ˆ)/(
Energia""
)/2sin(2
)/(ˆ
)/2cos(2
)/(ˆ
donde
)/2sin()/(ˆ)/2cos()/(ˆ
22
21
12
11
2
2/
01
njnjnjP
ntjxn
nj
ntjxn
nj
ntjnjntjnjx
n
tt
n
tt
n
jt
Regresión de x sobre todas las sinusoidales con ciclos por punto, menores que 0.5
El periodograma puede ser visto como una medida de la correlación de los datos con sinusoidales oscilando a frecuencias j/n.
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Señal vs Señal y ruido
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
020
4060
80
frequency
perio
dogr
am
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
2040
6080
frequency
perio
dogr
am
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Densidad espectral
)2sin()2cos(
)2cos(
21 tUtU
tAxt
0
02
0
20
2/1
2/1
2
22
02
2
0
)(
)(
)(2
)2cos()(
0
U
U
hi
hiU
U
F
dFe
e
hh
Para cualquier proceso estacionariose tiene una representación de lafunción de autocovariancia
2/1
2/1
2 )()( dFeh hi
F Función de distribución espectral
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Densidad espectral
hi
hi
ehf
dfeh
f
h
2
2/1
2/1
2
)()(
:aún Más
)()(
funciónuna existe
sumable nteabsolutame es )( general
términode seriela Si
f se le llama densidad espectral ; Ojo: Ver variancia del proceso como la integral de la densidad espectral sobre todas las frecuencias
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Ejemplos
• Ruido blanco– Potencia uniforme sobre todas las frecuencias
• Promedio móvil de ruido
• ARMA
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Estimación del periodograma
• Periodograma y la transformada de Fourier discreta
22
:
2
1
22/1
)()(2
con
)()()(
/;)(
ónDistribuci
j
nj
j
jj
j
n
t
titj
fI
fdI
njexnd j
En R esta implementada la función spec.pgram
El periodograma crudo noes un estimador consistente
Usualmente se suaviza (se promedia sobre valores adyacentes) y en ese caso ladistribucion asintótica eschi-cuadrado con más gradosde libertad...(menos incertidumbre)