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ANÁLISIS DE MATERIALES CONCRETOS USADOS EN LA ENSEÑANZA DEL SISTEMA DE NOTACIÓN

EN BASE DIEZ El marco de presentación en el cual se inscribe la descripción, el análisis y la presentación de materiales y tareas que ayudan al niño a construir el sistema de notación en base diez, sigue el siguiente orden y contenido: Recuento Histórico Presenta una breve reseña sobre la aparición y uso que han tenido los materiales a través de la historia. Algunos materiales no presentan este punto por no encontrar disponible tal información. Descripción del material Describe la forma como puede construir usted mismo el material. Presenta la versión original o estándar del material y en muchos casos la manera de adaptarlos con materiales menos costosos. Presentación de una tarea Presenta una tarea que permite el uso del material y facilita la comprensión del análisis del material. Análisis del material En todo material que se utilice para la enseñanza de las matemáticas, es posible señalar tres componentes básicos que ayudan a comprender las dificultades que pueden presentar las tareas que sobre esos materiales se realizan. Dos de estos componentes responden a elementos fundamentales dentro de la estructura del sistema de notación en base 10: Operadores (ó número de veces que se repite una unidad del sistema) y Unidades del sistema. El tercero es una propiedad de cada material al que se asigna un valor especial en virtud de las operaciones que sobre este puedan desarrollarse. Esta propiedad se nombrará en adelante como Valor-Propiedad. Los Operadores y las Unidades responden a elementos definidos por el sistema (Operadores: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; Unidades: 1, 10, 100, 1.000, 10.000,...) y el Valor –Propiedad es una propiedad física del material sobre el cual se desarrollan ciertas operaciones.

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Por ejemplo, en el caso del Ábaco, el valor de posición es una propiedad del material que se presenta en las barras o columnas donde se insertan las fichas del Ábaco, para el Ábaco su Valor-Propiedad es el Valor de Posición. Como trabajar con el material En esta sección aparecen más ejemplos de las distintas maneras de trabajar con este material. Se debe tener en cuenta que estas tareas pueden ayudar al niño en la construcción de las operaciones aritméticas y algebraicas básicas para el desarrollo del conocimiento matemático, no deben ser tareas que evalúen el desempeño de un niño frente al contenido que la escuela considera como convencional.

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ANALISIS DEL MANEJO DE FICHAS DE COLORES

Descripción del material Las Fichas pueden ser tapas de envases, botones, granos como frijoles y garbanzos, pedazos de cartón o cartulina. Se recomienda que conserven características perceptibles uniformes: forma, tamaño, consistencia. Estos se pintan con temperas o vinilos, estos últimos más resistentes al uso. Los colores pueden variar dentro del rango que el maestro decida. En la búsqueda de tareas que ayuden a la construcción del Sistema de notación en base 10, se recomiendan tantos colores como unidades del sistema puedan trabajar con los niños. Presentación de una tarea con fichas de colores Se asigna a cada color un valor arbitrario, de acuerdo con las unidades del sistema de notación en base 10 (1, 10, 100, 1.000, etc.). Por ejemplo, una ficha roja puede valer uno, una ficha azul valer diez, una amarilla valer cien y una verde valer mil. El maestro/a muestra todas las fichas que quiera sobre una superficie y pregunta, por ejemplo (mostrando una ficha de cada color): ¿Cuánto tengo aquí? Respuesta: 1.111 Esto es trabajar en una composición aditiva. De manera descriptiva se puede presentar otro ejemplo: Tapa roja que vale: 1, Tapa negra que vale: 100, Tapa azul que vale 1.000 y se presenta la siguiente composición:

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Es posible trabajar simultáneamente la escritura de las operaciones aditivas; utilizando este ejercicio de composición aditiva con fichas de colores se pide al niño que escriba al frente de cada grupo de fichas cuánto tiene y finalmente cuanto tiene en total:

2 300 1.000

_________ 1.302

Otra actividad es: Entrégame 3.300 en fichas de color Negro. El niño debe entregar, siguiendo las convenciones del ejemplo anterior, 33 fichas. Análisis de las fichas de colores En las fichas de colores, el color de cada ficha representa a las unidades del sistema: rojo =1, verde =10, negro =100, azul =1.000, amarillo =10.000 y de manera arbitraria, el resto de colores que se quieran presentar y que correspondan a una unidad del sistema de notación en base diez. Los operadores responden al número de fichas: 2 fichas rojas = 2x1 =2, 3 fichas verdes = 3x10 =30, 3 fichas negras = 3x100 =300. El Valor-Propiedad de este material es el color, sobre cada color se encuentra una Unidad del Sistema de Notación en Base Diez.

Cómo trabajar con las fichas de colores Presentación general. Se presentan al niño fichas de diferentes colores, a los cuales se asignan valores diferenciados. Se empieza con las fichas cuyo valor corresponde al período estipulado para su grado, por ejemplo, para Preescolar y Primero de Primaria1: 1. “Estas fichas valen 1” (señalo las fichas rojas); “Estas valen 10”

(señalo las azules).

1 Las comillas señalan el diálogo que el maestro debe proponer al niño. Las frases son ordenadas de acuerdo con la secuencia de presentación que sugerimos.

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2. “Haz de cuenta que estas fichas son monedas” “¿Cuánto vale esta ficha?” (señalando una ficha roja) “¿Cuánto vale esta ficha?” (señalando una ficha azul)

3. “Ahora quiero que utilizando estas fichas (señalando fichas rojas y

azules) me entregues 12 pesos” “En 12 pesos, cuántos de 10 hay?” “En 12 pesos, cuántos de 1 hay?”

4. “Ahora quiero que utilizando estas fichas me entregues 23 pesos” Cuando completa la composición, se recogen las fichas y se le pregunta: 5. “En 23 pesos ¿cuántos de 10 hay?”

“En 23 pesos ¿cuántos de 1 hay?” Si el niño no contesta, o no entiende, se le dice: 6. “¿Cuántos de 1 hay en 10?”

“Entonces, en 23 ¿cuántos de 1 hay?” Solamente con los niños que responden correctamente las equivalencias en la tarea de 23 pesos. 7. “Ahora quiero me entregues el valor equivalente a 58 pesos” Se recogen las fichas y se le pregunta: 8. “En 58 pesos ¿cuántos de 10 hay?”

“En 58 pesos ¿cuántos de 1 hay?” Si responde correctamente se le dice: 9. “Ahora quiero me entregues el valor equivalente a 99 pesos” Se recogen las fichas y se le pregunta: 10. “En 99 pesos ¿cuántos de 10 hay?”

“En 99 pesos ¿cuántos de 1 hay?” 11. “Y si agrego una ficha de 1 peso, ¿Cuánto tienes?”

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Si el niño responde “100”, se continúa con tareas correspondientes a un rango superior, o sea, tareas para segundo y tercero de primaria. Tarea sobre el operador. Después de terminar la tarea anterior se trabaja con los niños que han tenido dificultad. Actualmente suponemos que esta tarea es más fácil que la de composición. Este es un supuesto que la práctica puede llegar a confirmar. Para iniciar el trabajo con el niño, se debe utilizar la unidad correspondiente al rango numérico en el cual cada niño trabajó con éxito. Con los niños de primero se puede iniciar así: 1. “Si tienes dos fichas de 10 ¿Cuánto tienes?” (Entregando al/a la

niño/a dos fichas). 2. “Si tienes dos fichas de 100 ¿Cuánto tienes?” (Entregando al/a la

niño/a dos fichas). 3. “Si tienes dos fichas de 1.000 ¿Cuánto tienes?” (entregando al/a la

niño/a dos fichas).

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ANALISIS DEL MANEJO DE COLLARES Y PULSERAS CONSTRUIDOS CON MACARRONES

Descripción del material • Hilos • Macarrones (ó pastas que permitan ser unidas por hilos) Con estos elementos se arman colares que pueden tener el siguiente aspecto:

Presentación de una tarea con collares y pulseras construidos con macarrones Se puede trabajar en una mesa con varios niños. A cada niño se le entrega una tira de hilo de aproximadamente 30 cm. Se ponen en el centro de la mesa varios macarrones a disposición de los niños. El maestro les pide armar un collar con el pedazo de hilo y 10 macarrones. Si las posibilidades de conseguir bastante hilo y macarrones son limitadas, el maestro puede trabajar con 1 collar por alumno.

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Cuando los estudiantes han terminado de insertar los macarrones en el hilo, el maestro pregunta a cada niño: 1. “¿Cuántos collares tienes?” 2. “¿Y cuántos macarrones tiene tu collar?” Luego le pregunta a los estudiantes de una mesa (pueden ser 5 o 6): 3. “Si junto otro collar, cuántos collares tengo?” 4. “¿Y cuántos macarrones son en total por esa cantidad de collares?” 5. “¿Y si son tres collares, cuántos macarrones hay en total?” 6. “¿Y si tengo 50 macarrones cuántos collares tengo?” 7. “¿Cuánto es cinco veces 10?” A continuación el alumno debe escribir lo que ha hecho y lo que ha hallado dentro de toda la actividad realizada. Análisis de los collares y pulseras construidos con macarrones En los Collares y Pulseras construidos con Macarrones, se trabaja, de forma inmediata, con dos unidades del sistema de notación en base diez: 1 (cada macarrón que corresponde a las Unidades de uno ó Unidades simples) y 10 (cada collar que corresponde a las Unidades de diez ó decenas). Por encima de 10 collares, o asignando valores a los Macarrones (1 Macarrón = 10) se obtienen otras unidades del sistema de notación en base diez. Los operadores corresponden al número de collares que cada niño tiene ó a los que se hallan en cada mesa: 2 Collares = 2x0 =20 Macarrones, 3 Collares = 3 x10 =30 Macarrones. El Valor-Propiedad de este material esta en la relación de equivalencia y a la propiedad de conmutabilidad que se puede trabajar sobre el número de macarrones y el número de collares: 1 collar = 10 Macarrones; 10 Macarrones = 1 Collar. A partir de este Valor-Propiedad se puede trabajar la composición aditiva entre Collares y posteriormente, trabajar en el paso de la composición aditiva a la composición multiplicativa, directa e inversamente.

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Cómo trabajar con collares y pulseras construidos con macarrones Hasta el momento solo nos hemos referido al trabajo con Collares, aún cuando el título para este material es Collares y Pulseras. Otra forma de trabajar con materiales construidos de la misma forma que los Collares, es a través de Pulseras. Estas Pulseras pueden tener un número de Macarrones que permitan el establecimiento de relaciones de proporción. Por ejemplo, con Pulseras de 5 Macarrones, es posible trabajar con el niño en la elaboración de correspondencia entre dos Pulseras a la mitad de un Collar, o de manera inversa, con Collares que representan el doble de una Pulsera.

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ANALISIS DEL MANEJO DE MONEDAS Y BILLETES

Descripción del material • Fotocopias de Billetes y Monedas de $1, $10, $100, $1.000 y

$10.000. • Cartulina o cartón paja sobre la cual se recortan la forma y tamaño

correspondiente a cada billete. Las fotocopias de los billetes se pegan, cada uno, con pega-stick o colbón. Para proteger los billetes se puede usar contac-t. Para las monedas es necesario recortar cada moneda y pegarlas de la misma forma como los billetes. Se debe tener cuidado con las copias de las monedas, por que tienden a ser muy opacas y el niño no logra distinguir las inscripciones. Presentación de una tarea con Monedas y Billetes Es indispensable que cada estudiante tenga su propio material. Se debe facilitar al niño suficientes monedas de cada denominación, en especial de las más bajas, para el desarrollo de tareas como la siguiente: El maestro le entrega a cada alumno una bolsa con materiales y les dice: “cuenten cuántas monedas de $ 1 tienen (20 monedas de $1), cuántas de $ 10 (10 monedas de $10), cuántas de $ 100 (10 monedas de $100) y cuántas de $ 1.000 (10 monedas de $1.000)” A continuación les pregunta: “cuánto dinero tienen en monedas de $ 1, cuánto en monedas de $ 10, cuánto en monedas de $ 100 y cuánto dinero les da todo eso en total. Les pide que escriban en su hoja de trabajo los resultados que encontraron. Luego de que escriban pregunta: “¿Cuantas monedas de $1 me das para cambiar esta moneda $10?” El niño debe entregar: 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Con este material se pueden establecer relaciones que pertenecen al sistema de notación en base diez: de equivalencia (10 de $1 equivalen a 1 de $10) y de orden (10 > 1, 1 < 10). En el análisis de este material

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quedará un poco más claro a que se refieren estas propiedades y como influyen dentro del trabajo que se puede realizar con el niño. Análisis de las monedas y billetes Este material requiere de una mayor atención por parte de quien lo manipule o utilice en actividades para enseñar matemáticas a los niños. Las inscripciones de cada moneda y billete corresponden al valor que guarda cada elemento dentro sistema monetario local (Ej. , Pesos Colombianos para Colombia, Bolívares para Venezuela, Dólares para Estados Unidos) Los elementos, de casi todo sistema monetario local, responden a las propiedades del sistema de notación en base diez: Unidades del sistema: 1, 10, 100, 1.000, 10.000. Los operadores responden al número de billetes o monedas que se presenten y el Valor-Propiedad esta en el valor numérico de las inscripciones de cada elemento. Con estas precisiones es necesario un gran esfuerzo para comprender que cuando se habla del valor numérico de las inscripciones, se deja atrás la propiedad de los objetos concretos respecto a la cantidad. Cuando trabajamos con objetos concretos, cualquiera que ellos sean, trabajamos de manera directa con la cantidad de objetos presentes. Cuando trabajamos con los números no se trabaja con cantidades, se trabaja con valores numéricos que no tiene que ver nada con la cantidad, para este caso, de monedas o billetes. Observemos detalladamente, en el ejemplo de trabajo con monedas de $1 y $10, como la cantidad de monedas puede ser apreciada por el niño:

10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Muchas monedas = Mucho Dinero

Pocas monedas = Poco Dinero

Para la cantidad de monedas: 10 monedas son más que 1 moneda

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Ahora vamos a observar, sobre este mismo dibujo, todas las propiedades que guarda este material, propiedades que no recaen sobre la cantidad de monedas:

10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Valor de 10 monedas $1 = $10

Valor de una moneda $10 = $1+$1+$1+ $1+$1+$1+ $1+$1+$1+$1

Para el valor numérico: 10 monedas de $1 equivalen a 1 moneda de $10

Relación de Orden:

$10>$1

Cuando se dice que una moneda de $1 vale menos que una moneda de $10, se habla del valor de la moneda. Si se comparan estos valores ($10 y $1) la conclusión a la que se llega es: 10 es mayor que 1 y 1 es menor que 10. No se trata de ningún acuerdo entre banqueros o entre quienes hacen los billetes y las monedas. Se trata de valores numéricos, valores que responden a las propiedades del sistema de notación en base diez, sistema del cual toman su forma y estructura. Dentro del sistema de notación en base diez esta afirmación: 10 es mayor que 1 y 1 es menor que 10, recibe el nombre de Relación de Orden. Otra relación que se puede apreciar entre los elementos que conforman este material y que hace parte de las propiedades del sistema de notación en base diez, es la Relación de Equivalencia entre las unidades del sistema: diez que valen 1equivalen a uno que vale 10. Esta aclaración se debe a que a partir de este material, las consideraciones sobre las relaciones y las operaciones que se pueden realizar, es decir las tareas que pueden presentarse al niño, se hacen más complejas y requieren una atención y un conocimiento sobre el sistema de notación en base diez que la persona que las manipule no puede dejar de considerarlas como básicas. No conocerlas pueden llevar a desperdiciar tanto la riqueza del material como el tiempo y la atención del niño.

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Cómo trabajar con monedas y billetes Es posible recuperar el trabajo señalado con las fichas de colores. Pero este no es el único trabajo que se puede desarrollar con este material. El maestro le pide al alumno que le cambie una moneda de $10 por monedas de $1. ¿20 monedas de $ 1 por cuántas monedas de $ 10 se pueden cambiar?. ¿20 o 30 monedas de $ 1 por cuántas monedas de $ 10 se pueden cambiar?. Proponiendo tareas de “cambios” (equivalencias) entre unidades de 1.000 y unidades de 10; unidades de 1.000 y unidades de 100; unidades de 100 y unidades de 10, etc. Ejemplo: Tienes $ 3.420, ¿Por cuántas monedas de 100 me puedes cambiar esa cantidad?, sobra algo?, ¿Por cuántas monedas y de qué denominación me puedes cambiar ese sobrante?. Este material permite al maestro llevar al alumno a la composición multiplicativa con preguntas como: 1. Para tener $ 300, ¿cuántas monedas de $ 100 necesito? 2. ¿Cuántas monedas de $ 10 necesito? 3. ¿Cuántas monedas de mil tienes?, ¿Cuánto dinero es eso?, ¿Y dos

veces mil cuánto es?, ¿Y tres veces mil cuánto es?, ¿Y cuatro veces mil?, ¿Y cinco veces mil?, ¿Y seis veces mil?, ¿Y siete veces mil?, ¿Y ocho veces mil?, ¿Y nueve veces mil?, ¿Y 10 veces mil?.

4. Una vez contesten estas preguntas, los niños deberán escribir los numerales 1.000, 2.000, 3.000, 4.000... , 10.000.

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ANALISIS DE LAS REGLETAS DE CUISENAIRE

Descripción del material Esta presentación corresponde al material original. Las regletas de Cuisenaire están elaboradas en madera, pero se pueden construir con otro tipo de materiales como cartulina ó cartón cartulina. La siguiente descripción pertenece a las cualidades, propiedades y el número de unidades por grupo de regletas que deben guardar los elementos que se elaboren en cualquier material:

Longitud de las regletas en cm. y número que

representan

Número de

regletasColor

Familia de

colores

Longitud acumulada

en cm.

1 50 Madera natural Madera 50

2 50 Rojo

Rojo

100

4 25 Carmín 100

812 Marrón

rojizo 96

520 Amarillo

Amarillo

100

1010 Naranja 100

Longitud de las regletas en cm. y número que

representan

Número de

regletasColor

Familia de

colores

Longitud acumulada

en cm.

1 50 Madera natural Madera 50

2 50 Rojo

Rojo

100

4 25 Carmín 100

812 Marrón

rojizo 96

520 Amarillo

Amarillo

100

1010 Naranja 100

Longitud de las regletas en cm. y número que

representan

Longitud de las regletas en cm. y número que

representan

Número de

regletas

Número de

regletasColorColor

Familia de

colores

Familia de

colores

Longitud acumulada

en cm.

Longitud acumulada

en cm.

11 5050 Madera naturalMadera natural MaderaMadera 5050

22 5050 RojoRojo

RojoRojo

100100

44 2525 CarmínCarmín 100100

881212 Marrón

rojizoMarrón rojizo 9696

552020 AmarilloAmarillo

AmarilloAmarillo

100100

10101010 NaranjaNaranja 100100

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Longitud de las regletas en cm. y número que

representan

Número de

regletasColor

Familia de

colores

Longitud acumulada

en cm.

3 33 Verde claro

Verde

99

616 Verde

oscuro 96

9

11 Azul 99

714 Negro Negro 98

Longitud de las regletas en cm. y número que

representan

Número de

regletasColor

Familia de

colores

Longitud acumulada

en cm.

3 33 Verde claro

Verde

99

616 Verde

oscuro 96

9

11 Azul 99

714 Negro Negro 98

Longitud de las regletas en cm. y número que

representan

Longitud de las regletas en cm. y número que

representan

Número de

regletas

Número de

regletasColorColor

Familia de

colores

Familia de

colores

Longitud acumulada

en cm.

Longitud acumulada

en cm.

33 3333 Verde claroVerde claro

VerdeVerde

9999

661616 Verde

oscuroVerde oscuro 9696

99

1111 AzulAzul 9999

771414 NegroNegro NegroNegro 9898

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Presentación de una tarea con regletas de cuisenaire La forma optima de trabajar con las regletas de Cuisenaire es entregando a cada niño un juego completo de regletas, en cantidades descritas en los cuadros anteriores. Este material presenta enormes posibilidades de ejercicio en el aula y solo se describen a continuación unas pocas formas de trabajo. Los ejercicios que deben realizarse se pueden dividir en dos etapas: una primera que tiene que ver con el reconocimiento de los valores presentes en las regletas, y otra segunda para establecer relaciones de equivalencia y orden entre los elementos, es decir entre las regletas. En esta segunda etapa de ejercicios (relaciones de equivalencia y orden) se colocan dos regletas de 1 cm. (color madera) junto a una regleta roja y se pregunta al niño: ¿Cuál de todas las regletas has formado aquí? Luego se hace el ejercicio inverso: se coloca una regleta amarilla (5) y se pregunta al niño: ¿cómo puedes formar esta misma regleta con las demás regletas? Análisis de las regletas de cuisenaire Las regletas toman valores que cubren los primeros diez números naturales. Todos los grupos de regletas, es decir por cada número del 1 al 10, guardan una relación de longitud exacta a la relación numérica que representan: 1+1=2, 2+1=3, 2+2=4 y así hasta agotar todas las combinaciones posibles. En este material aparece de manera tangible el teorema de Peano (1858 – 1932) donde “Cualquier numero natural es producto de la operación más uno”; luego “n + 1” es igual a un número natural. Estas propiedades del material permiten analizar, desde las relaciones que se establecen dentro de cada grupo de regletas, como cada regleta es la unidad de su propia base. La regleta color madera es la unidad de 1. la regleta roja es la unidad de 2. la regleta verde claro la unidad de 3 y así sucesivamente. Cada regleta, para cada color, es la unidad de su propia base. Tal y como han sido organizados en la presentación del material los elementos por familia de colores, vemos en esta cualidad del material

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una posibilidad más de establecer relaciones aritméticas de proporción: la familia del rojo trabaja mitades (4 mitad de 8, 2 mitad de 4). La familia del verde mitades y tercios (3 mitad de 6, 3 un tercio de 9). Este ultimo análisis permite establecer la forma de trabajar razones y proporciones que enunciaremos en el siguiente punto. Cómo trabajar con las regletas de cuisenaire Como ya se indicó, se pueden establecer razones y proporciones con las regletas de Cuisenaire: Para los niños de cuarto y quinto: Se toma una regleta roja junto a una regleta carmín. se pregunta al niño: 1. ¿Esta regleta (roja) que parte es de esta regleta (carmín)? 2. ¿Esta regleta (amarilla) que parte es de esta regleta (naranja)? 3. ¿Puedes establecer una relación entre estas partes?¿Cual?

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ANALISIS DE CUBOS DE DIENES

Descripción del material Los cubos de Dienes son construidos, generalmente, con materiales que permiten reconocer su tridimensionalidad: tienen largo, ancho y altura. El material que más se utiliza para construirlo es la madera. El siguiente gráfico muestra el aspecto de este material:

CUBOS DE DIENES Tenemos cubos pequeños, columnas o barras, cuadrados o planos y cubos grandes. Las dimensiones entre cada grupo guardan una proporción así: Si las dimensiones de los cubos pequeños son: 1cm. de largo x 1cm.

de ancho x 1cm. de altura, entonces las dimensiones de las columnas o barras tiene que ser: 1cm. de largo x 1cm. de ancho x 10cm. de altura

10 barras, puestas una junto a otra, corresponden a un cuadrado de dimensiones: 1cm. de largo x 10cm. de ancho x 10cm. de altura.

10 cuadrados o planos de Dienes puestos uno junto a otro, corresponden a un cubo grande de: 10cm. de largo, 10cm. de ancho y 10cm. de altura.

Otra versión del material, en el que puede emplearse cartulinas o cartones de colores, se prepara recortando: 50 cuadrados de 1cm. de lado. 10 rectángulos de 1 cm. X 10 cms. En cada rectángulo se marcan los

10 cuadrados (de 1 cm. De lado) que lo forman. A cada rectángulo se lo denomina, como con el material tridimensional, barra.

1 cuadrado de 10 cms x 10 cms. dividido por trazas que configuran 100 cuadrados de 1 cm. de lado. Este cuadrado se denomina tabla.

Presentación de una tarea con cubos de Dienes Este es un material privilegiado para trabajar la equivalencia entre las unidades del sistema de notación en base diez, por que es apreciable perceptivamente esta relación entre ellas:

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10 cubos pequeños equivalena 1 barra:

10 barras equivalena 1 plano:

El maestro puede hacer el trabajo de equivalencia entre unidades, así como la composición y descomposición de las unidades, de forma similar a la descrita en los materiales anteriores. Los Cubos de Dienes permiten introducir al niño en el trabajo con los decimales. Esta no es una labor sencilla y requiere de una preparación y asesoría profesional que debe ser cuidadosa al momento de trabajar con el niño. Por ejemplo, diez unidades de diez cubitos (10 barras), equivalen a un elemento cuadrado (1 plano). Cien cubitos, equivalen a un elemento cuadrado (1 plano). Es decir que 1 cubito es un centésimo de un plano y un décimo de una barra. Una barra es un décimo de un plano.

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Análisis de los cubos de Dienes Se compone de cuatro grupos de elementos que corresponden, como lo indica otro de los nombres que este material recibe, “Bloques en Base Diez”, a las unidades del Sistema de Notación en Base Diez. Los grupos de elementos son: 1. Cubos pequeños que corresponden a unidades de 1 2. Columnas o barras de 10 cubos unidos que corresponden a las

decenas 3. Bloques planos de 10 columnas unidas que corresponden a las

centenas 4. Cubos compuestos por 10 bloques de centenas unidos que

corresponden a las unidades de mil. Pero esta es tan solo una de las posibles convenciones a las que se puede llegar y esta propiedad es lo que hace de este material un verdadero tesoro para la comprensión del SNBD. Labinowicz (1989) expresa como a través de los cubos de Dienes se puede avanzar, como parte de una actividad simbólica compleja, en la composición de todas las unidades del sistema. Esta posibilidad se obtiene así:

GRAFICO LABINOWICZ En el gráfico observamos los siguientes niveles: 1. Modelos o material concreto: Cubos de Dienes 2. Palabras numero 3. Notación Arábiga 4. Notación en base diez Desde el primer elemento se puede apreciar la propiedad iterativa de las unidades del SNBD. Todas, sin excepción, se forman como producto de 10 unidades de orden anterior. Sobre el material se observa la correspondencia en las dimensiones de cada elemento. A partir de las tres primeras unidades del sistema (1, 10, 100) la regularidad en las palabras numero y en la notación arábiga, es evidente. Cómo trabajar con los cubos de Dienes Tarea1. Reconocimiento del material. A cada alumno se le entrega una bolsa con el material inspirado en los cubos de Dienes, previamente

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descrito. El maestro pide a todos los estudiantes que saquen los cuadrados que corresponden a las unidades (cuadrados de 1 cm. De lado) y cuenten cuántos hay por todos: Cuántas unidades hay?. A continuación les pide que saquen las barras (rectángulos de 1 cm. X 10 cm.) y cuenten las unidades en que están divididas. Luego, que superpongan las unidades individuales sobre la barra con el fin de comprobar que ésta es igual a 10 de 1. El maestro dirige el trabajo con preguntas como: ¿Cuántas barras hay? ¿Cuántas unidades tiene cada barra? ¿Cuánto vale cada barra? ¿Cuántas unidades hay entre todas las barras? Después de esta introducción de las unidades y las decenas, el maestro puede pedir a sus alumnos componer números en el rango de los 10 con el material que tienen a su disposición, por ejemplo: Dicta el número 35 y pide que lo compongan. Los niños lo pueden hacer con las unidades separadas o combinando barras y unidades. El maestro puede aprovechar esta tarea para preguntas al niño: ¿Cuántas unidades hay en esa cantidad? ¿Cuántas decenas hay en esa cantidad? (Ver el número barras que la componen). En caso de que el maestro considere que los niños pueden avanzar a las unidades de 100, puede introducir entonces la tabla y formular preguntas como: ¿Cuántas unidades hay en cada tabla? ¿Cuántas barras (decenas) hay en una tabla? (Compruébenlo ustedes mismos colocando barras sobre la tabla hasta cubrirla completamente y cuenten las barras que utilizaron para esto). Es importante que el maestro siempre pida a sus alumnos escribir todo lo que hacen, las preguntas que el maestro les formula, las respuestas, etc. Tarea2. Equivalencias entre unidades. Después de haber llevado a cabo la tarea de introducción del material, el maestro le pide a los alumnos que junten dos barras (2 de 10 = 20 de 1) y cuenten cuántas unidades hay entre ambas. Continúa: Ahora junten tres barras, cuántas unidades hay en total? Y si son cuatro barras?, Y si tengo 50 unidades,

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cuántas barras tengo?, y pide aumentar barras o unidades hasta llegar a 9 barras ( 9 de 10) que equivalen a 90 unidades. Después les pide que agreguen una barra más para completar 10 barras (10 de 10 = 100 de 1) y pregunta: Por cuántas unidades pueden cambiar estas 10 barras?. A continuación orienta a los alumnos con preguntas como: Estas diez barras, o estos cien cuadrados por cuántas tablas (100 de 1) los puedo cambiar?, Si reúno 10 cuadrados (10 unidades) podría cambiarlos por 1 barra?. Finalmente el maestro junta diferentes cantidades de cuadrados (de unidades) y le pide a los alumnos que se las cambien por barras (decenas) y por tablas (centenas). Tarea 3. Composición de números. Después que el alumno se ha familiarizado con el valor de las distintas partes que conforman el material (los cuadrados que valen 1, los rectángulos que valen 10 y el cuadrado que vale 100), el maestro le dicta un número para que lo represente. El número que escoja el profesor será aquel que se encuentre dentro del rango numérico que maneja el alumno. Después de que el estudiante ha representado su número, debe explicar cuántas unidades, decenas y/o centenas utilizó para esta composición, y escribir lo que hizo en su hoja de trabajo. Por ejemplo: El maestro le dicta el número 112. El alumno puede representarlo con: • 1 tabla (que vale 100), 1 barra que vale 10 y dos cuadrados (2

unidades), o • 11 barras (que valen 10 cada una) y dos cuadrados (2 unidades), o • 112 cuadrados (112 unidades). Después de que el alumno ha representado el número, por ejemplo el 112 con 1 tabla (que vale 100 unidades), una barra (que vale 10 unidades) y 2 cuadrados (unidades), el maestro le puede preguntar: Por cuántas unidades me cambias las barras de 10?. Estas dos unidades me las podrías cambiar por una barra que vale 10?, porqué?, Por cuántas barras ( de 10) me puedes cambiar esta tabla que vale 100?. El maestro puede pedir al alumno que aumente 8 cuadrados más y preguntarle: Cuánto completaste?, Estas 10 unidades por qué las puedes cambiar?, Cómo los puedes representar? (hacer equivalencias). El maestro puede aumentar o disminuir el rango numérico en que está trabajando su alumno dependiendo del nivel de conocimiento en que éste se encuentre. (Bajar a las unidades o pasar a las centenas o a las unidades de mil, etc.)

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ANALISIS DEL ÁBACO Recuento histórico El ábaco fue utilizado tanto por las civilizaciones precolombinas y mediterráneas como en el Lejano Oriente. En la antigua Roma, era un tablero de cera cubierta con arena, una tabla rayada o un tablero o tabla con surcos. A finales de la edad media los mongoles introdujeron el ábaco en Rusia, que provenía de los chinos y los tártaros, el cual todavía se utiliza hoy entre pequeños comerciantes. En China y Japón, también lo utilizan muy a menudo hombres de negocios y quienes realizan operaciones contables. Los usuarios expertos son capaces de realizar operaciones de forma más rápida que con una calculadora electrónica. Descripción del material Debido a la enorme comercialización que tiene este material, es posible encontrar ábacos de diversas formas (verticales, horizontales, cerrados) y construidos con diversos elementos: madera y alambre, resinas, acrílicos. En la versión que usamos, la base es de madera y las fichas que se insertan pueden ser de corcho o madera. El siguiente gráfico muestra su aspecto y dimensiones:

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27 cm

2 cm

4 cm

0,7 cm

19 cm

4 cm

3 cm

1 cm

Presentación de una tarea con el ábaco Esta primera tarea permite al niño reconocer la lógica del ábaco. El maestro pone el ábaco frente al niño y dispone las fichas sobre la mesa, entonces dice: 1. “Si coloco esta ficha aquí (en la primera posición de derecha a

izquierda) la ficha vale uno”:

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2. “Si la coloco aquí (posición correspondiente a la barra siguiente), vale 10”

3. Se ponen 2 fichas en la posición correspondiente a las unidades que valen 1 y pregunta:

¿Cuánto hay aquí? 4. Si el niño contesta “dos”, se le dice, trasladando las dos fichas a la

posición de las unidades que valen 10: ¿Y si las coloco aquí, cuánto hay? 5. Si el niño contesta “veinte”, se cambian las fichas a la siguiente barra

hacia la izquierda y pregunta: ¿Y aquí cuánto vale? (Posición correspondiente a las unidades que valen 100) 6. Si contesta correctamente, se le dice: ¿Y cuánto valdrá en esta posición? (Señalando la siguiente barra hacia la izquierda) y se avanza hasta completar todas las barras 7. Si el niño no contesta en alguna de las unidades, se puede trabajar

de la siguiente manera, para el ejemplo donde se hallan dos fichas a la posición de las unidades que valen 10:

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¿Y si las coloco aquí, cuánto hay? 8. Si el niño contesta “dos”, se pregunta: ¿Cuánto dijimos que valían las fichas aquí? (cambiando las fichas a la posición de las unidades que valen 1) 9. Si contesta “uno”: ¿Cuánto valen las fichas aquí? (En la posición correspondiente a las unidades que valen 10) 10. Si contesta 10: ¿Y si coloco dos aquí, cuanto hay? (en la posición inicial, es decir en las unidades que valen 10) 11. Si dice “veinte”: Si pongo 3 fichas aquí ¿Cuánto hay? 12. Si el niño contesta correctamente: Si pongo 4 fichas aquí, ¿Cuánto hay? 13. Si el niño contesta correctamente, se pone repetidamente una

ficha y se pregunta con cada ficha “¿Ahora cuánto tienes?” hasta completar nueve fichas en esta posición. Cuando se completan las 9 fichas en la posición correspondiente a las unidades que valen 10, se pregunta:

¿Si completas 10 de 10 cuánto tienes? 14. Si el niño contesta correctamente, se le dice:

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¿Cuánto valdrá esta ficha en esta posición? (Sacando las fichas de la posición correspondiente a las unidades que valen 10 y colocando 1 ficha en la posición correspondiente a las siguientes unidades) Análisis del ábaco Para empezar, es claro en los ejemplos anteriores, que este un material claramente posicional, es decir que ofrece como propiedad, la posibilidad de trabajar con el valor de posición. De esta manera y trabajando adecuadamente, el material coincide con la escritura de numerales. Observemos en detalle como se registra el valor de posición dentro del material:

105 104 103 102 101 100

110

1001000

10000100000

Una misma ficha en diferentes posiciones, representa un valor que corresponde a cada unidad del SNBD. Esto es análogo a lo que ocurre con la escritura de numerales: un dígito escrito en una posición particular, representa el valor de una unidad del SNBD. Para el ejemplo de la gráfica anterior, el numeral a escribir es:

111.111

El cero se representa en el ábaco con la ausencia de fichas. Cada ficha representa al numero de veces que se repite la unidad. De esta manera, las fichas son los operadores del sistema. En el SNBD los operadores son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Por esto, cuando se trabaja con el ábaco de manera adecuada, en cada barra no pueden haber más de 9 fichas. 10 fichas en una barra equivalen a una ficha en la unidad siguiente. Los

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operadores multiplican a cada unidad y cuando en una unidad se llega al último múltiplo posible para ese orden (pe. , en 100,9; 101,90; en 102,900) el múltiplo siguiente pertenece a la unidad de orden superior. Esto hace del SNBD un sistema muy poderoso de representación. A partir de un número finito de operadores es posible construir un numero infinito de números. Cómo trabajar con el ábaco El ejemplo de trabajo inicial, se puede continuar así: ¿Cuánto valdrá esta ficha en esta posición? (Sacando las fichas de la posición correspondiente al orden 101 y poniendo 1 ficha en la posición correspondiente al orden 102) Si el niño no contesta, se le dice: “En esta posición, cada ficha vale 100” Si el niño contesta correctamente, se le dice: “¿Y cuánto valdrá en esta posición?” (Señalando la posición correspondiente al orden 103) Cuando el niño contesta correctamente en una unidad, se puede trabajar la composición de números para dicha unidad. Cuando no contesta correctamente y no comprende las observaciones que el maestro hace sobre el valor de las fichas en cada posición, es preferible componer en unidades de orden inferior al que fallan o no comprenden. T1. Tareas de composición en el ábaco Tarea demostrativa Con los niños de segundo y tercero, se puede empezar con números como 32 y después se pasa al orden correspondiente para cada grado: Ahora quiero que utilizando estas fichas, hagas el número 32. Si el niño responde correctamente, se tapa el ábaco con un cartón y se le pregunta:

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¿Cuantos de 10 necesito para formar o tener en 32?2 ¿Cuantos de 1 necesito para formar o tener en 32? Si el niño responde correctamente: T1.1. Tarea de composición en el ábaco para segundo Ahora quiero que utilizando estas fichas, hagas el número 245. Se tapa el ábaco y se le pregunta: ¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 245? ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 245? Si el niño no entiende, se dice: ¿Cuántos de 10 hay en 100? Entonces, ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 245? ¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 245? Si el niño no responde correctamente, se trabajan composición con 800 y no se trabaja equivalencia. Si el niño responde correctamente, se le dice: Ahora quiero que hagas el 800 Se tapa el ábaco y se le pregunta: ¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 800? ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 800? Si el niño no entiende decirle: ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 100? Entonces, ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 800? ¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 800? Si el niño responde correctamente pasar a las tareas del período siguiente. 2 Si el niño entiende se le dice: ¿Cuántas decenas necesitas para formar el 32?(en este caso)

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T1.2 Tarea para tercero3 Ahora quiero que utilizando estas fichas (el maestro señala las fichas del ábaco) hagas el número 1.342 Si no entiende se hace la tarea demostrativa para componer 32. Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta: ¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 1342? ¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 1342? Si el niño no responde, preguntar: ¿Cuántas centenas hay en 1342? Si el niño no entiende o contesta incorrectamente, entonces se le pregunta: En mil ¿cuántos de 100 hay? Si contesta “diez” se le dice: Entonces, ¿cuántos de 100 necesitas para formar o tener 1342? Si contesta “trece” se le dice: En mil ¿cuántos de 10 hay? Si contesta “cien” se le dice: ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 1342? Si el niño no contesta bien se le entrega una hoja de papel y se le dice que escriba el número y se le pregunta: ¿Cuántos de 100, o centenas, necesitas para formar o tener 1342? Si responde correctamente se le dice: ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 1.342? ¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 1.342? Si responde correctamente se le dice: Ahora quiero que me entregues 9.867 Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta: ¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 9.867? 3 En esta tarea es necesario diferenciar la composición de las equivalencias. Si el niño no tiene éxito con equivalencia se debe continuar trabajando la composición.

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¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 9.867? ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 9.867? ¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 9.867? TA1.3 Tarea para cuarto, quinto, sexto y séptimo Ahora quiero que hagas el número 13.200 Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta: ¿Cuántos de 10.000 necesitas para formar o tener 13.200? ¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 13.200? ¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 13.200? ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 13.200? ¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 13.200? Si no contesta correctamente, se continúa con la tarea para tercero. Ahora quiero que hagas 98.765 Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta: ¿Cuántos de 10.000 necesitas para formar o tener 98.765? ¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 98.765? ¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 98.765? ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 98.765? ¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 98.765? Ta1.4. Tarea para quinto, sexto y séptimo Ahora quiero que me entregues 135.024 Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta: ¿Cuántos de 10.000 necesitas para formar o tener 135.024? ¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 135.024? ¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 135.024? ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 135.024? ¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 135.024? Si no contesta correctamente, se continúa con la tarea para cuarto. Ahora quiero que hagas el número 789.065

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Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta: ¿Cuántos de 10.000 necesitas para formar o tener 789.065? ¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 789.065? ¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 789.065? ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 789.065? ¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 789.065?

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ANÁLISIS DEL YUPANA Recuento histórico El Yupana es un juego que fue utilizado por los Incas, sin que se pueda asegurar que estos fueran los primeros en emplearlo o diseñarlo. Esto nos hace suponer que mucho antes de la conquista la cultura incaica ya manejaba un sistema numérico y que probablemente este era un sistema en base diez. El Yupana guarda cierta similitud en su manejo con el ábaco chino. La tabla del Yupana corresponde, de acuerdo a antiguos grabados de la conquista (Guamán Poma en su “Crónica” y presentado por Radicati Di Primeglio en el libro “El Sistema Contable de los Incas”), a veinte casillas distribuidas en 5 filas y 4 columnas. En cada casilla aparece una cantidad de círculos que van desde 5 en las pertenecientes a la primera columna y 1 en las casillas de la ultima columna. Estos círculos eran lugares o sitios que son ocupados por elementos auxiliares de cálculo, tales como piedras, granos de maíz, frijoles. Actualmente podemos emplear tapas de distintos recipientes, fichas de juegos de mesa y cualquier elemento que permita reconocer cual círculo esta siendo señalado. En adelante nos referiremos a estos como “fichas”. Descripción del material Para esta versión utilizamos fichas de madera, plástico o cualquier material liviano y resistente, un tablero que es un cuadrado de 24 cm. de lado que puede elaborarse en cartulina o cartón, que permita dibujar lo siguiente: 6 columnas de 4 cm. de ancho Una fila en la parte superior de 3,5 cm. de alto

Con estas líneas trazadas, se crean 2 secciones claramente distinguibles: 1. Una fila superior en la cual se ubican 6 círculos de colores

diferenciados, cada uno de 2,5 cm. de diámetro, ubicados uno a uno en cada columna.

2. Una sección en la cual se dibujan dentro de cada columna 4 círculos de 2,5 cm. de diámetro, uno abajo del otro, y con tonos blancos y grises que se presentan de manera alternada en cada columna (en total se dibujan 24 círculos).

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Una vez elaboradas estas figuras, el tablero se puede plastificar para evitar su deterioro. La descripción de su presentación y las dimensiones del tablero y de las fichas, es la siguiente:

2,5 cm

24 cm

3,5cm

14cm

4 cm

Presentación de una tarea Para trabajar con este material, se debe tener en cuenta la dificultad que representa trabajar con valores diferenciados por la posición de una ficha en el tablero. En la parte inferior del Yupana, es decir, en la primera columna de círculos grises o blancos (el maestro puede elegir cualquier columna de izquierda a derecha, pero se recomienda que sea designada la primera del extremo derecho, para que tenga una correspondencia espacial con la escritura de numerales arábigos) una ficha valdrá 1, en la segunda columna 10, en la tercera 100, en la cuarta 1.000, en la quinta 10.000 y en la sexta 100.000. Para la parte superior, la fila de círculos en colores, una ficha en la primera columna vale 5, en la segunda 50, en la tercera 500, en la cuarta 5.000, en la quinta 50.000 y en la sexta 500.000. Una vez que el maestro entienda esto, puede iniciar con una tarea que permite al niño reconocer la lógica del Yupana. El maestro pone el

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Yupana frente al niño y dispone varias fichas sobre la mesa, entonces dice: 1. “Si coloco esta ficha aquí (en la primera posición de derecha a

izquierda) la ficha vale uno”:

2. “Si la coloco aquí (posición correspondiente a la barra siguiente), vale

10”

3. Se ponen 2 fichas en la posición correspondiente a las unidades que valen 1 y pregunta:

¿Cuánto hay aquí?

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4. Si el niño contesta “dos”, se le dice, trasladando las dos fichas a la posición de las unidades que valen 10:

¿Y si las coloco aquí, cuánto hay? 5. Si el niño contesta “veinte”, se cambian las fichas a la siguiente barra

hacia la izquierda y pregunta: ¿Y aquí cuánto vale? (Posición correspondiente a las unidades que valen 100) 6. Si contesta correctamente, se le dice: ¿Y cuánto valdrá en esta posición? (Señalando la siguiente barra hacia la izquierda) y se avanza hasta completar todas las barras 7. Si el niño no contesta en alguna de las unidades, se puede trabajar

de la siguiente manera, para el ejemplo donde se hallan dos fichas a la posición de las unidades que valen 10:

¿Y si las coloco aquí, cuánto hay? 8. Si el niño contesta “dos”, se pregunta: ¿Cuánto dijimos que valían las fichas aquí? (cambiando las fichas a la posición de las unidades que valen 1) A partir del ejemplo que se presenta en Presentación de una tarea con el ábaco, se puede completar la secuencia de acciones y diálogos a seguir

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para el Yupana. Una vez que el niño entienda la lógica del juego para el manejo de las fichas en esta zona inferior del tablero, se puede avanzar para entender el juego de la siguiente forma: “Ahora pon mucha atención. Cuando se llenen todos los círculos en cada columna, es decir, cuando se tienen 4 unidades de un valor y se requiere tener otra más, esta se ubica en la zona superior (círculos de color) y el valor que ahí obtiene se debe mantener para pasar a la siguiente unidad dentro de los valores de cada columna. Ese valor para una ficha ubicada en el primer circulo de color, en la primera columna donde las fichas valen 1, vale 5. Una ficha en el círculo de color siguiente, vale 50. Una ficha en el siguiente circulo de color, vale 500 y así sucesivamente hasta completar todos los círculos de colores.”

500.000 50.000 5.000 500 50 5

“Cuando se tiene una ficha en la zona superior (x5) de la primera columna y se tiene 1 ficha más en la zona inferior (x1), se tiene 6; con 2 fichas más en la zona inferior, 7; con 3 fichas más en la zona inferior, 8; con 4 fichas más en la zona inferior, 9.” El maestro debe tener presente que para sumar una unidad más, es decir, para representar 10 unidades de 1 en el Yupana, el niño debe recordar que al igual que el ábaco, cuando se completa una unidad que pertenece al siguiente orden se debe pasar a realizar la equivalencia en la columna siguiente.

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Análisis del Yupana Al igual que el ábaco, las columnas corresponden con el valor de posición en el formato arábigo, de tal manera que se puede decir que el valor de las columnas equivale de derecha a izquierda al orden de las unidades en el sistema. Las filas en las dos secciones permiten diferenciar el número de unidades que representa cada ficha en esa posición. En la sección superior (círculos de colores) cada ficha equivale a 5 unidades y en la sección inferior (círculos blancos y grises) equivale a 1 unidad.

x5

x1

x1

x1

x1

105 104 103 102 101 100

417.682 se representaría así:

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4 x 105 = 4 x (10x10x10x10x10) = 400.0001 x 104 = 1 x (10x10x10x10) = 10.0005 x 103 + 2 x 103 = 5 x (10x10x10) +2 x (10x10x10) = 7.0005 x 102 + 1 x 102 = 5 x (10x10) + 1 x (10x10) = 6005 x 101 + 3 x 101 = 5 x (10) + 3 x (10) = 802 x 100 = 2

417.682 Cada ficha representa al numero de veces que se repite la unidad. De esta manera, las fichas son los operadores del sistema. Cuando se tienen 4 fichas en la parte inferior y una 1 ficha en la zona superior, se tiene el equivalente a 9 fichas en una barra del ábaco. Los operadores multiplican a cada unidad y cuando en una unidad se llega al último múltiplo posible para ese orden (pe. , en 100 ,9; 101 ,90; en 102, 900) el múltiplo siguiente pertenece a la unidad de orden superior. Las exigencias operativas de este material se reflejan en la descomposición que debe realizarse para representar un numeral. Debe manejarse y conservar el cardinal del 5 al 500.000 cada vez que una ficha ocupe el lugar designado para tales valores y adicionar las unidades restantes dentro de cada columna. Para trabajar con los niños se debe tener en cuenta que este material requiere mayor atención del niño y solo aquellos niños que tengan un cierto dominio de las nociones y propiedades de la cardinalidad numérica, se desempeñaran con facilidad en la composición de numerales a través del Yupana.

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Como trabajar con el Yupana Para trabajar con el Yupana, podemos recurrir al trabajo de composición que se realiza con el ábaco. La adaptación de estas tareas debe ser muy cuidadosa por parte del maestro. A continuación presentamos un diálogo que transcribe una sesión de trabajo grupal con este material. Diálogo P: Profesora, N: niño 1, 2, 3. PPP::: Van a poner una ficha aquí (Primera columna / zona inferior) y me van a decir cuanto tienen. NNN111::: Una. PPP::: ¿Y si pongo otra?. NNN222::: Dos. PPP::: ¿Y si pongo otra?. NNN222::: Tres. PPP::: ¿Y si pongo otra?. NNN222::: Cuatro. PPP::: Muy bien, eso es facilísimo. ¿Y si pongo otra?. NNN222::: Cinco. PPP::: ¿Dónde tengo que poner una ficha que vale cinco? NNN111::: Aquí arriba [señala la zona superior con el circulo de color] PPP::: ¿Y si dejo esta aquí [ficha en posición que vale 5] y pongo cuatro fichas más aquí [zona de círculos grises y blancos] cuanto tengo en total?. NNN222::: Nueve [Responden en coro]. PPP::: ¿Entendiste eso?. Porque esta ficha que se encuentra aquí vale cinco NNN222::: Y las de allá valen cinco y las de allá valen uno [lo dicen dos niñas a coro]. PPP::: ¿Cuantas de uno vale esta?. NNN111::: Cinco. PPP::: Ahora pongo otra ficha aquí [sobre la primera columna de derecha a izquierda]. NNN222::: Diez. PPP::: Bien, ¿pero puede haber diez fichas aquí?. NNN111::: No. PPP::: ¿y entonces porque la cambio?. NNN111::: Por una de Diez. PPP::: Exacto, porque diez de uno es lo mismo que una de diez. Haber cámbienlas, pónganme una de diez. [Ponen una ficha en la segunda columna de derecha a izquierda, en la zona de los círculos grises y

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blancos, es decir, en la posición que hace valer a una ficha diez] listo. Pongan otra allí, ¿cuanto tengo?. NNN::: Veinte [Responden en coro]. PPP::: ¿Y con otra?. NNN::: Treinta[Responden en coro]. PPP::: ¿Y con otra?. Responda usted (Dirigiéndose a N3) NNN333::: Cuarenta. PPP::: ¿Y si pongo la de allá?. NNN333::: Cincuenta. PPP::: ¿Y cuanto tienen en total?. NNN333::: Cinc... Noventa. PPP::: Ahora se va a dar cuenta que si uno suma cinco y cuatro son nueve y que puede sumarlo aquí, acá o aquí, señalando en las distintas columnas del Yupana y siempre va a dar lo mismo, siempre. Lo que pasa es que aquí [columna de Unidades de diez] hay nueve de diez... ¿Aquí es nueve de cuanto? . NNN222::: De cien. PPP::: De cien ¿y aquí?. NNN222::: De mil. PPP::: ¿Y aquí?. NNN::: De diez mil [Responden en coro]. PPP::: Pero es nueve siempre. NNN333::: ¡Ah! Ya entendí. PPP::: Ahora ya entendió; siempre hay nueve, nueve de diez, nueve de cien, nueve de mil, nueve de diez mil y nueve de cien mil.