ANÁLISIS DE FUNCIONES
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ANÁLISIS DE FUNCIONES
MATEMÁTICAS II2º BACH CYT
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• Límites• Continuidad• Derivabilidad• Teoremas de continuidad y derivabilidad• Aplicaciones de la derivabilidad: tangente a una
curva en un punto, regla de L´Hôpital, optimización, cálculo parámetros, derivadas sucesivas
• Representación de funciones• Integral indefinida• Integral definida. Cálculo de áreas de recintos
planos
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REPASO 1º BACH
• CÁLCULO DE LÍMITES
• DERIVADAS
• GRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES
• PROPIEDADES DE FUNCIONES DE FORMA GRÁFICA
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REGLA DE L`HÔPITALpara el cálculo de límites
(pág 298)
Aunque es un contenido de 2º de BACH y habría que estudiarlo después de derivabilidad, se considera necesario verlo en este momento pues se va a aplicar a continudidad y derivabilidad. Por otra parte, se puede entender sin ningún problema porque en 1º de BACH ya se vio derivabilidad y en este curso se ha repasado el cálculo de derivadas.
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Ejemplos
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Ejemplos
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Ejemplos
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Realizar la operación para convertir la indeterminación en una del tipo 0/0 ó ∞ / ∞Ejemplos:
Salvando indeterminaciones del tipo ∞ - ∞
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Ejemplos
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GRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES
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• FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA o LINEAL: y = m·x
FUNCIONES POLINÓMICAS (Dominio = R)
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• FUNCIONES AFINES: y = mx + n
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• FUNCIONES CUADRÁTICAS o PARABÓLICASy = ax2 + bx +c
- Su gráfica es una parábola- El vértice se encuentra en x = -b/2a . La coordenada y
se calcula hallando la imagen de x. Si no te acuerdas de este valor, recuerda que el vértice es el máximo o mínimo de la parábola y, por tanto, basta con que resuelvas la ecuación y ‘ = 0
- Si a>0 el vértice es un mínimo, si a<o el vértice es un máximo
- Puntos de corte con los ejes de coordenadas:* Eje x: resolver la ecuación y = 0. (Puede tener 2 soluciones ( 2 cortes), 1 (1 corte) o ninguna (no corta al eje x)* Eje y: hacer x =0. (Siempre corta a este eje)
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FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: y = k/x (Dominio = R – {0})
- Su gráfica es una hipérbola
- K es la constante de proporcionalidad inversa
- Si k>0, la gráfica está en el 1º y 3º cuadrantes, si k<0, está en el 2º y 4º cuadrante
- Los ejes son asíntotas de la función.
y = 1/x
y = -1/x
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FUNCIÓN EXPONENCIAL: y = ax
Domino = R
- a>0, ≠1- Si a>1, la función
crece; si a<1, decrece- El eje x ( y = 0)es una
asíntota horizontal por la izquierda (a>1) o por la derecha (a<1)
- Corta al eje de ordenadas en y =1
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FUNCIÓN LOGARÍTMICA: y = logaxDominio = (0, +∞)
• a>0 , ≠1• Corta al eje de abscisas en
x = 1• Si a>1, la función crece; si
a<1, decrece.• El eje de ordenadas (x = 0)
es una asíntota vertical por abajo (a>1) o por arriba (a<1)
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LAS FUNCIONES EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA SON INVERSAS:
simétricas r. de la bisectriz del 1º y 3º c.
y = 3x
y = log3x
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
y = senx- Dominio = R- Periódica: T = 2π- Recorrido: [-1,1]
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y = cosx- Dominio = R- Periódica: T = 2π- Recorrido: [-1,1]
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y = tgx- Dominio = R-{(2k+1)π/2 , k ϵZ}- Periódica: T = π- Asíntotas verticales en x= (2k+1)π/2, kϵZ
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FUNCIONES A TROZOS
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VALORES ABSOLUTOS
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FUNCIÓN PARTE ENTERA
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PROPIEDADES FUNCIONES
• Dominio• Recorrido• Puntos de corte ejes coordenadas• Simetría• Periodicidad• Continuidad• Asíntotas• Monotonía y Extremos relativos y absolutos• Curvatura y Puntos de inflexión
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EJEMPLOS
P(2,-1) es m.r y P.I.
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EJERCICIOS: propiedadesPág 205: 9 a, d, e y g
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EJERCICIOS: representa –f(x) y |f(x)
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EJERCICIOS: dibujar gráficas correspondientes a estas funciones- Pág. 205 y 206: 11 , 18, 23- Pág. 230: 1 y 2
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EJERCICIOS DE REPASO- Pág 202: 4 (está hecho)- Pág 195: 5 (está hecho)- Pág 205: 12a- Pág 207: 9 (autoevaluación)- Pág 213: 4 (está hecho)- Pág 228: 1a (está hecho)- Pág 231: 10 (solución a = 1)- Pág 232: 14- Pág 232: 19 a (solución a = 2)- Pág 233: 4 (autoevaluación)- Representa las siguientes funciones: (están hechas en las págs 237 y 238)
- f(x) = - f(x) = |x - 3|
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CONTUNIDAD(tema 10)
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Esta función es continua en x = 2
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Esta función es continua en x = 0-
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Esta función es continua en x = 0+
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3- DISCONTINUIDAD EN x = aPor abuso del lenguaje, aunque f(x) no esté definida en x = a también se estudia ahí la continuidad. Habrá que estudiar qué tipo de discontinuidad existe.
Estas funciones son discontinuas evitables en x = 2
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Esta función es discontinua evitable en x = o
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Ejemplo:
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• Este tipo de discontinuidad se puede evitar redefiniendo la función y haciendo que f(a) sea el límite de la función en x = a.
Ejemplo:
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EJEMPLO
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Esta función es discontinua de salto finito en x = 0
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Estas funciones son discontinuas de salto infinito en x =0
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CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
• f(x) es continua en (a,b) silo es en todos sus puntos.
• f(x) es continua en [a,b] si loes en (a,b), en a+ y en a-.
• f(x) es continua si lo es en su dominio
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CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES. OPERACIONES
•
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SE PUEDE PEDIR EL ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN:
* UN PUNTO* EN UN INTERVALO ABIERTO* EN UN INTERVALO CERRADO* EN EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN
EN LA PRÁCTICA NO SE PUEDE ESTUDIAR LA CONTINUIDAD PUNTO A PUNTO: * EN EL PRIMER CASO, SE ESTUDIA EN EL PUNTO PEDIDO.
* EN EL RESTO DE LOS CASOS, SE ESTUDIA EN LOS PUNTOS PROBLEMÁTICOS (PUNTOS DONDE LA FUNCIÓN CAMBIA DE EXPRESIÓN A IZQUIERDA Y DERECHA o PUNTOS DONDE SE ANULA EL DENOMINADOR) Y EN EL RESTO DE LOS PUNTOS ( LOS INTERVALOS) SE GENERALIZA POR SER OPERACIONES DE FUNCIONES CONTINUAS
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EJERCICIOS• Pág 241: 5 (continuidad gráfica)• Pág 256: 24 (valor absoluto, composición y continuidad)• Pág 257: 8 (parámetros continuidad y pasar por un punto)• Pág 256: 34 (sólo hacer continuidad en [0,3])• Estudia la continuidad de la función f(x) en x = 0.
• Estudia la continuidad de la función
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• Halla los parámetros “a” y “b” para que la función f(x) sea continua en R.
• ¿Es continua la función f(x) = (x-senx)/senx2 en el intervalo [-π/2, π/2]? ¿Es posible asignar un valor a f(x) en x = 0 para que la función sea continua? Define la función para que sea continua en ese intervalo
• Razona si la siguiente función es continua en x = 0
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• Pág 254: 1, 2, 6a, 7 a,b, 8
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DERIVABILIDAD(tema 11)
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DERIVABILIDAD EN x = a
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EJERCICIO• Calcula f ‘ (3) aplicando la definición f(x) = x2
• Calcula f ‘ (3) derivando f(x)
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DERIVABILIDAD LATERAL EN x = a
A dicho límite se le llama derivada por la izquierda de x = a y se representa f ‘(
A dicho límite se le llama derivada por la derecha de x = a y se representa f ‘(
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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN f(x)
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EJERCICIO:• Pág 267: 1. Calcula la derivada de f(x) = 3x-2x2
aplicando la definición
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Si f(x) no es continua en x = a no es derivable en x = a
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE f’(a)
i.e.: f ’ (a) = pendiente (m) de la recta tangente en x = a
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EJEMPLO:
f(x) = |x2-4|No es derivable en x= -2 ni en x = 2
SE DEDUCE
Gráficamente una función f(x) es derivable en x = a si la función no presenta picos en (a,f(a)) y es continua en x = a
i.e.: f(x) no es derivable en x = a si la función presenta picos en (a,f(a)) o no es continua en x = a
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DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES. OPERACIONES
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EN LA PRÁCTICA:
- Antes de estudiar la derivabilidad comenzaremos estudiando la continuidad, aunque no nos lo pidan:
* Si f(x) no es continua en x = a, entonces no es derivable en x = a* Si f(x) es continua en x =a, entonces puedo estudiar la derivabilidad
- Igual que se indicó en la continuidad, solo se estudiará la derivabilidad en los puntos aislados pedidos. Si se pidiera en un intervalo o en el dominio, se estudiaría en los puntos problemáticos y en el resto se generalizaría.
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EJERCICIOS• Derivabilidad gráfica: pág 264, 280:1• Interpretación geométrica derivada: pág 281:1• Pág 261- 1(resuelto) Estudia la derivabilidad en x = 1. f(x) = • Pág 282: 3 (derivabilidad en un punto)• Derivabilidad en [-2,0] de f(x) =
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• Estudia la derivabilidad de la función f(x) = |x2-9|
• Pág 265- 5 (resuelto). Parámetros para que sea derivable en x = 0
f(x) = • Pág 284- 17 (derivabilidad y f’(x)) f(x) = • Calcular b y c sabiendo que la función es derivable
en x = 0. f(x) =
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• Dada la función f(x) = x|x-1|, estudia su derivabilidad y escribe su derivada.
• Estudia la derivabilidad de la función f(x) = y calcula su derivada.
• Sea f(x) = a- Calcula “a” y “b” para que la función f(x) sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas.b- Para los parámetros calculados, estudia su derivabilidad.