Analisis de Flujos
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Profesor Dr. Hugo Chirinos ANÁLISIS DEL FLUJO DE FLUIDOS Velocidad. El análisis de flujos de fluidos tiene importancia sustancial ya que a partir de el se puede evaluar las presiones y las fuerzas que soportan algunas estructuras (codos, toberas, etc). Para el análisis del flujo de fluidos existen dos métodos de Lagrange y de Euler. Punto de vista Lagrangiano. Se refiere al análisis de la trayectoria de la partícula de un fluido. k j i z y x r + + = k dt dz j dt dy i dt dx V t + + = ) ( wk vj ui V t + + = ) ( Punto de vista Euleriano. A través de un punto físico pasan infinidades partículas del fluido y a través de ese punto se puede averiguar su velocidad. ) , ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( t a trayectori f V t z y x f V w t z y x f V v t z y x f V u z y x = = = = = = = TRAYECTORIA DE UNA PARTÍCULA DE FLUIDO “Es el camino que recorre una partícula en su movimiento” Línea de Corriente. Para un fluido en régimen permanente (cuando algunas propiedades no cambian con respecto al tiempo) la trayectoria de una partícula de fluido coincide con la línea de corriente que es la línea tangente a los vectores velocidad de las partículas de fluido.
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Profesor Dr. Hugo Chirinos
ANÁLISIS DEL FLUJO DE FLUIDOS Velocidad. El análisis de flujos de fluidos tiene importancia sustancial ya que a partir de el se puede evaluar las presiones y las fuerzas que soportan algunas estructuras (codos, toberas, etc). Para el análisis del flujo de fluidos existen dos métodos de Lagrange y de Euler. Punto de vista Lagrangiano. Se refiere al análisis de la trayectoria de la partícula de un fluido.
kji zyxr ++=
kdtdzj
dtdyi
dtdxV t ++=)(
wkvjuiV t ++=)(
Punto de vista Euleriano. A través de un punto físico pasan infinidades partículas del fluido y a través de ese punto se puede averiguar su velocidad.
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),,,(),,,(
tatrayectorifVtzyxfVw
tzyxfVvtzyxfVu
z
y
x
===
====
TRAYECTORIA DE UNA PARTÍCULA DE FLUIDO
“Es el camino que recorre una partícula en su movimiento” Línea de Corriente. Para un fluido en régimen permanente (cuando algunas propiedades no cambian con respecto al tiempo) la trayectoria de una partícula de fluido coincide con la línea de corriente que es la línea tangente a los vectores velocidad de las partículas de fluido.
Profesor Dr. Hugo Chirinos
Tubo de corriente. Es aquel fluido que tiene como pared lateral línea de corriente y esta constituido por una serie de líneas de corriente. Hilo de corriente. Una pequeña sección o una sección infinitesimal de un tubo de corriente. Patrón de flujo. Es aquel que nos marca la dirección de las partículas de fluido en una dirección cualquiera. Velocidad promedio. Si y = f(x) donde,
∫=−b
a
x
xab dxxfxxy )()(
∫
∫∫=
−=
b
a
b
a
b
a
x
x
x
x
ab
x
x
dx
dxxf
xx
dxxfy
)(
)(
)(
Entonces para cualquier propiedad:
∫
∫=
dA
VdAVr
Velocidad promedio con respecto a una sección transversal característica.
∫
∫=
dA
TdAT
Temperatura promedio con respecto a una sección transversal característica
Ejercicio 01: Dada los campos de velocidades (a y b son constantes) siguientes, determinar: a) las dimensiones de cada campo de velocidades, b) decir si los flujos son estacionarios o no estacionarios. 1) iaeV bx ˆ][ −=
r, 2) jbxiaxV ˆˆ2 +=
r, 3) ieaxV bt ˆ][ 2 −=
r, 4) jbyiaxV ˆˆ −=
r, 5) jbyitaxV ˆˆ)( 2−+=
r
6) jbxziaxV ˆˆ2 −=r
, 7) ( )kzyxaV ˆ/1)( 32/122 +=r
, 8) jbyztiaxyV ˆˆ −=r
Solución:
Profesor Dr. Hugo Chirinos
Campo de velocidad Dimensión tipo de flujo 1) iaeV bx ˆ][ −=
r uni-dimensional ( )(xVV
rr= ) estacionario
2) jbxiaxV ˆˆ2 +=r
uni-dimensional ( )(xVVrr
= ) estacionario
3) ieaxV bt ˆ][ 2 −=r
uni-dimensional ( ),( txVVrr
= ) no estacionario 4) jbyiaxV ˆˆ −=
r bi-dimensioinal ( ),( yxVV
rr= ) estacionario
5) jbyitaxV ˆˆ)( 2−+=r
bi-dimensional ( ),,( tyxVVrr
= ) no estacionario
6) jbxziaxV ˆˆ2 −=r
bi-dimensional ( ),( zxVVrr
= ) estacionario
7) ( )kzyxaV ˆ/1)( 32/122 +=r
tri-dimensional ( ),,( zyxVVrr
= ) estacionario 8) jbyztiaxyV ˆˆ −=
r tri-dimensional ( ),,,( tzyxVV
rr= ) no estacionario
Ejercicio 02: Dada el campo de velocidades siguiente:
jbyiaxV ˆˆ −= donde (a = b = 1seg-1) Encontrar: La ecuación matemática de las líneas de flujo. Solución:
La pendiente de la línea de flujo en el plano x,y esta dado por uv
dxdy
= ,
Para el campo de velocidades jbyiaxV ˆˆ −= , entonces u = ax, v = -by, por lo tanto,
axby
uv
dxdy −
==
Para resolver la ecuación diferencial separamos las variables e integramos:
∫ ∫−=xdx
ab
ydy
Cxaby lnlnln +−=
ab
cxy−
=
FLUJO VOLUMÉTRICO Y FLUJO MÁSICO Flujo Volumétrico = Q
Flujo másico = om
Profesor Dr. Hugo Chirinos
∫
∫=
dA
VdAVr
VAQdAVVdA =⇒= ∫∫r
==
ltransversacionAnormalmediavelocidadV
sec
Supongamos que la superficie (s) sea como una malla de coral (imaginaria) a través del cual el fluido pasa. ¿Cuál es el volumen del fluido que atraviesa la superficie en la unidad de tiempo? En general si “v” varia con la posición, debemos integrar sobre la superficie elemental dA. Además, “v” generalmente puede atravesar dA con un ángulo θ en relación a la normal. Sea “n” el vector unitario normal a dA. Entonces, a la cantidad de fluido que se desplaza a través de dA durante el tiempo dt le corresponde el volumen del paralelepípedo inclinado:
dAdtvnvdtdAVd )(cos == θ
La integral de dtVd
es el caudal volumétrico total (Q) que atraviesa la superficie, entonces:
∫ ∫==s s
vdAdAvnQ )(
Por convención: “n” es el vector unitario normal orientado siempre para afuera, entonces, el producto (vn): Si es positivo representa al flujo de salida y si es negativo representa al flujo de entrada. Ahora, el caudal volumétrico se le puede afectar por la masa específica (ρ) para obtener el caudal másico.
∫ ∫==s s
ovdAdAvnm ρρ )(
