ANÁLISIS GRÁFICO DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

CASO 1REQUERIMIENTOS ENERGÉTICOS

Para hombres de 30 años con estatura de 1.67 m y un PA de 1.12 los requerimientos energéticos se obtienen mediante la siguiente ecuación:

REE=1355.47+17 p

El requerimiento energético, REE (variable y) depende del peso p (variable x). Su gráfica se elaborará en un rango de pesos de 45 a 125 kg, que es un rango convencional.

Ejemplo de cálculo: REE=1355.47+17 (45 )=2120.5

Los demás resultados se muestran a continuación:

Tabla Gráfica

p (kg) REEx y45 2120.555 2290.565 2460.575 2630.585 2800.595 2970.5105 3140.5115 3310.5125 3480.5

40 50 60 70 80 90 100 110 120 1302000

2200

2400

2600

2800

3000

3200

3400

3600Requerimientos energéticos

Peso (kg)

REE (

Kcal/

día)

1

CASO 2ANÁLISIS DE OFERTA Y DEMANDAEMPRESA DE PALETAS “PATOLÍN”

La empresa que produce las paletas de caramelo “Patolín” realizó estudios de mercado, en un cierto número de tiendas de abarrotes urbanas. Con los datos recabados pudieron determinarse los modelos algebraicos que describen la oferta y la demanda del producto, que son los siguientes:

Para la demanda: d (n )=an2+b

Para la oferta: o (n )=cn+e

Donde n es el número de artículos, d(n) representa la demanda y o(n) representa la oferta, en ambos casos en función del número de artículos. Los valores a, b, d y e pueden cambiar de acuerdo con el municipio y área geográfica en donde se recabaron los datos.

1. El asesor indicará los valores de a, b, d y e que sustituirás en los modelos particulares de la oferta y demanda.

a=−0.01b=1c=0.2e=−0.5

2. Realiza el análisis de cada una de las ecuaciones, siguiendo la metodología que hemos estudiado, determinando intersecciones, simetrías, extensiones y asíntotas si las hubiera, puedes hacerlo a mano y después realizarlo en Word con un editor de ecuaciones. Genera la tabla y gráfica de cada ecuación usando el graficador.

Función de demanda: d (n )=−0.01n2+1

Análisis de la función

Esta función cuya gráfica es una parábola del tipo: y=A x2+C , como su coeficiente cuadrático es negativo, la parábola abre hacia abajo, como está cercano a cero, implica una curva muy aplanada; el valor positivo de su término independiente implica un cruce de la curva con el eje y en el valor de uno; la falta del término lineal implica que la función es simétrica con respecto al eje de las ordenadas.

Intersecciones:

Eje x: 0=−0.01n2+10.01n2=1n2= 10.01

n2=100n=±√100n=±10

La curva de demanda cruza el eje x en los puntos (10,0) y (–10,0).

Eje y: d (n )=−0.01 (0 )2+1d (n )=1

La curva de demanda cruza el eje y en el punto (0,1).

2

Simetrías:Al tratarse de una parábola vertical, sólo tiene simetría en un sentido. Como no tiene término lineal, es simétrica con respecto al eje y. Lo anterior se demuestra también mediante la abscisa

del vértice de la parábola, que se calcula mediante la expresión: x=−B2 A

En el caso que nos

ocupa A = -0.01, B = 0 y C = 1. Al sustituir en la expresión queda: x=−0

2 (−0.01 )x=0

confirmando la afirmación previa.

Simetría respecto al eje x: d (n )=−0.01n2+1−d (n )=−0.01n2+1Por tanto no es simétrica con el eje x.

Simetría respecto al eje y: d (n )=−0.01n2+1d (−n )=−0.01 (−n )2+1=−0.01n2+1Por tanto es simétrica con el eje y.

Extensiones:Las parábolas se extienden infinitamente hacia los extremos de su eje de simetría dependiendo de su valor del coeficiente del término cuadrático. Para nuestro problema el eje está en n=0 y además la parábola abre hacia abajo (A = -0.01), eso significa que la apertura es desde el infinito negativo hacia su punto máximo. Para hallarlo calculamos la abscisa de su vértice, pero al ser simétrica con el eje de ordenadas, es exactamente el cruce con dicho eje, d(n) = 1.

Por tanto la extensión de la función de demanda es: d(n)≤1.

Dominio: nϵR o sea nϵ(-∞,∞)

Rango: d (n )=−0.01n2+10.01n2=1−d (n )n2=1−d(n )

0.01n=√ 1−d (n )

0.01

Para no volver negativo el radicando se deben tener valores menores o iguales de 1.

Rango: d(n)≤1 o sea d(n)ϵ(-∞,1]

Asíntotas:Las parábolas carecen de asíntotas: no hay valores que las puedan indeterminar, así que no hay verticales y luego de pasar por su vértice, sólo se extiende hacia el infinito, por lo que no hay horizontales.

Función de oferta: o (n )=0.2n−0.5

Análisis de la función

Se trata de una función lineal de la forma: y=mx+b cuya gráfica es una recta. Su pendiente es positiva, por tanto inclina a la derecha, su ordenada al origen es negativa, significa que cruza el eje de las ordenadas por debajo del origen.

3

Intersecciones:

Eje x: 0=0.2n−0.50.2n=0.5n=0.50.2n=2.5

La recta de oferta cruza el eje x en el punto (2.5,0).

Eje y: o (n )=0.2 (0 )−0.5o (n )=−0.5

La curva de demanda cruza el eje y en el punto (0,-0.5).

Simetrías:Las rectas carecen de simetrías, ya que siguen una dirección angular constante dada por sus pendientes.

Simetría con eje x: o (n )=0.2n−0.5−o (n )=0.2n−0.5Por tanto no es simétrica con el eje x.

Simetría con eje y: o (n )=0.2n−0.5o (−n )=0.2 (−n )−0.5=−0.2n−0.5Por tanto no es simétrica con el eje y.

Extensiones:

Dominio: nϵR o sea nϵ(-∞,∞)

Rango: o (n )=0.2n−0.5n=o (n )+0.50.2

n=5o (n )+2.5 nϵR o sea o(n)ϵ(-∞,∞)

Asíntotas:Como en los despejes quedan funciones lineales que no se indeterminan por división entre cero, se carece de asíntotas en el modelo de oferta.

Finalmente la gráfica se elabora con una tabulación que se facilita si se realizan los cálculos de ambas funciones al mismo tiempo con idénticos valores de abscisa (n). A continuación unos ejemplos en los cuales están basados los demás que aparecen en la siguiente página.

n=−1d (−1 )=−0.01 (−1 )2+1=0.99o (1 )=0.2 (−1 )−0.5=−0.7n=1d (1 )=−0.01 (1 )2+1=0.99o (1 )=0.2 (1 )−0.5=−0.3

4

n (artículos) demanda oferta

x y y-12 -0.44 -2.90-9 0.19 -2.30-6 0.64 -1.70-3 0.91 -1.10-1 0.99 -0.700 1.00 -0.501 0.99 -0.303 0.91 0.106 0.64 0.709 0.19 1.3012 -0.44 1.90

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

Análisis de oferta y demanda de Paletas "Patolín"

Número de artículos

dem

anda

y of

erta

(pre

cio)

Hay que aclarar que en este caso se muestran las dos funciones para apreciar sus intersecciones, simetrías y extensiones, pero en la que se presentará a los clientes se hará énfasis sólo en el primer cuadrante, es decir, donde hay valores positivos que representan la parte importante del fenómeno económico estudiado.

3. Elabora el informe que entregarías a los socios de la empresa después de haber entregado el análisis del inciso anterior. Describe los resultados del análisis de la ecuación de la demanda, haz lo propio con la ecuación de la oferta e indica el punto de equilibrio para que puedas recomendar la cantidad de productos que debe entregarse en cada tienda de abarrotes y el precio correspondiente. Toma en cuenta las siguientes recomendaciones: Inserta gráfica para ilustrar el escrito. Recuerda que, como todo reporte que se presenta a los socios de una empresa, debe

tener excelente presentación.

4. Reúne las 2 gráficas (de la oferta y la demanda) en un solo plano cartesiano. Ello te permitirá determinar gráficamente el punto de equilibrio para las paletas Patolín. ¿Qué precio garantiza que todas las paletas que se surtan a una tienda de abarrotes urbana serán vendidas? ¿Cuántas paletas se venderán en cada tienda en esta circunstancia?

El informe completo se muestra en la página siguiente:

5

ANÁLISIS DEL MODELO DE OFERTA Y DEMANDA DE VENTAS DE LAS PALETAS “PATOLÍN”

Como resultado de un estudio de mercado para conocer el grado de aceptación de las paletas de caramelo “Patolín” se determinó a través de mediciones que la demanda y la oferta en tiendas de abarrotes urbanas siguen estos modelos:

Función de demanda: d (n )=−0.01n2+1Función de oferta: o (n )=0.2n−0.5

Que se muestran en la siguiente gráfica:n (artículos) demanda oferta

x y y0 1.00 -0.501 0.99 -0.302 0.96 -0.103 0.91 0.104 0.84 0.305 0.75 0.506 0.64 0.707 0.51 0.908 0.36 1.109 0.19 1.3010 0.00 1.50

0 2 4 6 8 10 120.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

Análisis de oferta y demanda de Paletas "Patolín"

Número de artículos

dem

anda

y of

erta

(pre

cio)

Con base en el comportamiento observado, se considera que la máxima demanda se alcanzará con 10 artículos y el punto de equilibrio se logrará en los 6 artículos, lo que equivale a un precio de venta que se determina con el promedio de los precios de ambas funciones:

p=0.64+0.702

=0.67

Si bien se puede calcular analíticamente el punto de intersección para tener un dato más preciso:

d (n )=o (n )−0.01n2+1=0.2n−0.50.01n2+0.2n−1.5=0

6

Ecuación cuadrática que resolvemos: n=−b±√b2−4 ac2a

=−(0.2 )±√(0.2 )2−4 (0.01)(−1.5)

2 (0.01)

Tomamos sólo la solución positiva: n=− (0.2 )+√(0.2 )2−4 (0.01)(−1.5)

2(0.01)=−0.2+√0.1

0.02=5.81

Esta solución es analítica, sirve como una referencia para sacar el precio con cualquiera de las dos funciones: o (5.81 )=0.2 (5.81 )−0.5=0.66

Como se aprecia, el precio es prácticamente el mismo que el promedio.

En conclusión, luego de vender 6 artículos a un precio de 0.67 se comenzará a tener ganancias, siempre que no se sature el mercado y se exceda más de 10 artículos por tienda. Conviene surtir esa cantidad de paletas como máximo en cada punto de venta.

7

CASO 3MODELACIÓN DE LOS DATOS DE UN EXPERIMENTO MEDIANTE UNA ECUACIÓN Y

PROYECCIÓN A FUTURO

RECUPERACIÓN DE LA CAPA DE OZONO

Con la Convención para la protección de la capa de ozono y el Protocolo de Montreal se logró modificar la velocidad con que se incrementaba el área del agujero, de manera que aunque en 2000 se alcanzó la cifra máxima registrada de 25 millones de kilómetros cuadrados, para 2010 el tamaño del agujero era de 21 millones de kilómetros cuadrados.

Suponiendo que la tendencia de recuperación de la capa de ozono se mantuviera como lo ha hecho en este periodo ¿Se logrará la meta de ver la capa de ozono recuperada para el 2070? ¿Quizás antes? ¿Tal vez después?

Solución1. Calculamos al pendiente:

m= 21−252010−2000

=−410

=−0.4

Esto significa que cada año se recuperan 0.4 millones de kilómetros cuadrados.

2. La ecuación se determina con la ecuación de la recta que usa un punto y la pendiente (el punto es cualquier dato de año y área):

y− y1=m (x−x1 ) y−25=−0.4 (x−2000 ) y−25=−0.4 x+800

y=−0.4 x+800+25 y=−0.4 x+825

3. Cuando el área sea cero y = 0 se determina analíticamente:

0=−0.4 x+825−0.4 x=825 x=8250.4

x=2062.5

Entonces se logra la meta antes del 2070.

4. La meta si se logrará a una razón de 400 000 km2 al año.

5. Según la pendiente, el agujero de ozono reduce su tamaño en 400 mil kilómetros cuadrados cada año si se mantiene la tasa de reducción constante.

8

Año Área (millones de km2)

2000

25

2010

21

6. Al tratarse de una función lineal, tanto su dominio como su rango son todos los números reales (R). Sin embargo, se usa como modelo de un fenómeno natural, así que su dominio se sujeta a valores desde el máximo histórico del 2000, que se usa como referencia.

y=−0.4 x+825 Dominio xϵR Rango yϵR Como función matemática

Como modelo de un fenómeno natural: Dominio 2000≤x≤2062.5 Rango 0≤y≤25xϵ[2000,2062.5] yϵ[0,25]

7. Tabla y gráfica:

Año Área (mkm2)

x y2000 25.02010 21.02020 17.02030 13.02040 9.02050 5.02070 -3.0

1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 20700

5

10

15

20

25Reducción del agujero de ozono

Año

Área

(millo

nes d

e km

2)

9

CASO 4FALLAS GEOLÓGICAS

Se encontrarán las rectas perpendiculares a una recta dada mediante la condición apropiada.

Las ecuaciones son:

y=0.25x+1.2 y=−1.5 x+1

Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas, así que determinamos el valor correspondiente y proponemos un valor arbitrario para la ordenada al origen.

Primera recta:y=0.25x+1.2Recta perpendicular:

y= 1−0.25

x+2 y=−4 x+2

Tabla y gráfica:

x y1 y2-6 -0.3 26-3 0.45 14-1 0.95 60 1.2 21 1.45 -23 1.95 -106 2.7 -22

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

Segunda recta:

10

y=−1.5x+1Recta perpendicular:

y= 11.5x−2 y=2

3x−2

Tabla y gráfica:

x y1 y2-6 10 -6-3 5.5 -4-1 2.5 -2.670 1 -21 -0.5 -1.333 -3.5 06 -8 2

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

11

CASO 5DISTANCIA ENTRE CIUDADES

Supongamos que necesitas determinar las ecuaciones para otros programas de cómputo y cada uno considera el origen de su sistema de referencia en una ciudad europea diferente.

A continuación te proporcionamos la ubicación de una ciudad europea con respecto a Chernóbil.

Encuentra nuevamente las ecuaciones para las tres circunferencias de nuestra gráfica de la misma manera que hicimos con París.

Ciudad Distancia horizontal Distancia verticalAtenas, Grecia 955 Km al Oeste 1250 Km al Sur

Los radios son los mismos que se utilizaron en París, es decir 600, 800 y 1250 kilómetros.

Usamos la ecuación ordinaria de la circunferencia:

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

En ella sustituimos los datos del centro de las circunferencias concéntricas h = -955 & k = -1250 dado que las coordenadas al norte y al este son consideradas positivas y del sur y el oeste como negativas puesto que Chernóbil es el origen (0,0).

Circunferencia 1 (r = 600)

(x−(−955 ) )2+( y− (−1250 ) )2=(600 )2

( x+955 )2+( y+1250 )2=360000x2+1910x+912025+ y2+2500 y+1562500−360000=0

x2+ y2+1910 x+2500 y+2114525=0

12

Circunferencia 2 (r = 800)

(x−(−955 ) )2+( y− (−1250 ) )2=(800 )2

( x+955 )2+( y+1250 )2=640000x2+1910x+912025+ y2+2500 y+1562500−640000=0

x2+ y2+1910 x+2500 y+1834525=0

Circunferencia 2 (r = 1250)

(x−(−955 ) )2+( y− (−1250 ) )2=(1250 )2

( x+955 )2+( y+1250 )2=1562500x2+1910x+912025+ y2+2500 y+1562500−1562500=0

x2+ y2+1910 x+2500 y+912025=0

13

Deducción del tipo de cónica con base en el discriminante

De la ecuación general de las cónicas: A x2+Bxy+C y2+Dx+Ey+F=0 calculamos su discriminante con la fórmula: B2−4 AC y según el signo es el tipo de curva: si es negativo es una elipse, si es cero se trata de una parábola y si es positivo es una hipérbola.

Las expresiones a evaluar son las siguientes:(1) y2−x+1=0(2)x2+ y2−2 x+5=0 (3)4 x2−9 y2−3 y=0(4 )2 y2−x+3=0

(5 ) x2−4 x−8 y−20=0 (6 )9 x2+4 y2−18 x+4 y−23=0(7 )4 x2−4 y2−40 x+24 y+48=0 (8 )9 x2−4 y2−72x+24 y+72=0

(9 ) y2−8 x+2 y+1=0

Organizamos la información en una tabla:Ecuación A B C D E F Discriminante Cónica Gráfica

1 0 0 1 -1 0 1 02−4 (0 ) (1 )=0 Parábola

14

Ecuación A B C D E F Discriminante Cónica Gráfica2 1 0 1 -2 0 5 02−4 (1 ) (1 )=−4 Elipse*

En este caso se formó un conjunto

vacío

3 4 0 -9 0 -3 0 02−4 (4 ) (−9 )=144 Hipérbola

4 0 0 2 -1 0 3 02−4 (0 ) (2 )=0 Parábola

5 1 0 0 -4 -8 -20 02−4 (1 ) (0 )=0 Parábola

15

Ecuación A B C D E F Discriminante Cónica Gráfica6 9 0 4 -18 4 -23 02−4 (9 ) (4 )=−144 Elipse

7 4 0 -4 -40 24 48 02−4 (4 ) (−4 )=64 Hipérbola

8 9 0 -4 -72 24 72 02−4 (9 ) (−4 )=144 Hipérbola

9 0 0 1 -8 2 1 02−4 (0 ) (1 )=0 Parábola

16