Estadística aplicada a la ingeniería

Mll. Paloma Serrano Ruiz

Tema: Análisis de confiabilidad y supervivencia

Hector Armando García Cárdenas

Ing. Tecnologías de la producción 7 – A

13.1 - Vida de balatas. Un fabricante de balatas para el sistema de frenado de automóviles le da seguimiento al tiempo de falla de las mismas. El seguimiento lo hace con distribuidores de automóviles nuevos de cierto modelo. El tiempo de falla lo mide en los kilómetros recorridos. El número de unidades en que se evaluó el tiempo de falla fue de 55. Después de cierto tiempo no todas las balatas habían fallado, pero con base en el desgaste se estimó el tiempo de falla

A) Se quiere estimar la distribución del tiempo de falla de las balatas y con ella calcular su confiabilidad.

En Tabla de probabilidades de supervivencia se espera que después de 10,000 km, el 96,8% sigua funcionando

IC normal de 95.0%

Tiempo Probabilidad Inferior Superior

10000 0.968614 0.930207 0.986043

B) El fabricante también quiere saber si el tiempo de garantía de 10 000 kilómetros que otorga es razonable, considerando que no está dispuesto a reemplazar más de 2% de las balatas que vende.

Tabla de probabilidades de falla acumuladas

Tiempo Probabilidad Inferior Superior10000 0.0313857 0.0139573 0.0697926

La tabla muestra que se necesitan de 9,907.90 km para que el 3% de los valeros fallen, por lo tanto el productor probablemente deberá remplazar más del 2% de las balatas

13.3 Vida de conexiones con dos modos de falla. Los datos de la siguiente tabla son esfuerzos de ruptura de 20 conexiones de alambre, con un extremo soldado sobre un semiconductor y el otro soldado sobre un poste terminal.Cada falla consiste en el rompimiento del alambre (modo de falla 1 A) o de una soldadura (modo de falla 2 S). Aquí el esfuerzo hace las veces de tiempo de falla.

A) Interesa estudiar la distribución del esfuerzo de las conexiones, considerando que se requiere que menos de 1% debe tener un esfuerzo menor de 500 mg. Es decir, se desea que al menos 99% de las conexiones resista un esfuerzo mayor a 500 mg.

Valor extremo más pequeño

1.038Normal1.145

Logística0.968

Anderson-Darling (ajust.)

150010005000

90

50

10

1

esfuerzo

Porc

enta

je

200015001000500

99

90

50

10

1

esfuerzo

Porc

enta

je

200015001000500

99

90

50

10

1

esfuerzo

Porc

enta

je

Gráfica de probabilidad para esfuerzoCálculos de ML-Datos completos

Valor extremo más pequeño Normal

Logístico

La distribución que mejor se ajusta a la recta es la logística con un valor AD de 0.968,

En la gráfica puedeObservarse como los puntos se adecuan a línea de ajuste

Tabla de probabilidades de supervivencia

IC normal de 95.0% Tiempo Probabilidad Inferior Superior 500 0.973000 0.883581 0.994190

La tabla nos muestra que el porcentaje de supervivencia a una resistencia mayor a 500 mg es del 97.30%

B) También se quiere estimar el esfuerzo que resultaría de eliminar uno de los dos modos de falla.

IC normal de 95.0%

Tiempo Probabilidad Inferior Superior 500 0.987555 0.869863 0.998940

IC normal de 95.0%

Tiempo Probabilidad Inferior Superior

500 0.950818 0.723464 0.993049

Eliminando el modo de falla 2 = falla por soldadura se obtiene que la probabilidad de supervivencia de las conexiones a 500 mg es del 98.75%

En la siguiente imagen se puede observar gráficamente el porcentaje a una resistencia de 500 mg

Eliminando el modo de falla 1 = falla por rompimiento se obtiene que la probabilidad de supervivencia de las conexiones a 500 mg es del 95.08%Por tanto 4.92% corresponde al porcentaje de

27. Se realizó un estudio para estimar la vida media (en millas) de cierto tipo de locomotora. Se operaron 96 máquinas durante 135 mil millas o hasta que fallaron; y de éstas, 37 fallaron antes de cumplirse el periodo de 135 mil millas. La siguiente tabla presenta las millas hasta fallar para las 37 locomotoras. Las restantes 59 locomotoras no fallaron a 135 mil millas; por lo tanto, entran al estudio en forma censurada:

a) Use un software apropiado y grafique los datos en varios papeles de probabilidad para identificar la distribución de la que proceden.

Se determinó seleccionar la distribución de weibull puesto que es la que mejor se ajusta a la línea, con un coeficiente A.D de 0.989

b) Determine la vida mediana de las locomotoras.

Vida mediana

c) ¿Cuál es la confiabilidad de las locomotoras a las 200 000 millas?

Tabla de probabilidades de supervivencia

IC normal de 95.0%

10050

90

50

10

1

millas

Porce

ntaje

2001005020

99

90

50

10

1

millas

Porce

ntaje

1000100101

90

50

10

1

millas

Porce

ntaje

10010

99

90

50

10

1

millas

Porce

ntaje

Weibull0.989

Lognormal1.291

Exponencial7.595

Loglogística1.021

Anderson-Darling (ajust.)

Gráfica de probabilidad para millasCálculos de ML-Datos completos

Weibull Lognormal

Exponencial Loglogística

La confiabilidad de las locomotoras a 200,000 millas es casi inexistente con 0.00001%

Tiempo Probabilidad Inferior Superior

200 0.0000181 0.0000000 0.0028892

28. Para los datos sobre la vida de balatas dados en el ejemplo 13.1:

a) Haga un análisis gráfico para identificar la distribución que siguen los datos

b) Una vez identificada una distribución, estime los parámetros por máxima verosimilitud y también por mínimos cuadrados. Compare los estimadores.

Anderson-DarlingDistribución (ajust.)Weibull 1.009Lognormal 0.588Exponencial 15.744Loglogística 0.592Weibull de 3 parámetros 0.687Lognormal de 3 parámetros 0.616Exponencial de 2 parámetros 8.122Loglogística de 3 parámetros 0.623Valor extremo más pequeño 1.791Normal 0.774Logística 0.786

En el análisis grafico se observó que la distribución a la que más se ajustan los

datos es la loglogistica (0.786), por lo que sigue esta distribución.

300002000010000

0.00012

0.00008

0.00004

0.00000

Km/reocrridos

PDF

2000010000

99

90

50

10

1

Km/reocrridos

Porce

ntaje

300002000010000

100

50

0

Km/reocrridos

Porce

ntaje

300002000010000

0.0003

0.0002

0.0001

0.0000

Km/reocrridos

Tasa

Correlación 0.987

Ubic. 9.79766Escala 0.127799Media 18484.3Desv.Est. 4430.01Mediana 17991.7IQR 5068.73Falla 55Censor 0AD* 0.615

Tabla de estadísticasFunción de densidad de probabilidad

Función de supervivencia Función de riesgo

Gráfica de revisión general de distribución para Km/reocrridosCálculos de LSXY-Datos completos

Loglogística Ubic. 9.80156Escala 0.126309Media 18544.7Desv.Est. 4389.16Mediana 18061.9IQR 5028.80Falla 55Censor 0AD* 0.592

Tabla de estadísticas

300002000010000

0.00012

0.00008

0.00004

0.00000

Km/reocrridos

PDF

2000010000

99

90

50

10

1

Km/reocrridos

Porc

enta

je

300002000010000

100

50

0

Km/reocrridos

Porc

enta

je

300002000010000

0.0003

0.0002

0.0001

0.0000

Km/reocrridos

Tasa

Función de densidad de probabilidad

Función de supervivencia Función de riesgo

Gráfica de revisión general de distribución para Km/reocrridosCálculos de ML-Datos completos

Loglogística

MAXIMA VEROSIMILITUD MINIMOS CUADRADOS

Bondad de ajuste

Anderson-DarlingDistribución (ajust.)Loglogística 0.592

Bondad de ajuste

Coeficiente

c) ¿Cuál es la confiabilidad de las balatas a los 10 000 km?

d) Si el fabricante no está dispuesto a reemplazar más de 2% de las balatas, ¿es razonable otorgar una garantía de 10 000 km?

e) Si tiene apoyo de un software apropiado, proporcione un intervalo de confianza al 95% para los kilómetros en que falla 2% de las balatas e interprételo

Error Porcentaje Percentil estándar Inferior Superior

2 11047.8 689.994 9774.92 12486.4

Bondad de ajuste

Anderson-DarlingDistribución (ajust.)Loglogística 0.592

Bondad de ajuste

Coeficiente

Tabla de probabilidades de supervivencia

IC normal de 95.0%Tiempo Probabilidad Inferior Superior 10000 0.990813 0.972271 0.996994

La confiabilidad de que las balatas funcionen después de 10,000 km. Es de 99.08%

Falla acumuladas

Tiempo Probabilidad 10000 0.0091871

Si es razonable puesto que para los 10,000 km únicamente fallaran el 0.009% de las balatas, casi 1%.

Con intervalo de confianza al 95%, ase necesitan recorrer 11047.8 km para que falle un 2% de balatas.