ANÁLISIS COMPARATIVO DEL SISTEMA...

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD JUÁREZ

DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

ANÁLISIS COMPARATIVO DEL SISTEMA MAHALANOBIS-TAGUCHI (MTS) CON

MODELO LOGIT PARA DATOS BINARIOS CONSIDERANDO DIFERENTES

TAMAÑOS DE MUESTRA

TESIS

QUE PRESENTA

FÉLIX MARTÍN ARAGÓN CHACÓN

COMO REQUISITO PARCIAL

PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN INGENIERÍA ADMINISTRATIVA

CD. JUÁREZ, CHIH. DICIEMBRE 2010

iii

DEDICATORIA

Con todo mi amor a mi esposa Ercilia y a mis hijos Andrea y Mario Alberto

iv

AGRADECIMIENTOS

Quiero expresar mi enorme gratitud a las siguientes personas.

Al Dr. Manuel Arnoldo Rodríguez Medina, por su invaluable tiempo compartido

conmigo dándome guía y auxiliándome en la preparación de esta tesis, sin dejar

de mencionar las discusiones y puntos de acuerdo que enriquecieron mi trabajo

de investigación. Gracias por el apoyo y su fe en mí en momentos difíciles y por

impulsar mi desarrollo profesional.

Al Dr. Adán Valles Chávez por sus valiosas contribuciones a través de las

opiniones vertidas en innumerables ocasiones que tuve el honor de conversar

con él en los últimos dos años.

Agradezco los comentarios y sugerencias realizados por el comité revisor

conformado por:

Dr. Alfonso Aldape Alamillo

Dr. Adán Valles Chávez

M.C. Manuel Rodríguez Morachis,

cuya atinada intervención ayudó a fortalecer este trabajo de investigación.

De manera muy especial, quiero hacer un reconocimiento a mi esposa, sin cuyo

apoyo incondicional, tanto afectivo como emocional, y en los últimos tiempos,

económico, no hubiera sido posible la consecución de esta meta que hoy se

logra.

Gracias por todo, mi amor.

v

Así mismo, agradecer a mis hijos por su amor, paciencia y comprensión en las

múltiples ocasiones que no pude estar con ellos. También deseo hacer

manifiesta mi gratitud a la maestra María Elena Anchondo que siempre ha

estado disponible cuando he requerido de alguien a quien pedir una opinión o un

consejo. Usted sabe que la quiero mucho, suegra.

Este logro también lo quiero hacer extensivo a mis padres María Elena y Gil

Mario que me dieron la oportunidad de estudiar una carrera profesional a pesar

de todas las dificultades que implicó el cumplir con el objetivo.

Finalmente, un reconocimiento a todos mis maestros y compañeros de posgrado

por el apoyo y la amistad brindados a lo largo de este par de años que siempre

recordaré con agrado.

¡Lo logramos!

vi

RESUMEN

El Sistema Mahalanobis-Taguchi (MTS) es un método predictivo y de

diagnóstico para el análisis de patrones de comportamiento en estudios que

involucran variables múltiples, y que toma decisiones cuantitativas en base a la

construcción de una escala de medición multivariable a través de métodos

analíticos. En esta metodología se usa la distancia de Mahalanobis (MD) para

medir el grado de anormalidad de los patrones, así mismo, se utilizan métodos

de Taguchi para evaluar la precisión de las predicciones basadas en la escala

construida. La ventaja de la MD es que toma en consideración las correlaciones

entre variables, un punto primordial en el análisis de patrones. Existen muchas

investigaciones que utilizan la MD para determinar similitudes en los valores de

muestras conocidas y desconocidas, así como para la predicción y el

diagnóstico, lo cual ha mostrado que el MTS es preciso y efectivo. Sin embargo,

hay disponibles muy pocos estudios comparativos de la precisión y efectividad

del Sistema de Mahalanobis-Taguchi contra otras metodologías. Es por este

motivo que se decidió realizar este trabajo comparativo entre el MTS y la

metodología del Modelo Logit para Datos Binarios.

En el capítulo 1 de este estudio se muestra una introducción donde se

ubica el escenario en el que se desenvuelve la presente investigación. Así

mismo, se mencionan distintas aplicaciones que se han hecho del MTS a través

de la visión de diferentes investigadores. Se plantea claramente el objetivo como

la realización de la comparación antes descrita en base a la habilidad de las dos

metodologías involucradas en la investigación de discriminar usando conjuntos

de datos. Este estudio comparativo se llevó a cabo por medio del análisis

discriminante en base al tamaño del conjunto de datos, usando información

confiable disponible públicamente. En este caso se utilizó la base de datos

obtenida en el estudio de cáncer de seno de la Universidad de Wisconsin

realizado en 1991 por William H. Wolberg, la cual está conformada por nueve

variables y una clase.

vii

En el capítulo 2 se presenta la revisión bibliográfica sobre investigaciones

realizadas con respecto a este tema, permitiendo ubicar en forma más clara el

sentido de esta investigación. De la misma forma, nos lleva a entender los

conceptos e ideas desarrolladas con respecto a las dos metodologías que se

utilizaron en este estudio a partir de trabajos realizados por diversos autores.

Enseguida, en el capítulo 3 se definen las nueve variables y las dos

clases utilizadas en el estudio y se hace mención de los pasos a seguir para la

aplicación de las dos metodologías que se usaron en este trabajo de

investigación.

El siguiente capítulo, el 4, nos lleva por la simulación del estudio, el cual

incluye nuestras dos metodologías y muestra en forma detallada un ejemplo

numérico de la aplicación de ambos métodos, así como conclusiones parciales

obtenidas a partir del mismo.

En el capítulo 5 se muestran los resultados alcanzados al aplicar las

metodologías en las distintas muestras determinadas para nuestro estudio.

El capítulo 6 menciona las conclusiones que se obtienen del análisis de

los datos, y que son las que se refieren a continuación: al aplicar la metodología

Logit para Datos Binarios se concretó que el tamaño de las primeras muestras

era demasiado pequeño como para obtener una clara identificación de las

variables significativas. Esta identificación sí es posible obtenerla con las

muestras grandes.

Como conclusión final del estudio, se demuestra en forma contundente

que el tamaño de las muestras es un factor determinante para poder concluir

que el MTS representa una mejor opción ya que sin importar si la muestra es

pequeña o grande, esta metodología es capaz de identificar las variables

significativas; caso opuesto al de la metodología Logit para Datos Binarios,

donde, para poder identificar dichas variables, estamos requeridos a analizar

muestras grandes, las cuales, en muchas ocasiones no se encuentran

disponibles ni es factible obtener.

viii

Por último, en el capitulo 7 se enumeran las distintas fuentes

bibliográficas que fueron consultadas para poder realizar el presente trabajo de

investigación.

ix

CONTENIDO

PÁGINA

DEDICATORIA.....................................................................................................iii

AGRADECIMIENTOS ..........................................................................................iv

RESUMEN............................................................................................................vi

CONTENIDO ........................................................................................................ix

ÍNDICE DE FIGURAS ..........................................................................................xi

ÍNDICE DE TABLAS ...........................................................................................xii

LISTADO DE ECUACIONES .............................................................................xiv

1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................... 1

1.1 ANTECEDENTES....................................................................................... 1

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA......................................................... 4

1.3 PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN........................................................... 4

1.4 HIPÓTESIS................................................................................................. 5

1.5 OBJETIVO .................................................................................................. 5

1.6 DELIMITACIONES...................................................................................... 5

2. MARCO TEÓRICO ....................................................................................... 7

2.1 ANÁLISIS DE DATOS............................................................................ 8

2.2 METODOLOGÍA DE GENICHI TAGUCHI.............................................. 8

2.2.1 Diseño Robusto............................................................................. 11

2.2.2 Función de Pérdida de Taguchi .................................................... 12

2.2.3 Razón de Señal a Ruido (S/N)...................................................... 13

2.3 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN............................................................ 15

2.3.1 Coeficiente de Correlación............................................................ 16

2.3.2 Gráfico de Dispersión de Puntos................................................... 17

2.4 COLINEALIDAD................................................................................... 18

2.5 COMPONENTES PRINCIPALES ........................................................ 20

2.6 METODOLOGÍA DE PRASANTA CHANDRA MAHALANOBIS........... 23

x

2.7 DISTANCIA DE MAHALANOBIS ......................................................... 23

2.7.1 Propiedades de la Distancia de Mahalanobis ............................... 24

2.8 DISTANCIA EUCLIDIANA.................................................................... 25

2.9 ARREGLOS ORTOGONALES DE TAGUCHI...................................... 28

2.9.1 Determinación del Arreglo Ortogonal ............................................ 30

2.9.2 Notas para la Selección y el Uso de Arreglos Ortogonales........... 32

2.9.3 El Análisis de Datos Experimentales............................................. 33

2.9.4 Ventajas ........................................................................................ 36

2.10 EL SISTEMA MAHALANOBIS-TAGUCHI (MTS) ................................. 37

2.10.1 Etapa I: Construcción de una Escala de Medición........................ 38

2.10.2 Etapa II: Validación de la Escala de Medición .............................. 39

2.10.3 Etapa III: Identificar las Variables Útiles (Etapa de Desarrollo)..... 39

2.10.4 Etapa IV: Diagnóstico Futuro con las Variables Útiles. ................. 40

2.11 MODELO LOGIT PARA DATOS BINARIOS........................................ 40

3. MATERIALES Y MÉTODOS....................................................................... 48

3.1 SISTEMA MAHALANOBIS-TAGUCHI (MTS) ...................................... 50

3.2 MODELO LOGIT PARA DATOS BINARIOS........................................ 52

3.2.1 Características de la ecuación estimada....................................... 53

4. TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE LOS DATOS ..................................... 55

5. RESULTADOS............................................................................................ 69

6. CONCLUSIONES ....................................................................................... 83

7. BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................... 84

xi

ÍNDICE DE FIGURAS

PÁGINA

Figura 2. 1 Gráfica de costo de calidad........................................................... 13

Figura 2. 2 Tipos de ruido que desvían la característica del valor objetivo. .... 14

Figura 2. 3 Representación gráfica de la distancia euclidiana. ....................... 26

Figura 2. 4 Representación gráfica de la distancia de Mahalanobis. .............. 27

Figura 2. 5 Diagrama del método Taguchi. ..................................................... 30

Figura 2. 6 Representación del Modelo Logit.................................................. 44

Figura 3. 1 Procedimiento general del MTS.................................................... 50

Figura 4. 1 Gráfica de valores de MD de muestra 1........................................ 65

Figura 4. 2 Efecto de las variables de muestra 1. ........................................... 67









xii

ÍNDICE DE TABLAS

PÁGINA

Tabla 2. 1 Selector de arreglo........................................................................ 32

Tabla 2. 2 Ejemplo de arreglo ortogonal L12. ................................................. 32

Tabla 2. 3 Análisis de datos experimentales.................................................. 33

Tabla 2. 4 Razón señal a ruido. ..................................................................... 35

Tabla 2. 5 Efectos de la razón señal a ruido. ................................................. 36

Tabla 3. 1 Tipo y nombre de los atributos de la base de datos del cáncer de

seno recolectada en la Universidad de Wisconsin. ....................... 48

Tabla 3. 2 Arreglos ortogonales propuestos para análisis de las variables.... 49

Tabla 4. 1 Datos grupo con resultados benignos 1........................................ 55

Tabla 4. 2 Datos estandarizados grupo con resultados benignos 1............... 56

Tabla 4. 3 Matriz de correlación grupo con resultados benignos 1. ............... 57

Tabla 4. 4 Matriz inversa de la matriz de correlación de Tabla 4.3 ................ 58

Tabla 4. 5 Datos grupo con resultados malignos 1. ....................................... 58

Tabla 4. 6 Datos estandarizados grupo con resultados malignos 1............... 59

Tabla 4. 7 Valores de MD de muestra 1. ....................................................... 64

Tabla 4. 8 Arreglo ortogonal y razón de señal a ruido de muestra 1.............. 66

Tabla 4. 9 Niveles de S/N y efectos de muestra 1. ........................................ 66

Tabla 4. 10 Resultados del Análisis de Muestra 1........................................... 67









xiii

Tabla 5. 9 Resultados del Análisis de Muestra 2. .......................................... 78




xiv

LISTADO DE ECUACIONES

PÁGINA

Ecuación (2. 1) ................................................................................................... 12

Ecuación (2. 2) ................................................................................................... 16

Ecuación (2. 3) ................................................................................................... 17

Ecuación (2. 4) ................................................................................................... 17

Ecuación (2. 5) ................................................................................................... 19

Ecuación (2. 6) ................................................................................................... 19

Ecuación (2. 7) ................................................................................................... 20

Ecuación (2. 8) ................................................................................................... 24

Ecuación (2. 9) ................................................................................................... 26

Ecuación (2. 10) ................................................................................................. 26

Ecuación (2. 11) ................................................................................................. 27

Ecuación (2. 12) ................................................................................................. 27

Ecuación (2. 13) ................................................................................................. 27

Ecuación (2. 14) ................................................................................................. 27

Ecuación (2. 15) ................................................................................................. 34

Ecuación (2. 16) ................................................................................................. 34

Ecuación (2. 17) ................................................................................................. 34

Ecuación (2. 18) ................................................................................................. 34

Ecuación (2. 19) ................................................................................................. 34

Ecuación (2. 20) ................................................................................................. 44

Ecuación (2. 21) ................................................................................................. 45

Ecuación (3. 1) ................................................................................................... 51

Ecuación (3. 2) ................................................................................................... 53

Ecuación (3. 3) ................................................................................................... 53

Ecuación (4. 1) ................................................................................................... 60

1

1. INTRODUCCIÓN

El objetivo de este estudio es realizar una comparación entre el Sistema

Mahalanobis-Taguchi (MTS por sus siglas en inglés) y la metodología de Modelo

Logit para Datos Binarios en base a la habilidad de cada uno de ellos de

discriminar usando conjuntos de datos. El estudio se hará examinando la función

discriminante como una función del tamaño del conjunto de datos utilizando el

estudio de cáncer de seno de la Universidad de Wisconsin realizado en 1991 por

W.H. Wolberg. El MTS es una metodología de búsqueda de patrones de

comportamiento, que ha sido usada en diferentes aplicaciones de diagnóstico

para tomar decisiones cuantitativas en base a la construcción de una escala de

medición multivariable a través de métodos analíticos. En esta metodología se

usa una medición multivariable (la distancia de Mahalanobis o MD) para medir el

grado de anormalidad de los patrones, así mismo, se utilizan los métodos de

Taguchi para evaluar la precisión de las predicciones basadas en la escala

construida. La ventaja que tiene la MD es que toma enteramente en

consideración las correlaciones entre las variables, un punto que es primordial

en el análisis de patrones.

1.1 ANTECEDENTES

Existen muchas investigaciones que utilizan la Distancia de Mahalanobis

(MD por sus siglas en inglés) para determinar similitudes en los valores de

muestras conocidas y desconocidas, así como para la predicción y el

diagnóstico, lo cual ha mostrado que el MTS es preciso y efectivo. Sin embargo,

existen muy pocos estudios que comparan la precisión y efectividad del Sistema

de Mahalanobis-Taguchi contra otras metodologías (Cudney, E., et al 2007).

Un patrón se define como el opuesto al caos, es decir es un

comportamiento ordenado y predecible. Por ejemplo, un patrón puede ser una

2

huella digital, una palabra escrita a mano o un rostro humano. El reconocimiento

de patrones es el estudio de cómo observar y distinguir patrones de interés y

cómo tomar decisiones adecuadas acerca de ellos. (Taguchi, G. y Jugulum, R.,

2002).

En los sistemas multidimensionales, es necesario reducir el número de

variables eliminando aquellas que tienen muy poco o nulo efecto en la función

de medición. Existen varias metodologías que han sido probadas anteriormente

como los análisis discriminantes lineales, estudios de regresión lineal, redes

neuronales, etc.

En los últimos años se han desarrollado técnicas estadísticas que son

muy reconocidas para el manejo de los datos y con ello son capaces de poder

predecir comportamientos de enfermedades, entre otros usos.

Por ejemplo, Taguchi, G. (2000) utilizó el MTS para diagnóstico y

reconocimiento de patrones. Su investigación examinó un caso de estudio con

diagnóstico de enfermedad del hígado en Tokio, Japón utilizando quince

variables. El Dr. Taguchi desarrolló un procedimiento de ocho pasos titulado

"Procedimiento de Optimización de la Distancia Mahalanobis para el Sistema de

Diagnóstico y Reconocimiento de Patrones”.

Flores, A. (2010) abordó el problema de la determinación de los factores

que más influyen en la presencia del virus del papiloma humano.

Lande, U. (2003) realizó una investigación usando la MD para evaluar

habitats potenciales para carnívoros grandes en Escandinavia. Las especies

consideradas incluían osos, lobos, linces y lobeznos. Las variables utilizadas

incluían tierra, densidad poblacional humana, infraestructura y densidad de caza

de presas. Los resultados fueron usados para determinar cuales áreas eran las

adecuadas para cada especie.

Hayashi, S., et al (2001) también utilizaron la MD para maximizar la

productividad en un sistema de control de manufactura nuevo. La investigación

usó esta distancia como un núcleo para su sistema de control de manufactura

3

debido a la habilidad del método para reconocer patrones. El nuevo sistema

detectaba desviaciones de las condiciones normales mucho más pronto y

permitía la identificación de la causa raíz y su resolución.

Wu, Y. (2004) demostró el reconocimiento de patrones por medio de la

MD. Este reconocimiento de patrones fue usado para hacer diagnósticos en la

salud humana. Se usaron como características los resultados de las pruebas de

una revisión física regular, se mostró la correlación entre las diferentes pruebas

y se resumieron las características multidimensionales en una escala por medio

de esta metodología.

Jugulum, R. y Monplaisir, L. (2002) fueron los primeros en realizar una

comparación entre MTS y Redes Neuronales, para lo cual usaron datos médicos

con 15 variables. La comparación entre ambos métodos se hizo con muestras

pequeñas y muestras grandes, y se llegó a la conclusión de que no existía

diferencia alguna entre las dos metodologías al utilizar muestras grandes; caso

contrario al de las muestras pequeñas, donde se concluyó que el MTS es

indudablemente mejor que las Redes Neuronales.

Woodall, W., et al (2003) revisaron la metodología del MTS y encontraron

algunas limitaciones y falta de alcance del método incluyendo la falta de una

definición operacional que especificara el criterio para la determinación del por

qué los valores de MD para las observaciones anormales son mayores que

aquellos para las normales. También se cuestionó por parte de estos

investigadores el uso de diseños factoriales fraccionales para reducir el número

de corridas, así como la falta de explicación para el uso de la escala de medición

MTS. Tiempo más tarde, Jugulum, R., et al (2003) respondieron a estas

limitaciones por medio de un editorial, en el que rechazaron categóricamente la

existencia de dichas limitantes.

De acuerdo a lo anterior, se puede inferir que el MTS es una técnica de

análisis, la cual se utiliza para hacer predicciones a través de una escala de

medición con múltiples variables. Los patrones son difíciles de representar en

4

términos cuantitativos y son muy sensibles a correlaciones entre las variables.

Los diagnósticos médicos sufren distorsión debido a esta correlación entre las

variables, de tal manera que el porcentaje de error es significante. El modelo

logit para datos binarios es usado para análisis y discriminación de variables. La

intención de este trabajo es la discriminación de variables en un diagnóstico

médico, haciendo un análisis comparativo entre los métodos anteriormente

mencionados.

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La presente investigación realiza una comparación entre la precisión y

efectividad del Sistema Mahalanobis-Taguchi y la metodología de Modelo Logit

para Datos Binarios considerando diferentes tamaños de muestras para

determinar cuál metodología es mejor para realizar diagnósticos médicos. De

acuerdo a esto, es posible plantear los siguientes cuestionamientos:

1.3 PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN

a) ¿El manejo de herramientas estadísticas usadas en la Ingeniería

Industrial es capaz de generar resultados confiables en el diagnóstico de

patrones de comportamiento bajo incertidumbre en el área de la salud?

b) ¿Existen diferencias entre los resultados arrojados por las dos

metodologías analizadas si existe variación en el tamaño de la muestra?

c) ¿Es más confiable el MTS para proporcionar diagnósticos médicos que el

Modelo Logit para Datos Binarios?

5

1.4 HIPÓTESIS

a) El manejo de herramientas estadísticas usadas en la Ingeniería Industrial

genera resultados confiables en el diagnóstico de patrones de

comportamiento bajo incertidumbre en el área de la salud.

b) El tamaño de la muestra es un factor muy importante para determinar que

sí existen diferencias entre las dos metodologías propuestas en este

estudio.

c) El MTS es una metodología más confiable para llegar a diagnósticos

médicos más veraces que la metodología de Modelo Logit para Datos

Binarios.

1.5 OBJETIVO

Determinar la metodología más adecuada para la realización de

diagnósticos más confiables de las variables de tumores cancerosos mediante la

comparación del Sistema Mahalanobis-Taguchi (MTS) y el Modelo Logit para

Datos Binarios.

1.6 DELIMITACIONES

Las metodologías utilizadas en este estudio hacen uso exclusivamente de

la base de datos de cáncer de seno recolectada en la Universidad de Wisconsin

por el Dr. William H. Wolberg en 1991. Esta base de datos está conformada por

699 observaciones, cada una de ellas conteniendo nueve atributos numéricos y

6

una respuesta de salida binaria (dos clases). Se hace notar que dieciséis de

estas observaciones contienen un atributo faltante, por lo que son descartadas,

lo que nos deja un total de 683 observaciones disponibles para realizar el

estudio.

7

2. MARCO TEÓRICO

En el siguiente mapa conceptual se presentan los temas que se van a

abordar en este capítulo:

8

2.1 ANÁLISIS DE DATOS

El análisis de datos es una de las más importantes fases de la

investigación. En esta etapa se determina cómo analizar los datos y qué

herramientas de análisis estadístico son adecuadas para éste propósito. El tipo

de análisis de los datos depende al menos de los siguientes factores:

a) El nivel de medición de las variables.

b) El tipo de hipótesis formulada.

c) El diseño de investigación utilizado indica el tipo de análisis requerido

para la comprobación de hipótesis.

El análisis de datos es el paso precedente a la actividad de interpretación,

la cual se realiza en términos de los resultados de la investigación. (Ávila, H.,

2006).

2.2 METODOLOGÍA DE GENICHI TAGUCHI

El Dr. Taguchi es un ingeniero japonés nacido en 1924, posee un

Doctorado en Ciencias (1962 Universidad Kyushu). Después de desarrollar una

brillante carrera en la Compañía Telefónica del Japón fue profesor de la

Universidad de Aoyama Gaukin de Tokio y consultor en numerosas empresas.

Ha publicado más de 40 libros y cientos de artículos y pertenece a las

más prestigiosas asociaciones científicas y tecnológicas. Ha sido acreedor al

Premio Deming en cuatro ocasiones por sus aportaciones y literatura sobre

calidad. Asimismo fue premiado con la medalla W.F. Rockwell a la excelencia

técnica en 1986. En mayo de 1989 fue condecorado con la medalla con banda

9

púrpura al avance tecnológico y económico de toma de decisión en diseño, ha

contribuido significativamente al progreso de las industrias japonesas en la

fabricación a corto plazo de productos de clase mundial, a bajo costo, y con alta

calidad. En 1982, el American Supplier Institute® (ASI®, por sus siglas en inglés)

introdujo al Dr. Taguchi y sus métodos en el mercado de los Estados Unidos.

Desde ese momento, las compañías que han adoptado sus técnicas y su

filosofía han ahorrado en conjunto cientos de millones de dólares. El Dr. Taguchi

es el Director Ejecutivo del ASI®, Inc. con sede en Dearborn, Michigan. Es

también Director del Japan Industrial Technology Institute, y trabaja como

consultor independiente en Japón, Estados Unidos, China, India y varios países

de Europa.

Su contribución más importante ha sido la combinación de métodos

estadísticos y de ingeniería para conseguir rápidas mejoras en costos y calidad

mediante la optimización del diseño de los productos y sus procesos de

fabricación. El Dr. Taguchi nos ha proporcionado la Función de Pérdida y la

Razón Señal/Ruido (S/N), las cuales evalúan la funcionalidad del producto

durante las etapas tempranas de su desarrollo, cuando aún tenemos tiempo de

realizar mejoras al mínimo costo.

Además de la rápida mejora del diseño de productos y procesos, los

métodos del Dr. Taguchi proporcionan un lenguaje común y un enfoque que

mejora la integración del diseño del producto y los procesos de fabricación. La

formación de ingenieros de diseño y de personal de fabricación en estos

métodos proporciona perspectivas y objetivos comunes (un gran paso adelante

para derribar las tradicionales barreras entre estos dos grupos). Los métodos del

Dr. Taguchi se introdujeron en los Estados Unidos en los años 1980–82, con

AT&T Bell Laboratories®, Ford Motor Company® y Xerox Corporation® como

pioneros. Ayudó a la fundación del ASI® para facilitar una amplia diseminación

10

de sus métodos e ideas, que ahora están siendo adoptadas y puestas en

práctica por cientos de industrias a nivel mundial.

El pensamiento de Taguchi se basa en dos conceptos fundamentales:

a) Productos atractivos al cliente.

b) Ofrecer mejores productos que la competencia: los productos deben ser

mejores que los de la competencia en cuanto a diseño y precio.

Estos conceptos se concretan en los siguientes puntos:

1) Función de pérdida: La calidad se debe definir en forma monetaria por

medio de la función de pérdida, donde a mayor variación de una

especificación con respecto al valor nominal, mayor es la pérdida

monetaria transferida al consumidor.

2) Mejora continua: la mejora continua del proceso productivo y la reducción

de la variabilidad son indispensables para subsistir en la actualidad.

3) La mejora continua y la variabilidad. La mejora continua del proceso está

íntimamente relacionada con la reducción de la variabilidad con respecto

al valor objetivo. La variabilidad puede cuantificarse en términos

monetarios.

4) Diseño del producto: Se genera la calidad y se determina el costo final del

producto.

5) Optimización del diseño del producto.

6) Optimización del diseño del proceso.

11

Además, desarrolló una metodología que denominó Ingeniería de la

Calidad que divide al control de calidad en línea y fuera de línea. Ingeniería de

Calidad en línea engloba actividades de ingeniería de calidad en el área de

manufactura, el control y la corrección de procesos, así como el mantenimiento

preventivo. Ingeniería de Calidad fuera de línea se encarga de la optimización

del diseño de productos y procesos. El control de calidad desde la etapa del

diseño del producto.

El Dr. Taguchi creó el concepto de “diseño robusto”, el cual está enfocado

en exceder las expectativas de calidad, para así lograr la satisfacción del cliente.

2.2.1 Diseño Robusto

Cada vez que se diseña un producto, se hace pensando en que va a

cumplir con las necesidades de los clientes, pero siempre dentro de un cierto

estándar, a esto se le llama “calidad aceptable”, de esta manera el cliente no

tiene otra opción mas que comprar, pues a la empresa le sale mas barato

reponer algunos artículos defectuosos, que no producirlos. Pero no siempre será

así, por que en un tiempo la gente desconfiará de la empresa y se irán alejando

los clientes.

El tipo de diseño que Taguchi propone es que se haga mayor énfasis en

las necesidades que le interesan al consumidor y que a su vez, se ahorre dinero

en las que no le interesen, de esta forma se rebasarán las expectativas que el

cliente tiene del producto. Asegura que es más económico hacer un diseño

robusto que pagar los controles de calidad y reponer las fallas. Al hacer un

diseño robusto de determinado producto maximizamos la posibilidad de éxito en

el mercado; y aunque esta estrategia parece costosa, en realidad no lo es,

porque a la vez que gastamos en excedernos en las características que de

verdad le interesan al consumidor, ahorramos en las que no les da importancia.

12

2.2.2 Función de Pérdida de Taguchi

Con ésto, Taguchi trató de orientar a los productores a que redujeran las

variaciones en la calidad. Para poder revisar esta pérdida, se utiliza la ecuación

cuadrática 2.1 que se ajusta a los datos de costos y desempeño del producto:

donde:

L es la función de pérdida

K es una constante que depende de lo crítico de la característica de calidad

Y es el valor nominal o ideal

m es el valor observado

De esta ecuación se puede inferir que el factor de calidad en algún

producto o servicio puede ser afectado por una variable, lo cual nos lleva a tener

determinado costo y provocando una posible insatisfacción del cliente. De la

misma forma, podemos observar que conforme el desempeño del producto se

vaya alejando del valor nominal, la función de pérdida se va incrementando, lo

que determina el costo de calidad para la sociedad, tal como se muestra en la

Figura 2.1

2( )L K Y m= −

(2. 1)

13

Figura 2. 1 Gráfica de costo de calidad

Esta es una técnica aplicable a cualquier proceso que de una manera

bastante sencilla nos indica el grado y costo de la pérdida que un producto o

servicio puede experimentar por alguna falla de calidad en el proceso.

2.2.3 Razón de Señal a Ruido (S/N)

Los factores que causan que una característica funcional (por ejemplo, la

eficiencia del combustible, los cambios de presión, la maniobrabilidad, etc.) se

desvíe de su valor objetivo, se llaman factores de ruido. Los factores de ruido

causan variación y pérdida de calidad. Durante su larga experiencia, el Dr.

Taguchi ha observado que esta pérdida de calidad afecta, en términos de tiempo

y dinero, tanto a los consumidores como a los fabricantes, y en último término a

la sociedad. En la Figura 2.2 se muestran los diferentes tipos de ruido que

desvían la característica de su valor objetivo.

14

Figura 2. 2 Tipos de ruido que desvían la característica del valor objetivo.

En un proceso cualquiera, existen factores controlables y factores no

controlables. Los primeros son considerados aquellos que podemos manipular

en los procesos, mientras que Taguchi denomina a los factores incontrolables

como factores de ruido. Ruido es cualquier cosa que lleva a una característica

de la calidad a desviarse de su objetivo, el cual subsecuentemente causa una

pérdida de calidad. La temperatura y altura, por mencionar algunos, son

considerados factores externos de ruido porque ocurren fuera del producto.

Otros tipos de factores que existen son los internos (por ejemplo: partes críticas

de la maquinaria se deterioran y provocan una variabilidad pieza a pieza en los

componentes fabricados de un automóvil). Mucha gente cree que las

interacciones, en general, no son consideradas en los Métodos Taguchi; sin

embargo, esto no es cierto. De hecho, el Dr. Taguchi considera las

interacciones como uno de los puntos más importantes de su enfoque.

La razón señal a ruido es un índice de robustez de calidad, y muestra la

magnitud de la interacción entre factores de control y factores de ruido. Los

factores de control y de ruido deben ser asignados en diferentes grupos para el

PERDIDA A LA SOCIEDAD

DESVIACION DE LAS CARACTERISTICAS CON RESPECTO AL VALOR OBJETIVO

FACTORES DE RUIDO

RUIDO INTERNO RUIDO EXTERNO

VARIACIONES EN LOS ERRORES HUMANOS

DETERIORO IMPERFECCIONES DE FABRICADO DE

OPERACION

RUIDO ENTRE PRODUCTOS

15

estudio de la robustez, el cual es significativamente diferente del enfoque

tradicional, donde no hay distinciones entre los factores de ruido y control.

Una diferencia clave de los Métodos Taguchi es el énfasis en medir las

cosas correctas para recolección de información. En lugar de medir síntomas

causados por la variabilidad de la función, como la tasa de defectos o fallas,

medimos una respuesta relacionada con la energía. Cualquier sistema usa

energía de transformación para cumplir una función deseada. Reducir la

variabilidad de las transformaciones de energía minimizará o eliminará los

síntomas. Cuando tenemos ruido, nos lleva a crear un producto o proceso

robusto que es aquel que es menos sensible al ruido.

2.3 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN

Es muy común que estudiemos sobre una misma población los valores de

dos o más variables estadísticas distintas, con el fin de ver si existe alguna

relación entre ellas; es decir, si los cambios en una o varias de ellas influyen en

los valores de la variable dependiente. Cuando ocurre esto, se dice que las

variables están correlacionadas o que existe una correlación entre ellas. Este

tipo de análisis funciona relativamente bien cuando las variables estudiadas son

continuas, sin embargo no es adecuado hacer análisis de correlación con

variables nominales.

El análisis de correlación es el conjunto de técnicas estadísticas

empleado para medir la intensidad de la asociación entre dos variables. El

principal objetivo del análisis de correlación consiste en determinar qué tan

intensa es la relación entre dos variables. Las variables se clasifican en:

• Variable Dependiente.- es la variable que se predice o calcula y que se

representa con "Y".

16

• Variable Independiente.- es la o las variables que proporcionan las bases

para el cálculo y cuya representación es: “X1, X2, X3 , ... ”. Esta o estas

variables suelen ocurrir antes en el tiempo que la variable dependiente.

(Baca, S., 2005).

2.3.1 Coeficiente de Correlación

El coeficiente de correlación “r” describe la intensidad de la relación entre

dos conjuntos de variables de nivel de intervalo. Es la medida de la intensidad

de la relación lineal entre dos variables. El valor del coeficiente de correlación

puede tomar valores desde menos uno hasta uno, indicando que mientras más

cercano a uno sea el valor del coeficiente de correlación, en cualquier dirección,

más fuerte será la asociación lineal entre las dos variables. Mientras más

cercano a cero sea el coeficiente de correlación indicará que es más débil la

asociación entre ambas variables. Si es igual a cero se concluirá que no existe

relación lineal alguna entre ambas variables. (Baca, S., 2005).

Existen varias maneras equivalentes para calcular “r”, a continuación

mostraremos tres de ellas:

2.3.1.1 Fórmula por Covarianzas y Desviaciones Típicas

donde:

XYS es la covarianza de ( ,X Y ) y

XS y

YS son las desviaciones típicas de las

distribuciones de las variables independientes y dependiente respectivamente.

XY

X Y

Sr

S S= (2. 2)

17

2.3.1.2 Fórmula Clásica

Es poco usada para cálculo.

2.3.1.3 Fórmula por Suma de Cuadrados

Se usa cuando se dispone de calculadoras de mano que hacen sumatorias y no

correlación.

2.3.2 Gráfico de Dispersión de Puntos

Es una representación gráfica de la relación entre dos variables X y Y. Es

muy utilizada en las fases de comprobación de teorías e identificación de causas

raíz y en el diseño de soluciones y mantenimiento de los resultados obtenidos.

Son destacables en especial tres conceptos: que el descubrimiento de las

verdaderas relaciones de causa-efecto es la clave de la resolución eficaz de un

problema, que las relaciones causa-efecto casi siempre muestran variaciones, y

que es más fácil ver la relación en un diagrama de dispersión que en una simple

tabla de números. Según sea la dispersión de los datos (nube de puntos) en el

2__ __

2 2__ __

X X Y Y

r

X X Y Y

− −

=

− −

∑

∑ ∑

(2. 3)

2 2

2 2

X Y

XYn

r

X Y

X Yn n

−

=

− −

∑ ∑∑

∑ ∑∑ ∑

(2. 4)

18

plano cartesiano, pueden darse alguna de las siguientes relaciones: lineal,

logarítmica, exponencial, cuadrática, entre otras. Estas nubes de puntos pueden

generar polígonos a partir de ecuaciones de regresión que permitan predecir el

comportamiento de la variable dependiente. (Dicovskiy,L., 2009).

2.4 COLINEALIDAD

Este es uno de los problemas más desesperantes con que uno se puede

encontrar en un análisis de regresión. Si en un modelo de Regresión Lineal

Múltiple alguna variable independiente es combinación lineal de otras, el modelo

es irresoluble, debido a que, en ese caso, la matriz X'X es singular, es decir, su

determinante es cero y no se puede invertir. A este fenómeno se le denomina

colinealidad. Que una variable X1 sea combinación lineal de otra X2, significa que

ambas están relacionadas por la expresión X1 = b1 + b2X2, siendo b1 y b2

constantes, por lo tanto el coeficiente de correlación entre ambas variables será

igual a 1.

Del mismo modo, que una variable X1 sea combinación lineal de otras X2,

..., Xi con i >2, significa que dichas variables están relacionadas por la expresión

1 1 2 2 i iX b b X b X= + + +� , siendo 1, ,

ib b� constantes y por tanto, el

coeficiente de correlación múltiple 1 2/ , , iX X X

R�

también será 1. Otro modo, por

tanto, de definir la colinealidad es decir que esta existe cuando alguno de los

coeficientes de correlación simple o múltiple entre algunas de las variables

independientes es 1, es decir, cuando algunas variables independientes están

correlacionadas entre sí.

En la práctica, esta colinealidad exacta raras veces ocurre, pero sí surge

con cierta frecuencia la llamada casi-colinealidad, o por extensión, simplemente

19

colinealidad en que alguna variable es "casi" combinación lineal de otra u otras,

o dicho de otro modo, algunos coeficientes de correlación simple o múltiple entre

las variables independientes están cercanos a 1, aunque no llegan a dicho valor.

En este caso la matriz X'X es casi-singular, es decir su determinante no es cero

pero es muy pequeño. Como para invertir una matriz hay que dividir por su

determinante, en esta situación surgen problemas de precisión en la estimación

de los coeficientes, ya que los algoritmos de inversión de matrices pierden

precisión al tener que dividir por un número muy pequeño, siendo además

inestables.

Además, como la matriz de varianzas de los estimadores es proporcional

a X'X, resulta que en presencia de colinealidad los errores estándar de los

coeficientes son grandes (hay imprecisión también en sentido estadístico). Por

consiguiente, a la hora de plantear modelos de Regresión Lineal Múltiple

conviene estudiar previamente la existencia de casi-colinealidad (la colinealidad

exacta no es necesario estudiarla previamente, ya que todos los algoritmos la

detectan, de hecho no pueden acabar la estimación). Como medida de la misma

hay varios estadísticos propuestos, los más sencillos son los coeficientes de

determinación de cada variable independiente con todas las demás, es decir

para 1, ,i k= �

y relacionados con ellos, el factor de inflación de la varianza (FIV) y la tolerancia

(T), definidos como

1 1 1 1

2 2

/ , , , , ,i i ki X X X X XR R− +

=� �

(2. 5)

2

1

1i

i

FIVR

=−

(2. 6)

20

Una regla empírica, citada por Kleinbaum, D., et al (1988), consiste en

considerar que existen problemas de colinealidad si algún FIV es superior a 10,

que corresponde a algún 2 0.9i

R ≥ y 0.1i

T ≤

Aunque puede existir colinealidad con FIV bajos, además puede haber

colinealidades que no impliquen a todas las variables independientes y que, por

tanto, no son bien detectadas por el FIV. Otra manera más completa de detectar

colinealidad es realizar un análisis de Componentes Principales de las variables

independientes. Esta técnica es matemáticamente compleja y aquí se hará sólo

un resumen de la misma necesario para entender el diagnóstico de la

colinealidad.

2.5 COMPONENTES PRINCIPALES

Se denominan Componentes Principales de un conjunto de variables a

otras variables que son combinación lineal de las originales y que tienen tres

propiedades características:

a) Son mutuamente independientes (no están correlacionadas entre sí).

b) Mantienen la misma información que las variables originales.

c) Tienen la máxima varianza posible con las limitaciones anteriores.

De hecho, para modelos predictivos los componentes principales son las

variables independientes ideales. La varianza de cada componente principal es

211

i i

i

T RFIV

= = − (2. 7)

21

un autovalor (número asociado a una matriz) de la matriz de varianzas-

covarianzas de las variables originales. El número de autovalores nulos indica el

número de variables que son combinación lineal de otras (el número de

colinealidades exactas) y autovalores próximos a cero indican problemas graves

de colinealidad. El cálculo de los autovalores permite, por lo tanto, determinar no

sólo la existencia de colinealidad, sino también el número de colinealidades.

Para determinar cuándo un autovalor pequeño está suficientemente próximo a

cero se usa su valor relativo con respecto al mayor, en este sentido, para cada

autovalor se define el índice de condición como la raíz cuadrada del cociente

entre el mayor de ellos y dicho autovalor y se denomina número de condición al

mayor de los índices de condición. Para Belsley, D. (1991), los índices de

condición con valores entre 5 y 10 están asociados con una colinealidad débil,

mientras que índices de condición con valores entre 30 y 100 señalan una

colinealidad moderada a fuerte.

Una vez determinada la presencia y el número de colinealidades, es

conveniente averiguar qué variables están implicadas en ellas. Usando ciertas

propiedades de las matrices se puede calcular la proporción de la varianza de

las variables sobre cada componente. Si dos o más variables tienen una

proporción de varianza alta en un componente indica que esas variables están

implicadas en la colinealidad y, por tanto, la estimación de sus coeficientes está

degradada por la misma. Belsley, D. (1991) propone usar conjuntamente los

índices de condición y la proporción de descomposición de varianza para

realizar el diagnóstico de colinealidad, usando como umbral de proporción alta

0.5 de modo que, finalmente, dicho diagnóstico se hará:

a) Los índices de condición altos (mayores que 30) indican el número de

colinealidades y la magnitud de los mismos mide su importancia relativa.

22

b) Si un componente tiene un índice de condición mayor que 30 y dos o más

variables tienen una proporción de varianza alta en el mismo, esas

variables son colineales.

Como ya se indicó anteriormente, la mejor solución a los problemas de

colinealidad consiste en plantear el modelo de regresión con los componentes

principales en lugar de con las variables originales, si bien esta solución sólo

está indicada en los modelos predictivos. En los modelos estimativos no tiene

sentido, ya que el interés del modelo es, justamente, estimar el efecto sobre la

variable independiente de una variable determinada y no interesa, por lo tanto,

usar otras variables distintas. Otras soluciones alternativas posibles en ambos

tipos de modelos pueden ser: cambios de escala en las variables, incluyendo el

centrado de las mismas (restar a cada variable su media) o, incluso, eliminar

alguna de las variables colineales. En este mismo sentido hay que tener en

cuenta que las variables producto introducidas para estudiar la interacción

pueden dan lugar a problemas de colinealidad y no se recomienda, por lo tanto,

que un modelo contenga muchos términos de interacción.

Si una variable toma el mismo valor para todas las observaciones (tiene

varianza cero) existe colinealidad exacta con el término independiente, y si una

variable tiene varianza casi cero (toma valores muy próximos para todas las

observaciones) existe casi-colinealidad. Puede ocurrir que una varianza

pequeña sea debida a una escala inapropiada para la variable, por ejemplo, si la

edad de sujetos adultos se mide en décadas se obtiene una varianza 100 veces

menor que si se midiera en años. En este caso un cambio de escala puede

evitar el problema de la colinealidad. También se puede perder precisión en el

cálculo de (X'X)-1 por la existencia de variables con varianzas excesivamente

grandes, en cuyo caso el cambio de escala aconsejable sería el contrario, por

ejemplo, podría dar lugar a problemas de precisión medir la edad en días

(Belsley, D., 1991).

23

2.6 METODOLOGÍA DE PRASANTA CHANDRA MAHALANOBIS

P.CH. Mahalanobis (29 junio 1893 – 28 junio 1972) fue un científico de La

India que destacó en el campo de la estadística aplicada. El avizoró que la

estadística, una ciencia nueva relacionada con las mediciones, tenía un amplio

potencial de aplicaciones. Realizó trabajos pioneros en el estudio de las

variaciones antropomórficas en la India, fundó el Instituto Estadístico Hindú y

contribuyó al campo de las encuestas a gran escala (Escobedo, M. y Salas, J.,

2008). Mahalanobis desarrolló el estadístico D2, conocido como la “Distancia de

Mahalanobis”, así como también proporcionó tres contribuciones notables en

técnicas de muestreo: proyectos piloto, diseño de proyectos óptimos e

interpretación de redes de muestras. Un proyecto piloto suministra información

básica con relación a costos operativos y la incertidumbre de las variables de

dicho proyecto. La precisión del muestreo depende, de acuerdo con este

investigador, de tres aspectos:

a) El tamaño óptimo de las unidades de muestreo.

b) El total de las unidades de muestreo que deben usarse para obtener un

cierto grado de precisión en los estimados finales.

c) La mejor manera de distribuir las unidades de muestreo en los distritos,

regiones o zonas cubiertas por el estudio.

2.7 DISTANCIA DE MAHALANOBIS

En estadística, la Distancia de Mahalanobis (MD, por sus siglas en inglés)

es una medida de distancia introducida por este autor en 1936. Su utilidad radica

en que es una forma de determinar la similitud entre dos variables aleatorias

24

multidimensionales. Su diferencia con la Distancia Euclidiana (ver apartado 2.8)

es que tiene en cuenta la correlación entre las variables aleatorias. (Escobedo,

M. y Salas, J., 2008).

La Distancia de Mahalanobis se puede aplicar en la medición del grado

de salud de una persona si a esta se le realiza un examen médico y se le

clasifica en un rango de saludable a severamente enferma utilizando todos los

datos multidimensionales disponibles. Para el grupo saludable de la población,

se puede asumir que la MD es un número escalar calculado a partir de los datos

y promedios del patrón de distancia del grupo saludable. Afuera de este grupo,

se espera que el patrón cambie completamente, creando una distancia más

grande del punto cero.

La Distancia de Mahalanobis entre dos variables aleatorias con la misma

distribución de probabilidad x→

y y→

con matriz de covarianza C se define como:

2.7.1 Propiedades de la Distancia de Mahalanobis

La Distancia de Mahalanobis cumple las siguientes propiedades, las

cuales son necesarias para ser considerada una distancia:

2.7.1.1 Semipositividad

d a,bb c

≥ 0 8a,b2X y además d a,bb c

= 0 si a = b

1,

T

md x y x y x yC

→ → → → → →−

= − −

(2. 8)

25

Es decir, la distancia entre dos puntos de las mismas coordenadas es

cero, y si tienen coordenadas distintas la distancia es positiva, pero nunca

negativa.

2.7.1.2 Simetricidad

d a, bb c

= d b, ab c

8a, b 2 X

Intuitivamente, la distancia entre a y b es la misma que entre b y a.

2.7.1.3 Desigualdad Triangular

d a, bb c

≤ d a, c` a

+ d c, bb c

8a, b, c 2 X

(Escobedo, M. y Salas, J., 2008)

2.8 DISTANCIA EUCLIDIANA

En matemáticas, la Distancia o Métrica Euclidiana es la distancia

“ordinaria” entre dos puntos que podrían ser medidos con una escala métrica, lo

cual puede ser demostrado con la aplicación repetida del Teorema de Pitágoras.

Al utilizar esta fórmula como una distancia, el Espacio Euclidiano se convierte en

un espacio métrico.

La literatura antigua se refiere a este indicador como Métrico Pitagoreano.

La técnica ha sido redescubierta en numerosas ocasiones a través de la historia,

ya que es una extensión lógica del Teorema de Pitágoras.

La Distancia Euclidiana entre los puntos 1 2( , ,..., )n

P p p p= y

1 2( , ,..., )n

Q q q q= en el espacio euclidiano n se define como:

26

En la distancia euclidiana todos los componentes de una observación x

contribuyen igualmente a la distancia de x del centro. En la Figura 2.3 se

muestra la representación gráfica de esta distancia, donde se puede observar

claramente la distribución de los valores equidistantes del centro, de donde

concluimos que todos los valores afectan por igual a la observación x

mencionada al principio.

Figura 2. 3 Representación gráfica de la distancia euclidiana.

Sin embargo, en estadística se prefiere una distancia que para cada

componente (de variables) tome la variabilidad de esa variable dentro de la

determinación de su distancia del centro. Así, componentes con alta variabilidad

deberían recibir menos peso que componentes con baja variabilidad. Esto puede

ser obtenido reescalando los componentes.

Entonces definimos la distancia entre x y y como

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 2 2

1

...n

n n i i

i

p q p q p q p q=

− + − + + − = −∑ (2. 9)

U =x1

s1

ffffff, …,

xp

sp

fffffffh

j

i

k y V =y

1

s1

ffffff, …,

yp

sp

fffffffh

j

i

k (2. 10)

x

27

donde

y todos los puntos con la misma distancia del origen satisfacen

la cual es la ecuación del elipsoide centrado en el origen con ejes principales

iguales a los ejes coordenados.

En la figura 2.4 que se muestra a continuación, se puede observar la

distribución real de los componentes de una observación x y el grado de

contribución que agregan cada uno de ellos a dicha observación.

Figura 2. 4 Representación gráfica de la distancia de Mahalanobis.

d x, y` a

= dE U, Vb c

=x1@ y

1

s1

fffffffffffffffffffffh

j

i

k

2

+ …+xp@ y

p

sp

fffffffffffffffffffffffh

j

i

k

2vuuuut

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwvuuuuut

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

= x@ y` aT

D@ 1

x@ y` aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (2. 11)

D = diago s12 , …,sp

2b c

(2. 12)

d x, 0b c

= dE U, 0b c

=x1

s1

ffffffh

j

i

k

2

+ …+xp

sp

fffffffh

j

i

k

2vuuuut

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

= xT D@ 1

xqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (2. 13)

x1

s1

ffffffh

j

i

k

2

+ … +xp

sp

fffffffh

j

i

k

2

= c2 (2. 14)

x

28

2.9 ARREGLOS ORTOGONALES DE TAGUCHI

En sistemas multidimensionales el número total de combinaciones a ser

examinadas puede llegar al orden de varios cientos de ellas, lo cual significaría

una tarea imposible o muy compleja de realizar. Para resolver este problema,

Taguchi desarrolló un método para el diseño de experimentos para investigar

cómo diferentes parámetros afectan a la media y la varianza de una

característica de un proceso que define qué tan bien está funcionando dicho

proceso. El diseño experimental propuesto por Taguchi implica la utilización de

matrices ortogonales para organizar los parámetros que afectan el proceso y los

niveles en que deben ser variados. En lugar de tener que probar todas las

combinaciones posibles, como el diseño factorial, el método de Taguchi prueba

pares de combinaciones. Esto permite la recolección de los datos necesarios

para determinar los factores que más afectan a la calidad del producto con una

cantidad mínima de experimentación, ahorrando tiempo y recursos. El método

Taguchi es utilizado preferentemente cuando hay un número intermedio de

variables (3 a 50), pocas interacciones entre las variables y cuando sólo unas

pocas variables contribuyen de manera significativa.

Los arreglos pequeños de las matrices Taguchi se pueden dibujar

manualmente, mientras que los arreglos grandes se pueden derivar de

algoritmos deterministas que generalmente se pueden encontrar en Internet. Los

arreglos se seleccionan en base al número de parámetros (variables) y al

número de niveles (estados), lo que se explica con mayor detalle más adelante.

El análisis de varianza de los datos recolectados a partir del diseño de

experimentos de Taguchi puede ser utilizado para seleccionar los nuevos

valores de los parámetros para optimizar la característica de rendimiento. Los

datos de los arreglos se pueden analizar por medio de un análisis visual,

ANOVA y la prueba exacta de Fisher, o prueba de chi-cuadrada para probar

significancia.

29

Los pasos generales involucrados en el método de Taguchi son los

siguientes:

a) Definir el objetivo del proceso, o más específicamente, un valor objetivo

de una medida de rendimiento del proceso. Esto puede ser una tasa de

flujo, temperatura, etc. El objetivo de un proceso puede ser también un

mínimo o máximo, por ejemplo, la meta puede ser maximizar el caudal de

salida. La desviación de la característica del rendimiento del valor objetivo

se utiliza para definir la función de pérdida para el proceso.

b) Determinar los parámetros de diseño que afectan al proceso. Los

parámetros son variables dentro del proceso que afectan a la medición

del rendimiento, tales como temperaturas, presiones, etc. que pueden ser

fácilmente controladas. El número de niveles en que los parámetros

deben ser variados tienen que estar especificados. Por ejemplo, una

temperatura podría ser variada entre un valor bajo y uno alto de 40°C y

80°C. Al incrementar el número al que se debe variar un parámetro

incrementará el número de experimentos que serán llevados a cabo.

c) Crear matrices ortogonales para el diseño de parámetros indicando el

número y condiciones de cada experimento. La selección de matrices

ortogonales se basa en el número de parámetros y los niveles de

variación para cada parámetro, y se expone a continuación.

d) Realizar los experimentos indicados en la matriz completa para recopilar

datos sobre el efecto en la medición del rendimiento.

e) Completar el análisis de los datos para determinar el efecto de los

diferentes parámetros en la medición del rendimiento.

En la Figura 2.5 se muestra el diagrama del Método Taguchi, en donde se

pueden observar estos y otros posibles pasos, dependiendo de la complejidad

del análisis.

30

Figura 2. 5 Diagrama del método Taguchi.

A continuación se dará una descripción detallada de estos pasos.

2.9.1 Determinación del Arreglo Ortogonal

El efecto de una amplia gama de parámetros diferentes en la

característica de rendimiento en un conjunto condensado de experimentos

Determinar los factores

Identificar las condiciones de prueba

Identificar los factores de control y ruido

Diseñar la matriz experimental (OA)

Definir el proceso de análisis de datos

Realizar el experimento diseñado

Analizar los datos (software)

Fase 1

Fase 2

Fase 3

Predecir el funcionamiento de estos

Determinación de los niveles

óptimos

Análisis de ANOVA y

S/N

Funcionamiento bajo condiciones

opcionales

La interacción del factor relativa

La contribución

del factor individual

Experimento de validación Fase 4

31

puede ser examinado mediante el uso del diseño experimental de la matriz

ortogonal propuesta por Taguchi. Una vez que se establecen los parámetros que

afectan a un proceso que puede ser controlado, es posible encontrar los niveles

en que deben variarse estos parámetros. Para calcular los niveles de una

variable a ser probada se requiere un profundo conocimiento del proceso,

incluyendo los valores mínimo, máximo y el actual del parámetro. Si la diferencia

entre el valor mínimo y máximo de un parámetro es grande, los valores

probados pueden estar muy apartados o más valores pueden ser probados. Si el

rango de un parámetro es pequeño, entonces menos valores pueden ser

probados o los valores probados puedan estar más cercanos. Por ejemplo, si la

temperatura de un reactor se puede variar entre 20°C y 80°C y se sabe que la

temperatura de operación es de 50°C, se podrían elegir tres niveles a 20°C,

50°C y 80°C. También, el costo de la realización de experimentos debe

considerarse al determinar el número de niveles de un parámetro a incluir en el

diseño experimental. En el ejemplo anterior de la temperatura, significaría un

costo prohibitivo hacer 60 niveles en intervalos de 1 grado. Normalmente, el

número de niveles para todos los parámetros en el diseño experimental es el

mismo para ayudar en la selección del arreglo ortogonal adecuado.

Conociendo el número de parámetros y el número de niveles, podemos

seleccionar el arreglo ortogonal apropiado. Al usar la tabla de selección de

arreglos, se puede encontrar el nombre del arreglo adecuado mirando en la

columna y el renglón correspondientes al número de parámetros y número de

niveles. Una vez que el nombre se ha determinado (el subíndice representa el

número de experimentos que debe ser completado), el arreglo predefinido puede

ser encontrado. Estos arreglos fueron creados usando un algoritmo desarrollado

por Taguchi, y permite una prueba igual para cada variable y ajuste. Por

ejemplo, si tenemos tres parámetros (voltaje, temperatura, presión) y dos niveles

(alto, bajo), se puede observar que el arreglo adecuado es L4 .

32

Tabla 2. 1 Selector de arreglo

2.9.2 Notas para la Selección y el Uso de Arreglos Ortogonales

Nota 1 El selector de arreglo asume que cada parámetro tiene el mismo número

de niveles. A veces este no es el caso. Generalmente, se toma el valor más

alto o se divide la diferencia.

Nota 2 Si el arreglo seleccionado basado en el número de parámetros y niveles

incluye más parámetros que los utilizados en el diseño experimental, se ignoran

las columnas del parámetro adicional. Por ejemplo, si un proceso tiene 8

parámetros con 2 niveles cada uno, el arreglo L12 deberá ser seleccionado de

acuerdo con el selector de arreglo. Como puede verse a continuación, el arreglo

L12 tiene columnas para once parámetros (P1-P11). Las tres columnas de la

derecha deben ser ignoradas.

Tabla 2. 2 Ejemplo de arreglo ortogonal L12.

33

2.9.3 El Análisis de Datos Experimentales

Una vez que el diseño experimental se ha determinado y los ensayos se

han llevado a cabo, la característica de rendimiento medida de cada ensayo se

puede utilizar para analizar el efecto relativo de los diferentes parámetros. Para

demostrar el procedimiento de análisis de datos, usaremos el arreglo L9

siguiente, pero los principios pueden ser transferidos a cualquier tipo de arreglo.

En este arreglo, se puede ver que se puede utilizar cualquier número de

observaciones repetidas (ensayos). T ij representa a los diferentes ensayos con

i representando el número de experimento y j siendo el número de la prueba.

Cabe señalar que el método de Taguchi permite la utilización de una matriz de

ruido incluyendo factores externos que afectan al proceso en lugar de la

repetición de ensayos, pero esto queda fuera del alcance de este estudio.

Tabla 2. 3 Análisis de datos experimentales. Número de

Experimento P1 P2 P3 P4 T1 T2 … TN

1 1 1 1 1 T1,1 T1,2 … T1,N

2 1 2 2 2 T2,1 T2,2 … T2,N

3 1 3 3 3 T3,1 T3,2 … T3,N

4 2 1 2 3 T4,1 T4,2 … T4,N

5 2 2 3 1 T5,1 T5,2 … T5,N

6 2 3 1 2 T6,1 T6,2 … T6,N

7 3 1 3 2 T7,1 T7,2 … T7,N

8 3 2 1 3 T8,1 T8,2 … T8,N

9 3 3 2 1 T9,1 T9,2 … T9,N

Para determinar el efecto que cada variable tiene sobre la salida, para

cada experimento realizado debemos calcular la razón señal a ruido o número

S/N. El cálculo de S/N para el primer experimento en el arreglo anterior se

muestra a continuación para el caso del valor objetivo específico de la

34

característica de rendimiento. En las ecuaciones siguientes, i

y es el valor medio

y i

s es la varianza. El valor de la característica de rendimiento de un

determinado experimento está dado por i

y .

donde:

i = número de experimento

u = número de prueba

in = número de pruebas por experimento i

Para el caso de minimización de la característica, se debe calcular la siguiente

definición de la razón S/N:

Para el caso de maximización de la característica, se debe calcular la siguiente

definición de la razón S/N:

2__

2/ 10 log i

i

i

yS N

s

=

(2. 15)

__

,

1

1 in

i ui

u

y yn =

= ∑

(2. 16)

__2

,

1

1

1

in

i i u i

ui

s y yn =

= −

− ∑ (2. 17)

2

1

/ 10 login

ui

u i

yS N

n=

= −

∑ (2. 18)

21

1 1/ 10log

in

i

ui u

S Nn y=

= −

∑ (2. 19)

35

Después de calcular la razón S/N para cada experimento, el valor promedio de

S/N se calcula para cada factor y nivel. Esto se hace como se muestra a

continuación para el Parámetro 3 (P3) en el arreglo:

Tabla 2. 4 Razón señal a ruido. Número de

Experimento P1 P2 P3 P4 SN

1 1 1 1 1 SN1

2 1 2 2 2 SN2

3 1 3 3 3 SN3

4 2 1 2 3 SN4

5 2 2 3 1 SN5

6 2 3 1 2 SN6

7 3 1 3 2 SN7

8 3 2 1 3 SN8

9 3 3 2 1 SN9

SNP3,1 =SN1 + SN6 + SN8

3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff SNP3,2 =

SN2 + SN4 + SN9

3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

SNP3,3 =SN3 + SN5 + SN7

3ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Una vez que estos valores de la razón S/N son calculados para cada factor y

nivel, son tabuladas como se muestra a continuación y el rango R (R = S/N alta

– S/N baja) de la S/N para cada parámetro se calcula y se registra en la tabla.

Cuanto mayor sea el valor de R para un parámetro, es más grande el efecto que

tiene la variable en el proceso. Esto se debe a que el mismo cambio en la señal

provoca un efecto mayor sobre la variable de salida que se mide.

36

Tabla 2. 5 Efectos de la razón señal a ruido.

Nivel P1 P2 P3 P4

1 SNP1,1 SNP2,1 SNP3,1 SNP4,1



∆ RP1 RP2 RP3 RP4

Rango … … … …

2.9.4 Ventajas

Una ventaja del método Taguchi es que enfatiza en un valor de la

característica de rendimiento medio cercano al valor objetivo, más que en un

valor dentro de ciertos límites de especificación, lo que mejora la calidad del

producto. Además, el método para el diseño experimental de Taguchi es sencillo

y fácil de aplicar en muchas situaciones de ingeniería, por lo que es una

herramienta potente pero simple. Se puede utilizar para reducir rápidamente el

alcance de un proyecto de investigación o para identificar los problemas en un

proceso de fabricación a partir de los datos ya existentes. Así mismo, el método

de Taguchi permite el análisis de diferentes parámetros sin una cantidad

excesivamente alta de experimentación. Por ejemplo, un proceso con 8

variables, cada una con 3 estados, requeriría 6561 (38) experimentos para

probar todas las variables. Sin embargo, utilizando los arreglos ortogonales de

Taguchi, sólo son necesarios 18 experimentos, o menos del 0.3% del número

original de experimentos. De esta manera, permite la identificación de los

parámetros claves que tienen mayor efecto sobre el valor de la característica de

rendimiento de manera que se puede realizar la experimentación en estos

parámetros, así como ignorar los parámetros que tienen poco efecto. (Fraley, S.,

et al, 2006)

37

2.10 EL SISTEMA MAHALANOBIS-TAGUCHI (MTS)

El MTS es propuesto como un método de diagnóstico y pronóstico

usando datos multivariados. En este enfoque, estos datos multivariados deben

estar disponibles en un grupo “normal” o “saludable” de datos y un número de

datos “anormales” que pueden algunas veces ser clasificados en grupos

basados en los niveles de severidad de las anormalidades. En el MTS, primero

debe confirmarse que los tamaños relativos de las Distancias de Mahalanobis

(MD) basados en las variables estandarizadas del grupo saludable pueden

discriminar entre datos normales y anormales. Una vez que se establece este

hecho, se reduce el número de variables usadas, si es posible, usando arreglos

ortogonales (OA) y razones de señal a ruido (S/N) para evaluar la contribución

de cada variable. Cada renglón del OA determina un subgrupo de las variables

originales. El S/N recomendado mide la habilidad de los MD correspondientes a

los datos anormales y calculados usando este subgrupo de variables, para

reflejar una medición estimada o preespecificada de la severidad de las

anormalidades. Sólo son retenidas aquellas variables con efectos que muestran

un incremento en la razón S/N promedio. La escala MD usando estas variables

tiene un número de propósitos establecidos, incluyendo diagnóstico y pronóstico.

(Woodall, W., et al, 2003).

Tal como se mencionó anteriormente, el MTS es una técnica de análisis

de patrones que se usa para hacer predicciones a través de una escala

multivariada de medición. Generalmente, los patrones no son sencillos de

representar en términos cuantitativos y son muy sensibles a las correlaciones

entre las variables. La MD mide las distancias entre los puntos en espacios

multidimensionales y ha sido bastante utilizada en áreas muy diferentes como

aplicaciones espectrográficas y en estudios relacionados con la agricultura. Se

ha comprobado que esta distancia es superior a otras distancias

multidimensionales como la distancia Euclidiana debido a que toma en

38

consideración la correlación que existe entre las variables. Esta es la razón por

la cual se usa la MD para representar diferencias entre los patrones individuales

en términos cuantitativos. (Taguchi, G., et al, 2004). El MTS incorpora los tres

métodos estratégicos del diseño de un sistema de información. La primera

estrategia introduce sólo una medida de escala en cualquier espacio

multidimensional, usando la MD a cualquier subconjunto del espacio

seleccionado como uniforme y calcula la distancia de la norma con relación a la

distancia de otros miembros. La segunda estrategia consiste en utilizar la

relación señal a ruido (S/N) de la distancia, con relación al número del espacio

conocido como valor real de la clasificación real. La tercera estrategia consiste

en optimizar todos los factores de la información para mejorar la relación S/N

con un arreglo ortogonal. El MTS es una medida o herramienta de evaluación

que se usa para reconocer un patrón a partir de datos multidimensionales. En el

MTS, la calidad de las mediciones se evalúa con la relación S/N (Taguchi, S.,

2000).

Taguchi, G. y Jugulum, R., (2002) dividen al MTS en cuatro etapas:

2.10.1 Etapa I: Construcción de una Escala de Medición

Se identifican las variables que definen la “salud” de un artículo. Los datos

se recolectan en el grupo normal o saludable. Como se describe más adelante,

las variables se estandarizan y se calculan los MD para los artículos normales.

Estos valores definen el Espacio Mahalanobis (MS) usado como un marco de

referencia para la escala de medición del MTS. Taguchi, G. y Jugulum, R.,

(2002) establecieron que los valores de los MD del grupo saludable tienen un

valor promedio unitario. Por esta razón, también se refirieron al Espacio de

Mahalanobis como el espacio unitario.

39

2.10.2 Etapa II: Validación de la Escala de Medición

Se seleccionan los artículos anormales. No existe incertidumbre

incorporada al MTS debido al estado de cada artículo usado para determinar la

escala de medición del MTS. Como sucede en los análisis discriminantes, se

asume que de cada artículo se tiene la información cierta del estado normal o

anormal. Los MD de los datos anormales se calculan después de estandarizar

estas variables usando las medias y las desviaciones estándar del grupo con

datos normales o saludables. De acuerdo con el MTS, la escala MS resultante

es buena si los valores obtenidos de los MD del grupo anormal son mayores que

los del grupo normal.

2.10.3 Etapa III: Identificar las Variables Útiles (Etapa de Desarrollo)

Para identificar el conjunto de variables más útiles se utilizan los arreglos

ortogonales (OA) y las razones de señal a ruido (S/N). Un OA es una matriz de

diseño que contiene los niveles de varios factores en las corridas de un

experimento para investigar los efectos de las variables en una respuesta de

interés. Cada factor del experimento es asignado a una columna del OA, y los

renglones de la matriz corresponden a las corridas experimentales. El MTS tiene

p factores en el experimento, cada uno de ellos con dos niveles. El nivel de un

factor significa la inclusión o exclusión de una variable en el análisis MTS. Los

factores p son asignados a las primeras p columnas del OA, ignorando las

demás columnas. Por lo tanto el OA seleccionado debe tener inicialmente por lo

menos p columnas. Cada renglón del OA determina cuáles variables se incluyen

en cualquier experimento dado. Para cada una de estas corridas, los valores MD

son calculados para los artículos anormales como se indica en la Etapa II, pero

usando sólo las variables indicadas. Estos valores MD se usan entonces para

calcular el valor de una razón S/N, lo que se convierte en la respuesta de la

40

corrida. MTS recomienda utilizar la razón S/N mayor es mejor, ya que esta nos

permite separar mas fácilmente los valores de MD anormales de los normales.

2.10.4 Etapa IV: Diagnóstico Futuro con las Variables Útiles.

Esta etapa final involucra al diagnóstico futuro y al pronóstico con la

escala MTS basados en las variables útiles. Dependiendo del valor de MD, se

determina si se llevan a cabo acciones correctivas o de otro tipo. Se utiliza una

función de pérdida cuadrática para analizar los valores de los MD, de tal manera

que las pérdidas debidas a los dos tipos de errores de clasificación están en

cierta forma balanceadas. (Woodall, W., et al, 2003).

2.11 MODELO LOGIT PARA DATOS BINARIOS

En algunas ocasiones se tiene el interés en conocer la influencia que un

conjunto de variables tiene sobre una variable de respuesta. Cuando esta

variable es numérica, se tiene disponible una herramienta estadística que es la

regresión múltiple. Pero, ¿qué se puede hacer cuando la respuesta es binaria o

dicotómica? Por ejemplo, ¿qué se puede hacer si la respuesta observada es el

desarrollo o no de una enfermedad?

Este tipo de situaciones aparecen de manera natural en las

investigaciones médicas. A continuación se cita un ejemplo mencionado por

Barón, F. y Téllez, F., (2004):

Se cree que fumar es un factor de riesgo para la muerte fetal tardía. Esto

se podría formular de varias maneras:

41

1) Se puede considerar una variable independiente que es “la madre fuma”

(sí o no) y una variable de respuesta o dependiente que es “el feto muere”

(sí o no). Aquí lo interesante es evaluar cuánto aumenta el riesgo de que

se produzca el evento de interés (el feto muere) cuando está presente el

factor de riesgo (la madre fuma).

2) Otra aproximación podría ser considerar como variable numérica el

“número promedio de cigarrillos que fuma la madre”. En este caso podría

ser de suma importancia conocer cuánto aumenta el riesgo de muerte del

feto por cada cigarrillo adicional que fuma la madre diariamente.

3) Si el aumento del riesgo no parece tener una tendencia constante con el

número de cigarrillos, sino que mas bien se puede dividir a las madres en

tres categorías (“no fuma”, “fuma poco” y “fuma mucho”), puede ser

interesante evaluar cómo aumenta el riesgo en las dos últimas categorías

con respecto a las madres del primer grupo, considerado el grupo de

control o de referencia.

Para resolver este tipo de cuestionamientos, el modelo Logit es muy

adecuado, siempre y cuando se tomen en cuenta dentro del estudio todas las

variables importantes que nos ayuden a explicar las variables de respuesta.

Antes de pasar al modelo Logit, es importante definir algunos conceptos

que ayuden a entender el tema de mejor manera. El primero de ellos es la

Probabilidad o Riesgo, el cual se define como el número de casos en que el

evento ocurre dividido por el total de casos. Como ejemplo se puede mencionar

que en 1 de cada 200 nacimientos ocurre un parto de gemelos, por lo tanto la

probabilidad o riesgo de que al elegir un parto al azar éste dé lugar a gemelos es

de 1R = 1/200. También se puede mencionar la Oportunidad o Probabilidad (del

inglés Odds), la cual es el número de casos en los que el evento ocurre dividido

42

por el número de casos que no ocurre. Tomando el ejemplo anterior, 1 parto es

de gemelos y 199 no lo son, por lo que la oportunidad 1O = 1/199. En realidad

ambos conceptos indican lo mismo, pero de una manera diferente. A

continuación, se introduce un factor de riesgo en el ejemplo, y así se tiene que

entre las mujeres que han tomado ácido fólico para disminuir la probabilidad de

espina bífida en sus hijos ocurrió algo inesperado: 3 de cada 200 partos

correspondían a gemelos. Esto corresponde a un riesgo 2R = 3/200 o a una

oportunidad 2O = 3/197. Esto nos lleva al siguiente cuestionamiento, ¿cómo se

puede expresar numéricamente el aumento del riesgo de embarazo de

gemelos? Existen dos maneras. Una de ellas muy fácil de entender, y la otra

aunque es un poco más complicada tiene mejores propiedades matemáticas.

Primero se puede mencionar al Riesgo Relativo (RR), que es el más simple. Se

observa claramente que el riesgo aumenta a 3 que es el valor obtenido del

cociente entre el riesgo de los embarazos expuestos al ácido fólico y los que no

han sido expuestos, 2 1/RR R R= = (3/200)/(1/200) = 3. De la misma forma, se

presenta el Odds Ratio (OR), el cual rara vez se traduce y se encuentra

regularmente en la literatura con el término original en inglés, sin embargo, lo

podríamos definir como Relación de Probabilidad. Este es muy similar al RR,

pero su cálculo involucra oportunidades y se define como el cociente entre la

oportunidad de los embarazos expuestos al ácido fólico y los que no han sido

expuestos, 2 1/OR O O= = (3/197)/(1/199) = 3.03. Es evidente que no es tan

sencillo interpretar al OR como lo es el RR, aunque en el ejemplo mencionado

sus valores son muy similares. Esta similitud de valores se debe a que la

probabilidad del evento es muy cercana a cero, sin embargo, cuando esta

probabilidad no es cercana a cero, OR y RR no son iguales y se debe tener

cuidado en no confundirlas. Lo anterior puede lograrse si se tiene siempre en

mente que un valor de OR = 1 se interpreta como que no existe tal factor de

riesgo, ya que la oportunidad para los expuestos es igual que para los no

expuestos; también se debe considerar que en el estudio que se está realizando

43

se desea localizar factores dañinos, lo que corresponde a buscar valores de OR

mayores que uno. Esto se entiende como que se ha localizado un factor de

riesgo ya que es mayor la oportunidad de que ocurra el evento en los casos

expuestos al factor que en los que no fueron expuestos.

Si se tiene una variable que describe una respuesta en forma de dos

posibles eventos (por ejemplo: vivir o no, enfermar o no), y se quiere estudiar el

efecto que otras variables independientes tienen sobre ella como fumar o la

edad, el modelo Logit resulta de una gran utilidad para:

1) Dados los valores de las variables independientes, estimar la probabilidad

de que se presente el evento de interés (por ejemplo, enfermar).

2) Evaluar la influencia que cada variable independiente tiene sobre la

respuesta, lo cual se realiza en forma de OR. Un OR mayor que uno

indica aumento en la probabilidad del evento y un OR menor que uno

implica disminución.

Para construir un modelo Logit se requieren las siguientes condiciones:

a) Un conjunto de variables independientes o predictoras, de manera similar

a las que se utilizan en la regresión lineal múltiple.

b) Una variable de respuesta dicotómica. Aquí es donde se marca la

diferencia con el modelo de regresión múltiple, donde la variable de

respuesta es numérica (Barón, F. y Téllez, F., 2004).

El modelo Logit fue introducido por Berkson en 1944, el nombre fue

utilizado como una analogía al muy similar modelo probit desarrollado en 1934.

En 1949, Barnard introdujo el término comúnmente usado log-odds; los log-odds

de un evento es el logit de la probabilidad del evento. El modelo Logit se inscribe

44

dentro de llamadas regresiones sobre variables “dummy” o dicotómicas (también

identificadas como binarias). Una variable "dummy" o dicotómica es una variable

numérica usada en el análisis de regresión lineal para representar los subgrupos

de la muestra en su estudio. En el diseño de la investigación, una variable de

este tipo se utiliza a menudo para distinguir a diversos grupos del tratamiento.

En el caso más simple, toma valores de 0 y 1. Este modelo se utiliza cuando se

tiene un número de alternativas igual a dos y ambas son excluyentes entre sí.

Las variables dicotómicas son útiles porque nos permiten utilizar una sola

ecuación de la regresión para representar a grupos múltiples. Esto significa que

no necesitamos poner los modelos separados de la ecuación en escrito para

cada subgrupo. Las variables dicotómicas actúan como los interruptores que

transforman varios parámetros en SI/NO en una ecuación. Otra ventaja de una

variable “dummy” es que puede tratarse en clases (niveles o intervalos) aunque

estemos analizando variables nominales. (González, J., 2002).

Figura 2. 6 Representación del Modelo Logit

El modelo Logit, se define a partir de la siguiente función de distribución:

1( 1/ )

1 ii i Z

P Y Xe

−= =

+ (2. 20)

45

donde

0 1 1iZ X mβ β= + +

y las variables se definen de la siguiente forma:

1i

Y = Bueno

0i

Y = Malo

iX Ingreso de cliente

( 1/ )i i

P Y X= Probabilidad de ser bueno, explicado por la variable i

X

iZ Exponente

0β Intercepto de la curva (Parámetro a estimar)

1β Pendiente de la curva (Parámetro a estimar)

m Error

1,2,3, ,i n= � Índice de diferenciación de variables

La linealización de la función de distribución se realiza mediante la

definición de la Logit que se denota por i

L , tomando el logaritmo de la razón de

las probabilidades complementarias:

( )0 1 1

0 1 1ln ln1

i iX Xii i

i

Ye X X

Y

β β β β β β+ + + = = + + +

−

�

� (2. 21)

46

Donde i

Y es la probabilidad o riesgo de que ocurra el evento de interés, las

variables independientes están representadas con la letra X y los coeficientes

asociados a cada variable con la letra β .

Medina, E., (2007) distingue cuatro etapas para construir un Modelo Logit:

1) Especificación, que es la definición de la variable endógena en forma

explicativa y funcional.

2) Estimación, referida al cálculo de los parámetros.

3) Validación, la que se hace en forma individual para determinar cuáles

variables son significativas estadísticamente, y la realizada en conjunto

para ver si el modelo es aceptable.

4) Utilización, basada en la predicción y en la interpretación de los

parámetros.

Una vez conocida la distribución de un conjunto de individuos entre dos o

más grupos, se busca entender la naturaleza de estas diferencias y a su vez la

búsqueda de una regla de comportamiento que permita la clasificación de

nuevos individuos para los que se desconoce su pertenencia a un grupo. A

través del modelo Logit se obtiene la estimación de la probabilidad de que un

nuevo individuo pertenezca a un grupo o a otro, a la vez que, por tratarse de un

análisis de regresión, también permite identificar las variables más importantes

que explican las diferencias entre grupos. Al centrarse en el caso más sencillo

que corresponde al modelo Logit dicotómico, las principales características que

presenta este modelo se resumen en:

1) Variable endógena binaria, que es la que identifica la pertenencia del

individuo a cada uno de los grupos analizados. Se califica con un 1 al

individuo que pertenece al grupo cuya probabilidad de pertenencia será

estimada por el modelo; así mismo, se califica con un 0 al individuo que

no pertenece al grupo expuesto al análisis.

47

2) Variables explicativas son aquellas que sirven para discriminar entre los

grupos y que determinan la pertenencia de un elemento a un grupo u

otro.

3) Resultado del análisis es un valor numérico que indica la probabilidad de

pertenencia de un elemento al grupo que se le asignó el valor 1, es decir,

el grupo objeto del análisis.

La interpretación del coeficiente estimado debe realizarse como se indica

a continuación:

1) El signo del coeficiente indica la dirección en que se mueve la

probabilidad al aumentar la variable explicativa correspondiente.

2) La cuantía del parámetro indica el incremento en ln1

i

i

Y

Y

− al incrementar

en una unidad la variable explicativa cuando el resto de las variables

permanecen constantes.

3) En este sentido, el valor 0 1 1 i iX Xe

β β β+ + +� mide el efecto que tiene el

incremento en una unidad de la variable explicativa sobre 1

i

i

Y

Y−, el cual se

conoce como OR y que es el que cuantifica el número de veces que es

más probable que ocurra el acontecimiento asociado con 1i

Y = que el

correspondiente a 0i

Y = , tal como se mencionó anteriormente.

4) El concepto de OR conduce al cálculo del cociente entre oportunidades o

probabilidades que permite comparar el número de veces que es más

probable que ocurra la alternativa 1i

Y = respecto a dos situaciones.

48

3. MATERIALES Y MÉTODOS

Este estudio hace uso de la base de datos de cáncer de seno recolectada

en la Universidad de Wisconsin por el Dr. William H. Wolberg en 1991, la cual se

muestra en el Anexo 1. La meta es predecir si una muestra tomada del seno de

una paciente es maligna o benigna. Existe una respuesta binaria (dos clases),

nueve atributos numéricos y un total de 699 observaciones. Dieciséis de estas

observaciones contienen un atributo numérico faltante, por lo que son

descartadas, lo que nos deja un total de 683 observaciones disponibles para

realizar el estudio.

La siguiente tabla muestra las variables a analizar: Tabla 3. 1 Tipo y nombre de los atributos de la base de datos del cáncer

de seno recolectada en la Universidad de Wisconsin. Atributo Dominio

A. Espesor del tumor 1 - 10 B. Uniformidad del tamaño de la célula 1 - 10 C. Uniformidad de la forma de la célula 1 - 10 D. Adhesión marginal 1 - 10 E. Tamaño de célula epitelial simple 1 - 10 F. Núcleo descubierto 1 - 10 G. Cromatina blanda 1 - 10 H. Nucleolo normal 1 - 10 I. Mitosis 1 - 10 Clase 2 para benigno 4 para maligno

Utilizando un programa generador de números aleatorios con distribución

uniforme, se van a seleccionar cinco muestras conteniendo el 10%, 20%, 30%,

40% y 50% de las observaciones de la base de datos disponible, esto es, 68,

136, 204, 272 y 340 conjuntos de datos respectivamente. Cada una de estas

49

muestras será analizada a través de las dos metodologías involucradas en el

estudio con el firme objetivo de llegar a la demostración de las hipótesis

propuestas. Por medio del uso de los arreglos ortogonales de Taguchi se

obtienen las combinaciones de variables útiles. Aquí se consideran sólo dos

niveles para las variables, siendo estos la presencia o la ausencia de la variable

en una combinación. Usualmente, “1” representa el nivel de presencia y “2”

representa el nivel de ausencia. En este caso se utiliza un arreglo L12 (211)

quedando dos columnas libres del mismo porque sólo tenemos nueve factores,

el que nos proporciona la tabla de combinaciones siguiente:

Tabla 3. 2 Arreglos ortogonales propuestos para análisis de las variables.

A B C D E F G H I Combinación de Variables

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABCDEFGHI

1 1 1 1 1 2 2 2 2 ABCDE

1 1 2 2 2 1 1 1 2 ABFGH

1 2 1 2 2 1 2 2 1 ACFI

1 2 2 1 2 2 1 2 1 ADGI

1 2 2 2 1 2 2 1 2 AEH

2 1 2 2 1 1 2 2 1 BEFI

2 1 2 1 2 2 2 1 1 BDHI

2 1 1 2 2 2 1 2 2 BCG

2 2 2 1 1 1 1 2 2 DEFG

2 2 1 2 1 2 1 1 1 CEGHI

2 2 1 1 2 1 2 1 2 CDFH

En la Figura 3.1 que se muestra en la página siguiente se indica el

procedimiento general del MTS a aplicar.

50

Figura 3. 1 Procedimiento general del MTS.

A continuación se describen las metodologías que serán utilizadas en

este estudio:

3.1 SISTEMA MAHALANOBIS-TAGUCHI (MTS)

El primer paso en MTS es construir una escala de medición usando el

espacio de Mahalanobis (MS) como referencia. Para construir esta escala, se

necesita recolectar el conjunto de datos. Una vez que tengamos el grupo de

observaciones que se van a analizar, se separan los datos con resultado

maligno de los datos con resultado benigno.

Primero, se estandarizan los datos con resultado benigno utilizando la ecuación

3.1 (Teorema del límite central).

Base de datos de cáncer de seno de la Universidad de Wisconsin (683 observaciones)

Muestra seleccionada

aleatoriamente

Espacio de Mahalanobis (MS)

Distancia de Mahalanobis (MD) Calcular precisión

51

donde:

m es la media del atributo

σ es la desviación estándar del atributo

iZ es la variable estandarizada, y

iX es el valor de la observación normal

y se obtiene la matriz de correlación; enseguida se observan los valores en ella

para ver si las variables presentan correlación entre sí, cuanto más cercano sea

el valor a cero, menor será la correlación entre ellas.

Enseguida se obtiene la matriz de correlación inversa; así mismo, a partir

de la matriz original obtenemos la matriz de vectores estandarizados. Una vez

que lleguemos a este punto, se procede a calcular la Distancia de Mahalanobis

(MD) para el conjunto de datos benignos. El valor promedio de estas distancias

es igual o muy cercano o uno, lo que hace que el MS sea también llamado el

espacio unitario.

El segundo paso es validar la escala de medición. Esto se realiza

tomando el conjunto de datos malignos y, junto con la matriz de correlación

inversa, la desviación estándar y la media del conjunto de datos benignos se

calculan los MD de todo el conjunto de datos de esta segunda muestra. Para

tener una idea más clara del comportamiento de los MD, debemos realizar una

gráfica que nos permita visualizarlo de mejor manera. Es clara la diferencia entre

los MD de los datos benignos (los cuales son pequeños) y los de los datos

malignos, los cuales son marcadamente superiores; esta diferencia nos indica

indiscutiblemente que la escala de medición utilizada es correcta.

Finalmente se toma el grupo de datos malignos y, por medio del uso de

OA y de S/N (se usa el tipo mayor-mejor debido a que no son conocidos los

niveles de severidad de las condiciones malignas), se prueba la importancia de

ii

X mZ

σ

−= (3. 1)

52

cada atributo. Se procede a realizar las sumas aritméticas de las señales de

ruido para cada renglón y se obtienen las diferencias de las señales de ruido de

ambos grupos de variables para identificar las variables más significativas o

útiles, las cuales son aquellas que presentan mayores valores en dichas

diferencias. De acuerdo con Taguchi, G., et al, (2004), la precisión que se

obtiene con las variables útiles es mejor que la que nos proporciona el conjunto

de variables originales. Aunque en algunos casos este enunciado no se cumple,

aún así es deseable ya que nos significa una reducción en los costos de

inspección o medición al analizar menos variables.

La metodología del MTS se repite para cada uno de los grupos de

observaciones.

3.2 MODELO LOGIT PARA DATOS BINARIOS

Este modelo se usa para desarrollar regresión logística en una variable de

respuesta binaria. Una variable binaria tiene solo dos valores posibles, como la

presencia o ausencia de una enfermedad particular. Un modelo con uno o más

predictores se puede ajustar usando un algoritmo de mínimos cuadrados

ponderados iterativos para obtener los estimados de probabilidad máximos de

los parámetros.

La regresión logit para datos binarios ha sido también usada para

clarificar observaciones en una de dos categorías, y puede dar en algunos casos

errores de clasificación más pequeños que los análisis discriminantes.

Este modelo está definido por la ecuación 2.21, tal como se mencionó

anteriormente.

53

3.2.1 Características de la ecuación estimada

Probabilidad del evento.- También llamada probabilidad predictiva o i

Y . Si las

respuestas binarias son 0 (falla) y 1 (éxito), i

Y es la probabilidad de que el factor

o patrón covariado tenga una respuesta de 1. La fórmula es:

Coeficientes.- Con una respuesta binaria, el coeficiente estimado para cada

predictor representa el cambio en el logaritmo de P(éxito)/P(falla) para cada

unidad cambiada en el predictor correspondiente mientras los otros predictores

se mantienen constantes.

Relación de probabilidades.- Es muy útil ya que ayuda a interpretar la relación

entre un predictor y su respuesta. Esta relación se representa por OR y sirve

como la base para la comparación. Si la OR es igual a 1 indica que no hay una

asociación entre la respuesta y el predictor. Si la OR es mayor que 1, las

probabilidades de éxito son mayores para el nivel de referencia del factor (o para

niveles más altos de un predictor continuo). Por el contrario, si la OR es menor

que 1, las probabilidades de éxito son menores para el nivel de referencia del

factor (o para niveles más altos de un predictor continuo). Valores muy alejados

de 1 representan grados de asociación más fuertes.

Para el modelo logit para datos binarios con un factor, las probabilidades de

éxito son:

0 1 1

0 1 1

( )

( )1

i i

i i

X X

i X X

eY

e

β β β

β β β

+ + +

+ + +=

+

�

�

(3. 2)

0 1 1

1

Xi

i

Ye

Y

β β+=−

(3. 3)

54

La relación exponencial proporciona una interpretación para β : las

probabilidades se incrementan multiplicativamente en 1eβ por cada unidad de

incremento en X . La relación de probabilidades es equivalente a 1eβ .

Por ejemplo, si 1β es igual a 0.75, la relación de probabilidad es 0.75e , lo cual es

2.11. Esto indica que existe un incremento de 111% en las probabilidades de

éxito por cada unidad incrementada en X .

55

4. TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE LOS DATOS

Debido a la gran cantidad de datos con que se cuenta en cada muestreo,

no es práctico incluir todo el análisis de datos que se va a realizar en el estudio;

sin embargo, se incluye como ejemplo el caso con el menor número de datos

que se va a analizar, es decir, el que contiene 68 muestras (34 con resultado

benigno y 34 con resultado maligno) y con la combinación de variables

ABCDEFGHI. A continuación se muestra la Tabla 4.1 con los datos a analizar,

los cuales se van a someter a las dos metodologías indicadas en el estudio:

Tabla 4. 1 Datos grupo con resultados benignos 1. A B C D E F G H I

2 1 1 1 2 1 1 1 5

1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 1 1 2 2 7 1 1

1 1 1 1 2 1 2 1 1

4 1 1 1 2 1 2 1 1

3 1 1 1 2 1 3 1 1

5 1 1 1 1 1 3 1 1

1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 1 1 1 2 1 2 1 1

5 7 7 1 5 8 3 4 1

8 2 1 1 5 1 1 1 1

1 1 1 1 2 1 3 1 1

1 1 1 1 2 1 1 1 1

2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1

4 3 2 1 3 1 2 1 1

3 3 2 2 3 1 1 2 3

3 1 1 1 2 4 1 1 1

5 2 2 2 2 2 3 2 2

5 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 3 2 2 1 2 1 1

4 4 2 1 2 5 2 1 2

3 1 2 1 2 1 3 1 1

56

Tabla 4.1 (Continuación) Datos grupo con resultados benignos 1.

A B C D E F G H I

1 1 1 1 2 1 2 1 1

5 1 2 1 2 1 1 1 1

4 1 1 2 2 1 1 1 1

7 1 2 3 2 1 2 1 1

4 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1

2 1 1 1 2 1 1 1 1

5 1 1 1 2 1 3 2 1

1 1 1 1 2 1 1 1 1

1 1 1 1 2 1 1 1 8

2 1 1 1 2 1 1 1 1

Para realizar el análisis por medio del MTS, primero se estandarizan los

datos, para lo cual se utiliza Minitab, a continuación se muestran los resultados.

Tabla 4. 2 Datos estandarizados grupo con resultados benignos 1. A B C D E F G H I

-0.5750 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 2.5251

-1.1181 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.0247 -0.3065 0.3788

-0.0320 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 0.3675 4.2156 -0.3065 -0.3367

-1.1181 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.0247 -0.3065 -0.3367 0.5112 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.0247 -0.3065 -0.3367

-0.0320 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.8629 -0.3065 -0.3367

1.0542 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -1.5664 -0.3267 0.8629 -0.3065 -0.3367

-1.1181 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.0247 -0.3065 -0.3367

-0.0320 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.0247 -0.3065 -0.3367

1.0542 4.5624 4.8465 -0.3848 3.6294 4.5329 0.8629 4.9036 -0.3367 2.6835 0.4368 -0.4406 -0.3848 3.6294 -0.3267 -0.8135 -0.3065 -0.3367

-1.1181 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.8629 -0.3065 -0.3367

-1.1181 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 -0.3367

-0.5750 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 -0.3367

-0.5750 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.8629 -0.3065 -0.3367

0.5112 1.2620 0.4406 -0.3848 1.0315 -0.3267 0.0247 -0.3065 -0.3367 -0.0320 1.2620 0.4406 1.7956 1.0315 -0.3267 -0.8135 1.4302 1.0942

57

Tabla 4.2 (Continuación) Datos estandarizados grupo con resultados

benignos 1.

A B C D E F G H I

-0.0320 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 1.7560 -0.8135 -0.3065 -0.3367

1.0542 0.4368 0.4406 1.7956 -0.2674 0.3675 0.8629 1.4302 0.3788 1.0542 0.4368 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 -0.3367

-0.5750 -0.3883 1.3218 1.7956 -0.2674 -0.3267 0.0247 -0.3065 -0.3367

0.5112 2.0871 0.4406 -0.3848 -0.2674 2.4502 0.0247 -0.3065 0.3788

-0.0320 -0.3883 0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.8629 -0.3065 -0.3367

-1.1181 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.0247 -0.3065 -0.3367

1.0542 -0.3883 0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 -0.3367 0.5112 -0.3883 -0.4406 1.7956 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 -0.3367

2.1404 -0.3883 0.4406 3.9761 -0.2674 -0.3267 0.0247 -0.3065 -0.3367

0.5112 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 -0.3367

-1.1181 -0.3883 1.3218 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.0247 -0.3065 -0.3367

-0.5750 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 -0.3367

1.0542 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 0.8629 1.4302 -0.3367 -1.1181 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 -0.3367

-1.1181 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 4.6714

-0.5750 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 -0.3367

Se calcula la matriz de correlación para estos datos y se obtienen los

siguientes valores:

Tabla 4. 3 Matriz de correlación grupo con resultados benignos 1. A B C D E F G H I

A 1.0000 0.34023 0.2175 0.3462 0.4187 0.2177 0.0560 0.2757 -0.2112

B 0.3403 1.0000 0.7932 0.0096 0.7050 0.8240 0.0727 0.7893 0.0084

C 0.2175 0.7932 1.0000 0.1747 0.5723 0.7230 0.1455 0.7884 -0.0764

D 0.3462 0.0096 0.1747 1.0000 -0.0202 -0.0836 -0.0456 0.1080 0.0083

E 0.4187 0.7050 0.5723 -0.0202 1.0000 0.4838 -0.0592 0.5991 -0.0364

F 0.2177 0.8240 0.7230 -0.0836 0.4838 1.0000 0.1846 0.7006 -0.0381

G 0.0560 0.0727 0.1455 -0.0456 -0.0592 0.1846 1.0000 0.1842 -0.2095

H 0.2757 0.7893 0.7884 0.1080 0.5991 0.7006 0.1842 1.0000 0.0066

I -0.2112 0.0084 -0.0764 0.0083 -0.0364 -0.0381 -0.2095 0.0066 1.0000

58

Enseguida se calcula la inversa de la matriz de correlación anterior y se

obtiene el siguiente resultado:

Tabla 4. 4 Matriz inversa de la matriz de correlación de Tabla 4.3 A B C D E F G H I

A 1.6829 -0.5360 0.7409 -0.7404 -0.6825 -0.1450 -0.1316 -0.0128 0.3649

B -0.5360 6.5408 -1.4302 0.2448 -1.5633 -2.7687 0.3163 -1.0930 -0.3685

C 0.7409 -1.4302 4.0797 -0.8975 -0.4516 -0.8177 -0.1129 -1.3333 0.4254

D -0.7404 0.2448 -0.8975 1.4973 0.5120 0.5805 0.1441 -0.1822 -0.1674

E -0.6825 -1.5633 -0.4516 0.5120 2.5393 0.8239 0.3247 -0.4358 0.0250

F -0.1450 -2.7687 -0.8177 0.5805 0.8239 3.8269 -0.2314 -0.3252 0.0547

G -0.1316 0.3163 -0.1129 0.1441 0.3247 -0.2314 1.1864 -0.3923 0.2139

H -0.0128 -1.0930 -1.3333 -0.1822 -0.4358 -0.3252 -0.3923 3.4998 -0.2276

I 0.3649 -0.3685 0.4254 -0.1674 0.0250 0.0547 0.2139 -0.2276 1.1634

Esta matriz inversa de correlación va a ser la base para el cálculo de las

MD, tanto del grupo con resultados benignos como del grupo con resultados

malignos.

A continuación, y a partir del grupo de datos de la tabla 4.5, se procede a

calcular los vectores estandarizados para el grupo con resultados malignos, los

cuales se muestran en la Tabla 4.6

Tabla 4. 5 Datos grupo con resultados malignos 1. A B C D E F G H I

5 2 3 4 2 7 3 6 1

5 6 5 6 10 1 3 1 1 9 5 8 1 2 3 2 1 5

6 3 4 1 5 2 3 9 1

10 10 10 8 2 10 4 1 1

1 6 8 10 8 10 5 7 1

10 10 10 3 10 8 8 1 1

9 5 5 4 4 5 4 3 3 3 4 5 2 6 8 4 1 1

5 6 7 8 8 10 3 10 3

59

Tabla 4.5 (Continuación) Datos grupo con resultados malignos 1.

A B C D E F G H I

5 10 10 9 6 10 7 10 5

10 10 10 10 3 10 10 6 1

10 5 7 4 4 10 8 9 1

8 4 4 1 2 9 3 3 1

7 4 5 10 2 10 3 8 2 10 4 4 6 2 10 2 3 1

7 8 7 6 4 3 8 8 4

8 10 3 2 6 4 3 10 1

6 5 5 8 4 10 3 4 1

3 4 4 10 5 1 3 3 1

8 10 10 7 10 10 7 3 8 6 10 10 10 10 10 8 10 10

10 10 10 7 10 10 8 2 1

8 7 8 2 4 2 5 10 1

10 8 10 1 3 10 5 1 1

10 10 10 1 6 1 2 8 1

6 6 6 5 4 10 7 6 2 4 7 8 3 4 10 9 1 1

7 8 3 7 4 5 7 8 2

5 7 4 1 6 1 7 10 3

10 10 10 10 5 10 10 10 7

5 10 10 10 4 10 5 6 3

5 10 10 5 4 5 4 4 1 4 8 6 4 3 4 10 6 1

Tabla 4. 6 Datos estandarizados grupo con resultados malignos 1. A B C D E F G H I

-0.7565 -1.9933 -1.5364 -0.4450 -1.1744 -0.0083 -0.9268 0.1293 -0.5718

-0.7565 -0.4353 -0.7738 0.1602 1.8970 -1.7003 -0.9268 -1.3358 -0.5718 0.8264 -0.8248 0.3701 -1.3527 -1.1744 -1.1363 -1.3159 -1.3358 1.1955

-0.3608 -1.6038 -1.1551 -1.3527 -0.0226 -1.4183 -0.9268 1.0083 -0.5718

1.2221 1.1227 1.1327 0.7653 -1.1744 0.8377 -0.5378 -1.3358 -0.5718

-2.3394 -0.4353 0.3701 1.3705 1.1292 0.8377 -0.1488 0.4223 -0.5718

1.2221 1.1227 1.1327 -0.7475 1.8970 0.2737 1.0184 -1.3358 -0.5718

0.8264 -0.8248 -0.7738 -0.4450 -0.4065 -0.5723 -0.5378 -0.7498 0.3119 -1.5480 -1.2143 -0.7738 -1.0501 0.3613 0.2737 -0.5378 -1.3358 -0.5718

60

Tabla 4.6 (Continuación) Datos estandarizados grupo con resultados

malignos 1.

A B C D E F G H I

-0.7565 -0.4353 -0.0112 0.7653 1.1292 0.8377 -0.9268 1.3013 0.3119

-0.7565 1.1227 1.1327 1.0679 0.3613 0.8377 0.6293 1.3013 1.1955 1.2221 1.1227 1.1327 1.3705 -0.7904 0.8377 1.7965 0.1293 -0.5718

1.2221 -0.8248 -0.0112 -0.4450 -0.4065 0.8377 1.0184 1.0083 -0.5718

0.4306 -1.2143 -1.1551 -1.3527 -1.1744 0.5557 -0.9268 -0.7498 -0.5718

0.0349 -1.2143 -0.7738 1.3705 -1.1744 0.8377 -0.9268 0.7153 -0.1299

1.2221 -1.2143 -1.1551 0.1602 -1.1744 0.8377 -1.3159 -0.7498 -0.5718

0.0349 0.3437 -0.0112 0.1602 -0.4065 -1.1363 1.0184 0.7153 0.7537 0.4306 1.1227 -1.5364 -1.0501 0.3613 -0.8543 -0.9268 1.3013 -0.5718

-0.3608 -0.8248 -0.7738 0.7653 -0.4065 0.8377 -0.9268 -0.4567 -0.5718

-1.5480 -1.2143 -1.1551 1.3705 -0.0226 -1.7003 -0.9268 -0.7498 -0.5718

0.4306 1.1227 1.1327 0.4628 1.8970 0.8377 0.6293 -0.7498 2.5209

-0.3608 1.1227 1.1327 1.3705 1.8970 0.8377 1.0184 1.3013 3.4046

1.2221 1.1227 1.1327 0.4628 1.8970 0.8377 1.0184 -1.0428 -0.5718 0.4306 -0.0458 0.3701 -1.0501 -0.4065 -1.4183 -0.1488 1.3013 -0.5718

1.2221 0.3437 1.1327 -1.3527 -0.7904 0.8377 -0.1488 -1.3358 -0.5718

1.2221 1.1227 1.1327 -1.3527 0.3613 -1.7003 -1.3159 0.7153 -0.5718

-0.3608 -0.4353 -0.3925 -0.1424 -0.4065 0.8377 0.6293 0.1293 -0.1299

-1.1522 -0.0458 0.3701 -0.7475 -0.4065 0.8377 1.4074 -1.3358 -0.5718

0.0349 0.3437 -1.5364 0.4628 -0.4065 -0.5723 0.6293 0.7153 -0.1299 -0.7565 -0.0458 -1.1551 -1.3527 0.3613 -1.7003 0.6293 1.3013 0.3119

1.2221 1.1227 1.1327 1.3705 -0.0226 0.8377 1.7965 1.3013 2.0791

-0.7565 1.1227 1.1327 1.3705 -0.4065 0.8377 -0.1488 0.1293 0.3119

-0.7565 1.1227 1.1327 -0.1424 -0.4065 -0.5723 -0.5378 -0.4567 -0.5718

-1.1522 0.3437 -0.3925 -0.4450 -0.7904 -0.8543 1.7965 0.1293 -0.5718

-1.1181 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 4.6714 -0.5750 -0.3883 -0.4406 -0.3848 -0.2674 -0.3267 -0.8135 -0.3065 -0.3367

En este punto, ya se pueden empezar a calcular las MD para cada

variable sujeta al análisis utilizando la fórmula siguiente:

2 11 T

j ij ij ijMD D Z C Z

k

−= = (4. 1)

61

donde:

ijZ es el vector estandarizado

k es el número de características o variables

T es la matriz transpuesta del vector estandarizado 1

C− es la matriz inversa de la matriz de correlación

En las siguientes dos páginas se muestran dos ejemplos de la utilización

de la fórmula anterior, uno de ellos involucrando al grupo con resultados

benignos y el otro considerando al grupo con resultados malignos.

A efecto de mostrar los ejemplos a un tamaño adecuado para su correcta

lectura, se decidió agregarlos en páginas completas y dejar el resto de esta

página en blanco.

64

Al realizar los cálculos de MD para cada grupo de variables, se obtienen

los siguientes resultados:

Tabla 4. 7 Valores de MD de muestra 1. Muestra MD benigno MD maligno Muestra MD benigno MD maligno

1 0.7804 30.3523 18 2.0098 70.2757 2 0.1724 48.6939 19 0.9118 46.3698 3 2.3438 21.1963 20 0.7620 64.8367 4 0.2222 56.8490 21 1.2229 56.6555 5 0.1365 54.5984 22 2.4355 104.0525 6 0.1366 98.1337 23 0.4172 60.4956 7 1.0484 42.1687 24 0.2222 58.7164 8 0.2222 6.0391 25 0.9339 25.1272 9 0.0548 14.9047 26 0.5665 42.0207 10 3.1963 95.1827 27 2.0479 24.4229 11 3.0470 76.6305 28 0.2533 22.2973 12 0.3306 60.5010 29 1.2092 64.7495 13 0.2990 45.9710 30 0.1734 68.3589 14 0.1734 6.8097 31 1.5400 82.9133 15 0.1784 92.6235 32 0.2990 61.8442 16 1.3087 25.1347 33 2.5301 21.4566 17 1.6413 42.4098 34 0.1734 25.3993

Al graficar estos valores, se puede observar la diferencia entre los MD

benignos, los cuales son bajos, y los MD malignos, que son más altos. En esta

gráfica se puede ver en forma muy clara la discriminación entre los datos, lo que

ilustra adecuadamente la habilidad clasificatoria que nos proporciona el MTS.

65

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

MD benigno MD maligno

Figura 4. 1 Gráfica de valores de MD de muestra 1.

Por medio de los arreglos ortogonales para el análisis de las variables

propuestos en la Tabla 3.2 y utilizando la razón señal a ruido S/N, se determina

la significancia o utilidad de cada variable involucrada en el estudio.

En el arreglo ortogonal se puede observar en forma clara, al analizar los

niveles en cada renglón, si una variable es incluida o no en el cálculo. Este

cálculo se realiza tomando el grupo de valores de MD resultante de los datos

malignos, ya que la desviación de este grupo es mucho mayor que la

correspondiente al grupo con resultados benignos; debido a este factor, la

diferencia que se presenta entre usar y no usar las variables se detecta

fácilmente. En la Tabla 4.8 de la siguiente página se presenta el arreglo

ortogonal y los valores de las razones señal a ruido S/N obtenidos en cada

combinación de variables de la muestra 1. La Tabla 4.9 nos muestra los

resultados obtenidos al sumar las razones señal a ruido para cada variable

considerando como Nivel 1 (o variable útil) los valores correspondientes a la

presencia de la variable y Nivel 2 (o variable no útil) los valores correspondientes

a la ausencia de dicha variable. Por último, se obtiene la diferencia entre ambos

66

niveles para obtener el efecto que tiene cada variable en el estudio. Si el efecto

tiene un valor negativo, entonces la variable no afecta al sistema en estudio. De

igual forma, el valor positivo del efecto afecta directamente al sistema; cuanto

mayor sea el valor del efecto, mayor es la influencia de la variable sobre el

resultado que se obtiene. En la Figura 4.2 se puede observar claramente que las

variables A, B, C, D, E, F y H son las variables significativas o útiles en el caso

de estudio de la muestra 1.

Tabla 4. 8 Arreglo ortogonal y razón de señal a ruido de muestra 1. Variables

A B C D E F G H I Razón S/N

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 26.6164 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 21.9836 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 22.4645 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 15.1453 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 12.5466 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 20.2122 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 19.4634 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 22.2760 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 11.2398

10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 9.5672 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 19.0761

Co

mb

inac

ión

12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 29.8554

Tabla 4. 9 Niveles de S/N y efectos de muestra 1. Variables

A B C D E F G H I

Variable útil 118.97 124.04 123.92 122.85 116.92 123.11 101.51 140.50 115.12

Variable no útil 111.48 106.40 106.53 107.60 113.53 107.33 128.94 89.95 115.32

Efecto 7.49 17.64 17.39 15.24 3.39 15.78 -27.43 50.55 -0.20

67

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

A B C D E F G H I

dB

Figura 4. 2 Efecto de las variables de muestra 1.

Para el análisis de los datos por medio de la metodología Logit, en

el ejemplo que se ilustra se van a tomar las tablas 4.1 y 4.5, tal como se hizo con

MTS. Al introducir los datos en MINITAB, se incluyen ambas tablas como una

sola y se agrega, para distinguir ambos grupos, una columna marcada como

“Clase”. El grupo con datos benignos se identifica con un 2 y el grupo con datos

malignos está determinado por un 4, tal como se muestra en la Tabla 3.1.

A continuación se muestran los resultados obtenidos de esta primera

muestra:

Tabla 4. 10 Resultados del Análisis de Muestra 1. Binary Logistic Regression: CLASE versus A, B, C, D, E, F, G, H, I Link Function: Logit

Response Information

Variable Value Count

CLASE 4 34 (Event)

2 34

Total 68

68

Tabla 4.10 (Continuación) Resultados del Análisis de Muestra 1. Logistic Regression Table

95% CI

Predictor Coef SE Coef Z P Odds Ratio Lower Upper

Constant -261.751 10801.4 -0.02 0.981

A 16.4259 692.882 0.02 0.981 13604330.31 0.00 *

B -10.5705 836.593 -0.01 0.990 0.00 0.00 *

C 3.4870 726.703 0.00 0.996 32.69 0.00 *

D 16.0590 754.865 0.02 0.983 9426375.67 0.00 *

E 14.1107 689.449 0.02 0.984 1343379.05 0.00 *

F 5.6901 295.537 0.02 0.985 295.92 0.00 1.08896E+254

G 18.8130 916.841 0.02 0.984 1.48034E+08 0.00 *

H 3.6030 598.240 0.01 0.995 36.71 0.00 *

I 11.4450 5767.720 0.00 0.998 93437.63 0.00 *

Measures of Association:

(Between the Response Variable and Predicted Probabilities)

Pairs Number Percent Summary Measures

Concordant 1156 100.0 Somers' D 1.00

Discordant 0 0.0 Goodman-Kruskal Gamma 1.00

Ties 0 0.0 Kendall's Tau-a 0.51

Total 1156 100.0

Al analizar la información resultante del análisis, se puede inferir lo

siguiente:

1) El valor negativo del coeficiente estimado para la variable B nos indica

que ésta no es significativa. Todas las demás variables presentan un valor

positivo, por lo que son definitivamente significativas. Esto se confirma al ver los

valores de los OR de cada variable y encontrar que el único valor menor o muy

cercano a uno es el de la variable B.

2) Al revisar los valores obtenidos en las pruebas D de Somers, Gamma

de Goodman-Kruskal y Tau-a de Kendall, se puede determinar que el modelo

tiene una buena habilidad predictiva, ya que los valores fluctúan entre 0.51 y 1.

Un modelo con una buena habilidad predictiva tiende hacia 1, mientras que un

modelo no adecuado se inclina hacia 0.

69

5. RESULTADOS

Al calcular los valores de las distancias de Mahalanobis (MD) para cada

tamaño de muestra y mostrarlos en forma gráfica, se obtienen las figuras

siguientes (figura 5.1, figura 5.2, figura 5.3 y figura 5.4), en todas las cuales se

puede observar con absoluta claridad la diferencia existente entre los grupos con

resultados benignos y los grupos con resultados malignos. Esto como prueba

irrefutable de la habilidad discriminatoria del Sistema Mahalanobis-Taguchi.

0

50

100

150

200

250

300

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67MD benigno MD maligno

Figura 5. 1 Gráfica de valores de MD de muestra 2

70

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

501 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100



0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

105

109

113

117

121

125

129

133



71

0

10

20

30

40

50

601 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101

106

111

116

121

126

131

136

141

146

151

156

161

166



Aplicando los arreglos ortogonales propuestos para el análisis de las

variables de Tabla 3.2 y utilizando la razón señal a ruido S/N, se determina la

significancia o utilidad de cada variable involucrada en el estudio

correspondiente a cada muestra. A continuación se muestran las tablas

obtenidas para cada muestra así como la gráfica de efectos resultante.

La tabla 5.1 nos resume el arreglo ortogonal utilizado y la razón S/N

resultante después de analizar la presencia o ausencia de las diversas variables

en cada una de las 12 combinaciones analizadas para la muestra 2, que es la

correspondiente a un 20% de la base de datos original objeto de este estudio.

72



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31.5064 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 22.7560 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 32.1766 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 21.5893 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 20.4234 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 25.9819 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 26.4362 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 32.5394 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 20.9541

10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 13.8366 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 29.4360

Co

mb

inac

ión

12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 31.8258

En la tabla 5.2 se indican los resultados de los niveles de S/N y el

resumen de los efectos correspondientes a la muestra 2.


A B C D E F G H I

Variable útil 154.43 166.37 158.07 152.89 149.95 157.37 148.33 183.47 161.93

Variable no útil 155.03 143.09 151.39 156.57 159.51 152.09 161.13 126.00 147.53

Efecto -0.59 23.28 6.67 -3.69 -9.56 5.28 -12.80 57.47 14.40

73

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

A B C D E F G H I

dB


En la Figura 5.5 se puede observar que las variables B, C, F, H e I son las

variables significativas o útiles en el caso de estudio de la muestra 2.



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18.9962 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 16.3390 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 20.5556 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 18.0191 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 12.4182 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 12.1052 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 19.9287 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 8.6224 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 -0.9695

10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 19.4475 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 9.2646

Co

mb

inac

ión

12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 21.3618

74

La tabla 5.3 anterior nos resume el arreglo ortogonal utilizado y la razón

S/N resultante después de analizar la presencia o ausencia de las diversas

variables en cada una de las 12 combinaciones analizadas para la muestra 3,

que es la correspondiente a un 30% de la base de datos original objeto de este

estudio.




A B C D E F G H I

Variable útil 98.43 83.47 83.01 97.19 96.08 118.31 79.71 90.91 87.25

Variable no útil 77.66 92.62 93.08 78.90 80.01 57.78 96.38 85.18 88.84

Efecto 20.78 -9.14 -10.07 18.28 16.07 60.53 -16.66 5.72 -1.59

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

A B C D E F G H I

dB


De la Figura 5.6 se obtienen las variables A, D, E, F y H como útiles o

significativas en el caso de estudio de la muestra 3.

75

La tabla 5.5 nos resume el arreglo ortogonal utilizado y la razón S/N

resultante después de analizar la presencia o ausencia de las diversas variables

en cada una de las 12 combinaciones analizadas para la muestra 4, que es la

correspondiente a un 40% de la base de datos original objeto de este estudio.



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21.3128 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 18.0693 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 20.3311 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 20.5840 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 14.5482 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 9.5795 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 19.7121 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 13.2812 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 -3.4036

10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 17.4675 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 10.6445

Co

mb

inac

ión

12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 18.1230




A B C D E F G H I

Variable útil 104.42 89.30 85.33 102.80 96.79 117.53 80.90 93.27 100.08

Variable no útil 75.82 90.95 94.92 77.45 83.46 62.72 99.35 86.98 80.17

Efecto 28.60 -1.64 -9.59 23.35 13.32 54.81 -18.45 6.29 19.92

76

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

A B C D E F G H I

dB


En la Figura 5.7 se pueden observar las variables significativas o útiles en

el caso de estudio de la muestra 4, las cuales resultan ser A, D, E, F, H e I.



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20.5387 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 16.9692 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 20.5332 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 17.2722 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 14.6962 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 14.1921 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 16.3152 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 9.2463 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 13.7516

10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 18.6815 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 16.3076

Co

mb

inac

ión

12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 19.7818

77

La tabla 5.7 anterior nos resume el arreglo ortogonal utilizado y la razón

S/N resultante después de analizar la presencia o ausencia de las diversas

variables en cada una de las 12 combinaciones analizadas para la muestra 5,

que es la correspondiente a un 50% de la base de datos original objeto de este

estudio.




A B C D E F G H I

Variable útil 104.20 97.35 104.62 99.91 103.00 113.12 104.51 100.60 94.38

Variable no útil 94.08 100.93 93.66 98.37 95.28 85.16 93.78 97.69 103.91

Efecto 10.12 -3.58 10.96 1.54 7.72 27.96 10.73 2.91 -9.53

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

A B C D E F G H I

dB


78

En la Figura 5.8 se puede observar claramente que las variables A, C, D,

E, F, G y H son las variables significativas o útiles en el caso de estudio de la

muestra 5.

Por otra parte, al aplicar la metodología Logit para Datos Binarios en cada

una de las muestras sujetas a nuestro estudio, se obtienen los siguientes

resultados:




CLASE 4 68 (Event)

2 68

Total 136

Logistic Regression Table

95% CI


Constant -70.8384 15930.10 -0.00 0.996

A 3.48887 3526.63 0.00 0.999 32.75 0.00 *

B 3.41178 5771.03 0.00 1.000 30.32 0.00 *

C 3.54927 2686.22 0.00 0.999 34.79 0.00 *

D 2.97672 4556.22 0.00 0.999 19.62 0.00 *

E -4.91489 2500.26 -0.00 0.998 0.01 0.00 *

F 2.75166 1786.12 0.00 0.999 15.67 0.00 *

G 3.95775 5623.11 0.00 0.999 52.34 0.00 *

H 6.45896 4374.90 0.00 0.999 638.40 0.00 *

I -1.03438 3266.97 -0.00 1.000 0.36 0.00 *







Total 4624 100.0

79

De la tabla anterior, se puede concluir lo siguiente:

1) El valor negativo de los coeficientes estimados para las variables E e I

nos indica que éstas no son significativas. Todas las demás variables

presentan un valor positivo, por lo que son consideradas significativas.

Esto se puede confirmar al ver los valores de los OR de cada variable y

encontrar que los correspondientes a las variables E e I son menores a

uno.

2) Al revisar los valores obtenidos en las pruebas D de Somers, Gamma de

Goodman-Kruskal y Tau-a de Kendall, se puede determinar que el

modelo tiene una buena habilidad predictiva, ya que los valores fluctúan

entre 0.50 y 1.




CLASE 4 102 (Event)

2 102

Total 204


95% CI


Constant -20.0653 9.40710 -2.13 0.033

A 1.4870 0.91009 1.63 0.102 4.42 0.74 26.33

B -0.9298 1.08918 -0.85 0.393 0.39 0.05 3.34

C 0.2027 0.62318 0.33 0.745 1.22 0.36 4.15

D 1.0453 0.57239 1.83 0.068 2.84 0.93 8.73

E 0.0068 0.42430 0.02 0.987 1.01 0.44 2.31

F 1.5181 0.77531 1.96 0.050 4.56 1.00 20.86

G 0.5179 0.43595 1.19 0.235 1.68 0.71 3.94

H 0.9803 0.67601 1.45 0.147 2.67 0.71 10.03

I 1.4432 1.12898 1.28 0.201 4.23 0.46 38.71

80

Tabla 5.10 (Continuación) Resultados del Análisis de Muestra 3.







Total 10404 100.0


1) El valor negativo de los coeficientes estimados para las variables B y E

nos indica que éstas no son significativas. Todas las demás variables

presentan un valor positivo, por lo que son consideradas significativas.

Esto se puede confirmar al ver los valores de los OR de cada variable y

encontrar que los correspondientes a las variables B y E son menores a

uno.




entre 0.50 y 1.




CLASE 4 136 (Event)

2 136

Total 272

81

Tabla 5.11 (Continuación) Resultados del Análisis de Muestra 4. Logistic Regression Table

Odds 95% CI

Predictor Coef SE Coef Z P Ratio Lower Upper

Constant -15.5678 4.31837 -3.61 0.000

A 1.38025 0.530326 2.60 0.009 3.98 1.41 11.24

B 0.630661 0.579824 1.09 0.277 1.88 0.60 5.85

C -0.588772 0.677759 -0.87 0.385 0.56 0.15 2.10

D 1.09978 0.460070 2.39 0.017 3.00 1.22 7.40

E -0.0292232 0.318814 -0.09 0.927 0.97 0.52 1.81

F 1.19061 0.409428 2.91 0.004 3.29 1.47 7.34

G 0.201892 0.319868 0.63 0.528 1.22 0.65 2.29

H 0.0702986 0.180443 0.39 0.697 1.07 0.75 1.53

I 1.02725 0.488422 2.10 0.035 2.79 1.07 7.28







Total 18496 100.0


1) Las variables C, E y H no son significativas. Todas las demás variables

son consideradas significativas. Esto se puede confirmar al ver los valores

de los OR de cada variable y encontrar que los correspondientes a las

variables C, E y H son menores o muy cercanos a uno.




entre 0.50 y 1.

82




CLASE 4 170 (Event)

2 170

Total 340


95% CI


Constant -15.4973 3.81595 -4.06 0.000

A 0.8788 0.30397 2.89 0.004 2.41 1.33 4.37

B 0.1674 0.58496 0.29 0.775 1.18 0.38 3.72

C -0.4167 0.70174 -0.59 0.553 0.66 0.17 2.61

D 0.3748 0.19586 1.91 0.056 1.45 0.99 2.14

E 0.5007 0.27848 1.80 0.072 1.65 0.96 2.85

F 0.6250 0.24886 2.51 0.012 1.87 1.15 3.04

G 1.0122 0.37388 2.71 0.007 2.75 1.32 5.73

H 0.5723 0.29234 1.96 0.050 1.77 1.00 3.14

I 1.1682 0.51564 2.27 0.023 3.22 1.17 8.84







Total 28900 100.0


1) La variable C no es significativa. Todas las demás variables son

consideradas significativas. Esto se puede confirmar al ver los valores de

los OR de cada variable y encontrar que el correspondiente a la variable

C es menor a uno.




entre 0.50 y 1.

83

6. CONCLUSIONES

Al aplicar la metodología Logit para Datos Binarios se pudo observar que

el tamaño de las primeras muestras era demasiado pequeño como para obtener

una clara identificación de las variables significativas. No se pudo definir en

forma adecuada cuáles variables son importantes y cuáles no. Sin embargo, al

hacer el análisis de las muestras grandes, sí fue posible lograr la identificación

de dichas variables.

Cuando se observaron los resultados obtenidos con el MTS, se encontró

que en todas las muestras, sin distingo de su tamaño, esta metodología

proporcionó en forma muy clara una identificación de las variables significativas.

Como conclusión final de la investigación, el estudio de comparación

realizado demuestra en forma contundente que el tamaño de las muestras es un

factor determinante para poder concluir que el MTS representa una mejor opción

que el Modelo Logit para Datos Binarios, ya que sin importar si la muestra es

pequeña o grande, la primera metodología es capaz de identificar las variables

significativas; caso opuesto al de la segunda metodología, donde, para poder

identificar dichas variables, estamos requeridos a analizar muestras grandes, las

cuales, en muchas ocasiones y debido al campo de aplicación en que se está

haciendo el análisis, no se encuentran disponibles ni son fáciles de obtener. A

esto se puede agregar el alto costo en términos financieros y de tiempo que

puede implicar la conformación de una base de datos lo suficientemente grande

como para obtener resultados confiables para el uso de esta última metodología.

84

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