An alisis Din amico del Fallo de Rotores en un Hexac...

Analisis Dinamico del Fallo de Rotores en un Hexacoptero

Daniel Felipe Torres Cardozo

Hugo Manuel Romero Pineda

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad de Ingenierıa

Proyecto Curricular de Ingenierıa Electronica

Bogota D.C.

2018

Analisis Dinamico del Fallo de Rotores en un Hexacoptero

Daniel Felipe Torres Cardozo Codigo: 20082005107

Hugo Manuel Romero Pineda Codigo: 20082005113

Trabajo de grado para optar al tıtulo de:

Ingeniero Electronico en la modalidad de investigacion

Directora:

Diana Marcela Ovalle Martınez. PhD.

Lınea de Investigacion:

Senales y Control

Grupo de Investigacion:

IDEAS

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad de Ingenierıa

Proyecto Curricular de Ingenierıa Electronica

Bogota D.C.

2018

Agradecimientos

Agradezco Dios y a mi familia por el apoyo durante todo es tiempo en el que deasarrolle

mi carrera, por prestarme incondicional apoyo en cada momento dificıl y hacer posible

lograr este gran objetivo como es el de ser un profesional.

Hugo Romero

Doy gracias a mi familia por el apoyo incondicional que me brindaron durante la

carrera. A todos los companeros que me acompanaron durante esta aventura, con los

cuales crecimos tanto academica como personalmente.

Daniel Torres

Especial agradecimiento a la profesora Diana Ovalle por el apoyo brindado como direc-

tora de grado de este proyecto la cual fue de vital importancia en este arduo proceso.

Resumen

Los Vehıculos Aereos no Tripulados (UAV,Unmanned Aerial Vehicles) han sido objeto

de estudio en multiples trabajos durante la ultima decada. Su popularidad ha crecido

gracias a su precio asequible, el cual es debido principalmente a los avances en minia-

turizacion electronica y a los aumentos en velocidad de procesamiento de dispositivos

digitales de bajo costo. Teniendo en cuenta su capacidad de maniobra, estos vehıcu-

los son utilizados en muchos campos como puede ser el reconocimiento en areas de

desastre, fotografıa, vigilancia y hasta entrega de mercancıa. Muchos esfuerzos se han

enfocado a modelar su dinamica y controlarla. Sin embargo, estudios sobre falla en uno

o mas rotores y analisis de su comportamiento no es comun encontrar, siendo este el

objetivo de este trabajo.

Este trabajo busca estudiar el comportamiento de un hexacoptero al momento de

presentar falla o dano en una o varias de sus helices durante el tiempo de vuelo o antes

de que inicie el vuelo y bajo un control no lineal. Para lograr el proposito, se definira

un modelo no lineal que represente de manera adecuada la dinamica del hexacoptero.

Asimismo, se planteara un problema de control optimo no lineal que permita encontrar

los controles necesarios para que el hexacoptero defina una trayectoria determinada en

un solo plano del espacio tridimensional. Finalmente, se simula la falla de uno o varios

rotores del hexacoptero, con el fin de evidenciar su implicacion en las capacidades

dinamicas del mismo.

Abstract

Unmanned Aerial Vehicles (UAVs) have been studied in multiple works during the last

decade. Its popularity has grown thanks to its affordable price, which is mainly due to

advances in electronic miniaturization and increases in the speed of processing of low-

cost digital devices. Considering their ability to maneuver, these vehicles are used in

many fields such as recognition in areas of disaster, photography, surveillance and even

delivery of goods. Many efforts have focused on modeling its dynamics and controlling

it. However, studies on failure in one or more rotors and analysis of their behavior is

not common to find, this is the objective of this work.

This work aims to study the behavior of a hexacopter at the moment of presenting

failure or damage in one or more of its propellers during the flight time or before the

flight starts and under a non-linear control. To achieve the purpose, a nonlinear model

that adequately represents the dynamics of the hexacopter will be defined. Likewise,

a problem of optimal non-linear control will be raised, which will allow to find the

necessary controls so that the hexacopter defines a certain trajectory in a single plane

of three-dimensional space. Finally, the failure of one or several rotors of the hexacopter

is simulated, in order to demonstrate its involvement in the dynamic capacities of the

same.

Contenido

Resumen VII

Abstract IX

Lista de Figuras XIII

Lista de Tablas XV

Lista de Sımbolos XV

Introduccion 1

1. Generalidades 3

1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Analisis Dinamico del Hexacoptero 11

2.1. Aproximaciones a la modelizacion de hexacopteros . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Modelamiento con aproximacion Euler-Newton . . . . . . . . . . 11

2.1.2. Modelamiento con aproximacion Euler-Lagrange . . . . . . . . . 14

2.1.3. Cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Modelamiento del Hexacoptero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Analisis Cinematico del Hexacoptero . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2. Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Verificacion del comportamiento del modelo . . . . . . . . . . . . . . . 23

xii CONTENIDO

3. Problema de Maniobrabilidad 28

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2. Problema de Maniobrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Una Aproximacion de Control Optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4. Solucion Numerica del Problema (PPP t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1. Calculo del Gradiente de la Funcion de Costo . . . . . . . . . . 30

3.4.2. Las restricciones del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5. Ejemplos numericos de la maniorabilidad del Hexacoptero . . . . . . . 31

4. Fallos en los rotores

(simulaciones y analisis) 39

4.1. Modelamiento de hexacopteros con falla en rotores . . . . . . . . . . . . 39

4.2. Simulacion Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.1. Resultados con falla en el rotor 1 desde el inicio de simulacion . 42

4.3.2. Resultados con falla en 2 rotores contiguos desde el inicio de

simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.3. Resultados con fallas en los rotores durante el vuelo . . . . . . . 54

5. Conclusiones y observaciones 65

6. Anexos 69

6.1. Codigos del Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.1. Codigo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.2. Dinamica del hexacoptero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1.3. Dinamica del coestado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1.4. Calculo del Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Lista de Figuras

1-1. Rotacion motores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2-1. Sistema Coordinado fijo del Hexacoptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2-2. Verificacion de la condicion de Hover. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2-3. Desplazamiento sobre el eje z con velocidad en los rotores mayor a la

velocidad de hover. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2-4. Comportamiento con τK > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3-1. Movimiento en el eje Z: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance

en z, (d) Angulo de balanceo (roll) φ, (e) Angulo de cabeceo (pitch) θ,

(f) Angulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3-2. Velocidad de los rotores para el movimiento sobre el eje Z. . . . . . . . 34

3-3. Movimiento en el eje y: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en

z, (d) Angulo de balanceo (roll) φ, (e) Angulo de cabeceo (pitch) θ, (f)

Angulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3-4. Velocidad de los rotores para movimiento sobre el eje Y . . . . . . . . . 36

3-5. Movimiento en el eje x: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en

z, (d) Angulo de balanceo (roll) φ, (e) Angulo de cabeceo (pitch) θ, (f)

Angulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3-6. Velocidad de los rotores para movimiento sobre el eje X. . . . . . . . . 38

4-1. Movimiento en el eje x con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b)

Avance en y, (c)Avance en z, (d) Angulo de balanceo (roll) φ, (e) Angulo

de cabeceo (pitch) θ, (f) Angulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . . . . . . . 43

4-2. Velocidad de los rotores en r.p.m para movimieno en eje x con falla en

el rotor 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4-3. Movimiento en el eje z con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b)



xiv LISTA DE FIGURAS

4-4. Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje z con falla en

el rotor 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4-5. Movimiento en el eje y con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b)



4-6. Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje y con falla en

el rotor 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4-7. Movimiento en el eje x con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b)



4-8. Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje x con falla en

el rotor 1 y 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4-9. Movimiento en el eje y con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b)



4-10.Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje y con falla en

el rotor 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4-11.Movimiento en el eje z con falla en 2 rotores consecutivos: (a) Avance

en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Angulo de balanceo (roll) φ,

(e) Angulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Angulo de viraje (yaw) ψ. . . . . . 53

4-12.Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje z con falla en

2 rotores consecutivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4-13.Lazos PD para el control del hexacoptero. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4-14.Respuesta del control multilazos PD para el control del hexacoptero. . . 57

4-15.Velocidades del control multilazos PD para el control del hexacoptero. . 58

4-16.Esquema de realimentacion de estados para el hexacoptero. . . . . . . . 60

4-17.Esquema de realimentacion de estados para el hexacoptero. . . . . . . . 61

4-18.Respuesta del control por realimentacion de estados e integrador para

el hexacoptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4-19.Comortamiento de las velocidades de los rotores para el control por

realimentacion de estados e integrador para el hexacoptero. . . . . . . . 63

Lista de Tablas

1-1. Clasificacion por peso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1-2. Clasificacion por sistema de propulsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1-3. Clasificacion por tipo de despegue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1-4. Movimiento del hexacoptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2-1. Tabla de Componentes de Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2-2. Tabla de Matrices de Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4-1. Definicion de constantes para los bloques PD de la Figura 4-13. . . . . 56

Lista de sımbolos

A Matrix que relaciona las velocidades angulares de las helices con las fuerzas y

los movimientos que producen sobre el hexacoptero.

k Vector de funciones no lineales asociadas a la cinematica del hexacoptero.

d Vector de funciones no lineales asociadas a la dinamica del hexacoptero.

e fZ Fuerza generada por las helices en el eje z del eje a bordo del hexacoptero.

h Funcion de coste del problema de control optimo asociado a la maniobrabilidad

del hexacoptero.

I Momento de inercia del hexacoptero

Ix Momento de inercia del hexacoptero alrededor del eje x.

Iy Momento de inercia del hexacoptero alrededor del eje y.

Iz Momento de inercia del hexacoptero alrededor del eje z.

K Conjunto acotado que se refiere a las limitantes fısicas de las variables de

control u.

l Porcion incremental del coste.

L Longitud de cada brazo del hexacoptero.

m Masa del hexacoptero.

O Origen del plano fijo en el hexacoptero.

P1 Matriz de ponderacion para el estado final deseado.

p vector de coestado del hexacoptero.

p1i i−esimo elemento de P1.

p Vector de primeras derivadas de las variables de coestado del hexacoptero.

p Velocidad angular de rotacion alrededor del eje x, medida desde el eje a bordo

del hexacopeto.

Q Matriz de ponderacion para el estado deseado.

q Velocidad angular de rotacion alrededor del eje y, medida desde el eje a bordo

del hexacopeto.

q Unidad cuaternion.

q∗ Conjugado cuaternion.

R Matriz de ponderacion para las variables de control.

Rζ Matriz de velocidades angulares

LISTA DE SIMBOLOS xvii

r Velocidad angular de rotacion alrededor del eje z, medida desde el eje a bordo

del hexacopeto.

t Vector de tiempo para la ejecuacion de maniobras del hexacoptero.

τττ Duracion maxima de ejecucion de una maniobra.

ue Vector de variables de control en un punto de equilibrio.

u Velocidad de avance longitudinal, medida desde el eje a bordo del hexacopeto.

v Velocidad de avance lateral, medida desde el eje a bordo del hexacopeto.

w Velocidad de descenso, medida desde el eje a bordo del hexacopeto.

x Vector de variables de estado del hexacoptero.

x Vector de primeras derivadas de las variables de estado del hexacoptero.

x0 Vector de condiciones iniciales de las variables de estado.

xd(t) Vector de comportamiento deseado de las variables de estado.

xe Vector de variables de estado en un punto de equilibrio.

xT Vector de estado final deseado.

x Eje longitudinal, dirigido hacia la helice #1.

y Eje transversal, dirigido al punto medio entre las helices #2 y #3.

z Eje normal, dirigido hacia abajo.

ε Tolerancia para el criterio de parada del algoritmo de gradiente.

λ Paso fijo del algoritmo de gradiente.

φ Angulo de rotacion alrededor del eje x.

θ Angulo de rotacion alrededor del eje y.

ψ Angulo de rotacion alrededor del eje z.

ηηη Vector de posiciones lineales y angulares del hexacoptero, medidas en el marco

de referencia inercial.

ηηη1 Vector de posiciones lineales del hexacoptero, medidas en el marco de referencia

inercial.

ηηη2 Vector de posiciones angulares del hexacoptero, medidas en el marco de refe-

rencia inercial.

ννν Vector de velocidades lineales y angulares del hexacoptero, medidas en el marco

de referencia abordo del mismo.

ννν1 Vector de velocidades lineales del hexacoptero, medidas en el marco de refe-

rencia abordo del mismo.

ννν2 Vector de velocidades angulares del hexacoptero, medidas en el marco de re-

ferencia abordo del mismo.

∇ Gradiente de la funcion que lo acompana.

∇x Gradiente de la funcion que lo acompana, respecto a las variables de estado.

∇u Gradiente de la funcion que lo acompana, respecto a las variables de control.

Ω Vector de las velocidades angulares de las helices del hexacoptero.

xviii LISTA DE SIMBOLOS

Ωi Velocidad angular de rotacion de la helice #i.

T Vector de fuerzas y momentos que actuan sobre el hexacoptero.

τ1 Vector de fuerzas que actuan sobre el hexacoptero.

τ2 Vector de momentos que actuan sobre el hexacoptero.

τK momento angular alrededor del eje x.

τM momento angular alrededor del eje y.

τN momento angular alrededor del eje z.

Introduccion

El presente trabajo de investigacion se refiere al estudio de las fallas de los rotores en los

hexacopteros ya sea al inicio de un vuelo o durante su trayecto, esto con el fin de poner

en estudio el comportamiento del sistema al momento de estar bajo el control no lineal.

La motivacion principal para realizar este estudio es el creciente uso de estos UAV con

fines que van desde recreativo hasta militar [1], y con la evolucion de la tecnologıa se

busca tener mejores prestaciones del vehıculo en su estabilidad, maniobrabilidad entre

otras.

El hexacoptero se encuentra propulsado por un grupo de actuadores los cuales se en-

cuentran compuestos por motor, rotor y propulsor (helice), cualquiera de estos com-

ponentes puede presentar falla ya sea por desgaste del motor, fractura del propulsor,

etc..., sin embargo para este estudio no se tiene presente que parte del actuador pre-

senta falla, sino que se considera como un sistema completo que puede funcionar o

presentar falla.

La finalidad de este trabajo de investigacion es analizar el comportamiento simulado

del hexacoptero con un control no lineal aplicado al momento de presentar falla ya sea

al comienzo de realizar un desplazamiento o durante el mismo, las fallas comprenden

el dano ya sea en uno o en varios de sus actuadores, esto con el fin de verificar la

estabilidad del sistema. Al igual se realizaron las consultas de los diferentes modela-

mientos que se aplican al sistema como lo son los mas representativos Euler-Newton,

Euler-Lagrange y cuaterniones ademas de herramientas para el diseno como lo son las

rotaciones matriciales en las cuales se abarca el modelamiento del sistema desde dife-

rentes puntos de vista.

El trabajo esta estructurado como se detalla a continuacion. En el primer capıtulo del

trabajo se muestra las generalidades del trabajo tal como lo es el planteamiento del

problema su respectiva justificacion donde se valida la motivacion de la investigacion y

antecedentes de los estudios realizados. En el segundo capıtulo se realiza el analisis sobre

diferentes trabajos realizados usando metodos de diseno para hexacoptero como lo son

2 INTRODUCCION

las aproximaciones de Euler-Newton, Euler-Lagrange y cuaterniones, donde finalmente

se tiende a un analisis newtoniano, que se detalla hasta la obtencion del modelo no

lineal del hexacoptero y su validacion. En un tercer capıtulo se plantea el problema

de maniobrabilidad del hexacoptero desde el punto de vista del control optimo, que

es resuelto para obtener las senales de control que le permiten al hexacoptero ir de

un punto a a un punto b. En el capıtulo cuarto, se presenta la simulacion de fallos

y el analisis de los resultados obtenidos. Finalmente en el capıtulo quito se presentan

algunas conclusiones y observaciones.

Capıtulo 1

Generalidades

1.1. Planteamiento del problema

Los vehıculos aereos no tripulados (UAV, Unmanned Aerial Vehicles) han sido objeto

de estudio en los ultimos anos. El auge y popularidad que han tenido estos vehıculos

se debe, principalmente, a los avances tecnologicos en materia de semiconductores de

estado solido, en particular a los avances en la minuaturizacion de estos dispositivos

y a los incrementos en la velocidad de procesamiento de los mismos; por otro lado,

aunque muy ligado a lo anterior, se encuentra la dismunicion sustancial en los precios

de los UAVs. Todo lo anterior incentiva la versatilidad de sus aplicaciones entre las

que se pueden mencionar las imagenes aereas, para uso cientıfico y de entretenimiento,

el monitoreo de cultivos, zonas de desastres, obras civiles y cualquier otro entorno de

observacion e incluso la entrega de mercancıa.

Teniendo en cuenta la popularidad de estos vehıculos y su diversidad de aplicaciones,

en la ultima decada se han dedicado muchos esfuerzos a entender la dinamica de es-

te tipo de vehıculos y las diversas posibilidades de controlar su movimiento. En los

ultimos dos o tres anos se han empezado a desarrollar esfuerzos en torno a analizar

fallas en rotores de hexacopteros, en muchos de los casos basandose en la linealizacion

del modelo dinamico del mismo y aplicando tecnicas de control adaptivo o de control

robusto [2], [3], [4].

De acuerdo a lo anterior, en este trabajo se hace un analisis dinamico de los fallos en

rotores de un hexacoptero, utilizando herramientas de simulacion, basicamente a partir

del modelo no lineal y la aplicacion de un control optimo no lineal al movimiento del

hexacoptero, con el fin de conocer sus implicaciones en el movimiento tridimensional

del mismo y, ademas, calcular los controles necesarios para mantener la trayectoria que

se tenıa antes de presentarse la falla, en caso de ser posible.

4 1 Generalidades

1.2. Justificacion

Justificacion Tecnica

Cuando se realiza el diseno de cualquier dispositivo, ademas de pensar en su rendimien-

to, que tan potente o eficiente sera, es necesario tambien pensar en como se comportara

el dispositivo en condiciones adversas, debido a que en el ambiente las condiciones no

son las ideales y estara expuesto a lugares que puedan desgastar rapidamente elementos

claves y causar estados de falla.

Para el caso del proyecto, el desarrollo del modelamiento del hexacoptero es el principio

para el diseno de los controladores y simulaciones, pensando en ambientes y condiciones

ideales, en que normalmente solo se toman en cuenta las fuerzas esenciales para acercar

el comportamiento de la simulacion a un entorno real. Se busca en el trabajo que se

realizara es analizar el caso extremo cuando el hexacoptero pierde uno o mas rotores

durante su vuelo o justo antes de iniciar el vuelo.

Justificacion Academica

Para el desarrollo de este trabajo, se utilizaran conceptos de sistemas dinamicos, de

sistemas de control y el uso de herramientas de simulacion, ampliando las competen-

cias que se adquieren luego de cursar el plan de estudios del Proyecto Curricular de

Ingenierıa Electronica hacia el control optimo no lineal, el modelamiento dinamico de

cuerpos en el espacio tridimensional y el uso mas especializado de herramientas como

Matlab®. Se espera fortalecer la formacion de los autores en el area de los sistemas

de control y la automatica.

1.3. Antecedentes

La aviacion no tripulada tuvo sus comienzos en los modelos construidos y volados por

inventores como Cayley, Stringfellow, Du Temple y otros pioneros de la aviacion, que

fueron previos a sus propios intentos de desarrollar aeronaves tripuladas a lo largo de

la primera mitad del siglo XIX. Estos modelos sirvieron como bancos de pruebas tec-

nologicos para el posterior desarrollo de modelos de mayor tamano con piloto a bordo

y, en este sentido, fueron los precursores de la aviacion tripulada [5].

El uso de los sistemas no tripulados se ha venido incrementando con el avance de la

tecnologıa en la cual se han realizado mejoras en los tamanos de los componentes, su

1.3 Antecedentes 5

consumo, rendimiento, etc. . . , esto junto con las necesidades que se presentan a dia-

rio con el fin de solventar problemas cada dıa mas complejos, los cuales han llegado

a comprometer la vida humana en dichas labores y disminuir costos[6]; tareas como

rescate, reconocimiento, entregas de paquetes, entre otras, se han mejorado para que

no sea necesario exponer a una persona con la labor directamente sino pueda estar en

una distancia prudente y realizar la accion mediante un sistema no tripulado [7].

Los UAV son vehıculos aereos no tripulados, los cuales son usados para aplicaciones

tanto militares como civiles, actualmente estos estan equipados con diferentes sensores

y dispositivos electronicos con el fin de dar un uso especializado [8]. De los sistemas

no tripulados son los que mayor cantidad abarcan ya que su uso es mayor ya sea en

labores especıficas o recreativas.

El desarrollo de estos dispositivos ya puntualmente para aeronaves no tripuladas se

presento desde sus inicios en el campo militar durante la primera y segunda guerra

mundial, con el fin de realizar labores de espionaje en terreno enemigo y evitar bajas

humanas en estos casos. Actualmente el uso en el campo civil se ha incrementado, y ha

aumentado el interes entre las universidades con el fin de realizar innovacion y optimizar

procesos de automatizacion en estos dispositivos a pequena escala y para aplicaciones

puntuales. De igual manera a traves de la historia se han dado clasificaciones a los

UAV ya sea por su peso, sistema de propulsion o tipo de despegue como se muestra en

las tablas 1-1, 1-2 y 1-3.

Tabla 1-1: Clasificacion por peso.

Peso

Micro <1Kg

Mini 1Kg - 10Kg

Pequeno 10Kg - 50Kg

Mediano 50Kg - 100Kg

Grande >100kg

Tabla 1-2: Clasificacion por sistema de propulsion.

Sisitema de prpulsion

Motores de helice Gasolina, disel, otros

Turbina de gas comprimido

Motores electricos Baterıas, energıa solar

Motores de hidrogeno

Al tratarse de una tecnologıa que podemos llamar novedosa muchas areas se encuentran

realizando desarrollos, en particular ya sea dando mayor soporte para los impactos a

gran velocidad como lo es el dron desarrollado por NCCR Robotics, o como se men-

ciono al inicio de este capıtulo, usados por AMAZON [9] para entrega de mercancıa,

6 1 Generalidades

Tabla 1-3: Clasificacion por tipo de despegue.

Tipo de despegue

Vertical

Ala RotativaHelicopteros

Quad-rotor

Auto-sustentadosDirigible

Globo aeroestatico

No verticalAla Flexible

Parapente

Ala delta

Ala fija Aereoplano

practicamente se puede observar que los productos existentes, buscan la manera de

acoplarse a estas nuevas tecnologıas con el fin de minimizar los costos y aumentar su

versatilidad. Se debe conocer que al igual que existen reglas para los vuelos tripulados

y se tiene un espacio virtual de division del espacio aereo, para los UAV se debe regir

la misma segmentacion y se debe dar paso a una integracion en las reglas que permita

una armonıa en los vuelos de cada equipo.

Visto de esa manera se han realizado muchos estudios sobre la ampliacion en el campo

de aplicacion para estos sistemas y a su vez se ha mejorado la tecnologıa de su fabri-

cacion, aunque tristemente se han realizado mejoras mas relevantes en el campo belico

ya que es en la guerra donde se realiza un mayor uso de estos equipos para minimizar

las bajas y obtener informacion de una manera mas rapida.

Teniendo presente lo anterior se debe tener una plataforma de interaccion Humano –

Dron sobre la cual se puedan realizar labores de una manera sencilla, esto con el fin

de brindar las ordenes correctas para el manejo del sistema, puede que a diferencia

con un piloto de avion las ordenes que se toman en caso de ser las erroneas estrıan

poniendo en riesgo la vida de muchas personas, en caso de los UAV se estarıa poniendo

en riesgo solo el equipo o la mercancıa que se lleve, de tal manera la interfaz debe ser lo

mas sencilla posible y a su vez lo mas completa para tener la informacion vital para el

manejo del sistema. Por tal motivo en caso de presentarse el dano sobre alguno de sus

rotores se debe informar por esta interfaz para que se realice la respectiva correccion

por parte del piloto [10]. Pero en caso de no tener una respuesta rapida o en caso de

estar en estado de desconexion con el piloto, el sistema de control implementado sobre

el UAV deberıa ser capaz de sortear la emergencia y evitar el siniestro de la aeronave.

Por tal motivo se realiza el estudio sobre los avances que se tienen en cuanto a mode-

lamiento, control y estudio de fallas en hexacopteros, ya que estos son los mas usados

debido a que tienen una mayor velocidad, maneorabilidad y capaciad de carga util.

En la figura 1-1, se puede observar como es la configuracion del exacorptero como un

1.3 Antecedentes 7

Y0

Z0

X0

Ω1Ω2

Ω3

Ω4Ω5

Ω6

Figura 1-1: Rotacion motores.

cuerpo rigıdo sobre el marco de referencia X0, Y0 y Z0, la distribucion de los rotores

Ωi y el setido de giro.

Del analisis de la figura 1-1, se obtiene la tabla 1-4 la cual indica que rotores deben

interactuar para realizar movimientos de avance, retroceso, ascenso, descenso y giros

sobre su propio eje. Sobre la tabla el signo = se toma como la velocidad de sustento

para el sistema, el signo + se tomarıa como un aumento sobre la velocidad angular ω

y el signo - se tomarıa como una disminucion sobre la velocidad obteniendo.

Tabla 1-4: Movimiento del hexacoptero.Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 Ω6

Sustento = = = = = =

Ascenso + + + + + +

Descenso - - - - - -

Avance = = - = = +

Retroceso = = + = = -

Giro a la derecha = + = + = +

Giro a la izquierda + = + = + =

La maniobrabilidad es uno de los temas de estudio academico que se presentan en

relacion al control de sistemas de vuelo, por tal motivo para realizar dichos estudios

es requerido tener una ecuacion caracterıstica del sistema la cual permita realizar los

estudios matematicamente, esto serıa el modelamiento para el sistema.

Tal como se ha venido tratando la velocidad de las helices de cada rotor son las que

controlaran la trayectoria del vehıculo, teniendo esto presente se toman como premisas

para el modelamiento que:

8 1 Generalidades

El hexacoptero es un cuerpo solido en tres dimensiones.

Su centro de masa esta localizado en el centro.

Los efectos giroscopicos se cancelan.

Los efectos externos por el roce con el aire son despreciables

Los efectos giroscopicos se cancelan por la disposicion de las helices, estas se ubican de

manera equidistantes con respecto al centro y tomando la ubicacion al rededor como

si fueran los vertices de un hexagono, lo cual simplifica el estudio del mismo.

Teniendo en cuenta las presentes premisas basicas sobre la dinamica del hexacoptero,

de igual manera conociendo el movimiento de los rotores para tener presente como serıa

el comportamiento del sistema, se proceden a generar las acciones de control sobre el

sistema las cuales estan definidas a mantener la estabilidad del sistema y a monitorear

la posicion del UAV en el espacio con el fin de determinar la accion a tomar para llegar

al punto deseado.

Las arquitecturas de control de UAVs integran diversos sensores de navegacion inclu-

yendo giroscopos, acelerometros, magnetometros, GPS y sensores barometricos, entre

otros. Normalmente existen diferentes modos de control para distintas condiciones de

despegue, aterrizaje y vuelo, las estrategias basicas de control incluyen aterrizaje, se-

guimiento de secuencias de puntos definidos por sus coordenadas GPS, con eventual

vuelo estacionario, y aterrizaje.

La robotica en sus diferentes estudios ha llevado al desarrollo de arquitecturas de con-

trol con percepcion del entorno, seguimiento de objetos en movimiento, programas de

planificacion de trayectorias, entre otros, un claro ejemplo es el LaTrax Alias Quad-

Rotor, disenado por la companıa LaTrax, una empresa fundada en 1974 por Jim Jenkins

la cual fue pionera e innovadora en los sistemas de radio-control durante la decada de

1970. Esta empresa se dedica a la construccion especializada de vehıculos radio-control

de altas prestaciones [11].

El modelo en mencion tiene en ejecucion rutinas que no afectan la maniobrabilidad

del UAV y la experiencia de vuelo para el usuario, pero que permiten recuperar la

estabilidad del UAV en cualquier momento o situacion en la que se encuentre.

Al igual que LaTrax [11] implementa en sus sistemas rutinas para mantener su posi-

cion existen companıas dedicadas a realizar “vuelos seguros” con estos UAV en ejemplo

1.4 Objetivos 9

existe Horizon Hobby, una empresa fundada en Octubre de 1985 por Rick Stephens es-

pecializada en el hobby de los vehıculos radio control, con sucursales alrededor del

mundo USA, UK, Francia, Alemania y China entre otros. Esta companıa ha desarro-

llado diferentes tecnologıas en las cuales se potencializa la destreza al manejar estos

vehıculos, una de ellas es llamada SAFE (Sensor Assisted Flight Envelope) [12], la cual

maneja varios niveles de “libertad” en el vuelo, llegando al punto en el que si el sistema

se encuentra fuera de control con solo presionar una palanca, retoma el curso del UAV

llevandolo a una altura segura y manteniendo un curso estable, algunos de las funciones

se mencionan a continuacion.

Control de altitud.

Limitacion de los angulos de cabeceo y balanceo.

Recuperacion de la posicion de vuelo estable.

Aterrizaje automatico.

1.4. Objetivos

1.4.1. Objetivo general

Estudiar por medio de simulacion el comportamiento de un hexacoptero cuando este

presenta averıa en uno o mas rotores, ya sea durante pleno vuelo o antes de emprender

vuelo.

1.4.2. Objetivos especıficos

1.4.2.1. Proponer un modelo matematico no lineal para un hexacoptero que se mueve de

forma tridimensional en un espacio abierto y validarlo a partir de simulacion.

1.4.2.2. Verificar la capacidad de maniobra de un hexacoptero a partir de la solucion

numerica de un problema de control optimo no lineal, que permita encontrar los

controles necesarios para llegar a un estado final a partir de un estado inicial,

ambos determinados.

1.4.2.3. Simular la falla de uno de los rotores del hexacoptero, con el fin de concluir

respecto a sus implicaciones en el movimiento tridimensional del mismo.

1.4.2.4. Simular la falla de dos rotores aledanos del hexacoptero, con el fin de concluir

respecto a sus implicaciones en el movimiento tridimensional del mismo.

10 1 Generalidades

1.4.2.5. Simular la falla de dos de los rotores del hexacoptero ubicados de forma simetri-

ca (ya sea respecto al eje x o al eje y), con el fin de concluir respecto a sus

implicaciones en el movimiento tridimensional del mismo.

Capıtulo 2

Analisis Dinamico del Hexacoptero

2.1. Aproximaciones a la modelizacion de hexacopte-

ros

Durante la busqueda bibliografica sobre el modelamiento dinamico de UAV se eviden-

cia que sobresalen tres metodos para la realizacion de este modelamiento matematico

y en donde se parte del concepto de estudiar el UAV como un cuerpo rıgido. En primer

lugar, en contramos el modelamiento basado netamente en conceptos Newtonianos,

donde se tienen en cuenta las fuerzas que actuan sobre el objeto. Una segunda aproxi-

macion, desde el punto de vista lagrangiano, donde se realiza un modelamiento a partir

de la suma de energıas. La tercera aproximacion, desde el concepto de cuaterniones,

el cual esta basado en el teorema de la rotacion de Euler, en el cual se establece que

cualquier desplazamiento de un cuerpo rıgido en un punto fijo equivale a una rotacion.

A continuacion se detallan las aproximaciones mencionadas, para finalmente decidir la

que se seguira para modelar el hexacoptero.

2.1.1. Modelamiento con aproximacion Euler-Newton

Esta aproximacion se tomarıa como las mas basica e intuitiva de realizar, debido que se

vale de las leyes de Newton, con el fin de modelar la dinamica del hexacoptero a partir

de las leyes de movimiento y a las fuerzas que interactuan. Se presentaran ejemplos de

como diferentes autores colocaron en practica esta aproximacion para el modelamiento

del hexacoptero.

En este ejemplo el autor busca ademas de realizar un modelamiento matematico del

hexacoptero si no tambien un sistema de control [13].

12 2 Analisis Dinamico del Hexacoptero

El esquema cinematico del modelo desde el que se realizara el modelamiento es el si-

guiente.

Xe

Ye

Ze

η1 =(x, y, z)

φ

ψ

θ

X0Y0

Z0

El marco de referencia se usara el basico que es el (x, y, z) donde el centro de gravedad

del hexacoptero esta sobre el eje z, ademas ωi corresponde a la direccion de rotacion

respecto al empuje Ti estos a su vez con respecto a los torques Mi de cada uno de los

rotores.

La leyes de Newton pueden ser escritas como vectores de la forma∑~F =

d

dt(m~V )

∣∣∣∣0

, (2-1)

∑~M =

d ~H

dt

∣∣∣∣0

, (2-2)

donde la parte de la izquierda representa la sumatoria de todas las fuerzas y momentos

que actuan sobre el heacoptero. La ecuacion 2-1 puede ser expresada sobre el marco de

referencia del hexacoptero de la siguiente manera∑Fxr = m(vxr + vzrωyr − vyrωzr),∑Fyr = m(vyr + vxrωzr − vzrωxr),∑Fzr = m(vzr + vyrωxr − vxrωyr).

En las ecuaciones anteriores se muestran de manera individual las fuerzas que actuan

sobre cada uno de los ejes. Adicionalmente, vir y ωir son componetes de velocidad y

velocidad angular respectivamente.

2.1 Aproximaciones a la modelizacion de hexacopteros 13

La ecuacion 2-2 puede ser expresada tambien sobre el marco de referencia del he-

xacoptero, pero se debe conocer la distribucion de masas. Se realiza el supuesto de

que la distribucion real sobre el hexacoptero esta dada de la siguiente manera: (x, y)r,

(x, z)r y (y, z)r, de manera simetrica. Entonces los productos de la inercia pueden ser

omitidos y 2-2 puede ser escrito como∑Mxr = Jxωxr + ωyrωzr(Jz − Jy),∑Myr = Jyωyr + ωzrωxr(Jx − Jz),∑Mzr = Jzωzr + ωxrωyr(Jy − Jx).

Al lado izquierdo se encuentra la suma de todos los momentos que actuan sobre cada

uno de los ejes y J representa los momentos de inercia que actuan sobre los ejes.

Se realiza ahora el modelo matematico del movimiento en el hexacoptero, teniendo en

cuenta que este se toma sobre el marco de referencia (x, y, z)0. La relacion entre la

velocidad angular de un cuerpo y la inercia en un marco de referencia fijo esta dada

por los movimientos angulares al rededor de los ejes x, y y z, llamados roll, pitch y yaw,

respectivamente. Por lo que las velocidades angulares pueden ser expresadas como

θ = ωyr cosφ− ωzr cosφ,

φ = ωzr + ωyr sinφ tan θ + ωzr cosφ tan θ,

ψ = ωyrsinφ

cos θ+ ωzr

cosφ

cos θ.

Finalmente, las fuerzas y los momentos que actuan sobre el hexacopero deben ser

especificadas. Las principales fuerzas son las de empuje de los rotores y la gravitacional,

por lo que sobre cada eje tendrıamos las sumatorias de fuerzas a continuacion:∑Fxr = −mg sin θ,∑

Fyr = mg cos θ sinφ,∑Fzr = T +mg cos θ cosφ,

donde fZ representa el empuje total de los rotores.

Lo momentos principalmente son reactivos y giroscopicos debido al empuje de los ro-

tores, por lo que los podrıamos expresar como


∑Mxr = Mx + Jpωyr

(−∑i=1,3,5

ωi +∑i=2,4,6

ωi

),

∑Myr = My + Jpωyr

( ∑i=1,3,5

ωi −∑i=2,4,6

ωi

),

∑Mzr = Mz,

donde Jp es el momento de inercia de un motor con su helice, ωi representa la velocidad

angular de cada uno los rotores. Mx,My y Mz son momentos causados por el empuje

de los rotores y los restantes son los momentos giroscopicos.

2.1.2. Modelamiento con aproximacion Euler-Lagrange

Esta aproximacion varios autores la usan para realizar el modelamiento dinamico del

UAV, independientemente que este sea un hexacoptero, un cuadricoptero u otros tipos

de UAV con diferentes disenos del que es objeto este trabajo. A continuacion se pre-

sentan un par de ejemplos en los que se realiza el modelamiento dinamico a partir de

la aproximacion Eluer-Lagrange (analisis a partir de energıas).

Este tipo de aproximacion se utiliza por ejemplo en [3] y [4] . Iniciamente, se definen dos

marcos de referencia, uno respecto a un punto fijo en la tierra nombrado por sus siglas

en ingles (EF-Earth Frame) y otro con respecto al cuerpo rıigido como tal (BF-Body

Frame). La fuerza de la masa actua sobre el centro de gravedad y siempre a lo largo del

eje negativo z. La energıa cinetica del hexacoptero debido al movimiento transalacional

es expresada como

Ttrans ,1

2−mξT , ξ

donde m es la masa del hexacoptero, ξ es el vector de posicion ξ = [x y z]T y η es el

vector de posicion angular η = [φ θ ψ]T .

La cinetica de hexacoptero se puede expresar debido al movimiento rotacional, el cual

puede ser expresado como

Trot ,1

2ηTJη,

donde J es la matriz de inercia expresada en terminos de la coordenadas η:

J = W Tη IW η,

2.1 Aproximaciones a la modelizacion de hexacopteros 15

con

Wη =

1 0 −Sθ0 Cφ SφCθ0 −Sφ CφCθ

,donde I es la matriz de inercia, la cual es una matriz diagonal, debido a la simetrıa del

hexacoptero.

La energıa potencial es expresada en funcion del campo gravitacional de la tierra

U = mgz.

Se definen de manera general las coordenadas como el vector q = [ξT ηT ]T = [x, y,

z,φ,θ, ψ]T ∈ R6, entonces el Lagrangiano se puede expresar como

L(q, q) = Ttrans + Trot − U =1

2mξT ξ +

1

2ηTJη −mgz (2-3)

El modelo total del hexacoptero es obtenido desde las ecuaciones de Euler-Lagrange

con la fuerza externa generalizada

d

dt

∂L∂q− ∂L∂q

= F. (2-4)

Donde F = [F Tξ τ

Tη ]T . Fxi contiene todas las fuerzas trasacionales debido a las entradas

de control y expresadas en EF x, y, z y τη en el vector que generaliza los torques.

2.1.3. Cuaterniones

Los angulos de Euler son ampliamente utilizados para describir la dinamica de un

cuadrotor. A pesar de que son muy intuitivos y faciles de interpretar y visualizar,

adolecen de singularidades. Ademas, la representacion de los angulos de Euler va de

la mano con el calculo del seno y el coseno, lo que aumenta el costo computacional.

La forma alternativa, mas eficiente y sin singularidades para describir la dinamica del

cuadrotor es usar un cuaternion. La orientacion se puede caracterizar por una sola

rotacion α alrededor de un eje [14], [16], [17]:

q[

cos α2

aT sin α2

]=[q0 q13

]=[q0 q1 q2 q3

]. (2-5)

La rotacion tridimensional de cualquier vector es descrita como una multiplicacion a la

izquierda por la unidad cuaternion q y a la derecha por su conjugado q∗, que se puede

escribir como una multiplicacion de la matriz Rq y el vector mencionado anteriormente,

donde [q13] es una matriz simetrica [14], [17]:


Rq = (q0I + [q13])2+q13q13T =

q20 + q2

1 − q22 − q2

3 2(q1q2 − q3q0) 2(q1q3 + q2q0)

2(q1q2 + q3q0) q20 − q2

1 + q22 − q2

3 2(q2q3 − q1q0)

2(q1q3 − q2q0) 2(q2q3 + q1q0) q20 − q2

1 − q22 + q2

3

.(2-6)

La relacion entre la velocidad angular y el cuaternion esta dada por

q =1

2q ·[

0

mη

]=

1

2Smη =

1

2

−q1 −q2 −q3

q0 −q3 q2

q3 q0 −q1

−q2 q1 q0

mη. (2-7)

Para derivar el modelo de la dinamca del cuadrotor en forma de un cuaternion, el vector

de velocidades angulares es reemplazado en el Lagraniano usando la expresion 2-3.

Posterior a esto se utiliza la ecuacion 2-4 para obtener la ecuacion de Euler-Lagrange

de la rotacion y traslacion del cuadrotor:

mτ − 2Jr

4∑i=1

(STmq

)×

0

0

(−1)iωi

− 4Kηdiag(STmq)(STmq

)=

2

(2Jmq + 2

d

dt(J)mq − ∂

∂t(mqTJmq)

)(2-8)

mmζ = Rq

0

0∑4i=1 Fi

− 0

0

mg

−Kvdiag( ˙Rqζ)( ˙Rqζ) (2-9)

2.2. Modelamiento del Hexacoptero

En la seccion anterior se mostraron de manera general las diferentes aproximaciones

para modelizar el comportamiento dinamico de un hexacoptero. Pese a que los modelos

obtenidos con las tres son equivalentes, a continuacion se presentara de forma detallada

el modelamiento desde la aproximacion newtoniana con el fin de obtener un modelo

claro que describa el comportamiento no lineal del hexacoptero.

Es facil notar que el hexacoptero puede describir libremente movimientos rotacionales

y traslacionales a lo largo de las tres dimensiones, es por esta razon que un hexacoptero

tiene seis grados de libertad. Por conveniencia, las variables que tomaremos en conside-

racion para el analisis dinamico del hexacoptero seran las posiciones lineales y angulares

del mismo y sus derivadas, como se muestra en la Tabla 2-1. Teniendo en cuenta el

2.2 Modelamiento del Hexacoptero 17

numero de variables, es conveniente utilizar una notacion vectorial como se representa

en la Tabla 2-2. Donde ηηη es el vector de posicion y orientacion del hexacoptero en el

marco de referencia fijo en la tierra, ννν es el vector de velocidades lineales y angulares en

el marco de referencia a bordo del hexacoptero y τττ es el vector de fuerzas y momentos

actuando sobre el hexacoptero, tambien referenciado respecto al hexacoptero.

Tabla 2-1: Tabla de Componentes de Movimiento.Hexacoptero

Componentes del Movimiento

Fuerzas y

Momentos

Velocidades

Lineales y

Angulares

Posiciones

Lineales y

Angulares

Movimiento en el eje x - u x

Movimiento en el eje y - v y

Movimiento en el eje z fZ w z

Rotaciones al rededor de x τK p φ

Rotaciones al rededor de y τM q θ

Rotaciones al rededor de z τN r ψ

Tabla 2-2: Tabla de Matrices de Movimiento.

ηηη1 = [x y z]T ηηη2 = [φ θ ψ]T ηηη = [ηηη1 ηηη2]T

ννν1 = [u v w]T ννν2 = [p q r]T ννν = [ννν1 ννν2]T

τττ 1 = [X Y Z]T τττ 2 = [K M N ]T τττ = [τττ 1 τττ 2]T

2.2.1. Analisis Cinematico del Hexacoptero

Para poder entender el analisis cinematico del hexacoptero, iniciamos definiendo un

sistema coordinado inercial Xe, Ye, Ze en la convencion NED (North, East, Down)

tambien denominado marco de referencia espacial. Los angulos de rotacion alrededor

de los ejes de este marco de referencia se definen como:

Roll: Rotacion sobre el eje Xe, positiva a la derecha.

Pitch: Rotacion sobre el eje Ye, positiva hacia abajo.

Yaw: Rotacion sobre el eje Ze , positiva desde el Norte al Este.

Tambien se define un sistema coordenado fijo centrado en el centro de gravedad del

hexacoptero X0 , Y0, Z0, como el mostrado en la Figura 2-1.


Ω5

Ω6

Ω1

Ω2Ω3

Ω4

X0

Z0

Y0

Figura 2-1: Sistema Coordinado fijo del Hexacoptero.

Con el fin de desarrollar un analisis cinematico adecuado para el hexacoptero, se hacen

las siguientes suposiciones:

La dinamica de los motores es mucho mas rapida que la del cuerpo rıgido y por

ende se desprecia.

El eje de rotacion de los motores es paralelo a Z0.

las fuerzas y momentos de propulsion dentro del plano del motor son pequenos y

son perpendiculares al plano del rotor.

A partir de las definiciones vectoriales en la tabla 2-2 y la definicion de los dos sistemas

coordenados, sabemos que los angulos ηηη2 = [φ θ ψ]T representa la orientacion del marco

de referencia fijo al hexacoptero respecto al marco de referencia inercial (espacial). Por

lo tanto, se relaciona la velocidad lineal espacial ηηη1 = [x y z]T y el vector de velocidades

angulares del hexacoptero ννν1 = [u v w]T a traves de una matriz de rotacion, ası

ηηη1 = R(ηηη2)ννν1, (2-10)

donde R(ηηη2) representa la rotacion alrededor de los tres ejes, definida como

R(ηηη2) = RTz (ψ)RT

y (θ)RTx (φ),

siendo RTx(φ) la traspuesta de la matriz de rotacion respecto al eje x en el angulo φ,

que puede ser escrita como

Rx(φ) =

1 0 0

0 cφ sφ0 −sφ cφ

,


con cφ = cos(φ) y sφ = sin(φ). De manera similar,

Ry(θ) =

cθ 0 sθ0 1 0

−sθ 0 cθ

y Rz(ψ) =

cψ −sψ 0

sψ cψ 0

0 0 1

.Por lo que R(ηηη2) puede ser escrito como

R(ηηη2) =

cθcψ −cθsψ + sφsθcψ sφsψ + cφsθcψcθsψ cφcψ + sφsθsψ −sφcψ + cφsθsψ−sθ sφcθ cφcθ

El orden de las rotaciones se hace siempre considerando que primero ocurre la rotacion

respecto a x, luego a y y, finalmente, con respecto a z.

En este momento es importante precisar que para el modelo del hexacoptero conside-

ramos

−π2≤ φ ≤ π

2,−π2≤ θ ≤ π

2y 0 ≤ ψ ≤ 2π.

En este punto, buscamos una transformacion entre las velocidades angulares en el

marco de referencia abordo del hexacoptero y las variaciones de los angulos de Euler

definidas en el marco de referencia inercial (espacial). Para lo anterior, consideramos

ννν2 = [p, q, r]T como las velocidades angulares respecto al marco de referencia del he-

xacoptero, tal que:

R(ηηη2) = R(ηηη2)ννν2 y ννν2 = RT (ηηη2)R(ηηη2),

donde

ννν2 =

0 −r q

r 0 −p−q p 0

es una representacion matricial (anti-simetrica) del mapeo lineal

ννν1 → ννν2 × ννν1 = ννν 2ννν1.

Un calculo directo muestra que la transformacion J(.) de ηηη2 a ννν2 satisface

ννν2 = J(ηηη2)ηηη2 =

1 0 −sθ0 cφ sφcθ0 −sφ cφcθ

φθψ

.


J(ηηη2) es invertible siempre que cos(θ) 6= 0, entonces en la region de interes,

ηηη2 = J−1(ηηη2)ννν2 (2-11)

con

J−1(ηηη2) =

1 sφtθ cφtθ0 cφ −sφ0 −sφ/cθ cφ/cθ

.El conjunto de tranformaciones (2-10) y (2-11) constituyen las ecuaciones cinematicas

del hexacoptero, haciendo uso de estas, podemos definir el mapeo de ννν a ˙(ηηη) como:

T (ηηη) =

[R(ηηη2) 03x3

03x3 J−1(ηηη2)

],

para expresar las ecuaciones cinematicas como

ηηη2 = T (ηηη)ννν. (2-12)

2.2.2. Ecuaciones de Movimiento

El movimiento de un cuerpo rıgido puede ser descompuesto en sus componentes rota-

cionales y traslacionales. Por lo tanto, con el fin de describir la dinamica de hexacoptero

asumido como un cuerpo rıgido, utilizaremos las ecuaciones de Newton-Euler, que go-

biernan el movimiento linear y angular. Primero que todo, la fuerza que actua sobre el

hexacoptero esta dada por

τττ 1 = maaa = m(ννν1 + ννν2 × ννν1), (2-13)

donde m es la masa del hexacoptero y es asumida como constante y , aaa la aceleracion

del hexacoptero.

Para determinar las fuerzas que generan las helices sobre el hexacoptero, es importante

considerar que cada rotor i tiene una velocidad angular Ωi, y estan ubicados paralelos

al eje Z0. Por lo que la rotacion de los rotores genera una fuerza de empuje, F , paralela

al eje Z0, con componentes iguales a cero en los otros ejes, es decir

Fi =[0 0 FZ

]T,=[0 0 kΩi

2]T, (2-14)

siendo k la constante de elevacion.

El empuje total junto con la fuerza gravitacional representa la fuerza total que actua

sobre el hexacoptero. Dado que la fuerza de empuje esta expresada en el marco de


referencia del hexacoptero, al igual que la fuerza total actuando sobre este y la gravedad

actua en el marco de referencia inercial, podemos escribir la fuerza total actuando sobre

el hexacoptero como:

τττ 1 = F −mgRT (ηηη2)~eee3,

con ~eee3 =[0 0 Fi

]T. Reemplazando la expresion de τττ 1 en (2-13) y despejando para

ννν1, tendremos

ννν1 =1

mF − g RT (ηηη2)~eee3 − ννν2 × ννν1. (2-15)

Con respecto al movimiento rotacional del hexacoptero, se inicia llamando III a la matriz

de inercia. El hexacoptero tiene una estructura simetrica respecto a todos los ejes del

marco de referencia centrado en el centro de masa del hexacoptero, por lo tanto la

matriz de inercia se puede escribir como

I =

Ix −Ixy −Ixz−Ixy Iy Iyz−Ixz −Iyz Iz

=

Ix 0 0

0 Iy 0

0 0 Iz

Lo anterior se deriva de las simetrıas con respecto a los ejes X0, Y0 y Z0, aunque la

simetrıa con respecto a este ultimo no es completa, asumiendo que no cambie mucho el

comportamiento del modelo. Podemos escribir el momento de inercia total que actua

sobre el hexacoptero como:

τττ 2 = III(ννν2 + ννν2 × ννν2) (2-16)

De la estructura geometrica del hexacoptero, es posible obtener informacion respecto

a los momentos que causan roll, pitch y yaw, ası

τττ 2 =

τKτMτN

=

3

4k l (Ω2

2 + Ω32 − Ω5

2 − Ω62)

k l (−Ω12 − Ω2

2

4+

Ω32

4+ Ω4

2 +Ω5

2

4− Ω6

2

4)

b (−Ω12 + Ω2

2 − Ω32 + Ω4

2 − Ω52 + Ω6

2)

, (2-17)

donde l es la distancia entre el eje del rotor y el centro de gravedad del hexacoptero y

b es la constante de arrastre de los motores. Por lo que para el movimiento rotacional

tendremos

I ννν2 + ννν2 × (Iννν2) = τττ 2,

entonces,

ννν2 = I−1(τττ 2 − ννν2 × (Iννν2)). (2-18)


De acuerdo a lo anterior, el modelo del hexacoptero se reduce a (2-12) y (2-18), de

forma explıcita se puede escribir como:

x =u cosψ cos θ − v(cosφ sinψ − sinφ cosψ sin θ) + w(sinφ sinψ + cosψ cosφ sin θ),

y =u cos θ sinψ + v(cosφ cosψ + sinφ sinψ sin θ)− w(cosψ sinφ− cosφ sinψ sin θ),

z =− u sin θ + v cos θ sinφ+ w cosφ cos θ,

φ =p+ q sinφ tan θ + r cosφ tan θ

θ =q cosφ− r sinφ,

ψ =rcosφ

cos θ+ q

sinφ

cos θ,

u =rv − qw − g sin θ,

v =pw − ru+ g cos θ sinφ,

w =qu− pv − fZm

+ g cosφ cos θ,

p =Iy − IzIx

qr +τKIx,

q =Iz − IxIy

pr − τMIy,

r =Ix − IyIz

pq − τNIz.

(2-19)

Tambien podrıamos escribir el modelo de una forma mas compacta, como:

xxx = fff(xxx,uuu), (2-20)

donde xxx =[ηηη′ ννν ′

]′sera el vector de variables de estado del hexacoptero y uuu =[

Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 Ω6

]sera el vector de variables de control, que se puede obtener

como funcion de τττ . Note que τττ =[0 0 fZ τK τM τN

]y que

1

kfZ

2√3 k l

τK

2

k lτM

1

bτN

︸︷︷︸

τττ

=

1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 −1 −1

−2 −1 1 2 1 −1

−1 1 −1 1 −1 1

︸︷︷︸

AAA

Ω21

Ω22

Ω23

Ω24

Ω25

Ω26

︸︷︷︸

ΩΩΩ2

. (2-21)

Por lo que,

ΩΩΩ2 = A′ (AA′)−1A′ (AA′)−1A′ (AA′)−1 τττ ,

2.3 Verificacion del comportamiento del modelo 23

o, lo que es equivalente

Ω21

Ω22

Ω23

Ω24

Ω25

Ω26

=

1

60 −1

6−1

61

6

1

4− 1

12

1

61

6

1

4

1

12−1

61

60

1

6

1

61

6−1

4

1

12−1

61

6−1

4− 1

12

1

6

1

kfZ

2√3 k l

τK

2

k lτM

1

bτN

.

Por lo que el problema se puede ver en dos sentidos, o encontrar las velocidades de

las helices que generan las maniobras deseadas en el hexacoptero o buscar los valores

de las 4 componentes de τττ y, a partir de la transformacion anterior, encontrar las 6

velocidades ΩΩΩ de los rotores.

2.3. Verificacion del comportamiento del modelo

Con el fin de verificar que el modelo representa la dinamica de un hexacoptero, se im-

plemento un script de Matlab® (vease seccion 6.1.1), que permite observar la evolucion

de los estados del hexacoptero para valores de las velocidades de los rotores.

Es necesario definir son los parametros del hexacoptero, que incluyen sus propiedades

fısicas generales y las de los rotores, [14]:

m = 0,468 Kg,

g = 9,81 m/s2,

l = 0,225 m,

k = 0,00000298 Kg-m/rad2,

b = 0,000000114 N-m/ rad,

Ix = Iy = 0,004856 Kg-m2,

Iz = 0,008801 Kg-m2.

Para verificar el comportamiento del modelo, vamos a hallar su punto de equilibrio,

que para hexacopteros se denomina “hover”. En la posicion del equilibrio, como es

bien sabido, todas las derivadas del modelo son iguales a cero. Es decir, el punto de


equilibrio son las soluciones de (2-20) cuando x = 0. En el caso de un hexacoptero [15],

el equilibrio consiste en

xe = [xe ye ze 0 0 ψe 0 0 0 0 0 0],

con xe, ye, ze puntos arbitrarios del espacio, debido a que las variables x, y y z no

influyen en la dinamica del sistema y φe una orientacion arbitraria, porque esta variable

tampoco influye en el comportamiento dinamico del hexacoptero. Por su parte para los

controles, se encuentra que

ue =mg

6 k[1 1 1 1 1 1],

que genera la fuerza que contraresta el peso del cuerpo y hace que el hexacoptero “le-

vite”.

De acuerdo a lo anterior, las pruebas que haremos sobre el programa de simulacion

seran:

Verificacion de la condicion de hover, para Ωi = 506,7266 r.p.m., i = 1, · · · , 6.

El resultado se muestra en la Figura 2-2, donde se evidencia que el hexacoptero

mantiene indefinidamente la condicion inicial.

Simulacion para velocidades de rotores superiores a la velocidad de hover. Es-

pecıficamente se probo para Ωi = 520, i = 1, · · · , 6., donde lo que se espera

que suceda es que se generara mayor fZ , que generara un movimiento sobre el

eje z hacia arriba, es decir sobre el eje real negativo, ya que z se toma positivo

hacia abajo. En Figura 2-3 muestra se demuestra que efectivamente se presenta

el desplazamiento sobre el eje z.

Simulacion para velocidades tal que τK > 0. Si buscamos que el momento al

rededor del eje x sea mayor que cero, se necesita que Ω22+Ω2

3 > Ω25+Ω2

6, por lo que

dejaremos Ω2 = Ω3 = 520 y Ωi = 506,7266, i = 1, 4, 5, 6, esperando obtener un

movimiento en φ y por ende en y. La Figura 2-4 muestra los resultados esperados,

donde ademas se observa ademas un desplazamiento en el eje z, debido a que fZes mayor al valor de equilibrio.


0 2 4 6 8 10

t[x]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

(a)

0 2 4 6 8 10

t[x]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

(b)

0 2 4 6 8 10

t[x]

-10

-8

-6

-4

-2

0

[m]

(c)

0 2 4 6 8 10

t[x]

-10

-5

0

5

10

[gra

dos]

(d)

0 2 4 6 8 10

t[x]

-10

-5

0

5

10

[gra

dos]

(e)

0 2 4 6 8 10

t[x]

-10

-5

0

5

10

[gra

dos]

(f)

Figura 2-2: Verificacion de la condicion de Hover.


t (s)

0 2 4 6 8 10

m

-1

-0.5

0

0.5

1(a)

t (s)

0 2 4 6 8 10

m

-1

-0.5

0

0.5

1(b)

t (s)

0 2 4 6 8 10

m

-40

-30

-20

-10(c)

t (s)

0 2 4 6 8 10

Gra

do

s

-1

-0.5

0

0.5

1(d)

t (s)

0 2 4 6 8 10

Gra

do

s

-1

-0.5

0

0.5

1(e)

t (s)

0 2 4 6 8 10

Gra

do

s

-1

-0.5

0

0.5

1(f)

Figura 2-3: Desplazamiento sobre el eje z con velocidad en los rotores mayor a la

velocidad de hover.


0 2 4 6 8 10

t[x]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

(a)

0 2 4 6 8 10

t[x]

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

[m]

(b)

0 2 4 6 8 10

t[x]

-10

-8

-6

-4

-2

0

[m]

(c)

0 2 4 6 8 10

t[x]

0

50

100

150

[gra

dos]

(d)

0 2 4 6 8 10

t[x]

-10

-5

0

5

10

[gra

dos]

(e)

0 2 4 6 8 10

t[x]

-10

-5

0

5

10

[gra

dos]

(f)

Figura 2-4: Comportamiento con τK > 0.

Capıtulo 3

Problema de Maniobrabilidad

3.1. Introduccion

En este capıtulo, primero definimos el problema de maniobrabilidad del hexacoptero.

Luego, con el fin de aproximarnos al problema de maniobrabilidad del hexacoptero,

formularemos un problema de control optimo no lineal con restricciones. Para la so-

lucion numerica del problema de control optimo usaremos el metodo del descenso por

gradiente. Al final del capıtulo mostraremos la solucion numerica al problema con sus

restricciones.

3.2. Problema de Maniobrabilidad

Fısicamente, la trayectoria de un hexacoptero esta compuesta particularmente por

(xxx(t),uuu(t)) tal que ˙xxx(t) = fff(xxx(t),uuu(t)) y xxx(0) = xxx0, nosotros podemos llamar maniobra

a la porcion de trayectoria xxx(t). Para hexacopteros en general, las principales maniobras

de interes son:

Movimiento en lınea recta: Manteniendo el rumbo y la altura, avanzando tanto

sobre el eje x como sobre el eje y.

Movimiento de cambio de Altura: Manteniendo el rumbo y ascendiendo o des-

cendiendo a un punto determinado, o sencillamente manteniendo la posicion en

x y/o y.

El problema de maniobrabilidad para el hexacoptero se puede abordar de la siguiente

manera. Encontrar (si es posible ) un funcion de (xxx(t),uuu(t)) o trayectoria, que representa

la ley de estados del hexacoptero como ˙xxx(t) = fff(xxx(t),uuu(t)), tal que xxx(t) defina una

maniobra especifica de interes, la cual es fijada comenzando. Adicionalmente, podemos

requerir algun comportamiento optimo para alguna variable de estado o variable de

control durante la maniobra.

3.3 Una Aproximacion de Control Optimo 29

3.3. Una Aproximacion de Control Optimo

En terminos matematicos, el problema de maniobrabilidad puede ser formulado para

nuestro caso en concreto como se presenta a continuacion:

Dado un estado inicial xxx(0) = xxx0 ∈ Ω, y un estado final deseado xxxT ∈ Ω, buscamos un

control uuu(t) tal que resuelve:

(PT ) =

Minimizar uuu: h(uuu) = m(xxx(T )) +∫ T

0l(xxx(τ),uuu(τ), τ)δτ

Sujeto a:

xxx = fff(xxx(t),uuu(t));

xxx(0) = xxx0 ∈ Ω;

xxx(t) ∈ Ω y uuu(t) ∈ K, 0 ≤ t ≤ T.

(3-1)

Donde:

h(uuu) es la funcion de coste,

l(xxx(τ),uuu(τ), τ) es el coste incremental,

y

m(xxx(T )) es el coste terminal, todas estas son funciones escalares.

Tıpicamente,

m(xxx(T )) =1

2[xxx(T )− xxxT (t)]T PPP 1 [xxx(T )− xxxT (t)] (3-2)

y

l(xxx(t),uuu(t), t) =1

2[xxx(t)− xxxd(t)]T QQQ [xxx(t)− xxxd(t)] +

1

2uuu(t)T RRRuuu(t) (3-3)

con PPP 1, QQQ, RRR, matrices diagonales reales, y xxxd el estado deseado. PPP 1, QQQ son conside-

radas matrices positivas semi definidas, mientras que RRR es considerada extrictamente

positiva definida.

Ajustando los valores de PPP 1 y QQQ nosotros podemos pesar la importancia relativa de

la desviacion de cada estado de su valor deseado en el tiempo final TTT y durante todo

el tiempo de la maniobra, respectivamente. Para el momento en que se incrementan

los elementos de la diagonal de PPP 1, p1i nosotros le damos mas significancia que la

desviacion de xxxi(T ) para el valor deseado, por que haciendo P1i cero indicamos que el

valor final de xxxi no es importante para cualquier valor. De igual manera, podemos darle

un peso de relativa importancia a la desviacion de las variables de estado para algun

valor en particular a lo largo de toda la maniobra y el esfuerzo del control, ajustando

los elementos de las diagonales de QQQ y RRR, respectivamente.

30 3 Problema de Maniobrabilidad

3.4. Solucion Numerica del Problema (PPP t)

Hay varios metodos de optimizacion que pueden ser aplicados para solucionar (3-1).

Debido a la complejidad de la ley de estado y el numero de variables del problema, es

bastante razonable usar el metodo del descenso del gradiente. Brevemente, el esquema

de este metodo consiste en seguir los siguientes pasos:

1. Calcular el gradiente de la funcion de costo, 5h(uuu).

2. Escoger un tamano de paso pequeno para el paso tj > 0.

3. Actualizar para j ≥ 0 ∈ Z

uuu(j+1) = u(j) − t(j)5 h(u(j)). (3-4)

Hasta la convergencia. El criterio de parada puede ser escogido como:

|h(uuu(j+1)) − h(uuu(j))| ≤ ε|h(uuu(0))|, (3-5)

con ε > 0, una tolerancia conveniente.

3.4.1. Calculo del Gradiente de la Funcion de Costo

El paso crucial es el computo del gradiente 5h(u(k)). Esto puede ser obtenido usando

el metodo del estado adjunto que es descrito a continuacion:

1. Dado el control u(j), j ≥ 0, soluciona la ecuacion de estado:˙xxx(t) = fff(xxx(t),uuu(j)(t))

xxx(0) = xxx(j)(t)(3-6)

para obtener el estado xxx(j+1)(t).

2. Con el par (uuu(j)(t),xxx(j+1)(t)), resolvemos la ecuacion del sistema de ecuaciones

diferenciales para el estado adjunto ppp(t), hacia atras en el tiempo,ppp(t) = −5x l(xxx

(j+1)(t),uuu(j)(t))− [5xfff(xxx(j+1)(t),uuu(j)(t))]Tppp(t),

ppp(T ) = −5x m(xxx(j+1)(T )xxxT ),(3-7)

donde 5x es el gradiente con respecto a las variables de estado xxx. Ası, obtenemos

ppp(j+1)(t).

3. Finalmente, el gradiente de la funcion de coste puede ser encontrado como:

5h(uuu(j)) = 5ul(xxx(j+1)(t),uuu(j)(t)) + [5ufff(xxx(j+1)(t),uuu(j)(t))]Tppp(j+1)(t), (3-8)

donde 5u es el gradiente con respecto a las variables de control uuu.

3.5 Ejemplos numericos de la maniorabilidad del Hexacoptero 31

3.4.2. Las restricciones del problema

Como es visto en la formulacion (PT ) hay lımites tanto en el estado como en las variables

de control. En este trabajo, tratamos con estos lımites a seguir:

Si durante el proceso de optimizacion, el comportamiento de variables de esta-

do como son los angulos de roll ψ(t) o elevacion θ(t) estan fuera de las fron-

teras realısticas (−45o < φ < 45o ,−45o < θ < 45o , 0o < ψ < 360o), se

trata de mantener los lımites agregando o incrementando los parametros q4 y

q5 (de la matriz QQQ), respectivamente. Lo mismo es aplicable a las variables de

control (K = [0, 1000 r.p.s.] × [0, 1000 r.p.s.] × [0, 1000 r.p.s.] × [0, 1000 r.p.s.] ×[0, 1000 r.p.s.]× [0, 1000 r.p.s.]) en cuanto a los lımites fısicos asociados a los roto-

res. No obstante, incluso si despues del aumento de los valores de los parametros

de peso de la variable(s) de interes, estamos fuera de los lımites, se opta por

incrementar el tiempo final, ya que la razon de tal comportamiento del algoritmo

esta socidado a que el sistema no es fısicamente capaz de ejecutar la maniobra

deseada, dentro de los lımites establecidos. Obviamente, a nivel matematico, la

forma correcta de tratar con lımites tanto en el estado como en las variables de

control debe introducir funciones de barrera asociadas con las restricciones en la

funcion de costo; aunque no seguimos este acercamiento porque nos beneficiamos

del fısico del problema que hace innecesario el poner en practica un algoritmo

mas sofisticado.

Como es de esperarse, el hecho de incrementar los valores de q4 y q5, normalmente

repercutira en una necesidad en la reduccion del paso fijo del algoritmo, aumentando

el numero de iteraciones, y por ende el tiempo, para lograr la convergencia.

3.5. Ejemplos numericos de la maniorabilidad del

Hexacoptero

A continuacion se realizan pruebas de maniobrabilidad del hexacoptero con el fin de

validar el modelo matematico propuesto anteriormente y verificar que podemos encon-

trar los controles necesarios para describir una maniobra en particular y, en lo posible,

que la maniobra termine en la posicion de hover. Se realizan pruebas realizando movi-

mientos sencillos en cada uno de los 3 ejes, x, y y z.

Se busca que en las pruebas de desplazamiento sobre los ejes x y y que se realice el

movimiento sin modificar la posicion en el eje z y en la pruebas sobre el eje z que no

se tenga variacion sobre los ejes x y y, todo esto durante un tiempo definido en que se


evidencie estabilidad, para esta oportunidad se realizaron pruebas para un tiempo de

10 segundos.

Partiendo de la formulacion definida en (3-1), (3-2) y (3-3), se definen:

PPP 1 = diag(α),

QQQ = diag(γ),

RRR = diag(β),

y para cada una de las pruebas mostradas a continuacion, los valores para dichos valores

se detallan. Ası mismo, el paso del algoritmo es definido como λ y se decidio dejar fijo

en todas las iteraciones.

Se realizaron pruebas sobre el eje Z realizando movimientos desde z0 = −10

a z0 = −5, que teniendo en cuenta que el eje Z es negativo hacia arriba sera

un movimiento en ascenso. Los parametros del algoritmo se ajustaron como se

muestra a continuacion:

γ = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 3 0 0 0]

α = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

xxxd = [ 0 0 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

xxx0 = [ 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

xxxf = [ 0 0 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

(3-9)

con λ = 1× 10−4.

Se resalta que, en este caso en particular, se decidio tanto penalizar el estado

final como el estado a lo largo de todo el tiempo de la maniobra, ya que si solo

se penaliza el estado final, el algoritmo no garantiza una velocidad en z de cero

al final de la maniobra, lo que podrıa implicar que el estado final no serıa el

estado de hover, que a su vez implicarıa perder control del vehıculo una vez

terminada la maniobra. Ası mismo, se decidio penalizar la velocidad w durante

todo el tiempo, que tiene cierta equivalencia con z, como se observa a partir de las

relaciones cinematicas, con el fin de que la velocidad sobre el eje Z se garantice

en cero lo mas pronto posible. Los resultados se muestran en las Figuras 3-1 y

3-2, donde se observa que para lograr el movimiento en el eje Z no se producen

desplazamientos ni lineales ni angulares en ninguna otra variable y que se logra

la altura deseada luego de 6 s. Respecto a la velocidad de todos los rotores se

observa una completa simetrıa, ya que cada uno de ellos aporta la sexta parte del

movimiento en z, cuando la maniobra se desarrolla exclusivamente en dicho eje.


0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(a)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(b)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-10

-8

-6

-4

m

(c)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(d)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(e)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(f)

Figura 3-1: Movimiento en el eje Z: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance

en z, (d) Angulo de balanceo (roll) φ, (e) Angulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Angulo de

viraje (yaw) ψ.


0 2 4 6 8 10

t(s)

400

450

500

550

r.p.m

1

0 2 4 6 8 10

t(s)

400

450

500

550

r.p.m

2

0 2 4 6 8 10

t(s)

400

450

500

550

r.p.m

3

0 2 4 6 8 10

t(s)

400

450

500

550r.

p.m

4

0 2 4 6 8 10

t(s)

400

450

500

550

r.p.m

5

0 2 4 6 8 10

t(s)

400

450

500

550

r.p.m

6

Figura 3-2: Velocidad de los rotores para el movimiento sobre el eje Z.

Se realizaron pruebas sobre el eje Y realizando un movimiento desde y0 = 0 a yT =

1. Los parametros del algoritmo se ajustaron como se muestra a continuacion:

γ = [ 0 10 10 0 0 0 0 10 10 0 0 0]

α = [ 0 5 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0]

xxxd = [ 0 1 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

xxx0 = [ 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

xxxf = [ 0 1 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

(3-10)


con λ = 1× 10−7.

Se resalta que, en este caso en particular, ademas de penalizar tanto el estado

final como el estado a lo largo de todo el tiempo de la maniobra en la componente

y, tambien fue necesario penalizar en z, ya que los movimientos sobre x y y no

son posibles de realizar sin movimiento en z, pero este ultimo desea ser penali-

zado para que sea lo mınimo posible. De la misma forma, no solo se penalizo la

velocidad v, sino tambien w, de nuevo, para lograr que se alcance rapidamente el

estado final y garantizar que la maniobra es finalizada en la condicion de hover.

Los resultados se muestran en las Figuras 3-3 y 3-4, donde se observa que para

lograr el movimiento en el eje Y es necesario desplazamiento sobre el eje Z y al

rededor del eje X. Respecto a la velocidad de todos los rotores se observa una

simetrıa entre las parejas de rotores 1 y 4, 2 y 3 y, 5 y 6.

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(a)

0 2 4 6 8 10

t (s)

0

0.5

1

1.5m(b)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-10.2

-10.1

-10

-9.9

-9.8

m

(c)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(d)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(e)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(f)

Figura 3-3: Movimiento en el eje y: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z,

(d) Angulo de balanceo (roll) φ, (e) Angulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Angulo de viraje

(yaw) ψ.


0 2 4 6 8 10

t(s)

506.5

507

507.5

508

r.p.m

1

0 2 4 6 8 10

t(s)

400

500

600

700

r.p.m

2

0 2 4 6 8 10

t(s)

400

500

600

700

r.p.m

3

0 2 4 6 8 10

t(s)

506.5

507

507.5

508

r.p.m

4

0 2 4 6 8 10

t(s)

200

400

600

r.p.m

5

0 2 4 6 8 10

t(s)

200

400

600

r.p.m

6

Figura 3-4: Velocidad de los rotores para movimiento sobre el eje Y .

Se realizaron pruebas sobre el eje X realizando un movimiento desde x0 = 0 a

xT = 1. Los parametros del algoritmo se ajustaron como se muestra a continua-

cion:γ = [ 10 0 10 0 0 0 10 0 10 0 0 0]

α = [ 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

xxxd = [ 1 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

xxx0 = [ 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

xxxf = [ 1 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

(3-11)


con λ = 1× 10−8.

Se resalta que, al igual que en el movimiento sobre el eje Y , ademas de penalizar

tanto el estado final como el estado a lo largo de todo el tiempo de la maniobra

en la componente x, tambien fue necesario penalizar en z. De la misma forma,

no solo se penalizo la velocidad u, sino tambien w, de nuevo, para lograr que se

alcance rapidamente el estado final y garantizar que la maniobra es finalizada en

la condicion de hover. Los resultados se muestran en las Figuras 3-5 y 3-6, donde

se observa que para lograr el movimiento en el eje X es necesario desplazamiento

sobre el eje Z y al rededor del eje Y . Respecto a la velocidad de todos los rotores

se observa una simetrıa entre los rotores 1, 2 y 6, y 2, 3, y 5.

0 2 4 6 8 10

t (s)

0

0.5

1

1.5

m

(a)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(b)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-10.2

-10.1

-10

-9.9

-9.8

m

(c)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(d)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

Gra

dos

(e)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(f)

Figura 3-5: Movimiento en el eje x: (a) Avance en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z,

(d) Angulo de balanceo (roll) φ, (e) Angulo de cabeceo (pitch) θ, (f) Angulo de viraje

(yaw) ψ.


0 2 4 6 8 10

t(s)

300

400

500

600

r.p.m

1

0 2 4 6 8 10

t(s)

450

500

550

r.p.m

2

0 2 4 6 8 10

t(s)

450

500

550

600

r.p.m

3

0 2 4 6 8 10

t(s)

400

500

600

700r.

p.m

4

0 2 4 6 8 10

t(s)

450

500

550

600

r.p.m

5

0 2 4 6 8 10

t(s)

450

500

550

r.p.m

6

Figura 3-6: Velocidad de los rotores para movimiento sobre el eje X.

Capıtulo 4

Fallos en los rotores

(simulaciones y analisis)

4.1. Modelamiento de hexacopteros con falla en ro-

tores

En los ultimos anos la investigacion en el modelamiento de soluciones sobre fallas en

UAVs en general se ha disparado, esto es debido a que cada dıa estos dispositivos ganan

importancia en el campo militar, civil o de vigilancia y aun mas cuando los vehıculos

aereos son equipados con camaras y sensores muy costosos.

Varios estudios se han dedicado a estudiar el como salvaguardar la integridad del UAV

en caso de falla, principalmente a fallas como lo son degradaciones del sistema de pro-

pulsion, de manera mas puntual se puede hablar de la falla en sus rotores, ya sea de

solo un motor o de varios motores lo cual causa inestabilidad o perdida total del control

del equipo causando su siniestro. Se ha propuesto como solucion disenando un control

en lazo cerrado que compense la perdida o degradacion de los rotores y ası evitar la

perdida total del UAV [20], [21].

Los enfoques de control tolerante a fallas pueden clasificarse en dos enfoques, uno ac-

tivo y pasivo. La idea del enfoque pasivo es en encontrar un control que estabilice el

sistema sin la informacion sobre la falla. Este enfoque a un diseno de control robusto.

El enfoque activo por el contrario trabaja con la reconfiguracion del control basado

en la identificacion de la falla usando controladores LPV (Linear Parameter-Varaying)

basados en un modelamiento no lineal del hexacoptero. Para el caso de [20] se realiza

el diseno de un controlador tolerante a falla para compensar una degradacion de los

propulsores usando una tecnica con un vector de parametros parcialmente medidos.

Esto significa que un parametro adicional representa una la falla, esta es introducida a

404 Fallos en los rotores


al modelo y un controlador sin dependencia en este adicional parametro es disenado.

Basado en el ultimo hecho, este puede ser clasificado como un enfoque pasivo.

Otro enfoque de trabajo realizado con otra perspectiva es el presentado en [21], este

artıculo presenta un control en el que se combina un control de modo deslizante adap-

tativo con un control de asignacion el cual puede acomodar simultaneamente fallas en

los actuador en el mismo grupo de actuadores y mantener la estabilidad del sistema

en lazo cerrado, esto se hace con el fin que el control tolere la falla de un rotor como

de varios, donde no solo el control de re-asignacion necesita ser ajustado para redistri-

buir las senales de control. El esquema del control incluye dos esquemas separados de

control, un esquema de bajo nivel y otro de alto nivel, el de bajo nivel es el modulo

de asignacion o reasignacion usado para distribuir las senales de control en la cantidad

requerida a los propulsores el cual solo puede reconfigurar la distribucion de las senales

de control en presencia de falla de los propulsores, el de alto nivel, es construido por

un control de deslizamiento adaptativo el cual es empleado para mantener en general

el rendimiento del sistema de seguimiento.

Otra manera de manejar la falla en el sistema de propulsion se propone en [3] un siste-

ma de deteccion y asilamiento de la falla por sus siglas en ingles (FDI, Fault dectection

and isolation) para fallas en los actuadores. Esta solucion es basada en un observador

dedicado a diagnosticar aplicado en el modelo del hexacoptero no lineal. Para el desa-

rrollo del controlador se debe primero obtener el modelo matematico del hexacoptero,

depues de esto se disena los observadores para sistemas no lineales, par este caso se

uso un observador para sistemas no lineales de Lipschitz. El sistema de deteccion de

falla (FD, Fault Detection) es hecho de un modulo de generacion residual y un modulo

de evaluacion residual. El modulo de generacion residual es obtenido por el calculo

entre la diferencia de la salida estimada y la salida medida por el observador Thau

(non-linear observer). El resultado obtenido alimenta el modulo de evaluacion residual

el cual entrega resultados binarios 1 o 0 indicando la presencia o no de una falla. El

modulo de aislamiento de la falla (FI, Fault Isolation), es activado solo cuando la sali-

da del FD es alta, en este caso este calcula la diferencia entre las referencias de roll y

pitch establecidas en el controlador de lazo cerrado y estas medias desde el sistema, el

asilamiento es realizado por la comparacion de estas diferencias.

Por ultimo tomamos como referencia el punto de vista explicado en [4], este artıculo

explica un metodo basado en el analisis redundante o por sus siglas en ingles (RA) el

cual explota el espacio nulo del espacio estado, permitiendo a una matriz observable la

creacion de un con conjunto de pruebas residuales para aprender sobre comportamiento

4.2 Simulacion Numerica 41

del sistema. El RA lineal es extendido dentro el campo no lineal, llamado como NLAR

(Non-linear Analytical Redundancy). Tanto como SMO (Sliding Mode Observer) y

NLAR tecnicas usadas para generacion de residuales, sin embargo en esta ocasion

debido a que la NLAR muestra que la suavidad y la reconstruccion de la senal es

mejor que la SMO se uso la tecnica NLAR. Utilizando el algoritmo NLAR se deriva

los residuales de la dinamica del hexacoptero basado en el modelo de espacio estado.

4.2. Simulacion Numerica

El programa en el que se implemento la solucion de (3-1) fue hecho usando Matlab®,

para las pruebas con fallo en 1 y 2 rotores, para todo el tiempo de simulacion. Las ecua-

ciones diferenciales ordinarias de primer orden, resultantes del modelo del hexacoptero,

son resueltas usando la funcion de Matlab ode45, que es un solucionador de paso fijo

basado el metodo Runge-Kutta explıcito, de orden entre 4 y 5 (Shampine 1997). No

fue posible lograr resultados satisfactorios en las simulaciones de fallos en pleno vuelo,

debido a que la forma de simular el fallo es directamente modificar el valor de la veloci-

dad de una o dos helices de forma arbitraria y, dado que se busca resolver un problema

de minimizacion por el metodo de descenso por gradiente, el modificar directamente

las variables de control implica alterar el metodo de solucion, genera la no disminucion

del valor de la funcion de coste y, por ende, la no solucion del problema de optimizacion.

Teniendo en cuenta la situacion anterior, con el fin de observar las implicaciones de los

fallos en rotores a partir de algun instante durante el vuelo, se decidio disenar un par

de controladores multivariables con el fin de verificar si estos son capaces de soportar o

no el fallo. Especıficamente, se diseno una realimentacion de estado multivariable con

seguimiento por integrador, donde las variables de salida se seleccionaron como x, y, z

y ψ y se mantuvieron como variables de control las velocidades de los rotores; la reali-

mentacion de estados se diseno para el modelo linealizado del hexacoptero. Tambien

se disenaron lazos de control PD, para las mismas variables de la realimentacion de

estados, pero considerando como entradas la fuerza vertical fZ y los torque al rede-

dor de cada uno de los ejes coordenados τK , τM y τN , que resultan directamente de

las velocidades de los rotores. La simulacion del hexacoptero con los controladores se

hizo embebiendo el modelo en una S-function que pudiese ser ejecutada desde Simulink.

Como es de esperarse, los resultados de la solucion del problema de optimizacion en

(3-1) dependen de la inicializacion del algoritmo. Debido a lo anterior, se decidio inicia-

lizar cada una de las maniobras del hexacoptero en el punto de equilibrio o posicion de

“hover”, donde el hexacoptero logra mantenerse fijo en un punto del espacio en cual-



quier valor positivo del eje z. Para hallar el punto de equilibrio, siguiendo la definicion

clasica en [22], hallamos las soluciones de (2-20) cuando todos las derivadas son iguales

a cero, que resulta en todas las variables de estado iguales a cero y

fZe = mg,

y por ende

Ωie =

√mg

6 k= 506,7266 r.p.m.

Debido a lo anterior, la totalidad de las pruebas se realizan partiendo desde el mis-

mo punto inicial en el espacio tridimensional para los tres ejes y el movimiento se

completara en un tiempo de 10 segundos, la posicion inicial para el movimiento sera:

x0 = 0, φ0 = 0, u0 = 0, p0 = 0,

y0 = 0, θ0 = 0, v0 = 0, q0 = 0,

z0 = −10, ψ0 = 0, ω0 = 0, r0 = 0.

Ası mismo, los valores de los controles seran Ωie = 506,7266.

4.3. Resultados

A continuacion se muestran los diferentes resultados obtenidos, donde se observa la

respuesta del hexacoptero en situacion de falla sobre sus rotores. Se plantea un primer

escenario donde se tiene falla sobre el rotor 1, despues sobre los rotores contiguos 1 y

2, sobre los rotores opuestos 1 y 4 y, finalmente, pruebas de fallas durante el vuelo.

4.3.1. Resultados con falla en el rotor 1 desde el inicio de

simulacion

Se realizaron simulaciones con falla en el rotor 1, para un desplazamiento deseado sobre

el eje x, obteniendo una configuracion final para los vectores, como se muestra en la

ecuacion 3-11.

La posicion final para el eje x sera con xd = 1, yd = 0 y zd = −10. Para lograr el re-

sultado esperado se deben modificar los vectores α y γ, siendo α la ponderacion sobre

el estado final deseado, y γ la ponderacion sobre estado deseado a lo largo de todo el

tiempo de simulacion y la variable λ es el paso fijo de las iteraciones.

La figura 4-1 muestra el resultado de la simulacion cuando se desea alcanzar un des-

plazamiento de un metro sobre el eje x con falla en el rotor 1, en cuanto a los despla-

zamientos sobre los tres ejes x, y y z, donde se observa que se logra el desplazamiento

4.3 Resultados 43

en x, sin movimiento en y y con alguna pequena perturbacion en z. En la figura 4-2

se muestra la velocidad de cada uno de los rotores en r.p.m (revoluciones por minuto)

durante el tiempo de simulacion, donde se aprecia una simetrıa en el movimiento de

los rotores 2 y 3, por un lado, y 4 y 6, por el otro; ademas, se observa que el algortimo

tiende a no usar el rotor 5.

0 2 4 6 8 10

t (s)

0

0.5

1

1.5

m

(a)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(b)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-10.2

-10.1

-10

-9.9

-9.8

m

(c)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(d)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

Gra

dos

(e)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(f)

Figura 4-1: Movimiento en el eje x con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b) Avance

en y, (c)Avance en z, (d) Angulo de balanceo (roll) φ, (e) Angulo de cabeceo (pitch)

θ, (f) Angulo de viraje (yaw) ψ.



0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1

r.p.m

1

0 2 4 6 8 10

t(s)

500

600

700

r.p.m

2

0 2 4 6 8 10

t(s)

620.5

621

621.5

622

r.p.m

3

0 2 4 6 8 10

t(s)

0

200

400

600

r.p.m

4

0 2 4 6 8 10

t(s)

620.5

621

621.5

622

r.p.m

5

0 2 4 6 8 10

t(s)

500

600

700

r.p.m

6

Figura 4-2: Velocidad de los rotores en r.p.m para movimieno en eje x con falla en el

rotor 1.

Continuando con las simulaciones de falla en el rotor 1, ahora para un desplazamiento

deseado sobre el eje z, obteniendo una configuracion final para los vectores, como se

muestra en la ecuacion 3-9.


plazamiento de 5 metros en descenso sobre el eje z con falla en el rotor 1, en cuanto

a los desplazamientos sobre los tres ejes x, y y z, donde se observa que se logra el

4.3 Resultados 45

desplazamiento en z, sin movimiento en x y y, pese al fallo, gracias a que los rotores

actuan directamente sobre este eje. En la figura 4-4 se muestra la velocidad de cada

uno de los rotores en r.p.m (revoluciones por minuto) durante el tiempo de simulacion,

donde se aprecia una simetrıa en el movimiento de los rotores 2, 3, 5 y 6; ademas, se

observa que el algortimo no usa en lo absoluto el rotor 4.

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(a)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(b)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-10

-8

-6

-4

m

(c)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(d)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(e)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(f)

Figura 4-3: Movimiento en el eje z con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b) Avance





0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1

r.p.m

1

0 2 4 6 8 10

t(s)

500

550

600

650

r.p.m

2

0 2 4 6 8 10

t(s)

500

550

600

650

r.p.m

3

0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1r.

p.m

4

0 2 4 6 8 10

t(s)

500

550

600

650

r.p.m

5

0 2 4 6 8 10

t(s)

500

550

600

650

r.p.m

6

Figura 4-4: Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje z con falla en

el rotor 1.

Continuando con las simulaciones de falla en el rotor 1, ahora para un desplazamiento

deseado sobre el eje y, obteniendo una configuracion final para los vectores, como se

muestra en la ecuacion 3-10


plazamiento de un metro sobre el eje y, de nuevo con falla en el rotor 1, en cuanto

a los desplazamientos sobre los tres ejes x, y y z, donde se observa que se logra el

desplazamiento en y, sin movimiento en x y con un ligero desplazamiento sobre el eje

z, lo que confirma la simetrıa respecto a los ejes x y y que presenta el hexacoptero. En

4.3 Resultados 47

la figura 4-6 se muestra la velocidad de cada uno de los rotores en r.p.m (revoluciones

por minuto) durante el tiempo de simulacion, donde se aprecia una simetrıa en el mo-

vimiento de los rotores 2 y 4, por un lado, y 3 y 6, por el otro; ademas, se observa que

el algortimo no usa en lo absoluto el rotor 5.

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(a)

0 2 4 6 8 10

t (s)

0

0.5

1

1.5

m

(b)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-10.2

-10.1

-10

-9.9

-9.8

m

(c)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(d)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(e)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(f)

Figura 4-5: Movimiento en el eje y con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b) Avance





0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1

r.p.m

1

0 2 4 6 8 10

t(s)

500

600

700

800

r.p.m

2

0 2 4 6 8 10

t(s)

500

600

700

800

r.p.m

3

0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1

r.p.m

4

0 2 4 6 8 10

t(s)

400

500

600

700

r.p.m

5

0 2 4 6 8 10

t(s)

400

500

600

700

r.p.m

6

Figura 4-6: Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje y con falla en

el rotor 1.

4.3.2. Resultados con falla en 2 rotores contiguos desde el

inicio de simulacion

Se realizan simulaciones con falla en los rotores 1 y 2, para movimientos independientes

sobre los ejes x, y y z. Inicialmente, buscamos un movimiento de un metro sobre el eje

x, para lograrlo se configuro el algoritmo con los siguientes parametros mostrados en

la ecuacion 3-11

4.3 Resultados 49


plazamiento de un metro sobre el eje y, ahora en la presencia de fallas simultaneas en

los rotores 1 y 2, en los desplazamientos sobre los tres ejes x, y y z, se observa que

se logra el desplazamiento en x, sin movimiento en y y con un ligero desplazamiento

sobre el eje z. En la figura 4-8 se muestra la velocidad de cada uno de los rotores

en r.p.m (revoluciones por minuto) durante el tiempo de simulacion, donde ya no se

aprecia simetrıa de movimiento en ninguno de los rotores funcionales respecto a otros;

lo que se mantiene, respecto a cuando se considero unicmente la falla del rotor 1, es el

uso despreciable del rotor 5.

0 2 4 6 8 10

t (s)

0

0.5

1

1.5

m

(a)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(b)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-10.2

-10.1

-10

-9.9

-9.8

m

(c)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(d)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

Gra

dos

(e)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(f)

Figura 4-7: Movimiento en el eje x con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b) Avance





0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1

r.p.m

1

0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1

r.p.m

2

0 2 4 6 8 10

t(s)

800

850

900

r.p.m

3

0 2 4 6 8 10

t(s)

0

200

400

600r.

p.m

4

0 2 4 6 8 10

t(s)

0

200

400

r.p.m

5

0 2 4 6 8 10

t(s)

700

800

900

1000

r.p.m

6

Figura 4-8: Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje x con falla en

el rotor 1 y 2.

Continuando con las fallas de los rotores 1 y 2, ahora con el fin de lograr un movimiento

de un metro sobre el eje y, para lograrlo se configuro el algoritmo con los siguientes

parametros en la ecuacion 3-10.


plazamiento de un metro sobre el eje y, de nuevo en la presencia de fallas simultaneas

en los rotores 1 y 2, en los desplazamientos sobre los tres ejes x, y y z, se observa que se

4.3 Resultados 51

logra el desplazamiento en y, sin movimiento en x y con un ligero desplazamiento sobre

el eje z. En este caso, los resultados no son tan similares al movimiento sobre el eje

x mostrado previamente porque intencionalmente se selecciono un paso del algoritmo

mas grande, con el fin de ilustrar la dependencia de los resultados con este parametro.

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(a)

0 2 4 6 8 10

t (s)

0

0.5

1

1.5

m

(b)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-10.2

-10.1

-10

-9.9

-9.8

m

(c)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(d)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(e)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(f)

Figura 4-9: Movimiento en el eje y con falla en el rotor 1: (a) Avance en x, (b) Avance



En la figura 4-9 se muestra la velocidad de cada uno de los rotores en r.p.m (revolucio-



nes por minuto) durante el tiempo de simulacion, donde de nuevo es imposible apreciar

simetrıa de movimiento en ninguno de los rotores funcionales respecto a otros; lo que

se mantiene, respecto a cuando se considero unicmente la falla del rotor 1, es el uso

despreciable del rotor 4 (notese la escala vertical en 10−5).

0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1

r.p.m

1

0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1

r.p.m

2

0 2 4 6 8 10

t(s)

800

900

1000

1100

r.p.m

3

0 2 4 6 8 10

t(s)

9.24

9.25

9.26

9.27

r.p.m

10-6 4

0 2 4 6 8 10

t(s)

0

200

400

r.p.m

5

0 2 4 6 8 10

t(s)

877

878

879

880

r.p.m

6

Figura 4-10: Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje y con falla en

el rotor 1.

Finalmente, mostramos los resultados para un desplazamiendo sobre el eje z de 5

metros en descenso, de nuevo con 2 rotores fallando simulataneamente desde el inicio

de la simulacion. Para lograrlo se configuro el problema con los siguientes parametros

que se muestran en la ecuacion 3-9.

4.3 Resultados 53

La figura 4-11 muestra el resultado de la simulacion cuando se desea alcanzar un

desplazamiento de 5 metros en descenso sobre el eje z, de nuevo en la presencia de

fallas simultaneas en los rotores 1 y 2. En los desplazamientos sobre los tres ejes x,

y y z, se observa que se logra el desplazamiento en z, sin movimiento en x y y, tal y

como ocurrio en la presencia de falla de un solo rotor. En la figura 4-12 se muestra la

velocidad de cada uno de los rotores en r.p.m. durante el tiempo de simulacion, donde

se aprecia simetrıa entre los rotores 3 y 6, unicos en funcionamiento. El algoritmo ante

la falla de los rotores 1 y 2, “decide” no utilizar sus simetricos, los rotores 4 y 5, (notese

la escala vertical en 10−5 para el rotor 4).

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(a)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

m

(b)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-10

-8

-6

-4

m

(c)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(d)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(e)

0 2 4 6 8 10

t (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

Gra

dos

(f)

Figura 4-11: Movimiento en el eje z con falla en 2 rotores consecutivos: (a) Avance

en x, (b) Avance en y, (c)Avance en z, (d) Angulo de balanceo (roll) φ, (e) Angulo de

cabeceo (pitch) θ, (f) Angulo de viraje (yaw) ψ.



0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1

r.p.m

1

0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1

r.p.m

2

0 2 4 6 8 10

t(s)

750

800

850

900

r.p.m

3

0 2 4 6 8 10

t(s)

8

9

10

r.p.m

10-6 4

0 2 4 6 8 10

t(s)

-1

0

1

r.p.m

5

0 2 4 6 8 10

t(s)

750

800

850

900

r.p.m

6

Figura 4-12: Velocidad de los rotores en r.p.m para movimiento en eje z con falla en

2 rotores consecutivos.

4.3.3. Resultados con fallas en los rotores durante el vuelo

A partir de la solucion del problema de maniobrabilidad definido en (3-3) no fue posi-

ble lograr resultados aceptables para la simulacion de fallas a partir de algun instante

durante el vuelo. Lo anterior es debido a que la simulacion de las fallas durante todo

el vuelo se obtuvieron al omitir de la optimizacion la velocidad del rotor o rotores

4.3 Resultados 55

particulares y mandandola(s) a cero, por lo que de alguna forma es como si la falla se

tuviese en cuenta directamente en la dinamica del sistema y el metodo de descenso por

gradiente es capaz de encontrar la solucion del problema de optimizacion. En el caso

de las fallas que ocurren, no durante todo el vuelo, sino a partir de cierto instante de

tiempo, lo que se intento hacer fue modificar el valor de la velocidad del rotor a partir

de cierto punto, pero como esto es imposible que los “vea” el algoritmo, el metodo de

descenso por gradiente no puede encontrar la solucion, debido a que en cada iteracion

nosotros modificamos la solucion que se encuentra.

Con el fin de estudiar las implicaciones de las fallas en los rotores a partir de cierto

instante de tiempo, se decidio disenar un controlador multivariable que permitieran

el control de las variables x, y, z y ψ y ver si el controlador en cuestion es capaz de

recuperar el sistema, o definitivamente sera mas viable implementar tecnicas de control

tolerante a fallos.

Lazos de control PD

Para el diseno de lazos de control PD que logren estabilizar el sistema no lineal, lo

primero que se decidio hacer fue linealizar el sistema y tratar de encontrar funciones de

transferencia entre la fuerza y los torques producidos por las velocidades de las helices

y alguna variable de estado. Es ası como se llega a que

Z(s)

fZ(s)= − 1

m

1

s2,

Φ(s)

τK(s)=

1

Ix

1

s2,

Θ(s)

τK(s)= − 1

Iy

1

s2,

Ψ(s)

τK(s)= − 1

Iz

1

s2.

De donde es evidente el doble integrador para cada lazo de control, lo que nos sugiere la

implementacion de controles PD para cada uno de los lazos. Sin embargo, para proposi-

tos de comparacion de los resultados obtenidos en esta seccion, resulta mas interesante

controlar x y y en lugar de φ y θ. Con el fin de lograr este ultimo control, se genera una

senal de error entre la posicion deseada en x y su valor real (al igual que para y), ese

error pasa por un lazo PD que se vuelve una referencia variable para el lazo del control

de θ (φ en el caso de x), lo que permite el control indirecto de las variables de interes.

El esquema de simulacion de este tipo de control multilazo con referencia variable se

muestra en la Figura 4-13.



Los controladores PD en cada lazo, definidos por el nombre debajo del bloque, fueron

disenados para lograr alcanzar el valor deseado en un tiempo de establecimiento cercano

a los 10 segundos. Las definiciones de las constantes de cada controlador se presentan

en la Tabla 4-1.

Figura 4-13: Lazos PD para el control del hexacoptero.

Tabla 4-1: Definicion de constantes para los bloques PD de la Figura 4-13.Bloque Kp Kd

PD x -0.0524 -0.1047

PD y 0.0524 0.1047

PD z -1.25 -1.25

PD phi 0.014 0.014

PD theta -0.014 -0.014

PD psi -0.02 -0.02

El resultado del controlador es bastante eficiente, logra en 10 segundos desplazar el

hexacoptero en los tres ejes y con una orientacion particular, como se muestra en la

Figura 4-14. Allı se evidencia que en las variables z y ψ se llega al valor de estado

estacionario a los 5 segundos, mientras que en x y y se oscila al rededor de el valor

deseado. En la Figura 4-18 se muestra el comportamiento de la velocidad de los roto-

res, obtenidas con ayuda de la matriz A definida en (2-21).

4.3 Resultados 57

Con el fin de verificar las implicaciones del fallo de un rotor durante el vuelo y la

capacidad del control para superar el fallo, se procedio a hacer modificaciones en el rotor

1. Sin embargo, con este esquema, para ningun fallo el control es capaz de recuperar el

sistema.

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

[m]

(a)

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

[m]

(b)

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

[m]

(c)

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

-1

-0.5

0

0.5

1

[gra

do

s]

(d)

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

-1

-0.5

0

0.5

1

[gra

do

s]

(e)

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[gra

do

s]

(f)

Figura 4-14: Respuesta del control multilazos PD para el control del hexacoptero.



0 2 4 6 8 10 12

t[x]

450

500

550

600

[r.p

.m.]

1

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

480

500

520

540

560

[r.p

.m.]

4

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

480

500

520

540

560

580

600

[r.p

.m.]

2

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

480

500

520

540

560

[r.p

.m.]

5

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

450

500

550

600

[r.p

.m.]

3

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

480

500

520

540

560

[r.p

.m.]

6

Figura 4-15: Velocidades del control multilazos PD para el control del hexacoptero.

Control por realimentacion de estados, con seguimiento por integrador

Para el diseno de este control se utilizo un modelo linealizado del hexacoptero definido

por (2-20) en el punto de hover x = 0 y u = 506,7266. El modelo lineal obtenido es

una representacion en variables de estado contınua de la forma:

4.3 Resultados 59

x = A x + B u,

y = C x,

donde para el hexacoptero en el punto de hover especıficamente tenemos

A =

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 −0,1712 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0,1712 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

,

B =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

−0,0065 −0,0065 −0,0065 −0,0065 −0,0065 −0,0065

0 0,1050 0,1050 0 −0,1050 −0,1050

0,1399 0,0350 −0,0350 −0,1399 −0,0350 0,0350

0,0131 −0,0131 0,0131 −0,0131 0,0131 −0,0131

,

y

C =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

,Para este sistema se diseno una realimentacion de estados con un esquema de segui-

miento por integrador, como se muestra en la Figura 4-16. Para el diseno de esta

realimentacion de estados, debe utilizarse un sistema ampliado, considerando como va-

riables de estado adicionales las variables de error [29]. Ası las cosas, la ecuacion de



estado del sistema ampliado tendra la forma[x

0

]=

[A 0

−C 0

] [x

0

]+

[B

0

]u,

para el que finalmente se disena la realimentacion de estados, ubicando todos los polosde lazo cerrado en el semiplano derecho, de forma tal que el sistema logre cada maniobraal rededor de los 10 segundos, para que los resultados sean comparables con las seccionesanteriores. Ası las cosas, la matriz de realimentacion K de estados es obtenida conayuda de Matlab y queda de la forma

K =

0,2652 0,0835 −0,0252 0,0433 −0,1345 0,0074 0,6897 0,2183 −0,0443 0,0188 −0,0546 0,0130

−0,0937 −0,2492 −0,0255 −0,1244 0,0498 −0,0157 −0,2460 −0,6425 −0,0445 −0,0504 0,0234 −0,0268

0,3999 0,2045 −0,0251 0,1098 −0,2117 0,0151 1,0540 0,5404 −0,0442 0,0510 −0,0943 0,0263

0,0408 −0,1432 −0,0254 −0,0737 −0,0273 −0,0080 0,1181 −0,3728 −0,0444 −0,0318 −0,0162 −0,0135

0,3998 0,1895 −0,0251 0,0941 −0,2116 0,0151 1,0538 0,4880 −0,0442 0,0373 −0,0942 0,0263

−0,0938 −0,2642 −0,0255 −0,1401 0,0499 −0,0157 −0,2463 −0,6949 −0,0445 −0,0640 0,0235 −0,0268

,

por 1000. Mientras que

Ki =

−37,9851 −11,9640 4,7804 −1,3955

13,4491 36,0134 4,8649 3,0584

−56,8409 −29,1139 4,7524 −2,8807

−5,3907 20,5741 4,8369 1,5734

−56,8249 −27,4034 4,7524 −2,8805

13,4651 37,7240 4,8649 3,0586

.

Figura 4-16: Esquema de realimentacion de estados para el hexacoptero.

Teniendo en cuenta que el modelo lineal del hexacoptero es un modelo incremental,

para que la realimentacion de estado previamente disenada funcione con el modelo

no lineal del hexacoptero, es necesario adicionarles a las variables de control el valor

constante de la velocidad de hover. Dado que el punto de equilibrio de las variables de

estado es cero, no hace falta modificar las variables de estado. El esquema de simulacion

con el modelo no lineal del hexacoptero se muestra en la figura 4-17.

4.3 Resultados 61

Figura 4-17: Esquema de realimentacion de estados para el hexacoptero.

Luego de probar el control no lineal se evidencia que funciona perfecto para z y ψ,

pero no funciona bien para x y y. Lo anterior muy seguramente debe tener que ver

con que pese a que x y y no intervienen en la dinamica del sistema directamente, al

igual que z y ψ, dependen del comportamiento de φ y θ, dado que la unica forma en la

que el hexacoptero puede lograr desplazarse en x y y es rotando al rededor de dichos

ejes y como la linealizacion se debe hacer para valores fijos de φ y θ, para ninguna

linealizacion se logra que la realimentacion de estados controle x y y del modelo no

lineal, que es el que vale la pena estudiar.

En vista de lo anterior probaremos lo que sucede con fallos para movimientos sobre el

eje z y alrededor del mismo. La Figura 4-18 muestra el hexacoptero describiendo un

ascenso con este esquema de control y la Figura 4-19 muestra el comportamiento de las

velocidades de los rotores. En ambos casos parece pasar lo mismo, dado que el control

se disena para cierto numero de entradas, si una de ellas falla en cualquier momento,

no es posible que el control retome su tarea, dado que el diseno no esta pensado para eso.

Situacion distinta cuando se disena el control para una o dos entradas menos en cual-

quier configuracion. En este ultimo caso, el control es capaz de cumplir su objetivo

con uno o dos rotores detenidos, porque se diseno para esas condiciones. Curiosamente

cuando se hacen estudios de controlabilidad sobre el modelo linealizado para el punto

de hover, se encuentra que tal y como se encontro a traves de la solucion del problema

de optimizacion, el sistema es completamente controlable a falta de uno o incluso 2

rotores, solo que los rotores no pueden tener ubicacion simetrica, pero incluso pueden

estar uno al lado del otro.



0 2 4 6 8 10 12

t[x]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

(a)

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[m]

(b)

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

-5

-4

-3

-2

-1

0

[m]

(c)

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

-10

-5

0

5

10

[gra

do

s]

(d)

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

-10

-5

0

5

10

[gra

do

s]

(e)

0 2 4 6 8 10 12

t[x]

-10

-5

0

5

10

[gra

do

s]

(f)

Figura 4-18: Respuesta del control por realimentacion de estados e integrador para el

hexacoptero.

4.3 Resultados 63

0 5 10 15 20

t[x]

500

505

510

515

520

525[r

.p.m

.]1

0 5 10 15 20

t[x]

500

505

510

515

520

525

[r.p

.m.]

4

0 5 10 15 20

t[x]

500

505

510

515

520

525

[r.p

.m.]

2

0 5 10 15 20

t[x]

500

505

510

515

520

525

[r.p

.m.]

5

0 5 10 15 20

t[x]

500

505

510

515

520

525

[r.p

.m.]

3

0 5 10 15 20

t[x]

500

505

510

515

520

525

[r.p

.m.]

6

Figura 4-19: Comortamiento de las velocidades de los rotores para el control por

realimentacion de estados e integrador para el hexacoptero.

Capıtulo 5

Conclusiones y observaciones

Los resultados muestran lo facil que es que el hexacoptero se mueva verticalmente,

porque los rotores estan actuando directamente sobre el eje z, sin embargo, los

movimientos longitudinales y laterales son mas difıciles de conseguir debido a la

falta de actuadores en los ejes x y y.

Se observa que para cada uno de los puntos finales deseados en las simulaciones,

los demas pesos varıan de una manera no proporcional, es decir en caso de requerir

un movimiento al doble de la distancia obtenida no basta con duplicar los valores

sobre los vectores γ y α debido que el sistema no se comporta de manera lineal.

Se observa en las simulaciones que al realizar los desplazamientos sobre los ejes

x y y se presenta una leve variacion en la posicion de z esto indica que hay

una necesidad implıcita de realizar un movimiento sobre el eje z para realizar

movimientos en los ejes x y y.

La falla puede en un rotor puede ser simulada poniendo en cero la columna del

rotor perteneciente sobre la matriz A lo que significarıa fısicamente que se realizan

todos los calculos como si existieran 6 rotores pero en su implementacion fueran

solo 5 o la cantidad de rotores activos.

Al realizar la prueba apagando un motor el resultado en posicion no varia, sin

embargo las velocidades calculadas varıan y como primer punto se observa un

apagado automatico al rotor opuesto en posicion y variacion de las r.p.m. para

mantener la posicion de hover.

Se observa que cuando se realizan pruebas con falla en rotores 1 y 2 el control

apagaba el 4 y 5, esto para guardar la simetrıa en la propulsion y mantener

la altura y estabilidad, por tanto aumentaba la velocidad de las helices para

compensar fZ al igual que en el caso de apagado del rotor 1.

66 5 Conclusiones y observaciones

Los resultados arrojados en las pruebas con falla en rotor 1 son iguales a las

que se realizaron apagando los rotores 1 y 4, debido a lo explicado anteriormente

donde el control apaga motores simetricos a la falla para guardar simetrıa de

propulsion.

Debido que con el control de optimizacion disenado a partir problema de ma-

niorabilidad no fue posible realizar pruebas con fallas en los rotores durante el

vuelo, por tanto se disenaron otras dos estrategias de control en lazo cerrado (PD

y seguimiento por integradores) las cuales no fueron exitosas en x y y por su

dependencia cruzada con los angulos φ y θ respectivamente.

Capıtulo 6

Anexos

6.1. Codigos del Matlab

6.1.1. Codigo General

1 %function costegeneralf

2

3 clear all

4 close all

5 clc

6

7 t=cputime;

8

9 global x t1 alpha xf fz TK TM TN p ci h

10

11 load hexacopter params

12

13 Tf=10; % tiempo final

14 h=Tf/100; % paso de tiempo

15

16 % El coste esta definido como

17 % J = int (F(x,u,t)) dt + Phi(x(f))

18 % donde

19 % F = gamma*(x(t)−xd)ˆ2 + beta*u(t)ˆ2

20 % y

21 % Phi = alpha*(x(Tf)−xf)ˆ222

23 alpha = [10 10 10 0 0 0 100 100 100 0 0 0]; % estado ...

final

24 beta = 0*[0 1 1 0]; % control

25 lambda = 1e−9; % paso de las ...

iteraciones

70 6 Anexos

26 gamma = [1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; % estado deseado

27 xd = [1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; % valor ...

estacionario deseado de x(t)

28 x0 = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; % estado inicial

29 xf = [1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; % estado final

30

31 t1=0:h:Tf; % vector de tiempo

32

33 fz=mass*gg+0*t1';

34 TK=0+0*t1';

35 TM=0+0*t1';

36 TN=0+0*t1';

37

38

39 % ...

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−40 % NONLINEAR SYSTEM resolucion con ODE

41

42 tspan = [0,Tf];

43

44 [T,x] = ode45(@(t,x) hex state(t,x,t1,fz,TK,TM,TN),tspan,x0');

45

46 x = interp1(T,x,t1);

47

48

49 % ...

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−50

51 % c?lculo del primer coste

52

53 a = length(x);

54 F = beta*[(fz−gg*mass).ˆ2 (TK).ˆ2 (TM).ˆ2 (TN).ˆ2]' + ...

gamma*(((x−ones(a,1)*xd)').ˆ2);55 q = simps v(F,h);

56 ci(2) = q + alpha*(((x(a,:)−xf)').ˆ2)57 ci(1) = 1.1*ci(2)

58

59 j=2;

60 %% iteraciones

61 while (ci(j−1)−ci(j))>(1e−06*ci(2))62 %

63 j=j+1;

64

65 % solucion ecuacion coestado a partir de x y u

66

67 pt2 = 2*alpha.*(x(length(x),:)−xf);

6.1 Codigos del Matlab 71

68 tspan = [Tf,0];

69

70 [t2,p] = ode45(@(t2,p) hex costate(t2,p,t1,x,gamma,xd),tspan,pt2);

71

72 p = interp1(t2,p,t1);

73

74 % calculo del gradiente a partir de x u y p

75

76 gradJ = gradientefinalp2(fz,TK,TM,TN,p,t1,beta);

77

78 % calculo del nuevo control

79

80 uk = [fz TK TM TN];

81

82 ukp1 = uk − lambda*gradJ;

83

84 fz = ukp1(:,1);

85 TK = ukp1(:,2);

86 TM = ukp1(:,3);

87 TN = ukp1(:,4);

88

89 % volvemos a resolver la dinamica para conocer el nuevo coste y ...

decidir si seguimos iterando o encontramos la solucion

90

91 tspan = [0,Tf];

92

93 [T,x] = ode45(@(t,x) hex state(t,x,t1,fz,TK,TM,TN),tspan,x0');

94

95 x = interp1(T,x,t1);

96

97 % calculo del coste con el nuevo control debido a lambda

98

99 a = length(x);

100 F = beta*[(fz−mass*gg).ˆ2 (TK).ˆ2 (TM).ˆ2 (TN).ˆ2]' + ...

gamma*(((x−ones(a,1)*xd)').ˆ2);101 q1 = simps v(F,h);

102 ci(j) = q1 + alpha*(((x(a,:)−xf)').ˆ2)103

104 end

105 cputime−t106 %% −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

6.1.2. Dinamica del hexacoptero

72 6 Anexos

1 function out = hex state(t,x,t1,fz,TK,TM,TN)

2

3 % aqu? se define la funcion f(x(t),u(t)), que es el segundo ...

miembro de

4 % la EDO dx(t)=f(x(t),u(t))

5

6 fz = interp1(t1,fz,t);

7 TK = interp1(t1,TK,t);

8 TM = interp1(t1,TM,t);

9 TN = interp1(t1,TN,t);

10

11 phi = pi/180*x(4);

12 th = pi/180*x(5);

13 psi = pi/180*x(6);

14 uu = x(7);

15 vv = x(8);

16 ww = x(9);

17 pp = pi/180*x(10);

18 qq = pi/180*x(11);

19 rr = pi/180*x(12);

20


22

23 out = [ %f1

24 uu*cos(th)*cos(psi) + vv*sin(phi)*sin(th)*cos(psi) + ...

25 − vv*cos(phi)*sin(psi) + ww*sin(phi)*sin(psi) + ...

26 ww*cos(phi)*sin(th)*cos(psi)

27 %f2

28 uu*cos(th)*sin(psi) + vv*cos(phi)*cos(psi) + ...

29 vv*sin(phi)*sin(th)*sin(psi) − ww*sin(phi)*cos(psi) + ...

30 ww*cos(phi)*sin(th)*sin(psi)

31 %f3

32 − uu*sin(th) + vv*sin(phi)*cos(th) + ww*cos(phi)*cos(th)

33 %f4

34 pp + qq*sin(phi)*tan(th) + rr*cos(phi)*tan(th)

35 %f5

36 qq*cos(phi) − rr*sin(phi)

37 %f6

38 qq*sin(phi)/cos(th) + rr*cos(phi)/cos(th)

39 %f7

40 vv*rr − ww*qq − gg*sin(th)

41 %f8

42 ww*pp − uu*rr + gg*sin(phi)*cos(th)

43 %f9

44 uu*qq − vv*pp + gg*cos(phi)*cos(th) + ...


45 − fz/mass

46 %f10

47 ((Iy−Iz)*qq*rr + TK)/Ix;

48 %f11

49 ((Iz−Ix)*pp*rr − TM)/Iy;

50 %f12

51 (Ix−Iy)/Iz*pp*qq − TN/Iz];

52

53 % xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

6.1.3. Dinamica del coestado

1 function out1 = hex costate(t2,p,t1,x,gamma,xd)

2

3 % g1 define el segundo miembro de la ecuacion del coestado:

4 % dp(x)=−A'*p(x)−2*0.001*b;5 % donde A esta formada por las derivadas respecto de x(t) de cada ...

funcion del segundo miembro de la ecuacion de estado.

6

7 x = interp1(t1,x,t2);

8


10

11 f1x1 = 0;

12 f1x2 = 0;

13 f1x3 = 0;

14 f1x4 = ...

pi/180*(((x(:,8).*cos(1/180*pi*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5)))....

15 *cos(pi/180*x(:,6)))+...

16 pi/180*((x(:,8).*sin(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,6)))+...

17 pi/180*((x(:,9).*cos(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,6)))+...

18 −pi/180*(((x(:,9).*sin(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5)))....19 *cos(pi/180*x(:,6)));

20 %plot(T,f1x4)

21 f1x5 = −(pi/180*x(:,7).*sin(pi/180*x(:,5))).*cos(pi/180*x(:,6))+...22 ((pi/180*x(:,8).*sin(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,5)))....

23 *cos(pi/180*x(:,6))+...

24 ((pi/180*x(:,9).*cos(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,5)))....

25 *cos(pi/180*x(:,6));

26 %plot(T,f1x5)

27 f1x6 = −(pi/180*x(:,7).*cos(pi/180*x(:,5))).*sin(pi/180*x(:,6))+...28 −((pi/180*x(:,8).*sin(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5)))....29 *sin(pi/180*x(:,6))+...

74 6 Anexos

30 −(pi/180*x(:,8).*cos(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,6))+...31 (pi/180*x(:,9).*sin(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,6))+...

32 −((pi/180*x(:,9).*cos(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5)))....33 *sin(pi/180*x(:,6));

34 %plot(T,f1x6)

35 f1x7 = cos(pi/180*x(:,5)).*cos(pi/180*x(:,6));

36 %plot(T,f1x7)

37 f1x8 = ...

((sin(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5))).*cos(pi/180*x(:,6))−...38 (cos(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,6));

39 %%plot(T,f1x8)

40 f1x9 = ...

(sin(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,6))+((cos(pi/180*x(:,4)))....

41 *sin(pi/180*x(:,5))).*cos(pi/180*x(:,6));

42 %plot(T,f1x9)

43 f1x10 = 0;

44 f1x11 = 0;

45 f1x12 = 0;

46

47 f2x1 = 0;

48 f2x2 = 0;

49 f2x3 = 0;

50 f2x4 = −(pi/180*x(:,8).*sin(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,6))+...51 ((pi/180*x(:,8).*cos(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5)))....

52 *sin(pi/180*x(:,6))+...

53 −((pi/180*x(:,9).*sin(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5)))....54 *sin(pi/180*x(:,6))+...

55 −(pi/180*x(:,9).*cos(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,6));56 %plot(T,f2x4)

57 f2x5 = −(pi/180*x(:,7).*sin(pi/180*x(:,5))).*sin(pi/180*x(:,6))+...58 ((pi/180*x(:,8).*sin(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,5)))....

59 *sin(pi/180*x(:,6))+...

60 ((pi/180*x(:,9).*cos(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,5)))....

61 *sin(pi/180*x(:,6));

62 %plot(T,f2x5)

63 f2x6 = (pi/180*x(:,7).*cos(pi/180*x(:,5))).*cos(pi/180*x(:,6))+...

64 −(pi/180*x(:,8).*cos(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,6))+...65 ((pi/180*x(:,8).*sin(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5)))....

66 *cos(pi/180*x(:,6))+...

67 ((pi/180*x(:,9).*cos(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5)))....

68 *cos(pi/180*x(:,6))+...

69 (pi/180*x(:,9).*sin(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,6));

70 %plot(T,f2x6)

71 f2x7 = (cos(pi/180*x(:,5))).*sin(pi/180*x(:,6));

72 %plot(T,f2x7)


73 f2x8 = ...

(cos(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,6))+((sin(pi/180*x(:,4)))....

74 *sin(pi/180*x(:,5))).*sin(pi/180*x(:,6));

75 %plot(T,f2x8)

76 f2x9 = ...

((cos(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5))).*sin(pi/180*x(:,6))...

77 −(sin(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,6));78 %plot(T,f2x9)

79 f2x10 = 0;

80 f2x11 = 0;

81 f2x12 = 0;

82

83 f3x1 = 0;

84 f3x2 = 0;

85 f3x3 = 0;

86 f3x4 = (pi/180*x(:,8).*cos(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,5))+...

87 −(pi/180*x(:,9).*sin(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,5));88 %plot(T,f3x4)

89 f3x5 = −pi/180*x(:,7).*cos(pi/180*x(:,5))+...90 −(pi/180*x(:,8).*sin(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5))+...91 −(pi/180*x(:,9).*cos(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5));92 %plot(T,f3x5)

93 f3x6 = 0;

94 f3x7 = −sin(pi/180*x(:,5));95 %plot(T,f3x7)

96 f3x8 = (sin(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,5));

97 %plot(T,f3x8)

98 f3x9 = (cos(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,5));

99 %plot(T,f3x9)

100 f3x10 = 0;

101 f3x11 = 0;

102 f3x12 = 0;

103

104 f4x1 = 0;

105 f4x2 = 0;

106 f4x3 = 0;

107 f4x4 = (pi/180*x(:,11).*cos(pi/180*x(:,4))).*tan(pi/180*x(:,5))+...

108 −(pi/180*x(:,12).*sin(pi/180*x(:,4))).*tan(pi/180*x(:,5));109 %plot(T,f4x4)

110 f4x5 = ...

(pi/180*x(:,11).*sin(pi/180*x(:,4))).*(1+(tan(pi/180*x(:,5))).ˆ2)+...

111 (pi/180*x(:,12).*cos(pi/180*x(:,4))).*(1+(tan(pi/180*x(:,5))).ˆ2);

112 %plot(T,f4x5)

113 f4x6 = 0;

114 f4x7 = 0;

115 f4x8 = 0;

76 6 Anexos

116 f4x9 = 0;

117 f4x10 = 1;

118 f4x11 = (sin(pi/180*x(:,4))).*tan(pi/180*x(:,5));

119 %plot(T,f4x11)

120 f4x12 = (cos(pi/180*x(:,4))).*tan(pi/180*x(:,5));

121 %plot(T,f4x12)

122

123 f5x1 = 0;

124 f5x2 = 0;

125 f5x3 = 0;

126 f5x4 = −pi/180*x(:,11).*sin(pi/180*x(:,4)) − ...

pi/180*x(:,12).*cos(pi/180*x(:,4));

127 %plot(T,f5x4)

128 f5x5 = 0;

129 f5x6 = 0;

130 f5x7 = 0;

131 f5x8 = 0;

132 f5x9 = 0;

133 f5x10 = 0;

134 f5x11 = cos(pi/180*x(:,4));

135 %plot(T,f5x11)

136 f5x12 = −sin(pi/180*x(:,4));137 %plot(T,f5x12)

138

139 f6x1 = 0;

140 f6x2 = 0;

141 f6x3 = 0;

142 f6x4 = pi/180*x(:,11).*cos(pi/180*x(:,4))./cos(pi/180*x(:,5))+...

143 −pi/180*x(:,12).*sin(pi/180*x(:,4))./cos(pi/180*x(:,5));144 %plot(T,f6x4)

145 f6x5 = pi/180*x(:,11).*sin(pi/180*x(:,4))./(cos(pi/180*x(:,5))).ˆ2....

146 *sin(pi/180*x(:,5))+...

147 pi/180*x(:,12).*cos(pi/180*x(:,4))./(cos(pi/180*x(:,5))).ˆ2....

148 *sin(pi/180*x(:,5));

149 %plot(T,f6x5)

150 f6x6 = 0;

151 f6x7 = 0;

152 f6x8 = 0;

153 f6x9 = 0;

154 f6x10 = 0;

155 f6x11 = (sin(pi/180*x(:,4)))./cos(pi/180*x(:,5));

156 %plot(T,f6x11)

157 f6x12 = (cos(pi/180*x(:,4)))./cos(pi/180*x(:,5));

158 %plot(T,f6x12)

159

160 f7x1 = 0;


161 f7x2 = 0;

162 f7x3 = 0;

163 f7x4 = 0;

164 f7x5 = −pi/180*gg*cos(pi/180*x(:,5));165 f7x6 = 0;

166 f7x7 = 0;

167 f7x8 = (pi/180)*x(:,12);

168 f7x9 = −(pi/180)*x(:,11);169 f7x10 = 0;

170 f7x11 = −(pi/180)*x(:,9);171 f7x12 = (pi/180)*x(:,8);

172

173 f8x1 = 0;

174 f8x2 = 0;

175 f8x3 = 0;

176 f8x4 = (pi/180*gg*cos(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,5));

177 f8x5 = −(pi/180*gg*sin(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5));178 f8x6 = 0;

179 f8x7 = −(pi/180)*x(:,12);180 f8x8 = 0;

181 f8x9 = (pi/180)*x(:,10);

182 f8x10 = (pi/180)*x(:,9);

183 f8x11 = 0;

184 f8x12 = −(pi/180)*x(:,7);185

186 f9x1 = 0;

187 f9x2 = 0;

188 f9x3 = 0;

189 f9x4 = −(pi/180*gg*sin(pi/180*x(:,4))).*cos(pi/180*x(:,5));190 f9x5 = −(pi/180*gg*cos(pi/180*x(:,4))).*sin(pi/180*x(:,5));191 f9x6 = 0;

192 f9x7 = (pi/180)*x(:,11);

193 f9x8 = −(pi/180)*x(:,10);194 f9x9 = 0;

195 f9x10 = −(pi/180)*x(:,8);196 f9x11 = (pi/180)*x(:,7);

197 f9x12 = 0;

198

199

200 f10x1 = 0;

201 f10x2 = 0;

202 f10x3 = 0;

203 f10x4 = 0;

204 f10x5 = 0;

205 f10x6 = 0;

206 f10x7 = 0;

78 6 Anexos

207 f10x8 = 0;

208 f10x9 = 0;

209 f10x10 = 0;

210 f10x11 = (pi/180)ˆ2*x(:,12)*(Iy−Iz)/Ix;211 f10x12 = (pi/180)ˆ2*x(:,11)*(Iy−Iz)/Ix;212

213 f11x1 = 0;

214 f11x2 = 0;

215 f11x3 = 0;

216 f11x4 = 0;

217 f11x5 = 0;

218 f11x6 = 0;

219 f11x7 = 0;

220 f11x8 = 0;

221 f11x9 = 0;

222 f11x10 = (pi/180)ˆ2*x(:,12)*(Iz−Ix)/Iy;223 f11x11 = 0;

224 f11x12 = (pi/180)ˆ2*x(:,10)*(Iz−Ix)/Iy;225

226 f12x1 = 0;

227 f12x2 = 0;

228 f12x3 = 0;

229 f12x4 = 0;

230 f12x5 = 0;

231 f12x6 = 0;

232 f12x7 = 0;

233 f12x8 = 0;

234 f12x9 = 0;

235 f12x10 = (pi/180)ˆ2*x(:,11)*(Ix−Iy)/Iz;236 f12x11 = (pi/180)ˆ2*x(:,10)*(Ix−Iy)/Iz;237 f12x12 = 0;

238

239

240 A = [f1x1 f1x2 f1x3 f1x4 f1x5 f1x6 f1x7 f1x8 f1x9 f1x10 ...

f1x11 f1x12

241 f2x1 f2x2 f2x3 f2x4 f2x5 f2x6 f2x7 f2x8 f2x9 f2x10 ...

f2x11 f2x12


f3x11 f3x12


f4x11 f4x12


f5x11 f5x12


f6x11 f6x12



f7x11 f7x12


f8x11 f8x12


f9x11 f9x12


f10x11 f10x12


f11x11 f11x12


f12x11 f12x12];

252

253 out1 = −A'*p−(2*diag(gamma)*(x−ones(length(t2),1)*xd)');%−2*0.01*b;254


6.1.4. Calculo del Gradiente

1 function gradJ = gradientefinalp2(fz,TK,TM,TN,p,t1,beta)

2


4

5 gradJ = zeros(length(t1),4);

6 for i = 1:length(p);

7 A2 = [zeros(8,4)

8 −1/mass 0 0 0

9 0 1/Ix 0 0

10 0 0 −1/Iy 0

11 0 0 0 −1/Iz];12

13 %aux=inv(M)*(A2)

14 A3 = 2*beta*[fz(i)−mass*gg TK(i) TM(i) TN(i)]';

15 gradJ(i,:) = A3 + p(i,:)*(A2);

16 end

17


Bibliografıa

[1] G. Calvo, Perfiles IDS Sistemas no tripulados, Febrero 2014, Madrid.

[2] M. F. Santos, L. M. Honorio, E. B. Costa, E. J. Oliveiray, J. P. Portella Guedes

Visconti, Active Fault-Tolerant Control Applied to a Hexacopter under Propulsion

System Failures, 2015 19th International Conference on System Theory, Control

and Computing (ICSTCC), October 14-16, Cheile Gradistei, Romania.

[3] A. Freddi, S. Longhi, A. Monteriu and M. Prist, Actuator Fault Detection and

Isolation System for an Hexacopter, Mechatronic and Embedded Systems and Ap-

plications (MESA), 2014 IEEE/ASME 10th International Conference.

[4] J. Su, J. He, P. Cheng y J. Chen, Actuator Fault Diagnosis of a Hexacopter: A

Nonlinear Analytical Redundancy Approach, 2017 25th Mediterranean Conference

on Control and Automation (MED) July 3-6, 2017. Valletta, Malta.

[5] J. Beltran, Origen y desarrollo de los drones [online], Espana, Universidad de Va-

lencia, 2015, Disponible en http://drones.uv.es/origen-y-desarrollo-de-los-drones/

[6] J. Sullivan, Revolution or Evolution? The Rise of UAVs, Sibley School of Mecha-

nical and Aerospace Engineering, Cornell University, Ithaca, NY 14853.

[7] H. Lim, J. Park, D. Lee, H. J. Kim, Build Your Own Quadrotor, Open-Source

Projects on Unmanned Aerial Vehicles, IEE Robotics & Automation Magazine,

September 2012.

[8] Fahlstrom y T. Gleason, Introduction to UAV systems, Wiley, 2012.

[9] Amazon Prime Air [online], Amazon, 2016, Disponible en

https://www.amazon.com/Amazon-Prime-Air/b?node=8037720011

[10] P. Lara, Diseno de interfaces graficas y de algoritmos de localizacion de un qua-

drotor, Dep. de Ingenierıa de Sistemas y Automatica, Escuela Tecnica Superior

de Ingenierıa Universidad de Sevilla, September 2015.

82 BIBLIOGRAFIA

[11] J. Jenkins and M. Jenkins, LaTrax Alias Quad-Rotor [online], LATRAX, Dispo-

nible en https://latrax.com/products/alias?t=overview

[12] R. Stephens, Horizon Hobby SAFETM [online], disponible en

http://www.flysaferc.com/#homeSection

[13] R. Baranek, F. Solc, Modelling and Control of a Hexa-copter, Carpathian Control

Conference (ICCC), 2012 13th International.

[14] A. Alaimo, V. Artale, C. Milazzo, A. Ricciardello, L. Trefiletti, Mathematical Mo-

deling and Control of a Hexacopter, 2013 International Conference on Unmanned

Aircraft Systems (ICUAS).

[15] Camilo Morales; Diana Ovalle; Alain Gauthier, Hexacopter maneuverability ca-

pability: An optimal control approach. 7th International Conference on Modeling,

Simulation, and Applied Optimization (ICMSAO), United Arab Emirates, 2017.

[16] E. Reyes-Valeria, R. Enriquez-Caldera, S. Camacho-Lara, J. Guichard, LQR con-

trol for a quadrotor using unit quaternions: Modeling and simulation, 23rd inter-

national conference on electronics, communications and computing, (CONIELE-

COMP 2013), holula, Puebla, Mexico (2013), pp. 172-178.

[17] E. Fresk, G. Nikolakopoulos, Full quaternion based attitude control for a quadrotor,

2013 12th European Control Conference (ECC 2013), Zurich, Switzerland (2013),

pp. 3864-3869.

[18] M. Ranjbaran, K. Khorasani, Fault Recovery of an Under-Actuated Quadrotor

Aerial Vehicle, in: 49th Proc. Conference on Decision and Control, Atlanta, 2010,

pp. 4385-4392.

[19] Z.T. Dydel, A.M. Annaswamy, E. Lavretsky, Adaptive Control of Quadrotor UAVs:

A Design Trade Study With Flight Evaluations, IEEE Transactions on Control

Systems Technology. 21(4) (2013) 1400-1406.

[20] F. Goßmann, G. P. Falconı and F. Svaricek, Fault Tolerant Control Approach for

Passive Handling of Actuator Degradation of a Hexacopter using an LPV State-

Feedback Controller with Partly-Measured Parameters, 2017 25th Mediterranean

Conference on Control and Automation (MED) July 3-6, 2017. Valletta, Malta.

[21] B. Wang, and Y. Zhang, An Adaptive Fault-Tolerant Sliding Mode Control Allo-

cation Scheme for Multirotor Helicopter Subject to Simultaneous Actuator Faults,

IEEE Transactions on industrial electronics.

BIBLIOGRAFIA 83

[22] H. K. Khalil, Nonlinear Systems 2nd Edition, Prentice Hall,Michigan State Uni-

versity, 1996.

[23] K. Shimizu, K. Otsuka y T. Yamaguchi, Direct Gradient Descent Control Nonlie-

nar Systems, Procedings of the American Control Conference, May 8-2002.

[24] K. Shimizu, K. Otsuka y J. Naiborhu, Improved Direct Gradient Descent Control

Nonlienar Systems, 1999 European Control Conference (ECC), 31 August - 3

September 1999, Karlsruhe, Germany.

[25] K. Shimizu, K. Otsuka, Performance Improvement of Direct Gradient Descent

Control Nonlienar Systems, International Conference on control applications

Kohala Coast-Island of Hawai 22-27 August 1999.

[26] D. Ballesteros, A. Gaona, L. Pedraza. Comparacion por simplicidad de metodos de

aprendizaje en estimacion de funciones. Vision Electronica. Universidad Distrital

Francisco Jose de Caldas. Octubre 2010.

[27] C. Vega, R. Castano, Control optimo inverso para sistemas no lineales en tiempo

continuo. Respuestas. 2014; 19(1):13-18.

[28] D.M. Ovalle, J. Garcıa, and F. Periago. Analysis and numerical simulation of

a nonlinear mathematical model for testing the manoeu-vrability capabilities of a

submarine. NonLinear Analysis: Real world Applications. Elsevier, 2010.

[29] K. Ogata, Ingenierıa de Control Moderna, 3ra Ed, Universidad de Minnesota,

Editorial Prentice Hall 1998.

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